aşteptării pot fi înţelese cu ajutorul noţiunilor de bază culese din acest volum. În multe cazuri hazardul, întâmplarea îşi pun amprenta pe

Transcript

1 Cuprs Prefaţă... 5 I. ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ... 7 Matrc... 8 Matrc partculare... 9 Iversa ue matrc... Ssteme de ecuaţ lare... 5 Problema compatbltăţ sstemelor... 7 Problema determăr sstemelor... 8 Îtrebăr de cotrol ş eercţ... 9 Metode de rezolvare a sstemelor lare... 0 Algortmul lu Gauss petru ssteme lare... Metoda elmăr complete (Gauss-Jorda)... Spaţ vectorale (lare)... 5 II. PROGRAMAREA LINIARĂ... 0 Rezolvarea probleme de programare lară... Clasfcarea soluţlor... Algortmul Smple... 4 Determarea soluţe optme a probleme de programare lară... 4 Cazul soluţe fte Degeerarea î problemele de programare lară Soluţ multple. Soluţa geerală Eercţ ş probleme. Îtrebăr de cotrol III. ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ Formula lu Taylor Fucţ reale de ma multe varable reale Dervate parţale Iterpretăr ecoomce ale dervatelor parţale... 6 Dervatele fucţlor compuse Formula lu Taylor petru fucţ de două varable Etremele fucţlor de două varable Etreme petru fucţ de ma multe varable... 7 Ajustarea datelor umerce... 7 Etes ale oţu de tegrală Fucţle lu Euler de speţa îtâa (Fucţa Beta) ş de speţa a doua (Fucţa Gamma) Eercţ ş probleme... 8 IV. ELEMENTE DE TEORIA GRAFELOR Matrc asocate uu graf... 94

2 Algortmul lu Y.C.Che, petru costrurea matrc drumurlor (termală) Matrcea termală tragularzată superor TTS Drumur hamltoee î grafe... 0 Determarea drumurlor hamltoee îtr-o reţea oarecare. Algortmul lu Foules Drumur optmale... 8 Drum crtc (rută mamă) î grafe fără crcute... 8 Fluul î reţea... 6 V. ELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR... Evemete. Operaţ cu evemete... Defţ ale oţu de probabltate... 6 Câmp de evemete... 9 Probabltăţ codţoate Evemete depedete Scheme clasce de probabltate... 5 Varable aleatoare... 6 Vector aleator Operaţ cu varable aleatoare Caracterstc umerce petru varable aleatoare dscrete Iegaltatea lu Cebîşev Varable aleatoare cotue... 9 Caracterstc umerce petru varable aleatoare cotue Leg de probabltate cotue uzuale Aee.. 9 Bblografe... 4

3 PREFAŢĂ Matematca a furzat îtotdeaua modele ş metode de calcul utle, ueor char eseţale, celor ma dverse dome ale actvtăţ umae. Uele d aceste modele îş aşteaptă îcă utlzarea, apărâd dfereţe ş de 00 de a de la crearea coceptulu matematc ş utlzarea acestua. Pe buă dreptate s-a afrmat că matematca este locomotva care trage după se alte ştţe. Ştţele ecoomce au luat î ultmul tmp o mare amploare, datortă tesfcăr legăturlor teraţoale dtre ageţ ecoomc ş datortă globalzăr. Dezvoltarea rapdă a cuoştţelor d domeul ecoomc a fost posblă pr utlzarea d pl a modelelor matematce, ma vech sau ma o, precum ş dezvoltăr puterce a formatc. Noţule d captolele Algebră lară ş Elemete de aalză matematcă d acest volum au aplcaţ drecte î ecoome după cum se vede d uele eemple, î plus pregătesc cttorul petru îţelegerea altor oţu. D portofolul problemelor de optmzare cuoscut ş sub deumrea de "Cercetăr operaţoale" apărute î ultm 70 de a am dezvoltat doar "Programarea lară" ş "Elemete de teora grafurlor" care sut ma uşor de îţeles ş totuş foarte mportate. Alte modele ca Teora jocurlor, Programarea stohastcă, Teora stocurlor ş Teora 5

4 aşteptăr pot f îţelese cu ajutorul oţulor de bază culese d acest volum. Î multe cazur hazardul, îtâmplarea îş pu ampreta pe desfăşurarea î tmp a proceselor ş feomeelor ecoomce. Noţule de evemet, probabltate, varable aleatoare ş caracterstc umerce ale acestora, fac obectul de studu al captolulu V "Elemete de teora probabltăţlor". Acest captol pregăteşte cttorul ş petru studul statstc care la râdul e e prezetă î toate ramurle ecoomce. Materalul coţut î acest volum repreztă u mm ecesar petru abordarea ştţfcă a problemelor ecoomce. Recomadăm studeţlor, vtor ecoomşt, să aprofudeze aceste oţu studd ş bblografa dcată. Noţule prezetate î fecare captol sut lustrate pr eemple, majortatea fd rezolvate ş amăuţt eplcate. Au fost elmate demostraţle prea lug ş greoae, astfel că, materalul este uşor de abordat char de ce care studază dvdual această dscplă. Prezetul volum este utl studeţlor de la ştţele ecoomce, î specal petru ce de la îvăţămâtul la dstaţă, dar poate f cercetat cu folos ş de alţ specalşt care utlzează matematca. 6

5 I. ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ Pr formă lară se îţelege o eprese de ma multe varable toate la puterea îtâa. E a + a + + a ude a sut coefceţ, de obce umere reale, ar sut varable. Aceste epres lare sut frecvet utlzate î modelele ecoomce, deoarece î ecoome apar formule cum ar f S q p, ude S este suma obţută, q cattatea de marfă ş p preţul utar. Dacă dorm să achzţoăm sumă vom avea ma multe produse dar să e îcadrăm îtr-o aumtă deumrea "Programare lară" pe care o vom studa î uul d captolele următoare. Uul d prcpalele subecte al algebre lare îl costtue au fost studate ş sut utle oţule de matrce ş determat precum ş propretăţle acestora. q p + q p + + q p S. Astfel de epres apar ş î modelele matematce cuprse sub sstemele lare care au fost studate ş î lceu. Î cotuare dorm să evdeţem câteva propretăţ o precum ş a uor metode o de rezolvare a acestora. Legat de sstemele lare a 7

6 Matrc O matrce este u tablou dreptughular de umere. Ele au apărut pr elmarea dtr-u sstem lar a varablelor ş a semelor de operare rămââd doar coefceţ a j. Dacă î acest tablou luăm terme lber atuc vom obţe aşa umta matrce etsă a sstemulu lar. Reamtm pe scurt câteva operaţ ş propretăţ de bază ale matrclor. Fe A a j a a... a a a... a a m am... a m a j,m j, Egaltatea matrclor. Fe A aj, B b j,,m, j,, A B a j b j. Aduarea matrclor. Se poate face doar dacă A ş B sut de acelaş tp, adcă au acelaş umăr de l ş acelaş umăr de coloae. C A + B C c j a j + b j c j,m j, Atuc Îmulţrea cu u scalar. Fe K u umăr real sau comple. K A Ka j,m j, Îmulţrea a două matrc se poate face doar dacă umărul de coloae de la prm a matrce este egal cu cel de l de la a doua. Fe dec: 8

7 A a,m j,p B b j, p j, avem că AB C c ude j c p,m j j, a b. j Matrc partculare Matrcea zero este matrcea care are toate elemetele egale cu zero. Se otează de obce cu 0. m, zero î afară de cele de pe dagoala prcpală care sut egale cu, a dcă îmulţrea. Matrce utate. Este o matrce pătrată avâd toate elemetele I δ j ude δ j 0 dacă j dacă j Are propretatea că A I I A, matrce A cu care se poate face Matrce dagoală este matrcea care are elemete dferte de zero uma pe dagoala prcpală, î rest toate fd egale cu zero. Ş pe dagoala prcpală uele elemetele pot f zero. Matrce trughulară. O matrce care are toate petru < j se umeşte "trughulară feror". elemetele de sub dagoala prcpală egale cu zero, se umeşte "trughulară superor" A a j, ude a j 0 petru > j. Dacă e vers a j 0 Matrce le este o matrce care are o sgură le respectv matrcea coloaă este aceea care are o sgură coloaă. 9

8 Ragul ue matrc A, este umărul dat de ordul celu ma e ts determat dfert de zero care se poate etrage d acea matrce. Se otează cu rag A. Propretăţ ale ragulu. Dacă A rag A m{m,} a j,m j,. Rag A B m {rag A, rag B}.. Ragul ue matrce u se schmbă dacă: a) se traspue matrcea (se schmbă lle ş coloaele ître ele); b) se îmulţesc elemetele ue l sau coloae cu u umăr eul; c) se permută ître ele două l (coloae); d) se adaugă la elemetele ue l (coloae) elemetele ue alte l (coloae) evetual îmulţtă cu u umăr oarecare. Aceste afrmaţ rezultă d propretăţle determaţlor (a morlor de u aumt ord r etraş d matrce). Pr aplcarea operaţlor de ma sus stuaţa uu mor de a f zero sau dfert de zero u se schmbă. Pr "Trasformăr elemetare" aplcate ue matrc îţelegem: ) îmulţrea ue l sau coloae cu u umăr eul; ) permutarea a două l (coloae) ître ele; ) aduarea ue l (coloae) cu o altă le (coloaă). Două matrc ce rezultă ua d alta pr trasformăr elemetare se umesc echvalete. Î baza observaţlor de ma sus rezultă că două matrc echvalete au acelaş rag. 0

9 Se va doved î cotuare că trasformărle elemetare sut foarte utle petru aflarea ragulu, petru obţerea matrc verse, cât ş petru rezolvarea sstemelor lare. Aceste operaţ efectuate doar cu ajutorul determaţlor ş care au fost studate la lceu sut etrem de dfcle ma ales dacă ordul matrce respectv al sstemulu este ma mare. Procedeul practc de aflare a ragulu ue matrc:. Se alege u elemet pvot (de lucru) d matrce.. Se efectuează trasformăr elemetare cu la (coloaa) pe care stă pvotul asupra celorlalte l (coloae) pâă ce pe coloaa (la) pe care stă se obţ uma zerour (eceptâd pvotul).. Dacă pe toată coloaa pvotulu s-au obţut zerour atuc automat pe la lu putem îlocu toate elemetele cu zerour (eceptâd pvotul) sau recproc. 4. Se cotuă acest procedeu producâd cât ma multe zerour pâă câd pe fecare le sau coloaă estă cel mult u elemet dfert de zero. Această formă a matrce o umm forma quasdagoală. Dacă s-ar ma face permutăr de l ş de coloae aceste elemete dferte de zero ar ajuge pe dagoala prcpală ş matrcea ar f dagoală. Acest lucru u este îsă utl după cum se va vedea. 5. Ragul matrc este egal cu umărul de elemete dferte de zero d matrcea quasdagoală obţută.

10 Observaţe. Pozţa elemetelor dferte de zero este utlă î alegerea determ atulu prcpal, ecesar petru stablrea atur uu sstem lar (compatbl, compatbl). Eemplu. Să se determe ragul matrc A L (-) + L L (-) + L Î forma qvasdagoală sut două elemete dferte de zero dec rag. U determat dfert de zero de ord mam ce s-ar putea etrage d această matrce ar f p El a fost găst dacă d matrcea ţală alegem lle ş coloaele corespuzătoare elemetelor dferte de zero d forma qvasdagoală.

11 Iversa ue matrc Problema verse se poate pue doar la matrc pătrate (umărul llor egal cu cel al coloaelor) ş esgulare (determatul ataşat dfert de zero). Matrcea versă are prtre alte aplcaţ u rol eseţal î rezolvarea matrcală a sstemelor lare. Fd dată matrcea A, o altă matrce A - este versa lu A dacă ş uma dacă A A - A - A I. Metoda clască cu complemeţ algebrc studată î lceu este deosebt de greoae petru matrc ma mar. Vom da î cotuare o metodă smplă de a afla versa ue matrc utlzâd trasformărle elemetare. Observaţa. Petru a efectua o trasformare elemetară asupra ue l (sau coloae) d matrcea dată A, putem face această trasformare asupra matrc utate de acelaş ord cu A după care îmulţm matrcea dată A la stâga (respectv dreapta) cu cea obţută d matrcea utate. Observaţa. Fe C, C,, C ş L, L, L m toate trasformărle elemetare pe coloae, respectv pe l ce sut ecesare petru a aduce matrcea A la forma dagoală utate. Dacă aplcăm trasformărle C, C,, C asupra matrc utate de acelaş ord cu A obţem aşa umta matrce a trasformărlor pe coloae pe care o otăm cu C. Aalog pe l ş obţem matrcea trasformărlor pe l L. Teoremă. Petru orce matrce pătrată esgurală A avem

12 I L A C Demostraţe. Acest lucru rezultă pr aplcarea repetată a operaţulor d observaţa. Să presupuem acum că am putut aduce matrcea A la forma utate cu trasformăr elemetare uma pe l. Atuc relaţa d teoremă deve I L A pe de altă parte I A - A Comparâd cele două relaţ rezultă că L A -. Aalog dacă lucrăm uma pe coloae ca să aducem pe A la forma utate vom avea că A - C. Procedeu practc de obţere a verse ue matrc.. Aplcăm trasformăr elemetare uma pe l asupra matrc A pâă ce o aducem la forma utate. Observaţe. Dacă acest lucru u este posbl îseamă că matrcea A u admte versă lucru ce se poate verfca ş calculâd determatul ataşat matrc care ar f fost egal cu zero (matrce sgulară).. Aplcăm aceleaş trasformăr elemetare matrc utate care se trasformă î matrcea L adcă A. - Observaţe. Petru rapdtate efectuăm aceste trasformăr cocomtet asupra matrc A ş I aşezate alătur. Dacă dorm să lucrăm uma cu coloaele aşezăm matrcea A ş I ua sub alta. Trasformărle efectuate le vom scre pe marge. Eemplu. Să se afle versa matrc 4

13 A 0 A I Trasformăr elemetare pe l L (-) + L L (-) + L L L + L + L 0 / / / 0 0 -/ / -/ / / -/ 0 0 4/5 -/5 /5 0 0 /5 -/5 -/ /5 /5 -/5 I A - 5 L L + 5 L + L 5 Se poate verfca reuşta calculelor pr produsul A - A I. Ssteme de ecuaţ lare După umărul soluţlor acest ora sstemele pot f: Ssteme lare: a) compatble:

14 - determate o sgură soluţe; - edetermate o ft ate de soluţ. b) compatble c o soluţe. Pr soluţe a uu sstem cu ecuoscute se îţelege evdet u -uplu de umere 0 (,,..., ) 0 0 care verfcă toate ecuaţle sstemulu. Vom amt pe scurt codţle ca sstemul lar să fe î ua d cele tre stuaţ. Fe u sstem lar de m ecuaţ cu ecuoscute ş rag r, r<m(m,). r ecuoscute prcpale -r ecuoscute secudare a +a + +a r r + + a b r a +a + +a r r + +a b ecuaţ. p prcpale ar +a r + +a rr r + +a r b r m-r ecuaţ a m +a m + +a mr r + +a m b m secudare Fără a mcşora geeraltatea probleme putem presupue că determatul de ord r dfert de zero care a stablt ragul matrc sstemulu este aşezat î colţul d stâga sus. Acest determat se umeşte determat prcpal p ş împarte ecuaţle ş ecuoscutele sstemulu î prcpale respectv secudare. Ecuaţle sstemulu care au l î p se umesc prcpale ş sut î umăr de r, celelalte secudare sut -r. Aalog cu ecuoscutele. Cele care au coloae î p sut prcpale (r), ar celelalte -r secudare. 6

15 Determat caracterstc car,h se formează d p la care se aduă o le secudară., precum ş coloaa termelor lber (doar cât îcape d fecare). car,h a h Evdet se pot forma m-r determaţ caracterstc, adcă câte uul petru fecare ecuaţe secudară. Problema compatbltăţ sstemelor Vom reamt ma jos două teoreme prcpale care dau codţle ecesare ş sufcete petru compatbltate. Teorema lu Rouché. Codţa ecesară ş sufcetă petru ca sstemul lar S să fe compatbl este ca toţ determaţ caracterstc să fe ul. Această teoremă spue de fapt că orce soluţe a sstemulu prc pal verfcă ş ecuaţle secudare î totaltate. Acest lucru rezultă d propretăţle determaţlor. Se umeşte matrce completă sau etsă a sstemulu S matrcea S' formată d coefceţ ecuoscutelor la care se adaugă ş coloaa termelor lber. Teorema lu Kroecer-Capell. Codţa ecesară ş sufcetă ca sstemul lar S să fe compatbl este ca ragul lu S să fe egal cu ragul matrce complete S'. p...a hr b M b r b h 7

16 Se observă rolul mportat jucat de rag î studul sstemelor. După verfcarea compatbltăţ sstemulu, ecuaţle secudare pot f îlăturate, reţâdu-le doar pe cele prcpale care formează sstemul prcpal. Problema determăr sstemelor Se compară ragul r cu umărul ecuoscutelor. a) Dacă r u avem ecuoscute secudare ş sstemul este determat. El are o sgură soluţe care se poate determa de eemplu pr regula lu Cramer. b) Dacă r< atuc avem -r ecuoscute secudare care vor f trecute î membrul do, avâd rol de parametr. Sstemul este edetermat, adcă are o fttate de soluţ. Observaţe. Î problemele ecoomce cele ma îtâlte ş ma mportate sut sstemele compatble ş edetermate, care au o ftate de soluţ, d care ecoomstul trebue prtr-o metodă specală să aleagă soluţa optmă. Ş sstemele compatble au u rol pr faptul că dcă specalstulu că restrcţle mpuse sut prea tar ş î cosecţă problema studată u are soluţ. Evetual trebue modfcate o parte d codţ. Eemplu. Să se rezolve sstemul + y 4z + u + y z + 7u + y 4z 9u Matrcea sstemulu este 8

17 4 A Se obţe uşor rag S ude am al es p. Rezultă că ecuoscutele prcpale sut y ş z, ecuoscutele secudare ş u, ecuaţle prcpale prmele două, ecuaţe secudară a trea. Estă u sgur determat caracterstc 4, 0 4 car Rezultă că sstemul este compatbl ş aume edetermat. El se ma poate scre: 9 y 4z u S y z 7u Pr rezolvare cu o metodă elemetară se obţe: y 5 5 u, z 6u Mulţmea soluţlor sstemulu depde de do parametr ş u {, 5 5u, 6u, u} ude, u R. Îtrebăr de cotrol ş eercţ. Ce este determatul prcpal ş câţ pot f?. Ce legătură estă ître ragul sstemulu, umărul ecuaţlor ş cel al ecuoscutelor.. Î ce stuaţe se află sstemele petru care avem: a) m 7, 6, r 5

18 b) m 5, 7, r 5 c) m 6, 6, r 5 d) m 4, 6, r 5 ude m umărul ecuaţlor, umărul ecuoscutelor ş r ragul. 4. Ce sut ecuoscutele secudare ş ce rol au ele î rezolvarea sstemulu. 5. Cum pot f scrse toate soluţle î cazul sstemelor edetermate ştd că acestea sut o ftate. 6. Folosd trasformăr elemetare să se determe versele următoarelor matrc ş 7. Să se determe ragul următoarelor matrc Metode de rezolvare a sstemelor lare Metoda lu Cramer, cu ajuto rul determaţlor, deve foarte greoae dacă sstemele sut ma mar adcă tocma cazul problemelor ce prov d ecoome. Nc char utlzarea calculatorulu u este de mare ajutor. 0

19 Vom da î cotuare două metode smple ş utle petru astfel de ssteme de mărme mjloce 0 0 ecuaţ. Algortmul lu Gauss petru ssteme lare Fe sstemul a + a + + a b a + a + + a b a m + a m + + a m b m Împărţm prma ecuaţe cu a 0. Îmulţm oua ecuaţe respectv cu -a, -a,, -a m ş o aduăm respectv la ecuaţle a doua, a trea ş aşa ma departe. Obţem astfel sstemul + a a a + a b b... a m am b m Vom face u lucru aalog cu ecuaţa a doua apo a trea acţoâd doar asupra ecuaţlor de ma jos. Î fal vom avea forma + c + c + c c + c + c d d d... d Sstemul de ma sus se rezolvă etrem de uşor îlocud varablele de jos î sus. Pe parcursul algortmulu pot apărea următoarele stuaţ:

20 a) coefceţ ecuoscutelor ue ecuaţ dev toţ ul ar termeul lber este dfert de zero. Î acest caz sstemul este compatbl ş rezolvarea se sstează. b) coefceţ ecuoscutelor ue ecuaţ, clusv termeul lber corespuzător sut toţ ul. Î acest caz această ecuaţe dspare. Ma smplu aceste operaţ se pot face drect pe matrcea completă a sstemulu, e ma trebud să screm varablele ş semele de operare. Eemplu: Să se rezolve sstemul Avem matrcea ~ ~ ~ Sstemul deve ~

21 c are adm te solu ţa,, -. Metoda elmăr complete (Gauss-Jorda) Se bazează pe efectuarea de trasformăr elemetare asupra matrc etse a sstemulu producâd cât ma multe zerour pâă ce î locul matrc A a s stemulu se va obţe matrcea utate. Se lucrează evdet smulta ş asupra termelor lber. Î fal se poate ct drect soluţa sstemulu. Reamtm că această metodă poate f utlzată ş petru obţerea matrc verse lu A, care la râdul e poate serv la rezolvarea matrcală a sstemelor lare. Eemplu: Folosd metoda elmăr complete a lu Gauss- Jorda să se rezolve sstemul Calculele se vor orgaza îtr-u tabel, ca ma jos. Pe margea tabelulu se recomadă să efectuate. + screm trasformărle elemetare ce au fost 4 b Trasformăr elemetare - L (-)+L Se alege elemetul d L (-)+L dreptugh ca pvot L ()+L L (-4)+L

22 L (-/4) apo L (-)+ Rezultă soluţa sstemulu L L (-)+L ecuoscută secudară (parametru) Eemplul : Să se rezolve sstemul b Trasformăr elemetare / 0 -/ 0 0-5/ L (-)+L L (-)+L 6 L (-/) apo L(-)+L L ()+L / L (-/5) apo / L(-/)+L -5/ L(/)+L

23 Soluţa este Estă ş alte metode eacte de rezolvare petru sstemele lare: Metoda matrca lă, metoda radcalulu etc. E stă ş metode apromatve care permt rezolvarea char a uor ssteme foarte mar, de ordul sutelor de ecuaţ. Probleme propuse: Să se rezolve următoarele ssteme pr metoda elmăr complete: a) + 9 b) Spaţ vectorale (lare) Vom îcerca să facem legătura dtre oţuea de vector sub forma geometrcă cuoscută de la fzcă ş forma aaltcă care va f folostă î captolul următor. Descompuerea uu vector după tre drecţ î R Vectorul v r se descompue folosd regula paralelogramulu î 5

24 M(a,b,c) v r v r r r j v r v r r u r vector utar otaţ cu r r r, j, r r r v u + v r r r apo u v + v adcă r r r v v + v +. v Vom cosdera pe fecare aă câte u vector stadard de modul avâd acelaş ses cu aa. Aceşt se umesc versor. Vector v r, v r, v r se pot eprma cu ajutorul versorlor ş a uor costate a, b, c. Putem scre v r v r +v r +v r r r r a + bj + c (a, b, c ). Cu alte cuvte estă o corespodeţă buvocă ître mulţmea vectorlor ş a tr pletelor de umere. Cele tre umere sut de fapt coordoatele puctulu M d vârful vectorulu. a j Î R u vector se poate eprma ca u -uplu de umere v r (a, a,, a ), v r (a, a,, a ) se umesc compoete ale vectorlor. Prmul dce dcă vectorul, al dolea, umărul compoete î vector. Î captolul următor vom lucra mult cu ssteme ş matrc, lle ş coloaele acestora pot f prvte ca vector. Vom folos frecvet deumrle de vector le sau vector coloaă. Operaţle cu vector ş propretăţle acestora sut utle î operaţle cu ssteme ş matrc. Petru că vector (l sau coloae), matrcle, sstemele lare ş îcă alte câteva epres algebrce au propretăţ comue este dcată 6

25 o scurtă prvre asupra oţu de spaţu lar sau spaţu vectoral, ca structură algebrcă. orce două elemete, y d S ş orce umăr α (scalar) d K R se poate def o sumă + y S ş o multplcare (produs) α S astfel îcât orcare ar f, y, z S ş α ş β K să fe verfcate următoarele aome:. + (y + z) ( + y) + z. + y y opusul lu, aşa ca + ( ) 0 7. (αβ) α(β) 8. Defţe. O mulţme S se umeşte spaţu lar dacă petru estă î S u elemet eutru (zero) aşa ca + 0 fecăru elemet S se ataşează u alt elemet S umt 5. α ( + z) α + αy 6. (α + β) α + β Defţe. U sstem ft de elemete {,,, } dtr-u spaţu lar S se umeşte lar depedet dacă d faptul că rezultă a a a 0. α + α + + α 0, a K Dacă estă scalar a, a,, a K aşa ca relaţa de ma sus să abă loc, rezultă că {,,, } este u sstem lar depedet. Defţe. U sstem de elemete (vector) b B {b, b,, b } 7

26 dtr-u spaţu lar S se umeşte bază a spaţulu lar, dacă:. B este o mulţme lar depedetă ş. B este u sstem de geerator î sesul că orce elemet S se poate reprezeta ca ş o combaţe lară a elemetelor d B, dec S estă u sstem de scalar c, c,, c K astfel îcât 8 c b Cu acest procedeu avâd dată o bază se poate costru tot spaţu l vectoral S. Reprezetarea orcăru elemet d S cu ajutorul ue baze este mcă. Dacă umărul elemetelor (vectorlor) d tr-o bază este atuc orce sstem de + elemete este lar depedet. Defţe. Dacă î spaţul lar S estă o bază B {b, b,, b } formată d elemete atuc se spue că S are dmesuea. Se observă că dmesuea uu spaţu ft dmesoal cocde cu umărul mam de elemete lar depedete care estă î acel spaţu. De eemplu î spaţul R sstemul de elemete E {e, e,, e } ude e (, 0, 0,, 0) e (0,, 0,, 0) e (0, 0, 0,, )

27 este o bază, umtă baza caocă a lu R. Verfcarea depedeţe sau a depedeţe lare a uor vector se face comparâd ragul matrc formate cu toate compoetele sstemulu de vector cu umărul vectorlor ş aume: a) dacă ragul < umărul vectorlor, aceşta sut lar depedeţ; b) dacă ragul umărul vectorlor, aceşta sut lar depedeţ. Noţule d acest paragraf vor costtu lmbajul obşut la modelele ce vor urma. Eercţ: Să se verfce că vector: e (, -,, ) e (,,, ) e (-, -,, ) ş separat vector f(-, 0, -8, 6) f (5, 6, -, 6) f (-, 5, -, 7) e 4 (-,,, ) f4(, 0, -0, 5) 4 sut depedeţ, dec formează o bază î R. 9

28 II. PROGRAMAREA LINIARĂ Noţuea "program" sau pla se referă la stablrea uor date, cattăţ, ecesare a f produse, cumpărate, sau vâdute beîţeles î aşa fel ca totul să se stueze î pozţa optmă (mmă sau mamă). Prof t mam, cheltuel mme, tmp de producţe mm etc. Dacă fucţle ş epresle ce servesc la puerea probleme sut lare atuc modelul matematc se umeşte programare lară. Î afară de acest model ma estă ş altele ca programarea pătratcă, programarea stohastcă, programarea damcă, programarea parametrcă, etc. Eemple:. Orgazarea optmă a producţe O îtreprdere urmează să producă tpur de produse P j, j, pr utlzarea a m tpur de resurse R,,m. Se cuosc coefceţ tehc a j (adcă cattatea d resursa 0 R ecesară producer ue utăţ d produsul P ), cattăţle dspoble b d resursele R, j, m ş beefcle utare c j petru fecare produs P j, j,. Să se îtocmească plaul (programul) optm de producţe al socetăţ, astfel îcât beefcul total să fe mam. Restrcţle ce vor apărea se datorează lmtăr resurselor, ar fucţa de optmzat (mamzat) este char fucţa ce repreztă beefcul total. Să otăm cu, j j, cattatea ce se va produce

29 d produsul P j. Vom costata că modelul matematc al probleme propuse este () a + a a b a + a a b am + am am b () j 0, j, () f' c + c + + c mamă Dacă otăm cu A ( ) a j,m j, m matrcea coefceţlor tehologc c u B (b, b,, b m ) vectorul cattăţlor dspoble cu C(c, c,, c ) vectorul beefclor utare ş cu X(,,, ) vectorul ecuoscutelor, atuc modelul matematc precedet se scre sub forma matrceală ma smplă A b 0 f c mamă. Problema raţe optme Se cosderă substaţele utrtve S,, m ecesare veţ d care trebue asgurate zlc cattăţle b,, m. Asgurarea acestor substaţe se realzează pr cosumarea almetelor A j, j, care coţ acele substaţe î proporţ date. Cuoscâd cattăţle a j d substaţele S ce se găsesc î almetele A j,, m, j, precum ş

30 costurle utare c j ale almetelo r A j, j,, să se îtocmească o raţe optmă adcă costul raţe să fe mm. Dacă otăm cu j cattatea ce se va cosuma d almetul A j modelul matematc deve: Sau matrceal a + a a b a + a a b... am + am am b j 0, j, f' c + c + + c mmă A b 0 Modelul matematc al acestea este f c mmă. Observaţe. Se va vedea î cotuare m că la problemele de programare lară este utl ca restrcţle să fe sub forma uor egaltăţ, adcă să avem aşa umta problemă caocă sau stadard. A B 0 f c optmă (mamă sau mmă) Rezolvarea probleme de programare lară Metoda de rezolvare a vom dezvolta pe aşa umta formă caocă (stadard) pe care o vom scre ma jos dezvoltat. Vom vedea

31 că da că problema practcă va coduce la restrcţ ce u sut egaltăţ acestea se pot adapta petru ca problema să devă sub forma caocă.. adcă Forma stadard este compusă d tre elemete:. Sstemul lar (ce prove d restrcţ). Codţle de eegatvtate Fucţa de scop, de optmzat, care este tot lară. a + a a b a + a a b... am + am am b j 0, m () j, () f' c + c + + c () Î cotuare vom presupue că sstemul () este compatbl edetermat, adcă are optmulu u ma are ses. o de soluţ, î caz cotrar problema găsr Clasfcarea soluţlor. So luţe posblă a probleme de programare lară, este orce vector (-uplu) car e verfcă sstemul () ş codţle de eegatvtate ().. Soluţe de bază este o soluţe posblă care are cel mult m compoete strct poztve, restul fd zero.

32 Reamtm că m este umărul ecuaţlor prcpale (egal cu ragul). Soluţa de bază se obţe câd ecuoscutele secudare se au egale cu zero.. O soluţe de bază se zce degeerată dacă umărul compoetelor strct poztve este ma mc decât m. Soluţle de bază sut mportate deoarece se arată că soluţa optmă căutată este ua dtre soluţle de bază. Petru soluţa optmă fucţa de scop îş atge valoarea mamă î cadrul problemelor de mam ş respectv mmul î cadrul problemelor de mm. Algortmul Smple Este ua d cele ma mportate ş uşoare metode de rezolvare a problemelor de programare lară. Are la bază metoda elmăr complete de rezolvare a uu sstem de ecuaţ lare, care este adaptată petru găsrea uma a soluţlor cu compoete eegatve ş î fal a so luţe petru care fucţa lară f are valoare optmă. Metoda de rezolvare este descrsă petru forma caocă a probleme. Î practcă îsă u totdeaua trascrerea probleme ecoomce coduce la sstemul stadard. Î forma geerală u sstem poate să coţă egaltăţ de ambele sesur ş egaltăţ. Petru trasformarea probleme de la forma geerală cu egaltăţ la forma stadard uma cu egaltăţ vom troduce ecuoscute o umte ecuoscute de compesare sau artfcale sau alţ le spu ecart. De eemplu la egaltatea 4

33 a + + a b Se adaugă î membrul îtâ + 0 ş ecuaţa deve a + + a + + b. Petru o restrcţe de forma a + + a b Se va cosdera ecuoscuta de compesare + 0. Toate varablele trebue să respecte codţle de eegatvtate. Î acest caz ecuaţa deve a + a + + a + b Pr troducerea e cu semul mus se obţe mcşorarea corespuzătoare a membrulu îtâ. Numărul de varable de compesare ce trebuesc troduse este evdet egal cu umărul de egaltăţ. Ueor se troduc varable de compesare, sau artfcale char ş î egaltăţ câte ua dstctă petru fecare ecuaţe petru a obţe de la bu îceput o soluţe de bază, care î acest caz este formată uma d varable de compesare. Î fucţa de efceţă ecuoscutele de compesare se troduc cu coefceţ egal cu zero. Varablele artfcale se vor rula î cadrul algortmulu de rezolvare ş î geeral vor f elmate treptat. Eemplu: Să se găsească mamul forme lare f dacă varablele verfcă următoarele restrcţ: j 0, j, 4 5

34 Dăm ma jos forma stadard î care se trasformă problema de ma sus după troducerea varablelor de compesare toate eegatve ma f y j 0, j,8 Algortmul smple este o metodă geerală ş foarte practcă petru rezolvarea problemelor de programare lară. Ea a fost descrsă petru prma dată de G.B.Datzg î 947. Ea are la bază metoda elmăr complete de rezolvare a uu sstem de ecuaţ lare dar oretată î permaeţă după scopul urmărt adcă optmzarea fucţe de scop (efcetă). Ua d teoremele mportate ale programăr lare afrmă că soluţa optmă dacă estă trebue să fe ua de bază. Etapele algortmulu Smple sut:. Aducerea sstemulu la forma caocă (stadard, cu egaltăţ);. Găsrea ue soluţ de bază (cu umere, compoete poztve ş restul zero);. Trecerea de la o soluţe de bază, la alta ma buă decât ea, î sesul optmulu euţat. Ma precs: 6

35 a ) Dacă petru fucţa de scop se cere mm, atuc trebue să geereze o valo area m a m că dec ât cea vec he. b) Petru fucţa de s cop la car e se c ere ma m v ers. Soluţa opt mă u se caută la îtâmplare prtre cele de bază c drjat verfcâd permaet u crt eru de îmbuătăţre a fucţe de efce ţă. 4. Găsrea soluţe optme ş aflar ea valor optme a fucţe de efce ţă. Evdet se foloseşte u crteru care stableşte dacă s-a ajus la valoarea optmă ş fucţa de scop u ma poate f îmbuătăţtă. Vom lua pe râd aceste etape dcâd ş operaţle de desfăşurare a acestora. A. Petru determarea ue soluţ de bază vom utlza metoda elmăr complete (Gaus-Jorda). Presupuem că am produs zerour pe prmele m coloae (m ) adcă î bază se află prmele varable,,, m (sau î altă eprmare vector P, P,, P m ). Reamtm că ue coloae corespuzătoare ue varable se ma spue vectorul coloaă P. Matrcea sstemulu deve Dacă toţ b' 0, b' m, 0 0) a a a m,m+ 7 a a m b... b m,m+,m+... a b ,m soluţa de bază este B (b', b',,...

36 Petru această soluţe B fucţa de scop deve f(b ) c b j B. Schmbarea baze găsrea alte soluţ de bază ma bue. baza veche scoatem u vector P α ş î locul lu puem altul P β. Petru uşurţa calculelor acest lucru j j se face îtr-u tabel ş se lucrează cu trasformăr elemetare. O astfel de operaţe se Fe următorul tabel smple costrut pe baza ţală m Obţerea ue o soluţ de bază se va face pr schmbarea doar a ue sgure varable. Î lmbaj vectoral, spuem că d umeşte pas smple ş comportă ma multe operaţu. Baza P 0 P P P P M P α M b b b M M α 0 P m b m 0 0 M 0 M 0 M 0 M P α P m P P β P 0 0 M M M M a a β a M M a m a β M M a mβ a a 0 aα a αβ a α M M a m Ne propuem să scoatem d bază vectorul P α (varabla α ) ş să troducem î locul lu vectorul P (varabla ). β vector baze se face char cu coefceţ a de pe coloaa vectorulu Observaţe. Eprmarea vectorlor d afara baze î fucţe de P de eemplu: β 8

37 P a P + a P + + a m P m Elemetul a αβ de la tersecţa le α ş coloae β se umeşte elemet prvot sau de lucru.. Prma operaţe este împărţrea le α cu elemetul prvot obţâd valorle θ aα,,,,. a αβ. Apo producem zerour pe toată coloaa prvotulu ma puţ î locul acestua ude rămâe. Elemetele o matrc vor f: a j a j θa j a β θ β, j,m { α} Urmărd acum ca soluţa ou ă să fe de asemeea o soluţe de bază, adcă cele m compoete dferte de zero să fe poztve trebue să avem satsfăcute egaltăţle: b j - θ a jβ > 0,, m { α} j. Petru că umerele b sut poztve (ele aparţeau vech baze) petru a f satsfăcute egaltăţle de ma sus este sufcet ca petru θ poztv să avem a jβ poztv ş j b j 0 < θ <. a Rezultă dec că umărul poztv θ să fe valoarea mmă poztvă a rapoartelor b j / a jβ. Î cocluze: jβ 9

38 U vector P β (varablă β ) d afara baze poate f trodus î baza ouă dacă are compoete poztve. Alte combaţ de seme ar îgreua metoda utl. Petru farea vectorulu P α (varable α ) care se scoate d bază se determă umărul poztv b θ m j b + j a jβ a cosderâd că j a doar valorle care corespud coefceţlor poztv a. jβ Rezolvarea practcă a trecer de la o soluţe de bază la alta, adcă de la u tabel smple la următorul se realzează pr aşa umta metodă smple. Calculele se efectuează î următoarele etape:. Farea vectorulu P β (varable β ) care se troduce î bază.. Calcularea rapoartelor poztve b j / a jβ petru determarea umărulu θ cu ajutorul căru a aflăm vectorul P α (varabla α ) care se scoate d bază.. Determarea î oul tabel smple a elemetelo r de pe la corespuzătoare vectorulu P β trodus î bază adcă a umerelor θ cu relaţ le b θ a α αβ, θ a α αβ α a αβ adcă împărţrea le α cu elemetul pvot. 4. Determarea î oul tabel smple a elemetelor de pe celelalte l cu relaţle 40

39 b b θ A s a a θ a, j, m j j jβ j j jβ { α} Această ultmă etapă se poate rezolva uşor ş rapd pr aplcarea aşa umte regu l a trughulu dreptugh c: U elemet d oul tabel smple se obţe scăzâd d elemetul stuat î vârful ughulu drept produsul elemetelor de la etremtatea poteuze. Rezultatul se pue î oul tabel, î loc ul corespuzător celu ocupat de cel d vârful drept d vechul tabel, după schema. b j a jβ a j a jβ θ θ Eemplu: Să se îtocmească tabelele smple corespuzătoare soluţlor de bază, petru următorul sstem: j 0, j,6 tră varablele 4, 5, 6 (vector P 4, P 5, P 6 ). să b' j Se observă că o soluţe de bază este (0,0,0,7,,0) dec î bază Observaţe. Petru sstematzarea calculelor se recomadă ca se aşeze tabelele smple î cotuare ş cu o coloaă petru rapoartele b j / a jβ. Petru eemplul de ma sus vom avea următoarele calcule: a' j 4

40 Eemplu: b 5 7 ; a 5 4 Baza P 0 P P P P 4 P 5 P 6 a jβ 7 P θ P P P P P P 8 9 P P 6 9 P b 7 : 0-0 j 7 58 : 9 θ : θ P P : Tabele S S I P β P S II P β P S III Pβ P 4 S IV 4

41 Determarea soluţe optme a probleme de programare lară Problema programăr lare costă, î determarea valor op tme (mme sau mame) a fucţe de efceţă (sau de scop) care este ş ea lară aspecte: f () j 4 c j j Î vederea obţer scopulu fat va trebu să urmărm două. Găsrea uu crteru, care să dce că o soluţe de bază ouă este ma buă decât cea veche, î sesul optmulu fucţe de efceţă.. Stablrea uu crteru, care să dce că optmul a fost ats ş u ma este ecesară schmbarea baze. Petru aceasta vom studa varaţa fucţe de ef ceţă la schmbarea soluţe de bază. Fe z 0 valoarea fucţe de efceţă f corespuzătoare prme soluţ de bază ad că m z0 c j j b jc j căc j b j, j,m j j Fe z' 0 valoarea fucţe f corespuzătoare soluţe de bază d tabelul următor, SII adcă recureţă 0 b j j Γ () z c ( ) Dar cum soluţa de bază II se obţe d I pr formulele de j

42 avem b j θa j β j Γ, j α θ j α (4) z0 ( b j θa jβ ) c j + θ cβ b jc j + θ cβ a jβ c j j Γ j Γ j Γ z z 0 β Dacă otăm cu z β a j β c j (5) j Γ vom avea ( cβ zβ ) + θ β z 0 z0 + θ z 0 (6) Observaţe. θ este totdeaua poztv (acest lucru s-a fat î prealabl pr coveţe petru smplfcarea regullor ce trebuesc urmărte, î cazul că se cauză mamul, respectv mmul fucţe de efceţă). a) Determarea mamulu fucţe de efceţă Dacă β c β - z β > 0 cum θ > 0 rezultă z' 0 > z 0 adcă pr trecerea de la o bază la alta valoarea fucţe de efceţă deve ma mare. Cu alte cuvte petru mamzarea fucţe de efceţă sut ecesare următoarele două codţ:. Să este î afara baze cel puţ u vector P β (varablă β ) care să abă cel puţ o compoetă poztvă (a jβ > 0).. Vectorulu ales P trebue să- corespudă o dfereţă poztvă c β - z β > 0. β β 44

43 b) Î cazul căutăr mmulu fucţe de efceţă, sgurul lucru care se modfcă, este că lu P β trebue să- corespudă o dfereţă egatvă β c β - z β < 0 care coduce la z' 0 < z 0. Petru o ma buă orgazare a calculelor, tabelul precedet ecesar pet ru trecerea de la o bază la alta, se va completa cu tre l ş o colo aă, avâd forma de ma j os. c tor cores- Coef- ceţ puză- baze c c M c α M c m Tabelul SI c c cm c c β c Baza P 0 P P P m P P β P P P M P M α P m B B M B α M B m 0 M 0 M 0 0 M 0 M M 0 M a a M a α M a m a β a v M a αβ M a mβ z z 0 z z z m z zβ z z - c -z c -z c- m z m c -z c β -z β c -z c a a M a α M a m 45

44 Completa t î acest mod tabelul SI, umerele z se obţ îmulţd coefceţ c j d prma coloaă cu compoetele vectorulu p ş aduâdu-le. Ţâd seama că î capul coloaelor determate de vectorul p se află stuat coefcetul c, dfereţele c z se scru medat sub z d coloaa respectvă. Evdet, petru vector baze avem z c, dec c z 0. Eemplu. Să se determe mmul fucţe f + 5 î cazul că verfcă codţle j 0, j,6 Este vzblă medat, o soluţe de bază luâd 7, 4, 0, ar ecuoscutele secudare 0, 0, 5 0. Adcă soluţa de 6 bază este (7,0,0,,0,0). Dacă u aveam medat o soluţe de bază aceasta se putea obţe pr metoda elmăr complete studată ateror sau pr adăugarea uor varable artfcale. Î tabelul următor vom lustra secveţa calculelor ecesare petru obţerea soluţe care realzează mmul fucţe de scop. 46

45 c Baza P j P P P P4 P 5 P 6 β 0 P P P , z c -z P P 0-0 P z -9 0 c -z : b j Eplcarea a j calculelor S I Dfereţe c -z <0; este - corespuzătoare vectorulu P β θ Elemet de soluţe (pvot) 4 S II Dfereţe c-z <0; este corespuzătoare vectorulu P 5 β θ4 Elemet de soluţe 5 (pvot) P 4 - P P z c -z S III Nu ma estă dfereţe c -z <0. Valoarea mmă a fucţe a fost atsă petru soluţa: 0, 4, 5 4 0, 5 0, 6 f m -

46 Obţerea soluţe care realzează optmul (î acest caz mmul) este marcată de următoarele codţ: - Nu ma estă dfereţe c -z <0 sau dacă ar ma esta, vectorul corespuzător să u abă compoete poztve, care să servească la calcularea lu θ, petru a putea face u ou pas. Cazul soluţe fte Estă stuaţ î care fucţa de optmzat are u mam ft, adcă valoarea e poate f făcută orcât de mare. Aceasta se îtâmplă dacă estă o dfereţă c j z j poztvă, dar pe coloaa acestea u estă c u elemet poztv care să poată f luat ca pvot. Eemplu. Să se determe mamul forme lare f , fd satsfăcute relaţle de codţ: j , j,,,4. Soluţe. Baza ţală este formată d vector utar P ş P. Avem, calculele următoare: 4 48

47 0-0 b j c j Baza P 0 P P P P 4 a jβ P 0 - P z P P - 0 z Eplcarea calculelor Tabela S S I Mam > ; Pβ P 4 ; θ; P P ; Elemet de α soluţe S II Mam > 0; 6 Nu est ă Pβ; căc P are compoetele egatve Am oprt aplcarea algortmulu smp le la S II; fucţa f() este emărgtă. Problema de programare lară u admte soluţe. Degeerarea î problemele de programare lară Reamtm că soluţa de bază se umeşte degeerată dacă umărul compoetelor sale strct poztve e ste ma mc decât m (ude m este umărul de ecuaţ ), dec cel puţ o ecuoscută prcpală are valoarea zero. Această stuaţe, apar e câd la troducerea î bază a uu vector, estă ma multe elemete poztve care furzează acelaş raport mm. 49

48 Soluţ multple. Soluţa geerală Estă stuaţ î care problema de programare lară are cel puţ două soluţ dstcte care coduc la aceaş valoare optmă. Î acest caz solu ţa optmă geerală se poate sc re ca o combaţe lară coveă a soluţlor depedete obţute. Fe de eemplu X ş X două soluţ optme dst cte atuc X G α X + α X ude α, α 0, α + α. Rezultă că avâd două soluţ optme pr varaţa lu α ş α obţem, de fapt, î fal o ftate de soluţ optme. Evdet pr soluţe se îţelege u -uplu. Î această stuaţe, î practcă, ecoomstul trebue să se hotărasc ă asupra uu sgur rezultat, î cosecţă, va ma mpue o codţe coveabl aleasă care va fa soluţa fără ca optmul să se modfce. Eercţ ş probleme. Îtrebăr de cotrol. Ce este o soluţe de bază?. Câd o soluţ e de bază este degeerată?. Care sut elemetele ue probleme de programare lară stadard? 4. Cum se poate trasforma o problemă de programare lară geerală î ua stadard? 5. Poate avea o problemă de programare lară ma multe soluţ optme dferte. Cum se procedează î cest caz? Eemplu. Să se rezolve, cu algortmul smple, următoarea problemă de programare lară 50

49 j 0, j,4 f ma mă Etapele algortmulu smple vor f parcurse pr îtocmrea următorulu tabel 5 c c B Baza P P P P 4 b e e e P 5 e e P P e P P P / -/ 0 / 5/ - 0 5/ / /7 0 5/7 0 /7 0 0/ /7 /7 5

50 5 z j c j - z j P P P 4 7/ 0 0 5/ -/ 0 0 5/ z j 59/ 5 70/ c j - z j -56/ Î cosecţă, am obţut soluţa optmă, deoarece toate dfereţe c j z j sut epoztve, ş astfel t opt 0,,, cu fma. Să se rezolve următoarele probleme de programare lară j 0, j Răspus: f f ma 95, 4 opt j 0, ,,, j,5 f + mamă,4 mamă 5

51 . 4; opt,0,,4,0 ; opt,,0,, 0 Răspus: ( ) f ma Răspus: j 0, j, 4 f mmă f m 8; opt ( 0,,,,0 ) 5

52 III. ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ Majortatea proceselor ecoomce au ca model matematc o fucţe care poate f de o varablă depedetă, sau de ma multe varable. De eemplu beefcul ue îtreprder depde de ma m ulţ factor care pot f cosderaţ varable depedete: productvtatea muc, preţurle de achzţe, costurle de producţe, perder, cosum de eerge, etc. Fucţle de o varablă au fost î geeral be studate î lceu studul culmâd, î mare, cu obţerea reprezetăr grafce pe care se pot ct, de altfel, toate propretăţle fucţe ş de ude se pot obţe dferte terpretăr ecoomce. Reamtm prcpalele etape petru obţerea uu grafc la fucţle de o varablă:. farea domeulu mam de defţe al fucţe care apo putea f restrâs doar la o zoă de teres;. lmtele la capetele domeulu de lucru;. asmptote (vertcale, oblce sau orzotale); 4. pucte prcpale pe ae; 5. calcularea dervate îtâa ş a semulu acestea petru obţerea mootoe ş a puctelor de etre m; 6. calcularea dervate a doua (uma dacă este ecesar petru preczarea studulu) care e dă tervalele de cocavtate, coetate ş puctele de fleue; 54

53 7. cetralzarea tuturor formaţlor îtr-u tablou de varable ş î sfârşt trasarea grafculu. Petru ecoomşt sut mportate tervalele de mootoe care dcă tredul feomeulu precum ş puctele de etrem care sut î geeral pucte de optm. Î prezet utlzâd calculatorul grafcul ue fucţ se obţe ra pd ş cu mare precze. Ma rămâe doar să se facă terpretărle. Este o geeralzare a formule lu Lagrage. Este utlă î aalza matematcă atât petru studul fucţlor cu o feţe ma mare cât ş petru calcularea valorlor ue uor poloame. fucţ ma complcate, cu ajutorul atuc estă u umăr c cuprs ître a ş I astfel îcât să abă lor relaţa Formula lu Taylor Teoremă. Dacă F : I R este de + or dervablă pe I ( a) 55 ( a) ( f ) ( a) R a f ( ) f ( a) + f ( a) + f ( a) !!! ude R ( a) ( + )! + ( + f ) () c R se umeşte restul sub forma lu Lagrage. Î eseţă formula apromează or cât de be dorm o fucţe f() î orce puct cu u polom. Cu cât este ma mare restul deve ma mc ş apromaţa este ma buă. De asemeea, cu cât puctul este ma aproape de a apromaţa este ma buă. D

54 estmaţa restulu se poate calcula câţ terme sut ecesar petru a obţe o eroare de calcul ma mcă decât cea propusă. Calculatoarele electroce PC ş cele de buzuar pr arhtectura lor utlzează formula lu Taylor petru a calcula fucţ uzuale ca s, cos e, l, etc. Observaţe. Dacă a 0 formula se umeşte a lu MacLaur. Eemple. Petru fucţ ma smple formula se poate aplca drect pr dervarea de ma multe or a fucţe. ( ) Dacă f() e ş a 0 vom obţe ) e f ( ) 0, N. Dec f ( ) ş ( ) e R!!! ) Fe f() l (+), a 0, vom avea ( f ) ( ) ( ) ( ) ( + )! f ( ) + ( 0) ( ) ( )! dec l + ( + ) ( ) R ) Fe f() s, a 0. Fucţa s este deft dervablă, atuc calculâd succesv dervatele obţem Rezultă ( ) 0, f ( 0) ( ) 5, dacă + 56 dacă s +...( ) + R!! 5!! ( )

55 Aalog petru cosus avem cos ( ) + R! 4! 6!! 4) Să se dezvolte î sere MacLaur fucţa α ( ) f : (-, ) R, f() ( + ), α R, α 0,,, Fucţa admte dervate de orce ord î puctul 0. Avem: f () () α (α -) (α - + )( +) α- f () (0) α(α - ) (α - + ) Formula lu MacLaur deve:! α ( ) + α + α( α ) α ! ( α )...( α + )! + R Formula de ma sus poartă ş umele de bomul lu Newto geeralzat. Petru dferte valor ale lu α se obţ dezvoltăr petru tot felul de radcal. Fucţ reale de ma multe varable reale Mulţm ş pucte d R. Vecătăţ Reamtm că R este mulţmea sstemelor ordoate de umere reale adcă R { (,,, ) / R} S-a văzut că R se poate orgaza ca u spaţu lar (vectoral) faţă de operaţle de aduare a două elemete d R ş îmulţrea cu scalar d R. Defţe. Aplcaţa d: R R [0, ) se umeşte dstaţă dacă:

56 ) d(, y) 0, (, y) R R, d(, y) 0 y ) d(, y) d(y, ) ) d(, z) d(, y) + d(y, z) Observaţe. Dacă (,,, ), y (y, y,, y ) sut două elemete d R atuc se vede uşor că verfcă aomele dstaţe d (, y) ( ) 58 y petr u d(, y) - y ş d(, y) ( ) ( ) y + y. Defţe. Fe 0 R ş r > 0 atuc mulţmea S r ( 0 ) { R / d(, 0 ) < r} se umeşte sferă deschsă cu cetrul î 0 ş de rază r(sau hpersferă). Orce mulţme V R este o vecătate a puctulu 0 dacă estă o sferă deschsă cu cetrul î 0 clusă î V, adcă 0 r 0 î aalză ca puct aderet, puct froteră, puct de acumulare, puct teror, puct zolat. Î cotuare vom lucra frecvet cu fucţ de două varable, petru smpltate ş uma ueor vom trata cazul cu varable. geeral. S ( ) V Rezultă că îsăş aceste sfere formează u sstem de vecătăţ î R. Cu ajutorul acestor vecătăţ se pot def oţu mportate Rezultatele de la două varable se pot etde uşor la cazul

57 Fe A R u umăr real. ş f A R. Valoarea fucţe î puctul (, ) este Defţe. Spuem că l R este lmta fucţe f î puctul (a, b) dacă ε > 0, δ(ε) > 0, astfel ca orcare ar f (, y) (a, b) cu propretatea - a < δ(ε) ş y - b < δ(ε) să avem f(, y) - l < ε. Defţe. l lm f (, y) dacă petru orce şr de pucte a y b A(,y ) cu propretatea (, y ) (a,b) ş (, y ) (a, b) avem f(, y ) l. Defţe. Fe A R, f : A R ş (a, b) A. Spuem că f este cotuă î puctul (a, b) dacă lm f (, y) î plus f (, y) ( ) a y b estă ş este ftă ş lm f a,b. Dacă î cele două defţ ş (.y) ( a,b) de ma sus îlocum l cu f(a, b) obţem două defţ echvalete petru cotutate. Eemplu. Fe fucţa (, y) y f + y 0 (, y) ( 0,0 ) (, y) ( 0,0 ) Această fucţe u este cotuă î orge, ba char f c u are lmtă î orge. Fe şrul (, y ) aşa ca y λ,ude λ este u parametru real ş (, y ) (0, 0). Dacă 0 y 0. Avem 59

58 λ lm f (, y ) + λ 0 y 0 Valoarea lmte depzâd de λ u are lmtă î orge dec u e c cotuă î orge. Dervate parţale Fe A R, f : A R ş (a, b) A (teror). Defţa 4. Fucţa f este dervablă parţal î raport cu î puctul (a, b) dacă lm a f (,b) f ( a,b) a Vom ota această lmtă cu f' (a, b) sau estă ş este ftă. ( a,b) f ş o vom um dervata parţală de ordul îtâ a fucţe f î raport cu varabla î puctul (a, b). Defţa 5. Fucţa f este dervablă parţal î raport cu y î puctul (a, b) teror lu A dacă estă ş este ftă. lm y b f ( a, y) f ( a,b) y b Vom ota aalog această lmtă cu ( a,b) ( a,b) f. y Observaţe. D defţe rezultă că atuc câd calculăm dervata parţală î raport cu, varabla y este cosderată costată ş dervăm ca ş cum am avea o sgură varablă. Aalog câd calculăm dervata î raport cu y. Dacă fucţa are ma multe f y 60

59 varable toate celelalte varable î afara cele cu care cosderă costate. 6 se lucrează se Observaţe. Dacă dervatele parţale f' ş f' y sut la râdul lor dervatele parţale î raport cu ş y atuc se pot def dervatele parţale de ordul do. Vom avea î total 4 dervate de ordul do ş aume f f y f f y f f y f f ( ) (, y), y ; f (, y) y y f y y y (, y) ; f (, y) Eemple:. Fe f(, y) 4 y + y 5y y f' 8 y + 6y 5 y + 6 f' 6 y + 6 y 0y +7 y f" y 4 4 f" 4 y + 6y f" y 4 y + y 0y y + y 0y 4 f" y y Fe g(, y) l ( + + y ) f + + y ( + z ) ( + + y ) ; y f y f y y + + y y ( + y ) ( + y ) f f ; y + f y 4y ; ( + + y ) y ( + + y ) f 4y

60 Se observă că î ambele eemple dervatele parţale mte de ordul al dolea sut egale. Această egaltate u are loc î geeral. Crterul următor stableşte î ce codţ are loc egaltatea acestora. Crterul lu Schwarz. Dacă f : A R R are dervate parţale mte de ordul do cotue, îtr-o vecătate a puctulu ( ) ( ) (a,b) atuc f a,b f a,b. y y Teoremă. Dacă f : A R R admte dervate parţale îtr-o vecătate a lu (a, b) ş ele sut cotue atuc spuem că fucţa f este dfereţablă. Defţe. Fe f : A R R dfereţablă î (a, b) teror lu A. Epresa lară df(, y, a, b) ( - a)f' (a, b) + (y - b)f' y (a, b) se umeşte dfereţala fucţe f î puctul (a, b). Observaţe. Dacă ϕ(, y) ş ψ(, y) y, atuc dϕ(, y) d a ; dψ(, y) dy y b d ş dz se umesc dfereţalele varablelor depedete. Ţâd cot de această observaţe dfereţala lu f îtr-u puct oarecare se ma poate scre f f df d + dy y Dfereţalele de ord superor se defesc î mod recuret pr relaţa d f d (d - f) de eemplu 6

61 d f f d f f + ddy + y y dy Î geeral, putem scre smbolc că d f ( ) d + dy f y (, y) Toate rezultatele obţute petru fucţ reale de două varable sut adevărate ş se etd ş petru fucţ de varable. Iterpretăr ecoomce ale dervatelor parţale Fe f R R care admte dervate perţale de ordul îtâ.. Se umeşte valoare margală sau vteza de varaţe a lu f î raport cu varabla dervata parţală a acestea î raport cu adcă VM ( f, ) f (,,..., ). Se umeşte rtm de varaţe a lu f î raport cu varabla epresa R ( f, ) f f (,,..., ) VM ( f, ). Se umeşte elastctate a lu f î raport cu varabla epresa E ( f, ) f f (,..., ) f VM f ( f, ) Dacă se a eemplul peţe de mărfur ude fucţoează legea cerer ş a oferte, ş avem o fucţe care depde de preţurle tuturor mărfurlor, atuc dervata parţală a aceste fucţ arată varaţle cerer câd uul dtre preţur varază. Dacă dervata este de eemplu egatvă ea arată vteza cu care scade cererea petru marfa, câd preţul e creşte. 6

62 Elastctatea e dă o formaţe ma completă a varaţe cerer î raport cu preţul sau, ea repreztă vteza descreşter relatve a cerer petru o creştere relatvă a preţulu sau vers. Dervatele fucţlor compuse Teoremă. Dacă fucţle u ş v : X R, X R au dervate cotue pe X, dacă fucţa f(u, v) deftă pe Y R are dervate parţale cotue pe y atuc fucţa compusă F() f(u(), v()) are dervată cotuă pe X, dată de F ( ) df d f u 64 du d f + v Teoremă. Dacă fucţle u, v : E R, E R are dervate parţale cotue pe E ş dacă f(u, v) are dervate parţale cotue pe G R atuc fucţa du d F (, y) f [u(, y), v(, y)] are dervate parţale cotue pe E R date de: F F y f u f v + u v f u f v + u y v y Eemplul. Să se calculeze dervata fucţe F() f( +, s ) Notăm u +, v s. Avem F ( ) R f u f v f f + + cos u v u v

63 Eemplul. Să se calculeze dervatele fucţe F(, y) f( + y, y) Notăm u + y, v y. Avem F F y f u f v f f + + u v u v f u f v f f + y u y v y u v Formula lu Taylor petru fucţ de două varable Fe f : A R R ş (a, b) u puct teror lu A. Presupuem că f este dfereţablă de cel puţ + or î (a, b) ş că ordea î care se dervează u cotează (dervatele mte de acelaş ord sut egale). Vom cosdera fucţa F(t) f [a + t( a), b + t(y b)], (a, b) A, (, y) A, t [0, ] Petru t 0, F(0) f(a, b) ş t, F() f(, y), F(t) este dervablă de + or pe [0, ], deoarece f(, y) are dervate pâă la ordul + pe A. Aplcâd fucţe F(t) formula lu Taylor (MacLaur) petru fucţle de o varablă avem Cu F!! () F() 0 F ( 0) + F ( ) ( F )( 0) + R R ( ) 65! ( + F ) () c 0 < c <. +! Petru calculul dervatelor F (m) (0)folosm formula de dervare a fucţlor compuse. Vom scre F(t) f((t), y(t)) ude