Mamaici spcial Problm c solţia apioll I EUAŢII DIFERENŢIALE Să d ingrz caţia difrnţială d ordinl înâi liniară g cos d Solţi: Ecaţia omognă aaşaă s: - g sa g d ln - ln cos ln sa Pnr rzolvara caţii cos nomogn considrăm p sb forma cos sin cos va fi: Înlocind în caţi obţinm: ; avm cos cos sin g cos cos cos D nd: şi Solţia gnrală a caţii da cos Solţia problmi ach s Dci solţia pariclară a caţii difrnţial cos Să s ingrz caţia difrnţială omognă: Solţi: Folosind sbsiţia obţinm sccsiv: d d ln
Mamaici spcial Problm d nd ln Pnând condiţia iniţială obţinm şi solţia pariclară cră s ln Să s ingrz caţia difrnţială omognă gnralizaă: -7-7--7 7 7 Solţi: Obsrvăm că δ Sisml ar 7 7 7 d dv solţia Sbsiţia v implică şi caţia d d daă dvin 7v v 7 v Facm sbsiţia v z ca c condc la solţia gnrală 5 7 5 z z sa Să s ingrz caţia difrnţială a li Brnolli: - - α Solţi: α P Q Facm sbsiţia -α sa - Obţinm sa Ecaţia daă dvin: sa c solţia gnrală Solţia gnrală a caţii s asfl că solţia pariclară căaă s liniară Din condiţia iniţială ddcm 5 Să s ingrz caţia difrnţială a li Riccai: sin sin P cos cos Solţi: Sbsiţia P sa condc la caţia cos - g sin
Mamaici spcial Problm cos Solţia gnrală a acsi caţii difrnţial s cos Dci solţia gnrală a caţii da s cos Din cos cos condiţia ach - rzlă şi dci solţia pariclară căaă s cos 6 Să s ingrz caţia difrnţială d ip laira: Solţi: Noând p caţia dvin p p Drivând în rapor c şi ţinând sama d noaţia făcă obţinm dp p p p d dp sa p Solţia gnrală s iar solţia singlară d s -p -p sa 7 Să s ingrz caţiil difrnţial liniar d ordin sprior c coficinţi consanţi omogn: a b c d f 5 Solţi : 5-6 6 a Ecaţia caracrisică r ar rădăcinil ral şi disinc r - r Solţia gnrală s - Din condiţiil iniţial obţinm şi dci solţia pariclară s - b Ecaţia caracrisică r 5r ar rădăcinil ral disinc r - r - r r Solţia gnrală a caţii difrnţial s dp d
Mamaici spcialproblm - - c Ecaţia caracrisică r -6r r 6 ar rădăcinil ral disinc r r r Solţia gnrală a caţii difrnţial s d Ecaţia caracrisică r - r r ar rădăcinil ral mlipl: r r r Solţia gnrală a caţii difrnţial s Ecaţia caracrisică r - ar rădăcinil r - r r -i r i Solţia gnrală a caţii difrnţial s - cos 5 sin f Ecaţia caracrisică r 5 r ar rădăcinil r r r r -i r 5 i Solţia gnrală a caţii difrnţial s cos 5 sin 8 Să s ingrz caţiil difrnţial liniar d ordin sprior c coficinţi consanţi nomogn: a 5 6 6 b Solţi: a Ecaţia caracrisică a caţii omogn s r -5r 6 c rădăcinil r r Solţia gnrală a caţii omogn s h Doarc r n s rădăcină a caţii caracrisic căăm solţia pariclară sb forma p A B Înlocind p în caţia nomognă obţinm: A - A - 5B 6A 6B 6 6 d nd rzlă A B şi dci p Solţia gnrală h p s: şi dci b Ecaţia caracrisică r -r -r ar rădăcinil
5 Mamaici spcial Problm h cos sin Doarc r s rădăcină dblă a caţii caracrisic solţia pariclară va ava forma p A Rzlă solţia gnrală a caţii nomogn h p s: cos sin 6 9 Să s ingrz caţia d ip Elr: A şi p iar 6 6 Solţi: Folosim sbsiţia Avm d d şi d d d d Ecaţia daă dvin: Ecaţia d d d d omognă aaşaă acsi caţii ar solţia gnrală h iar solţia pariclară Dci solţia gnrală a caţii nomogn p s sa ln Să s ingrz caţia difrnţială prin moda variaţii consanlor g Solţi: Ecaţia caracrisică a caţii omogn s r c rădăcinil r -i şi r i Solţia h cos sin onsidrăm solţia sb forma cos sin variaţia consanlor sa a li Lagrang onsanl şi vrifică sisml: cos sin - sin cos g
Mamaici spcial Problm 6 Solţia sismli s: π sin ln g şi -cos Solţia gnrală a caţii nomogn daă va fi: π cos sin cos ln g Să s rzolv sisml d caţii difrnţial: Solţi: Sin caţia a doa Înlocind în prima caţi obţinm Ecaţia caracrisică r r ar rădăcinil r r - Solţia gnrală s - - şi - Să s ingrz sisml simric d caţii difrnţial: d d Solţi: Sisml da poa fi scris sb forma: d d d d d d d d d d D aici rzlă că d şi d d d Solţia gnrală va fi formaă din doă ingral prim: şi Să s ingrz caţia difrnţială c driva parţial d ordinl înâi liniar: Solţi: Sisml caracrisic d d ar ingrall d prim disinc: şi
7 Solţia gnrală a caţii s: Φ Pnr obţinm d nd ajorl condiţii ach obţinm - Înlocind p şi găsim solţia caţii da: Să s ingrz caţia difrnţială c driva parţial cvasiliniară: - - Solţi: Sisml caracrisic s: d d d Din priml doă caţii găsim rmăoara ingrală primă: Scrim sisml caracrisic sb forma: d d d Algând combinaţia ingrabilă sisml d mai ss poa fi scris asfl: d d d d d d sa prima şi lima: d d şi ingrala primă: Solţia gnrală a caţii da s: Φ Mamaici spcial Problm
8 Pnr obţinm: şi Înlocind c obţinm înr şi rlaţia: Rvnind la valoril li şi din cl doă ingral prim obţinm: d nd solţia gnrală a caţii cvasiliniar da: Problm props Să s ingrz caţiil difrnţial: a d d - d d p 8 7 6 5 7 5 9 5 d c b a Mamaici spcial Problm
9 d c b a - sin cos 6 6 cos cos sin 6 7 b a b a cos cos sin 5 z z z z z z b a d d d c d d d b d d d a 6 7 8 b a Mamaici spcial Problm