o ( ) o ( ) sin π ( sec ) = = ; R 2 + kπ k Z cos cos 2 cos ( cosec ) = = ; R 2 { kπ k Z} sin sin ( arcsec ) = ; (, ) (, ) 2 ( arcosec ) = ; (, ) (, ) 2 Funcţii dierenţiabile. Fie D R o mulţime deschisă : D R şi D. Funcţia este dierenţiabilă în dacă eistă o constantă A R şi o uncţie α: D R continuă şi nulă în astel încât : = + A +α D (IV.3.) şi uncţia liniară:, notat ( IV.4 ) : ( d R R d = d = A ) este dierenţiala lui în D (deiniţia IV.2.) Teorema VI.6. Fie D R mulţime deschisă, : D R şi D. Următoarele airmaţii sunt echivalente: (i) este dierenţiabilă în (ii) (IV.5.) A R a. î. ( ) A = (iii) L: R R o uncţie liniară astel încât: L (IV.6.) = (iv) este derivabilă în şi în acest caz avem: (IV.4) d = D., 229
Demonstraţie: (i) (ii) Dacă este dierenţiabilă în D din (IV.3.) A =α D şi pentru avem: ( ) A, ( ) sign ( ) =α ( ) ( ) ( ) ( ) şi cum: α = =α α sign = se obţine (IV.5.). (ii) (iii) Fie (IV.5.) adevărată şi considerăm uncţia liniară L: R R, L = A( - ), R şi se obţine (IV.6). (iii) (iv) Fie uncţia liniară L: R R, atunci avem: ( ) ( ) L L = + D V-{ } cu V V( ). Cum D V-{ } prin trecere la ită avem: este derivabilă în D cu (iv) (i) Fie = L(). = ±, A =, atunci deinim α: D R prin: D (*) α ( ) = ; = ( ) ( ) ; { } α = =α. Din (*) pentru rezultă: ( ) L () şi avem: ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) α = = + = L = L(), şi 23
+ +α care este o identitate pentru = şi deci valabilă D şi coincide cu (IV.3.) din deiniţia uncţiei dierenţiabile în ; de asemenea în (IV.4.) înlocuind A cu ( ) avem (IV.4). avem: (I) Consecinţa IV.5. Fie D R mulţime deschisă şi : D R, atunci derivabilă în D dierenţiabilă în D şi d =. (II) Dacă este dierenţiabilă pe D, atunci deinim (IV.7.) d: D L(R) (L(R) mulţimea uncţiilor liniare L: R R). Demonstraţie: (I) Dacă este derivabilă în luăm A = ( ) şi după (IV.4) avem d ( )( ) =. (II) Dacă este derivabilă în atunci A = ( ) R şi dacă este dierenţiabilă în, d este un element L L(R) şi atunci L este corespondentul lui A relativ la izomorismul de la R la L(R). Observaţii:. După echivalenţa (iv) (i) din teorema IV.6. rezultă că studiul uncţiilor dierenţiabile de o variabilă reală se reduce la studiul uncţiilor derivabile de o variabilă reală. 2. Echivalenţa (iv) (i) se eprimă în bajul mulţimilor astel: mulţimea uncţiilor dierenţiabile pe D coincide cu mulţimea uncţiilor derivabile pe D. Teorema IV.7. ] Fie I R interval deschis şi, g : I R uncţii dierenţiabile pe I, atunci au loc regulile de calcul: 23
o ( ) d + g = d + d g; I o (2 ) d λ =λ d ; I şi λ R o (3 ) d g = gd + d g; I gd d g o (4 ) d ; = 2 I şi g pe I g g 2] Fie I, J R intervale deschise şi : I J, g: J R. Dacă este dierenţiabilă pe I şi g este dierenţiabilă pe J, atunci g : I R este dierenţiabilă pe I cu: ( o ) ( o ) o (5 ) d g = g d, I Demonstraţia este directă din ormulele ( ) (5 ) şi olosind (IV.4). Observaţii:.) Fie aplicaţia identitate D : D D cu D () =, D care este derivabilă pe D şi deci dierenţiabilă pe D. Dierenţiala sa notată d pentru D este egală cu uncţia identitate pe R, adică R. Avem: (d)( )= R, R. 2.) Formula (IV.4) d ( )( ) (IV.8) = d d =, D se transcrie sub orma: sau într-un punct curent oarecare D: = = d dsau (IV.8), D. d d 3.) Dacă este dierenţiabilă în D avem: (IV.3) = + +α D, şi putem eprima variaţia lui în, ( ) ( ) cu partea liniară din (IV.3). 232
Se obţine ormula undamentală a calculului dierenţial aproimativ: (IV.9.) + d = d = d 4.) Dacă este derivabilă pe D, atunci derivata lui în D este raportul dintre dierenţiala lui în şi dierenţiala uncţiei identitate R : ( ) d ( ) =, D. d 5.) Din deiniţia uncţiei dierenţiabile şi a dierenţialei în D pentru : D R, rezultă că graicul dierenţialei este o dreaptă care trece prin origine de pantă m = ( ) şi care este paralelă cu tangenta la graicul lui ( ) în punctul,. 6.) Din observaţiile 3.) şi 5.) rezultă că graicul unei uncţii dierenţiabile în D, poate i aproimat pe o vecinătate suicient de mică a lui cu ( ) graicul tangentei sale în,.. 2. Teoreme undamentale ale calculului dierenţial Teorema IV.8 (Teorema lui Fermat) Fie I R interval : I R şi I punct de etrem local pentru interior =. lui I. Dacă este derivabilă în, atunci Demonstraţie: Fie I punct de maim local pentru (deiniţia III.9), atunci eistă δ > a. î. ( - δ, + δ) I şi ( ) ( ), în ( - δ, + δ), deci: 233
; ( δ, ) ; (, ) = ( ) = şi s +δ < d ( ) = ( ) = ( ) = d ( ) s > =. Consecinţa IV.6. Fie I R interval şi : I R uncţie derivabilă pe I, atunci punctele de =. etrem local ale lui se găsesc printre soluţiile ecuaţiei: Observaţii:. Dacă din teorema lui Fermat nu este punct interior lui I, airmaţia nu este obligatoriu valabilă. =,, = I are în = un punct de minim 2. Eemplu: [ ] absolut şi în = un punct de maim absolut, şi totuşi avem: şi ( ) = =. 3. Pentru : I R uncţie derivabilă pe I, soluţiile ecuaţiei se numesc puncte critice sau puncte staţionare ale uncţiei. =, I 4. În general, nu orice punct de etrem local este un punct critic şi reciproc nu orice punct critic este punct de etrem local. 5. Din punct de vedere geometric, teorema lui Fermat eprimă aptul că, dacă graicul lui admite o tangentă într-un punct de etrem local interior lui I, atunci tangenta la graic în acest punct este paralelă cu aa O. Teorema IV.9. (Teorema lui Rolle) Fie a,b R cu a < b şi : [a, b] R o uncţie cu proprietăţile: ) continuă pe [a, b] 2) derivabilă pe (a, b) 3) (a)= (b), 234
c =. atunci eistă c (a, b) a.î. Demonstraţie: Intervalul I = [a, b] R este o mulţime compactă şi continuă pe [a, b] este mărginită şi îşi atinge marginile, deci eistă, 2 [a, b] a. î. m = ( ) () ( 2 ) = M, I. Dacă ( ) = ( 2 ) atunci este constantă pe I, deci =. Dacă ( ) ( 2 ), atunci {a,b} sau 2 {a,b}; în cazul {a,b} şi 2 {a,b} rezultă ( ) = ( 2 ) = (a) = (b), ceea ce este absurd. Deci {a,b} sau 2 {a,b}; ie {a,b} I = [a,b] punct interior şi este punctul de minim absolut şi în acelaşi timp punct de minim local, atunci după teorema Fermat ( ) =. Consecinţă IV.7 Fie I R interval şi : I R uncţie derivabilă pe I, atunci avem: (i) Între două (rădăcini) soluţii consecutive ale ecuaţiei () = se ală cel puţin o soluţie a ecuaţiei ( ) =. (ii) Între două soluţii consecutive, 2 ale ecuaţiei ( ) = se ală cel mult o soluţie a ecuaţiei () = şi eact una dacă ( ) ( 2 ) <. Observaţii: ) Din punct de vedere geometric, avem: dacă continuă pe [a,b], derivabilă pe (a,b) cu (a) = (b), atunci eistă un punct c (a,b) a.î tangenta geometrică la graicul lui în punctul (c, (c)) este paralelă cu aa O. 2) Dacă satisace condiţiile din teorema lui Rolle, conorm consecinţei IV.7 ecuaţia ( ) = poate avea o soluţie, un număr init arbitrar de soluţii sau o ininitate numărabilă de soluţii pe (a,b). Eemple: 235
. () = 2, [-,]; ecuaţia ( ) π = + nπ 2. ( ) sin 2 soluţii în punctele 3. ( ) = are o singură soluţie =. cu [,]; ecuaţia ( ) 2k + k =, k =,..., n 2n + 2 π sin ; (,] = 2, avem ; = Rolle pe intervalul soluţie în n soluţii n cu n., n + n, n+ n = are eact (n+) =, n N şi după teorema n (n ) ecuaţia ( ) ; ecuaţia ( ) = are cel puţin o = are o ininitate numărabilă de 3) Fiecare din condiţiile teoremei Rolle sunt esenţiale pentru valabilitatea concluziei sale. Eemple: admite 2 o ( ), [,] cu derivabilă pe [,] şi () (), [,]. ( ] 2 ;, = este derivabilă pe (,) cu () = () =, dar ; = este discontinuă în = şi evident avem, (,). 3 o ( ) =, [-, ] este continuă pe [-,] cu ( ) ( ) = = şi este derivabilă pe [-, ]- {} şi nederivabilă în = ; avem ( ), [-, ]- {}. 4) Condiţiile din teorema lui Rolle sunt suiciente şi nu obligatoriu necesare pentru ca derivata să se anuleze într-un punct. 236
Eemple: o ( ) continuă numai în = şi avem Q [,2] [ ] Q 2 ; = ;,2 = este derivabilă şi 2 o ( ) = 3, [, ] este derivabilă pe [-,] cu ( ) ( ) totuşi, şi se anulează în = (-,) ( ) 3 2, [,] Teorema IV. (Teorema lui Lagrange) =. Fie a, b R cu a < b şi : [a, b] R o uncţie cu proprietăţile: o ] continuă pe [a, b] 2 o ] derivabilă pe (a, b), atunci eistă c (a,b) astel încât: (IV.) ( b) ( a) = ( b a) ( c) Demonstraţie: Fie F : [a, b] R cu F() = λ( - a) () şi să se determine λ R a. î. F să satisacă condiţiile din teorema lui Rolle. Avem F continuă pe [a, b], F derivabilă pe (a, b) cu F() = λ - condiţia F(a) = F(b) = - (a), atunci eistă c (a,b) a. î. = =λ = sau F c F c c ( a) b λ(b - a) (b) = - (a) λ= b a (IV.) ( b) ( a) ( b a) ( c) =. şi punem c =λ. Din F(a) = F(b) şi se obţine: Consecinţa IV.8. (Consecinţe ale teoremei lui Lagrange) Fie I R interval şi : I R o uncţie continuă pe I şi derivabilă în orice punct interior I. Atunci au loc următoarele airmaţii: (I) Pentru, 2 I cu < 2 eistă c (, 2 ) a.î. (IV. ) ( ) ( ) = ( c)( ) 2 2 237
(II) Dacă este derivabilă pe I avem constantă pe I, dacă şi numai dacă,, = I. (III) Funcţia derivabilă pe I este monoton crescătoare (respectiv descrescătoare), dacă şi numai dacă, pe I (respectiv pe I). (La el este strict crescătoare sau strict descrescătoare pentru > sau < pe I). (IV) Dacă I R este interval de capete a, b R şi : I R derivabilă în I punct interior atunci: Dacă pe interiorul lui I şi (a + ) (respectiv (a + ) > ) (respectiv > ). 2 Dacă pe interiorul lui I şi (b - ) (respectiv (b - ) < ) (respectiv < ). (La el în cazul sau <.) (V) Fie I R interval compact şi dacă : I R este o uncţie derivabilă cu derivata mărginită (respectiv continuă) atunci este uncţie lipschitziană. [, ] I. 2 Demonstraţie: (I) Se aplică teorema Lagrange restricţiei (II) dacă ] [, 2 = c, I =, I. Fie, 2 I cu < 2 iaţi şi conorm teoremei Lagrange eistă c (, 2 ) a. î. = ( ) şi cum c 2 2 = deci este constantă pe I. 2 c =, c I avem: (III) Fie monoton crescătoare pe I şi I iat. Presupunem că <sup I şi cum este crescătoare avem: cu 238
, I (, + ) ( ) = ( ) = d > La el pentru > in I găsim: ( ) ( ) Dacă pe I, ie, 2 Lagrange eistă c (, 2 =, deci avem s pe I. I cu < 2 iaţi şi atunci după teorema ) a. î. ( ) ( ) ( c)( ) =. Dar cum, 2 2-2 < şi ( c ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2, 2 cu 2, < 2 monoton crescătoare pe I. (IV) Dacă, I punct interior strict crescătoare pe interiorul lui I şi deci strict monotonă, atunci eistă ( a + ) şi ( b - ). Dacă I punct interior cu ( ) <, atunci () ( ), (a, ) deci ( a, ) a+ = in < ceea ce este absurd avem în acest caz (), I punct interior. La el se dovedeşte airmaţia în cazul 2. (V) Fie L = sup ( ) I şi după teorema Lagrange,y I cu <y, eistă ξ (,y) a. î. ( ξ ) y = y y L y şi este uncţie lipschitziană pe I. Observaţii:. Dacă : I R este derivabilă şi strict monotonă, nu rezultă obligatoriu > pe I (sau < pe I). Eemplu: ( ) = 3, R derivabilă şi strict crescătoare pe R cu = 3 pe R deoarece 2 =. 2. Din punct de vedere geometric teorema lui Lagrange are semniicaţia: continuă pe [a, b] şi derivabilă pe (a, b), atunci eistă cel puţin un punct ( III) 239
c (a, b) a.î. tangenta geometrică la graicul lui în punctul (c, (c)) este paralelă cu dreapta care trece prin punctele A(a, (a)) şi B(b, (b)). 3. Teorema lui Lagrange permite demonstrarea unor inegalităţi. b a b a Eemple:. < ln b ln a<, < a< b<+. Fie () = b a =ln, > derivabilă cu ( ) ξ ξ (a, b) a. î. ln b ln a= ( b a) = şi dupa teorema Lagrange eistă. Cum b a b a b < < < < a deci b a ln ln b < b a< a. b ξ a b ξ a b a În particular pentru a =, b = + cu > -, avem: ln( ),, + < + < Pentru a = şi b = + cu >, obţinem:. < ln( + ) ln < pentru > (demonstrată pentr = n N*). + * 2. e > +, R. Fie () = e, R uncţie derivabilă cu ( ) = e deci ( ) < dacă < şi ( ) > dacă > iar =. După consecinţa (IV.8) cazul (III) avem: strict crescătoare pentru > şi strict descrescătoare pentru < ; atunci = este punct de minim absolut unic determinat () > (), R* e > +, R *. e 3. I. e >, > şi e este singurul număr pozitiv cu această proprietate. ln =, > o uncţie derivabilă cu Fie 24
ln ( ) = 2, > ( ) >, (, e) şi ( ) <, ( e, ), iar ( e) =. Funcţia este strict crescătoare pe (, e) şi strict descrescătoare pe (e, ), deci = e este punct de maim absolut unic determinat ln, * { } e, * e = e > = R+ e e R+ { e} >. II. Fie a > cu proprietatea a a >, > ln a aln, > deci ln a ln ( a) = ( ), a = > şi punctul = a este punct de maim global a = e. e III. În particular avem: e π >π. Teorema IV.. (Teorema lui Cauchy) Fie a,b R cu a < b şi, g : [a, b] R uncţii cu proprietăţile: o ] şi g continue pe [a, b] 2 o ] şi g derivabile pe (a, b) 3 o ] g (), (a, b), atunci g(a) g(b) şi eistă c (a, b) a.î.: (IV..) b a c = g b g a g c Demonstraţie: Dacă g(a) = g(b) uncţia satisace condiţiile din teorema Rolle şi atunci eistă c (a, b) a. î. g 3 ], deci g(a) g(b). c = ceea ce contrazice Formula (IV.) (IV. ) [ ( b) ( a) ] g ( c) [ g( b) g( a) ] ( c) Fie F: [a, b] R cu: =. F() = [ ( b) ( a) ] g( ) g( a) [ g( b) g( a) ] ( ) ( a) o uncţie continuă pe [a, b], derivabilă pe (a, b) şi F(a) = F(b) =, atunci după teorema lui Rolle eistă c (a, b) a.î.: 24
[ ] [ ] F () c = () b () a g c g() b g() a c = adevărată. Teorema IV.. (Teorema lui Darbou) (IV. ) Fie I R interval şi : I R o uncţie derivabilă pe I, atunci derivata sa : I R are proprietatea Darbou pe I. Demonstraţie: Fie ab, Icu a< bşi λ R cuprins între (a) şi (b) ; presupunem (a) < (b) şi λ R cu (a) < λ < (b). Considerăm F : I R cu F () = () - λ, I şi F este derivabilă pe I cu F() = () - λ, I deci: F (a) = (a) - λ < şi F (b) = (b) - λ >. Prin deiniţie: F ( a) F ( b) > a F( b) F( a) F = < şi a a F = >, atunci eistă c, d (a, b) cu proprietăţile: b b < b F F a F F b <, ( a, c) şi <, ( d, b) a b, (, ) şi, F < F a a c F < F b d, b (*) Funcţia F este continuă pe [a, b] compact din R, atunci eistă [a, b] a.î. F( ) F( ) [ a b], şi din (*) avem a şi b, deci, (a, b) şi este punct de minim. După teorema lui Fermat avem: = = λ =λ F, a, b şi are proprietatea Darbou pe I. Consecinţa IV.9. Fie I R interval, I avem: ( ), : I R uncţie derivabilă pe I şi dacă ( ), > I sau <, I. 242
Demonstraţie: Dacă ar eista, 2 I a. î. ( ) ( ) 2 având proprietatea lui Darbou pe I, ar eista (, 2 ) cu <, atunci ( ) = este absurd, deoarece pe I şi avem: ie > pe I ie > pe I. Teorema IV.3. Fie I R interval, I şi : I R uncţie cu proprietăţile: o continuă pe I 2 o derivabilă pe I - { } 3 o eistă l l = R, atunci eistă : I R este continuă în I. = l. Dacă l R uncţia Demonstraţie:.Fie l R şi ε> δ(ε) > a. î. l - ( ) < ε, ( - δ, + δ) I. Aplicăm teorema Lagrange pe intervalul [, ] cu ( - δ, + δ) I { } şi >, avem: l = l ξ, ξ (, ) şi la el pentru < cu ( - δ, + δ) I { }. În aceste condiţii, avem: l < ε, ( - δ, + δ) I { } eistă = l =l. şi deci 2. Dacă l = +, ie c > iat, atunci eistă δ > a. î. ( ) c, ( - δ, + δ) I { }. Aplicând teorema Lagrange pe intervalul [, ] cu ( - δ, + δ) I { } şi >, avem: = ( ξ ), ξ (, ) şi la el pentru <. În aceste condiţii c ( - δ, + δ) I { } eistă 243
= + = +., deci eistă 3. Dacă l = - se ace acelaşi raţionament ca în cazul 2. Observaţii:. Teorema IV.3. este adevărată şi în cazul eistenţei itelor laterale: şi < > în R. 2. În cazul l R din teorema IV.3. rezultă că este uncţie continuă în I. 3. Continuitatea lui în I în teorema IV.3. este o condiţie esenţială. ; [,) (,] Eemplu: :[, ] R, ( ) = este discontinuă în ; = =. Avem ( ) =, [,) (,] şi deci, ( ) eistă (), avem: ( ), s = = +. d = şi nu 4. Condiţiile o - 3 o din teorema IV.3 sunt suiciente dar nu şi necesare obligatoriu pentru eistenţa lui în. Eemple: o :, derivabilă pe R * cu =. Nu eistă 2 sin ; R R R = este continuă şi ; = = 2sin cos, R ; este continuă şi în şi totuşi avem: = = = sin. 244
+ 2 o Derivabilitatea uncţiei lui Hahn, ( ) = ( este continuă pe R se va preciza mai jos. Avem: ( ) ; > ( + 2 ) ( + ) = = 2 2 = ( + ) ( + ) ; < 2 ( ) şi eistă ( ) = şi cum continuă în = derivabilă în = cu cu : R,) care = şi este continuă pe R. Deiniţia IV.3. Fie I, J R intervale şi o uncţie : I J. ] Funcţia este dieomoră sau este un dieomorism dacă satisace condiţiile:. bijectivă, 2. şi - sunt uncţii derivabile. 2] Funcţia este de clasă C pe I dacă este derivabilă şi continuă pe I. este uncţie 3] Funcţia este de clasă C dieomoră sau este un C - dieomorism dacă:. este bijectivă; 2. şi - sunt uncţii de clasă C pe I ( şi - C (I)). Teorema IV.4. (Teorema de inversare locală) Fie I R interval şi : I R o uncţie de clasă C pe I. Dacă I este punct interior şi ( ), atunci eista V I interval deschis cu V şi eistă W R interval dechis cu ( ) W astel încât aplică C dieomor V pe W. Demonstraţie: Funcţia de clasă C pe I eistă uncţie continuă pe I şi cu ( ) eistă V I interval deschis cu V a. î. 245
( ), V. Funcţia după teorema lui Darbou şi consecinţa sa în cazul (), V rezultă () > sau ( ) <, V, deci este strict monotonă pe V cu (V) = W R este interval deschis, avem: ( ) W. Funcţia V este bijectivă şi derivabilă cu V (), V deci ( V ) - este derivabilă pe W cu ( ) ( ) V y =, y = W. După ipoteză este de clasă C pe I deci de clasă C şi pe V I, rezultă ( V ) continuă pe V deci şi ( ) V este continuă pe W uncţia aplică C dieomor V pe W conorm deiniţiei de mai sus. Observaţii:. Dacă este derivabilă pe I şi nu este de clasă C, atunci concluzia teoremei de inversare locală nu are loc în mod obligatoriu. 2. Eemplu: : R R, + sin ; R = 2 ; = V 2 * este derivabilă pe R cu () = şi nu este strict monotonă pe nici o 2 vecinătate V V(). Teorema IV.5. Fie I, J R intervale şi : I J o uncţie derivabilă. Funcţia este dieomoră, dacă şi numai dacă, (), I şi este surjectivă. Demonstraţie: Dacă este dieomoră este bijectivă şi, sunt derivabile. Avem: o = I derivabilă cu derivata: ( )( ) ( ) ( ) o = ( ) =, I ( ), I. 246
Dacă iar, I strict monotonă pe I şi surjectivă bijectivă, : J I este derivabilă cu uncţie dieomoră. y =, y J este ( y) Înlăturarea ormelor nedeterminate nedeterminate. Formula lui Cauchy (IV.) are aplicaţii în einarea ormelor Deiniţia IV.4. ] Fie A R, R punct de acumulare pentru A, două uncţii, g : A R. şi presupunem că eistă V V ( ) astel încât g( ), A V { }. Dacă eistă ita: ( ) g. 2] Dacă ( ) g( ) g A V A V = =, se spune că, nedeterminare de orma:. ( ) ( ) se notează prin ( ) g este o 3] A înlătura sau a eina sau a ridica o nedeterminare de orma înseamnă a gasi valoarea itei ( ) g eistă. La el se deinesc nedetrminările de orma: în cazul când această ită 247
,,,,,,. Teorema IV.6. Fie A R, R punct de acumulare pentru A şi, g : A R. Dacă ( ) g prezintă o nedeterminare de orma,,,,,, ea se reduce la o nedeterminare de orma. Demonstraţie: () Presupunem ( ) g( ) eistă V V ( ) a.î. ( ) şi g( ), A V { } =, A V { } cu F( ) F G g = =±, atunci şi avem: =, G( ) = g ( ) unde G( ) F = = ; nedeterminarea se reduce la nedeterminarea. (2) Relaţia ( ) g =, A V { } eprimă aptul că o G nedeterminare de orma se reduce la. = g( ) ( ) (3) Pentru ( ) g( ) ( ) g( ) orma ( ), care după (2) se reduce la (4) Fie ( ), g( ). o nedeterminare de = =, atunci eistă V V ( ) a.î. () >, g () >, A V { }. Considerăm h( ) ( ) 248 = g
A V { } şi avem h( ) ( ) ln h = e cu ln ln ( ln = care conduce la o nedeterminare de orma. g h = g )= (5) Un raţionament analog cu cel din (4) se ace în cazul nedeterminărilor de orma şi. Teorema IV.7 (Teorema lui Cauchy) Fie I R interval, I şi, g: I R cu proprietăţile: o ] ( ) = g( ) = 2 o ] şi g derivabile în şi V V ( ) cu g( ), I V { } şi avem g atunci eistă ( ) =. g g Demonstraţie: ) Presupunem că V V ( ), V I { } n n g( V ) = şi luăm V = ; +, I V { } ( ) g = n g( ) g n n, { } g V I şi atunci avem: ( ) g( ) g = g( ) ( ) =. g g, n a. î. V cu g n = = contrazice ipoteza 2 ] V V ( ) a.î. { } V I de unde obţinem: Teorema IV.8 (Teorema lui LHospital) 249
Fie ab, R cu a< bşi I Run interval cu ( ab, ) I [ ab, ], [ ab], iar g I { },, : R uncţii cu proprietăţile: o ( ) = g( ) = (respectiv g( ) 2 o, g sunt derivabile pe I { } şi g ( ) 3 o eistă ( ) ( = ), I { } l = cu l R sau l =± ), atunci g(), V I g -{ }. (respectiv eistă V V ( ) cu g(), V I { }), g eistă şi este egală cu l. Demonstraţie: (I) Fie ( ) g( ) ( ) = = şi avem g(), I { }; în caz contrar dacă eistă I { } cu g() =, după proprietatea Darbou a derivatei pe intervalul de capete şi eistă un punct ξ cuprins între şi cu g ( ξ ) = contrazice ipoteza 2.. Fie = b, iăm I { } şi pe intervalul [, ] aplicăm consecinţa teoremei Darbou, deci eistă ξ (, ) a. î. ( ) ( ) ξ = = pentru rezultă ξ şi g g g g ξ avem: ( ) ξ = = l. g g ξ 2. Fie = a, se procedează la el ca în = b. 3. Fie (a, b) şi aplicând cazul pe (a, ) şi rezpectiv cazul 2 pe (, b) se obţine: < ( ) g > ( ) = l respectiv g = l ( ) = l. g 25
(II) g( ) =.. = b. Cum g ( ), I, rezultă că g are semn constant pe I, deci g este strict monotonă. Din ipoteza g( ) = c cu c (a, b) a. î. g() = g() >, (c, ). Fie n (c, ) un şir crescător R cu n g n n, atunci este şir strict crescător şi are ita +. După teorema lui Cauchy (teorema de medie) aplicată pe iecare interval [ n, n+ ] rezulta că c n ( n, n+ ) a. î. ( n+ ) ( n) n+ n ( n) c = g g g c n (*). Din aptul că, R R < c < n şi n cn şi deci eistă n g ( cn ) ( c ) n n = l n şi din (*) avem: ( + ) n n cn = = l. n g g g c n n+ n n Aplicând lema Cesaro-Stoltz pentru şiruri n g < ( ) g = l. ( n ) n = l 2. Pentru = a, se ace raţionament analog cu cel din cazul = b. 3. Fie (a, b) se aplică pe (a, ) şi 2 pe (, b) şi se obţine: ( ) g > ( ) = l şi g = l ( ) = l. g Observaţii:. Teorema lui Cauchy şi teorema lui LHospital nu au acelaşi câmp de aplicabilitate: în teorema lui LHospital şi g nu sunt obligatoriu deinite în, ele iind derivabile pe I { }. În teorema lui Cauchy şi g sunt deinite şi derivabile în I. 25
2. Cele două teorema se completează una pe cealaltă în scopul înlăturării ormelor nedeterminate. 3. Eemple o Să se calculeze: 2 2 sin = sin g ( ) π = sin şi g = sin unde < <. Funcţiile şi g satisac 2 condiţiile şi 2, dar nu satisac condiţia 3 din teorema lui LHospital, deoarece avem: 2sin cos g = cos care nu eistă (nu eistă cu cos ). Avem sin, şi sin = atunci : 2 sin = sin = =. sin sin ln ( + ) ctg ln + = = = = + =. tg > > 2 cos 2 o ( ) 2 cos = = = sin 2 3 o 2 ctg 2 2 2 2 2 = = 2 2 cos sin 2... sin = = 5. sin ln sin 4 o ln sin cos cos cos 3 e e e = = = =. 252