Οι µέσοι ριθµοί, το κέτρο άρους εός σώµτος κι η µέση τιµή µις συάρτησης πό τη ίδι οπτική γωί ρ. Πγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώη Σχολικός Σύµουλος ΠΕ03 e-mal@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στη εργσί υτή δεικύετι ο στθµικός µέσος ως ο γεικός µέσος γι τ δικριτά µεγέθη κι τοίζετι η συσχέτισή του µε τη µέση τιµή µις τυχίς µετλητής στη Θεωρί Πιθοτήτω λλά κι γεικότερ µε τη µέση τιµή µις συάρτησης (δείτε Θ.Μ.Τ. ιφορικού κι Ολοκληρωτικού Λογισµού). Επίσης, γίετι κι δισύδεση όλω υτώ τω εοιώ µε τη τίστοιχη έοι της Φυσικής που είι το κέτρο άρους ή κέτρο µάζς εός σώµτος. Κέτρο άρους εός συστήµτος σωµάτω Ας ξεκιήσουµε, ως εισγωγή, µε τη έοι του κέτρου άρους εός συστήµτος σωµάτω µε >. Υποθέτουµε ότι σε έ τετωµέο σύρµ µελητέου άρους (δείτε σχήµ ) στ ση- µεί µε τετµηµέες x, x,, x (γι τη θµολόγηση του σύρµτος θεωρούµε ως ρχή έ οποιοδήποτε σηµείο του) είι προσρµοσµέ σώµτ ( > ) µε άρη Β, Β,, Β ή µε µάζες m, m,, m τίστοιχ. Σχήµ Ζητάµε το κέτρο άρους του πρπάω συστήµτος, δηλδή εκείο το σηµείο του σύρµτος στο οποίο στηριχθεί το σύστηµ, τότε υτό θ ισορροπεί. Έστω λοιπό x η τετµηµέη του σηµείου υτού. Σύµφω µε το όµο τω ροπώ πρέπει το λγερικό άθροισµ τω ροπώ τω ρώ τω σωµάτω ως προς το σηµείο x είι ίσο µε µηδέ, δηλδή πρέπει ισχύει η σχέση: ή ισοδύµ η σχέση: πό τη οποί πίρουµε: Β ( x x) +Β ( x x) + +Β ( x x) 0 m x x) + m ( x x) + + m ( x x) 0, ( x m x + m x + + m x. () m + m + + m

Α όλ τ σώµτ έχου τη ίδι µάζ, τότε το κέτρο άρους ή κέτρο µάζς του συστήµτος υτού είι το σηµείο µε τετµηµέη: x + x + + x x x x. Όµοι, τοποθετήσουµε τρί σώµτ µε άρη Β, Β κι Β 3 ή µε µάζες m, m κι m 3 τίστοιχ στις κορυφές Α, Β κι Γ εός τριγώου ΑΒΓ µελητέου άρους (δείτε σχή- µ ), τότε θεωρώτς στο επίπεδο του τριγώου ΑΒΓ έ ορθοκοικό σύστηµ - φοράς δύο ξόω ρίσκουµε ότι οι συτετγµέες του κέτρου άρους G ( x, y ) (σηµείο ισορροπίς) του συστήµτος υτού είι: x m x + m x + m x 3 3 m + m + m 3 & y m y + m y + m y 3 3 m + m + m 3. () Σχήµ Γι ισορροπεί το πρπάω σύστηµ τω τριω σωµάτω, πρέπει το λγερικό ά- θροισµ τω ροπώ τω ρώ τω σωµάτω ως προς τους άξοες x x κι y y είι ίσο µε µηδέ, δηλδή πρέπει ισχύου οι σχέσεις: Β ( x x) +Β ( x x) +Β ( x x) 0 κι 3 3 Β ( y y) +Β ( y y) +Β ( y y) 0. 3 3 Από τις σχέσεις υτές εξάγοτι οι συτετγµέες του κέτρου άρους του συστήµτος που φέροτι πρπάω ( τύποι () ). Ν σηµειωθεί ότι το σύστηµ υτό τω τριω σωµάτω ισορροπεί κι στηριχτεί σε κθέ πό τους άξοες x x κι y y (άξοες ισορροπίς). Η τοµή τω δύο ξόω ισορροπίς είι το κέτρο άρους του συστήµτος. Α τ τρί σώµτ έχου ίσ άρη, τότε οι συτετγµέες του κέτρου άρους G ( x, y ) είι: x + x + x3 y + y + y3 x & y. 3 3

3 Μπορούµε πράλουµε τις συτετγµέες του κέτρου άρους του πρπάω συστήµτος τω τριω σωµάτω στη περίπτωση που τ σώµτ έχου ίσ άρη µε τις συτετγµέες του ρύκετρου εός τριγώου (δείτε [], σελ. 36). Επίσης, εκείο που πρέπει σηµειωθεί κόµη είι ότι η πρπάω διδικσί µπορεί γεικευθεί τοποθετώτς σώµτ, όπου > 3, σε ισάριθµ σηµεί. Εδώ όµως πρέπει δικρίουµε δύο περιπτώσεις, δηλδή τ σηµεί είι στο ίδιο επίπεδο ή όχι. Κι στις δύο περιπτώσεις προκύπτου µε το ίδιο τρόπο άλογοι τύποι. Γι πράδειγµ, τ σώµτ έχου ίσ άρη κι τ σηµεί δε είι στο ίδιο επίπεδο, τότε θεωρώτς έ ορθοκοικό σύστηµ φοράς τριω ξόω ρίσκουµε ότι οι συτετγµέες του κέτρου άρους G ( x, y, z ) του συστήµτος είι: x x + x + + x, y y + y + + y κι z z + z + + z ή σε διυσµτική µορφή r CM r r, όπου (,, ), x y z,,, τ διύσµτ θέσης τω τίστοιχω σηµείω. Α τ σώµτ έχου διφορετικές µάζες m,,,,, τότε το διάυσµ θέσης του κέτρου άρους είι το διάυσµ: r r m CM, όπου mολ m. m ολ Μέση τιµή ριθµώ Ο ριθµός: x + x + + x x x x, που είδµε πρπάω, λέγετι ριθµητικός µέσος τω ( > ) ριθµώ x, x,, x κι όπως γωρίζουµε είι έ πολύ κλό µέτρο θέσης γι τ δεδοµέ µις ποσοτικής µετλητής στη Σττιστική. Ο ριθµητικός µέσος τω ριθµώ x, x,, x είι ο µοδικός πργµτικός ριθ- x µός x γι το οποίο ισχύει η σχέση ( x) 0, δηλδή το λγερικό άθροισµ τω διφορώ του πό τους ριθµούς x, x,, x είι ίσο µε µηδέ. Α οι ριθµοί x, x,, x λµάοτι µε διφορετικό συτελεστή ρύτητς ο κθές, έστω w, w,, w τίστοιχ (w > 0,,,, ), τότε ζητούµε το ριθµό x (µέση τιµή), ώστε ισχύει η ισότητ: πό τη οποί πίρουµε: x w ( x x) 0, w x + w x + + w x w + w + + w. (3) Ο πρπάω ριθµός λέγετι στθµικός µέσος (weghted mean) τω ριθµώ x, x,, x που λµάοτι µε συτελεστές ρύτητς w, w,, w τίστοιχ (δείτε [], σελ. 87). Ο ριθµητικός µέσος είι η ειδική περίπτωση του στθµικού µέσου όπου οι συτελεστές ρύτητς τω ριθµώ είι όλοι ίσοι µε.

4 Μπορούµε πράλουµε τη έκφρση του στθµικού µέσου (τύπος (3)) µε τις πρστάσεις στους τύπους () κι () τω συτετγµέω του κέτρου άρους τω σω- µάτω στη περίπτωση που τ σώµτ έχου διφορετικές µάζες. Υπογρµµίζετι ότι ο στθµικός µέσος ριθµώ ( > ) είι η γεική περίπτωση µέσου γι τ δικριτά µεγέθη, φού κι οι άλλοι δύο γωστοί µέσοι ριθµοί θετικώ ριθµώ, ο γεωµετρικός κι ο ρµοικός, όπως ποδεικύετι στη εργσί [7] λλά κι στ πρκάτω θεωρήµτ είι ειδικές περιπτώσεις στθµικού µέσου. ηλδή γι τη εξγωγή του γεωµετρικού κι του ρµοικού µέσου ( > ) θετικώ ριθµώ x, x,, x κάθε ριθµός συµµετέχει µε ειδικό συτελεστή ρύτητς. Θεώρηµ : Γι οποιουσδήποτε, όπου, θετικούς πργµτικούς ριθµούς x, x,..., x υπάρχου θετικοί ριθµοί w, w,..., w τέτοιοι, ώστε ο γεωµετρικός µέσος τω ριθµώ υτώ εκφράζετι ως εξής: G x x... x w x + w x +... + w x w + w +... + w. Απόδειξη Α θέσουµε: w x x... x, w x x... x x,..., 3 3 4 w x x... x κι w x x... x τότε εύκολ ποδεικύετι (πολλπλσιάζουµε χιστί κλπ.) ότι ισχύει: w x + w x +... + w x w + w +... + w ( ) ( ) ( ) 3 3 4... +... +... +... ( x x... x ) ( x x... x x )... ( x x... x ) 3 3 4 + + + x x x x x x x x x x x x x x x... x (γεωµετρικός µέσος). Σχόλιο: Στη πόδειξη του πρπάω θεωρήµτος πρτηρούµε ότι γι το προσδιορισµό τω συτελεστώ ρύτητς w, w,..., w τω θετικώ ριθµώ x, x,..., x τίστοιχ γι τη εξγωγή του γεωµετρικού τους µέσου, όπου ο συτελεστής ρύτητς κάθε ριθµού εκφράζετι ως συάρτηση τω υπόλοιπω ριθµώ, Στη ε λόγω ερευητική εργσί, η οποί είχε ως ρχικό σκοπό τη πό κοιού γείκευση της ριθ- µητικής κι γεωµετρικής προόδου, προέκυψε ότι ο γεωµετρικός κι ρµοικός µέσος είι ειδικές περιπτώσεις στθµικού µέσου. Έτσι λοιπό διτύπωσ κι πόδειξ το σχετικό θεώρηµ που περιέχετι στη εργσί υτή. Προσωπικά δε γωρίζω υπάρχει άλλη δηµοσιευµέη σχετική πόδειξη. Α κάποιος συάδελφος γωρίζει κάτι τέτοιο το πρκλώ πολύ µε εηµερώσει κι θ του είµι ευγώµω γι υτό.

5 χρησιµοποιείτι κυκλικά η διάτξη τω ριθµώ υτώ (κυκλική µετάθεση). Συµπερίουµε λοιπό ότι υπάρχου τόσες τέτοιες -άδες συτελεστώ ρύτητς, όσες είι οι κυκλικές µετθέσεις τω υτώ ριθµώ, δηλδή (-)! Ας δούµε κι έ σχετικό πράδειγµ. Πράδειγµ : Ο γεωµετρικός µέσος τω ριθµώ 8, 7 κι 64 είι ο ριθµός: 3 3 8 7 64 384 4. Επειδή µε τους πρπάω τρεις ριθµούς µπορούµε σχηµτίσουµε (3 - )! κυκλικές µετθέσεις, συµπερίουµε ότι γι τη έκφρση του γεωµετρικού τους µέσου ως στθµικού υπάρχου δύο τριάδες συτελεστώ ρύτητς, όπου ο συτελεστής ρύτητς κάθε ριθµού εκφράζετι ως συάρτηση τω άλλω δύο. Επληθεύοτς υτό το ισχυρισµό έχουµε: Α θεωρήσουµε τη κυκλική µετάθεση C(8, 7, 64), τότε σύµφω µε το πρπάω θεώρηµ οι συτελεστές ρύτητς τω ριθµώ 8, 7 κι 64 κτ τιστοιχί είι οι ριθµοί: κι έχουµε: 3 w 7 64 36, 3 w 64 8 3 κι 3 w 3 8 7 36 8+ 3 7+ 64 88+ 864+ 768 90 4. 36+ 3+ 80 80 Α θεωρήσουµε τη κυκλική µετάθεση C(8, 64, 7), τότε οι συτελεστές ρύτητς τω ριθµώ 8, 7 κι 64 είι οι ριθµοί: 3 w 64 7 48, w κι 3 8 64 6 τίστοιχ κι γι τη επλήθευση έχουµε: 3 w 3 7 8 8 48 8+ 6 7+ 8 64 384+ 43+ 5 968 4. 48+ 6+ 8 8 8 Θεώρηµ : Γι οποιουσδήποτε, όπου, θετικούς πργµτικούς ριθµούς x, x,..., x υπάρχου θετικοί ριθµοί w, w,..., w τέτοιοι, ώστε ο ρµοικός µέσος τω ριθµώ υτώ εκφράζετι ως εξής: H w x + w x +... + w x w + w +... + w + +... + x x x. Απόδειξη Α θέσουµε: w x x... x, w x x... x, 3 3........., w x x... x x & w x x... x τότε ποδεικύετι εύκολ (διιρούµε ριθµητή κι προοµστή µε x xx3... x ) ότι ισχύει:

6 w x + w x +... + w x w + w +... + w ( x x... x ) x + ( x x... x ) x +... + ( x x... x ) x 3 3 ( x x... x ) + ( x x... x ) +... + ( x x... x ) 3 3 + +... + x x x (ρµοικός µέσος). Πρτηρούµε ότι στη περίπτωση του ρµοικού µέσου, σε τίθεση µε το γεωµετρικό, ο συτελεστής ρύτητς κάθε ριθµού που εκφράζετι ως συάρτηση τω υπόλοιπω ριθµώ είι µοδικός. Πρέπει σηµειωθεί ότι σε προλήµτ µε τχύτητες κι γεικά µε ρυθµούς µετολής, όπως φίετι κι στη πρκάτω εφρµογή, κτάλληλος γι τη έκφρση της µέσης τιµής τω µεγεθώ υτώ είι ο ρµοικός µέσος. Εφρµογή : Ές µθητής σε µί ώρ λύει σκήσεις, είι δύσκολες ή 0, είι εύκολες. Με τη προϋπόθεση ότι ως προς το θµό δυσκολίς οι σκήσεις είι κτεµηµέες οµοιόµορφ, ρείτε πόσες σκήσεις κτά µέσο όρο λύει σε µί ώρ υτός ο µθητής. Λύση Εύκολ θ έλεγε κάποιος ότι κτά µέσο όρο ο µθητής υτός λύει 6 σκήσεις τη ώρ, δηλδή θ χρησιµοποιούσε το ριθµητικό µέσο. Θ ποδείξουµε όµως ότι υτό δε είι σωστό κι πως ο ρµοικός µέσος είι υτός που εκφράζει το ζητούµεο µέσο όρο. Ο ρµοικός µέσος τω ριθµώ κι 0 υπολογιζόµεος ως στθµικός µέσος σύµφω µε το πρπάω θεώρηµ είι ο εξής: 0 + 0 0+ 0 40 0. 0+ 3 Άρ ο µθητής υτός κτά µέσο όρο λύει 0/3 σκήσεις τη ώρ. Αυτό εξηγείτι ως εξής: Ο µθητής υτός γι µί δύσκολη άσκηση χρειάζετι χρόο το / της ώρς κι γι µί εύκολη το /0 της ώρς. Γι λύσει µί δύσκολη κι µί εύκολη άσκηση χρειάζετι χρόο τ 6/0 της ώρς, άρ γι µί άσκηση κτά µέσο όρο θέλει χρόο τ 3/0 της ώρς. Έτσι λοιπό σε µί ώρ λύει κτά µέσο όρο 0/3 σκήσεις. Το πρπάω ποτέλεσµ επληθεύετι ως εξής: Ας υποθέσουµε ότι ο µθητής υτός έχει λύσει 40 σκήσεις, 0 δύσκολες κι 0 εύκολες (οµοιόµορφ κτεµηµέες). Α θεωρούσµε ως µέσο ριθµό το ριθµητικό µέσο, τότε ο µεόµεος χρόος που θ χρειζότ γι τη λύση υτώ τω - σκήσεω είι 40 : 6 6,6 ώρες, εώ µε το ρµοικό µέσο είι 40 : (0/3) ώρες. Ο πργµτικός χρόος είι 0 : 0 ώρες γι τις δύσκολες σκήσεις κι 0 : 0 ώρες γι τις εύκολες, συολικά ώρες, όσος είι δηλδή κι ο µεόµεος χρόος που προκύπτει µε το ρµοικό µέσο.

7 Ας υποθέσουµε τώρ ότι έχουµε ριθµούς ( > ) x, x,, x, οι οποίοι λµάοτι µε συτελεστές ρύτητς w, w,, w τίστοιχ (w > 0,,,, ). Α θέσου µε w w, τότε ο στθµικός µέσος, ολ w x + w x + + w x x w + w + + w τω ριθµώ υτώ ως προς τους συτελεστές ρύτητς w, w,, w, µπορεί γρφτεί κι ως εξής: w x + w x + + w x w w w x x + x + + x w + w + + w wολ wολ wολ w όπουλ,,,,. w ολ xλ + x λ + + x λ Τους συτελεστές λ,,,, θ τους κλούµε συτελεστές σχετικής ρύτητς (σύτοµ σ.σ..), διότι εκφράζου τη ρύτητ κάθε ριθµού σε σχέση µε τις ρύτητες όλω τω ριθµώ. Είι προφές ότι ισχύει λ. Στο εξής γι τη πόδοση εός στθµικού µέσου ριθµώ x,,,, ( > ) µε οποιουσδήποτε συτελεστές σχετικής ρύτητς θ χρησιµοποιούµε το γεικό όρο µέση τιµή. Έτσι λοιπό οδηγούµστε στο επόµεο γεικό ορισµό. Ορισµός : Μέση τιµή ( > ) πργµτικώ ριθµώ x, x,, x, όπου λµάοτι µε συτελεστές σχετικής ρύτητς λ, λ,, λ τίστοιχ, µε λ > 0,,,, κι λ, ορίζετι ο πργµτικός ριθµός: x xλ xλ... x λ xλ + + +. Εύκολ ποδεικύετι ότι ισχύει η πρκάτω πρότση. Πρότση : Α x, x,, x είι ( > ) πργµτικοί ριθµοί κι x η µέση τι- µή τω ριθµώ υτώ ως προς οποιουσδήποτε συτελεστές σχετικής ρύτητς, τότε ισχύει: mn(x, x,, x ) x max(x, x,, x ). Μέση τιµή µις τυχίς µετλητής Με άλογο τρόπο ορίζετι κι η µέση τιµή µις τυχίς µετλητής στη Θεωρί Πιθοτήτω. Τυχί µετλητή (σύτοµ τ.µ.) ή στοχστική µετλητή οοµάζετι κάθε µετρήσι- µη συάρτηση µε πργµτικές τιµές κι πεδίο ορισµού το δειγµτικό χώρο Ω εός πειράµτος τύχης (δείτε [4], σελ. 6). Η µετρησιµότητ µις τ..µ. Χ εξσφλίζει τη δυτότητ ποοµής πιθότητς σε κάθε ριθµήσι- µη έωση ή τοµή οποιωδήποτε διστηµάτω (οικτώ, κλειστώ κλπ.) τιµώ της Χ.

8 Α µι τυχί µετλητή Χ : Ω IR πίρει πεπερσµέο ή το πολύ ριθµήσιµο πλήθος τιµώ, τότε οοµάζετι δικριτή. Α όµως µπορεί πάρει οποιδήποτε τιµή εός διστήµτος ή µις έωσης ξέω διστηµάτω, τότε οοµάζετι συεχής. Η µέση τιµή µις δικριτής τυχίς µετλητής Χ, η οποί πίρει τις τιµές x,,, µε τίστοιχες πιθότητες p,,,. ορίζετι (δείτε [4], σελ. 63) ως εξής: Ε ( X ) x p µε τη προϋπόθεση ότι η σειρά συγκλίει πολύτως, δηλδή ότι ισχύει: x p IR. Πρτηρούµε ότι στη περίπτωση µις δικριτής τ.µ. Χ οι συτελεστές σχετικής ρύτητς τω τιµώ x,,, της Χ είι οι πιθότητές τους. Υπεθυµίζετι ότι p. Α οι τιµές µις τ.µ. Χ είι πεπερσµέου πλήθους, έστω >, τότε η µέση τιµή της Χ είι η εξής: Ε ( X ) x p. (3) Στη περίπτωση υτή ότ οι τιµές της Χ έχου όλες τη ίδι πιθότητ, ίση µε, δηλδή η τ.µ. Χ κολουθεί τη δικριτή οµοιόµορφη κτοµή, τότε η µέση τιµή, Ε(Χ), της Χ είι ο ριθµητικός µέσος τω τιµώ της. Μπορούµε πράλουµε το πρπάω τύπο (3) της µέσης τιµής µις τ.µ. Χ µε πεπερσµέο πλήθος τιµώ µε το τύπο: x κ της µέσης τιµής τω δεδοµέω µις δικριτής ποσοτικής µετλητής στη Σττιστική, όπου f,,..., κ οι σχετικές συχότητες τω τιµώ x,,..., κ τίστοιχ της µετλητής υτής (δείτε [], σελίδ 85). Α µι τυχί µετλητή Χ είι συεχής κι f είι η συάρτηση πυκότητς πιθότητς της Χ, δηλδή ισχύει Ρ(x < Χ < x + dx) f(x)dx, x IR (δείτε [4], σελ.39), τότε η µέση τιµή της Χ ορίζετι (δείτε [4], σελ. 63) ως εξής: µε τη προϋπόθεση ότι: x f + E( X ) xf ( x) dx (γεικευµέο ολοκλήρωµ, δείτε [6]). + x f ( x) dx IR. Κι εδώ υπεθυµίζετι ότι ισχύει f ( x) dx. +

Μπορούµε πράλουµε τη σχέση το ορισµό + 9 + p µε τη σχέση f ( x) dx κθώς κι Ε ( X ) x p της µέσης τιµής µις δικριτής τυχίς µετλητής µε το ορισµό E( X ) xf ( x) dx της µέσης τιµής µις συεχούς τυχίς µετλητής. Έστω τώρ µί συάρτηση Y g(x) µις τυχίς µετλητής Χ. Είι προφές ότι κι η Υ είι τυχί µετλητή. Η µέση τιµή, Ε(Υ), της Υ ορίζετι (δείτε [4], σελ. 70) ως εξής: η Χ είι δικριτή µε τιµές x,,, κι µε τίστοιχες πιθότητες p,,,, τότε: ( Y ) g( x ) p µε τη προϋπόθεση ότι Ε g( x ) p IR, η Χ είι συεχής κι f είι η συάρτηση πυκότητς πιθότητς της Χ, τότε: + E( Y ) g( x) f ( x) dx µε τη προϋπόθεση ότι ισχύει: + g( x) f ( x) dx IR. Στη Θεωρί Πιθοτήτω η µέση τιµή µις τ.µ. Χ λέγετι κι µεόµεη τιµή ή µθηµτική ελπίδ της Χ. Θεωρώ πως ξίζει δούµε στο σηµείο υτό µί εδιφέρουσ εφρµογή της µέσης τιµής µις τυχίς µετλητής. Εφρµογή : Σε µι ευρωπϊκή θλητική διοργάωση συµµετέχου 6 οµάδες µετξύ τω οποίω δύο ελληικές. Πρόκειτι γίει κλήρωση γι δηµιουργηθού τ ζευγάρι που θ πίξου µετξύ τους γι τη πρόκριση στη επόµεη φάση της διοργάωσης (γώες οκ άουτ ). Α όλες οι οµάδες έχου τη ίδι πιθότητ πρόκρισης, ίση µε /, τι είι κλύτερο γι τη Ελλάδ, κληρωθού οι ελληικές οµάδες πίξου µετξύ τους ή κθεµί κληρωθεί πίξει µε ξέη οµάδ; ικιολογείστε τη πάτησή σς. Λύση Είι προφές ότι στη επόµεη φάση της διοργάωσης υπάρχει περίπτωση προκριθού ή δυο () ελληικές οµάδες ή µί () ή κµί (0). Θεωρούµε λοιπό τη τυχί µετλητή Χ, η οποί πίρει υτές τις τιµές κι µε υτή τη έοι. Η µέση τιµή ή µθηµτική ελπίδ της Χ εκφράζει το ριθµό τω ελληικώ οµάδω που - µέετι προκριθού στη επόµεη φάση. Γι υτό θ υπολογίσουµε τη µέση τι- µή της Χ κι γι τις δύο περιπτώσεις, ώστε µπορέσουµε τις συγκρίουµε. Στη πρώτη περίπτωση (οι ελληικές οµάδες πίζου µετξύ τους) έχουµε: E( X ) 0 0+ + 0 κι στη δεύτερη περίπτωση (οι ελληικές οµάδες πίζου µε ξέες οµάδες) έχουµε:

0 E( X ) 0 + +. 4 4 Πρτηρούµε ότι ο ριθµός τω ελληικώ οµάδω που µέετι προκριθού στη επόµεη φάση της διοργάωσης είι ο ίδιος κι στις δύο περιπτώσεις. Συεπώς δε έχει κµί σηµσί το πώς θ κληρωθού πίξου οι ελληικές οµάδες. Κέτρο άρους ή κέτρο µάζς εός σώµτος Με άλογο τρόπο ορίζετι κι το διάυσµ θέσης σε έ σύστηµ φοράς του κέτρου άρους ή κέτρου µάζς εός σώµτος Σ µε συεχή κτοµή µάζς, το ο- ποίο ορίζετι ως εξής: r dm ( ) dv CM r D M r D M ρ r, όπου ρ( r ) η πυκότητ µάζς του σώµτος Σ στο σηµείο µε διάυσµ θέσης r, r dv ο πειροστός όγκος κι dm ρ( ) dv η πειροστή µάζ. Με το σύµολο πριστάετι η ολοκλήρωση στο χώρο D που κτλµάει το D σώµ Σ κι µε Μ η συολική µάζ του Σ (δείτε [8]). Σηµειώετι ότι κι εδώ ισχύει η σχέση Μέση τιµή µις συάρτησης dm. D M Ο ορισµός της µέσης τιµής µις συάρτησης Y g(x) µις συεχούς τυχίς µετλητής Χ, που είδµε πρπάω, µπορεί επεκτθεί γι κάθε συάρτηση που ορίζετι σε έ διάστηµ. Η ρύτητ γι τις τιµές του προσδιορίζετι µε τη οήθει µις συεχούς συάρτησης σ ορισµέης στο, τη οποί θ κλούµε συάρτηση πυκότητς σχετικής ρύτητς (σύτοµ σ.π.σ..) κι η οποί λειτουργεί γι τις τιµές του όπως λειτουργεί η συάρτηση πυκότητς πιθότητς γι τις τιµές της συεχούς τυχίς µετλητής Χ. ηλδή η ρύτητ εός στοιχειώδους υποδιστή- µτος (x, x + dx) του είι ίση µε σ(x)dx. Κάθε συάρτηση πυκότητς σχετικής ρύτητς σ τω τιµώ εός διστήµτος έχει τις ιδιότητες:. σ(x) 0, γι κάθε x κι. σ ( x) dx. Με το σύµολο πριστάετι η ολοκλήρωση της σ στο διάστηµ, το οποίο µπορεί είι κλειστό, οικτό, µη φργµέο κλπ. Στη περίπτωση που δε είι κλειστό έχουµε γεικευµέο ολοκλήρωµ (δείτε [6]). Γι τη περίπτωση κλειστού διστήµτος [, ] έχουµε το επόµεο γεικό ορισµό. Ορισµός : Έστω g µί συάρτηση η οποί ορίζετι σε έ διάστηµ [, ] κι είι ολοκληρώσιµη σ υτό κι σ µί συάρτηση πυκότητς σχετικής ρύτητς τω τιµώ του [, ]. Η µέση τιµή της g ως προς τη σ ορίζετι ως εξής:. g g( x) σ ( x) dx

Η πρπάω έοι ορίζετι κλά, φού η ρύτητ τω τιµώ του [, ] µετφέρετι κι στις τιµές της συάρτησης g. Επίσης, πρέπει σηµειωθεί κόµη ότι ο πρπάω ορισµός της έοις της µέσης τιµής µις συάρτησης g γεικεύετι γι κάθε διάστηµ µε τη προϋπόθεση ότι ορίζετι στο το τίστοιχο ολοκλήρωµ κι είι πργµτικός ριθµός. Εύκολ ποδεικύετι ότι ισχύει η πρκάτω πρότση: Πρότση : Α η συάρτηση g είι συεχής σε έ διάστηµ κι υπάρχει η µέση τιµή g της g στο ως προς κάποι συάρτηση πυκότητς σχετικής ρύτητς σ τω τιµώ του, τότε g g( ). Εφρµογή 3: Ν εξετάσετε υπάρχει µέση τιµή της συάρτησης g ( x) x στο διάστηµ (0, ], γι τις τιµές του (0, ] η συάρτηση πυκότητς σχετικής x ρύτητς είι η σ ( x) (γρµµική κτοµή). Λύση Κτρχάς επληθεύουµε ότι η συάρτηση σ είι µί συάρτηση πυκότητς σχετικής ρύτητς τω στοιχείω του (0, ]. Πράγµτι, η σ έχει τις ιδιότητες: x. σ ( x) 0, γι κάθε x (0, ] κι. x x dx lm dx lm 4 λ + + λ 0 4 λ 0 0 λ. Τώρ θ εξετάσουµε υπάρχει µέση τιµή της g στο (0, ] µε σ.π.σ.. γι τις τιµές του (0, ] τη σ. Έχουµε λοιπό: x dx dx dx x x lm lm [ ln lnλ] + +. + x λ 0 λ 0 0 0 λ Άρ δε υπάρχει µέση τιµή της g στο (0, ] µε σ.π.σ.. γι τις τιµές του (0, ] τη σ. Θεώρηµ Μέσης Τιµής του ιφορικού Λογισµού Το Θεώρηµ Μέσης Τιµής του ιφορικού Λογισµού µς δίει τη µέση τιµή της πργώγου f σε έ διάστηµ (, ) µις συάρτησης f, η οποί είι συεχής στο [, ] κι πργωγίσιµη στο (, ), ότ η συάρτηση πυκότητς σχετικής ρύτητς τω τιµώ του (, ) είι µί στθερή συάρτηση σ(x) c > 0 της οποίς η τιµή υπολογίζετι ως εξής: ε σ ( x) dx lm cdx c lm (( ε ) ( + ε )) c. + + ε 0 ε 0 + ε ηλδή η σ.π.σ.. τω τιµώ του (, ) είι η συάρτηση σ ( x), x (, ) (δείτε [4], σελ. 43, οµοιόµορφη συεχής κτοµή σε διάστηµ (, ) ).

Έστω λοιπό µί συάρτηση f γι τη οποί ικοποιούτι οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. του ιφορικού Λογισµού γι έ διάστηµ [, ]. Θ υπολογίσουµε τη µέση τιµή της f στο (, ) σύµφω µε τ πρπάω, γι κάθε γ, δ µε < γ < δ < η f είι ολοκληρώσιµη κτά Remann στο διάστηµ [γ, δ]. Έχουµε: f ' f '( x) σ ( x) dx f '( x) dx (γεικευµέο ολοκλήρωµ) ε lm f '( x) dx ε 0+ + ε lm ( ) ( + ) + ε 0 [ f ε f ε ] f ( ) f ( a) (φού η f είι συεχής στο [, ]). Στη συέχει θ ποδείξουµε ότι το γεικευµέο ολοκλήρωµ f '( x) dx ορίζετι κι είι πργµτικός ριθµός γι κάθε συάρτηση f γι τη οποί ικοποιούτι οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. του ιφορικού Λογισµού σε έ διάστηµ [, ]. Πράγµτι έχουµε: Έστω µί διµέριση του διστήµτος (, ) σε ( > ) διστήµτ πλάτους a x κι ριθµοί ξ,,,,, ές πό κάθε διάστηµ της διµέρισης (η επιλογή γίετι τυχί). Ο ριθµητικός µέσος τω τιµώ f ( ξ ),,,, της f είι ο ριθµός: f '( ξ) + f '( ξ ) + + f '( ξ ). Πολλπλσιάζοτς το ριθµητή κι το προοµστή του πρπάω κλάσµτος a µε x, πίρουµε: ( ξ ξ ξ ) f '( ξ '( ) + f '( ξ ) + + f '( ξ ) f ) + f '( ) + + f '( ) x x f '( ξ ) + f '( ξ ) + + f '( ξ ) f '( ξ ) x. (4) ή Επειδή ισχύου οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. του ιφορικού Λογισµού γι τη f στο διάστηµ [, ] υπάρχει η µέση τιµή τω τιµώ της f στο (, ), οπότε υπάρχει στο IR το όριο:

3 ( ξ ) + ( ξ ) + + ( ξ ) lm f f f κι ισούτι µε τη µέση τιµή της f στο διάστηµ (, ). Συεπώς λόγω της (4) υ- πάρχει στο IR κι το όριο lm f ( ξ ) x. ηλδή ορίζετι το γεικευµέο ολοκλήρωµ: κι είι πργµτικός ριθµός. f '( x) dx Α η f είι συεχής στο (, ), τότε σύµφω µε τη πρότση υπάρχει ριθµός ξ (, ) τέτοιος, ώστε: f '( ξ ) f ' f ( ) f ( ). Πρτήρηση: Στη πρότση η συθήκη της συέχεις της g στο διάστηµ, ώστε ισχύει g g( ) είι µόο ική κι όχι γκί. Αυτό το λέπουµε στη ε- φρµογή του Θ.Μ.Τ. του ιφορικού Λογισµού φού η f δε είι πάτ συεχής, όπως φίετι κι στο πρκάτω πράδειγµ, εώ ότ ισχύου οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. του ιφορικού Λογισµού γι µί συάρτηση f σε έ διάστηµ [, ], υ- πάρχει πάτ ριθµός ξ (, ) τέτοιος, ώστε f '( ξ ) f '. Πράδειγµ : Έστω η συάρτηση: Η f είι πργωγίσιµη µε 3 ( x) συ, 0 3 x< x x συ, x 0 x f ( x) 0, x 0 0, x 0 3 x συ, x> 0 x 3 xσυ + ηµ, x< 0 x x x f ( x) 0, x 0 3 xσυ + ηµ, x> 0 x x x

4 Με τη οήθει τω κολουθιώ x κι x π ποδεικύετι ότι η f δε είι συεχής στο 0. π π + π + Όµως, η συάρτηση f ικοποιεί τις υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. του ιφορικού Λογισµού γι κάθε κλειστό διάστηµ [, ]. Έτσι λοιπό, εφρµόσουµε το Θ.Μ.Τ. του 6 3 ιφορικού Λογισµού γι τη f στο διάστηµ, π π, πίρουµε: 3 3 3 6 3 π 6 π f f συ συ π π π 3 π 6 3 6 f ( ξ ) 3 6 3 6 + 6 π π π π π, γι κάποιο ριθµό ξ 6 3, π π. Σηµείωση: Η πρπάω µέση τιµή γεικευµέο ολοκλήρωµ: f 3 6 ' της f προκύπτει κι πό το 6 π 3 π π f '( x) dx, 9 6 π το οποίο γράφετι ως άθροισµ δύο γεικευµέω ολοκληρωµάτω, ως εξής: 3 3 π 0 π π π π f '( x) dx f '( x) dx + f '( x) dx 9 9 9, 6 6 0 π π επειδή η f δε είι φργµέη κοτά στο 0. Γείκευση του Θ.Μ.Τ. του ιφορικού Λογισµού Έστω δύο συρτήσεις f κι g συεχείς σε έ διάστηµ [, ] κι πργωγίσιµες στο (, ) µε g ( x) 0 γι κάθε x (, ). Θεωρούµε τη συάρτηση: f ( ) f ( ) h( x) f ( x) g ( x), x (, ). g( ) g( ) Η µέση τιµή h της συάρτησης h στο (, ) µε συάρτηση σχετικής ρύτητς τω τιµώ του (, ) τη σ ( x), x (, ) είι το γεικευµέο ολοκλήρωµ h( x) dx, το οποίο είι ίσο µε 0. ηλδή έχουµε:

5 f ( ) f ( ) h h( x) dx f ( x) g ( x) dx 0 g( ) g( ). Αποδεικύετι 3 ότι υπάρχει ριθµός ξ (, ) τέτοιος, ώστε ισχύει h h( ξ ). Η σχέση υτή οδηγεί στη ισότητ: η οποί ισοδύµ γράφετι: f ( ) f ( ) f ( ξ) g ( ξ ) 0, g( ) g( ) f ( ) f ( ) f ( ξ). g( ) g( ) g ( ξ) Η τελευτί ισότητ είι γωστή ως γείκευση του Θ.Μ.Τ. του ιφορικού Λογισµού (δείτε [5], σελ. 86) κι ποδίδετι στο Cauchy. Α g(x) x τότε έχουµε το γωστό Θ.Μ.Τ. του ιφορικού Λογισµού. Θεώρηµ Μέσης Τιµής του Ολοκληρωτικού Λογισµού Το Θεώρηµ Μέσης Τιµής του Ολοκληρωτικού Λογισµού µς δίει τη µέση τιµή µις συάρτησης f σε έ διάστηµ [, ], η οποί είι ολοκληρώσιµη σ υτό, ότ η συάρτηση πυκότητς σχετικής ρύτητς τω τιµώ του [, ] είι η σ ( x), x [, ]. ηλδή έχουµε: f f ( x) σ ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx. Α η συάρτηση f είι συεχής στο [, ], τότε σύµφω µε τη πρότση υπάρχει ξ [, ] τέτοιος, ώστε ισχύει (δείτε [5], σελ. 6 κι [6]). f ( ξ) f ή ισοδύµ f ( x) dx f ( ξ )( ) Σηµείωση: Η ύπρξη εός ριθµού ξ µε τη ιδιότητ υτή στο οικτό διάστηµ (, ) πορρέει πό το θεώρηµ του Rolle που χρησιµοποιείτι στη πόδειξη του Θ.Μ.Τ. του ιφορικού Λογισµού κι το Θ.Μ.Τ. του ιφορικού Λογισµού χρησι- µοποιείτι γι τη πόδειξη του Θ.Μ.Τ. του Ολοκληρωτικού Λογισµού (δείτε [3], πράγρφο 3.6 Β µέρους). Γείκευση του Θ.Μ.Τ. του Ολοκληρωτικού Λογισµού Έστω g µί συάρτηση, η οποί είι συεχής σε έ διάστηµ [, ] του πεδίου ορισµού της κι επιπλέο ισχύει g(x) 0 γι κάθε x [, ] κι υπάρχει x ο [, ] τέτοιος, ώστε g(x ο ) > 0. 3 f ( ) f ( ) Με το θεώρηµ του Rolle γι τη συάρτηση φ( x) f ( x) g( x), x [, ]. g( ) g( )

6 Α f είι µί συεχής συάρτηση στο [, ], τότε η µέση τιµή της f στο [, ] µε σ.π.σ.. γι τις τιµές του [, ] τη είι: σ ( x) g( x) g( t) dt, x [, ] g( x) f f ( x) σ ( x) dx f ( x) dx f ( x) g( x) dx. (5) g( t) dt g( t) dt Επειδή η συάρτηση f είι συεχής στο [, ], σύµφω µε τη πρότση υπάρχει ριθµός ξ [, ] τέτοιος, ώστε ισχύει f ( ξ) f. (6) Από τις (5) κι (6) πίρουµε: f ( x) g( x) dx f ( ξ ) g( x) dx. Η τελευτί ισότητ ποτελεί γείκευση του Θ.Μ.Τ. του Ολοκληρωτικού Λογισµού (δείτε [5], σελ. 6). Α g(x) (στθερή) τότε έχουµε το γωστό Θ.Μ.Τ. του Ολοκληρωτικού Λογισµού. Εφρµογή 4: Έστω ότι γι µί συεχή συάρτηση f : [, ] IR ισχύει: f ( x) dx 0. Ν ποδείξετε ότι γι κάθε φυσικό ριθµό > 0 υπάρχου πργµτικοί ριθµοί ξ, ξ,, ξ στο (, ) τέτοιοι, ώστε ισχύει: f(ξ ) + f(ξ ) + + f(ξ ) 0. Λύση a ιµερίζουµε το διάστηµ [, ] σε διστήµτ πλάτους x κι εφρµόζουµε το Θ.Μ.Τ. του Ολοκληρωτικού Λογισµού σε κάθε έ πό υτά κλπ. Επίλογος Από τ πρπάω γίετι φερό ότι η έοι της µέσης τιµής είι ειί σε δικριτά κι συεχή µεγέθη κι συδέετι µε τη έοι του κέτρου άρους ή κέτρου µάζς εός σώµτος. Γι υτό, κλό είι κτά τη διδσκλί επισηµίετι η σχέση µετξύ τω εοιώ υτώ, ώστε οι µθητές µπορού τις συδέου µετξύ τους. Έτσι θ επιτυγχάετι πιο ολοκληρωµέη µάθηση, λλά κι κλύτερη λειτουργί της µκρόχροης µήµης τω µθητώ. Ν σηµειωθεί ότι, όσο πιο οργωµέες κι σηµσιολογι-

7 κά συδεδεµέες είι οι γώσεις που ποθηκεύοτι στη µκρόχροη µήµη, τόσο πιο πολύ χρόο συγκρτούτι κι πιο εύκολ σύροτι. Επίσης, θεωρώ πως είι πολύ σηµτικό γωρίζου οι µθητές τη προέλευση της οοµσίς τω θεωρηµάτω Μέσης Τιµής του ιφορικού κι Ολοκληρωτικού Λογισµού κι µη γοού τη σηµσιολογί τους. Βιλιογρφί [] Αδµόπουλος Λ. Βισκδουράκης Β. Γλάς. Πολύζος Γ. Σέρκος Α. Μθηµτικά Θετικής κι Τεχολογικής Κτεύθυσης Β Γεικού Λυ κείου. ΙΤΥΕ ιόφτος (04). [] Αδµόπουλος Λ. µιός Χ. Σέρκος Α. Μθηµτικά κι Στοιχεί Σττιστικής Γ Γεικού Λυκείου. ΙΤΥΕ ιόφτος (04). [3] Αδρεδάκης Σ. Κτσργύρης Β. Μέτης Σ. Μπρουχτούρης Κ. Ππστυρίδης Σ. Πολύζος Γ. Μθηµτικά Θετικής κι Τεχολογικής Κτεύθυσης Γ Γεικού Λυκείου. ΙΤΥΕ ιόφτος 04. [4] Κάκκουλος Ν. Θεόφιλος. Μθήµτ Θεωρίς Πιθοτήτω. Αθή 975. [5] Κάππος Α. ηµήτριος. Απειροστικός Λογισµός. Αθή 96. [6] Γιόπουλος Απόστολος. Απειροστικός Λογισµός. ( ιθέσιµο on lne: http://opencourses.uoa.gr/courses/math3/, προσπελάθηκε στις 3--5). [7] Θεοδωρόπουλος Λ. Πγιώτης. Μί γείκευση της Αριθµητικής κι Γεωµετρικής Προόδου ο Στθµικός µέσος ως γεικός µέσος. ( ιθέσι- µο on lne: http://www.p-theodoropoulos.gr/ergases/mathmat-proodos.pdf. [8] Ιστοσελίδ: http://www.ucy.ac.cy/~fots/phy3/mylectures/lect0.pdf, προσπελάθηκε στις 5--05).