ECUATII NELINIARE PE R
|
|
|
- Τρίτων Κολιάτσος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. ECUATII NELINIARE PE R. CONSIDERATII GENERALE Se vor studia urmatoarele probleme:. Radaciile uei ecuatii eliiare de orma. Radaciile uei ecuatii eliiare de orma Notatie: O radacia se va ota cu,. METODA DE REZOLVARE Radaciile se vor asi pritr-u proces iterativ: se costruieste u sir,,..., coveret spre radacia cautata. Termeii acetui sir reprezita aproimatii ale radaciii si se vor umi iterate. Metoda cere ua sau mai multe aproimatii iitiale ale radaciii, aceste aproimatii se vor presupue cuoscute. Aceste aproimatii se asesc pri metode alebrice. De eemplu stabilid itervale care coti radaciile, pri ispectarea raicului uctiei.. Aaliza metodei Aaliza metodei trebuie sa dea raspus la urmatoarele probleme:. Daca procesul iterativ este coveret.. Daca iteratia covere, care este rapiditatea coveretei. 3. Care este eroarea radaciii calculate. 4. Aprecierea eicietei metodei. Detalieri: Problemele si : I majoritatea metodelor covereta este asiurata daca aproimatia iitiala este suiciet de apropiata de radacia, i putie cazuri iteratia covere idepedet de aproimatia iitiala.
2 ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. 3 Presupuid ca iteratia covere, eroarea radaciii depide umai de precizia utilizata i calcule umarul de cire di reprezetaeea umerelor. Altel spus precizia radaciii este determiata de eroarea de rotujire ditr-u siur pas al iteratiei. 4 Eicieta se masoara i umarul de calcule pasi ecesare petru a obtie radacia cu o precizie data si aume: Petru metodele care cover idepedet de aproimatia iitiala, eicieta este data de rapiditatea coveretei. Petru metodele care depid de aproimatia iitiala, daca u se cuoaste o aproimatie bua a radaciii se aplica u procedeu care covere idepedet de aproimatia iitiala determiid astel o aproimatie iitiala, dupa care se trece la o metoda rapid covereta.. Ordi de covereta Deiitia : Fie sirul de iterate si presupuem ca sirul este coveret spre umarul,. Daca esista u umar real p, p R, p si eista u umar c pozitiv petru orice umar atural c >, astel icit: atuci se zice ca sirul rata coveretei. p c covere catre, cu ordiul p. Costata c se umeste I eeral ordiul p si rata c sut idicatori de viteza a coveretei sirului spre radacia. Observatie: Petru p,,3 covereta se zice liiara, patratica si cubica respectiv. Teorema: Cazul p. Covereta liiara Daca c, < c < astel icit atuci sirul c covere liiar catre umarul.
3 ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. Demostratie: I baza relatiei avem succesiv petru,,,... c c... 3 c c Imultid membru cu membru i relatiile 3 obtiem: c 4 Cum < c < rezulta ca c si pri urmare sau. Observatii: Petru covereta coditia suicieta trebuie sa aiba loc cu c< strict. Aceasta u este ecesar petru p>. Daca c< sirul covere idepedet de, deci idepedet de. Aceasta u are loc petru p>. 3. RADACINILE UNEI ECUATII NELINIARE DE FORMA Petru metodele umerice ce urmeaza vom presupue ca este radacia simpla. Cazul radaciilor multiple se vor trata ulterior. 3. Metoda bisectiei Ipoteze Presupue ca uctia este cotiua pe itervalul compact [ a, b] si luid valori de seme opuse la capetele itervalului: a b < 5 I aceste coditii rezulta ca ecuatia are cel puti o radacia i a,b. Vom presupue i cotiuare ca eista o siura radacia i iteriorul acestui iterval a,b.
4 ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. Metoda Metoda costa i ijumatatirea succesiva a itervalului si cosiderarea la iecare pas a sub-itervalului i care coditia 5 este idepliita. y b a c b a b-a/ Fi.. Metoda bisectiei Sub-itervalul, i care se ala radacia, este luat ca iterval "[a,b]" si procesul cotiua obtiid itervale de luime di ce i ce mai mica, care coti radacia. Procesul se opreste cid luimea itervalului este mai mica decit o tolerata data. Uzual se prescrie si u umar limita de iteratii. Aloritmul metodei -umele uctiei a,b capetele itervalului ε-tolerata de calcul lit-umarul limita e iteratiiitrare/umarul eectiv de iteratii iesire. rad-radacia calculata kod-cod icheiere a iteratiei. Iitializeaza cotorul de iteratii: iter. Icremeteaza cotorul: iteriter 3. Deieste cab/ 4. Testeaza umarul de iteratii: daca iter>lit, atuci pue radc, lititer, kod si IESIRE. 5. Daca b-c ε atuci: Pue radc, lititer, IESIRE. ALTFEL Daca sibc< atuci: pue ac ALTFEL bc 6. GOTO
5 ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. Covereta Metoda costruieste sirul de iterate pucte c,c,..., c,... Fi.. y b -c a c c 3 c b a b-a/ Fi.. Studiul coveretei i metoda bisectiei. Observid ca la iecare pas iteratie avem: rezulta: c c... c b j a j c j 6 b a b a 7 b a b a Rezulta ca c sau ca c cid. Observatie: I coormitate cu deiitia, zicem ca bisectia covere liiar cu rata /. Di relatia 7 se poate deduce umarul de iteratii suuciet petru a avea o eroare absoluta mai mica decit o tolerata de calcul data ε. b a ε b a lo 8 ε Avataj: Eroarea descreste mooto cu iecare pas. Dezavataj: Covereta este iceata.
6 ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R Metoda alsei pozitii Reula FALSI Ipoteze: Aceleasi ca si i metoda bisectiei. Metoda Se ia ca aproimatie a radaciii, itersectia cu aa a dreptei care ueste puctele a,a, b,b. Se cosidera itervalul i care ia valori de seme opuse si se cotiua procedeul. y b a c c b a Formula metodei: Fi.3. Reula FALSI Itersectid dreapta de ecuatie: y b b a b b a 9 cu dreapta de ecuatie y aa si puid c rezulta: c b b b a b a Covereta: Metoda costruieste siul c,c,..., c,... Fi.3. Se arata ca: Metoda covere liiar, i ipoteza ca eista derivatele ' si '' cotiue pe [a,b]. Rata coveretei depide atit de cit si de aleerea itervalului [a,b].
7 ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. Dezavataje: Sirul c i se apropie de ditr-o siura parte a sau b rami aceleasi la iecare pas. Testul de eroare poate i iadecvat: eroarea c se ilocuieste cu ci ci, care poate i mult mai mare sau mult mai mic decit eroarea. Observatie: Metoda ilocuieste raicul uctiei, i veciatatea radaciii cu o liie dreapta. 3.3 Metoda secatei Ipoteze Se cuosc doua aproimatii iitiale ale radaciii, si. Ele pot icadra radacia, sau pot i de aceeasi parte a radaciii. Metoda Graicul lui se ilocuieste cu o liie dreapta si aume secata pri puctele, si,. Itersectia secatei cu aa va i puctul. La pasul urmator se cotiua procesul, luid ca aproimatii si. Observatie: I ipoteza ca si icadreaza radacia, daca s-ar lua ca aproimatii si s-ar obtie reula FALSI. y 3 Fi.4. Metoda secatei.
8 ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. Formula metodei Pritr-u calcul aalo cu cel de la reula FALSI cu a, b si c se obtie: sau i eeral:,,, date Covereta Metoda costruieste sirul de iterate,,,..., -,,,...Fi.4. Teorema Daca: Atuci. Fuctia este cotiua si eista derivatele de ordiul si ', '' cotiue pe o veciatate a lui,. ' 3. si sut suiciet de apropiate de, a Sirul 5 b Ordiul de covereta este p. 68 Demostratie: Demostratia se bazeaza pe urmatoarea evaluare: '' η 3 ' ξ i care ξ si η sut itr-o veciatate cureta a radaciii, care cotie pe - si. Fie aceasta veciatate si [ ε, ε ] Notam I. M eista coorm ipotezei. Rezulta atuci ca: ma '' I M 4 mi ' I
9 ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. 5 M sau otid cu e avem: sau, imultid ambii termei cu M: e Me e 6 Me Me Me 7 Daca presupuem ca avem Me < si Me < rezulta pri iductie ca Me <. Relatia 7 arata cit de "aproape" de trebuie sa ie si si aume: < M 8 < M Observatii asupra metodei secatei: Avataje: metoda cere umai o evaluare a lui la u pas si aumke, itrucit - este calculat la pasul aterior si poate i stocat. Covereta este mult mai rapida decit a metodelor aterioare la care p. Trei pasi ai metodei secatei au u ordi de covereta de , adica echivaleta cu doi pasi ai uei metode patratice 4. Dezavataje: Metoda u covere daca si u sut suiciet de apropiati de. Fractiile pot da valori imprecise datorita pierderii de semiicatie la umarator si la umitor, petru mare, cid si - au valori apropiate. 3.4 Metoda Newto Ipoteze. cotiua, ','' cotiue pe o veciatate a radaciii cautate. Se presupue cuoscuta o aproimatie iitiala a radaciii. ' Metoda:
10 ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. Graicul uctiei se ilocuieste cu taeta la raicul uctiei i aproimatia iitialapresupusa cuoscuta, itersectia taetei cu aa este luata ca aproimatie urmatoare a radaciii. Procedeul cotiua cu astel determiat. y Fi.5. Metoda Newto ' y y ' 9 Formula metodei Sirul de iterate Covereta se obtie i baza urmatoarei relatii de recureta: ',, cuoscut Dezvoltid i serie Taylor uctia i veciatatea radaciii cautate obtiem: ' '!! '' '' ξ ξ
11 ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. Eplicitid pe di al II-lea terme se obtie: si pri eeralizare: ' ξ ' '' ' ξ < ' '', ξ < si tiid seama de relatia de recureta rezulta: ξ, < ' 3 '' ; ξ < 4 Observatie-Studiul de covereta: Relatia 4 eprima eroarea iteratiei de ordiul i uctie de eroarea iteratiei de ordi. Teorema Fie o radacia a ecuatiei Daca:..,','' sut uctii cotiue pe o veciatate a radaciii, I { < ε}. ' 3. aproimatia iitiala este aleasa suiciet de aproape de radacia cautata. Atuci: a Iteratele deiite de relatia se reasesc i I b Sirul covere spre c ordiul de covereta este p d lim '' ' Estimarea erorii Aplicid ormula cresterilor iite a lui Larae obtiem:
12 ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. ' ξ ' ξ Astel petru "mare" apropiat de : ' 5 6 Pri urmare testul de covereta < ε poate i ilocuit cu < ε. Comparatia metodei Newto cu metoda secatei Criteriul de comparatie va i timpul de calcul ecesar petru asirea radaciii cu o tolerata data. Metoda Newto ace mai multe calcule pe u pas: se evalueaza si '. Metoda secatei evalueaza umai, presupuid ca este stocat. aterior Metoda Newto cere mai putie iteratii, ordiul ei este p N. Metoda secatei are ordiul de covereta p S.68 si trei pasi ai metodei sut echivaleti cu pasi ai metodei Newto. Se arata ca Isaacso&Keller daca timpul de calcul al lui ' este mai mare decit.44*timpul de calcul al lui metoda secatei este mai rapida. Observatie: Timpul de calcul u este uicul criteriu i aleerea metodei. Metoda Newto prezita avatajul simplitatii i aplicare. Daca u este cuoscuta eplicit de eemplu ea este solutia uei ecuatii dieretiale iterate umeric atuci derivata se calculeaza umeric. Daca luam urmatoarea epresie petru calculul umeric al derivatei: ' 7 atuci metoda Newto se reduce la metoda secatei. 4. RADACINILE UNEI ECUATII DE FORMA XGX. METODA PUNCTULUI FIX. Cosideram rezolvarea uei ecuatii de orma:
13 ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. 8 Radacia a ecuatiei se umeste puctul i al aplicatiei :. Metoda puctului i iteratia de puct i costa i costruirea sirului: dat aproimatia iitiala a radaciii, ; 9 Daca uctia satisace coditiile:. aplica u compact C R i el isusi,. aplicatia este cotractata atuci petru orice C sirul C al aplicatiei. I plus, puctul i este uic i C. deiit de relatia 9 covere catre puctul i 4. Teoreme de puct i Teorema. Lema Fie : [ a, b] [ a, b], cotiua pe [ a, b]. Atuci are cel putib u puct i i [ b] Observatie: Coditia [ a, b] [ a, b] : este esetiala. Eplicit aceasta iseama: [ a, b], [ a, b] sau a b a,. 3 b y y y b a a a b Fi.6. Demostratie:
14 ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. Se cosidera uctia cotiua I ipotezele teoremei avem: G G 3 a a a b b G b Rezula astel ca ecuatia G are cel puti o radacia i itervalul [a, b]. Observatie: Geometric, a rezolva ecuatia revie la a asi itersectia raicului uctiei cu prima bisectoare. 3 Teorema. Aplicatie cotractata. Daca. [ a, b] [ a, b] :, este cotiua pe [a, b].., < < astel icit: Atuci a Ecuatia, ' [ a, b], ' '. are o solutie uica [ a,b] b [ a, b] sirul covere catre, ordiul de covereta este p. c,. Observatie: Ipoteza iseama ca uctia veriica coditia lui Lipschitz cu costata <. Rezulta ca: adica aplicatia este cotractata. [ a, b], ' ', ' 33 Demostratie
15 ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. a Coorm Teoremei, ecutia are cel puti o solutie i [a,b]. Demostram pri cotradictie ca solutia este uica. Presupuem ca eista doua solutii si β, β: Avem: β β β β 34 β 35 Cum β care cotrazice ipoteza <. b Aratam ca avem relatia: de ude cu, rezulta ca sau. 36 Itr-adevar, avem succesiv: Imultid membru cu membru rezulta relatia 36. Pe de alta parte relatia 37 arata ca ordiul de covereta este p si rata coveretei este. c Veriicam iealitatea petru. Tiid cot ca, avem: si 38 de ude rezulta: Avem apoi: petru : petru : 39 4
16 ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. 4 Cocluzia c rezulta pri iductie. Cazul derivabila. Veriicarea coditiei Lipschitz este, i eeral, diicila. Vom cosidera i cotiuare cazul i care este derivabila pe [a,b]. I acest caz, teorema cresterilor iite coduce la: Daca derivata ' este mariita: rezulta ca ' ' ' ξ 4, [ a b] ', 43 ' ' Este suiciet sa avem < petru ca ipoteza sa ie realizata. 44 Teorema ' Daca. [ a, b] [ a, b] :, este cotiua pe [a, b]. '. [ a, b], ' < Atuci Cocluziile a, b si c di Teorema sut adevarate. Observatie asupra coditiei ' Daca costata di ' u este < u au loc cocluziile a-c. I particular, daca ' >, atuci avem pe o veciatate a lui : >, ρ, ρ I ' Cu I sirul NU CONVERGE. Itr-adevar cu I avem: ' ξ ude ξ este situat itre si. Coorm ipotezei rezulta: > >... >
17 ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. I cosecita u putem avea < φ si deci u covere. 4.. Iterpretarea eometrica a metodei puctului i Geometric, rezolvarea ecuatiei revie la itersectia raicului lui, y cu prima bisectoare y. I iurile 7 si 8 este prezetat cazul coveretei ' <. I iurile 9 si este prezetat cazul divereetei ' >. y y y Fi. 7. Covereta: < ' < y y y Fi. 8. Covereta: < ' <
18 ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. y y y Fi. 9. Divereta: ' < y y y Fi.. Divereta: ' > 4.3 Evaluarea erorii i metoda puctului i I eeral, eroarea iteratei, se eprima i uctie de, adica diereta ditre iterata cureta si iterata aetrioara. De eemplu i metoda Newto. I metoda puctului i, aceasta u mai este valabila. Cosideram
19 ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. iteratia de puct i, i care uctia satisace coditiile di Teorema sau '. Avem urmatoarele evaluari: Apoi cu rezulta Astel petru a determia radacia cu o eroare ε prescrisa ε este suiciet a lua: adica ε 48 XTOL 49 ε 4.4 Proceduri eplicite de puct i Deiirea problemei Se cere rezolvarea ecuatiei i itervalul [a,b], pri metoda puctului i, adica trasormarea ecuatiei itr-o ecuatie echivaleta de orma. O astel de trasormare va i umita procedura eplicita de puct i Proceduri Propozitia Fie Φ orice uctie deiita pe [a,b] cotiua si care u se auleaza pe [a,b]. Atuci deiid: Φ 5 ecuatia are aceleasi radacii ca si ecuatia si u are alte radacii i [a,b].
20 ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. Propozitia Fie F orice uctie cotiua, cu proprietatile F si y Fy. Atuci deiid cocluzia di Propozitia are loc. F 5 Eempliicare Cea mai simpla aleere a lui Φ i propozitia este Φ Cu aceasta rezulta Presupuem ca este derivabila, avem: m, m costat: Φ 5 ' m 53 m ' 54 Coditia de covereta este ca itr-o veciatate a lui, sa avem: care coduce la Se va presupue ca ', rezulta ca. m trebuie sa aiba acelasi sem cu '.. Daca '> trebuie ca: 3. Daca '< trebuie ca Iterpretare eometrica ' < 55 < m ' < 56 < m < 57 ' > m > 58 ' Schema de iterare este: sau eeric m 59
21 ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. m 6 este itersectia aei cu dreapta dusa pri puctul, de pata /m. Observatie: m-optim Petru o covereta mai rapisa vom cere ca ' ceea ce coduce la m 6 ' Itrucit u este cuoscut, vom lua m opt presupuid ca este apropiat de. ' y y/m y Fi.. Proceduri eplicite de pucte i. 5. EXTRAPOLAREA AITKEN Etrapolarea accelerarea Aitke este u procedeu petru accelerarea coveretei uui sir care covere liiar, oricare ar i procesul care eereaza sirul. Procedeul va i aplicat petru accelerarea coveretei iteratiei de puct i i cazul i care covereta este de ordiul.
22 ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. Presupuem ca sirul covere catre si C lim, C este costata erorii asimptotice. I particular daca este derivabila si cu derivata cotiua, ' C. Presupuem atuci ca de la u aumit, de eemplu N avem:, N C Avem atuci urmatoarea relatie: 6 Rezolvam i raport cu, de eemplu pri sir de rapoarte eale: de ude rezulta: 65 Asa, cum s-a remarcat ealitatea aterioara este aproimativa depizid de satisacerea relatiei 6. Notid:, a 66 rezulta ca, a este o aproimatie a radaciii, a. Procesul iterativ va i atuci urmatorul:, 3 3, , 3 ; ;... ; ; ; ; a a a dat 67 Observatii:
23 ANALIZA NUMERICA-ECUATII NELINIARE PE R. Aproimatia a, a radaciii, va i mult mai bua decit. Gradul de aproimatie a lui a, depide umai de radul de satisacere a relatiei 6. Nu si de marimea lui C.. Fie o uctie data pri tabelul valorilor i puctele k obisuit alese echdistate. Deiim diereta iaite a uctiei, i, pri: si diereta de ordiul pri: Puid k k rezulta: Cu aceasta ormula 66 se scrie: a, 7 7
a) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală
6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR ŞI SISTEMELOR DE ECUAŢII ALGEBRICE NELINIARE
REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR ŞI SISTEMELOR DE ECUAŢII ALGEBRICE NELINIARE Forma geerală a ecuaţiei: cu : I R R Î particular poliom / adus la o ormă poliomială dar şi ecuaţiile trascedete Rezolvarea
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5..8 Ecuaţia difereţială Riccati Ecuaţia difereţială de ordiul îtâi de forma: d q( ) p( ) r( ) d + + (4) r sut fucţii cotiue pe u iterval, cuoscute, iar fucţia ude q( ), p ( ) şi ( ) este ecuoscuta se
Ministerul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Inegalitati. I. Monotonia functiilor
Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
4. Ecuaţii diferenţiale de ordin superior
4.. Ecuaţii liiare 4. Ecuaţii difereţiale de ordi superior O problemã iportatã este rezolvarea ecuaţiilor difereţiale de ordi mai mare ca. Sut puţie ecuaţiile petru care se poate preciza forma aaliticã
Olimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Analiza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011
Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila
sistemelor de algebrice liniarel
Uivesitatea Tehică a Moldovei Facultatea de Eergetică Catedra Electroeergetica Soluţioarea sistemelor de ecuaţii algebrice liiarel lect.uiv. Victor Gropa «Programarea si Utilizarea Calculatoarelor I» Cupris
Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica
Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport
Curs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
3. Serii de puteri. Serii Taylor. Aplicaţii.
Fucţiile f ( ) cos t = sut de clasă C pe R cu α si derivatelor satisface codiţiile: α f ' ( ) si = şi seria ' ( ), α α f R cu = b α ' coverge petru α > f este (ormal covergetă) absolut şi uiform covergetă
(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
PENTRU CERCURILE DE ELEVI
122 Petru cercurile de elevi PENTRU CERCURILE DE ELEVI Petru N, otăm: POLINOAME CICLOTOMICE Marcel Ţea 1) U = x C x = 1} = cos 2kπ + i si 2kπ } k = 0, 1. Mulţimea U se umeşte mulţimea rădăciilor de ordi
CAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ
CAPITOLUL IV CALCULUL DIFEENŢIAL PENTU FUNCŢII EALE DE O VAIABILA EALĂ Fucţii derivabile Fucţii difereţiabile Derivata şi difereţiala sut duă ccepte fudametale ale matematicii, care reprezită siteză pe
ŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE
8. ŞIRURI DE VARIABILE ALEATOARE. PROBLEME ASIMPTOTICE 8.. Şiruri de variabile aleatoare Î teoria probabilităţilor şi î aplicaţiile ei o problemă importată o costituie studiul şirurilor de variabile aleatoare,
REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR ŞI SISTEMELOR DE ECUAŢII DIFERENŢIALE ORDINARE
REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR ŞI SISTEMELOR DE ECUAŢII DIFERENŢIALE ORDINARE. Aspecte itroductive Studiul comportametului diamic al sistemelor fizice modele matematice sub forma ecuaţiilor sau sistemelor
REZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita
![REZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita](/thumbs/75/72305087.jpg "REZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita")
REZUMAT CURS 3. Clse de uctii itegrbile Teorem.. Dc :, b] R este cotiu tuci este itegrbil pe, b]. Teorem.2. Dc :, b] R este mooto tuci este itegrbil pe, b]. 2. Sume Riem. Criteriul de itegrbilitte Riem
CURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică
Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul
Analiza bivariata a datelor
Aaliza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor! Presupue masurarea gradului de asoiere a doua variabile sub aspetul: Diretiei (aturii) Itesitatii Semifiatiei statistie Variabilele omiale Tabele
Laborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale
Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode
5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Formula lui Taylor. 25 februarie 2017
Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =
SUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare
SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.
lim = dacă se aplică teorema lui 3. Derivate de ordin superior. Aplicaţii.
5 Petru limita determiată: 2 + lim = dacă se aplică terema lui LHspital: 2 + 2 lim = lim = rezultatul este icrect. 3. Derivate de rdi superir. Aplicaţii. Fie A R mulţime care îşi cţie puctele de acumulare
Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Sunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
COMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi
OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete
6.1. DERIVATE ŞI DIFERENŢIALE PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILĂ REALĂ. APLICAŢII
7 7 Modulul 6 APLICAŢII DIFERENŢIABILE Subiecte : Derivate şi difereţiale petru fucţii reale de o variabilă reală Formula lui Taylor şi Mac-Lauri petru fucţii de o variabilă reală Serii Taylor 3 Derivate
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Universitatea Dunărea de Jos METODE NUMERICE. Gabriel FRUMUŞANU
Uiversitatea Duărea de Jos METODE NUMERICE Gabriel FRUMUŞANU Galaţi - 8 Departametul petru Îvăţămât la Distaţă şi cu Frecveţă Redusă Facultatea de Mecaica Specializarea Igierie ecoomica si idustriala Aul
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
5.1. ŞIRURI DE FUNCŢII
Modulul 5 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII Subiecte :. Şiruri de fucţii.. Serii de fucţii. 3. Serii de puteri. Evaluare :. Covergeţa puctuală şi covergeţa uiformă la şiruri şi serii de fucţii.. Teorema lui Abel.
Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.
Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu
Statisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5
Statisticǎ - curs Cupris Parametrii şi statistici ai tediţei cetrale Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 3 Parametrii şi statistici factoriali ai variaţei 8 4 Parametrii şi statistici ale poziţiei
1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE Noţiui teoretice şi rezultate fudametale Şiruri de umere reale Presupuem cuoscute oţiuile de bază despre mulţimea N a umerelor aturale, mulţimea Z a umerelor îtregi, mulţimea
Varianta 1 - rezolvari mate MT1
Variata - rezolvari mate MT Soluţii a + a + a + ; + 5 + 9 + + a + ; ; a + a ; a,, ;, y >, y + ; f :,,, f submulţimi cu trei elemete C 5 m + + m 6 cos ; m ± 6+ cos cos a Calcul direct b Se demostrează pri
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Polinoame Fibonacci, polinoame ciclotomice
Polioame Fiboacci, polioame ciclotomice Loredaa STRUGARIU, Cipria STRUGARIU 1 Deoarece şirul lui Fiboacci este cuoscut elevilor îcă dicl.aix-a,iarrădăciile de ordiul ale uităţii şi polioamele ciclotomice
Tema: şiruri de funcţii
Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..
1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este
1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii...
Cupris 1. Operaţii cu umere reale... 1 1.1. Radicali, puteri... 1 1.1.1. Puteri... 1 1.1.. Radicali... 1 1.. Idetităţi... 1.3. Iegalităţi... 3. Fucţii... 6.1. Noţiuea de fucţii... 6.. Fucţii ijective,
Curs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
CLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea
EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.
SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII
Capitolul 8 ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII 8. Şiruri de fucţii Fie D R, D = şi fie f 0, f, f 2,... fucţii reale defiite pe mulţimea D. Şirul f 0, f, f 2,... se umeşte şir de fucţii şi se otează cu ( f ) 0.
Examenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].
![Examenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].](/thumbs/70/63994121.jpg "Examenul de bacalaureat nańional 2013 Proba E. c) Matematică M_mate-info. log 2 = log x. 6 j. DeterminaŃi lungimea segmentului [ AC ].")
Miisterul EducaŃiei, Cercetării, Tieretului şi Sportului Cetrul NaŃioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat ańioal 0 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Filiera teoretică, profilul real, specializarea
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Concursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008
Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot
3.1. DEFINIŢII. PROPRIETĂŢI
Modulul 3 SERII NUMERICE Subiecte :. Criterii de covergeţă petşru serii cu termei oarecare. Serii alterate 3. Criterii de covergeţă petru serii cu termei poziţivi Evaluare. Criterii de covergeţă petru
TEMA 1: FUNCȚII LINIARE. Obiective:
TEMA : FUNCȚII LINIARE TEMA : FUNCȚII LINIARE Obiective: Defiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale fucţiei, ecuaţiei şi iecuaţiei de gradul Cuoaşterea uor elemete de geometrie aalitică a dreptei
Analiză I Curs 1. Curs 1., a n. dacă ε, ( )N ( ε ) a.î. n x n ε ; ε sunt numere reale şi deci (a n. şi fie
Aaliză I Curs Curs Şiruri de umere: D : Fie u şir de umere (a ), a. Spuem că dacă ( )M 0, a.î. a M. (a ) este mărgiit D : Spuem că (a ) coverge către l dacă ( )V (l), ( )N (V ) şi N (V ) a V. D 3 : a l
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Sala: 2103 Decembrie 2014 CURS 10: ALGEBRĂ
Sala: 203 Decembrie 204 Cof. uiv. dr.: Dragoş-Pătru Covei CURS 0: ALGEBRĂ Specializarea: C.E., I.E., S.P.E. Nota: Acest curs u a fost supus uui proces riguros de recezare petru a fi oficial publicat. distribuit
Integrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI
PROBLEME CU PARTEA ÎNTREAGĂ ŞI PARTEA FRACŢIONARĂ. Să se rezolve ecuaţia {x} {008 x} =.. Fie r R astfel ca r 9 ] 00 Determiaţi 00r]. r 0 ] r ]... r 9 ] = 546. 00 00 00 Cocurs AIME (SUA), 99. Câte ditre
2.1. DEFINIŢIE. EXEMPLE
Modulul SPAŢII METRICE Subiecte :. Spaţii metrice. Defiiţii, exemple.. Mulţimi deschise, mulţimi îchise î spaţii metrice. Mulţimi compacte. 3. Spaţii metrice complete. Pricipiul cotracţiei. Evaluare:.Răspusuri
Seria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul diferenţial
Seria MATEMATICĂ ANALIZĂ MATEMATICĂ Calcul difereţial MATHEMATICAL ANALYSIS Differetial calculus The preset book is the first part of the cours of Mathematical Aalysis give by the author for may years
Curs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE
CAPITOLUL III FUNCŢII CONTINUE. Fucţii de o variabilă reală Fucţiile defiite pe mulţimi abstracte X, Y cu f : X Y au î geeral puţie proprietăţi şi di acest motiv, puţie aplicaţii î rezolvarea uor probleme
Curs 12. Intervale de încredere Intervale de încredere pentru medie în cazul σ cunoscut
Curs Itervale de îcredere Am văzut cum poate fi estimat u parametru folosid datele furizate de u eşatio Parametrul di populaţie u este, î geeral, egal cu statistica calculată cu ajutorul eşatioului Ne
BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A
ETAPA JUDEŢEANĂ - martie 0 Filiera tehologica : profil tehic BAREM DE CORECTARE CLASA A IX A a) Daţi exemplu de o ecuaţie de gradul al doilea avâd coeficieţi raţioali care admite ca rădăciă umărul x= +
Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
2. Metode de calcul pentru optimizarea fără restricţii
. Metode de calcul petru optimizarea fără restricţii Problemele de optimizare îtâlite î practică sut probleme cu restricţii, dar metodele de calcul petru optimizarea fără restricţii sut importate pri faptul
Varianta 1
Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări
Subiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
în care suma termenilor din fiecare grup este 0, poate conduce la ideea că valoarea acestei sume este 0. De asemenea, gruparea în modul
Capitolul 3 SERII NUMERICE Date fiid umerele reale x 0, x,..., x, î umăr fiit, suma lor x 0 + x +... + x se poate calcula fără dificultate, după regulile uzuale. Extiderea oţiuii de sumă petru mulţimi
CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE Produs scalar. Spaţii euclidiene şi spaţii unitare-definiţie
Spaţii vectoriale euclidiee/uitare CAPITOLUL 4 SPAŢII VECTORIALE EUCLIDIENE/UNITARE 4.. Produs scalar. Spaţii euclidiee şi spaţii uitare-defiiţie Defiiţia 4... Fie V u spaţiu vectorial peste corpul K (K=R
Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Varianta 1. SUBIECTUL I (30p) Varianta 001 5p 1. Să se determine numărul natural x din egalitatea x = p
Filiera vocaţioală, profilul militar, specializarea matematică-iformatică Toate subiectele sut obligatorii Timpul efectiv de lucru este de ore Se acordă pucte di oficiu La toate subiectele se cer rezolvări
a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
DETERMINAREA PUTERILOR MATRICELOR
DETERMINAREA PUTERILOR MATRICELOR IOANA MONICA MAŞCA Prezetăm mai multe procedee de calcul al puterilor matricelor ilustrate pri probleme cu soluţii cometate. Putem realiza selecţii de metode şi/sau exemple
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
( ) ( ) ( ) Funcţii diferenţiabile. cos x cos x 2. Fie D R o mulţime deschisă f : D R şi x0 D. Funcţia f este
o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă
Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate
Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs
T R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :
Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet
EXAMENE ŞI CONCURSURI
8 Examee şi Cocursuri EXAMENE ŞI CONCURSURI A IV-A EDIŢIE A CONCURSULUI FACULTĂŢII DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ A UNIVERSITĂŢII,,OVIDIUS DIN CONSTANŢA prezetare de Laureţiu Hometcovshi ) şi Diaa Savi )
Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE. 2.1 Proprietăţi generale Moduri de definire a unui şir. (x n ) n 0 : x n =
Capitolul 2 ŞIRURI DE NUMERE REALE 2. Proprietăţi geerale Fie A = o mulţime dată. Se umeşte şir de elemete di A o fucţie f : N A. Dacă A = R, şirul respectiv se va umi şir de umere reale, şir umeric sau,
CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ
UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar
Ciprian Deliu METODE NUMERICE ŞI STATISTICĂ
Cipria Deliu METODE NUMERICE ŞI STATISTICĂ 06 Cupris I Metode umerice Metode de aproximare a rădăciilor uei ecuaţii elieare 3. Metoda iterativă de puct fix................... 4. Metoda bisecţiei...........................
Clasa a IX-a. 1. Rezolvaţi în R ecuaţiile: (3p) b) x x x Se consideră mulţimile A = { }, (2p) a) Determinaţi elementele mulţimii A
1 Rezolvaţi î R ecuaţiile: (4p) a) x 1 5 = 8 (3p) b) Clasa a IX-a x 1 x x 1 + + + =, N x x x Se cosideră mulţimile A = { }, A = { 3,5}, A { 7, 9,11}, 1 1 3 = (p) a) Determiaţi elemetele mulţimii A 6 (3p)
METODE NUMERICE. Note de curs
MARILENA POPA ROMULUS MILITARU METODE NUMERICE Note de curs . REZOLVAREA NUMERICĂ A SISTEMELOR DE ECUAŢII LINIARE Itroducere. Rezolvarea sistemelor algebrice liiare şi operaţiile de calcul matriceal (evaluarea
Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare. Cuprins. Prof.dr.ing. Gabriela Ciuprina
Rezolvarea ecuaţiilor şi sistemelor de ecuaţii diferenţiale ordinare Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice,
Metode Runge-Kutta. 18 ianuarie Probleme scalare, pas constant. Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy
Metode Runge-Kutta Radu T. Trîmbiţaş 8 ianuarie 7 Probleme scalare, pas constant Dorim să aproximăm soluţia problemei Cauchy y (t) = f(t, y), a t b, y(a) = α. pe o grilă uniformă de (N + )-puncte din [a,
PENTRU CERCURILE DE ELEVI
G.-F. Şerba, Aplicaţii la teorema lui Frobeius despre matrice 7 PENTRU CERCURILE DE ELEVI APLICAŢII LA TEOREMA LUI FROBENIUS DESPRE MATRICE George-Flori Şerba 1) Î această lecţie vom prezeta rezolvarea
Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR
Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu
TEMA 10 TESTE DE CONCORDANŢĂ
TEMA 0 TESTE DE CONCORDANŢĂ Obiective Cuoaşterea coceptelor reritoare la testele de cocordaţă Aaliza pricipalelor teste de cocordaţă Aplicaţii rezolvate Aplicaţii propuse Cupris 0. Cocepte reritoare la