Μαθηματικές Συναντήσεις ΣΗΜΕΙΩΜΑ ο / ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 7 Θέματα Ανάλυσης για διδασκαλία στην τάξη (Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός / εκδοχή η) Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών drizosdim@yahoo.r ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Τ α θέματα του παρόντος σημειώματος Μαθηματικών Συναντήσεων εντάσσονται στην ύλη του Διαφορικού και Ολοκληρωτικού Λογισμού, των Μαθηματικών Προσανατολισμού Γ τάξης Γενικού Λυκείου και εκπονήθηκαν για να υποστηρίξουν διδασκαλίες που στοχεύουν στην εμπέδωση, την εμβάθυνση και τη λειτουργική διασύνδεση βασικών εννοιών και προτάσεων από τα κεφάλαια αυτά. Η βασική ιδέα των περισσοτέρων θεμάτων του σημειώματος εστιάζεται είτε στον ορισμό του (ολικού) ακροτάτου μιας συνάρτησης είτε στη σχέση η οποία περιγράφει αλγεβρικά τη θέση της γραφικής παράστασης μιας κυρτής ή κοίλης συνάρτησης ως προς την εφαπτομένη σε κάποιο σημείο της. Να σημειώσουμε εδώ ότι, τα τέσσερα πρώτα θέματα αποτελούν ουσιαστικά εκδοχές του ίδιου θέματος, καθώς, το μόνο που τα ξεχωρίζει μεταξύ τους είναι βασικά οι διαφορετικοί τύποι των συναρτήσεων και που δίνονται εξαρχής. Αυτονόητες επισημάνσεις Ένα θέμα μαθηματικών σε καμιά περίπτωση δεν έχει μια μοναδική τελική μορφή αναφορικά με το πλήθος αλλά και το βάθος των ερωτημάτων που το συγκροτούν: Όλα εξαρτώνται από τους διδακτικούς ή/και εξεταστικούς στόχους για τους οποίους φτιάχνουμε ένα θέμα, από το γνωστικό επίπεδο των μαθητών που θα κληθούν να το διαπραγματευθούν, καθώς και από την εμπειρία και τη μαθηματική διαίσθηση αυτών που το δημιουργούν. Κρίνουμε σκόπιμο να σημειώσουμε εδώ ότι, τα θέματα του παρόντος σημειώματος θα μπορούσαν να αναδιαμορφωθούν αλλά και να εμπλουτισθούν και με δικά σας ερωτήματα, ώστε να συνταιριάζουν περισσότερο προς το επίπεδο και τους στόχους των μαθητών σας. Δ. Ντρίζος, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών / 7-8
ΘΕΜΑΤΑ (-) Θέμα ο Δίνονται οι συναρτήσεις = και ( e )( e ) e α) Να αποδείξετε ότι ( ) + για κάθε R = + +, R β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία, και να αποδείξετε ότι υ- πάρχει μοναδικό, = τέτοιο, ώστε γ) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα Θέμα ο ln d Δίνονται οι συναρτήσεις ( ) = + και = ( + ln )( + ), (, + ) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε (, + ) = β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικό (,) τέτοιο, ώστε γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία Θέμα 3 ο d = ln, + Δίνονται οι συναρτήσεις = ln + και = ( ln + ) ln, (, + ) α) Να αποδείξετε ότι για κάθε β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία, και να βρείτε το σύνολο τιμών της. γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία δ) Αν A είναι το σημείο και B( e, ( e )), να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τηc και το ευθύγραμμο τμήμα AB. Δ. Ντρίζος, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών / 7-8
Θέμα 4 ο Δίνονται οι συναρτήσεις e = + και = e e +, R α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. β) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση αντιστρέφεται, και να βρείτε το σύνολο τιμών της. γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία δ) Αν Ε( Ω) είναι το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, τους άξονες και yy και την ευθεία =, τότε να αποδείξετε ότι Ε( Ω) < ( e ) Θέμα 5 ο Δίνονται οι συναρτήσεις: ( ) ln e =, (, + ) και =, (, + ) α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία και την κυρτότητα. β) Να βρείτε το σημείο της γραφικής παράστασης της στο οποίο η εφαπτομένη της διέρχεται από το σημείο Α (,3). Στη συνέχεια, να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στο σημείο αυτό. + 3 =,, + έχει ακριβώς γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση μία ρίζα ρ στο διάστημα (,e ). lim =, όπου ρ η ρίζα της εξίσωσης του ερωτή- ρ ( ) ( ρ ) ματος (γ) στο διάστημα (,e ). Θέμα 6 ο Έστω συνάρτηση :(, + ) R για την οποία ισχύει: = και + = για κάθε (, + ) Δ. Ντρίζος, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών / 7-8
ln α) Να αποδείξετε ότι =, (, + ) β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την κυρτότητα και να αποδείξετε ότι η C έχει ένα μόνο σημείο καμπής. γ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C η οποία διέρχεται από το σημείο A(, ) δ) Να υπολογίσετε το lim ln + Θέμα 7 ο Έστω συνάρτηση : R R η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο R, με συνεχή δεύτερη παράγωγο και τέτοια, ώστε: + ( 3) ( 3) = για κάθε R α) Να αποδείξετε ότι η δεν είναι συνάρτηση β) Να αποδείξετε ότι η έχει ένα ακριβώς κρίσιμο σημείο στο R γ) Να εξετάσετε την ως προς την κυρτότητα και, στη συνέχεια, να υπολογίσετε το lim + 4 3 d< Θέμα 8 ο d Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση :(, + ) R η οποία για κάθε (, ) + ικανοποιεί τις σχέσεις: 3 + = + = Δ. Ντρίζος, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών / 7-8
Θεωρούμε επίσης και τη συνάρτηση =, (, + ) α) Να αποδείξετε ότι =, (, + ) β) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει σημείο της γραφικής παράστασης της στο ο- ποίο να ορίζεται εφαπτομένη που να είναι παράλληλη προς οποιαδήποτε εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της α = β α γ) Αν για τους θετικούς αριθμούς α, β, γ ισχύουν β = γ β γ = α γ να αποδείξετε ότι α= β= γ= Σχόλιο Το ερώτημα γ) αντιμετωπίζεται και αλγεβρικά, και μάλιστα εντελώς ανεξάρτητα από το πλαίσιο του παραπάνω 8 ου θέματος. Θέμα 9 ο Δίνεται η συνάρτηση = ln, (, + ) α) Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται και να βρείτε τον τύπο της e β) Να αποδείξετε ότι + για κάθε (, + ) e γ) Να αποδείξετε ότι e d e δ) Να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση. Θέμα ο Δίνεται η συνάρτηση = 4 e + 3, R α) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την κυρτότητα και να αποδείξετε ότι η γραφική της παράσταση έχει ένα μόνο σημείο καμπής. Δ. Ντρίζος, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών / 7-8
β) Να αποδείξετε ότι κάθε παράγουσα F της είναι κυρτή συνάρτηση. γ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της, την εφαπτομένη της στο σημείο καμπής της, τον άξονα yy και την ευθεία = 4 Θέμα ο Έστω συνάρτηση :(, ) R + Rτέτοια, ώστε ( e ) ( e )( e ) α) Να αποδείξετε ότι = ( + ln )( + ), (, + ) = + + για κάθε β) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς τη μονοτονία, και να αποδείξετε ότι υ- πάρχει μοναδικό, = τέτοιο, ώστε γ) Να μελετήσετε τη συνάρτηση ως προς την κυρτότητα και να βρείτε τα σημεία Θέμα ο Δίνεται η συνάρτηση d = ln = +, R α) Να αποδείξετε ότι το σημείο της γραφικής παράστασης C της συνάρτησης που απέχει από το σημείο ( 5,) Α τη μικρότερη απόσταση είναι το (,) Μ. γ) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας β) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου Ω που περικλείεται από την C, τον ά- ξονα, τον άξονα yy και το ευθύγραμμο τμήμα ΑΜ. ε που διέρχεται από το σημείο Μ και χωρίζει το χωρίο Ω σε δύο ισεμβαδικά χωρία. β α ln d > ln, όπου < α< β Η ΕΠΟΜΕΝΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Η επόμενη ενότητα θεμάτων Ανάλυσης θα δημοσιευτεί στο 3 ο τεύχος του Ευκλείδη Β (Άνοιξη 8), με τίτλο Θεματικές διαδρομές στην Ανάλυση: Μία πορεία από τον Διαφορικό στον Ολοκληρωτικό Λογισμό. Δ. Ντρίζος, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών / 7-8