DESCOMPNERE LORILOR SINGLRE alole sgulae ale ue matce eale sau complexe dau fomaţ peţoase despe caactestcle matce (ag ome etc) a pe de altă pate (spe deosebe de valole pop î cazul matcelo pătate) sut pefect codţoate umec ş î cosecţă pot f calculate cu o îaltă acuateţe Descompueea valolo sgulae (DS) ale ue matce epeztă o tasfomae extem de utlă î evdeţeea multo popetăţ stuctuale ale matce espectve ceute î umeoase aplcaţ dte cae amtm ezolvaea cazulu geeal al pobleme celo ma mc pătate făă sau cu estcţ lae sau pătatce De asemeea algotmul de calcul DS epeztă uca modaltate umec fablă de detemae a agulu ue matce Dacă ît-o atmetcă exactă coceptul matematc de ag al ue matce este foate be deft î pezeţa eolo de otue geec toate matcele sut de ag matematc maxmal De aceea ît-o atmetcă apoxmatvă se utlzează ma cuâd oţuea de "ag umec" cae adaptează coceptul de ag matematc la u medu computaţoal eal dat de tehca de calcul actuală Î pma pate a captolulu sut pezetate uele oţu teoetce elatve la coceptul de valo sgulae ş pcpalele lo popetăţ pecum ş uele descompue devate Patea de coţut peztă algotmul de calcul al descompue valolo sgulae petu matcelo eale ma des îtâlte î aplcaţ Î eseţă algotmul DS epeztă o adaptae a algotmulu QR smetc cae evtă calculul efectv al valolo pop ale ue matce podus de tpul sau acţoâd exclusv asupa matce facto Cazul complex se poate educe la cel eal de dmesue dublă sau se tatează absolut smla utlzâdu-se tasfomă utae (complexe) Descompueea valolo sgulae e o matce R Descompueea valolo sgulae ale matce se poate toduce p umătoaea teoemă eoema : Descompueea valolo sgulae m m Ocae a f matcea R exstă matcele otogoale R R ş îtegul ude 0 Σ astfel îcât Σ Σ 0 0 0 ( ) dag R cu 3 > 0 Î cazul complex sut adevăate aceleaş afmaţ cu peczaea că matcele m m C C sut utae ş H Σ Demostaţe e petu peczae m Cosdeăm uma cazul eal Dacă 0 atuc teoema este adevăată cu I I ş 0 Dacă 0 fe matcea smetcă poztv semdeftă C R Exstă o tasfomae otogoală de asemăae deftă de matcea otogoală R cae educe matcea C la foma Schu e m
C Λ dag ( ) λ λ λ 00 alole pop eule ale matce C sut poztve îtucât λ > e Λe e e e 0 ş p umae făă a educe geealtatea putem cosdea că acestea au fost odoate descescăto e λ λ λ3 λ > 0 λ 0 ş def umeele poztve : λ : Σ 0 C Λ 0 0 Cosdeăm umătoaea patţe a matce [ ] ude ( : : ) (: : ) C C C C Σ 0 0 0 ş de ude ezultă pte altele egaltatea bloculo dagoale Cum blocul Σ Σ Σ R 0 este o matce esgulaă ezultă ( Σ ) Σ Σ I e matcea m Σ R ae coloaele otogoale ş p umae poate f completată cu o matce pâă la o matce [ ] R m ( m ) otogoală De asemeea ezultă Σ ş Σ 0 Pe de altă pate ezultă evdet 0 Î vtutea teoeme de ma sus obsevăm că Σ Σ Σ 0 elaţe cae defeşte descompueea (sau factozaea) valolo sgulae ale matce Numeele > 0 : împeuă cu umeele 0 : se umesc valo sgulae ale matce Coloaele v e R : ale matce se umesc vecto sgula (la deapta) a lu asocaţ valolo sgulae 0 0
m : a coloaele u e R : ale matce se umesc vecto sgula la stâga a lu asocaţ aceloaş valo sgulae Rezultă că oce matce R se poate sce ca sumă de poduse extee de vecto sgula podeaţ cu valole sgulae eule Σ uv elaţe umtă ş descompueea edusă a valolo sgulae ude matcele W u v : se umesc compoetele pcpale ale matce Matcea Σ se umeşte foma caocă pseudodagoală a matce Î legătuă cu uctatea DS a ue matce d demostaţa teoeme ezultă că valole sgulae sut ădăcle pătate poztve ale valolo pop ale matce ş î cosecţă sut uc detemate Î ceea ce pveşte matcele de tasfomae vecto sgula asocaţ valolo sgulae eule e submatcele ş sut î eseţă (î sesul că putem multplca smulta coloae dvduale ale acesto matce cu ± a î cazul complex cu oce umă de modul uta) uce î tmp ce submatcele ş pot f oce completă otogoale ale submatcelo ş Cadul deftou de ma sus al valolo sgulae sugeează umătoaea poceduă de calcul Se calculează C olosd de exemplu algotmul QR smetc se calculează λ C Λ λ λ K cu λ : ( ) { } λ 3 λ : λ cae d păcate u este ecomadată î aplcaţ pactce d cauza eolo toduse î fomaea podusulu eo ce pot f amplfcate ulteo pe pacusul calculelelo lgotmul de calcul al valolo sgulae cae s-a mpus î pactcă umt algotmul DS este u algotm QR "mascat" î sesul că acţoează exclusv asupa matce ît-u mod echvalet cu acţuea algotmulu QR smetc cu deplasae mplctă asupa matce C plcaţ ale DS Descompueea valolo sgulae epeztă u stumet deosebt de utl ş de sgu î ezolvaea a umeoase pobleme cu caacte aplcatv d dvese dome ştţfce ş tehce cum sut teoa sstemelo pelucaea semalelo statstcă etc Calculul omelo matceale otogoal vaate e matcea R ( C ) om spue că o omă matceală : R R ( : C R petu toate matcele otogoale (utae) Noma matceală dusă de oma eucldaă e deftă de ) este otogoal (uta) vaată dacă max x x umtă oma spectală pecum ş oma obeus deftă de 3
a t( ) sut otogoal vaate ş î cosecţă se expmă foate smplu î teme valolo sgulae ( ) Cocet avem Ît-adevă K max Σx max Σy max x y se obţe medat d Σ Desgu petu a calcula oma obeus a ue matce detemaea pealablă a valolo sgulae este o cale total eefcetă Î schmb dacă se dspue de valole sgulae calculul aceste ome pe baza elaţe de defţe deve efcet Calculul ome spectale este echvalet cu evaluaea valo sgulae maxme ceea ce pesupue u efot de calcul mpotat ş de aceea oma spectală este utlzată destul de a î aplcaţ da oacă u ol mpotat î dezvoltăle teoetce Dacă matcea R este pătată ş esgulaă avâd descompueea valolo sgulae atuc matcea vesă ae expesa e Σ dag ( ) L y y L îtucât valole sgulae sut odoate îtotdeaua descescăto Rezultă că descompueea valolo sgulae petu matcea este ~ ~ Σ ~ ude ~ (: : : ) ~ (: : : ) a ~ Σ dag L ceste obsevaţ pemt o expmae teesată a umeelo de codţoae la vesae a matce esgulae vem κ () ş κ () P umae o matce este cu atât ma be codţoată la vesae cu cât valole sale sgulae sut ma gupate Î patcula matcele otogoale (utae) Q avâd toate valole sgulae egale cu au κ (Q) ş p umae sut pefect codţoate la vesae 4
Calculul agulu Două matce ş B de aceleaş dmesu se umesc echvalete dacă exstă matcele pătate esgulae S ş astfel îcât B S ş otogoal (uta) echvalete dacă matcele S ş sut otogoale (utae) Ragul ue matce R este dat de umăul llo (sau coloaelo) sale la depedete Cosdeăm cuoscut faptul că tasfomăle de echvaleţă cosevă agul ue matce Î cosecţă d descompueea valolo sgulae Σ ezultă că oce matce este otogoal (uta) echvaletă cu foma sa caocă pseudodagoală ş p umae obţem medat umătoul ezultat eoema Ragul ue matce este egal cu umăul valolo sale sgulae eule e ag ag Σ D efece aşa cum s-a ma meţoat acest ezultat u poate f folost ca atae î apeceea umecă a agulu ue matce date îtucât descompueea valolo sgulae calculată ît-u medu de calcul apoxmatv (cum este cel cae foloseşte epezetaea î fomat vgulă moblă) este descompueea valolo sgulae exactă a ue matce uşo petubate Cum îsă î vecătatea ocăe matce exstă o mulţme desă de matce de ag maxmal ezultă că exstă toate şasele ca foma caocă pseudodagoală calculată pe cae o vom ota cu Σˆ să fe de ag maxmal De aceea î pactca umecă se utlzează coceptul de ag umec cae se defeşte î modul umăto Defţa Dată o toleaţă > 0 agul umec al matce R este deft de cel ma mc dte agule matematce ale tutuo matcelo de aceleaş dmesu aflate la o dstaţă deftă coespuzăto de matcea ma mcă decât toleaţa e m (ag X) dst(x) X R Dacă se utlzează dstaţa dte două matce deftă cu autoul ome matceale spectale dst ( X) X sau espectv cu autoul ome obeus dst ( X) X atuc descompueea valolo sgulae ofeă mloace de expmae comode a agulu umec Baza acesto ezultate ezdă î umătoaea teoemă eoema 3 e ag () ş Σ u v descompueea valolo sgulae a matce R ude u ( : ) v ( : ) sut coloaele matcelo otogoale de tasfomae Cosdeăm u îteg matcea < ş defm 5
tuc ş m ag X X R m ag X m X R u v X X Demostaţe Petu peczae cosdeăm m a petu smplfcaea otaţlo otăm oma vectoală eucldaă cu D datele teoeme ma pecs d expesa matce avem î mod evdet elaţa dag( L 0 L0) de ude ezultă egaltatea ( ) dag(0 0 L 0 L0 ) ş p umae ţâd L seama de cosevaea omelo vzate la tasfomă otogoale obţem () L e acum o matce X R de ag ş { } da altfel abtaă Petu îceput otâd ( : : ) vom aăta că exstă u vecto eul w R astfel îcât w KeX Im e X w 0 ş ~ w ( : : )z Ît-adevă cosdeâd DS X ~ Σ ~ a lu X matcea ( ) ~ Y R avâd ma multe coloae decât l ae u subspaţu ucleu KeY 0 e exstă u vecto z R \ { 0} cu z astfel îcât Y z 0 P umae {} w z este vectoul căutat Pe această bază avem secveţa de egaltăţ y ( X) max ( X)y ( X)w w z Σ z z z ( z ) ( z) ude ultma egaltate ezultă d odoaea descescătoae a valolo sgulae Cum matcea X a fost o matce abtaă de ag a ( X) X ezultă că pma egaltate a teoeme este demostată Petu demostaea cele de a doua egaltăţ a teoeme vom utlza egaltatea lu Weyl [8] cofom căea (B C) (B) (C ) Luâd matcea X o matce abtaă de ag avem (X) 0 ş p umae aplcâd egaltatea lu Weyl obţem () ( X X) ( X) X ( X) (X) ( X) ( () ceea ce tebua demostat Pe baza teoeme de ma sus se poate utlza descompueea valolo sgulae petu expmaea agulu umec cofom umătoulu ezultat eoema 4 e () { L } X) spectul de valo sgulae al matce 6
Dacă utlzăm fucţa dstaţă atuc agul umec al matce este egal cu umăul valolo sale sgulae supeoae toleaţe e este îtegul cae satsface codţa > Dacă utlzăm fucţa dstaţă atuc agul umec > > > al matce ezultă d elaţa Demostaţa acesto ezultate este medată ş este lăsată î saca cttoulu Impotat este faptul că expesle de ma sus petu defea agulu umec pot f utlzate cu succes petu calculul acestua pe baza descompue valolo sgulae ale matce date calculate cu algotmul DS De exemplu umăul ˆ al valolo sgulae calculate ˆ supeoae toleaţe date este o foate buă estmae a umăulu de valo sgulae exacte supeoae valo toleaţe Îcheem acest paagaf cu subleea faptulu că oce efee coectă d puctul de vedee al calcululu umec la agul ue matce tebue să facă apel la valole sale sgulae ş la coceptul de ag umec De exemplu cea ma buă măsuă a apope ue matce pătate de o matce sgulaă este dată de valoaea sa sgulaă mmă lte cte cum a f valoaea detematulu sau cel ma mc dte modulele valolo pop pot fuza î acest ses o apecee cu totul eoată Rezolvaea pobleme geeale ale celo ma mc pătate Descompueea valolo sgulae ofeă o soluţe pobleme geeale a ezolvă î sesul celo ma mc pătate a sstemelo lae e sstemul la cu m ecuaţ ş ecuoscute x b m m espectv cu R ş b R Cazule î cae matcea este de ag maxmal (mocă ş/sau epcă) au fost tatate î captolele pecedete ale lucă De aceea acum vom pesupue stuaţa geeală î cae ag() m(m ) Î cazul î cae egaltatea este satsfăcută stct sstemul este î geeal compatbl ş admte o ftate de pseudosoluţ î sesul celo ma mc pătate Ît-o astfel de stuaţe se doeşte calculul pseudosoluţe CMMP de omă eucldaă mmă umtă pseudosoluţa omală a sstemulu Rezultatul fudametal cae pemte ezolvaea aceste pobleme este dat de umătoaea teoemă eoema 5 Soluţa pobleme geeale a celo ma mc pătate: Ocae a f matcea m R ş vectoul b R sstemul x b admte o pseudosoluţe omală * ucă x R Dacă ag () ş Σ Σ este decompueea valolo sgulae a matce atuc pseudosoluţa omală poate f scsă î foma x * b ude m Σ R este pseudovesa (Mooe-Peose) a matce 7
Demostaţe: Cosdeăm ezduul de ecuaţe b x al sstemulu (4) ş calculăm oma sa eucldaă ţâd seama de descompueea valolo sgulae ale matce Îtucât tasfomăle otogoale cosevă oma eucldaă avem ( b x) b x b x Itoducem otaţle ş patţle d cu cae deve d y b y x m d y d Σy d y d Σy d d Cum d u depde de x mmul ome lu coespude mmulu temeulu d Σy 0 cae mm datotă faptulu că Σ este esgulaă este ul ş se obţe petu y Σ d toate pseudosoluţle î ses CMMP ale sstemulu se scu sub foma x Σ d y cu y R abta Dte acestea exstă ua sguă de omă eucldaă mmă ş aume cea cae coespude lu y 0 îtucât d y x Σ Î cocluze uca pseudosoluţe omală este x Σ ( ) b( : ) 0 * Σ b eoema este demostată Rezultatele de ma sus pot f extse făă dfcultăţ la cazul matcelo complexe C Evdet calculul pseudosoluţe omale se face făă a calcula explct pseudovesa matce c utlzâd î mod efcet ultma d elaţle de ma sus e * (: ) ((: )) b x Σ b ude este agul matce a : sut valole sale sgulae eule Rezultă umătoaea schemă de calcul Se calculează DS Σ cu acumulaea tasfomălo ş Se detemă - agul (umec al) matce 8
3 x 0 4 Petu : β ( (: )) b β β 3 x x (: ) β Poblema CMMP poate f extsă mpuâd mmzaea ome eucldee a ezduulu de ecuaţe a uu sstem la supadetemat î pezeţa dveselo tpu de estcţ 3 Calculul pseudovese Pseudovesa ue matce geealzează coceptul de vesă deft petu matcele pătate ş esgulae la cazul ue matce m oaecae Defţa 5 e matcea R O matce X R se umeşte pseudovesa matce dacă satsface umătoaele patu codţ Mooe-Peose X XX X (X) X (X) X Î cazul complex pseudovesa este o matce complexă cae satsface cele patu codţ de ma sus î cae taspueea se îlocueşte cu cougaea hemtcă m mătoul ezultat afmă exsteţa ş uctatea pseudovese ş sugeează o modaltate efcetă de calcul a acestea eoema 5 Oce matce R admte o pseudovesă ucă Dacă este descompueea valolo sgulae a matce atuc pseudovesa sa este X Σ ude Σ este pseudovesa matce Σ ş ae expesa Σ 0 m Σ R 0 0 Σ I 0 m m Demostaţe Petu îceput obsevăm că ΣΣ R ş 0 0 I 0 Σ Σ R de ude ezultă că 0 0 Σ satsface cele patu codţ Mooe-Peose Î cotuae avem egaltăţle Σ Σ Σ ΣΣ Σ Σ Petu demostaţa uctăţ pesupuem exsteţa a două pseudovese X Y fe D X Y D codţle Mooe-Peose ezultă m R ş 9
D 0 DD DY YD D (D) D (D) D De ac obţem (D) D DD 0 de ude ezultă D 0 Smla (D) D DD 0 dec D 0 D a doua d elaţle de ma sus ezultă D 0 dec X Y P umae pseudovesa ue matce este ucă Petu calculul pseudovese ue matce se calculează DS după cae se utlzează expesa (54) cofom căea obţem umătoaea expese de calcul sau pe compoete v u ( ) v u ag( ) : u (: ) : m v (: ) Obsevaţe Meţoăm că petu matcele pseodovesa Mooe-Peose ( ) m R moce pseudovesa se detfcă cu cae este o vesă la stâga îtucât m I a petu matcele R ( ) Im epce pseudovesa se detfcă pseudovesa omală cae este o vesă la deapta îtucât a dte popetăţle cele ma teesate ale pseudovese (cae se demostează făă dfcultate) este aceea că pseudovesa ue matce R este uca soluţe de omă obeus mmă a pobleme de mmzae m m X I m X R 0