SUPRAFEŢE CURBE 53 9. SUPRAFEŢE CURBE Suprfeţele cure sunt suprfeţe generte prin mişcre unor linii drepte su cure, numite genertore, după numite legi. Clsificre suprfeţelor cure, după form genertorei : ) suprfeţe riglte : u genertore o linie dreptă (suprfeţele cilindrice, conice, etc.); ) suprfeţe neriglte : u genertore o cură (suprfţ sferei, torului, etc.). 9. Repreentre suprfeţelor cure Repreentre suprfeţelor cure, în epură, se fce prin repreentre conturului prent, cu respectre regulilor generle de viiilitte şi criteriilor stilite l poliedre. L repreentre suprfeţelor cure închise se trseă şi ele de rotţie, de simetrie şi de centre. 9.. Repreentre cilindrului. Punct pe suprfţ cilindrică Suprfţ cilindrică este genertă de o dreptă moilă G (genertore) cre se sprijină pe o cură deschisă su închisă (C), numită cură directore, fiind prlelă în timpul mişcării cu o direcţie dtă (fig.7., ). Făcând nlogi cu suprfţ prismtică, suprfţ cilindrică este o suprfţă prismtică cu un număr infinit de feţe. Un corp cilindric se oţine dcă suprfţ cilindrică se secţioneă cu două plne cre tie tote genertorele, oţinând ele cilindrului. Dcă genertore se roteşte în jurul unei e, cu cre este prlelă, ir cur directore (C) este un cerc, se oţine cilindrul de revoluţie (fig.7., ). Bele cilindrului de revoluţie, cercuri cu centrele în şi, pot fi situte în două plne prlele. Un cilindru cre re perpendiculră pe cercul de ă (C) şi respectiv, pe cilindrului, este un cilindru circulr drept (fig.7., c). Acest este o suprfţă proiectntă, orice punct situt pe suprfţ cilindrului se proiecteă pe cercul de ă (C). Un cilindru este determint în epură prin proiecţi curei directore pe plnul de proiecţie şi direcţi cu cre genertorele sunt prlele, construindu-se poi conturul prent oriontl şi verticl. În proleme, cilindrul este dt prin coordontele centrelor cercurilor de ă şi prin r cestor. În figur 9. se consideră un cilindru olic, cu ele cercuri situte în plnul oriontl de proiecţie şi într-un pln de nivel, vând. Bele se proiecteă pe plnul oriontl de proiecţie c cercuri cu centrul în o şi o, ir pe plnul verticl de G C C C ) ) c) Fig.9. Generre suprfeţelor cilindrice
54 GEMETRIE DESCRIPTIVĂ c o d proiecţie c segmente egle cu dimetrul cercurilor, c d şi c d. m Pentru repreentre conturului prent, în cele două proiecţii pe plnele de proiecţie, se duc tngentele m eteriore l e : şi, în c proiecţi oriontlă, respectiv c c şi d d d, în proiecţi verticlă. În generl, în spţiu, un punct se flă pe suprfţ cilindrică dcă se o c d m =m flă pe o genertore cilindrului. În epură, pentru c un punct să prţină c o d unui cilindru, proiecţiile lui treuie să se găsescă pe proiecţiile de celşi nume le unei genertore cilindrului. Fie dtă proiecţi oriontlă Fig.9. Punct pe suprfţ cilindrică m unui punct M pe suprfţ cilindrului din figur 9.. Proiecţi verticlă m v fi sitută pe proiecţi verticlă genertorei ce trece prin punctul m. Prin punctul m se pot trs două genertore, suprpuse, un pe fţ viiilă şi un pe fţ inviiilă. Găsind proiecţiile verticle le cestor, şi şi ridicând o linie de ordine din proiecţi oriontlă m, se găsesc două proiecţii verticle m şi m, m, m, le celor două puncte M (m,m ) şi M (m,m ), cre în proiecţie oriontlă se suprpun, m m. 9.. Repreentre conului. Punct pe suprfţ conică Suprfţ conică este genertă de o dreptă moilă G (genertore) cre se sprijină pe o cură deschisă su închisă (C), numită cură directore şi trece printr-un punct fi S (vârful conului) (fig.9.3, ). Când genertore depăşeşte vârful conului, se oţine suprfţ conică cu două pâne. Prin nlogie cu pirmid, suprfţ conică este o suprfţă pirmidlă cu un număr infinit de feţe. V V V G [P] C ) ) c) Fig.9.3 Generre suprfeţelor conice
SUPRAFEŢE CURBE 55 În prctică se utilieă numi un dintre pânele suprfeţei conice, numită con de revoluţie şi oţinută prin deplsre genertorei în jurul unei e S, cre trece prin vârful conului S, vând cur directore () un cerc cu centrul în (fig.9.3, ). Dcă conului, S, este perpendiculră pe plnul ei se oţine un con drept (fig 9.3, c). Dcă un con se secţioneă cu un pln [P] prlel su nu cu lui, corpul delimitt de ă şi cestă secţiune plnă se numeşte trunchi de con (fig 9.3, c). Un con este determint, în epură, prin proiecţiile curei directore şi prin proiecţiile vârfului conului, construindu-se poi şi genertorele cre limiteă conturul prent, tât în pln oriontl, cât şi în pln verticl. În proleme, conul este dt prin coordontele centrului cercului de ă, r cestui şi coordontele vârfului conului. Conul olic din figur 9.4 re un cerc cu centrul în, situt în plnul oriontl de proiecţie şi vârful, punctul orecre V(v,v ). În proiecţi oriontlă, conturul prent este formt din rcul de cerc, l ei, viiil şi din genertorele etreme s şi s, tngente în şi l ă. În proiecţi verticlă, conturul prent este compus din proiecţi verticlă ei (dimetrul frontl c d, suprpus pe ) şi genertorele s c şi s d. În proiecţi oriontlă viiilitte este evidentă, ir în proiecţi verticlă tote genertorele cre se sprijină pe rcul ei c d sunt viiile, ir celellte inviiile. Genertore s este inviiilă, ir genertore s, viiilă. Un punct prţine unei suprfeţe conice dcă este situt pe o genertore s cestei suprfeţe. Fie un punct N, dt prin proiecţi verticlă n, pe suprfţ conică din proiecţi verticlă (fig.9.4). n =n Pentru determinre proiecţiei oriontle n, se trseă genertore s n, pe cre este situt punctul, se găseşte proiecţi urmei oriontle cestei, şi se c = cooră o linie de ordine până pe d proiecţi oriontlă ei, unde se determină proiecţiile oriontle şi, le urmelor genertorelor. Unind vârful c o n d s cu urmele şi cu se găsesc două proiecţii oriontle pentru proiecţi n s verticlă genertorei s n, pe cre r pute fi sitută proiecţi oriontlă punctului N. Prolem re două soluţii : fie punctul N (n,n ) cu n s, fie Fig.9.4 Punct pe suprfţ conică punctul N (n,n ) cu n s, cu proiecţiile verticle suprpuse, n n. 9..3 Repreentre sferei. Punct pe suprfţ sferică Sfer este definită c locul geometric l punctelor egl depărtte de un punct fi, numit centrul sferei. suprfţă sferică este genertă de un cerc cre se roteşte în jurul unei dintre e. În tripl proiecţie ortogonlă o sferă cu centrul în (,, ) se proiecteă prin conturul ei prent, cre este câte un cerc egl cu cercul genertor (fig.9.5). Conturul prent din plnul verticl de proiecţie, numit meridin principl, este un cerc cu centrul în, de ră eglă cu r sferei şi se oţine prin secţionre sferei cu un pln de front [F], cre trece prin centrul sferei.
56 GEMETRIE DESCRIPTIVĂ Conturul prent din plnul oriontl de proiecţie se oţine prin secţionre sferei cu un pln de nivel [N], dus prin centrul sferei şi este un cerc cu centrul în, de ră eglă cu r sferei şi se numeşte ecutor. Cercul de contur prent din plnul lterl este tot un meridin şi repreintă proiecţi secţiunii făcute, în sferă, de un pln de profil [P], dus prin centrul sferei. În spţiu, ecutorul şi cele două meridine, sunt perpendiculre două câte două. rice lte plne de front, de nivel su de profil vor intersect sfer după cercuri de diferite dimetre, cre se vor proiect, în epură, concentric cu proiecţi meridinului principl, ecutorului, respectiv cercului meridin din plnul lterl. Un punct situt pe o suprfţă sferică este definit prin proiecţiile lui, cre sunt situte pe cercul de secţiune determint prin secţionre sferei cu un pln perpendiculr pe F P F" 4 4" N " N" F r 3 3" N = " " N " r P r r 4=3 Fig.9.5 Tripl proiecţie ortogonlă sferei. Punct pe suprfţ sferică ă şi cre trece prin punctul respectiv (fig.9.5). Dcă se cunoşte proiecţi verticlă, unui punct de pe sferă, se duce prin un pln de nivel [N ], cre determină în sferă o secţiune circulră cu centrul în şi de ră r, proiecttă pe plnul oriontl în devărtă mărime. Proiecţiei îi corespund două proiecţii oriontle, şi, şi deci şi în proiecţi verticlă vem, proiecţiile verticle le punctelor şi, situte pe sferă de o prte şi de lt cercului meridin. În mod similr, se procedeă dcă se cunoşte proiecţi oriontlă unui punct dulu, 3 4, situt pe sferă de o prte şi de lt cercului ecutor, folosind plnul de front [F ] şi oţinând în finl, proiecţiile verticle 3 şi 4 (fig.9.5). 9. Plne tngente l suprfeţe cure Plnul tngent l o suprfţă cură pote ve o infinitte de puncte comune cu suprfţ respectivă su numi unul, în funcţie de form celei suprfeţe. Din multitudine de proleme ce se pot pune în ce priveşte determinre plnelor tngente l suprfeţe cure, în continure se vor trt plnele tngente duse printr-un punct pe suprfţă şi dintr-un punct eterior cestei. 9.. Pln tngent l o suprfţă cilindrică Plnul tngent l suprfţ unui cilindru conţine o genertore cestei suprfeţe şi tngent l cur directore în punctul în cre genertore o intersecteă. Plnele tngente sunt prlele cu genertorele suprfeţei cilindrice.
SUPRAFEŢE CURBE 57 ) Pln tngent într-un punct pe suprfţ unui cilindru Fie cilindrul olic, cu ele cercuri situte în plnul oriontl de proiecţie şi într-un pln de nivel şi un punct M(m,m ) pe suprfţ lui lterlă (fig.9.6). Pentru determinre urmelor plnului tngent în punctul M l suprfţ cilindrică se trseă genertore (, ), cre trece prin M şi cre v fi conţinută de plnul tngent [T]. Urm oriontlă T plnului tngent este tngentă ei cilindrului în punctul (, ), urm oriontlă genertorei. Intersecţi urmei oriontle T cu determină punctul T, un punct l urmei verticle T plnului tngent. Pentru fl încă un punct l cestei urme, se determină urm verticlă genertorei su urm verticlă V(v,v ) oriontlei G(g,g ) plnului [T], ce trece prin punctul M, T = T v. T g g o o T m m v v T o o T o o g h h T g o m m o v v d T d T Fig.9.6 Pln tngent în punctul M(m,m ) pe suprfţ cilindrului Fig.9.7 Pln tngent l cilindru dintr-un punct M(m,m ), eterior cilindrului ) Pln tngent l cilindru dintr-un punct eterior cilindrului În figur 9.7 se consideră un cilindru olic, cu ele cercuri situte în plnul oriontl de proiecţie şi într-un pln de nivel şi un punct M(m,m ), eterior cilindrului. Dcă se cere construire unui pln tngent l cilindru prin punctul M, prolem re două soluţii. Pentru reolvre, se duce prin M(m,m ) drept D(d,d ) prlelă cu genertorele cilindrului şi se determină urm ei oriontlă H(h,h ). Plnul tngent l cilindru v conţine cestă dreptă, deci urmele oriontle T şi T trec prin urm h şi sunt tngente l cilindrului din plnul oriontl de proiecţie, în punctele şi. Pentru determinre urmei verticle T plnului tngent [T ], se foloseşte urm verticlă dreptei D su urm verticlă V (v,v ) oriontlei G(g,g ) plnului tngent, trstă prin punctul M, T = T v. Anlog, se pote construi şi urm T. 9.. Pln tngent l o suprfţă conică Plnul tngent l o suprfţă conică trece prin vârful conului, conţine o genertore conului şi tngent l cur directore în punctul în cre genertore o intersecteă. ) Pln tngent într-un punct pe suprfţ unui con Se consideră dt conul cu vârful în punctul S(s,s ) şi un cerc situt în plnul oriontl de proiecţie (fig.9.8).
58 GEMETRIE DESCRIPTIVĂ Plnul tngent dus printr-un punct N(n,n ) de pe suprfţ conului v conţine genertore S(s, s ) pe cre este situt punctul. Astfel, urm oriontlă T este tngentă în punctul l cur directore. Pentru trsre urmei verticle T se determină urm verticlă genertorei S su se găseşte urm verticlă v unei oriontle G(g,g ) plnului tngent [T], cre trece prin punctul N, T = T v. s s T T g g o o n n T v v T s g T n v d h d T v h n g s T Fig.9.8 Pln tngent în punctul N(n,n ) pe suprfţ conului Fig.9.9 Pln tngent l con dintr-un punct N(n,n ), eterior conului ) Pln tngent l con dintr-un punct eterior conului Fie conul circulr olic cu vârful în punctul S(s,s ), în plnul oriontl de proiecţie şi un punct N(n,n ), eterior conului (fig.9.9). Plnul tngent conului dus prin punctul N trece prin vârful S(s,s ) şi este tngent l cercul de ă. Se trseă drept D(d,d ) prin punctul N şi prin vârful conului şi se determină urm oriontlă H(h,h ) cestei drepte. Din punctul N se pot duce două plne tngente l con, căror urme oriontle, T şi T, trec prin urm oriontlă h şi sunt tngente l ă în punctele şi. Pentru trsre urmei verticle T se determină urm verticlă dreptei D su se utilieă urm verticlă V(v,v ) oriontlei G(g,g ) plnului [T ], trstă prin punctul N, T = T v. Anlog, se procedeă şi pentru urm T. 9..3 Pln tngent l o suprfţă sferică Plnul tngent l o suprfţă sferică re un punct comun cu cest şi este perpendiculr pe r cre trece prin punctul de tngenţă. ) Pln tngent într-un punct pe suprfţ sferei Se consideră o sferă cu centrul în (, ) şi un punct M(m,m ) situt pe suprfţ ei (fig.9.0). Pentru se trs urmele plnului [T] tngent l sferă, dus prin punctul M, se foloseşte o oriontlă D(d,d ) cestui pln. Deorece plnul tngent este perpendiculr pe r M(m, m ), proiecţi oriontlă d oriontlei se trseă prin punctul m, perpendiculră pe r m. Se determină urm verticlă V(v,v ) oriontlei şi prin proiecţi verticlă v se trseă urm verticlă T plnului tngent, perpendiculr pe r m. Urm oriontlă T trece prin T şi este prlelă cu proiecţi oriontlă d oriontlei (su perpendiculră pe r m).
SUPRAFEŢE CURBE 59 v m N=d v m v N=d =d T T T v T T v d v T T T m m d d T Fig.9.0 Pln tngent într-un punct M(m,m ), pe suprfţ sferei Fig.9. Pln tngent l sferă dintr-un punct M(m,m ),eterior sferei ) Pln tngent l sferă dintr-un punct eterior ei Fie sfer cu centrul în (, ) şi un punct M(m,m ) eterior ei (fig.9.). Prolem trsării unui pln tngent l suprfţ sferică prin punctul M(m,m ) re o infinitte de soluţii. În continure, se vor trs două stfel de plne, folosind tngentele duse din punctul M(m,m ) l secţiune circulră determintă în sferă de plnul de nivel [N], cre trece prin cest punct. În epură, secţiune circulră determintă de plnul de nivel se proiecteă în devărtă mărime pe plnul oriontl de proiecţie. Tngentele duse din punctul m l cest cerc sunt oriontlele D (d,d ) M(m,m ) şi D (d,d ) M(m,m ). Plnele tngente [T ] şi [T ] u urmele verticle T şi T perpendiculre pe rele, respectiv şi trec prin urmele verticle v şi v, le celor două oriontle. Urmele oriontle T şi T se trseă prin T şi T şi sunt prlele cu proiecţiile oriontle le oriontlelor tngente, d şi respectiv d. 9.3 Secţiuni plne în suprfeţe cure Secţiune plnă într-o suprfţă cură este, în generl, o cură plnă, definită de punctele de intersecţie le genertorelor cu plnul secnt. Determinre secţiunii plne se fce utiliând metodele de l determinre secţiunilor plne în poliedre, legând un număr suficient de genertore, în specil cele pe cre sunt situte punctele de mim, de infleiune, de schimre viiilităţii, etc. Punctele stfel determinte se vor uni printr-o linie cură continuă. 9.3. Secţiuni plne în cilindri În funcţie de poiţi reltivă pln-cilindru, secţiune plnă într-un cilindru circulr pote fi : - un prlelogrm dcă plnul secnt este prlel cu cilindrului su o conţine (fig.9., );
60 GEMETRIE DESCRIPTIVĂ - un cerc - dcă plnul secnt este prlel cu plnul ei (fig.9., ); - o elipsă su o porţiune de elipsă după cum plnul secnt intersecteă tote genertorele cilindrului (fig.9., c) su dor o prte dintre ele (fig.9., d). [P] [P] [P] ) ) c) d) Fig.9. Secţiuni plne în cilindri ) Secţiune plnă în cilindru, determintă de un pln orecre c =h o 3=h 3 4=h 4 =h 4 3 o c h 4 P h Q h 3 Q 4 h Q 3 Q Q v v3 d o v 4 v v 4 v v 3 v d Q 3 Q o Fig.9.3 Secţiune plnă în cilindru, determintă de un pln orecre [P] P P Q 4 Fie un cilindru circulr olic cu inferioră în plnul oriontl de proiecţie şi un pln orecre [P], cre îl secţioneă (fig.9.3). Secţiune plnă este o elipsă şi se găseşte determinând punctele în cre genertorele intersecteă plnul secnt. Se folosesc plne uilire de cpăt [Q ] [Q 4 ], duse prin genertorele de contur prent verticl şi oriontl (cele cre trec prin punctele,, 3, şi 4). Genertorele din punctele şi determină punctele A(, ) şi B(, ) le elipsei de secţiune (punctele în cre proiecţi verticlă elipsei îşi schimă viiilitte), ir genertorele din punctele 3 şi 4 determină punctele C(c,c ) şi D(d,d ) le secţiunii (punctele în cre proiecţi oriontlă elipsei îşi schimă viiilitte). Pentru o determinre mi ectă elipsei de secţiune pot fi intersectte şi lte genertore cu plnul secnt [P]. ) Secţiune plnă într-un cilindru frontl, determintă de un pln de cpăt Secţiune plnă făcută de plnul de cpăt [P], perpendiculr pe genertorele cilindrului frontl, cu inferioră în plnul oriontl de proiecţie, se numeşte secţiune normlă şi este o elipsă (fig.9.4). Plnul secnt fiind proiectnt fţă de plnul verticl de proiecţie, dcă se consideră un număr orecre de genertore, convenil lese, proiecţi verticlă secţiunii [m r n q ] reultă direct prin punctele în cre ceste intersecteă urm verticlă P plnului de cpăt. Ducând liniile de ordine corespunătore se oţine şi proiecţi oriontlă
SUPRAFEŢE CURBE 6 elipsei de secţiune [mrnq]. Pentru se trs elips, s-u mi lut ptru genertore intermedire celor de contur prent, cre trec prin punctele E, G, F şi I, determinând încă ptru puncte le elipsei,, 3 şi 4. Elips de secţiune se proiecteă deformt pe cele două plne de proiecţie. Conturul secţiunii eliptice s- trst respectând viiilitte cilindrului. Pentru fl devărt mărime secţiunii, se rte plnul secnt [P], împreună cu secţiune, pe plnul oriontl de proiecţie, oţinând elips [m 0 r 0 n 0 q 0 ]. Secţiune normlă într-un cilindru frontl serveşte l trsre desfăşurtei cilindrului (sucpitolul 9.5.) 5 c) Secţiune plnă într-un 0 8 0 cilindru drept o o " 4 Se consideră cilindrul 0 circulr drept din figur 9.5 şi un 4=6 5 5" 0 6" 4" pln de cpăt [P], cre îl 3 0 0 3=7 3" secţioneă. Secţiune plnă P 7" 0 =8 8" " oţinută este o elipsă şi se o " proiecteă pe plnul oriontl de P o " proiecţie suprpusă peste i g f cilindrului, pe plnul verticl su form segmentului 5, suprpus pe e o =o urm verticlă P plnului de cpăt, ir pe plnul lterl după o P d elipsă cu ele 3 7 şi 5. În c tote cele trei proiecţii, elips de secţiune se proiecteă deformt, ir Fig.9.5 Secţiune plnă într-un cilindru drept, pentru fl mărime ei relă, se determintă de plnul de cpăt [P] rte plnul de cpăt, împreună cu secţiune, pe plnul verticl de proiecţie, oţinând elips cu ele 0 5 0 şi 3 0 7 0. 9.3. Secţiuni plne în conuri e=i e m =3 q=r =4 n d=c g=f c o q g o n 0 După poiţi reltivă pe cre o re un pln secnt fţă de conul pe cre îl secţioneă, secţiune plnă oţinută pote ve următorele forme : - un triunghi dcă plnul secnt conţine vârful conului (fig.9.6, ); - un cerc su o elipsă după cum plnul secnt este prlel (fig.9.6, ), respectiv înclint fţă de plnul ei (fig.9.6, c) şi intersecteă tote genertorele conului; - o prolă dcă plnul secnt este prlel cu o genertore conului (fig.9.6, d) - o hiperolă dcă plnul secnt este prlel cu un pln ce trece prin vârful conului (fig.9.6, e). i d o m f P n P o 0 q 0 0 4 3 4 0 3 0 r P r0 m 0 Fig.9.4 Secţiune plnă într-un cilindru frontl, determintă de un pln de cpăt [P] 70 6 0
6 GEMETRIE DESCRIPTIVĂ Ştiind că suprfţ conică este lcătuită din două pâne (de o prte şi de lt vârfului), Dndelin emis următore teoremă în ce priveşte secţiunile în conuri : secţiune făcută de un pln într-un con este o elipsă, o hiperolă su o prolă, după cum plnul de secţiune tie o singură până conului, mele pâne le cestui su este prlel cu un pln tngent l con. V [P] V [P] V [P] [P] V V [P] ) ) c) d) e) Fig.9.6 Secţiuni plne în conuri ) Secţiune eliptică în con Fie conul circulr olic cu în plnul oriontl de proiecţie, secţiont de un pln orecre [P] (fig.9.7). Secţiune eliptică este determintă de punctele în cre =h h Q P 4=h 4 3=h 3 4 d d h 4 Q 4 P =h 3 h 3 Q 3 v v 4 v 3 v c v 4 v v v 3 c h Q Q s s Q Fig.9.7 Secţiune eliptică în con circulr olic, determintă de un pln orecre [P] P genertorele conului intersecteă plnul secnt [P]. Astfel, se utilieă plnele uilire de cpăt [Q ] [Q 4 ] duse prin genertorele cre definesc conturul prent în cele două proiecţii : S şi S, în proiecţi oriontlă şi 3S, 4S, în proiecţi verticlă. Se oţin, mi întâi în proiecţi oriontlă, punctele,, c şi d, de pe conturul oriontl l elipsei de secţiune (h v s =, h v s =, h 3 v 3 3s = c, h 4 v 4 4s = d), ir poi cu linii de ordine corespunătore şi proiecţiile verticle,, c, d ( s, s, c 3 s, d 4 s ). Aceste sunt şi punctele cre delimiteă conturul viiil l elipsei în cele două proiecţii : cd, pentru proiecţi oriontlă şi d, pentru proiecţi verticlă. Pentru trsre mi ectă elipsei se pot intersect şi lte genertore cu plnul [P], oţinând lte puncte de pe conturul secţiunii eliptice.
SUPRAFEŢE CURBE 63 secţiune eliptică se pote oţine şi prin secţionre unui con circulr drept, vând în plnul oriontl de proiecţie, cu un pln de cpăt. Condiţi este c unghiul de înclinre plnului secnt fţă de plnul oriontl să fie mi mic decât unghiul dintre genertorele conului şi plnul curei directore (fig.9.8). În cest c, elips de secţiune este dtă în proiecţi verticlă de segmentul ( mre elipsei), suprpus peste urm verticlă P plnului secnt, punctele A (, ) şi B (, ) fiind punctele de intersecţie dintre genertorele SA şi SB cu cest pln. În proiecţi oriontlă, secţiune este elips cu ele şi mn. A mică elipsei MN(mn,m n ) se oţine cu jutorul plnului uilir de nivel [N] dus l jumătte segmentului, dică prin centrul elipsei din proiecţi verticlă şi repreintă punctele de intersecţie dintre plnul [P], suprfţ conică şi plnul de nivel. Se procedeă stfel : se intersecteă plnul [N] cu suprfţ conică şi se oţine cercul de ră r, cu centrul în centrul ei (se proiecteă pe plnul oriontl în devărtă mărime), se determină drept de cpăt MN(mn, m n ), de intersecţie dintre plnul [N] şi plnul [P] şi poi se intersecteă cele două elemente reultte : cercul şi drept de cpăt. Proiecţiile oriontle c şi d de pe conturul oriontl l elipsei de secţiune se determină cu jutorul proiecţiei lterle conului, fiind punctele de tngenţă elipsei cu conturul prent din plnul lterl, fiind situte pe genertorele s c şi s d. s s" P d 0 n 0 f 0 N P N f c =d n=m e=f n d d r d " " " c " d" "=" c" 0 0 s r c0 m 0 e 0 P e m c c Fig.9.8 Secţiune eliptică în conul circulr drept, determintă de un pln de cpăt [P] Alte puncte le secţiunii eliptice se determină ducând lte plne de nivel. Cu jutorul plnului [N ] se determină punctele E(e,e,e ) şi F(f,f,f ) de pe conturul elipsei, conform metodologiei eplicte mi sus. Adevărt mărime secţiunii se pote determin prin rtere plnului de cpăt [P], împreună cu secţiune, pe plnul oriontl de proiecţie. Acest este elips cu ele 0 0 şi m 0 n 0. ) Secţiune prolică în con Se consideră conul circulr drept cu în plnul oriontl de proiecţie şi plnul de cpăt [P], prlel cu genertore SA conului.
64 GEMETRIE DESCRIPTIVĂ 0 d 0 n 0 c 0 m 0 P s" " P = = " " 0 d" d "=" c" n = 0 P s m c =d m=n s d c c N Secţiune determintă de cest pln în con este o prolă şi se oservă că plnul secţioneă numi o până conului, vând unghiul de înclinre fţă de plnul oriontl egl cu unghiul dintre genertore conului şi plnul ei (fig.9.9). Proiecţi verticlă prolei este confundtă cu urm verticlă P plnului. Urm oriontlă P intersecteă conului în punctele (, ) şi (, ), cre prţin prolei. Vârful prolei B (, ) este dt de intersecţi genertorei SB cu plnul secnt [P]. Punctele C (c,c ) şi D (d,d ), de intersecţie genertorelor SC şi SD cu plnul [P], sunt determinte cu jutorul proiecţiei lterle conului, c şi d fiind punctele de tngenţă proiecţiei lterle prolei cu conturul prent lterl l conului. Alte puncte utile pentru trsre prolei, cum sunt punctele M(m,m ) şi N(n,n ) se determină cu jutorul plnului de nivel [N], c fiind punctele de intersecţie dintre drept de cpăt MN şi cercul de secţiune reultt în urm intersecţiei conului cu plnul de nivel (intersecţi este viiilă pe proiecţi oriontlă). Secţiune prolică se proiecteă deformt pe cele trei plne de proiecţie, ir pentru determinre mărimii ei rele se rte plnul de cpăt, împreună cu secţiune, pe plnul oriontl, oţinând prol 0 0 0. c) Secţiune hiperolică în con secţiune hiperolică se oţine prin secţionre unui con circulr drept, cu în plnul oriontl de proiecţie, cu un pln de cpăt [P] prlel cu un pln [Q], cre trece prin vârful conului (fig.9.0). Se oservă că plnul [P] intersecteă mele pâne le conului, generând două hiperole c secţiune. Aceste u vârfurile în punctele A (, ) şi B (, ), în cre genertorele SA(s,s ) şi SB(s,s ) intersecteă plnul secnt [P]. Punctele (, ), (, ), (3,3 ) şi (4,4 ) reultă c intersecţi plnului [P] cu cercurile elor celor două pâne le conului şi prţin hiperolelor. Punctele C (c,c ) şi D (d,d ) de intersecţie genertorelor SC, respectiv SD, cu plnul [P] se determină fie prin construire proiecţiei lterle conului, fie c în figură, ducând un pln uilir de nivel [N ], cre secţioneă conul după un cerc. Plnul [Q] secţioneă conul după genertorele SM(sm,s m ) şi SN(sn,s n ). Urm oriontlă P plnului secnt [P] intersecteă în punctele m şi n tngentele l cur genertore, duse prin punctele m şi n. d " Fig.9.9 Secţiune prolică în conul circulr drept, determintă de un pln de cpăt [P] n" c " m"
SUPRAFEŢE CURBE 65 Asimptotele hiperolelor din proiecţi oriontlă trec prin punctele m şi n şi u direcţi prlelă cu genertorele sm şi sn. Intersecţi lor repreintă centrul hiperolei (, ). Alte puncte le hiperolelor de secţiune se găsesc ducând plne de nivel jutătore; cu plnul [N ] se determină punctele (7,7 ) şi (8,8 ), ir cu plnul [N 3 ], punctele (5,5 ) şi (6,6 ). Adevărt mărime secţiunilor hiperolice se determină prin rtere pe plnul oriontl de proiecţie. dtă cu hiperolele s-u rătut şi simptotele, prin rtere centrului hiperolelor (, ) în 0, punctele m şi n fiind în plnul oriontl. 3=4 P Q c =d 7=8 N N s 4 0 3 0 d 0 8 0 7 c 0 0 0 0 = 0 = 0 6 0 n n 6 5 0 m P 5=6 8 d d 5 7 c s m c Q 4 3 N 3 Fig.9.0 Secţiune hiperolică în conul circulr drept, determintă de un pln de cpăt [P] 9.3.3 Secţiuni plne în sferă Secţiune făcută de un pln într-o sferă este un cerc. Punctele secţiunii circulre se determină cu jutorul unor plne uilire, de regulă de nivel su de front, cre intersecteă sfer după cercuri prlele cu cercul meridin su cu ecutorul, ir plnul secnt după drepte prticulre. Elementele reultte se intersecteă l rândul lor după puncte, cre prţin cercului de secţiune l sferei. ) Secţionre sferei cu un pln orecre Fie sfer cu centrul în punctul (, ) şi plnul orecre [P]. Secţiune plnă determintă de plnul [P] în sferă este un cerc şi se proiecteă pe cele două plne de proiecţie su form unor elipse (fig.9.). Plnul de nivel [N] dus prin centrul sferei, N, secţioneă sfer după cercul ecutor (proiecţi oriontlă sferei) şi intersecteă plnul [P] după oriontl G(g,g ), ir ceste l rândul lor se intersecteă în punctele (3,3 ) şi (4,4 ), determinând mre
66 GEMETRIE DESCRIPTIVĂ elipsei din proiecţi oriontlă, 34. Plnul de front [F] dus prin centrul sferei, F, secţioneă sfer după cercul meridin (proiecţi verticlă sferei) şi intersecteă plnul [P] după frontl F(f,f ), ir din intersecţi lor reultă punctele (, ) şi (, ), cre determină mre elipsei de secţiune din proiecţi verticlă,. Pentru determinre ltor puncte prţinând elipsei s-u mi folosit lte două plne de nivel [N ] şi [N ], echidistnte fţă de centrul sferei, stfel încât ceste determină în sferă secţiunile circulre c şi c, căror proiecţii oriontle sunt confundte. riontlele G (g,g ) şi G (g,g ) determină l intersecţi cu cercul c c, punctele 5, 6, respectiv 7, 8 le secţiunii. Punctele, şi respectiv 3, 4 limiteă porţiunile viiile pentru cele două proiecţii le secţiunii în sferă. P N =g v 5 N=g v 3 N =g v 7 P v v h=v 5 3 7 h P g f 6 4 8 6 8 4 g g = = c =c F=f Q Q N = = Q d =6=o=5 d=4=3 3 5 c o 4 6 d d N Fig.9. Secţionre sferei cu un pln orecre [P] Fig.9. Secţionre sferei cu un pln de cpăt [Q] ) Secţionre sferei cu un pln proiectnt Dcă sfer este secţiontă cu un pln de cpăt [Q], cercul de secţiune se determină în proiecţi verticlă direct prin segmentul, suprpus pe urm verticlă Q, dt de punctele în cre plnul intersecteă cercul meridin (fig.9.). Acest este dimetrul cercului de secţiune şi este în devărtă mărime, fiind prlel cu plnul verticl de proiecţie, ir în proiecţi oriontlă repreintă mică elipsei după cre se proiecteă cercul de secţiune. A mre elipsei, 56, este sitută pe drept de cpăt D (d,d ), cre trece prin centrul (o,o ) l secţiunii ( o = o ), ir pentru determinre ei în proiecţi oriontlă, se utilieă plnul de nivel [N ], dus prin punctul, o N, cre secţioneă sfer după cercul c, d c = 5, d c = 6. Pentru trsre elipsei în proiecţi oriontlă sunt importnte şi punctele de pe conturul cercului ecutor, unde cur de secţiune îşi schimă viiilitte. Astfel, se trseă plnul de nivel [N], dus prin centrul sferei, N, şi se determină punctele 3 şi 4 pe proiecţi oriontlă conturului prent l sferei, prin intersecţi cestui cu drept de cpăt d, reulttă c intersecţi plnului de cpăt [Q] cu plnul de nivel.
SUPRAFEŢE CURBE 67 9.4 Intersecţi suprfeţelor cure cu drepte Prolem determinării punctelor de intersecţie dintre o dreptă şi o suprfţă cură se reolvă ducând prin dreptă un pln uilir. Punctele de intersecţie dintre drept dtă şi conturul secţiunii determinte de plnul uilir sunt punctele căutte. Când corpurile sunt situte în poiţii prticulre fţă de plnele de proiecţie, punctele în cre o dreptă intersecteă un stfel de corp pot să reulte direct, fără mi utili plne uilire. 9.4. Intersecţi unui cilindru cu o dreptă Fie cilindrul circulr olic cu în plnul oriontl de proiecţie şi drept D(d,d ) (fig.9.3). Pentru determinre punctelor în cre drept intersecteă cilindrul, se pote plic un din cele două metode studite l intersecţi poliedrelor cu drepte (vând în vedere că cilindrul este o prismă cu un număr infinit de muchii şi respectiv de feţe). Dcă se foloseşte metod secţiunilor trnsversle, secţiune determintă în cilindru de plnul uilir este o elipsă, ir ectitte determinării punctelor de intersecţie este influenţtă de precii de construire elipsei de secţiune. Astfel, se preferă metod secţiunilor longitudinle. Plnul uilir dus prin drept D(d,d ), prlel cu genertorele cilindrului, este determint de două drepte concurente în punctul M(m,m ), M D, drept D şi o dreptă (δ,δ ), prlelă cu genertorele cilindrului. Urm oriontlă P, P = h h, plnului secnt intersecteă cercul ei cilindrului după segmentul, ir suprfţ lterlă cilindrului după genertorele (3, 3 ) şi (4, 4 ). Drept D intersecteă cilindrul în punctele (, ) şi (, ), cre reultă c puncte de intersecţie dintre proiecţiile dreptei şi prlelogrmul de secţiune. Viiilitte dreptei în cele două proiecţii este dtă de viiilitte genertorelor (, ) şi (, ). h h P d m o d m o 3 3 h h o o 4 4 P d o d o n h h n v h h v Fig.9.3 Intersecţi unui cilindru circulr olic cu o dreptă orecre D(d,d ) Fig.9.4 Intersecţi unui con circulr olic cu o dreptă orecre D(d,d )
68 GEMETRIE DESCRIPTIVĂ 9.4. Intersecţi unui con cu o dreptă Şi în cul intersecţiei dintre un con şi o dreptă, metod cre dă reulttele cele mi ecte este metod secţiunilor longitudinle. Punctele în cre drept D(d,d ) intersecteă conul circulr olic, cu în plnul oriontl de proiecţie, din figur 9.4, se determină ducând un pln uilir prin dreptă şi prin vârful V(v,v ) l conului. Plnul secnt [P] este determint de două drepte concurente în punctul N(n,n ), N D : drept dtă D şi o dreptă (δ,δ ), definită de punctul N şi de vârful conului, δ = n v, δ = n v. Se determină urmele oriontle le celor două drepte şi se trseă urm oriontlă P plnului secnt, P = h h. Acest intersecteă cercul de ă l conului în punctele şi, ir plnul [P] intersecteă suprfţ conului după genertorele V şi V, reultând o secţiune longitudinlă triunghiulră în con, [V]. Punctele (, ) şi (, ) în cre drept D(d,d ) intersecteă triunghiul de secţiune (v, v ) sunt punctele în cre drept intersecteă conul. Atât în proiecţi oriontlă, cât şi în proiecţi verticlă viiilitte dreptei este dtă de cele două genertore pe cre le intersecteă. Astfel cele două proiecţii sunt inviiile de l punctul (, ) până l punctul (, ) şi mi deprte până l genertore de contur prent, deorece punctul (, ) este situt pe suprfţ inviiilă conului. 9.4.3 Intersecţi unei sfere cu o dreptă În generl, o dreptă intersecteă o sferă în două puncte. Se disting două curi : drept trece su nu prin centrul sferei. Pentru determinre punctelor de intersecţie se folosesc metodele Geometriei descriptive, simplificând reolvre prolemei. ) Intersecţi sferei cu o dreptă cre trece prin centrul sferei Se consideră sfer cu centrul în punctul (, ) şi drept D(d,d ), cre trece prin centrul sferei (fig.9.5). Proiecţi sferei pe plnul verticl de proiecţie este cercul meridin oţinut prin secţionre sferei cu plnul de front [F], ce trece prin centrul sferei. Printr-o d d d d =F = = 0 0 d 0 d 0 d N 0 Fig.9.5 Intersecţi sferei cu o dreptă cre trece prin centrul sferei Fig.9.6 Intersecţi sferei cu o dreptă cre nu trece prin centrul sferei (rtere pe pln de nivel)
SUPRAFEŢE CURBE 69 rotţie de nivel, luând de rotţie Z(, ) prin centrul sferei, se trnsformă drept D în frontl D (d,d ), conţinută în plnul [F], cu jutorul punctului A(, ). Astfel, cercul meridin şi drept D sunt coplnre şi se intersecteă în punctele şi. Revenind din rotţie, în proiecţi verticlă se oţin proiecţiile şi pe proiecţi d, ir poi cu linii de ordine se determină şi proiecţiile oriontle şi pe proiecţi oriontlă d. Punctele (, ) şi (, ) sunt punctele în cre drept D(d,d ) intersecteă sfer. În proiecţi oriontlă, drept este inviiilă de l conturul prent până în punctul, ir în proiecţi verticlă este inviiilă între punctele şi, în funcţie de poiţi punctelor de intersecţie pe sferă. ) Intersecţi sferei cu o dreptă cre nu trece prin centrul sferei Determinre punctelor în cre o dreptă cre nu trece prin centrul sferei o intersecteă, se pote fce utiliând metodele Geometriei descriptive, în mi multe moduri. Fie sfer cu centrul în punctul (, ) şi drept D(d,d ), cre o intersecteă (fig.9.6). Drept D şi centrul sferei determină un pln cre se rte pe plnul de nivel [N], ce trece prin centrul sferei. A de rtere este oriontl şi pentru determinre poiţiei rătute d 0 dreptei, se mi rte punctul B(, ), cu jutorul triunghiului de poiţie, d 0 = 0 0. Plnul de nivel [N] tie sfer după cercul ecutor, ir drept rătută d 0 îl intersecteă în punctele 0 şi 0. Ridicând din rtere ceste puncte, se oţin proiecţiile oriontle şi, pe proiecţi d şi ducând liniile de ordine corespunătore, punctele şi, pe proiecţi verticlă d, ceste fiind punctele de intersecţie dintre dreptă şi sferă. Viiilitte dreptei D(d,d ) reultă din epură, proiecţiile dreptei fiind inviiile între punctele de intersecţie cu sfer. Aceeşi prolemă se pote reolv ducând prin dreptă un pln proiectnt verticl [P], P d (fig.9.7). Se rte plnul împreună cu drept şi cu secţiune circulră, pe cre d P d P P P 0 F=d r r d 0 0 d 0 0 0 r 0 d Fig.9.7 Intersecţi sferei cu o dreptă cre nu trece prin centrul sferei Fig.9.8 Intersecţi sferei cu o dreptă cre nu trece prin centrul sferei
70 GEMETRIE DESCRIPTIVĂ o determină în sferă, pe plnul oriontl de proiecţie. Proiecţi rătută d 0 dreptei intersecteă cercul de secţiune în punctele 0 şi 0. Se revine din rtere şi se oţin proiecţiile oriontle şi, pe proiecţi d, ir poi cu linii de ordine se determină proiecţiile verticle şi, pe proiecţi d dreptei, punctele (, ) şi (, ) fiind punctele de intersecţie dintre sferă şi drept D(d,d ). În figur 9.8 determinre punctelor în cre drept D(d,d ) intersecteă sfer cu centrul în punctul (, ), se fce utiliând metod schimării plnului de proiecţie verticl. Astfel, drept D(d,d ) se trnsformă în drept D (d,d ), cre este o frontlă, luând nou linie de pământ prlelă cu proiecţi d. Se secţioneă sfer cu un pln de front [F], ce conţine proiecţi d. Cercul de secţiune oţinut se proiecteă pe noul pln verticl de proiecţie în devărtă mărime, concentric cu proiecţi sferei în. Proiecţi verticlă d intersecteă cercul de secţiune în punctele şi. Revenind din schimre de pln, în sistemul iniţil de proiecţie, se oţin punctele (, ) şi (, ), puncte în cre drept D(d,d ) intersecteă sfer. Viiilitte dreptei D(d,d ), în mele proiecţii, reultă nliând poiţi punctelor de intersecţie pe sferă. 9.5 Desfăşurre suprfeţelor cure Desfăşurre suprfeţelor cure riglte se fce, în principiu, după metodologi de l desfăşurre poliedrelor, înscriind în cur lor directore un poligon cu n lturi, suprfţ cură trnsformându-se într-o suprfţă poliedrlă cu un număr n de feţe. Precii oţinută l desfăşurre unei suprfeţe cure este direct proporţionlă cu mărime numărului n. Pentru trsre desfăşurtei suprfeţei cure se unesc punctele de pe desfăşurt poliedrului înscris cu linii cure, ţinând sem de Teorem lui livier : Trnsformt prin desfăşurre secţiunii făcute de un pln într-un cilindru su un con, preintă infleiuni (punctele în cre trnsformt curei de secţiune îşi schimă sensul concvităţii) în punctele în cre plnul tngent l suprfţ cilindrică su conică este perpendiculr pe plnul secnt. În curile când suprfţ cură re o genertore perpendiculră pe plnul secnt, trnsformt prin desfăşurre curei de secţiune nu re puncte de infleiune. 9.5. Desfăşurre suprfeţelor cilindrice Pentru desfăşurre unui cilindru, elementele necesre sunt mărime relă genertorelor şi lungime curei de secţiune normlă (perpendiculră) pe genertore. Secţiune normlă pe genertore este ceeşi indiferent unde este făcută pe lungime genertorelor şi este necesră pentru determinre distnţei dintre două genertore consecutive. Lungime curei de secţiune se proimeă prin cordele rcelor de cură din cre este formtă cest, pe cre le suîntind. Lungime genertorelor, când ceste nu sunt într-o poiţie prticulră, prlele su perpendiculre pe plnul de proiecţie, se determină cu un din metodele Geometriei descriptive, de oicei prin schimre plnelor de proiecţie. ) Desfăşurre cilindrului drept Fie dt cilindrul circulr drept, cu în plnul oriontl de proiecţie şi un pln de cpăt [P], cre îl secţioneă (fig.9.9). Pentru desfăşurre suprfeţei cilindrice cuprinsă între plnul [P] şi plnul oriontl, se fce desfăşurre întregului cilindru, peste cre se suprpune desfăşurt curei de secţiune, determintă de plnul secnt [P], în cilindru.
SUPRAFEŢE CURBE 7 Desfăşurt cilindrului drept este un dreptunghi cu lungime eglă cu circumferinţ cercului ei, ir lăţime, înălţime genertorelor (în devărtă mărime în proiecţi verticlă, vând în vedere că sunt drepte verticle). Pentru trsre grfică desfăşurtei, se înscrie în cilindru o prismă cu opt feţe. Secţiune normlă necesră pentru desfăşurre este chir cercul ei, cre se desfăşoră pe o linie dreptă A 0 A 0, măsurând segmentele A 0 B 0 =, B 0 C 0 = c,.k 0 A 0 = k, din proiecţi oriontlă. Prin punctele A 0, B 0,.A 0 se ridică segmente egle cu lungime genertorelor. Trnsformt secţiunii eliptice se oţine prin măsurre pe genertorele de pe desfăşurtă segmentelor A 0 0 =, B 0 0 =, C 0 3 0 = c 3, K 0 8 0 = k 8 şi unire punctelor 0, 0, 3 0, 8 0, 0. o 8= P P P 0 7=3 6=4 0 5 c=o =g ed=f g =k f k 3 0 7 0 4 0 5 0 6 0 8 0 0 e A 0 B 0 C 0 D 0 E 0 F 0 G 0 K 0 A 0 o =o d c ) ) Fig.9.9 Desfăşurre cilindrului drept : ) epur cilindrului drept ; ) desfăşurt cilindrului drept şi trunchiului de cilindru ) Desfăşurre cilindrului olic Pentru trs desfăşurt cilindrului olic din figur 9.30, se procedeă c şi l desfăşurre prismei olice, prcurgându-se următorele etpe : ) Se determină devărt mărime genertorelor cilindrului, printr-o schimre de pln verticl de proiecţie, ceste devenind frontle. Nou linie de pământ se i prlelă cu proiecţiile oriontle le genertorelor. A cilindrului devine 3 4, în noul sistem de proiecţie ([H], [V ]), inferioră cu centrul în 3 vând cot ero, ir superioră cu centrul în 4, păstrându-şi cot eglă cu cot punctului ; ) Se înscrie în cilindrul trnsformt o prismă cu opt feţe; 3) Se determină o secţiune normlă în cilindru, prin intersectre lui cu un pln de cpăt [P], P 5, P 5. Secţiune oţinută (8) este o elipsă, cre se proiecteă pe plnul verticl [V ] după segmentul 5 ; 4) Se determină mărime relă elipsei de secţiune, prin rtere plnului [P], împreună cu secţiune, pe plnul oriontl de proiecţie; 5) Pe o linie dreptă se trseă desfăşurt secţiunii normle, proimând lungimile rcelor de elipsă cu cordele corespunătore : = 0 0, 3 = 0 3 0, 8 = 8 0 0 ; 6) În punctele cre determină desfăşurt secţiunii normle se trseă direcţiile genertorelor, perpendiculre pe cest şi se măsoră pe ele lungimile rele le
7 GEMETRIE DESCRIPTIVĂ genertorelor corespunătore, din nou proiecţie verticlă, de o prte şi de lt urmei verticle P. Eemplu : A 0 =, 5E 0 = e 5 ; 7) Se unesc etremităţile genertorelor cu rce de cură, ţinând sem că punctele de infleiune în trsre trnsformtelor cercurilor elor sunt în punctele C 0 şi G 0, unde plnele tngente l suprfţ cilindrică este perpendiculră pe plnul secnt, cre este plnul oriontl de proiecţie; 8) Pentru c desfăşurt cilindrului să fie completă, după c, se pot dăug şi suprfeţele celor două cercuri de ă. o o g k 7 f 8 6 o e 5 c d 4 3 g k = =c e 5 f =d 6=4 7=3 8= P P P 5 0 o 4 0 6 0 7 0 3 0 0 8 0 0 A 0 B 0 G 0 K 0 C 0 D 0 F 0 E 0 3 4 5 6 7 8 A 0 ) ) Fig.9.30 Desfăşurre cilindrului olic : ) epur cilindrului olic ; ) desfăşurt cilindrului olic 9.5. Desfăşurre suprfeţelor conice Desfăşurre suprfeţei lterle unui con se fce considerând conul c o pirmidă cu un număr infinit de lturi şi respectând rţionmentul făcut l desfăşurre pirmidei. Elementele necesre desfăşurării unei suprfeţe conice sunt lungime relă genertorelor conului şi lungime curei de ă. ) Desfăşurre conului drept Se consideră conul circulr drept cu în plnul oriontl de proiecţie şi un pln de cpăt [Q], cre îl secţioneă (fig.9.3). Pentru desfăşurre trunchiului de con oţinut se fce desfăşurre suprfeţei lterle întregului con, ir poi pe cest se trseă trnsformt prin desfăşurre curei de secţiune genertă de plnul [Q].
SUPRAFEŢE CURBE 73 Desfăşurt conului drept este un sector de cerc de ră eglă cu genertore etremă, S 0 A 0 s (genertore în poiţie de frontlă) şi cu lungime rcului eglă cu lungime cercului de ă. Pentru trsre grfică desfăşurtei conului se construieşte un rc de cerc cu vârful în punctul s S 0, de ră s, pe cre se trnspun lungimile cordelor cre proimeă lungimile rcelor ei, A 0 B 0 =, B 0 C 0 = c, K 0 A 0 = k. Desfăşurre conului este proimtă prin desfăşurre unei pirmide cu 8 feţe înscrisă în con. Punctele de pe desfăşurt ei se unesc cu vârful S 0 şi se oţin genertorele trnspuse pe desfăşurtă. Secţiune făcută de plnul [Q] în con este o elipsă, punctele ce o determină oţinându-se l intersecţi genertorelor conului cu urm verticlă Q plnului, s Q =, s Q =, k s Q = 8. Punctele oţinute se trnspun pe genertorele de pe desfăşurtă, după ce în prelil genertorele lor u fost rotite şi trnsformte în frontle, pentru fi în devărtă mărime în proiecţi verticlă (rotţie de nivel în jurul unei e cre este chir conului, stfel încât fiecre genertore se suprpune peste genertore SA). În timpul rotţiei, proiecţiile verticle le punctelor de secţiune 8 se trnslteă prlel cu până pe genertore s, de unde sunt rotite pe genertorele corespunătore de pe desfăşurtă, oţinând punctele 0 8 0. Cur genertă de ceste puncte repreintă trnsformt prin desfăşurre secţiunii eliptice şi delimiteă în prte superioră desfăşurt trunchiului de con. Pentru precii trsării curei de secţiune, se determină punctele de infleiune. Aceste puncte eistă când conul dmite pln tngent perpendiculr pe plnul secnt [Q] şi se verifică, dcă drept D(d,d ), trstă prin vârful conului şi perpendiculră pe plnul secnt re urm oriontlă h în fr cercului de ă. Urmele oriontle le celor două plne tngente sunt dte de tngentele duse din urm h l cercul de ă, hm şi hn, ir genertorele de tngenţă, SM şi SN, du l intersecţi cu plnul [Q] punctele de infleiune. Aceste sunt = s m Q. Se trseă pe desfăşurtă genertorele S 0 M 0 şi S 0 N 0, măsurând cordele en = E 0 N 0 şi fm = F 0 M 0, ir poi se trnspun pe genertore punctele de infleiune 0 şi 0, după procedeul descris mi sus. G 0 E 0 N 0 F 0 M 0 C 0 L 0 B 0 Q Q K 0 A 0 =A 0 5 0 4 0 3 0 0 = 0 =k 8 0 7 0 6 0 3 k 5 0 =8 3=7 c=l l s c s=s 0 5 n=m m f n e Q =8 = g g d e=f Fig.9.3 Desfăşurre conului drept h h d
74 GEMETRIE DESCRIPTIVĂ ) Desfăşurre conului olic Fie conul olic, cu un cerc în plnul oriontl de proiecţie şi vârful în punctul S(s,s ) (fig.9.3). Pentru trs desfăşurt suprfeţei lterle conului, vem devărt mărime ei, în proiecţi din plnul oriontl, ir pentru determin lungime relă genertorelor se fce o rotţie de nivel, în jurul ei Z(, ), dusă prin vârful conului. Astfel, genertorele se trnsformă în frontle şi se proiecteă în devărtă mărime pe plnul verticl de proiecţie. s B 0 A 0 C 0 k g c c f=d d e e d =f c =g =k D 0 E 0 k g f e s= e d =f c =g =k S 0 G 0 F 0 K 0 ) ) Fig.9.3 Desfăşurre conului olic : ) epur conului olic ; ) desfăşurt conului olic A 0 Având elementele necesre desfăşurării conului, se trseă desfăşurt pirmidei înscrise genertorele repreintă muchiile, ir cordele rcelor suânscrise între două genertore consecutive sunt lturile poligonului înscris în cercul de ă. Punctele de infleiune le trnsformtei ei prin desfăşurre sunt punctele D(d,d ) şi F(f,f ), unde genertorele de contur prent oriontl sunt tngente l cur de ă. În orice punct l genertorelor SD şi SF, plnul tngent l con este perpendiculr pe plnul oriontl de proiecţie. Desfăşurt conului s- făcut pornind de l genertore SA, S 0 A 0 = s, construind triunghiul S 0 A 0 B 0, cu jutorul rcelor de cerc A 0 B 0 = şi S 0 B 0 = s. L trsre desfăşurtei cercului de ă cu rce de cură, s- ţinut sem de punctele de infleiune D 0 şi F 0, unde cest îşi schimă concvitte. 9.5.3 Desfăşurre sferei Sfer este o suprfţă nedesfăşurilă. Desfăşurre sferei pote fi oţinută prin metode proimtive, împărţind suprfţ sferei în elemente mici. Metodele cele mi cunoscute sunt : prin fusuri sferice, prin one sferice, prin pentgone su triunghiuri sferice şi ltele. Se eemplifică desfăşurre sferei prin fusuri sferice.
SUPRAFEŢE CURBE 75 Fusul sferic este o porţiune din suprfţ sferei, cuprinsă între două semimeridine consecutive, oţinută prin secţionre sferei cu plne proiectnte verticle. Fie sfer din figur 9.33 cu centrul în punctul (, ) şi de ră R. Se secţioneă sfer cu ptru plne proiectnte verticle echidistnte, cre trec prin centrul sferei şi divieă sfer în opt fusuri sferice. Se preintă, în continure, metod de oţinere desfăşurtei fusului cuprins între plnele [T ] şi [T ], pentru celellte procedându-se în mod similr. Pentru desfăşur proimtiv un fus sferic, se consideră ptru plne uilire de nivel [N ], [N ], [N 3 ] şi [N 4 ], duse stfel încât rcele determinte pe cercul meridin să fie egle între ele : = 3 = 3 4 = 4 5. Aceste plne secţioneă sfer după cercuri, ir fusul considert, după rcele de cerc lj, mn, pq şi, cre se regăsesc în devărtă mărime în proiecţi oriontlă. Înălţime unui fus sferic desfăşurt este jumătte din lungime cercului meridin, dică R. Astfel, pentru desfăşurre se trseă un segment de cestă lungime şi jumătte superioră se împrte în ptru părţi egle (lungimile determinte de plnele de nivel) : 0 0 = 0 3 0 = 3 0 4 0 = 4 0 5 0. În ceste puncte, pe perpendiculre pe fusului, se măsoră segmente egle cu rcele determinte de plnele de nivel pe fus : J 0 L 0 = jl, M 0 N 0 = mn, P 0 Q 0 = pq şi A 0 B 0 =. Construcţi se repetă şi pentru jumătte inferioră fusului, vând în vedere că cest este simetric fţă de cercul ecutor. Se oţine stfel o desfăşurre proimtivă sferei, erore fiind invers proporţionlă cu numărul fusurilor în cre se împrte sfer. N N 3 N 4 f e N 9.6 Intersecţi suprfeţelor cure 4 J 5 0 L d c 0 0 M 0 N 3 0 0 P 0 Q 4 0 0 A 0 B 5 0 0 g k = d R c 3 l m p 5 3 j 4 n q T T R Fig.9.33 Desfăşurre sferei prin fusuri sferice Din intersecţi două corpuri geometrice, mărginite de suprfeţe cure, reultă o cură strâmă în spţiu, numită cură de intersecţie. Metod generlă de construcţie curei de intersecţie două suprfeţe cure, constă în determin tâte puncte le ei încât să potă fi trstă cât mi ect. Aceste puncte se găsesc cu jutorul unor suprfeţe uilire, plne su sferice, cre să le intersectee pe cele dte, lese stfel încât din intersecţi lor să reulte linii drepte su cure simple (cercuri). Suprfeţele uilire se leg în funcţie de tipul şi de poiţi reltivă suprfeţelor cure cre se intersecteă. 0
76 GEMETRIE DESCRIPTIVĂ 9.6. Intersecţi suprfeţelor cilindro - conice Prin intersecţi suprfeţelor cilindro conice se înţelege intersecţi doi cilindri, două conuri su unui cilindru cu un con. L intersecţi suprfeţelor cilindro conice se folosesc celeşi reguli stilite l intersecţi poliedrelor, semănând cilindrul şi conul cu o prismă, respectiv o pirmidă cu un număr de muchii convenil les şi prcurgând celeşi fe, descrise în prgrful 8.5. Intersecţi se reduce deci, l determinre punctelor de intersecţie dintre un număr suficient de genertore le unui dintre corpuri cu suprfţ celuillt şi reciproc. Aceste puncte de intersecţie se determină utiliând plne uilire secnte, după cum urmeă : - pentru intersecţi doi cilindri : plnele uilire vor fi prlele cu genertorele celor doi cilindri, determinând în ceşti secţiuni longitudinle, de formă ptrulteră; - pentru intersecţi două conuri : plnele uilire vor conţine drept cre uneşte cele două vârfuri le conurilor, determinând în ceşti secţiuni longitudinle, de formă triunghiulră; - pentru intersecţi dintre un cilindru şi un con : plnele uilire vor conţine vârful conului şi vor fi prlele cu genertorele cilindrului. Plnele uilire secnte, descrise mi sus, vor conţine genertorele unei suprfeţe cre se intersecteă cu celltă suprfţă. Pentru unire punctelor de intersecţie se folosesc rce de cure plne, cre înlocuiesc lturile poligonului de intersecţie din cul poliedrelor, reultând cur de intersecţie. rdine de unire punctelor de intersecţie şi viiilitte curei de intersecţie în epură se stileşte c şi l poliedre cu metod moilului su cu metod desfăşurtelor convenţionle. Din totlul plnelor uilire utile folosite, plnele limită vor fi tngente l un din e şi o vor intersect pe celltă în două puncte, în generl. Zonele din e cre nu sunt străătute de plne utile, nu prticipă l intersecţie şi sunt numite one interise (onele hşurte). În funcţie de poiţi plnelor uilire limită, fţă de ele celor două corpuri cre P se intersecteă, distingem următorele tipuri de P 3 intersecţii : 3 h - rupere : urmele c oriontle le plnelor uilire limită, P şi P, P c sunt tngente l fiecre P ă, determinând în celltă o onă interisă Fig.9.34 Stilire nturii intersecţiei : rupere (fig. 9.34). Reultă o singură cură de intersecţie. P - pătrundere : urmele oriontle le plnelor P uilire limită, P şi P, h sunt tngente l ceeşi c e ă, determinând pe e c celltă două one interise P P (fig.9.35). Reultă două cure de intersecţie. Fig.9.35 Stilire nturii intersecţiei : pătrundere
SUPRAFEŢE CURBE 77 - pătrundere cu simplă tngenţă : urm oriontlă unui dintre plnele uilire limită, P, este tngentă l mele e, ir celltă urmă oriontlă, P, este tngentă l un dintre e şi determină pe celltă o onă interisă (fig.9.36). Cele două cure de intersecţie reultte u un punct comun. - pătrundere cu dulă tngenţă : urmele oriontle le plnelor uilire limită, P şi P, sunt tngente l mele e (fig.9.37). Intersecţi este formtă din două cure, cre u două puncte comune, punctele determinte de intersecţi genertorelor cre trec prin punctele de tngenţă. P P P P Intersecţi doi cilindri circulri olici Fie dţi doi cilindri olici, cu ele cercuri conţinute în plnul oriontl de proiecţie, vând centrele în punctele (o,o ) şi (o,o ) (fig.9.38). Pentru determinre curei de intersecţie dintre cei doi cilindri, plnele uilire secnte se duc prin genertorele cilindrilor, convenil lese, stfel încât să fie prlele cu ceste. Pentru cest se i un punct orecre T(t,t ), în spţiu şi se trseă prin el două drepte D (d,d ) şi D (d,d ), prlele cu genertorele celor doi cilindri. Plnul determint de ele dă direcţi cu cre vor fi prlele plnele uilire secnte. Deorece cilindrii u ele inferiore în plnul oriontl, este suficientă utilire urmelor oriontle le plnelor uilire secnte l determinre secţiunilor în cilindri. Aceste vor fi prlele cu urm oriontlă P, P = h h. Plnele uilire limită sunt : plnul [P ], tngent l cilindrului în punctul şi plnul [P 3 ], tngent l cilindrului în punctul 3. După poiţi cestor plne fţă de cele două e le cilindrilor intersecţi este o rupere, deci se v oţine o singură cură de intersecţie. Plnul uilir secnt dus prin genertore unui cilindru, determină în celăllt o secţiune longitudinlă, cre intersecttă cu genertore dă puncte le curei de intersecţie. Eemplu : plnul P dus prin genertore din tie cilindrului după segmentul, cre este o ltură secţiunii longitudinle. Genertorele trste din punctele şi sunt intersectte de genertore din în punctele şi, puncte le curei de intersecţie, fiind puncte comune celor doi cilindri. Proiecţiile lor verticle se oţin cu linii de ordine pe genertore corespunătore. L fel se procedeă şi pentru celellte plne uilire secnte. În figur 9.38 s-u dus plne uilire secnte prin tote genertorele de contur prent, cuprinse în on utilă, deorece în punctele de intersecţie situte pe ceste, cur de intersecţie îşi schimă viiilitte. Aceste plne sunt : P d, P j şi P i, pentru cilindrul şi P 6, P, P 7 şi P 3, pentru cilindrul. c Fig.9.36 Stilire nturii intersecţiei : pătrundere cu simplă tngenţă Fig.9.37 Stilire nturii intersecţiei : pătrundere cu dulă tngenţă h h c P P P P