4 επαναληπτικά θέματα για τα μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Σχολικό έτος 4 Ελεύθερη διάθεση για εκπαιδευτικούς σκοπούς
ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f: α,β με αβ τέτοια, ώστε για τους μιγαδικούς z α if α και z z β if β να ισχύει w z α Να αποδείξετε ότι z iz z iz β Να αποδείξετε ότι ικανοποιούνται οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle για την συνάρτηση g f στο διάστημα α,β γ Να αποδείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων δ Αν ισχύει ότι α,β lim α α f α t α αt dt, να αποδείξετε ότι η εξίσωση f έχει λύση στο Λύση: z z α if α β if β α if αβ if β z z α w w w z z z z αf β βf α Ακόμα: z iz z iz α if α i β if β α if α i β if β α if α iβ f β α if α iβ f β α f β i f α β f β α i f α β α f β f α β f β α f α β α f β f α β f β α f α β αf β βf α αf β βf α αf β βf α Επομένως z iz z iz β H g f, α,β, παραγωγίσιμη στο α,β και gα α β, είναι συνεχής στο f α α ενώ gβ f β β α,β ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων,
f α Όμως αf β βf α gα g β α β θεωρήματος Rolle στο α,β αβ f β Συνεπώς η g ικανοποιεί τις υποθέσεις του γ Έχουμε ότι g ξ α,β τέτοιο ώστε f f f Από το ερώτημα β θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξfξ f ξ f ξ g ξ fξ, ξ α,β ξ ξ Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο ξ είναι η: f ξ f ξ y fξ fξ ξ y f ξ ξ y ξ ξ Επειδή οι συντεταγμένες του O, επαληθεύουν την εξίσωση της εφαπτομένης, έχουμε ότι υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων δ Θέτω α t u, έχουμε dt du Για t α u ενώ για t u α Επομένως Συνεπώς έχουμε ότι f α t f u f u f u dt du du du α α t α u α u α u α α α α f α t f u g u du α lim dt lim α α α du lim lim g g α α α t α α u α ( α) DLH α Συνεπώς f α g α f α α α Οπότε βf α αf β f β β Θεωρώ h f, α,β Η h συνεχής στο α,β, παραγωγίσιμη στο Συνεπώς από θεώρημα Rolle, υπάρχει ένα τουλάχιστον α,β και hα f α α, α,β τέτοιο ώστε: h f f Επομένως η εξίσωση α,β στο διάστημα h β f β β f έχει μια τουλάχιστον ρίζα
Θέμα ο Έστω η συνεχής συνάρτηση f: με f 4 f t α Να δείξετε ότι η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο dt, για κάθε β Να δείξετε ότι η C f έχει ένα σημείο καμπής του οποίου να βρείτε τις συντεταγμένες γ Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να βρείτε τα κοινά σημεία των C f, δ Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τις C f, C f C f Λύση: α Η f είναι συνεχής στο, οπότε και η συναρτήσεων Άρα το 4 f f Έχουμε ότι για κάθε 4 f t ισχύει dt 4 f t είναι συνεχής στο ως πράξεις συνεχών παραγωγίσιμο στο,συνεπώς η f είναι παραγωγίσιμη στο με 4 f, οπότε έχουμε ότι για κάθε Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο, άρα και "", οπότε αντιστρέφεται Επίσης f, άρα η f Επίσης για f f f f Ενώ για f f f Η f παραγωγίσιμη στο συναρτήσεων Άρα η β μοναδική λύση της εξίσωσης f, οπότε και η 4 f t f είναι παραγωγίσιμη στο με f f 8f f f f f είναι παραγωγίσιμη στο 8f f f, ισχύει f ως πράξεις παραγωγίσιμων f 8f f f 8f f Επομένως η f είναι κυρτή στο, και κοίλη στο, Παρουσιάζει στο σημείο M,f, σημείο καμπής
4 f f ff 4 f f 4 f γ f f 4 c f Για έχουμε f f 4 c c f f 4 Οπότε Γνωρίζουμε ότι αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα, τότε οι εξισώσεις f και f f είναι ισοδύναμες (Η απόδειξη βρίσκεται στην Σελ 76 Τόμος Α «Εισαγωγή στην Θεωρία Συναρτήσεων Νικολάου Ε Καντιδάκη») Έτσι: f f f 4 9 Άρα ή ή Οπότε τα κοινά σημεία των B, C,C είναι τα A,, f f O,, δ Θα δείξουμε, ότι η f έχει σύνολο τιμών το, οπότε η f θα έχει πεδίο ορισμού το Θεωρώ g 4,, η g παραγωγίσιμη στο με g για κάθε, άρα 4 4 η g γνησίως αύξουσα στο οπότε και "" Έχουμε ότι η g έχει σύνολο τιμών το lim g, lim, g f f Επίσης επειδή, έχουμε οτι gf f g Επομένως η f έχει σύνολο 4 τιμών το πεδίο ορισμού της g, δηλαδή το Έχουμε f f f f f f f f 4 4 4, Προσδιορίζουμε τη σχετική θέση των πάνω από την ευθεία C f,c Επειδή η f κοίλη στο f y στο,,ενώ η,,έχουμε ότι η C f βρίσκεται f θα βρίσκεται κάτω από την ευθεία y στο, 4
Έτσι από τη συμμετρία έχουμε: E 4 f d 4 f d 4 d 4 d 4 4 4 4 7 7 4 7 7 4 4 4 8 48 8 48 8 6 6 4 τετραγωνικές μονάδες 5
Θέμα ο Έστω οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g :,, οι οποίες ικανοποιούν τις σχέσεις: f f g g f για κάθε () g g για κάθε () g α Να βρείτε τις συναρτήσεις f και g β Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από τις C f,c g και τις ευθείες με g γ Να υπολογίσετε το όριο lim f και δ Να αποδείξετε ότι η εξίσωση (Θέμα ΕΜΕ ) e ln f g έχει ακριβώς μια ρίζα στο διάστημα,e Λύση: α Η συνάρτηση g f g ισοδύναμα γράφεται: Από τη σχέση () προκύπτει ότι είναι παραγωγίσιμη στο, ως πηλίκο παραγωγισίμων, οπότε η σχέση () f g f f g g () g για κάθε,, οπότε: g g g c g g g Για Άρα: (και αφού g ) : c c c g g g,, (4) H σχέση () λόγω των σχέσεων () και (4) γράφεται: fg f g f f f f 6
f f f f f f c f c Για (και αφού f Άρα f,, ) είναι:,, f c c c f g, οπότε το ζητούμενο εμβαδόν E f g d f g d d ln ln τμ β Στο διάστημα, ισχύει: είναι γ Για κάθε, είναι: f και g οπότε το ζητούμενο όριο λαμβάνει τη μορφή: lim υπολογίσουμε το όριο και επειδή για κάθε lim ln, είναι ln ln e e, αρκεί να Είναι: ln lim ln lim lim lim DLH ln ln lim ln lim lim e lim e e e e οπότε δ Για κάθε, είναι f e ln f και g οπότε g και η δοθείσα εξίσωση στο διάστημα,e είναι ισοδύναμη με την 7
Θεωρούμε τη συνάρτηση Θα αποδείξουμε ότι η εξίσωση h e ln,,e h, έχει μια ακριβώς ρίζα στο διάστημα,e H συνάρτηση h είναι συνεχής στο,e, ως άθροισμα συνεχών h e ln και e e e 5 he e lne e 5 e διότι e 5 h h e Άρα η συνάρτηση h ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θεωρήματος Bolzano, οπότε η εξίσωση μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα,e Για κάθε,e έχουμε: και e Οπότε h έχει e ln e h h αφού για e είναι: e e Άρα η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα, οπότε η εξίσωση διάστημα,e h θα έχει μια ακριβώς ρίζα στο 8
Θέμα 4ο Έστω η συνεχής συνάρτηση u f:, η οποία ικανοποιεί τις σχέσεις: συν tf t dt f t dt du ημ για κάθε () f () f α () α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α β Να αποδείξετε ότι f συν, γ Να βρείτε: (Θέμα ΕΜΕ ) i Την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της γραφικής παράστασης C f της συνάρτησης f στο σημείο της με τετμημένη π ii Το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση από την εφαπτομένη (ε) της C f και τις ευθείες με εξισώσεις π και 4π C f της συνάρτησης f, Λύση: α H συνάρτηση f είναι συνεχής στο, άρα η συνάρτηση άρα και συνεχής στο, οπότε η συνάρτηση u g u u f t dt είναι παραγωγίσιμη στο, g u du f t dt du είναι παραγωγίσιμη στο Η tf t είναι συνεχής στο, άρα και η συνάρτηση Επίσης οι συναρτήσεις συν και ημ είναι παραγωγίσιμες στο Παραγωγίζοντας και τα δυο μέλη της σχέσης () έχουμε: u συν tf t dt f t dt du ημ tf t dt είναι παραγωγίσιμη στο ημ f f t dt ημ συν f f t dt ημ συν, (4) Από τη σχέση (4) για κάθε,, έχουμε: f f t dt ημ συν Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε καθένα από τα διαστήματα, και,, γιατί ο τύπος της f προκύπτει από πράξεις μεταξύ παραγωγίσιμων συναρτήσεων σε καθένα από αυτά τα διαστήματα Από τη σχέση () έχουμε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη και στο παραγωγίσιμη στο Προσδιορισμός του πραγματικού αριθμού α: (5), οπότε είναι 9
Για,, έχουμε: f f f f α f lim lim Είναι: (6) f t dt ημ συν f f tdt ημ συν lim lim lim DLH f συν συν ημ f ημ f ημ lim lim lim lim f lim lim ημ α, οπότε, λόγω της σχέσης (6) είναι: α α α α β) Παραγωγίζοντας και τα δύο μέλη της σχέσης (4) έχουμε: f f t dt ημ συν f f f συν συν ημ f ημ, Σε καθένα από τα διαστήματα, και f, έχουμε: f ημ συν οπότε: συν c, H συνάρτηση f είναι συνεχής στο, άρα είναι συνεχής και στο συν c,, lim f lim f f οπότε έχουμε: lim συν c lim συν c συν c συν c c c Επομένως: συν, f, f συν συν,, γ i Είναι: π π f συν π π f ημ οπότε η εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της C f στο σημείο της με τετμημένη π είναι: π π ε : y y
π 4π ii Στο διάστημα, η συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη, με f συν, οπότε η συνάρτηση f είναι κοίλη στο διάστημα αυτό f ημ και Επομένως η εφαπτομένη (ε) της C f στο σημείο της με τετμημένη π, βρίσκεται πάνω από την C f Επομένως το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση C f της συνάρτησης f, από την εφαπτομένη (ε) της C f και τις ευθείες με εξισώσεις π και 4π είναι: 4π 4π 4π π E π ε f d π ε f d π συν d 4π 4π π 4π π 6π 4π π π ημπ ημ ημ π 4 9 9 6 π π 9 τμ
Θέμα 5ο Έστω η δυο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f, για την οποία δίνονται f () για κάθε, και f =, f =, f α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη και να βρείτε το σύνολο τιμών της β Να αποδείξετε ότι η ευθεία y εφάπτεται στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f γ Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα, τέτοιο ώστε δ Να αποδείξετε ότι : i f f f f ii f για κάθε, iii f d για κάθε, f ε Να αποδείξετε ότι η ευθεία e y τέμνει ακριβώς σε ένα μόνο σημείο την γραφική παράσταση της f στ Να αποδείξετε ότι υπάρχουν (Θέμα 8 Συλλογής) ξ,ξ, με ξ ξ τέτοια ώστε f ξ f ξ f ξ Λύση: α Έχουμε f για κάθε, και συνεπώς η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, αφού επιπλέον είναι συνεχής ως παραγωγίσιμη Η f στο, παρουσιάζει ως συνεχής ελάχιστη τιμή στο f f τιμών f, f,f, και άρα Η f λοιπόν είναι γνησίως αύξουσα στο, με σύνολο β Η εφαπτομένη της C f στο,f, έχει εξίσωση y f f y γ Από ΘΜΤ για την f στο, έχουμε ότι υπάρχει ξ, τέτοιο ώστε f f f ξ ξ,, τέτοιο ώστε Από ΘΜΤ για την f στο ξ, έχουμε ότι υπάρχει f fξ f o ξ ξ δ Από ΘΜΤ για την f στα διαστήματα, και, παίρνουμε ότι υπάρχουν ξ, f f f f ξ, τέτοια ώστε fξ και fξ ξ ξ f f f f ξ ξ fξ fξ και Τότε για παίρνουμε αφού η f είναι γνησίως φθίνουσα στο,
δ Η σχέση f ισχύει ως ισότητα για και Για, f f f f f δ Από το δ έχουμε f f Επιπλέον η f συνεχής και συνεπώς : f d f d d ε Έστω η συνάρτηση h Θεωρώ τη συνάρτηση φ f h f,, Η fσυνεχής και επιπλέον φ και φ, τέτοιο ώστε φ f h f h από το δ έχουμε φ συνεχής στο, αφού η Από θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον Επιπλέον η φ γνησίως αύξουσα αφού στ Από ΘΜΤ για την f στα διαστήματα φ f, και, έχουμε ότι υπάρχουν ξ, f f και fξ f f ξ, τέτοια ώστε fξ f ξ f ξ και f ξ και Τότε
Θέμα 6ο Έστω η συνάρτηση f,συνεχής στο και παραγωγίσιμη στο Αν g:, συνάρτηση με g τότε: f t dt, t, και ο μιγαδικός z : z i z i α Να αποδείξετε ότι οι εικόνες του μιγαδικού, ανήκουν στην ευθεία (ε) y (), β Αν η ευθεία ε, είναι πλάγια ασύμπτωτη της C f στο να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ ώστε να f 5 ημ κ ισχύει lim f γ Να αποδείξετε ότι: g f αν f udu αν δ Να αποδείξετε ότι η g είναι παραγωγίσιμη στο ε Αν ο μιγαδικός τέτοιο ώστε f ξ (Θέμα 6 Συλλογής) ικανοποιεί την σχέση () να δειχθεί ότι υπάρχει ξ, z f t dt i f t dt g ξ Λύση: α Έστω z yi,,y έχουμε z i z i yi i yi i y i y i y y y y 4 4 y y 4 4 y y 4y 8 y Συνεπώς οι εικόνες του μιγαδικού, ανήκουν στην ευθεία (ε) y β Επειδή η ευθεία (ε) y είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο έχουμε και f lim lim f 5ημu 5ημu Αρχικά έχουμε και lim lim u u u u u u u u u 5ημu Άρα από κριτήριο παρεμβολής έχουμε lim u u 4
u f u f 5ημu 5 ημ κ u κ κ κ Οπότε lim lim u u u f u u f κ Άρα κ 8 γ Έχουμε g() f t dt, οπότε για έχουμε: g f dt f dt f t f f Για θέτουμε t u, οπότε du dt Για t έχουμε u, ενώ για t έχουμε u Συνεπώς για Τελικά, g έχουμε f u du g f t dt f u du f αν f udu αν δ Έχουμε ότι η f είναι συνεχής στο, οπότε το f u du παραγωγίσιμο στο Η παραγωγίσιμη στο,,, άρα η g παραγωγίσιμη στο,, Επίσης g g f udu f f udu f f f f lim lim lim lim DH Επομένως η g παραγωγίσιμη στο με g ε Έχουμε : f f udu, f, z α αi f tdt α f tdt α f t dt α z f tdt i f tdt f tdt α f tdt f tdt α f tdt α Η g συνεχής στο ξ, τέτοιο ώστε:,, παραγωγίσιμη στο τουλάχιστον ένα,, από Θεώρημα Μέσης Τιμής έχουμε ότι υπάρχει 5
g g gξ g g f t dt f t dt α α Δηλαδή gξ f u du f u du f ξ f u du f ξ ξ ξ ξ ξ g ξ f ξ ξ f ξ ξ ξ 6
Θέμα 7ο Α Έστω η συνάρτηση f e, και οι μιγαδικοί αριθμοί z i και α Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα β Να βρεθεί ο ώστε το γινόμενο των μιγαδικών z και w να είναι φανταστικός Β Δίνεται η συνάρτηση f α β ε : y α 4 β, να βρεθούν τα α,β * w e i Αν η C f έχει στο ασύμπτωτη την ευθεία Λύση: Αα Η f είναι παραγωγίσιμη στο με f e e e Από τον παραπάνω πίνακα προκύπτει ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα, και γνησίως αύξουσα στο διάστημα, ενώ παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο στο το f Το τοπικό ελάχιστο είναι και ολικό αφού και lim f lim e lim f lim e lim lim e e DHL β z w i e i e i i e i e i i e 7
e i e άρα πρέπει Β Αν η f e f C έχει στο ασύμπτωτη την ευθεία και f lim α ε : y α 4 β έχουμε: lim f α 4 β Επειδή f α β α lim lim lim α πρέπει α α α και β lim f α lim f lim β β β lim lim lim β πρέπει β 4 β β 8
Θέμα 8ο ίνεται μια συνάρτηση f :, η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ικανοποιεί τις συνθήκες, f - 4f 4f ke f f, 4 f f e, f e όπου k ένας πραγματικός αριθμός f -f α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g, ικανοποιεί τις υποθέσεις του e θεωρήματος του Rolle στο διάστημα, ξ β Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε να ισχύει f ξ 4f ξ 6ξe 4 fξ γ Να αποδείξετε ότι k 6 και ότι ισχύει g για κάθε, δ Να αποδείξετε ότι f e ε Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα (Επαναληπτικές 9), f d Λύση: α Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο, και παραγωγίσιμη στο, Επιπλέον g f f και 4 f f f e f g 4 4 e e Άρα ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος του Rolle για την g στο διάστημα, g ξ β Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle Υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε Όμως f f e e f f g 6 4 e f f f f f 4f 4f 6 6 e e Συνεπώς f ξ 4f ξ 4f ξ ξ gξ 6ξ f ξ ξ 4f ξ 6ξe 4fξ () e 9
γ Αφού ξ,, από υπόθεση έχουμε Από τις σχέσεις () και () προκύπτει κ 6 και επειδή g g c θα είναι g, για κάθε, g, f ξ 4f ξ 4f ξ κξe ξ (), επομένως f 4f 4f 6e, οπότε δ Είναι g f f e e f e f e f e f c Για βρίσκουμε c f e, άρα ε Έχουμε f() e d d e d e d 4 e e e e 4 4
Θέμα 9ο Δίνεται ο μιγαδικός z e i, α) Να αποδείξετε ότι: Rez Imz για κάθε β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον, είναι πραγματικός γ) Να βρείτε το μιγαδικό z του οποίου το μέτρο να γίνεται ελάχιστο (ΟΕΦΕ 5) τέτοιος ώστε ο αριθμός w z z i να Λύση: α Re z Im z e e Έστω f e Τότε f e H f για για κάθε f παρουσιάζει ελάχιστο το f e Άρα f f δηλαδή β w e i e i i e i e e i i e e i e Έστω g e,, Η g είναι συνεχής στο g e g e, με: Άρα gg Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει, τέτοιος ώστε σημαίνει ότι υπάρχει ένας τουλάχιστον, τέτοιος ώστε ο w να είναι πραγματικός g που γ z e το οποίο γίνεται ελάχιστο όταν η συνάρτηση h e διότι η συνάρτηση F είναι γνησίως αύξουσα έχει ελάχιστο
διότι για κάθε Άρα η h είναι γνησίως αύξουσα h e Προφανής λύση είναι η h 4e h e Είναι Για κάθε h h και για κάθε έχει ελάχιστο στο ισχύει Συνεπώς ο μιγαδικός z e i i έχει το μικρότερο μέτρο ισχύει h h Επομένως η h
Θέμα ο Δίνεται η συνεχής συνάρτηση f: η οποία για κάθε ικανοποιεί τις σχέσεις: f t f dt f t t α Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο με παράγωγο f β Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση γ Να αποδείξετε ότι f 9, δ Να αποδείξετε ότι f tdt (Πανελλαδικές ) f f g f f,, είναι σταθερή + + f t dt, +,, Λύση: α Έχουμε t f dt, Η συνάρτηση f t t συνεχών συναρτήσεων οπότε η t f t t dt, είναι παραγωγίσιμη f t t, t, είναι συνεχής ως πράξεις t t Έτσι, η συνάρτηση f dt, είναι παραγωγίσιμη ως άθροισμα παραγωγίσιμων ft t συναρτήσεων με παράγωγο: f f f f, β Η συνάρτηση συναρτήσεων με παράγωγο: g f f,, είναι παραγωγίσιμη ως πράξεις παραγωγίσιμων g f f f f f f f f f Για το τελευταίο = χρησιμοποιήσαμε την ισότητα του α Άρα η συνάρτηση g είναι σταθερή Ακόμα είναι g f f 9 και έτσι g 9, γ Από το β έχουμε: g f f 9, Άρα
f f 9 f() 9 f 9, Είναι f για κάθε και η συνάρτησηf πρόσημο και εφόσον f θα είναιf Άρα f 9 f 9 για κάθε είναι συνεχής οπότε διατηρεί σταθερό για κάθε δ ος τρόπος : Θεωρούμε τη συνάρτηση Fu f u και F u Έτσι η F είναι γνησίως αύξουσα u f t dt, u, η οποία είναι παραγωγίσιμη με u u 9 u F u f u, u () u 9 u 9 Από Θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχει, F F F F F τέτοιο ώστε:, () Ακόμα από Θεώρημα Μέσης Τιμής υπάρχει, τέτοιο ώστε: F F F F F, () Από (),() και με τη βοήθεια της μονοτονίας της F είναι: F F F F F F + + + Άρα f t dt f t dt f t dt f t dt + + f t dt f t dt f t dt f t dt + + + f t dt + f t dt () Αιτιολόγηση: u 9 u u u 9 ος τρόπος : f, 9 9 Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα u+ u+ u, u, η οποία είναι Θεωρούμε τη συνάρτηση u παραγωγίσιμη με παράγωγο F u f u f u F u f t dt f t dt f t dt για κάθε u 4
Άρα η F είναι γνησίως αύξουσα Οπότε: F F για κάθε ή + + f tdt f tdt για κάθε + 9 ος τρόπος : f, 9 9 Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα f t f t για κάθε t + + f t dt f t dt για κάθε t Όμως Άρα t u + + + f t dt f udu f tdt Έτσι, f tdt + + + + + f t dt για κάθε 5
Θέμα ο Δίνεται η f συνεχής στο α Να δειχτεί ότιf β Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των z γ Να βρείτε το όριο z, f για κάθε με f d και z z lim z z f δ Αν το εμβαδόν της f με ' από τη μέχρι τη είναι μικρότερο του z η εξίσωση (Θέμα 5 Συλλογής) f t dt 6 6 έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο, z, να δειχτεί ότι Λύση: α Η f και διάφορη του μηδενός για κάθε και συνεπώς διατηρεί πρόσημο στο Αφού f f για κάθε, έχουμε z β Η σχέση f d ισχύει για κάθε και γεωμετρικός τόπος των εικόνων των z είναι ο μοναδιαίος κύκλος f για κάθε Οπότε z Ο γ Για z α βi, α,β έχουμε z z α και z z β Οπότε: z z α α α lim lim lim lim z z β β β διότι Η εικόνα του z κινείται στον μοναδιαίο κύκλο και συνεπώς α, άρα α Ομοίως β δ Το εμβαδόν που περικλείεται από τη C f, τον οριζόντιο άξονα και τις ευθείες και είναι f d αφού λόγω του (α) έχουμε Άρα f για κάθε f d z z z z z z z Άρα f d () Θεωρώ τη συνάρτηση h f tdt 6 6 με, Η πράξεις των συνεχών (συνεχής ως πολυωνυμική) f t dt (η f συνεχής και άρα η f t dt παραγωγίσιμη) και h συνεχής στο, ως 6 6 6
Επιπλέον h 6 και από τη σχέση () Από Θεώρημα Bolzano, υπάρχει h f d ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε o h f t dt t 6t 6 7
Θέμα ο α Δίνονται οι μιγαδικοί z,z για τους οποίους ισχύει z z z z Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών w z z β Δίνονται οι μιγαδικοί f και z iα (α) και f είναι μια παραγωγίσιμη συνάρτηση στο z f i που ικανοποιούν τη σχέση του ερωτήματος με f και f Να δειχθεί ότι α γ Αν για τη συνάρτηση g με τύπο g Im(z z ) ισχύει το θεώρημα Rolle στο e e f γ f δ fδ, fγ (Θέμα 7 Συλλογής) f γ γ,δ να δείξετε ότι Λύση: α z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z 4Re z z Άρα ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του zz είναι το ημιεπίπεδο για τα β Αφού οι αυτούς Όμως f και z iα Re z z z f i ικανοποιούν τη σχέση του ερωτήματος α θα ισχύει για f f f f z z iα f i f i iα iα f α f f f z z f α α α f i Οπότε f Re z z f α Θεωρώ h f α f με Τότε έχουμε h h h Δηλαδή η h Επιπλέον η h παραγωγίσιμη στο ως πράξεις παραγωγίσιμων με παρουσιάζει μέγιστο στο f h f α ln α f h f α ln α, άρα παραγωγίσιμη και στο Από Θεώρημα Fermat λοιπόν θα ισχύει : Όμως f, οπότε f f f h f α ln α α lnα lnα α e Συνεπώς ισχύει α f f γ Για την g έχουμε: g Imz z g e e f Η g ικανοποιεί τις 8
προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο γ,δ και συνεπώς η αντίστοιχο ανοιχτό διάστημα γ,δ και gγ gδ Οπότε f γ f γ f δ f δ g συνεχής στο g γ g δ e e f γ e e f δ f γ f γ f δ e f δ e f γ e f δ με f δ e f γ f γ γ,δ, παραγωγίσιμη στο 9
Θέμα ο z Δίνονται οι μιγαδικοί z α βi και z όπου α,β, β Δίνεται επίσης ότι z z z α Να αποδείξετε ότι z z β Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του z, στο μιγαδικό επίπεδο γ Αν ο αριθμός z i z i (Επαναληπτικές 7) z είναι φανταστικός και αβ, να υπολογιστεί ο z και να δειχθεί ότι Λύση: α Έχουμε z α βi α βi α βi 4 α β 4βi α βi α β α β Επομένως 4 α β 4β z z α β i α β α β Επειδή z z, θα ισχύει α β 4α () 4β () β α β 4 α β () και μετά τις πράξεις Από τις () και () προκύπτει 4 α β 4α z z, λόγω της () 4 β Από την σχέση () έχουμε ότι ο z α βi ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων του Αν β, τότε από την () προκύπτει α ή α 4 παραπάνω γεωμετρικό τόπο τα σημεία A 4, ικανοποιεί τη συνθήκη z είναι κύκλος με κέντρο Κ, και α β 4 οπότε προκύπτει και ακτίνα ρ Επειδή δίνεται ότι β, εξαιρούνται από τον O,
γ Είναι z α βi α β αβi Επειδή ο α β Όμως αβ, άρα α β Επομένως z α αi z είναι φανταστικός, θα είναι α β α β ή Έστω w z i α αi i α i, οπότε w z i α αi i α i Επειδή w α i i α και w α i i α, w w i α i α α α Θα έχουμε
Θέμα 4ο Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : * με ισχύει: f f ημ για κάθε και f α Να δείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης f είναι ο f β Να δείξετε ότι f για κάθε f για κάθε, τέτοια ώστε να, για κάθε συν γ Έστω g μια παραγωγίσιμη συνάρτηση στο για την οποία ισχύει: g f, τότε: g i Να δείξετε ότι η συνάρτηση h e είναι κοίλη στο g g ii Να δείξετε ότι: e e, για κάθε iii Να δείξετε ότι η εξίσωση π,π g e, για κάθε g e, έχει το πολύ μια πραγματική ρίζα Λύση: α f f ημ f f ημ f f ημ, άρα Επομένως f συν c Για = έχουμε f συν, f c c άρα συν f συν οπότε f f συν 4 συν β 4 συν συν 4 συν που ισχύει για κάθε γi Είναι : g g g h e g e f e f, παραγωγίσιμη στο ως πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με στο π,π ημ h f συν για κάθε π,π άρα h κοίλη
γii Ισχύουν για την h οι υποθέσεις του ΘΜΤ στο διάστημα τουλάχιστον ξ, τέτοιο ώστε h ξ f ξ,, άρα υπάρχει ένα g g h h e e Όμως g g f ξ άρα e e οπότε g g e e g iii Έστω g συναρτήσεων με φ e g f οπότε η άρα η φ έχει το πολύ μία ρίζα στο φ e,, Παραγωγίσιμη στο σαν πράξεις παραγωγίσιμων φ είναι γνησίως φθίνουσα στο,
Θέμα 5ο Δίνεται η συνάρτηση με τύπο α ο τύπος της συνάρτησης t F e dt Να βρεθούν: β η τιμή F και να ελεγχθεί η συνέχεια το σημείο γ η τιμή F δ η μονοτονία και η καμπυλότητα της συνάρτησης F ε ισχύει ότι F e, F στ τα lim ημ, lim F Λύση: α Αν u t τότε du dt και t u, t u οπότε με ή t u u e F e dt e du e β Είναι u u και limf lim lim e u u F u F e dt στο σημείο e e άρα είναι συνεχής γ Αν θεωρήσουμε την g e, και g = τότε η F g F F g lim lim limg και επειδή είναι g DLH, και e e, και e e επειδή e e e limg lim lim lim e θα είναι και lim g DLH F F άρα θα έχουμε και lim limg άρα παραγωγίσιμη στο σημείο με F δ Είναι F g e e, άρα παραγωγίσιμη με F g g, h e e, άρα η h είναι γνήσια αύξουσα στο, επομένως για έχουμε ότι αν, και για την επειδή ισχύει ότι h e, h h επομένως 4
h g,, άρα και g, επομένως για την F g θα είναι F, άρα γνήσια αύξουσα στο, και F,, άρα γνήσια φθίνουσα στο, Τώρα είναι F g 4 g, με g e e e e e e g οπότε αν θεωρήσουμε την 4 φ e e e φ e e e e e e, έχουμε ότι, άρα γνήσια αύξουσα στο φ g,, Eπομένως θα ισχύει ότι άρα και g, άρα F g 4 g, δηλαδή η F είναι κυρτή στο e e e, ή 4 φ φ, επομένως η ε Είναι t άρα και t t dt e dt e dt e dt e () t, επομένως και t e e e άρα και F F στ Είναι lim lim F ημ ημ Ακόμη από F e, είναι F e και F e e e lim lim lim lim lim e και όμοια στο e F e DEL e e DEL 4e lim lim lim lim lim lim 5
Θέμα 6ο Έστω η συνάρτηση f συνεχής στο για την οποία για κάθε ισχύει : - f t t f t dt e e, και ο μιγαδικός z για τον οποίο ισχύει f zz 4 f 4 z α Να βρείτε το τύπο της f β Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο της εικόνας του z γ Ένα κινητό Μ κινείται στο γεωμετρικό τόπο του z i Να βρείτε σε ποιο σημείο του γεωμετρικού τόπου ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του M ως προς το χρόνο t είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης y, αν υποτεθεί ότι y t t < για κάθε t και Λύση: ii Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης y τη χρονική στιγμή που το κινητό M περνάει A,, όπου η τετμημένη ελαττώνεται με ρυθμό μονάδες το δευτερόλεπτο από το Με t u έχουμε ότι dt du και t u, t u άρα από - f t t f tdt e e προκύπτει ότι f u u f u du e e ή f u f u f u du e e ή u f u du e e () και παραγωγίζοντας έχουμε ότι είναι f e e Επειδή τώρα η f είναι συνεχής στο θα είναι limf f και αφού και για f e e e e e e limf lim lim e e e, είναι f e, (από τον ορισμό του παράγωγου αριθμού) θα είναι f e άρα β Είναι η f παραγωγίσιμη για με (e e)( ) e e e e f 6
ισχύει ότι g e e e e άρα, και g,, επομένως γνήσια φθίνουσα στο δηλαδή ισχύει g g για κάθε Τώρα για την g e e e επομένως γνήσια αύξουσα στο έχει ολικό ελάχιστο στο Επομένως για την f g ισχύει συνεχής στο θα είναι γνήσια αύξουσα στο f για κάθε,, g,,, άρα και αφού είναι Ισχύει ακόμα ότι z z 4 z 4 zz 4 4 z οπότε θα είναι f zz 4 f 4 z και αφού από υπόθεση έχουμε ότι f zz 4 f 4 z θα ισχύει ότι f zz 4 f 4 z zz 4 4 z z άρα z οπότε η εικόνα του z ανήκει σε κύκλο κέντρου O, και ακτίνας ρ γi Ισχύει κάθε χρονική στιγμή ότι t yt t t yt yt και αφού t y t 4 και θέλουμε σε ποιο σημείο ισχύει ότι οπότε παραγωγίζοντας την ισότητα ως προς το χρόνο έχουμε ότι t t y t y t t t y t y t και για t t ισχύει t y t θα ισχύει ότι t yt t yt επομένως από και τότε t, άρα στο σημείο M ως προς το χρόνο t είναι ίσος με το ρυθμό μεταβολής της τεταγμένης y t y t 4 y t 4 y t ο ρυθμός μεταβολής της τετμημένης του y t ii Τώρα όταν t =, yt yt και t από t t y t y t προκύπτει ότι 7
Θέμα 7ο Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :, για την οποία για κάθε ισχύουν f f και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο Α, f, α Να δείξετε ότι η παράγωγος της f είναι συνεχής στο ανοικτό διάστημα, και να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f β Να δείξετε ότι f f t, dt t F f t dt t, γ Να βρείτε τη συνάρτηση δ Να αποδείξετε ότι t, για κάθε e e dt Λύση: α Για κάθε είναι f f f f, και η f είναι παραγωγίσιμη άρα και συνεχής στο Η συνάρτηση είναι συνεχής στο, ως γινόμενο συνεχών συναρτήσεων Ακόμη για κάθε είναι f f e f e f e,, συνεπώς η f είναι συνεχής στο e f e f c, όπου c πραγματική σταθερά Επειδή η γραφική παράσταση της f διέρχεται από το σημείο Α, θα είναι f, άρα e f c e c c e Συνεπώς για κάθε είναι e f e f e β Έστω gt f t, t Είναι t f t t f t t f f t t t 4tf t tf t tf t t 4tf t t g t f t t t t t t t e, για κάθε t t t g g t gggt Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα στο, Για κάθε t, έχουμε : και gt g t g gt g g gt και gt g Επειδή λοιπόν οι g gt gt g δεν είναι παντού μηδέν, είναι συνεχείς και μη αρνητικές στο, θα έχουμε : Επίσης αν, 8
g gt dt () και gt g Από την () προκύπτει Από την () προκύπτει dt () g dt g t dt dt dt dt f t f t t t f t f t f g t dt g dt dt g dt dt t t Επομένως f t, f dt t γ Για κάθε t f t t e F f t dt f t dt e dt t t t έχουμε t t e dt e e e e t t δ Η σχέση t γράφεται ισοδύναμα e e dt t t f tdt () e dt f dt Είναι e e f f ftdt t tf tdt (4) ft tf dt Επειδή η tf t f t είναι συνεχής στο, και για κάθε t, είναι tf t ft Για κάθε t tf t f t tf t f t ), δεν είναι παντού μηδέν στο tf t f t tf t t, (με θα ισχύει f t dt, dt dt f dt (5) Από τις (4) και (5) παίρνουμε δηλαδή την (), οπότε το ζητούμενο έχει αποδειχθεί 9
Θέμα 8ο Έστω συνάρτηση f, δυο φορές παραγωγίσιμη στο με την f συνεχή στους πραγματικούς αριθμούς Αν η συνάρτηση f ικανοποιεί τις συνθήκες f f [f ] f f, α Να βρείτε τον τύπο της f α lnf d, α α 4 β Να αποδείξετε ότι f f τότε : γ Αν g είναι συνεχής συνάρτηση στο διάστημα, με σύνολο τιμών το, gt να αποδείξετε ότι η εξίσωση dt έχει μια μόνο λύση στο, f t (Θέμα 7 Συλλογής) Λύση α f f f f f f f f f f f c Για η τελευταία γίνεται: c c Άρα: f f f f f f e f e f e f e c Επειδή f τότε c άρα: f e Από την τελευταία σχέση προφανώς η f για κάθε, άρα θα διατηρεί σταθερό πρόσημο, και αφού f τότε f για κάθε Οπότε τελικά: f e β Έστω h lnf Τότε είναι: h h 4 4 Άρα η g είναι περιττή, όποτε α h d -α 4 γ Η g έχει σύνολο τιμών το, οπότε g Όμως g g f f g t Οπότε: dt f t Έστω τώρα η συνεχής συνάρτηση στο, με για κάθε f Άρα: g t φ dt f t f 4
φ, g t φ dt, οπότε από Bolzano η φ έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο f t, Όμως η συνάρτηση g g t f t dt είναι συνεχής στο, άρα η συνάρτηση φ είναι παραγωγίσιμη με φ f όποτε η φ είναι γνησίως αύξουσα άρα έχει μοναδική ρίζα στο, 4
Θέμα 9ο Δίνεται η συνάρτηση φt t μ, t, όπου η παράμετρος μ είναι ένας πραγματικός αριθμός Μια Εt που δίνονται σε εκατομμύρια δραχμές, με τον τύπο Εt t φt, επιχείρηση έχει έσοδα t, όπου t συμβολίζει το χρόνο σε έτη Το κόστος λειτουργίας Κt της επιχείρησης δίνεται, επίσης σε εκατομμύρια δραχμές,σύμφωνα με τον τύπο Κt φt 4, t Pt, για t, όταν γνωρίζουμε ότι κατά το πρώτο έτος λειτουργίας η επιχείρηση παρουσίασε ζημιά δώδεκα εκατομμύρια δραχμές α Να βρείτε τη συνάρτηση κέρδους β Ποια χρονική στιγμή θα αρχίσει η επιχείρηση να παρουσιάζει κέρδη ; γ Ποιος θα είναι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης κέρδους στο τέλος του δεύτερου έτους ; 6 P t dt δ Να υπολογίσετε την τιμή του ολοκληρώματος I Λύση α Για κάθε t έχουμε : Pt Ε t Κ t t φ t φ t 4 t t μ t 4 μ t μt t μ t 8 μ t μ 4 t μ 8 Επειδή κατά το πρώτο έτος λειτουργίας η επιχείρηση παρουσίασε ζημιά εκατομμύρια δραχμές θα είναι P μ 4 μ 8 μ P t t 4 t 8, δηλαδή Άρα, t P t t t β Η επιχείρηση παρουσιάζει κέρδη όταν t P t t t t t 6 t Άρα η επιχείρηση θα αρχίσει να παρουσιάζει κέρδη μετά το τέλος του τρίτου έτους γ Ζητούμενο είναι το P Είναι Άρα P t 4t, t P 4 6 εκατομμύρια δραχμές / έτος t 6 6 δ I Ptdt t t dt t t 998 6 4
Θέμα ο t t Δίνονται οι συναρτήσεις ft, t,4 και α Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I β Να αποδείξετε ότι : t 4 e e e γ Να υπολογίσετε το lim g 4 f t dt, για κάθε t,4 t 4 g f(t) e dt, και Λύση t t α Η ft είναι συνεχής στο t,4 ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων άρα 4 4 t 4 4 I f t dt dt dt dt t t t 4 t ln t 8 ln6 ln 6 ln6 ln 6 ln β Για κάθε t,4 και έχουμε t 4 t 4 e t 4 e e e γ Για κάθε t,4 και είναι t 4 παίρνουμε e f t e f t e f t t f t, t και από την σχέση t 4 e e e t e f t e f t 4 e f t e f t () και () Λόγω της () προκύπτει 4 t f t e f t e dt t t 4 4 4 4 f t e dt f t e dt f t e dt e f tdt () g e 6 ln 4
Λόγω της () προκύπτει: 4 t 4 t 4 4 4 4 f t e dt f t e dt f t e dt f t e dt 4 4 4 4 e f t dt e f t dt e 6 ln g (4) 4 Από τις () και (4) παίρνουμε e 6 ln g e 6 ln 6 ln 6 ln im e 6 ln e 6 ln Όμως lim e lim l 4 4 6 ln 6 ln im e 6 ln e 6 ln και lim e lim l οπότε από το κριτήριο παρεμβολής θα ισχύει lim g 6 ln, 44
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΣΥΛΛΟΓΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο Έστω f μια συνεχής και γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο διάστημα Δίνεται επίσης συνάρτηση g συνεχής στο διάστημα Ορίζουμε τις συναρτήσεις: f tgtdt,,, G gtdt,, F α Να δειχθεί ότι F για κάθε στο διάστημα,, για την οποία ισχύει f, για την οποία ισχύει g για κάθε, β Να αποδειχθεί ότι: f G F για κάθε στο διάστημα, γ Να αποδειχθεί ότι ισχύει: δ Να βρεθεί το όριο: (Πανελλαδικές 7) Λύση: lim για κάθε στο διάστημα F F G G f t g t dt 5 g t dt ημt dt, α Η F f t gtdt είναι παραγωγίσιμη στο, αφού οι f,g είναι συνεχείς στο F f t g t dt F f g,, με Η f είναι γνησίως αύξουσα στο, άρα για κάθε, θα ισχύει f f και δηλαδή για κάθε, θα έχουμε f g Οπότε και f στο, με F Έτσι αν, τότε: F F F g δηλαδή F γνησίως αύξουσα β Έστω: f G F f G F f g t dt f t g t dt f f t g t dt Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι f f t g t όταν t, Η f αύξουσα στο, άρα για κάθε t f f t gt οπότε f g t dt f t g t dt θα έχουμε f f t f f t και f f t g t dt g t άρα 45
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου F γ Έστω συνάρτηση h με h Η h είναι παραγωγίσιμη στο G FG FG g f G F συναρτήσεων με G G h διότι g και f G F από το ερώτημα (β) και Άρα h γνησίως αύξουσα στο, και αν δ Έχουμε ότι τότε: h h, σαν πηλίκο παραγωγίσιμων G στο (,] F F G G f t g t dt ημt dt f tgtdt ημt dt lim lim lim 5 5 f tgtdt 5 gtdt g t dt g t dt g DLH ημt dt 4 f g ημ lim lim lim lim 4 5 4 4 f g ημ lim lim 4 4 g 5 ημ f lim lim f 5 5 διότι lim f f γιατί f συνεχής στο, και 4 4 ημ u ημu lim lim u 4 u 46
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέμα ο α Αν f,g δύο συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα α,β με f g για κάθε α,β β β g d α α ότι : f d β Δίνεται η συνάρτηση f :, με f ln e i Να βρείτε τη μονοτονία της f και να δείξετε ότι η f είναι θετική για κάθε, ii Να δείξετε ότι η ευθεία ε: y iii Να δείξετε ότι για κάθε, είναι ασύμπτωτη της C f e ln e e ισχύει iv Αν Ε είναι το εμβαδό που περικλείεται από την, να δείξετε ότι: Λύση: ln E e e Α Είναι f g f g Άρα e, να δείξετε C f, την ασύμπτωτη ε: y και τις ευθείες, β β β β β α α α α α f g d f d g d f d g d - Βi Η f είναι παραγωγίσιμη ως άθροισμα των παραγωγίσιμων συναρτήσεων, ln e e e e e f e e e Επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο f Άρα για f f ln f f e Άρα, με f ln ln με για κάθε ii Αρκεί να δείξουμε ότι lim f Είναι f ln e ln e οπότε:, lim e Άρα e u lim ln e lim lnu ln u u lim f και επομένως η y είναι ασύμπτωτη της C f 47
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου iii Θέτουμε όπου - e t Θα δείξουμε ότι Θεωρούμε gu t t ln t ln t ln ln t t () t t t t t lnu, u,t, t Για την g ισχύει το ΘΜΤ στο,t, άρα υπάρχει ξ,t τέτοιο ώστε να ισχύει : lnt ln lnt ln gξ Επομένως η () ισοδύναμα γίνεται: t ξ t t ξ t ξ ή t ξ που ισχύει, αφού ξ,t iv Το εμβαδό θα ισούται με Από το ερώτημα (γ) έχουμε ότι e e Ε f d ln e d ln e d e ln e e e d ln e d e d () Είναι: e e d d ln e e e lne lne ln lne ln e Επίσης: άρα e d e e e e και Άρα () ln E e e ln e d E 48
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέμα ο f ln dt t Δίνεται η συνάρτηση α Να εξετάσετε την f ως προς τη μονοτονία της β Να δείξετε ότι γ Να δείξετε ότι dt ln t 4 dt t φ, π, δ Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την C f, τον και τις ευθείες και (Θέμα 4 Συλλογής Mathematica ) Λύση: f ln dt t α Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Πρέπει που ισχύει για κάθε, διότι Η t συνεχής στο, οπότε το πράξεις παραγωγίσιμων συναρτήσεων με dt παραγωγίσιμο στο, άρα η f παραγωγίσιμη στο ως t f ( ) Οπότε λύνουμε : f Επομένως f για κάθε, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο f β Έχουμε f και 4 5 4 4 f ln dt ln dt ln dt 4 4 4 t 4 4 t t 4 Ακόμα για κάθε t,έχουμε dt t t Έχουμε Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο έχουμε: f ln dt 4 4 t 49
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου 4 4 f f ln dt dt ln 4 t t Επομένως dt ln t 4 γ Θεωρώ h t φ dt, η άρα η h παραγωγίσιμη στο με Συνεπώς h h c Όμως h dt t φ t συνεχής στο, οπότε το dt παραγωγίσιμο στο, t ε ε συν ε συν h ε h dt t, οπότε για έχουμε c,άρα π δ Έχουμε για ότι 4 Έχουμε f() π dt t 4, για κάθε,, οπότε : E f d f d f f d f d f d f ln f ln ln dt ln t π ln ln τμ 4 5
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέμα 4ο Έστω η συνάρτηση f: α,β, παραγωγίσιμη στο α,β με f' α f ' β και f α f β α Να δείξετε ότι η συνάρτηση β Να δείξετε ότι η f f α, α β g α είναι συνεχής στο α,β, α g είναι παραγωγίσιμη στο α,β με gβ γi Αν g gβ, να δείξετε ότι η διαστήματος α,β ii Να δείξετε ότι υπάρχει ξ α,β τέτοιο ώστε να ισχύει: fξ δ Αν f α μ, να δείξετε ότι υπάρχει ξ α,β f β β α f ξ f α μ ξ α g παίρνει μέγιστη τιμή σε ένα εσωτερικό σημείο του f ξ f α ξ α τέτοιο ώστε να ισχύει f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και κυρτή στο διάστημα α,β να δείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα στο α,β ε Αν η συνάρτηση συνάρτηση Λύση: α Η g είναι συνεχής στο α,β ως πηλίκο των συνεχών : f Στο α εξετάζουμε τη συνέχεια με τον ορισμό α α f f α lim g lim fα g α α Επομένως η g είναι συνεχής στο α,β f α και α Άρα g συνεχής στο α β Η g είναι παραγωγίσιμη στο α,β ως πηλίκο παραγωγίσιμων συναρτήσεων, με g Στο α f α f f α β : β g g β lim β f α f β f α f α β α lim β β DLH β f f α α lim β 5
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου f α f f α f β β α f β f β f β f α lim β α β α β α Άρα g παραγωγίσιμη στο β με gβ γ Επειδή g συνεχής στο κλειστό α,β από θεώρημα Μέγιστης Ελάχιστης τιμής, θα παίρνει μέγιστο Όμως g g β και g α Άρα g gβ gα Επομένως η g παίρνει μέγιστο σε εσωτερικό σημείο ξ α,β Επειδή g παραγωγίσιμη στο α,β από το θεώρημα Fermat έχουμε ότι g ξ ξ α ξ α f ξ ξ α f ξ f α f ξ f ξ f α f ξ f α f ξ ξ α ξ α δ Η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ στο α,β οπότε θα υπάρχει α,β f β f α f β α Από την () έχουμε fα μ f( ) οπότε gα μ g f ξ f α θα υπάρχει ξ α, τέτοιο ώστε gξ μ τέτοιο ώστε οπότε από Θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών, ξ α μ ε Θα δείξουμε ότι αν α α τότε g g α f f α α f f α (5) f f α f f α α α Θεωρώ h f f α Τότε (5) αh αh h αh h αh Προσθέτουμε και αφαιρούμε το h h h αh αh h h αh αh h α h h πολλαπλασιάζουμε με α και επειδή h h α h h α (6) hα έχω: h και έχουμε: 5
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Εφαρμόζουμε το ΘΜΤ για την h στα διαστήματα Στο α, Υπάρχει ξ α, τέτοιο ώστε hξ Στο, Υπάρχει ξ, τέτοιο ώστε: h ξ hα h, h Έτσι, η (6) ισοδύναμα δίνει: hξ hξ γνησίως αύξουσα στο α h α, και, που ισχύει διότι ξ ξ α,β αφού f κυρτή στο α,β η οποία είναι και h f 5
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέμα 5ο α i Να αποδείξετε ότι o αριθμός u είναι πραγματικός, αν και μόνο αν u u ii Αν z w, τοτε να αποδείξετε ο αριθμός z w είναι πραγματικός z w β Μεταξύ όλων των μιγαδικών Ζ που ικανοποιούν τη σχέση z i, να βρείτε: i ποιος έχει το ελάχιστο και ποιος το μέγιστο δυνατό μέτρο ii για ποιον από όλους η παράσταση z i παίρνει τη μέγιστη δυνατή τιμή Λύση: αi α) Ευθύ: Έστω ότι u yi Τότε u u i u i u u β) Αντίστροφο Έστω u u yi yi yi y u ii Έστω z w u Επειδή z w, έχουμε: z z z z z z w z και w w w w w w Αρκεί να αποδείξουμε ότι u u w z z w z w z w z w z w z w z w z w u u z w z w z w z w z w z w z w z w z w, ανήκουν σε κυκλικό δίσκο με κέντρο βi Οι μιγαδικοί z που ικανοποιούν τη σχέση z i K, και ακτίνα ρ Οπότε η διάκεντρος (που είναι και φορέας και των ζητούμενων μιγαδικών) είναι ο άξονας yy, και τα σημεία τομής με τους άξονες είναι τα A, και B, Οπότε οι ζητούμενοι μιγαδικοί είναι οι z i με μέτρο και ο z i με μέτρο ii Η εξίσωση z i z i επαληθεύεται μόνο από τους μιγαδικούς z που έχουν την ιδιότητα οι εικόνες τους να απέχουν από την εικόνα του μιγαδικού i, δηλαδή από το σημείο K,, απόσταση μονάδα Επομένως, η εξίσωση αυτή είναι εξίσωση κύκλου με κέντρο το σημείο K, και ακτίνα ρ 54
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Το z είναι η απόσταση της εικόνας Mz από την αρχή O,, δηλαδή το μήκος OM Από τη Γεωμετρία, όμως, γνωρίζουμε ότι αν η ευθεία Κ τέμνει τον κύκλο στα A και B, τότε OA OM OB, που σημαίνει ότι η μέγιστη τιμή του z είναι το μήκος OB και η ελάχιστη το μήκος OA B y K, y Η εξίσωση, όμως, της ευθείας O Κ είναι η y Επομένως, οι συντεταγμένες των σημείων A και Β θα είναι οι λύσεις του y συστήματος που είναι τα ζεύγη, y και, Άρα, η μέγιστη τιμή του z είναι ίση με OB και η ελάχιστη ίση με OA Μz A Ο 55
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέμα 6ο Έστω η συνάρτηση f: για την οποία ισχύει f 5f, για κάθε α Να προσδιορίσετε το πρόσημο της συνάρτησης f β Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται γ Με δεδομένη την γραφική παράσταση της συνάρτησης g 5, να δείξετε ότι η f έχει σύνολο τιμών το και να ορίσετε την αντίστροφη συνάρτηση δ Να δείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ε Να αποδείξετε ότι η f για κάθε στ Να λύσετε την εξίσωση f 9 f ζ Να βρείτε το lim ημ Λύση: α Ισχύει ότι f f 5 f f 5, () από όπου για f ισχύει lim f f άρα επειδή έχουμε f 5 θα είναι και f και για έχουμε f β Αν για 5f =5f και f 5f f 5f άρα και άρα η f είναι -, ισχύει ότι f =f τότε θα ισχύουν και f f, με πρόσθεση ότι γ Αν g 5, ότι άρα και ισχύουν ότι είναι συνεχής και γνήσια αύξουσα αφού για ισχύουν 5 5 άρα και lim g lim 5 lim και lim g lim 5 lim g <g και έχει επίσης άρα έχει σύνολο τιμών g και αφού ισχύει g : θα ισχύει f g, είναι f : και για το f g f, και g αντιστρέψιμη με επομένως η f θα έχει σύνολο τιμών το οπότε θα από την αρχική θα ισχύει f f 5f f f άρα f 5, Β Τρόπος: (Για την μονοτονία της g) Η κάθε g 5 είναι παραγωγίσιμη στο σαν πολυωνυμική με, οπότε η g είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της g 5 5 για 56
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου δ Από g f, για η g γνήσια αύξουσα θα ισχύει ότι ε Για ισχύει άρα και στην αρχική προκύπτει ότι ότι f f άρα η f είναι γνήσια φθίνουσα στο g f g f και επειδή f 5f οπότε με αφαίρεση κατά μέλη έχουμε f f 5 f f ή ακόμη f f f f f f 5 οπότε και f f 4 f f f 5 4 και επειδή f f άρα θα ισχύει 4 5 f f f 5 4 f f και επειδή lim από κριτήριο παρεμβολής 5 5 5 lim f f άρα lim f f lim f f στ Είναι f 9 9 f ισοδύναμα λόγω (γ) 9 5 6 και με Horner προκύπτει ισοδύναμα ότι ή που είναι αδύνατο ζ Είναι f 5 5 h() ημ ημ ημ οπότε 5 lim 5 5 limh lim 5 ημ ημ lim 57
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέμα 7ο Δίνεται η συνάρτηση f με f συνεχής στο, τέτοια ώστε να ισχύουν t f t dt tf t dt 4 tf dt, για κάθε α Να δείξετε ότι f, για κάθε β Έστω Eα το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την, με f και f C f, τον και τις ευθείες και α, α Αν το α μεταβάλλεται με ρυθμό cm, να βρείτε τον ρυθμό μεταβολής του sec Eα, τη στιγμή κατά την οποία α cm γ Θεωρούμε τη συνεχή συνάρτηση g με g f, για κάθε i Να δείξετε ότι η ευθεία y είναι ασύμπτωτη της C g στο ii Αν Ε το εμβαδόν που περικλείεται από τη και, να δείξετε ότι E ln5 C g, τη πλάγια ασύμπτωτη της στο και τις ευθείες Λύση: α t f t dt tf t dt 4 tf dt t f t dt tf t dt 4f tdt t t f t dt tf t dt 4f t f t dt tf t dt 4f t f t dt tf t dt f Παραγωγίζω τη σχέση και έχω: f f f f f f f f f f f f Για f f f f c έχουμε f f c c Άρα f f f f f c f f Οπότε f 58
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Για έχουμε f c c Άρα f f β Έχουμε ότι Eα f d Όμως α f όταν, και για, f Οπότε α α α α Eα f d Eα d Eα d E α ln E α ln α Όμως το α μεταβάλλεται σε σχέση με το χρόνο, συνεπώς είναι συνάρτηση του t, οπότε το εμβαδό γράφεται Έτσι E α t ln α t E α t ln α t α t α t α t Τη στιγμή t, έχουμε α t cm και Et cm 6cm sec α t cm sec Άρα sec γi Έχουμε ότι g f g f Όμως lim f lim lim, οπότε από κριτήριο παρεμβολής, f g f lim g Άρα η ευθεία y είναι πλάγια ασύμπτωτη της C g στο E g f d d d ln ln 5 ln ln 5 ii Άρα E ln5 59
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέμα 8ο Έστω z z z και η συνάρτηση f,, υπάρχει και να είναι πραγματικός,τέτοια ώστε το όριο lim f να Να αποδείξετε ότι: α i z z ii ο μιγαδικός z, που έχει το ελάχιστο μέτρο είναι ο β i η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο, ii η συνάρτηση f παίρνει την τιμή z γ Αν επιπλέον η συνάρτηση f(), g() 4, 4ημ( ), i το πεδίο ορισμού της f είναι το διάστημα 4, είναι συνεχής στο, να αποδείξετε ότι: 5 ii z i 5 ή z i Λύση: αi Επειδή lim f και lim αν lim z z lim f ή (που απορρίπτεται, αφού το όριο υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός), οπότε lim z z z z ii Ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων Μz πάνω στο μιγαδικό επίπεδο είναι η μεσοκάθετος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, όπου A,, B, Άρα η εξίσωση είναι όπου z μέτρο, είναι το σημείο Γ, Οπότε η συνάρτηση γίνεται όπου όπου z yi, y yi, y που αντιστοιχεί στο μιγαδικό z, άρα η εικόνα του μιγαδικού z που έχει ελάχιστο z z z f z,,, 6
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου βi Για κάθε αύξουσα στο, f z z z άρα η f είναι γνησίως έχουμε, ii Αναζητούμε ένα, τέτοιο ώστε f z, οπότε έχουμε διαδοχικά: f z z z με Δ 4 και επειδή P, άρα οι λύσεις είναι ετερόσημες, οπότε η αρνητική λύση απορρίπτεται λόγω πεδίο ορισμού της συνάρτησης f (και η άλλη είναι δεκτή αφού είναι μεγαλύτερη της μονάδας -, τέτοιο ώστε f z προκύπτει με πολλούς τρόπους), άρα υπάρχει μοναδικό Β τρόπος: Προκύπτει εύκολα και από την εύρεση του συνόλου τιμών της f όπως θα δούμε στο παρακάτω ερώτημα γ Για να είναι συνεχής η g στο σημείο πρέπει: lim g g lim f 4 lim z 4 z 4 z z (δεν χρειάζεται να πάρουμε τον κλάδο για, αν και το όριο βγαίνει πάλι 4, από συνέχεια - οπότε είναι περιττό) f,, Άρα η συνάρτηση f γίνεται: Εύρεση συνόλου τιμών της f Η f είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο, και lim f 4, lim f lim Σημείωση: Από εδώ φαίνεται ότι το ανήκει στο σύνολο τιμών της f και επειδή είναι γνησίως μονότονη, το σημείο αυτό είναι μοναδικό Άρα, με D 4, f f Δ 4, και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, είναι -, άρα αντιστρέφεται ii Έχουμε: 5 5 5 z yi y y y ή y 4 5 οπότε οι ζητούμενοι μιγαδικοί είναι: z i 5 ή or z i 6
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέμα 9ο α Aν οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το είναι -, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f g είναι - β Αν η συνάρτηση f, ορισμένη στο, είναι -, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση h f f είναι - γ Έστω η συνάρτηση g g h e e, όπου g συνάρτηση - ορισμένη στο Αν η γραφική παράσταση της g διέρχεται από την αρχή των αξόνων και g ln, τότε: i Να αποδείξετε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση της h και ότι h και ii Να λύσετε την εξίσωση h h 8 h 9 Λύση:, D με α Έστω f g g"" f g f g Τότε, αφού η f είναι "" θα έχουμε g g Άρα και η συνάρτηση f g είναι - β Θεωρώ τη συνάρτηση g με g Αν αποδείξω ότι η g είναι "", τότε και αφού η f είναι "", από το (α) ερώτημα, και η σύνθεση τους g f θα είναι "" Έστω, D με g Τότε, οπότε αν προσθέσω κατά μέλη έχουμε g g Οπότε η g είναι γνησίως αύξουσα, άρα και h g f, τότε η συνάρτηση h f f είναι - " " Αν θεωρήσω σαν γ Η συνάρτηση g g h e e είναι σύνθεση των συναρτήσεων g, e f, που κάθε μία είναι "", οπότε από προηγούμενο ερώτημα, και η σύνθεση τους g g h e e είναι - στο Άρα η g g h e e αντιστρέφεται, δηλαδή υπάρχει η η αντίστροφη συνάρτηση της h Αφού η γραφική παράσταση της g διέρχεται από την αρχή των αξόνων και g g g ln ln ln ln h e e e e e e 9 Οπότε h 9 h h h 9 h 9 Ακόμα η γραφική παράσταση της g διέρχεται από την αρχή των αξόνων οπότε ln, τότε: g και 6
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου g g h e e e e Άρα h h h h h h"" ii h h 8 h h 8 h h 8 h " h 8 h 8 h 9 8 9 8 9 9 6
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέμα ο Δίνεται η συνάρτηση f f 4 z i f α f f f 8 β Rez z γ f f δ f z f: η οποία είναι γνησίως αύξουσα με f και ο μιγαδικός αριθμός z, για τον οποίο ισχύει z i Να αποδείξετε ότι ισχύουν: Λύση: α Έστω z yi,με, y R z yi z i i z i yi y z y i y Δηλαδή z y () και y y Από υπόθεση έχουμε ότι αντικατάσταση στη σχέση προκύπτει f f 4 z i, δηλαδή f () (διότι z πραγματικός αριθμός) f f και 4 f f 8 f f f f y 4 f,με β Η () με βάση () γίνεται z 4 z z Re z γ Η f είναι γνησίως αύξουσα στο R και f f f f οπότε για θα έχουμε Πολλαπλασιάζουμε όλα τα μέλη της ανίσωσης με f f (θετικοί αριθμοί) και έχουμε: f f f f f f f f f 8 f f () Όμως f ), οπότε ο αριθμός f f f f f f (πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με τον θετικό αριθμό Όμοια f ),οπότε ο αριθμός f είναι ένα κάτω φράγμα f f f f f (πολλαπλασιάζουμε όλα τα μέλη με τον θετικό αριθμό είναι ένα άνω φράγμα 64
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επομένως έχουμε f f f 8 f f f δηλαδή f 8 f f f δ f z f z f f z f Όμως z Re z ή z f f ή z f f Επομένως αρκεί να δείξουμε ότι: f f f f, το οποίο ισχύει, διότι f f f f f και f f f f f 65
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέμα ο Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z για τους οποίους ισχύει z 4 4i και Im(z) 4 α Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αυτών β Να δείξετε ότι οι εικόνες των παραπάνω μιγαδικών ανήκουν στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f() 4 8 4 και να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής γ Να βρεθεί ο μιγαδικός του παραπάνω γεωμετρικού τόπου με το μέγιστο μέτρο δ Να γράψετε την εξίσωση εφαπτομένης της παραπάνω συνάρτησης στο σημείο το οποίο είναι η εικόνα του μιγαδικού που βρήκατε στο τρίτο ερώτημα Λύση: α Η σχέση z 4 4i περιγράφει κύκλο κέντρου K 4,4 και ακτίνας ρ, με εξίσωση 4 y 4 Όμως η σχέση Im(z) 4 περιγράφει τα σημεία του κύκλου με τεταγμένη y 4 Άρα ο ζητούμενος γεωμετρικός τόπος είναι το ημικύκλιο που βρίσκεται πάνω από την ευθεία y 4, καθώς και τα σημεία τομής του κύκλου με την ευθεία αυτή (Βλέπε σχήμα ) β Αφού ισχύει ότι 4 y 4 και y 4, θα έχουμε: y 4 4 y 4 4 4 y 4 y 4 4 66
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Άρα y 4 4 y 4 8 6 y 4 8 4 y 4 8 6 y 4 8 4 y 4 4 Όμως, άρα θα πρέπει να ισχύει y 4 8 4, οπότε αν θέσουμε σαν y f, θα έχουμε f 4 8 4 Είναι εύκολο να δούμε, είτε αλγεβρικά, είτε από το σχήμα, ότι η f ορίζεται 4,4, δηλαδή όταν ρ, ρ, όπου, y οι συντεταγμένες του όταν κέντρου του κύκλου, και ρ η ακτίνα του γ Φέρνουμε την διάκεντρο (θα είναι η ευθεία ο ζητούμενος μιγαδικός θα είναι το σημείο τομής Μ του ημικυκλίου με την ευθεία αυτή Λύνουμε λοιπόν το σύστημα της ευθείας και του ημικυκλίου: y, διότι διέρχεται από το O, και y 4 8 4 y 4 y 8y 4 y 4 y 8y 4 y y y y 4 y 8y 4 y 8y 6 y 8y 4 y 6y y y y y 5 y4 y 5 y Οπότε ο μιγαδικός με το μέγιστο μέτρο είναι ο M 55i 5 y K 4,4, οπότε δ Η f είναι παραγωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της σαν σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων Η εξίσωση y f 5 f 5 5 εφαπτομένης στο σημείο M5,5 θα έχει τύπο 8 4 8 4 Όμως f 4 8 4 8 4 8 f 5 5 8 5 85 4 Οπότε Οπότε η (ε) θα έχει τύπο y 5 5 y 67
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου 68
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέμα ο Δίνεται συνάρτηση f, δύο φορές παραγωγίσιμη στο,4 Να αποδείξετε ότι: α Υπάρχουν τουλάχιστον δύο τιμές,,e,e, με, με f ξ β Υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ,e, τέτοιο ώστε f, f e e και σύνολο τιμών το, τέτοια ώστε 4 γ Υπάρχει τουλάχιστον ένα,e, τέτοιο ώστε f f 4f f f δ Η ευθεία y e τέμνει την C f σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη να ανήκει στο διάστημα,e ε Υπάρχουν ξ,ξ,e, με ξ ξ, τέτοια ώστε να ισχύει f ξ f ξ Λύση: α Η f είναι συνεχής στο,e, από θεώρημα Μέγιστης-Ελάχιστης τιμής θα υπάρχουν, ώστε f m και f σύνολο τιμών το,4 και f, f e e οπότε δεν είναι άκρα του διαστήματος,e Άρα, τιμή σε αυτά, από θεώρημα Fermat έχουμε ότι f ' f ',e τέτοια M όπου m και M η ελάχιστη και η μέγιστη τιμή αντίστοιχα Η f έχει f f f e f, επομένως,,e και επειδή η f λαμβάνει μέγιστη και ελάχιστη β Η f είναι συνεχής στο,,e και παραγωγίσιμη στο f f Από ΘRolle θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ,e, τέτοιο ώστε f ξ,,e και από α 4 γ Θεωρούμε τη συνάρτηση g f f 4f συνεχή στο συνεχών συναρτήσεων, άρα και στο,,e Επίσης, 4 4 6 g f f 4f 4 4 4 4 4 4 g f f 4f 4 4 Από Θ Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα,e, τέτοιο ώστε 4 4 g f f 4f f f 4f,e ως πράξεις και σύνθεση δ Θεωρούμε τη συνάρτηση h f e f e συνεχή στο και σύνθεση συνεχών συναρτήσεων Επίσης, h f e e e και Από Θ Bolzano υπάρχει τουλάχιστον ένα,e ως πράξεις h e f e e e e e,e, τέτοιο ώστε 69
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου h f e f e, δηλαδή η ευθεία y e τέμνει την C f σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη να ανήκει στο διάστημα,e ε Αφού η f είναι συνεχής στο,e (όπως στο α) και παραγωγίσιμη στο προϋποθέσεις του ΘΜΤ στο,e, συνεπώς και στα υποδιαστήματα αυτού δ Από το πρώτο διάστημα συμπεραίνουμε ότι θα υπάρχει ξ,,e με f f e e fξ και από το δεύτερο ότι θα υπάρχει ξ,e,e με f e f e e fξ e e e Άρα e f ξ f ξ e με ξ,ξ,e και ξ ξ,e Άρα θα ικανοποιεί τις,,,e, όπου από το (αφού,,e ) 7
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέμα ο Δίνεται η συνάρτηση f f 4 z i f f: η οποία είναι γνησίως αύξουσα με f και ο μιγαδικός αριθμός Να αποδείξετε ότι ισχύουν: α f f f 8 β Rez z γ f f δ Λύση: f z α Έστω z yi, με,y R z, για τον οποίο ισχύει z i z yi z i i z i yi y z y i y Δηλαδή z y () και y y Από υπόθεση έχουμε ότι Με αντικατάσταση στη () προκύπτει f f 4 z i, δηλαδή f () (διότι z πραγματικός αριθμός) f f και 4 f f 8 f f f f y 4 f β Η () με βάση τη () γίνεται z 4 z z Rez γ Η f είναι γνησίως αύξουσα στο R και f f f f οπότε για θα έχουμε Πολλαπλασιάζουμε όλα τα μέλη της ανίσωσης με f f (θετικοί αριθμοί) και έχουμε: f f f f f f f f f 8 f f () Όμως f ), οπότε ο αριθμός f f f f f f (πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με τον θετικό αριθμό είναι ένα κάτω φράγμα Όμοια f ),οπότε ο αριθμός f f f f f f (πολλαπλασιάζουμε όλα τα μέλη με τον θετικό αριθμό είναι ένα άνω φράγμα 7
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Επομένως έχουμε f f f 8 f f f δηλαδή f 8 f f f δ f z f z f f z f Όμως z Re z ή z f f ή z f f Επομένως αρκεί να δείξουμε ότι f f f f Το οποίο ισχύει, διότι f f f f f και f f f f f 7
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέμα 4ο Έστω οι μιγαδικοί z,z και η συνάρτηση ισχύει f για κάθε Να αποδείξετε ότι: f z t z dt α β z γ Η εξίσωση f έχει ακριβώς μια λύση στο διάστημα δ Για κάθε ισχύει: z zt dt 4 f: με f z t z dt και για την οποία, Λύση: f z t z dt α Έχουμε ότι Θέτουμε t u dt du dt du και τα άκρα γίνονται: t u t u και έτσι du ut f zu z zu z du zu z du zt z dt β Για f z t z dt έχουμε ότι Θεωρώ h f, οπότε h για κάθε, συνεπώς h h διότι Άρα από θεώρημα Fermat, το h, δηλαδή f f z t z dt z z z z, οπότε Όμως f z z z Άρα γ Έχουμε f z z, άρα η f z z σύνολο τιμών της θα είναι το διάστημα Έχουμε ότι : f, οπότε: h f f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της, οπότε το lim f, lim f f lim f lim lim f 7
Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου f f για κάθε, οπότε: f f lim lim lim z z z, άρα DH f lim lim f lim lim f οπότε το σύνολο τιμών της θα είναι το διάστημα,, που περιέχει το, οπότε αφού η f είναι συνεχής, από θεώρημα Eνδιαμέσων Tιμών, θα υπάρχει ένα, τέτοιο ώστε f Όμως στο διάστημα αυτό η f είναι γνησίως αύξουσα, άρα και "", οπότε το αυτό είναι μοναδικό f z t z dt δ Έχουμε ότι : t Θέτουμε u dt du και έτσι t u και τα άκρα γίνονται: t u z zt z dt zu z du 4 zu du z ut z zu du zt dt 4 4 74