TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi a ucţiilor de producţie Cobb-Douglas Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale derivatelor parţiale Aalia problemelor de mimi şi maim petru ucţii de două variabile Coțiut: 9.1 Proprietăţile ucţiilor de mai multe variabile 78 9. Fucţii de utilitate 78 9.3 Fucţii de producţie Cobb-Douglas 79 9.4 Derivate parţiale 79 9.5 Miim şi maim petru ucţii de două variabile 80 9.6 Cocepte cheie 81
78 MODULUL 5: MODELE MULTIDIMENSIONALE 9.1 Proprietățile ucțiilor de mai multe variabile o ucţie cu domeiul de deiiţie : R R R care asociaă iecărei perechi de valori reale ( ) o valoare reală. Spuem că este o ucţie de două variabile. Variabilele şi se umesc variabile idepedete iar se umeşte variabilă depedetă. Graicul ucţiei ( ) va i repreetat î spaţiul aelor de coordoate. Cosiderâd plaurile aelor de coordoate şi perpediculare două câte două u puct di acest spaţiu va i deiit de trei coordoate P( 0 0 0 ) aşa ca î Figura 9.1. Graicul uei ucţii de două variabile se prepreită î spaţiul tridimesioal (3D) pritr-o supraaţă. Fie ( ) 0 P( 0 0 0 ) 0 0 Fiid dată ucţia ( ) Figura 9.1: Repreetarea uui puct î spaţiul 3D valoarea ucţiei petru valorile ( 0 0 ) este: ( ). 0 0 0 Î geeral o ucţie cu variabile idepedete... ) ( 1 1 este o ucţie de orma:... deiită pe spaţiul -dimesioal R R R... R şi cu valori R. Cu toate că u mai putem repreeta graic ucţiile cu trei sau mai multe variabile aplicaţiile ecoomice ale acestora sut oarte umeroase. 9. Fucții de utilitate Cosiderăm ucţia: U ( ) care repreită utilitatea sau satisacţia petru u aumit cosumator ca urmare a utiliării (cosumului) a două buuri X şi Y ude şi repreită catităţile utilioate (cosumate) di cele două produse X şi Y.
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 79 Presupuâd ucţia de utilitate U cotiuă o aumită valoare de utilitate poate i obţiută ditr-o iiitate de combiaţii ale lui şi. Graicul tuturor puctelor ( ) care dau aceeaşi valoare de utilitate se umeşte curbă de idiereţă. 9.3 Fucții de producție Cobb Douglas O ucţie de producţie de tip Cobb-Douglas petru o aumită irmă este o ucţie de două variabile de orma: ude: Q este catitatea de producţie (î uităţi de produs) A este o costată ce depide de iecare irmă K este capitalul ivestit al irmei (î u.m.) L este catitatea de mucă (î ore) α este o costată 0 < α < 1. α 1 α Q A K L (9.1) 9.4 Derivate parțiale Dacă ( ) este o ucţie de două variabile atuci derivatele parţiale ale ucţiei sut respectiv: - derivata parţială a lui î raport cu - derivata parţială a lui î raport cu. Petru derivatele parţiale se mai olosesc şi următoarele otaţii echivalete: ( ) ( ) - petru derivata parţială a lui î raport cu ( ) ( ) - petru derivata parţială a lui î raport cu. Derivata parţială î raport cu o variabilă se obţie cosiderâd cealaltă variabilă ca iid costată şi aplicâd apoi regulile de derivare. Valoarea derivatelor parţiale î puctul ( 0 0 ) sut respectiv: ( 0 0) ) ( 0 0 ( 0 0). ) ( 0 0
80 MODULUL 5: MODELE MULTIDIMENSIONALE Petru o ucţie de două variabile ( ) derivatele parţiale de ordiul ale ucţiei sut respectiv:. Î geeral petru determiarea derivatei parţiale de ordiul avem: 1 1 9.5 Miim şi maim petru ucții de două variabile Petru ucţiile de două variabile vom aalia î cotiuare problema determiării puctelor critice respectiv ale puctelor de miim şi de maim dacă acestea eistă. Vom determia puctele critice ără a deii restricţii suplimetare petru ucţiile aaliate. Fie ( ) o ucţie de două variabile petru care derivatele de ordiul îtâi se auleaă î puctul ( 0 0 ) adică: 0 şi presupuem că derivatele parţiale de ordiul ale lui sut cotiue. Petru determiarea puctelor critice ale ucţiei ( ) se aplică următorul algoritm: [P1]: Determiăm epresia: D. (9.) [P]: Dacă 0 D şi 0 0 î ( 0 0 ) atuci avem u miim î ( 0 0 ). [P3]: Dacă 0 D şi 0 0 < < î ( 0 0 ) atuci avem u maim î ( 0 0 ). [P4]: Dacă 0 < D î ( 0 0 ) atuci u avem ici miim şi ici maim î ( 0 0 ). Puctul ( 0 0 ) se umeşte puct şa. [P5]: Dacă 0 D î ( 0 0 ) atuci ucţia trebuie aaliată îtr-o veciătate a puctului ( 0 0 ).
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 81 9.6 Cocepte cheie Fucţie de două variabile Fucţie de variabile Fucţie de utilitate Curbă de idiereţă Fucţie de producţie de tip Cobb-Douglas Derivate parţiale Derivate parţiale de ordiul Derivate parţiale de ordiul Puct de miim / maim Puct şa
8 MODULUL 5: MODELE MULTIDIMENSIONALE