ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Να βρεθούν τα όρια, αν υπάρχουν: lim i) (,) (0,0) + ii) lim (,) (0,0) + iii) 3 lim 3 (,) (0,0) 6 + lim iv) (,) (0,0) + + lim sin + sin v) (,) (0,0) i) Για m m m m lim lim lim + + + m + m ( m) (,) (0,0) 0 0 Επειδή το όριο εξαρτάται από το m, τότε αυτό δεν υπάρχει. Άλλος τρόπος είναι να δουλέψουμε σε πολικές συντεταγμένες: rcos θ, rsinθ rcosθ rsinθ lim lim lim cosθsinθ cosθsinθ + r + r r 0 (,) (0,0) r 0 ( cosθ) ( sinθ) Επειδή το όριο εξαρτάται από το θ, τότε αυτό δεν υπάρχει. ii) Σε πολικές συντεταγμένες θα είναι: r cos rsin lim lim lim r cos θsin (,) (0,0) r 0 r 0 θ ( cosθ) ( sinθ) + r + r θ Επειδή sin θ, cosθ, το όριο αυτό για κάθε θ βγαίνει 0 καθώς δεν μπορεί να υπάρχει η περίπτωση 0 Mπορούμε να κάνουμε χρήση του θεωρήματος (https://www.ime.unicamp.br/sites/deault/iles/pesquisa/relatorios/rp-006-7.pd) που διατυπώνεται ως εξής «Αν επιθυμούμε να υπολογίσουμε το όριο (,)->(0,0) και σε πολικές συντεταγμένες το όριο για r->0 υπάρχει, τότε υπάρχει και σε καρτεσιανές (και είναι το ίδιο) όταν η συνάρτηση είναι παντού συνεχής εκτός ενδεχομένως από το σημείο (0,0)». Αυτό συμβαίνει στην περίπτωσή μας, επομένως το όριο είναι το 0. iii) Σε πολικές συντεταγμένες θα είναι: θ

3 3 rcos θ( rsin θ) r cosθsin θ lim lim r 0 6 r 0 cos 3 4 sin 6 cos 3 sin θ + r θ ( r θ) + ( r θ) Επειδή το θ υπάρχει στον παρονομαστή δεν μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για το π όριο καθώς π.χ. για r 0 και θ προκύπτει απροσδιόριστη μορφή 0 0 Επομένως το όριο ενδέχεται να μην υπάρχει. Θα πρέπει να το δείξουμε με διαφορετικό τρόπο προσεγγίζοντας το (0,0) από διαφορετικές καμπύλες π.χ. Για 3 3 6 lim lim lim + 3 + 3 + 3 5 (,) (0,0) 6 0 6 6 0 Για 3 4 lim lim lim 0 + 3 + 3 + 3 (,) (0,0) 6 0 6 0 4 iv) Σε πολικές συντεταγμένες θα είναι rcosθ rsinθ r cosθsinθ rcosθsinθ lim lim lim 0 (Επειδή r 0 rcosθ + rsinθ r 0 r cosθ + r sinθ r 0 cosθ + sinθ cosθ + sinθ > 0 ) Επομένως το όριο υπάρχει και είναι 0 v) Σε πολικές συντεταγμένες θα είναι rcosθ + rsinθ lim r 0 sin( r cos θ ) + sin( r sin θ ) Αυτό το ολοκλήρωμα είναι δύσκολο να υπολογισθεί, επομένως δοκιμάζουμε άλλο δρόμο. Είναι + + lim lim sin + sin + sin cos + + lim lim lim (,) (0,0) + (,) (0,0) + (,) (0,0) sin cos sin cos (,) (0,0) (,) (0,0) sin Χρησιμοποιήσαμε το γνωστό όριο lim 0

Να βρεθούν οι μερικές παράγωγοι, της 3 (, ) cos( + ) 3 3 3 ( cos( + )) sin( + ) ( + ) + ( ) + ( ) + + 3 3 3 3 sin( ) sin( ) sin( ) 3 3 3 ( cos( + )) sin( + ) ( + ) + ( ) + ( ) + + 3 3 3 3 sin( ) sin( )3 3 sin( ) Να βρεθούν οι μερικές παράγωγοι,, της + (,, ) tan ( ) Υπενθυμίζουμε ότι για την παραγώγιση της αντίστροφης εφαπτομένης ισχύει: ( tan ) ' + Έτσι θα είναι: tan ( ) tan ( ) + + + + + + + + + + + tan ( ) tan ( ) tan ( ) + + + + tan ( ) + + + + + 3

Αλλά ( ) + + + ( ) ( ) Επομένως tan ( ) + + + + ( ) tan ( ) tan ( ) + + + ( + ) + + + + ( + + ) + Να βρεθούν οι μερικές παράγωγοι,,,,, της 3 (, ) + ln(4 + + ) 3 ( + ln(4 + + )) 3 ( ) + ( ln(4 + + )) 3 + ( 4 + + ) 4 + + 3 8 + 4 + + 4

3 ( + ln(4 + + )) 3 ( ) + ( ln(4 + + )) 3 + ( 4 + + ) 4 + + 6 + 4 + + 8 4 + + 3 + 3 8 8 ( ) + 4 + + 4 + + 84 8 4 ( + + ) ( + + ) ( 4 + + ) ( + + ) ( 4 + + ) 8 4 64 ( 4 + + ) + 6 4 + + ( 6 ) + 4 + + 8 4 + + ( 4 + + ) 3 + 3 8 ( ) + 4 + + 8 6 5

6 + 4 + + ( 6 ) + 4 + + 6 ( 4) 6 ( 4 + + ) 8 ( 4 + + ) Είναι δυνατόν να υπάρχει συνάρτηση (, ) με συνεχείς δεύτερες παραγώγους, τέτοια ώστε να ισχύει 4, 5+ ; 3 Θα έπρεπε να ισχύει, αλλά 3 και 5 Άρα δεν μπορεί να υπάρχει τέτοια συνάρτηση. Να δειχθεί ότι η 5 (,, ) e sin(3 )cos(4 ) είναι αρμονική συνάρτηση. Πρέπει να ικανοποιεί την εξίσωση Laplace: + + 0 e 5 5 sin(3 ) cos(4 ) e 5 3 cos(3 ) cos(4 ) e 5 4 sin(3 ) sin(4 ) ( e ) e 5 5 5 sin(3 ) cos(4 ) 5 sin(3 ) cos(4 ) ( e ) e 5 5 3 cos(3 ) cos(4 ) 9 sin(3 ) cos(4 ) ( e ) e Έτσι 5 5 4 sin(3 ) sin(4 ) 6 sin(3 ) cos(4 ) 6

+ + e e e 5 5 5 5 sin(3 ) cos(4 ) 9 sin(3 ) cos(4 ) 6 sin(3 ) cos(4 ) 0 Επομένως η συνάρτηση είναι αρμονική. Αν (, ) και r + s, rs, να υπολογισθούν οι παράγωγοι : Χρησιμοποιούμε τον κανόνα αλυσιδωτής παραγώγισης: + () r r r Είναι όμως ( r + s ) r () r r και ( rs) s (3) r r Επομένως η () λόγω των (),(3) δίνει r + s (4) r r και r Για τον υπολογισμό τώρα της δεύτερης παραγώγου της ως προς r θα πρέπει να παραγωγίσουμε την (4) ως προς r : r s r s + + + (5) r r r r r r Οι, όμως είναι συναρτήσεις των, και επειδή τα, είναι συναρτήσεις των, rs θα είναι και οι, (εμμέσως) συναρτήσεις των rs, (δια μέσου των,). Έτσι για τον υπολογισμό των παραγώγων τους ως προς r θα χρησιμοποιήσουμε ξανά τον κανόνα αλυσιδωτής παραγώγισης: + (6) r r r + (7) r r r Εισάγωντας τις σχέσεις () και (3) στις (6) και (7) παίρνουμε: r s + (8) r r + s (9) r Έτσι η (5) λόγω των (8) και (9) γίνεται τελικά: 7

+ r r s s r s 4r 8rs 4s + + + + + + r Να βρεθεί η εφαπτομένη της (,) 3 (, ) 4 + στην -κατεύθυνση στο σημείο Χρειαζόμαστε ένα σημείο της εφαπτομένης και ένα παράλληλο προς αυτή διάνυσμα. Το σημείο είναι το (,, (,)) δηλ. το (,,8) Ένα εφαπτόμενο διάνυσμα στο σημείο (,,8) θα έχει την μορφή: (_,0, _) αφού πρέπει να είναι παράλληλο προς τον άξονα. Οι άλλες δύο συνιστώσες θα υπολογιστούν από την κλίση της στην -κατεύθυνση σε αυτό το σημείο. Η κλίση στην -κατεύθυνση στο συγκεκριμένο σημείο δίνεται ως: (,) Όμως 3 + Έτσι (,) 4 Επομένως ένα εφαπτόμενο διάνυσμα στο σημείο (,,8) θα είναι το: (,0,4) Άρα η εξ. της ζητούμενης εφαπτόμενης είναι η + t + 0t 8 + 4t ή + t 8 + 4t Αν (, ) και uv (, ), uv (, ) και επιπλέον ισχύουν οι σχέσεις: να δειχθεί ότι ( )( uu + vv + u + v ), u v v u H είναι σύνθετη συνάρτηση των u και v δια μέσου των μεταβλητών,. Χρησιμοποιώντας τον κανόνα αλυσιδωτής παραγώγισης παίρνουμε: + + u u u u u () Επίσης 8

uu ( u + u) ( u) + ( u) u u u ( ) u + ( u) + ( ) u + ( u) u u u u ( ) u + uu + ( ) u + uu () u u Αλλά οι, είναι συναρτήσεις των, και επομένως σύνθετες συναρτήσεις των u και v δια μέσου των, Έτσι εφαρμόζουμε ξανά τον κανόνα αλυσιδωτής παραγώγισης: u u u και ( ) ( ) + ( ) + (3) u u u u u ( ) ( ) + ( ) u + u (4) H () λόγω των (3) και (4) γίνεται: ( ) ( ) + + + + + uu u u u uu u u u uu + + + + + u u u uu u u u uu Λόγω του θεωρήματος των μικτών παραγώγων έχουμε: Έτσι + + + + (5) uu u uu u u u uu Για τον υπολογισμό τώρα της vv θα ακολουθήσουμε ακριβώς τα ίδια βήματα και θα καταλήξουμε στην ίδια σχέση με τη διαφορά ότι αντί u θα έχουμε v. Επομένως: + + + + (6) vv v vv v v v vv Προσθέτοντας κατά μέλη τις (5),(6) παίρνουμε + + + + + + + + + + uu vv u uu u u u uu v vv v v v vv ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + + + + + + + + + + (7) uu vv u v uu vv u u v v u v uu vv Στην εκφώνηση της άσκησης δίνεται πως u v v u (8) (9) 9

Παρατηρούμε ότι στην τελική αποδεικτέα σχέση απουσιάζουν οι μερικές παράγωγοι της, επομένως στην (7) αντικαθιστούμε τις μερικές παράγωγοι της χρησιμοποιώντας τις (8),(9) Υπολογίζουμε αρχικά της ποσότητες: ( ) 0 0 (0) + + + u u v v u v v u u u v v uu + vv u + v v + u vu + uv u v u v ( ) ( ) ( ) ( ) 0 () uu + vv u + v v + u vu uv u v u v ( ) ( ) ( ) ( ) 0 () Έτσι η (7) λόγω των (0),(),() γίνεται: ( ) ( ) ( )( ) + + + + uu vv u v u v + + + uu vv u v Να βρεθούν οι, αν η ορίζεται πεπλεγμένα ως συνάρτηση των, ως 3 3 3 + + + 6 ος τρόπος Παραγωγίζουμε ως προς και τα δύο μέλη της δοσμένης σχέσης: + + + 6 + + + 3 3 3 ( ) 3 3 6 6 0 ( ) 3 6 3 6 0 + + + Ομοίως + + + + + 6 3 3 3 ( ) + + + 3 3 6 6 0 ( ) + + + 3 6 3 6 0 + + ος τρόπος 0

Στο ίδιο αποτέλεσμα φτάνουμε και ως εξής: Γράφουμε τη δοσμένη σχέση ως F (,, ) 0 Έτσι η F θα πρέπει να είναι η: F 3 3 3 (,, ) + + + 6 Τότε F F, F F () Υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους: 3 6 F + 3 6 F + 3 6 F + και αντικαθιστούμε στις (): + + 3 6 3 + 6 + + + 3 6 3 + 6 + Να βρεθεί η 3 3 + 6 ' αν η ορίζεται πεπλεγμένα ως συνάρτηση του ως Γράφουμε τη δοσμένη σχέση ως F (, ) 0 Έτσι η F θα πρέπει να είναι η: 3 3 F(, ) + 6 Τότε d F 3 6 d F 3 6

Να υπολογισθεί ο τελεστής, iˆ + ˆj σε πολικές συντεταγμένες Σε πολικές συντεταγμένες ισχύουν οι σχέσεις: +, θ tan r () Επίσης τα πρότυπα μοναδιαία διανύσματα είναι τα: uˆ cos θ,sinθ cosθiˆ+ sinθ ˆj r () uˆ sin, cos sin iˆ cos ˆ θ θ θ θ + θ j (3) Θέλουμε τελικά ο τελεστής να εφαρμοστεί σε κάποια συνάρτηση (, r θ ), η οποία όμως εξαρτάται έμμεσα από τις, μέσω των σχέσεων () και το αποτέλεσμα του τελεστή (που είναι ένα διάνυσμα) να εκφρασθεί ως γραμμικός συνδυασμός των μοναδιαίων διανυσμάτων () και (3). Εφαρμόζοντας τον κανόνα της αλυσίδας στις μερικές παραγώγους ως προς και παίρνουμε: r θ +, r θ r θ + r θ Όμως ( ) r rcosθ + cosθ + r ( ) r rsinθ + sinθ + r θ tan + + rsinθ sinθ + r r

θ tan + + rcosθ cosθ + r r Έτσι sinθ cosθ r θ r cosθ sinθ + r θ r Τελικά θα είναι sinθ ˆ cosθ, cosθ i + sinθ + ˆj r θ r r θ r ˆ sinθ ˆ ˆ cosθ cosθi i + sinθ j+ ˆj r θ r r θ r ( cosθi ˆ sinθ ˆ + j) + ( sinθi ˆ + cosθ ˆ j) r r θ uˆ ˆ r + uθ r r θ Να βρεθεί η παράγωγος της σημείο (,-) στην διεύθυνση του v iˆ+ 5ˆj 3 (, ) 4 στο Βάση του ορισμού της παραγώγου κατά διεύθυνση είναι: d ds û,(, ) uˆ ( ) (, ) Έχουμε: 3 iˆ+ 3 4 ˆj Επομένως: 4iˆ+ 8ˆj (, ) ( ) Το μοναδιαίο διάνυσμα στην κατεύθυνση του v είναι: 3

v ˆ 5 uˆ i + ˆj v 9 9 Άρα d ds û,(, ) 5 3 ( ) uˆ 4,8, (, ) 9 9 9 Να βρεθεί το εφαπτόμενο επίπεδο στην επιφάνεια (,) 3 (, ) + στο σημείο Αρχικώς παρατηρούμε ότι η είναι συνεχής στο σημείο (0,0). Αν δεν ήταν, τότε δεν θα μπορούσε να είναι διαφορίσιμη και δεν θα μπορούσαμε να βρούμε το εφαπτόμενο επίπεδο. ( 0, 0)( 0) + ( 0, 0)( 0) ( 0) 0 ( 0, 0)( 0) + ( 0, 0)( 0) ( ( 0, 0)) 0 (,)( ) + (,)( ) ( (,)) 0 Είναι 3, Άρα οι πρώτες παράγωγοι υπάρχουν στο (0,0) και είναι συνεχείς στο σημείο αυτό. Επομένως η είναι διαφορίσιμη στο (0,0) και μπορούμε να υπολογίσουμε το εφαπτόμενο επίπεδο εκεί ως (,)( ) + (,)( ) ( (,)) 0 0( ) + ( )( ) + 5 0 0 3 Να ελεγχθεί αν η (, ) + είναι διαφορίσιμη. Το πεδίο ορισμού της είναι το D {(, ) : + 0} Η είναι συνεχής στο D. Είναι 4

, + + Οι, ορίζονται και είναι συνεχείς για κάθε (, ) (0,0) Επομένως η είναι διαφορίσιμη για κάθε (, ) (0, 0) Στο (0,0) οι, δεν ορίζονται επομένως η δεν είναι διαφορίσιμη στο (0,0) Να υπολογισθεί η γραμμική προσέγγιση της τιμής της (, ) sin(+ 3 ) στο σημείο (-3,) Η τοπική γραμμική προσέγγιση στο σημείο ( 0, 0) γράφεται L(, ) ( 0, 0) + ( 0, 0) + ( 0, 0) L (, ) ( 3, ) + ( 3, ) + ( 3, ) Είναι όμως: ( 3, ) sin(0) 0 και cos(+ 3 ) ( 3,) 3cos(+ 3 ) ( 3, ) 3 Επίσης ( 3) + 3 Έτσι τελικά ( ) L (, ) 0 + + 3 + 3( ) L (, ) + 3 5

Π.χ. L(.99,.0) (.99) + 3(.0) 0.05 ενώ η ακριβής τιμή της είναι: (.99,.0) 0.04997 Να βρεθούν τα τοπικά ακρότατα της 3 (, ) 3 3 + 6 Θα χρειαστούμε όλες τις παραγώγους μέχρι δεύτερης τάξης: 6+ 6 6 6 + 6 6 6 6 6 Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία: 0 6+ 6 0 0, 0 6 6 + 6 0 0 ( ) 0, Στη συνέχεια υπολογίζουμε την Εσσιανή: H (, ) ( 6)(6 ) 6 7 7 Βρίσκουμε την τιμή της Εσσιανής στα κρίσιμα σημεία για μπορέσουμε να τα χαρακτηρίσουμε: H (0, 0) 7 < 0 > Σαγματικό σημείο H (, ) 7 > 0 Επίσης (, ) 6 < 0 > Τοπικό μέγιστο Να βρεθούν τα ολικά ακρότατα της 0, 0, 9 (, ) + + στο χωρίο 6

A 9 O 9- B 9 Τα ολικά ακρότατα μπορεί να βρίσκονται σε σημεία που βρίσκονται εντός του χωρίου OAB ή σε σημεία πάνω στο σύνορο OAB. Α. Αρχικά δουλεύουμε εντός του χωρίου ΟΑΒ και βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία: 0, 0 Έχουμε ένα κρίσιμο σημείο του οποίου η εικόνα είναι η (,) 4 Β. Στη συνέχεια δουλεύουμε πάνω στο σύνορο ΟΑΒ. ) Στο τμήμα ΟB θα έχουμε 0. Επομένως (, ) (,0) + με 0 9 Πιθανά ολικά ακρότατα θα έχουμε στα άκρα του διαστήματος ή εσωτερικά του διαστήματος. i) Στο οριακό σημείο: 0 θα είναι: (0,0) ii) Στο οριακό σημείο 9 θα είναι: (9,0) + 8 6 iii) Στα εσωτερικά σημεία βρίσκουμε που μηδενίζεται η παράγωγος: '(, 0) 0 με (, 0) 3 ) Αντίστοιχα στο τμήμα ΟΑ θα έχουμε 0. Επομένως: με 0 9 (, ) (0, ) + i) Οριακό σημείο 0: (0,0) ii) Οριακό σημείο 9: (0,9) + 8 6 iii) Εσωτερικά σημεία: '(0, ) 0 με (0,) 3 3) Αντίστοιχα στο τμήμα AB θα έχουμε 9-. Επομένως ( ) ( ) (,9 ) 9 9 6 8 + + + με 0 9 i) Στο οριακό σημείο: 0 θα είναι: (0,0) ii) Στο οριακό σημείο 9 θα είναι: (9,0) 6 iii) Εσωτερικά σημεία: 7

9 '(,9 ) 8 4 0 9 9 9 9 9 4, Άρα: Ολικό ελάχιστο το -6 στα σημεία (0,9), (9,0) Ολικό μέγιστο το 4 στο σημείο (,) 8