ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ- 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f 1 ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ- 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:, 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1. 1, f 1 ΙΙ. Το όριο lm είναι ίσο με: 0 Α. 0 Β. 1 Γ. -1 Δ. 1/ Ε. Τίποτε από τα προηγούμενα Α. ΙΙΙ. Αν η συνάρτηση g f 1, 1, 0 είναι συνεχής στο 0 τότε το α παίρνει τις τιμές: 0 3 3 3 Α. α=1 ή α=-1 Β. Γ. α=0 Δ. ή α IV. Η συνάρτηση h()=ln (f()) έχει πεδίο ορισμού: A. 1, B. 1, Γ. Δ. -,-1 1,. 1, V. Η h () είναι ίση με: 1 1 1 A. B. Γ. 1 Δ. Ε. Τίποτε από τα προηγούμενα 1 VI. Στο σημείο Α(0,h(0)) η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της h έχει εξίσωση: 1 Α. y+=0 B.y-=0 Γ. y Δ. +y+1=0 3 ΘΕΜΑ ο 1 f Α. Εξετάστε τη g ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Β. Δείξτε ότι g()>0 για κάθε >0 0, Δίνονται οι συναρτήσεις:, 0 g 11 Γ. Δείξτε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο ΘΕΜΑ 3 ο Θεωρούμε τη συνάρτηση f()=ln- + 1,4 Α. Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης στη γραφική παράσταση της f στο σημείο της Α(, f()). Γ. Δίνονται τα ενδεχόμενα Α, Β του δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης για τα οποία ισχύει: B A α) Να δείξετε ότι Ρ(Α-Β)=Ρ(Α) Ρ(Β) ΚΕΝΤΡΙΚΟ: ΠΕΙΡΑΙΑΣ, ΗΡ. ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 1, ΤΗΛ: 10 4 6 909, wb st: www.hasaks.gr NIKAIA, ΚΟΜΝΗΝΩΝ & ΟΔΥΣΣΕΩΣ 19, Π. ΡΑΛΛΗ 190 ΤΗΛ: 10 49.60.387 ΓΑΛΑΤΣΙ, Λ. ΓΑΛΑΤΣΙΟΥ 11, ΤΗΛ: 10 9.10.107

β) Αν η πιθανότητα Ρ(Α) είναι ίση με τη μέγιστη τιμή της f ενώ Ρ(Β)=Ρ(Α-Β) να υπολογίσετε τις πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β). ΘΕΜΑ 4 ο Στο παρακάτω κυκλικό διάγραμμα παρουσιάζεται η βαθμολογία ενός τμήματος μαθητών στα μαθηματικά Ι) να βρεθεί η μέση τιμή της βαθμολογίας. ΙΙ) βρείτε το ποσοστό των μαθητών που πήραν βαθμό από 10 ως 14. ΙΙΙ) αν επιλέξουμε τυχαία έναν μαθητή βρείτε την πιθανότητα να έχει πάρει το πολύ 6. IV) να εξεταστεί αν το δείγμα έχει ομοιογένεια ως προς την απόδοσή του. [1, 16) [8, 1) 40% 90 10% [16, 0) 18 [0, 4) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ [4, 8) ΘΕΜΑ 1 ο 1 f Ι. Πρέπει: 1 0 1, Σωστό το Γ. ΙΙ. f lm 0 Σωστό το Δ. f ΙΙΙ. g a 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 lm lm lm lm 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1, 0 1, 0 Πρέπει lm g g0 0. Είναι lm g 1 1 1 3 3 0 a 1 a 1 a a g 0 a 1 Σωστό το Δ. ΙV. h lnf ln 1 Πρέπει : 1 0-1 Σωστό το Α. V. h' ln 1 ' 1 1 1 1 1 1 ' 1 ' 1 1 1 1, ΚΕΝΤΡΙΚΟ: ΠΕΙΡΑΙΑΣ, ΗΡ. ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 1, ΤΗΛ: 10 4 6 909, wb st: www.hasaks.gr NIKAIA, ΚΟΜΝΗΝΩΝ & ΟΔΥΣΣΕΩΣ 19, Π. ΡΑΛΛΗ 190 ΤΗΛ: 10 49.60.387 ΓΑΛΑΤΣΙ, Λ. ΓΑΛΑΤΣΙΟΥ 11, ΤΗΛ: 10 9.10.107

Σωστό το Β. VI. Στο σημείο Α(0,h(0)) η εξίσωση της εφαπτόμενης έχει συντελεστή διεύθυνσης λ=h (0)=1/ και 1 εξίσωση: y β 1 διέρχεται από το Α(0, h(0)) οπότε: Για =0 y h0 ln 0 1 0 y 0 1 οπότε: (1) 0, 0 0 β β 0 1 Άρα η εξίσωση: y y y 0 Σωστό το Β. ΘΕΜΑ ο 1 f, 0 g 11 Α. Για : g' 11 ' 1 11 Η μονοτονία και τα ακρότατα της g φαίνονται στον διπλανό πίνακα: Άρα : στο,0 η g γνησίως φθίνουσα, στο 0, η g γνησίως αύξουσα, στο o =0 παρουσιάζει ελάχιστο το g(0)=0. B. Αφού η g στο 0, αν 0 g g0 g 0. Γ. 1 1 1 1 1 g ' f ' 0 Δείξαμε στο Β ότι g 0 για κάθε 0 g f' 0 για κάθε 0 ακόμα 0 για κάθε 0 f στο 0, Άρα η g () g() - 0 + + τ. ε. g(0) = 0 ΘΕΜΑ 3 ο f()=ln-+1,4 >0 1 1 A. f ()=(ln-+1,4) = 1, 0 Η μονοτονία και τα ακρότατα της f φαίνονται στον διπλανό πίνακα: Άρα : στο 0, 1 η f στο 1, η f στο o =1 η f παρουσιάζει μέγιστο το f(1)=0,4. 0 1 + f () f() + τ. μ. f(1) = 1,4 Β. Στο σημείο Α(, f()) η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f έχει συντελεστή διεύθυνσης 1 λ f' ΚΕΝΤΡΙΚΟ: ΠΕΙΡΑΙΑΣ, ΗΡ. ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 1, ΤΗΛ: 10 4 6 909, wb st: www.hasaks.gr NIKAIA, ΚΟΜΝΗΝΩΝ & ΟΔΥΣΣΕΩΣ 19, Π. ΡΑΛΛΗ 190 ΤΗΛ: 10 49.60.387 ΓΑΛΑΤΣΙ, Λ. ΓΑΛΑΤΣΙΟΥ 11, ΤΗΛ: 10 9.10.107

1 Οπότε έχει εξίσωση: y β (1) Η εφαπτομένη διέρχεται από το Α(, f()) οπότε: Για = y f ln 1,4 y 1 1,4 y,4,4-1- β β 1,4 1 Άρα η εξίσωση της εφαπτόμενης: y 1, 4 Γ. α) B A 1 B A B 1 A - B PA PA B PA B PA PB 1 οπότε : P β) είναι Ρ(Α)=0,4 Ρ(Β)=Ρ(Α-Β) Οπότε (1) Ρ(Β)=0,4-Ρ(Β) Ρ(Β)=0,4 Ρ(Β)=0,,y,4 1,4 β ΘΕΜΑ 4 ο κλάσεις f f % α f f 0-4 0,05 5 18 0,1 4 0, 4-8 6 0,0 0 7 1, 36 7, 8-1 10 0,40 40 144 4 100 40 1-16 14 0,5 5 90 3,5 196 49 16-0 18 0,10 10 36 1,8 34 3,4 Σύνολο 1 100 360 10,6 18,8 Ι) Σ f 10, 6 40% 5% ΙΙ) 3,5% ΙΙΙ) 5% 10% 15% IV) S Σ f () 18,8 (10, 6) 16, 44 Άρα S 16, 44 S 16,44 Οπότε Cv 10,6 Για να είναι ομοιογενές το δείγμα πρέπει: 16,44 16,44 Cv 0,1 0,1 0,01... 16,44 1,136 άτοπο 10,6 (10,6) Άρα δεν είναι ομοιογενές. ΚΕΝΤΡΙΚΟ: ΠΕΙΡΑΙΑΣ, ΗΡ. ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 1, ΤΗΛ: 10 4 6 909, wb st: www.hasaks.gr NIKAIA, ΚΟΜΝΗΝΩΝ & ΟΔΥΣΣΕΩΣ 19, Π. ΡΑΛΛΗ 190 ΤΗΛ: 10 49.60.387 ΓΑΛΑΤΣΙ, Λ. ΓΑΛΑΤΣΙΟΥ 11, ΤΗΛ: 10 9.10.107

ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α: Να δείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P P P B P B: Ρίχνουμε δύο αμερόληπτα ζάρια και θεωρούμε τα ενδεχόμενα Α «η ένδειξη της πάνω έδρας του πρώτου ζαριού είναι άρτιος αριθμός» και Β «η ένδειξη της πάνω έδρας του δεύτερου ζαριού είναι άρτιος αριθμός». Να αντιστοιχίσετε τα ενδεχόμενα της στήλης Α με τους συμβολισμούς τους στη γλώσσα των συνόλων που βρίσκονται στη στήλη Β. ΣΤΗΛΗ Α ΣΤΗΛΗ Β 1. Η ένδειξη της πάνω έδρας ενός τουλάχιστον ζαριού είναι άρτιος αριθμός α.. Η ένδειξη της πάνω έδρας του πρώτου ζαριού είναι περιττός αριθμός β. 3. Οι ενδείξεις των πάνω εδρών και των δύο ζαριών είναι άρτιοι αριθμοί γ. 4. Οι ενδείξεις των πάνω εδρών και των δύο ζαριών είναι περιττοί αριθμοί δ. 5. Η ένδειξη της πάνω έδρας μόνο του δεύτερου ζαριού είναι άρτιος αριθμός ε. στ. ΘΕΜΑ ο ln 4 11 με >0 3 1. Να βρείτε την παράγωγο της f. Να εξετάσετε την f ως προς την μονοτονία της 3. Να προσδιορίσετε τα ακρότατα της (Δίνεται 0 ) Α. Δίνεται η συνάρτηση f Β. Να υπολογισθούν τα όρια: 4 1. lm 3. lm 3 3 ΚΕΝΤΡΙΚΟ: ΠΕΙΡΑΙΑΣ, ΗΡ. ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 1, ΤΗΛ: 10 4 6 909, wb st: www.hasaks.gr NIKAIA, ΚΟΜΝΗΝΩΝ & ΟΔΥΣΣΕΩΣ 19, Π. ΡΑΛΛΗ 190 ΤΗΛ: 10 49.60.387 ΓΑΛΑΤΣΙ, Λ. ΓΑΛΑΤΣΙΟΥ 11, ΤΗΛ: 10 9.10.107

3. lm 5 5 ΘΕΜΑ 3 ο Α. α. Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας και να υπολογισθεί η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση. Κλάσεις [-) f f f 3-5 0,1 5-7 0, 7-9 0,3 9-11 Σύνολο 1 β. Γνωρίζοντας ότι ένα δείγμα είναι ομοιογενές όταν CV 10%, τότε αν οι τιμές του δείγματος αυξηθούν κατά μία σταθερά c, με c>0, να υπολογισθούν οι τιμές του c ώστε το δείγμα να γίνει ομοιογενές. γ. Αν c 1,,3,...,0 όπου Ω δειγματικός χώρος με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα, να βρεθεί η πιθανότητα του ενδεχομένου Α: το δείγμα να είναι ομοιογενές και c να είναι άρτιος αριθμός. ΘΕΜΑ 4 ο Α. Έστω Ω={1,,3,4,5,6,7,8,9,10} ένας δειγματικός χώρος, ο οποίος αποτελείται από απλά και ισοπίθανα ενδεχόμενα. Επιλέγουμε τυχαία ένα απλό ενδεχόμενο κω. Να βρείτε την πιθανότητα η εξίσωση 4 0 να μην έχει πραγματικές ρίζες. Β. Το 10% των μαθητών μιας τάξης ενός σχολείου έχουν τερηδόνα, το 6% έχει ουλίτιδα και το % έχει και τα δύο. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή και έστω Α το ενδεχόμενο «ο μαθητής έχει τερηδόνα» και Β το ενδεχόμενο «ο μαθητής έχει ουλίτιδα». και ποία η πιθανότητα του. 1. Τι εκφράζει το ενδεχόμενο. Πως συμβολίζεται το ενδεχόμενο «ο μαθητής έχει τουλάχιστον μια ασθένεια» και ποια είναι η πιθανότητα του. 3. Πως συμβολίζεται το ενδεχόμενο «ο μαθητής δεν έχει καμία ασθένεια» και ποια είναι η πιθανότητα του. ΚΕΝΤΡΙΚΟ: ΠΕΙΡΑΙΑΣ, ΗΡ. ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ 1, ΤΗΛ: 10 4 6 909, wb st: www.hasaks.gr NIKAIA, ΚΟΜΝΗΝΩΝ & ΟΔΥΣΣΕΩΣ 19, Π. ΡΑΛΛΗ 190 ΤΗΛ: 10 49.60.387 ΓΑΛΑΤΣΙ, Λ. ΓΑΛΑΤΣΙΟΥ 11, ΤΗΛ: 10 9.10.107