ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 7: Επεκτάσεις του γραμμικού υποδείγματος σε μη γραμμικές μορφές Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana 1
Περιεχόμενο ενότητας 1. Η έννοια της μη γραμμικότητας 2. Βασικές μη γραμμικές μορφές υποδειγμάτων i. Πολυωνυμική ii. Αντίστροφη iii. Συνάρτηση σταθερών ελαστικοτήτων iv. Εκθετική μορφή v. Λογιστική καμπύλη 3. Κριτήρια επιλογής μεταξύ γραμμικής και λογαριθμικά γραμμικής μορφής 4. Περίπτωση λογαριθμικής εξαρτημένης μεταβλητής 2
1. Η έννοια της μη γραμμικότητας Τα υποδείγματα με τα οποία ασχοληθήκαμε στις προηγούμενες ενότητες, αναφέρονται σε συναρτησιακές σχέσεις μεταξύ δύο ή περισσοτέρων μεταβλητών οι οποίες υποθέτουμε ότι είναι γραμμικές. Πολλές φορές από τα εμπειρικά δεδομένα ή από την Οικονομική θεωρία αντιλαμβανόμαστε ότι η συναρτησιακή σχέση μεταξύ των μεταβλητών πρέπει να είναι μη γραμμική. Για να εφαρμόσουμε τις μεθόδους ανάλυσης και εκτίμησης που εξετάσαμε για τα γραμμικά υποδείγματα, αρκεί να μετασχηματίσουμε τις μη γραμμικές συναρτησιακές σχέσεις ώστε να έχουν γραμμική μορφή. Θα εξετάσουμε τις πιο συνηθισμένες μη γραμμικές μορφές που μετατρέπονται σε γραμμικές και τα κριτήρια επιλογής ανάμεσα στην γραμμική και στη λογαριθμική μορφή. 3
Γραμμικότητα συνάρτησης μιας μεταβλητής Μια συνάρτηση Υ = f X είναι γραμμική αν μπορεί να παρασταθεί με ευθεία γραμμή, που σημαίνει ότι η κλίση της, δηλαδή η πρώτη παράγωγος της είναι σταθερή. Αναλυτικότερα, η συνάρτηση Υ = f X είναι γραμμική ως προς X, αν και μόνο αν η πρώτη παράγωγος df X dx δεν εξαρτάται από την X, που σημαίνει ότι η δεύτερη παράγωγος της f ως προς X είναι ίση με το μηδέν, δηλαδή d2 f X = 0. dx 2 4
Γραμμικότητα συνάρτησης πολλών μεταβλητών Μια συνάρτηση πολλών μεταβλητών Υ = f Χ 1, Χ 2,, Χ k είναι γραμμική ως προς Χ 1, Χ 2,, Χ k, αν και μόνο αν οι μερικές παράγωγοι δεν εξαρτώνται από τις Χ 1, Χ 2,, Χ k αντίστοιχα. Αναλυτικότερα, οι μερικές παράγωγοι f Χ 1,Χ 2,,Χ k, j = 1,.., k δεν Χ j εξαρτώνται από την Χ j αντίστοιχα, που σημαίνει ότι οι δεύτερες μερικές παράγωγοι είναι ίσες με το μηδέν, δηλαδή 2 f Χ 1,Χ 2,,Χ k X j 2 = 0. 5
Λογάριθμοι Ένας τρόπος για να εξειδικεύσουμε μια μη γραμμική συνάρτηση είναι να χρησιμοποιήσουμε τον φυσικό λογάριθμο της εξαρτημένης μεταβλητής ή/και των ερμηνευτικών μεταβλητών. Οι λογάριθμοι μετασχηματίζουν μεταβολές στις μεταβλητές σε ποσοστιαίες μεταβολές, ενώ πολλές σχέσεις εκφράζονται με την βοήθεια ποσοστών. Π.χ. είναι πιο εύκολο να συγκρίνουμε διαφορές στις αποδοχές σε διαφορετικούς επαγγελματικούς κλάδους και διαχρονικά, όταν είναι εκφρασμένες σε ποσοστά. Σε αυτές τις περιπτώσεις, έχουμε μη γραμμικές συναρτήσεις ως προς τις μεταβλητές αλλά γραμμικές ως προς τις παραμέτρους (συντελεστές) των υποδειγμάτων. Θα εξετάσουμε και υποδείγματα μη γραμμικά ως προς τις παραμέτρους τους. 6
Η εκθετική συνάρτηση και η φυσική λογαριθμική συνάρτηση Η εκθετική συνάρτηση της μεταβλητής x είναι η e x. (e: φυσική σταθερά, e = 2. 71828 2. 72 ) Ο φυσικός λογάριθμος είναι η αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης, δηλαδή είναι η συνάρτηση για την οποία ισχύει: x = ln(e x ) (η βάση του φυσικού λογαρίθμου είναι το e). Ιδιότητες λογαρίθμου ln αβ = ln α + ln β ln α β = ln α ln β ln α β = βlnα ln 1 α ln 1 = 0 = ln α 7
2. Βασικές μη γραμμικές μορφές υποδειγμάτων i. Πολυωνυμική μορφή Έστω το πολυωνυμικό υπόδειγμα k-οστου βαθμού: Υ = β 0 + β 1 Χ + β 2 Χ 2 + + β k Χ k + u Το πολυωνυμικό υπόδειγμα αυτό μη γραμμικό ως προς την ερμηνευτική μεταβλητή Χ αλλά γραμμικό ως προς της παραμέτρους του. Παράδειγμα Υ = β 0 + β 1 Χ + β 2 Χ 2 + u Το πολυωνυμικό υπόδειγμα 2 ου βαθμού χρησιμοποιείται για την εκτίμηση του οριακού κόστους (Υ: είναι το οριακό κόστος, Χ: το προϊόν). Επιπλέον, για το υπόδειγμα αυτό πρέπει να ισχύουν οι σχέσεις: β 0, β 2 > 0, β 1 < 0 από την Οικονομική θεωρία 8
To πολυωνυμικό υπόδειγμα 2 ου βαθμού Υ = β 0 + β 1 Χ + β 2 Χ 2 + u μπορεί να μετατραπεί σε γραμμικό αν θέσουμε Ζ 1 = Χ, Ζ 2 = Χ 2, οπότε Υ = β 0 + β 1 Ζ 1 + β 2 Ζ 2 + u. Γενικά, το πολυωνυμικό υπόδειγμα k βαθμού Υ = β 0 + β 1 Χ + β 2 Χ 2 + β k Χ k + u μετατρέπεται σε γραμμικό θέτοντας Ζ s = Χ s, s = 1,, k οπότε Υ = β 0 + β 1 Ζ 1 + β 2 Ζ 2 + β k Ζ k + u. 9
Για να εκτιμήσουμε τους συντελεστές του γραμμικού υποδείγματος Υ = β 0 + β 1 Ζ 1 + β 2 Ζ 2 + β k Ζ k + u εφαρμόζουμε την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων όπως έχει διδαχθεί στις προηγούμενες ενότητες. Το υπόδειγμα αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον έλεγχο της υπόθεσης ότι ο βαθμός του πολυωνύμου είναι μικρότερος από k. 10
Άσκηση 1 Δίνονται 15 παρατηρήσεις για το συνολικό προϊόν (Χ) και το αντίστοιχο συνολικό κόστος (Υ) μιας ορισμένης βιομηχανίας. Συνολικό κόστος Υ Μονάδες Προϊόντος Χ 10 1 28 3 20 2 33 4 52 6 42 5 61 7 86 9 75 8 102 10 134 12 115 11 148 13 172 14 205 15 11
κόστος Από την Οικονομική θεωρία γνωρίζουμε ότι η καμπύλη συνολικού κόστους γραφικά παρουσιάζεται όπως στο παρακάτω σχήμα: H καμπύλη συνολικού κόστους μπορεί να παρασταθεί με ένα πολυώνυμο 3 ου βαθμού, δηλαδή Υ = β 0 + β 1 Χ + β 2 Χ 2 + β 3 Χ 3 όπου β 0 > 0, β 1 > 0, β 2 < 0, β 3 > 0 προϊόν 12
Η καμπύλη συνολικού κόστους, έπειτα από μετασχησματισμό γίνεται Υ = β 0 + β 1 Ζ 1 + β 2 Ζ 2 + β 3 Ζ 3 όπου Ζ 1 = Χ, Ζ 2 = Χ 2, Ζ 3 = Χ 3 Εφόσον η συναρτησιακή σχέση του υποδείγματος έχει γραμμική μορφή, μπορούμε να εκτιμήσουμε τους συντελεστές της με την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων. Υ Ζ 1 = Χ Ζ 2 = Χ 2 Ζ 3 = Χ 3 10 1 1 1 28 3 9 27 20 2 4 8 33 4 16 64 52 6 36 216 42 5 25 125 61 7 49 343 86 9 81 729 75 8 64 512 102 10 100 1000 134 12 144 1728 115 11 121 1331 148 13 169 2197 172 14 196 2744 205 15 225 3375 13
14
Πολυωνυμικό υπόδειγμα Υ = β 0 + β 1 Ζ 1 + β 2 Ζ 2 + β 3 Ζ 3 Υ = 1. 44 + 9. 22 X 0. 38 X 2 + 0. 04 X 3 Γραμμικό υπόδειγμα Υ = β 0 + β 1 X Υ = 18. 03 + 12. 94 X 15
Ανάλυση της διακύμανσης της συνολικής συνάρτησης κόστους Θέλουμε να προσδιορίσουμε για τα δύο υποδείγματα το άθροισμα των τετραγώνων που οφείλεται στην παλινδρόμηση, δηλαδή το SSR. π.χ. για το γραμμικό υπόδειγμα R 2 = 0. 958912 SSE = 2010. 930 Υπενθυμίζουμε ότι R 2 = SSR R 2 = SSR SSR+SSE SST 0. 958912 = SSR και SST = SSR + SSE SSR+2010.930 SSR = 46931. 0969 16
Ανάλυση της διακύμανσης της συνολικής συνάρτησης κόστους Πηγή μεταβλητότητας Άθροισμα τετραγώνων Βαθμοί ελευθερίας F Γραμμική (Χ) SSR = 46931. 0969 1 Πολυωνυμική (3 ου βαθμού) Αύξηση που οφείλεται στην προσθήκη των X 2, X 3 Κατάλοιπα πολυωνυμικού υποδείγματος Σύνολο πολυωνυμικού υποδείγματος SSR = 48861. 5916 1930. 4947 SSE = 74. 23565 SST = 48935. 7916 3 2 11 (T k 1) 14 (T 1) F = F = 48861. 5916 3 74. 23565 11 1930. 4947 2 74. 23565 11 = 2413. 38 = 143. 027 17
Ανάλυση της διακύμανσης της συνολικής συνάρτησης κόστους Πηγή μεταβλητότητας Άθροισμα τετραγώνων Βαθμοί ελευθερίας Γραμμική (Χ) 46931. 0969 1 Πολυωνυμική (3 ου βαθμού) Αύξηση που οφείλεται στην προσθήκη των X 2, X 3 Κατάλοιπα πολυωνυμικού υποδείγματος Σύνολο πολυωνυμικού υποδείγματος 48861. 5916 3 F = 2413. 38 1930. 4947 2 F = 143. 027 74. 23565 48935. 7916 11 14 F Η 0 : β 1 = β 2 = β 3 = 0 Η 0 : β 2 = β 3 = 0 18
2. Βασικές μη γραμμικές μορφές υποδειγμάτων ii. Αντίστροφη μορφή Το υπόδειγμα Υ = β 0 + β 1 1 Χ + u είναι χρήσιμο για την ανάλυση οικονομικών φαινομένων όπου η μέση τιμή της μεταβλητής Υ τείνει προς ένα ασυμπτωτικό επίπεδο όταν η τιμή της μεταβλητής Χ αυξάνεται. Το αντίστροφο υπόδειγμα είναι μη γραμμικό ως προς την ερμηνευτική μεταβλητή Χ αλλά γραμμικό ως προς της παραμέτρους του. 19
(α) Ο συντελεστής β 0 είναι το ανώτατο όριο της μέσης τιμής της Υ αν β 1 < 0 και (β) το κατώτατο όριο αν β 1 > 0. (α) (β) β 0 β 0 β 1 β 0 20
Παράδειγμα Καμπύλη Philips Υ = β 0 + β 1 1 Χ + u, β 1 > 0 Υ είναι η ποσοστιαία μεταβολή των μισθών από την μια χρονική περίοδο στην άλλη και X είναι το ποσοστό της ανεργίας. Το σημείο NRU παριστάνει το φυσικό επίπεδο της ανεργίας. Σύμφωνα με την καμπύλη, οι μεταβολές στο επίπεδο των μισθών δεν είναι συμμετρικές ως προς τις μεταβολές στο επίπεδο της ανεργίας. NRU β 0 21
Παράδειγμα Καμπύλη Engel Υ = β 0 + β 1 1 Χ + u, β 1 < 0 Υ είναι οι δαπάνες και X είναι το εισόδημα. Θέτω Ζ 1 = 1 Χ, οπότε: Υ = β 0 + β 1 Ζ 1 + u, β 1 < 0 οπότε μετασχηματίσαμε την συναρτησιακή σχέση σε γραμμική και μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων για τον υπολογισμό των συντελεστών του υποδείγματος. 22
Άσκηση 2 Στον Πίνακα δίνονται οι δαπάνες κατά κεφαλήν για τρόφιμα (σε χιλ. δρχ.) και το κατά κεφαλήν ακαθάριστο εθνικό εισόδημα (σε χιλ. δρχ.) για την Ελλάδα για την περίοδο 1958-1979. Έτος Δαπάνες Υ ΑΕΠ Χ Έτος Δαπάνες Υ ΑΕΠ Χ 1958 5.5 16.4 1969 8.3 32.2 1959 5.6 16.8 1970 8.4 34.6 1960 5.6 17.5 1971 8.5 37.1 1961 6 19.3 1972 8.8 40.1 1962 6.1 19.5 1973 9.3 43.1 1963 6.4 21.4 1974 9.3 41.1 1964 6.7 23.1 1975 9.5 43.1 1965 7.1 25.1 1976 9.6 45.3 1966 7.5 26.5 1977 9.5 46.5 1967 7.8 27.6 1978 9.9 48.8 1968 8 29.4 1979 9.9 50.2 23
24
2. Βασικές μη γραμμικές μορφές υποδειγμάτων iii. Συνάρτηση σταθερών ελαστικοτήτων Έστω η συνάρτηση Υ = β 0 Χ 1 β 1 Χ 2 β 2.. Χ k β k όπου οι μεταβλητές Χ 1, Χ 2,.., Χ k εμφανίζονται πολλαπλασιαστικά. Η συνάρτηση αυτή είναι γνωστή ως συνάρτηση σταθερών ελαστικοτήτων γιατί οι ελαστικότητες της Υ ως προς κάθε ανεξάρτητη μεταβλητή Χ j είναι σταθερές και ίσες με τον αντίστοιχο συντελεστή β j. Δηλαδή: Υ X j X j Y = β j, j = 1,, k Το υπόδειγμα αυτό είναι μη γραμμικό ως προς τις ερμηνευτικές μεταβλητές αλλά και ως προς τις παραμέτρους του. 25
Παράδειγμα Συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas (k = 2) Υ = β 0 Χ 1 β 1 Χ 2 β 2 όπου Y προϊόν, Χ 1 εργασία και Χ 2 κεφάλαιο. Για να μετασχηματιστεί σε γραμμική μορφή, λογαριθμίζουμε lnυ = ln β 0 Χ 1 β 1 Χ 2 β 2 lnυ = lnβ 0 + lnχ 1 β 1 + lnχ 2 β 2 lnυ = lnβ 0 + β 1 lnx 1 + β 2 lnx 2 Υ = β 0 + β 1 Χ 1 + β 2 Χ 2 όπου θέσαμε Υ = lnυ, β 0 = lnβ 0, Χ 1 = lnx 1, Χ 2 = lnx 2 26
Άσκηση 3 Να προσδιοριστεί η συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas όπου Y προϊόν, Χ 1 εργασία και Χ 2 κεφάλαιο με βάση το δείγμα: Προϊόν Υ Εργασία Χ 1 Κεφαλαιο Χ 2 Προϊόν Υ Εργασία Χ 1 Κεφαλαιο Χ 2 26 71 1 111 61 6 40 54 2 127 87 6 46 62 2 100 49 6 55 25 3 88 43 6 54 47 3 87 45 7 73 83 3 112 43 8 76 83 4 110 36 8 85 51 4 150 89 9 73 38 4 81 14 9 27
Είναι Υ = β 0 Χ 1 β 1 Χ 2 β 2 Να μετατραπεί σε γραμμική μορφή (λογαριθμίζουμε και τα δύο μέλη). 28
Είναι Υ = β 0 Χ 1 β 1 Χ 2 β 2 lnυ = ln β 0 Χ 1 β 1 Χ 2 β 2 lnυ = lnβ 0 + lnχ 1 β 1 + lnχ 2 β 2 Είναι: ly = 2. 04 + 0. 30Z 1 + 0. 73Z 2 Y = 7. 74 Χ 1 0.30 Χ 2 0.73 (β 0 = e β 0 ) lnυ = lnβ 0 + β 1 lnx 1 + β 2 lnx 2 Θέτω ly = lnυ β 0 = lnβ 0 Z 1 = lnx 1 Z 2 = lnx 2 οπότε ly = β 0 + β 1 Z 1 + β 2 Z 2 29
Άσκηση 3 (συνέχεια) Να ελέγξετε αν η συνάρτηση παραγωγής χαρακτηρίζεται από σταθερές αποδόσεις κλίμακας, δηλαδή αν β 1 + β 2 = 1. Είναι: Υ = β 0 Χ 1 β 1 Χ 2 β 2 Υ = β 0 Χ 1 β 1 Χ 2 (1 β 1 ) lnυ = ln β 0 Χ 1 β 1 Χ 2 (1 β 1 ) (β 2 = 1 β 1 ) lnυ = lnβ 0 + lnχ 1 β 1 + lnχ 2 (1 β 1 ) lnυ = lnβ 0 + β 1 lnx 1 + (1 β 1 )lnx 2 lnυ = lnβ 0 + β 1 lnx 1 + lnx 2 β 1 lnx 2 lnυ lnx 2 = lnβ 0 + β 1 (lnx 1 lnx 2 ) Θέτω l2y = ln( Υ X 2 ) β 0 = lnβ 0 W 1 = ln X 1 X 2 oπότε l2y = β 0 + β 1 W 1 ln( Υ X 2 ) = lnβ 0 + β 1 (ln X 1 X 2 ) 30
l2y = β 0 + β 1 W 1 l2y = 2. 184212 + 0. 278849W 1 31
Συγκρίνουμε τα δυο υποδείγματα: 1) χωρίς περιορισμό, 2) με περιορισμό Δηλαδή ελέγχουμε αν ισχύει η Η 0 : β 1 + β 2 = 1. (δες διάλεξη 6) Το άθροισμα των τετραγώνων των καταλοίπων στα δύο υποδείγματα είναι: SSE 1 = 0, 164382 (χωρίς περιορισμό) SSE 2 = 0, 168103 (με περιορισμό) F = (SSE 2 SSE 1 )/r SSE 1 /(T k+1 ) F = (r: πλήθος περιορισμών) 0. 168103 0. 164382 0. 164382/(18 2 1) = 0. 34 < 4. 54 = F 1,15,0.05 = F r,t k+1,a (όπου F r,t k+1,a η κρίσιμη τιμή της F από πίνακες) Επειδή F < F r,t k+1,a δεχόμαστε την Η 0. 32
2. Βασικές μη γραμμικές μορφές υποδειγμάτων iv. Εκθετική μορφή H συνάρτηση της μορφής ονομάζεται εκθετική. Αν Υ = e β 0+β 1 X+u ή Υ = β 0 e β 1X+u Μετασχηματίζεται σε γραμμική αν λογαριθμίσουμε: lnυ = lne β 0+β 1 X+u ή lnυ = ln(β 0 e β 1X+u ) lnυ = β 0 + β 1 X + u ή lnυ = lnβ 0 + lne β 1X+u lnυ = β 0 + β 1 X + u ή lnυ = lnβ 0 + β 1 X + u Υ1 = β 0 + β 1 X + u ή Υ2 = β 0 + β 1 X + u Θέτω Υ1 = lnυ ή Υ2 = lnυ, β 0 = lnβ 0 33
Το εκθετικό υπόδειγμα Υ = e β 0+β 1 X+u όπου X = t (χρόνος), χρησιμοποιείται για την μελέτη των (εξαρτημένων) μεταβλητών που περιγράφουν ή υποδηλώνουν την πρόοδο της επιστήμης, π.χ. ο αριθμός των επιστημόνων. Η σταθερά β 0 παριστάνει την μεταβλητή Υ στην αρχή της περιόδου. Η μορφή του υποδείγματος συνεπάγεται σταθερό ρυθμό μεταβολής της μεταβλητής Υ για αυτό και το υπόδειγμα αυτό ονομάζεται και υπόδειγμα σταθερής μεγέθυνσης. O συντελεστής β 1 παριστάνει το συνεχή ή στιγμιαίο ρυθμό μεγεθύνσεως g, δηλαδή την ποσοστιαία μεταβολή σε ένα σημείο: g = dy 1 dt Y = β 1. Ο μη συνεχής ρυθμός μεγέθυνσης r δίνεται από την σχέση r = e β 1 1. 34
Παράδειγμα Με βάση τον αριθμό των οικονομολόγων-μελών της Αμερικανικής Οικονομικής Εταιρείας για την περίοδο 1950-1973 εκτιμήθηκε η ακόλουθη παλινδρόμηση: όπου lny t = 8. 766 + 0. 05062X t Y t : αριθμός οικονομολόγων-μελών της Αμερικανικής Οικονομικής Εταιρείας Χ t = t = 0, 1,.., 23 Επομένως ο ρυθμός μεγεθύνσεως και είναι 0. 05062 0. 05 δηλαδή ο R 2 αριθμός οικονομολόγων-μελών της = 0. 064 Αμερικανικής Οικονομικής Εταιρείας s = 0. 0707 αυξανόταν ετησίως κατά 5%. F = 589 35
Παράδειγμα Με βάση τα ετήσια στοιχεία για το Ακαθάριστο Εγχώριο Προϊόν για την Ελλάδα για την περίοδο 1960-1994 εκτιμήθηκε το ακόλουθο υπόδειγμα: όπου Y t : ΑΕΠ Χ t = t = 0, 1,.., 35 και lny t = 12, 080 + 0. 0399X t R 2 = 0, 908 Επομένως ο συνεχής ρυθμός μεγεθύνσεως του πραγματικού ΑΕΠ είναι 0. 0399 ή 3, 99%. Ο μη συνεχής ρυθμός μεγεθύνσεως είναι: r = e β 1 1 = 0. 0407 = 4, 07%. 36
2. Βασικές μη γραμμικές μορφές υποδειγμάτων v. Λογιστική καμπύλη Η συνάρτηση γ Υ = 1 + e β 0+β 1 t όπου γ > 0 και β 1 < 0 είναι γνωστή ως λογιστική καμπύλη και η γραφική παράσταση της είναι ως εξης: Υ γ t (χρόνος) 37
Η παράμετρος γ είναι το ανώτατο όριο που μπορεί να φτάσει η μεταβλητή Υ. Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του β 1 τόσο ταχύτερα η Υ προσεγγίζει το ανώτατο όριο γ. Η λογιστική συνάρτηση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την περιγραφή φαινομένων, όπως η ανάπτυξη (growth) και η εξάπλωση ενός νέου προϊόντος και γενικά μιας βιομηχανίας. Η συνάρτηση αυτή δεν είναι γραμμική ως προς τις μεταβλητές ή τις παραμέτρους οπότε δεν μπορεί να εκτιμηθεί κατά τα γνωστά. Αν η παράμετρος γ είναι γνωστή τότε το πρόβλημα της εκτίμησης είναι απλό καθώς μπορεί να μετασχηματισθεί το υπόδειγμα σε γραμμικό. Θα εξετάσουμε μόνο αυτήν την περίπτωση. 38
Έστω το λογιστικό υπόδειγμα γ Υ = 1 + e β 0+β 1 t όπου η παράμετρος γ είναι γνωστή. Μετασχηματισμός υποδείγματος σε γραμμική μορφή γ lnυ = ln 1 + e β 0+β 1 t lnυ = lnγ ln(1 + e β 0+β 1 t ) ln(1 + e β 0+β 1 t ) = lnγ lny ln 1 + e β 0+β 1 t = ln( γ Y ) 1 + e β 0+β 1 t = γ Υ 39
e β 0+β 1 t = γ Υ 1 ln e β 0+β 1 t = ln( γ Υ 1) Οπότε όπου Υ = ln( γ Y 1) β 0 + β 1 t = ln γ Υ 1 ln γ Υ 1 =β 0 + β 1 t Υ = β 0 + β 1 t Στην περίπτωση αυτή μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων για την εκτίμηση των παραμέτρων β 0, β 1 του γραμμικού υποδείγματος Υ = β 0 + β 1 t. 40
3. Κριτήρια επιλογής μεταξύ γραμμικής και λογαριθμικά γραμμικής μορφής Ο καθορισμός της μορφής της συναρτησιακής σχέσης που συνδέει την εξαρτημένη μεταβλητή Υ και τις ανεξάρτητες μεταβλητές, είναι μέρος της εξειδικεύσεως του υποδείγματος. Δηλαδή πρέπει να καθορίσουμε πως θα γίνει η επιλογή ανάμεσα σε μια γραμμική ή λογαριθμικά γραμμική μορφή. Δεν μπορούμε να συγκρίνουμε μια γραμμική και μια λογαριθμικά γραμμική μορφή με βάση την συντελεστή προσδιορισμού R 2 διότι το συνολικό άθροισμα τετραγώνων των εξαρτημένων μεταβλητών είναι διαφορετικό: (Υ Υ) 2 (lnυ lnυ) 2 41
Τα βασικότερα κριτήρια επιλογής μεταξύ γραμμικής και λογαριθμικά γραμμικής μορφής 1. Κριτήριο Box-Cox Υ λ 1 για λ 0 Θεωρούμε τον μετασχηματισμό Υ λ = { λ. lny για λ = 0 Το υπόδειγμα Υ t λ = β 0 + β 1 X t + u t είναι γραμμικό για λ = 1, ενώ για λ = 0 είναι λογαριθμικά γραμμικό. Θέλουμε να ελέγξουμε τις υποθέσεις λ = 1 και λ = 0. 42
Η διαδικασία για την εφαρμογή της μεθόδου Box-Cox είναι η εξής: i. Διαιρούμε κάθε παρατήρηση Υ t με τον γεωμετρικό μέσο των παρατηρήσεων της Υ. Ονομάζουμε γεωμετρικό μέσο των τιμών Υ 1,, Υ ν, την ν-οστή ρίζα του γινομένου τους: Υ g = ν Υ 1 Υ 2 Υ ν. ii. iii. Δίνοντας διάφορες τιμές στο λ εκτιμάμε τις αντίστοιχες παλινδρομήσεις ανάμεσα στο Υ λ και στο X και υπολογίζουμε το άθροισμα των τετραγώνων των καταλοίπων (στην περίπτωση μας αρκεί να θέσουμε λ = 0 και λ = 1). Επιλέγουμε αυτήν την τιμή του λ για την οποία το άθροισμα των τετραγώνων των καταλοίπων είναι ελάχιστο. 43
Εναλλακτική διαδικασία για την εφαρμογή της μεθόδου Box-Cox : i. Διαιρούμε κάθε παρατήρηση Υ t με τον γεωμετρικό μέσο Υ g των παρατηρήσεων της Υ και δημιουργούμε τις μεταβλητές ii. Y t = Υ t / Υ g και lny t. Ορίζουμε τα υποδείγματα: Y t = β 0 + β 1 X t + u t iii. lny t = β 0 + β 1 X t + u t Επιλέγουμε το υπόδειγμα με το μικρότερο άθροισμα τετραγώνων των καταλοίπων. 44
2. Κριτήριο Bera-McAleer Έστω η μηδενική υπόθεση Η 0 : lnυ t = β 0 + β 1 X t + u t όπου u t ~(0, σ u 2 ) και η εναλλακτική υπόθεση Η 1 : Υ t = β 0 + β 1 X t + ε t όπου ε t ~(0, σ ε 2 ) Ο έλεγχος των παραπάνω υποθέσεων μπορεί να γίνει ως εξής: i. Εκτιμάμε τα δύο υποδείγματα και βρίσκουμε τις εκτιμηθείσες τιμές τους, δηλαδή lnυ t και Υ t αντίστοιχα. ii. Εκτιμάμε τις παλινδρομήσεις 45
iii. Αντιλογάριθμος lnυ t = β 0 + β 1 X t + ν t ln Υ t = β 0 + β 1 X t + w t Εκτιμάμε τις παλινδρομήσεις lnυ t = β 0 + β 1 X t + θ 0 v t + v t Υ t = β 0 + β 1 X t + θ 1 w t + w t Ελέγχουμε τις υποθέσεις θ 0 = 0 (αν ισχύει επιλέγεται η λογαριθμική μορφή) και θ 1 = 0 (αν ισχύει επιλέγεται η γραμμική μορφή). Ο έλεγχος γίνεται με την στατιστική t. Μειονέκτημα κριτηρίου Δεν προτιμάται αυτή η μέθοδος καθώς οι δυο παραπάνω υποθέσεις μπορεί να γίνουν συγχρόνως δεκτές ή να απορρίπτονται και οι δύο. 46
3. Κριτήριο MacKinnon-White-Davidson Είναι παραλλαγή του προηγούμενου κριτηρίου. Ο έλεγχος των παραπάνω υποθέσεων μπορεί να γίνει ως εξής: i. Εκτιμάμε τα δύο υποδείγματα lnυ t = β 0 + β 1 X t + u t όπου u t ~(0, σ u 2 ) Υ t = β 0 + β 1 X t + ε t όπου ε t ~(0, σ ε 2 ) και βρίσκουμε τις εκτιμηθείσες τιμές τους, δηλαδή lnυ t και Υ t αντίστοιχα. ii. Εκτιμάμε τις παλινδρομήσεις 47
lnυ t = β 0 + β 1 X t + θ 0 ( Y t αντιλ. lnυ t ) + u t Υ t = β 0 + β 1 X t + θ 1 ( lny t ln Y t ) + ε t Ελέγχουμε τις υποθέσεις θ 0 = 0 (αν ισχύει επιλέγεται η λογαριθμική μορφή) και θ 1 = 0 (αν ισχύει επιλέγεται η γραμμική μορφή). Ο έλεγχος γίνεται με την στατιστική t. 48
Άσκηση 4 Δίνονται στοιχεία σχετικά με την αποταμίευση (Υ) και το διαθέσιμο εισόδημα (Χ) της περιόδου 1958-1979 στην Ελλάδα. Να συγκρίνεται το γραμμικό και το λογαριθμικό γραμμικό υπόδειγμα με βάση το κριτήριο Box-Cox. Έτος Υ Χ Έτος Υ Χ Έτος Υ Χ 1958 9.8 105.5 1966 26.2 182.4 1974 44.6 296.5 1959 6.9 107.5 1967 26.6 192.9 1975 40.3 306.7 1960 9.1 111.9 1968 24 204.2 1976 42.7 324.1 1961 12.2 124.7 1969 30.9 221.9 1977 51.7 347.6 1962 16 130.1 1970 34.7 240.5 1978 61.6 373.6 1963 14.3 142.1 1971 50.6 267.8 1979 70.9 390.8 1964 22.2 155.3 1972 57.1 289.4 1965 25.2 171.5 1973 68.2 318.5 49
Γραμμικό υπόδειγμα Λογαριθμικό γραμμικό υπόδειγμα 50
Σύγκριση των υποδειγμάτων με το κριτήριο Box-Cox i. Δημιουργούμε τις μεταβλητές Y t = Υ t / Υ g και lny t όπου Υ g = 27. 80 ο γεωμετρικός μέσος των παρατηρήσεων της Υ. 51
ii. Εκτιμούμε τα υποδείγματα Y t = β 0 + β 1 X t + u t και lny t = β 0 + β 1 X t + u t iii. Επιλέγεται η γραμμική μορφή καθώς έχει το μικρότερο άθροισμα τετραγώνων των καταλοίπων (SSE 1 = 1. 021706 < 1. 264594 = SSE 2 ). 52
4. Περίπτωση λογαριθμικής εξαρτημένης μεταβλητής Έστω το υπόδειγμα lnυ t = β 0 + β 1 X t + u t. Η προσδοκώμενη τιμή της Υ σε αυτήν την περίπτωση δίνεται ως: Ε Υ t = (Εe u )e β 0+β 1 X t Όταν u t ~Ν(0, σ 2 ) τότε η παραπάνω σχέση γίνεται: Ε Υ t = (Εe σ2 /2 )e β 0+β 1 X t Ένας συνεπής εκτιμητής της Ε Υ είναι: Υ t = e s2 /2 e lnυ t όπου s το τυπικό σφάλμα του u t Ένας αμερόληπτος εκτιμητής της Ε Υ είναι: Υ t = α 0 e lnυ t όπου α 0 = Υ t m t m t 2 είναι ο συντελεστής που προκύπτει από την παλινδρόμηση του Υ t και του m = e lnυ t. 53
Κριτήρια σύγκρισης υποδειγμάτων Ο συντελεστής προσδιορισμού χρησιμοποιείται όταν η εξαρτημένη μεταβλητή στα δύο υποδείγματα είναι η ίδια, έχουμε τον ίδιο αριθμό ανεξάρτητων μεταβλητών στα υποδείγματα και ίδιο μέγεθος δείγματος. Ο διορθωμένος συντελεστής προσδιορισμού χρησιμοποιείται όταν η εξαρτημένη μεταβλητή στα δύο υποδείγματα είναι ίδια, αλλά αριθμός των ανεξάρτητων μεταβλητών είναι διαφορετικός ή το μέγεθος του δείγματος είναι διαφορετικό στα δύο υποδείγματα. Τα κριτήρια Akaike (AIC), Schwarz (SC) και των Hannan και Quinn (HQ) χρησιμοποιούνται για την σύγκριση γραμμικών υποδειγμάτων όταν οι μεταβλητές στα δύο υποδείγματα είναι διαφορετικές αλλά αποτελούν η μια μετασχηματισμό της άλλης (π.χ. Υ και lnυ). 54
Tα κριτήρια Box-Cox, Bera-McAleer και MacKinnon-White-Davidson χρησιμοποιούνται για την σύγκριση μεταξύ γραμμικής και λογαριθμικά γραμμικής μορφής. Δεν μπορούμε να τα χρησιμοποιήσουμε όταν οι ανεξάρτητες μεταβλητές στα υποδείγματα δεν είναι ίδιες, π.χ. αν οι ανεξάρτητες μεταβλητές στα υποδείγματα είναι Χ και 1 τότε δεν μπορούμε να τα Χ συγκρίνουμε. 55
Βιβλιογραφία Χρήστου Κ. Γεώργιος (2007) Εισαγωγή στην Οικονομετρία, Τόμος 1, Εκδότης: Γ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ - Κ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ Ο.Ε. Stock H. James, Watson W. Mark, επιμέλεια Πραγγίδης Ιωάννης - Χρυσόστομος (2017) Εισαγωγή στην Οικονομετρία, Εκδότης: Γ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ - Κ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ Ο.Ε. Χρήστου Κ. Γεώργιος (2006) Εισαγωγή στην Οικονομετρία Ασκήσεις, Εκδόσεις Gutenberg. Δριτσάκη Ν. Χάιδω, Δριτσάκη Ν. Μελίνα (2013) Εισαγωγή στην Οικονομετρία με τη Χρήση του Λογισμικού EViews, Κλειδάριθμος ΕΠΕ Εκδόσεις. 56