MODELE GEOMETRICE, CINEMATICE SI DINAMICE i BAZA
MODELUL GEOMETRIC AL ROBOTULUI MANIULATOR Sistemul mecanic al unui robot este format dintr-o configuratie de corpuri rigide, elementele sistemului, legate intre ele succesiv prin articulatii de rotatie sau translatie. ozitiile relative ale acestor elemente determina pozitia de ansamblu a bratului mecanic, aceasta pozitie reprezentand de fapt una dintre conditiile functionale fundamentale a robotului. MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS
Descrierea unei transformari intre doua sisteme Descrierea locului ocupat in spatiu de un corp se face prin precizarea pozitiei si orientarii sale fata de un sistem de referinta. Sistemul de referinta {B} este descris in sistemul de coordonate {A} de catre o {B} A matrice de rotatie R si de catre vectorul de pozitie {A} MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 3
Transformari intre doua sisteme de referinta {B} A A B T A B 0 R T {A} MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 4
Sisteme standard definite la nivelul spatiului de lucru al robotului {W} {T} {G} i BAZA {S} {B} MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 5
Sistemul de baza {B} i BAZA {B} Este fixat de baza manipulatorului. Uneori este notat ca sistem {0}, fiind fixat de partea nemiscata a robotului, numita uneori si element 0. MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 6
Sistemul de pozitie {S} Sistemul de pozitie {S} este fixat in pozitia cea mai relevanta a sarcinii. Uneori acest sistem de coordonate mai este denumit si sistemul sarcinii, sau sistem de lucru, sau sistemul universului. {S} MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 7
Sistemul incheieturii {W} {W} i BAZA Este fixat de ultimul element al manipulatorului MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 8
Sistemul sculei {T} i BAZA {T} Este fixat la capatul oricarei scule, sau dispozitiv efector, pe care robotul le manevreaza. Cand apucatorul este gol, acest sistem este localizat, uzual, in varful degetului robotului. MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 9
Sistemul scopului (telului) {G} Sistemul scopului {G} descrie drumul pe care robotul misca unealta din apucator. In faza finala, acest sistem trebuie sa coincida cu sistemul sculei {T}. {G} MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 0
Modelul geometric direct l3 {iesa} l i l BAZA Modelul geometric direct reprezinta in fapt o problema de geometrie statica pentru calculul pozitiei si orientarii efectorului robotului. MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS
Modelul geometric direct l3 {iesa} l i Date fiind variabilele articulatie i (unghiuri pentru articulatii de rotatie si l BAZA distante di pentru articulatii prismatice), modelul geometric direct rezolva problema calculului pozitiei si orientarii sistemului de coordonate legat de scula, relativ la sistemul de baza. MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS
Modelul geometric direct Baza baza T( Sau, in general: Baza K(,, 3 ),..., T( n ) scula ) scula i T scula l l3 {iesa} n -nr. gradelor de libertate i- variabile articulatie K- matrice de transformare, dependenta de i si dimensiuni geometrice li. l BAZA MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 3
Model geometric direct pentru (xp,yp) robot planar l Modelul geometric direct se scrie: Y l Xp=l*cos()+l*cos(+) Yp=l*sin()+l*sin(+) O x Zp=0 MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 4
Exemplu robot SCARA MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 5
Modelul geometric invers Daca pentru modelul geometric direct se punea problema gasirii pozitiei punctului caracteristic cunoscand variabilele articulatie, in acest caz, se doreste determinarea variabilelor articulatie impunand pozitia si orientarea efectorului robotului (de exemplu doresc ca efectorul sa urmareasca o traiectorie si caut sa aflu ce unghiuri vor trebui realizate in articulatii de catre sistemul de actionare). MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 6
Modelul geometric invers Ecuatia de rezolvat: K(variabile articulatie) = K constanta impusa Relatia contine un set de ecuatii neliniare, direct legate de complexitatea robotului. Nu exista metode sigure de rezolvare a unor astfel de ecuatii entru un sistem cu n ecuatii liniare cu n necunoscute pot exista solutii pentru toate necunoscutele, pot sa nu existe solutii pentru toate necunoscutele, sau pot exista familii continue de solutii. MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 7
Modelul geometric invers Din studiul cinematicii robotilor rezulta: Toate sistemele cu articulatii de rotatie sau translatie, avand un total de 6 grade de libertate intrun singur lant serial, sunt rezolvabile. Dar aceasta solutie generala este de tip numeric. O conditie suficienta pentru ca un manipulator cu 6 articulatii de rotatie sa aiba o solutie analitica este ca trei axe articulatie de rotatie, vecine, sa se intersecteze intr-un punct. MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 8
Exemplu: model geometric invers pentru robot planar l (xp,yp) Modelul geometric direct se scrie: Xp=l*cos()+l*cos(+) Yp=l*sin()+l*sin(+) Y l Rezolvarea urmareste gasirea O x unghiurilor articulatie i daca se cunosc Xp si Yp. MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 9
Exemplu: model geometric invers pentru robot planar (xp,yp) Se trece in coordonate polare r l r x y Y l u u O x MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 0
Exemplu: model geometric invers pentru robot planar (xp,yp) Din teorema cosinusurilor Y O r l x l u u arccos l l MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS l l arccos l r l l x l y
Exemplu: model geometric invers pentru robot planar (xp,yp) r x y r l u Y O l x u Daca u este diferit de 0 atunci exista valori distincte ale lui, deci doua configuratii posibile in spatiu ale elementelor robotului MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS
Exemplu: model geometric invers pentru robot planar (xp,yp) Gasire : r l u u3 Y O l u3 u x u y arctg x l arccos r l l r MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 3
MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 4 Exemplu: model geometric invers pentru robot planar x Y O l l (xp,yp) Solutii complete r r l l r l arccos x y arctg l l y x l l arccos r l l r l arccos x y arctg l l y x l l arccos
Exemplu: model geometric invers pentru robot planar Observatii: Daca punctul tinta este ales in afara spatiului de lucru, atunci r>l+l si nu exista nici o solutie Daca r=l+l atunci exista o singura solutie Daca r<l+l atunci exista solutii multiple Modelul geometric poate fi utilizat in controlul pe traiectorie, dar nu prezinta nici o facilitate legata de controlul vitezelor de deplasare ale robotului manipulator. MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 5
Modelul cinematic roblemele modelului geometric: neliniaritatea relatiilor {Xp,Yp,Zp}=f(i), i=,,n cu acest model nu se pot controla vitezele de deplasare ale robotului manipulator Modelul cinematic pune in relatie vitezele de rotatie si translatie ale punctului caracteristic in raport cu sistemul de baza. MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 6
Modelul cinematic Cinematica Directa Variabile articulatie (,, Cinematica directa n ) ozitia si orientarea efectorului z y Cinematica inversa x Y ( x, y, z,,, ) Cinematica Inversa MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 7
Obtinerea modelului cinematic rin diferentierea relatiilor care definesc modelul geometric: d dt x y z d dt f f f 3 ( ( (,,,,,, 3 3 3 ) ) ) i-variabile articulatie; {xp, yp, zp}- coordonate punct caracteristic MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 8
Obtinerea modelului cinematic Se obtine: x y z J 3 J matrice Jacobian; Interpretare fizica: relatia arata modul in care fiecare viteza dintr-o articulatie (spatiul articulatiilor) contribuie la viteza finala a manipulatorului in spatiul sarcinii (spatiu operational). x J J... MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 9
MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 30 Matricea Jacobian caz general n 3 3 3 n n f f f f f f f f f J n - numarul gradelor de libertate
Exemplu: robot planar Obtinere matrice Jacobian (xp,yp) l Modelul geometric direct se scrie: Y l Xp=l*cos()+l*cos(+)=f(,) Yp=l*sin()+l*sin(+)=f(,) O x Zp=0 MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 3
MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 3 Exemplu: robot planar Obtinere matrice Jacobian? f? f ) sin( l f ) sin( l ) sin( l f
MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 33 Exemplu: robot planar Obtinere matrice Jacobian 0 0 ) cos( l ) cos( l ) cos( l ) sin( l ) sin( l ) sin( l J
Implicatiile matricii Jacobian! apreciere a modului in care erorile in variabilele articulatie i se transmit la nivelul efectorului X J! Transformarea este neliniara => efectul erorilor va fi diferit pentru diferite pozitii MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 34
Exemplu robot planar (xp,yp) ozitia : =30 grade; =60 grade Y O l x l 0. 0. o o x y ozitia : =45 grade; =30 grade 0.06cm 0.05cm 0. 0. o o x y 0.09cm 0.069cm MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 35
Utilizarile matricii Jacobian. Determinarea singularitatilor. Legatura cupluri articulatie forte efector 3. Conducerea robotului MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 36
Utilizarile matricii Jacobian Determinarea singularitatilor Singularitatile sunt puncte in care robotul isi pierde un grad de libertate instantaneu => efectorul robotului nu se poate misca pe o directie. det(j)=0 => l*l*sin()=0 => =0 grade sau =80 grade Atingerea singularitatilor => scaderea performantelor robotului prin scaderea manevrabilitatii MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 37
Utilizarile matricii Jacobian Legatura cupluri articulatie-forte efector J T F Atingerea singularitatilor => exista directii in care efectorul robotului nu poate exercita forte statice. MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 38
Utilizarile matricii Jacobian Conducerea robotului roblema conducerii: Se dau variatii impuse ale coordonatelor operationale (pozitii si viteze ale efectorului) si se cer variatiile coordonatelor generalizate corespunzatoare (i, di/dt). Formularea conduce la relatia: J () x MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 39
Utilizarile matricii Jacobian Conducerea robotului roblema calculului matricei Jacobian J: dificultate legata de faptul ca J este foarte rar o matrice patrata. x J() J T J T x J T J() T T J J J x J T J - matrice patratica T T J J J - pseudoinversa matricii J MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 40
Utilizarile matricii Jacobian Conducerea robotului x di + - Δx i J - () Δ i Sistem de actionare x i f() i MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 4
Utilizarile matricii Jacobian Conducerea robotului xdi- multimea punctelor traiectoriei dorite Xi- obtinute pe baza modelului geometric direct J(i)- recalculata la fiecare pas de operare Avantaj- simplitatea legii de conducere, modelul cinematic diferential fiind un model liniar. Dezavantaj-efort mare de calcul cerut de calculul inversei matricei Jacobian. MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 4
Modelul dinamic Modelele geometrice si cinematice pornesc de la premisa ca pentru orice configuratie obtinuta de robot este atinsa o stare de echilibru. Aceste modele devin putin reprezentative la viteze si acceleratii mari, cand fortele de inertie, centrifugale si de cuplaj, capata marimi semnificative. MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 43
Modelul dinamic Modelul dinamic este reprezentat analitic printr-un sistem de ecuatii diferentiale care definesc legaturile care apar intre coordonatele generalizate i si derivatele lor, si fortele care actioneaza asupra fiecarui element al configuratiei mecanice. MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 44
MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 45 Deducerea modelului dinamic Metoda Lagrange se defineste Lagrangianul L = Energia Cinetica - Energia potentiala Ecuatiile sistemului dinamic devin:,,...,n i, F L L dt d i i i
Deducerea modelului dinamic Notatii: n nr. gradelor de libertate i coordonate generalizate di/dt viteze generalizate Fi forte generalizate ( pentru articulatii de translatie este o forta, iar pentru cele de rotatie este un cuplu) MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 46
Deducerea modelului dinamic Etape de calcul: - determinarea energiei potentiale in functie de coordonatele generalizate; - determinarea energiei cinetice in functie de coordonatele generalizate; - calculul derivatelor partiale ale Lagrangianului; - legarea derivatelor partiale calculate in modelul dinamic, conform ecuatiilor Lagrange. MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 47
Modelul dinamic Forma finala a modelului dinamic: M() V(,) G() M - matricea maselor elementelor robotului V vectorul termenilor centrifugali si Coriolis G matricea termenilor gravitatiei MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 48
Bibliografie. Murray R.M et al. A mathematical introduction to robotic manipulation, CRC ress, London, 994.. Craig J.J. Introduction to robotics mechanics & control Wesley ublishing Company, Massachusetts, 986. 3. Ivanescu I. Roboti Industriali Editura Universitaria, Craiova 994. 4. oboroniuc M., Controlul robotilor. Controlul miscarii umane prin stimulare electrica functionala, Editura olitehnium, Iasi, 004. MANIULATOARE SI ROBOTI INDUSTRIALI CURS 49