Aðskilnaður breytistærða í rúmi

Kai 9 Aðskinaður breytistærða í rúmi 9.1 Bygjujafna í skífu 2 u = c 2 2 u, x 2 + y 2 < a 2 t 2 js: u = 0, x 2 + y 2 = a 2 us: u u t=0 = ϕ, = ψ t=0 t 9.1) Geymum upphafsskiyrðin us) beitum aðskinaði breytistærða ásamt jaðarskiyrðunum. Leitum að ausn u = T t)rr)θθ) Lapace-virkinn í kúuhnitum er svo við fáum 2 u = 2 u r 2 + 1 u r r + 1 2 u r 2 θ 2 T RΘ = c 2 T R Θ + c 2 1 r T R Θ + c 2 1 r 2 T RΘ Deium með c 2 T RΘ 1 T c 2 T = R + 1 r R + 1 Θ R r 2 Θ Hér er tími vinstra megin rúmbreytur hægra megin báðar hiðar eru fastar: 1 T c 2 T = λ = R + 1 r R + 1 Θ R r 2 ) Θ Aðskijum nú r θ r 2 R + rr + λr 2 = Θ R Θ Fa af einungis r vinstra megin einungis θ hægra megin báðar hiðar eru fastar: Θ Θ = γ = r2 R + rr + λr 2 R Höfum þá aðskiið breytistærðirnar; höfum þrjár jöfnur, eina fyrir hvert hnit. 77

Höfum fain jaðarskiyrði í hnitakernu: Θθ) er otubunið með otu 2π. Þ.a.. verður jafnan fyrir Θθ) Θ θ) = γθθ), Θ0) = Θ2π), Θ 0) = Θ 2π) sem gefur γ = n 2, n = 0, 1, 2, 3,... ausnin er n = 0 : Θθ) = 1 { cosnθ) n > 0 : Θθ) = sinnθ) eða { e inθ e inθ 9.2) [ þ.e. Θθ) = A n cos nθ + B n sin nθ = A ne inθ + B ne inθ ] LHK Athugum nú jöfnuna fyrir Rr). Fyrir γ = n 2 fæst r 2 R r) + rr r) + λr 2 n 2 )Rr) = 0. Ra) = 0 Við gefum okkur að Rr) sé takmarkað fyrir r 0 [svarar t.. í rafstöðufræði ti þess að það er engin heðsa í miðju skífunnar] LHK. Við getum útiokað að λ 0, því jafna ) segir okkur að 2 vr, θ) = λvr, θ), þar sem vr, θ) = Rr)Θθ) með v r=a = 0. Eigingii 2 með 0 á jaðrinum eru ataf strangega) jákvæð, þ.e. > 0. Notum nú breytuskiptin s = λr. R-jafnan verður þá s 2 2 R 2 s + s R s + s2 n 2 )R = 0 sem er Bessejafna með vísitöu n. Amenn ausn hennar er Rs) = AJ n s) + BK n s) Við gerðum hins vegar ráð fyrir að R sé takmarkað þegar r 0 þ.e. s 0) vitað er að K n = Os n ) eða On s) þegar s 0. Því fæst skiptum s aftur út fyrir λr, getum einnig seppt stuðinum A) Rr) = J n λr) Beitum jaðarskiyrðinu Ra) = 0. Ti þess að fá ausn sem er ekki 0 þurfum við J n λa) = 0. Hvert Bessefa hefur óenanega margar nústöðvar sem stefna á + mismunur nústöðvanna stefnir á 2π. Fáum runu λ nm, m = 1, 2, 3,.... Setjum β nm = λ nm þá er Rr) = J n β nm r) 9.3) Að okum ákvörðum við T t). Fyrir λ = λ nm = β 2 nm verður jafnan fyrir T t) sbr. )) T t) + β 2 nmc 2 T t) = 0 sem hefur amenna ausn T t) = C nm cosβ nm ct) + D n sinβ nm ct) 9.4) 78

Heiarausnin er margfei ausnanna 9.2), 9.3) 9.4) ur, θ, t) = = m=1 n=1 m=1 J n β nm r)a n cos nθ + B n sin nθ)c nm cosβ nm ct) + D n sinβ nm ct)) J 0 β 0m r)a 0m cos β 0m ct + B 0m sin β 0m ct) + m=1 n=1 [ J n β nm r) cos nθa nm cos β nm ct + B nm sin β nm ct) ] +J n β nm r) sin nθc nm cos β nm ct + D nm sin β nm ct) Ef vanamáið sem við erum að eysa er hringsamhverft, þá er ausnin einungis n = 0 iðirnir. Sveiuhættir: J n β nm r) J 0 β 0m r) { cos nθ sin nθ tímasveia [ myn ] Föin J n β nm r) cos nθ J n β nm r) sin nθ J 0 β 0m r) eru eiginfö Lapace-virkjans, ausnir á 2 u = λu, u = 0, r < a r = a Þau eru innbyrðis hornrétt með tiiti ti innfeis u 1, u 2 = u 1 u 2 A hér er D skífan r < a). 9.1) Dæmi Reiknum ausn á D 2 u t 2 = c2 2 u, r < a með u r=a = 0 u u t=0 = ϕr), = 0 t t=0 Upphafsskiyrðin eru einungis fa af r. Lausnin er því hringsamhverf því u = m=1 J 0 β 0m r)a 0m cos β 0m ct + B 0m sin β 0m ct) 79

Upphafsskiyrðin gefa Þetta gefur ϕr) = 0 = m=1 m=1 A om J 0 β 0m r) β 0m cb 0m J 0 β 0m r) B 0m = 0 A 0m = a ϕr)j 0 β 0m r)r r 0 a [J 0 β 0m r)] 2 r r 0 r-ið fyrir framan r er vægisfa innfeisins það sem er unir striki er vegna þess að föin eru óstöðuð). 9.2 Bygjujafnan á svæði D Amennt á svæði D: Aðskijum rúm tíma: fáum 2 u t 2 = c2 2 u í Du = 0 á D u = T t)f x) T F = c 2 T 2 F sem gefur Við fáum því eigingiisverkefnið 1 T c 2 T = 2 F F 2 F F = λ = λ fyrir 2 með F = 0 á D. Eiginföin F n x) eigingiin λ n gefa sveiuhættina. Lausnin er ínueg samantekt A n cos λ n ct + B n sin λ n ct)f n x) 80

9.3 Hitajafnan á svæði D Aðskijum rúm tíma u t = k 2 u í D u = 0 á D u = T t)f x) fáum 1 T k T = 2 F F Eiginföin F n x) eigingiin λ n gefa ausnina e kλnt F n x) = λ 9.4 Bygjur sveim í kúu D er kúa í þrívíðu rúmi, r < a. z x y Skoðum bygjur með u = 0 á jaðrinum 2 u = c 2 2 u t 2 í D u = 0 á D Við vitum að við fáum sveiuhætti eða eiginsveur) þar sem wx) er eiginfa Lapace-virkjans A cos c λt + B sin c λt)wx) 2 w = λw w = 0 á D í D 81

fyrir hitajöfnuna u t = k 2 u í D u = 0 á D Þá fást ausnir e k λt wx). Leysum eigingiisverkefni fyrir Lapace. Notum kúuhnit r, θ, ϕ. z P θ x ϕ y Leitum ausnar af gerðinni Höfum í kúuhnitum Setjum inn w = Rr)Θθ)Φϕ) 2 w = 2 w r 2 + 2 w r r + 1 w r 2 sin θ sin θ θ θ ) + 1 2 w r 2 sin 2 θ ϕ 2 R ΘΦ + 2 r R ΘΦ + Deium með RΘΦ margföum með r 2 Fáum r 2 R + 2rR+ + r 2 λ } R {{} =γ 1 r 2 sin θ RΦ Θ sin θ θ θ ) + 1 r 2 sin 2 θ RΘΦ = λrθφ + 1 sin θ Θ ) + 1 Φ Θ sin θ θ θ sin 2 θ Φ }{{} = γ = 0 R-verkefni r 2 R + 2rR+ R + r 2 λ = γ fasti) einnig Margföum með sin 2 θ: Út úr þessu kemur 1 Θ sin θ sin θ Θ sin θ Θ ) + 1 Φ θ θ sin 2 θ Φ = γ sin θ Θ ) + γ sin 2 θ + Φ θ θ Φ 82

Φ-verkefni Φ Φ = α Θ-verkefni sin θ Θ sin θ Θ ) + γ sin 2 θ = α θ θ Höfum fengið út úr þessu þrjú verkefni: 9.2) R-verkefni r 2 R + 2rR + r 2 λ γ)r = 0, 0 < r < a Ra) = 0, Rr) takmarkað í r = 0 9.3) Θ-verkefni 1 sin θ sin θ Θ ) + γ α θ θ sin 2 θ )Θ = 0, 0 < θ < π Φ er takmarkað í báðum enum, þ.e. þegar θ 0 θ π. 9.4) Φ-verkefni Φ = αφ, 0 < ϕ < 2π með otubunnum jaðarskiyrðum Φ0) = Φ2π), Φ 0) = Φ 2π) 9.5) Athugasem λ er eigingii 2 en α, γ eru aðskinaðarfastar. Við eigum eftir að ákvarða α, γ λ. Leysum verkefnin þrjú í vaxani erðeikaröð. Byrjum því á verkefni 9.4), en það verkfni höfum við eyst áður. Lausnin er α = m 2 með m = 0, 1, 2,... { e imϕ, e imϕ m = 1, 2,... Φϕ) = 1 m = 0 Athugum næst verkefni 9.2). Setjum v = r 1/2 R s = λr. Þar með R = r 1/2 v. Með þessum breytuskiptum innsetningu fæst R r v 1 = r 1/2 λ s 2 r 3/2 v 2 R 2 r = r 1/2 λ 2 v 2 s r 3/2 λ v s + 3 4 r 5/2 v 83

Setjum inn í iurjöfnu verkefnisins r 2 r 1/2 λ 2 v 2 s r 3/2 λ v s + 3 4 r 5/2 v fáum þannig ) + r r 1/2 v s ) 1 λ 2 r 3/2 v +r 2 λ γ)r 1/2 v = 0 s 2 2 v 2 s + s v s + s2 γ 1 4 )v = 0 sem er Bessejafna með vísitöu η = γ + 1 4. Amenn ausn hennar er v = AJ η s) + BJ η s) Skiptum aftur út v s fyrir R r fáum R = Ar 1/2 J η λr) + Br 1/2 J η λr) Við höfnum seinni iðnum, því hann stefnir á + þegar r 0. Við notum því Rr) = r 1/2 J η λr) Jaðarskiyrðin Ra) = 0) gefa J η λa) = 0 þ.e. λ er nústöð J η. En Ath við þekkjum enn ekki γ í η = γ + 1 4. Athugum oks verkefni 9.3). Við funum að α = m 2 höfum því 1 sin θ sin θ Θ ) + γ m2 θ θ sin 2 θ )Θ = 0, 0 < θ < π með Φ takmarkað fyrir θ 0 θ π. Setjum t = cos θ fáum æng) 1 t 2 ) Θ ) ) + γ m2 t t 1 t 2 Θ = 0, 1 < t < 1 með Θ takmarkað fa af t þegar t ±1. Þessi jafna kaast teng Legenre jafna e. associate Legenre equation). Fyrir m = 0 fæst: 1 t 2 ) Θ ) + γθ = 0, 1 < t < 1 t t takmörkuð ausn fæst fyrir γ = + 1), = 0, 1, 2,... Lausnin er þá -ta stigs Legenre margiða Θ = P t) = 1 2! t 2 1) ) t 84

Ef m = 1, 2, 3,... þá er ti takmörkuð ausn fyrir γ = + 1), = m, m + 1, m + 2,... sem kaast tengt Legenre fa e. associate Legenre function): Θ = P m t) = 1)m 2! 1 t 2 m/2 +m ) t 2 +m 1) ) t Þekkjum nú γ η = γ + 14 = + 1) + 14 = 2 + + 1 4 = + 1 2 Við höfum þar með funið eiginfö 2 : þar sem ákvarðar eigingiin. r 1/2 J + 1 λr)p m cos θ)e ±imϕ 2 m {0, 1, 2, 3,...} {m, m + 1, m + 2,...} Rifjum upp að fyrir skífuna fékkst J + 1 λa) = 0 2 J n λr)e ±inθ, J n λa) = 0 þ.e. við fengum tvö óháð eiginfö fyrir hvert λ eitt ef λ = 0) Aftur á móti fáum við 2 + 1 óháð eiginfö fyrir kúuna, þar sem fyrir titekið má veja m {0, 1,..., } ±m kemur fyrir í e ±imϕ. 9.4.1 Kúufö e. spherica harmonics ) Eiginfö 2 í kúu r < a sem eru 0 á yrborðinu r 1 /2 J + 1 λr) P m cos θ)e ±imϕ 2 = 0, 1, 2,..., 0 m, J + 1 λa) = 0 2 Faið af hornunum θ ϕ, innan græna rammans, kaast kúufa með einhverri stöðun). Einfaasta skigreiningin er Y m θ, ϕ) = P m cos θ)e imϕ, = 0, 1, 2,... m 9.6) Athugasem Mismunani staðanir í notkun. T.. í skammtafræði víðar P m m m)! s) = 1) + m)! P m s) Y m = P m cos θ)e imθ 85

9.7) Eigineikar kúufaa Kúuföin myna fukomið hornrétt ker á yrborði kúu: Y m θ, ϕ)y m θ, ϕ) S = 0 ef m, ), m ) Hvert fa fθ, ϕ) á yrborði kúu má iða í röð þar sem fθ, ϕ) = =0 m= c m Y m θ, ϕ) fθ, ϕ)y θ, ϕ S c m = Y m θ, ϕ) 2 S Ath. að S er atarmásfrymi á einingarhvei 9.8) Dæmi Legenre-margiðurnar S = sin θ θ ϕ Fyrstu þrjár þeirra eru P 0 s) = P s) = 1 2! s s2 1) P 0 s) = 1, P 1 s) = s, P 2 s) = 3 2 s2 1 2 9.9) Dæmi Tengu Legenre-margiðurnar T.. P m s) = 1)m 2! 1 s 2 m/2 +m ) +m s s2 1) P1 1 s) = 1 2 1 s2 1/2 2 ) 2 s s2 1) = 1 s 2 ) 1/2 P 1 2 s) = 31 s 2 ) 1/2 s, P 2 2 s) = 31 s 2 ) 9.10) Nokkur kúufö Y0 0 θ, ϕ) = 1 Y 0 1 θ, ϕ) = cos θ Y 0 2 θ, ϕ) = 3 2 cos2 θ 1 2 Y 1 1 θ, ϕ) = 1 cos2 θ) 1 2 e iϕ = sin θe iϕ Y 1 1 θ, ϕ) = sin θe iϕ Y 1 2 θ, ϕ) = 3 sin θ cos θeiϕ = Y 1 2 θ, ϕ) Y 2 2 θ, ϕ) = 3 sin2 θe 2iϕ = Y 2 2 θ, ϕ) 86

9.11) Nokkur kúufö í x, y, z)-hnitum Við höfum að cos θ = z r, cos ϕ = x x 2 + y 2, sin ϕ = y x 2 + y 2, r = x 2 + y 2 + z 2 Amennt er því er r Y m fö. Y m = Y0 0 = 1 Y0 1 = z r Y2 0 = 2z2 x 2 y 2 r 2 Y1 1 = x+iy r Y2 1 = 3zx+3zyi r 2 Y2 2 = 3 x+iy)2 r 2 einseit margiða af stigi r einseit margiða af stigi af x, y, z. Ennfremur eru þessar margiður þýð Myn 9.1. Skýringarmyn af föunum Y m. Föin eru 0 eftir m engarbaugum m breiarbaugum. Þau skipta um formerki í hvert sinn sem farið er yr einn af þessum núbaugum. [Wikipeia; Spherica Harmonics.] 87

9.5 Frá Newton ti NASA Skoðum Lapace-jöfnuna 2 u = 0 í þremur víum. Aðskijum breytistærðirnar u = Rr)Θθ)Φϕ) Við fáum sömu jöfnur áður, nema nú er λ = 0 Φϕ) = e ±imϕ Θθ) = P m cos θ), = 0, 1, 2,..., m Jafnan fyrir Rr) hefur λ = 0: r 2 R + 2rR + 1)R = 0 sem er Euer-jafna. Innsetningin R = rα gefur αα 1) + 2α + 1) = 0 svo Fáum ausnir α = 1 eða α = 1 r r 1 Innan í kúu r < a höfnum við neikvæðum veum. Þar með fáum við fyrir ausn í r < a. Heiarausn er þá u = r Y m θ, ϕ) =0 m= c m r Y m θ, ϕ) Dirichet-verkefni í kúu: 2 u = 0, u = fθ, ϕ), r < a r = a Lausnin er þar sem u = fθ, ϕ) = =0 m= =0 m= c m r Y m θ, ϕ) c m a Y m θ, ϕ) þ.e. c m a eru stuðarnir í iðun fθ, ϕ) í kúufö. 88

Berið saman við skífu: u = m= c m r m e imθ Athugum nú að ef við eitum ausnar utan kúu, þá höfnum við jákvæðum veum af r en samþykkjum neikvæð vei af r. Heiarausn 2 u = 0 utan kúu er því u = =0 m= c m r 1 Y m θ, ϕ) Fyrsta nágun ausnarinnar fyrir r + er iðurinn fyrir = 0: c 00 r 1 Newton 1687) Fyrir þyngarsvið jarðar er c 00 = GM G þyngarfastinn, M massi jarðar). Í annarri nágun tökum við iði fyrir = 0, 1: ) c 0,0 r 1 + c 1, 1 Y1 1 θ, ϕ) + c 1,0 Y1 0 θ, ϕ) + c 1,1 Y1 1 θ, ϕ) Búið er að reikna út c m upp að = 360 fyrir jörðina, sjá vefsíðu NASA. r 2 89