FUNDAMENTE DE MATEMATICĂ

Transcript

1 Proect cofaţat d Fodul Socal Europea pr Programul Operaţoal Sectoral Dezvoltarea Resurselor Umae 7-3 Ivesteşte î oame! Formarea profesoală a cadrelor ddactce d îvăţămâtul preuverstar petru o oportutăţ de dezvoltare î careră FUNDAMENTE DE MATEMATICĂ Costat NIŢĂ Io CHIŢESCU Program de coverse profesoală la vel postuverstar petru cadrele ddactce d îvăţămâtul preuverstar Specalzarea FIZICĂ Forma de îvăţămât ID - semestrul I

2 FIZICĂ Fudamete de matematcă Costat Nţă Io Chţescu

3 Acest maual a fost elaborat î cadrul "Proectulu petru Îvăţămâtul Rural", proect co-faţat de către Baca Modală, Guverul Româe ş comutăţle locale Nc o parte a aceste lucrăr u poate f reprodusă fără acordul scrs al Msterulu Educaţe, Cercetăr, Teretulu ş Sportulu ISBN

4 CUPRINS Itroducere I Utatea de îvăţare : Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Obectvele Utăţ de îvăţare Spaţ vectorale Operaţ lare Aplcaţ lare 6 3 Ssteme lare 7 4 Algebre Poloame 34 5 Teore Jorda 39 6 Forme blare ş forme pătratce 75 7 Cometar ş răspusur la testele de autoevaluare utatea de îvăţare 88 8 Lucrare de verfcare petru studeţ, utatea de îvăţare 95 9 Bblografe, utatea de îvăţare 96 Utatea de îvăţare : Elemete de aalză matematcă 97 Obectvele Utăţ de îvăţare 97 Recaptularea elemetelor de Aalză Matematcă d lceu 98 Spaţ metrce Spaţ ormate 5 3 Lmtă ş cotutate (reluare) 57 4 Dervabltate 6 5 Dervate parţale ş aaltctate 68 6 Itegrale mpropr 94 7 Itegrale curbl 98 8 Itegrale multple 9 Elemete de teora ecuaţlor dfereţale Cometar ş răspusur la testele de autoevaluare, utatea de îvăţare Lucrare de verfcare petru studeţ, utatea de îvăţare 8 Bblografe, utatea de îvăţare 3 Bblografe 3

5 INTRODUCERE Proectul petru îvăţămâtul rural (PIR) u este u program de îvăţămât superor (este u program de recoverse profesoală), dec u poate substtu o pregătre uverstară sstematcă î domeul respectv (ac fzca) Pe de altă parte, este ecesar ca î urma absolvr programulu prevăzut de PIR, absolveţ să abă o pregătre mmală de tp superor petru a putea să abă o vzue de asamblu ş dtr-o perspectvă ma elevată asupra matere predate, precum ş petru a putea să facă faţă uor stuaţ specale (de eemplu, chestoăr d partea elevlor) Petru a putea parcurge cu succes aceste părţ de vel superor d matere, este absolut ecesar ca respectvul cursat să abă u mmum de cuoştţe de matematcă superoară D această cauză s-a ajus la cocluza că o pregătre mmală î câteva dome de matematcă de vel superor este absolut ecesară Meţoăm că absolvrea programulu d cadrul PIR coferă absolveţlor aumte dreptur, smlare cu cele ale uor absolveţ de îvăţămât superor Toate cele de ma sus demostrează ecestatea parcurger prezetulu modul, î scopul justfcăr dplome de absolvre a programulu de recoverse d cadrul PIR Modulul este structurat pe două utăţ de îvăţare (captole) Prma utate de îvăţare este ttulată Elemete de algebră lară ş teora poloamelor De fapt, î acest captol se preztă oţule ş rezultatele fudametale ale algebre lare îsoţte de câteva chestu de bază legate de teora poloamelor S-a sstat ma mult pe rezultatele prvd aducerea la forma caocă Jorda a matrcelor ş pe teora formelor pătratce, aceste chestu fd ma delcate Utate de îvăţare este ttulată Elemete de aalză matematcă Această utate de îvăţare este mult ma volumoasă decât celelalte d două motve: prmul motv este acela că se îcepe cu o substaţală recaptulare a aalze matematce d lceu (pe care o cosderăm absolut ecesară), al dolea motv este multtudea subectelor trecute î revstă (spaţ abstracte metrce ş ormate, lmtă ş cotutate, dervabltate, dervate parţale, aaltctate, tegrale (mpropr, curbl ş multple), ecuaţ dfereţale) Estă două lucrăr de verfcare, câte ua la sfârştul fecăre utăţ de îvăţare La fecare lucrare de verfcare se dau dcaţ de îtocmre ş trasmtre către tutore Se cere cursaţlor să trateze problemele î ordea care apar Observaţ de fod asupra modulu de rezolvare ş de redactare vor apărea după îtâlrle cu tutor Rezolvărle vor f trasmse către tutor pr poştă sau, dacă este cazul, pr e-mal Evaluarea cotuă se face pr rezolvarea testelor de autoevaluare ş dscuţle la îtâlrle cu tutor Evaluarea fală se face pe baza celor două lucrăr de verfcare ş a eameulu de la fele cursulu Evaluarea cotuă ş evaluarea fală au poder egale î stablrea ote: câte 5% I

6 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Utatea de îvăţare ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ ŞI TEORIA POLINOAMELOR Cuprs Obectvele Utăţ de îvăţare Spaţ vectorale Operaţ lare Aplcaţ lare 6 3 Ssteme lare 7 4 Algebre Poloame 34 5 Teore Jorda 39 6 Forme blare ş forme pătratce 75 7 Cometar ş răspusur la testele de autoevaluare 88 8 Lucrare de verfcare petru studeţ 95 9 Bblografe 96 Obectvele Utăţ de îvăţare După ce veţ parcurge această utate de îvăţare, veţ avea cuoştţe sufcete petru a f capabl să faceţ următoarele operaţ matematce: Idetfcarea lartăţ obectelor sau aplcaţlor care terv î problemă Găsrea elemetelor care caracterzează lartatea probleme Aplcarea formulelor de calcul aferete structur lare sau aplcaţe lare studate Eprmarea î terme teore spaţlor vectorale sau / ş î terme teore aplcaţlor lare a caracterstclor matematce ale obectelor î studu Aaloga cu alte obecte ş studerea lor î cadrul teore algebre lare cu aceleaş metode ca la studul obectulu îtâlt î problemă Cosderarea uor obecte sau stuaţ d cotda, care au structură lară (detfcarea aceste structur la obecte cocrete) Folosrea teore poloamelor ş a ecuaţlor algebrce petru rezolvarea uor probleme apărute î cotda sau î dome aparţâd alte specaltăţ decât matematca

7 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Spaţ vectorale Operaţ leare Vom troduce ş oţuea de operaţe eteră Să cosderăm o mulţme evdă X ş o altă mulţme evdă A (umtă mulţme de operator peste X) Numm operaţe eteră pe X (cu operator d A) orce fucţe : A X X De obce, dacă a A ş X, vom scre (a, ) D a Icdetal, vom folos ş alte otaţ Să cosderăm u grup abela (X, ) (elemetul eutru este X ş versul uu elemet X se otează ) Fe ş (A,, ) u el comutatv Vom admte că avem ş o operaţe eteră pe X cu operator d A, otată ca ma sus, care are următoarele propretăţ: ( )=() ( ) ( y) = () (y) ( ) = ( ) petru orce, y X ş orce, A Î aceste codţ spuem că X este modul peste A (sau A-modul) Î aceleaş codţ, dacă A este char corp ş avem, î plus, petru orce X =, spuem că X este u spaţu vectoral peste A (sau A-spaţu vectoral) Alte deumr: spaţu lar peste A (sau A-spaţu lar) No e vom ocupa ma mult de spaţ vectorale Eemple de module Orce grup abela deve automat Z-modul Ma precs: fe (X,) u grup abela Atuc putem gâd pe Z ca mulţme de operator peste X, operaţa eteră fd deftă astfel: D X petru orce X (ac Z este otat obşut): D ( terme î sumă) dacă N, ş X: m D ( m ) dacă X ş m Z, m< Se verfcă medat că X este Z-modul petru operaţa eteră deftă ma sus Orce el comutatv (A,,) deve A-modul, operaţa eteră fd deftă pr a D a petru orce a A ş A Smlar, dacă (A,,) este corp comutatv, el deve K-spaţu vectoral 3 Reluăm d alt puct de vedere u eemplu ateror

8 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Să otăm pr K pe R sau C Fe ş T o mulţme evdă, precum ş u K- spaţu vectoral X Vom ota: Atuc, dacă otăm ca de obce: vom observa că: X (T)={f : T X } K (T) = { f : T K }, a) K (T) este el comutatv cu utate petru operaţle obşute de aduare ş îmulţre a fucţlor Avem dec elul ( K (T),, ) b) X (T) deve K (T )-modul Operaţle se defesc astfel: ( X (T), ) este grup abela faţă de aduarea fucţlor f g D h, ude h : T X, h(t) = f (t) g(t) (am otat aduarea d X pr ) Dacă u K (T ), atuc operaţa eteră cu operator d K (T ) (ac operatorul este u) se defeşte petru orce f X (T) pr uf D g ude g(t) D u(t) f(t) petru orce tt c) X (T ) deve K-spaţu vectoral Aume, operaţa eteră se defeşte acum petru orce K ş orce f X (T) pr f D h, ude: h:t X, h (t) = f(t) Vom cosdera u spaţu vectoral X peste corpul K (operaţle î K se otează ormal: (K,+, )) Î X aduarea (care dă structura de grup abela) se otează cu, ar elemetul eutru este X X Î K elemetul eutru la aduarea + este, ar elemetul eutru la îmulţrea este Avem şte regul de calcul: () Petru orce K, X: (= X ) (= sau = X ); () Petru orce K, X: (-)=( ) D () D Î epresa ( ) musul este î K, î epresa ( ) musul este î X, ar î epresa () musul este î X Valoarea comuă se desemează dec pr () Î cosecţă, petru orce, K ş,y X avem: ( ) = (de fapt avem egaltatea (+( )) = () ( )) ( y) = y (de fapt avem egaltatea ( ( y)) = () ( y)) 3

9 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Elemetele d X se umesc vector, elemetele d K se umesc scalar, operaţa se umeşte aduare, ar îmulţre cu scalar Să cosderăm î cotuare u umăr ft de vector,,, X U elemet X se umeşte combaţe lară de,,, dacă estă,,, K astfel îcât = Vom scre de obce aceasta sub forma: Sstemul de vector (,,, ) se umeşte lar depedet dacă are următoarea propretate: K, X ( = = = = ) Se ma spue ş că vector,,, sut lar depedeţ Î caz cotrar, spuem că sstemul (,,, ) este lar depedet Aceasta reve la faptul că estă {,,,} astfel îcât: Observaţe Observaţ u u u (uul d vector poate f eprmat ca o combaţe lară formată cu celalţ vector) Se ma spue ş că vector,,, sut lar depedeţ Î defţa de ma sus u am mpus faptul că,,, sut elemete dstcte Se poate costata că, dacă estă j aşa ca = j, atuc automat sstemul (,,, ) este lar depedet:, ude u u u u u = dacă u=j ş u = dacă uj ş u D acest motv, de acum îate, câd e vom refer la depedeţa sau depedeţa lară a uu sstem (,,, ), vom subîţe-lege că,,, sut vector dstcţ Î acest ses, dacă B X este o mulţme evdă, vom spue că B este lberă sau lar depedetă dacă petru orce parte ftă evdă a sa F B avem că F prvtă ca sstemul (,,, ) format cu elemetele lu F este sstem lar depedet (ateţe, avem F={,,, }, dec j j ) Dacă X B rezultă automat că mulţmea B u este lar depedetă Dacă B este lberă ş G B atuc G este lberă Smlar, dacă,,, sut î X (arăş, presupuse dstcte) vom spue că (,,, ) este u sstem de geerator petru X dacă orce elemet X poate f eprmat ca o combaţe lară de,,, (adcă petru orce X estă,,, K aşa ca ) Cu alte cuvte, X cocde cu mulţmea tuturor combaţlor leare de (,,, ) 4

10 Observaţe Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Dacă G X este o mulţme evdă, vom spue că G este o mulţme de geerator petru X dacă petru orce X estă,,, G astfel îcât este combaţe lară de,,, Aşadar, dacă G = {,,, }, a spue că G este mulţme de geerator petru X reve la a spue că (,,, ) este sstem de geerator petru X Dacă G este mulţme de geerator ş H G, atuc H este mulţme de geerator Putem terpreta defţa mulţm de geerator ş î alt mod Vom spue că o submulţme evdă Y X este subspaţu vectoral al lu X dacă are următoarele propretăţ: () Y este subgrup al lu (X,); () Petru orce K ş yy avem yy Rezultă atuc că Y deve, de asemeea, spaţu vectoral peste K (operaţa teră pe Y fd operaţa dusă de pe Y ş operaţa eteră fd dată de :KY Y, (, y)=y) Evdet, cel ma mc subspaţu vectoral al lu X este subspaţul ul Y={}, cel ma mare subspaţu vectoral este subspaţul total Y=X U subspaţu vectoral Y al lu X petru care Y{ X } ş YX se umeşte subspaţu propru Itersecţa ue faml oarecare de subspaţ vectorale ale lu X este, de asemeea, subspaţu vectoral al lu X Fe acum o mulţme evdă A X Estă cel puţ u subspaţu vectoral al lu X care clude pe A, aume Y=X Atuc, putem cosdera tersecţa tuturor subspaţlor vectorale Y ale lu X care au propretatea că Y A Se obţe u subspaţu vectoral care clude de asemeea pe A Vom ota acest subspaţu pr Sp(A) Aşadar, Sp(A) este cel ma mc (î raport cu relaţa de cluzue) subspaţu vectoral Y al lu X petru care Y A D puct de vedere efectv se costată că Sp(A)= mulţmea tuturor combaţlor leare cu elemete d A Cu alte cuvte: Sp(A),,, A ş,,, K astfel îcat (beîţeles, se schmbă odată cu etc) Cele de ma sus arată că avem următoarea echvaleţă petru o mulţme evdă G X: G este mulţme de geerator petru X Sp(G)=X Se umeşte bază a spaţulu vectoral X o submulţme evdă B X care are următoarele propretăţ: () B este lar depedetă; () B este mulţme de geerator petru X O caracterzare alteratvă a oţu de bază este dată de următoarea 5

11 Teoremă Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Fe B X o mulţme evdă Următoarele afrmaţ sut echvalete: ) B este bază; ) Petru orce X estă o famle ucă (,,, ) de elemete B ş o famle ucă (,,, ) de elemete K aşa ca Cu alte cuvte, orce elemet d X se scre î mod uc ca o combaţe lară de elemetele baze Esteţa ş uctatea ue baze îtr-u spaţu vectoral sut date de următoarea teoremă fudametală: Teorema baze Fe X u spaţu vectoral eul peste u corp comutatv K Atuc: I Estă cel puţ o bază B X a lu X II Orce două baze sut cardal echvalete (e dacă B ş B sut baze ale lu X atuc estă o fucţe bjectvă h : B B ) Vedem dec că două baze trebue să abă acelaş umăr de elemete U spaţu vectoral X se umeşte ft dmesoal dacă are o bază ftă Atuc, rezultă d teorema baze că orce altă bază este tot ftă ş are acelaş umăr de elemete Acest umăr comu de elemete dtr-o bază se umeşte dmesuea spaţulu ş se otează pr dm K (X ) Pr coveţe dm K ({ X })= U spaţu care u este ft dmesoal se umeşte ft dmesoal Teorema de completare a baze Fe X u spaţu vectoral Teoremă Dacă A X este o mulţme lberă, atuc estă o bază B a lu X aşa ca B A Dacă YX este u subspaţu vectoral al lu X avâd o bază A, estă o bază B a lu X aşa că B A Î vrtutea aceste teoreme rezultă următoarele: Dacă YX este u subspaţu ft dmesoal ş ZY este u subspaţu al lu X, rezultă că ş Z este ft dmesoal ş avem: dm K (Z) dm K (Y) Dacă YX este u subspaţu vectoral ft dmesoal ş Z Y este u subspaţu al lu X, rezultă că ş Z este ft dmesoal Î mod dual avem următoarea: Dacă X este u spaţu vectoral ş G X este o mulţme de geerator, rezultă că estă o bază B a spaţulu X aşa ca B G Să cosderăm u spaţu vectoral ft dmesoal X cu dm K (X) = ş fe B = {e, e,, e } o bază a spaţulu X După cum ştm, orce elemet X se scre uc sub forma D Elemetul K ( ) determat de se umeşte coordoata de ord a lu î baza B={e,e,,e } 6

12 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Trecerea de la baza B la o altă bază se poate face î câte u pas, îlocud câte u elemet d baza B cu alt elemet, după regula dată de: Lema substtuţe Fe X u spaţu vectoral ft dmesoal peste corpul comutatv K ş B={e,e,,e } o bază a lu X Fe,,, K, e ş {,,,} p Notăm B*={e,e,,e -,, e +,,e } = (B \ {e }) {} I Următoarele afrmaţ sut echvalete: ) B* este ş ea bază petru X p p ) II Admţâd că B* de ma sus este bază petru spaţul X, să cosderăm u vector oarecare vx El se scre î mod uc î cele două baze B ş B* după cum urmează: v e (î B) v p p p p * * pep (î B*) Î mod precs, am otat B*={e *,e *,,e *}, ude e k *=e k dacă k ş e *= de ma sus Atuc avem relaţle: (am scrs D ), *, dacă j * j j j Tot î acelaş cadru ft dmesoal (adcă X= spaţu vectoral peste K cu baza B={ e,e,,e }), vom cosdera u sstem ft de vector (u eapărat dstcţ), aume V=(v,v,,v p ) cu v X Fecare v se scre î mod uc î fucţe de elemetele baze B după cum urmează: v e ; v e ; p p v e Putem forma matrcea M(V)=M(v,v,,v p ) dată astfel: p p M(v,v,,v p )= p p v v v 7

13 Teorema de recuoaştere Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Este o matrce cu l ş p coloae, avâd pe coloaa j coordoatele lu v j î baza B, fapt marcat jos pr v j Observaţ I Sstemul V=( v,v,,v p ) este lar depedet dacă ş uma dacă rag (M(V))=p (dec p ) II Sstemul V=( v,v,,v p ) este sstem de geerator dacă ş uma dacă rag (M(V)) = (dec p ) III Sstemul V=(v,v,,v p ) este bază dacă ş uma dacă p= ş rag (M(V))= (adcă det (M(V))) Ragul ue matrce oarecare ş determatul ue matrce pătrate (otate ca ac cu rag (M(V)) ş det (M(V)) se defesc ca la matrcele cu elemete umerce Î codţle de ma sus, avem, de fapt, egaltatea rag (M(V))=dm K (Sp({v,v,,v p })) Test de autoevaluare a) Sut lear depedeţ vector (,3) ş (3,) î spaţul R? b) Petru ce valor ale lu a R sut vector (,3) ş (3,a) lar depedeţ? Răspusurle la test se vor da î spaţul lber d chear, î cotuarea euţurlor a) Să se arate că vector (,3),(3,) ş (,) sut lar depedeţ b) Îcercaţ să geeralzaţ rezultatul de ma sus (cât de mulţ vector lar depedeţ putem avea?) 8

14 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor 3 a) Este {(, 3), (3, )} mulţme de geerator petru R? b) Petru ce valor ale lu a R mulţmea {(,3), (3,a)} u este mulţme de geerator? c) Comparaţ rezultatele de la b) ş 3 b) Puteţ trage o coclu-ze? Răspusurle la acest test se găsesc la paga 88 a aceste utăţ de îvăţare 9

15 Eemple Eemplul fudametal: K Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Cosderăm u corp comutatv K ş u umăr atural Ca de obce, otăm: K ={(,,, ),,, K} (î cazul =, K =K) Atuc K deve î mod caoc spaţu vectoral peste K, după cum urmează: Structura de grup abela Avem operaţa teră pe K dată astfel: dacă =(,,, ) ş y=(y,y,,y ) K, puem y =( +y, +y,, +y ) Elemetul eutru este K =(,,) ş versul lu =(,,, ) este =(,,, ) Îmulţrea cu scalar Dacă K ş =(,,, )K, avem =(,,, ) Î spaţul vectoral K avem baza caocă {e,e,,e } ude: e =(,,,,,) e =(,,,,,) e 3 =(,,,,,,) e =(,,,,)\ea} Aşadar K are dmesuea, adcă dm K (K )= Dacă =(,,, )K, avem e Dec coordoata de ord a lu î baza caocă este De fapt, orce spaţu vectoral -dmesoal peste K este zomorf cu K Vom lucra î C Cum C este corp (cu operaţle obşute) rezultă că C este C-spaţu vectoral î mod caoc (de dmesue dm C (C)=) Pe de altă parte, C se detfcă cu R, pr detfcarea : C z = + y (, y)r Atuc C deve ş R-spaţu vectoral de dmesuea dm R (C )= Î R- spaţul vectoral C, operaţa teră este aduarea obşută, ar îmulţrea cu scalar d R este dată astfel: dacă R ş z = + y, z=+ y 3 Î spaţul R 3 vector (,, ) D ş (,, ) D y sut lar depedeţ, petru orce umăr R Îtr-adevăr, avem matrcea: My (, )

16 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Avem, dacă rag (M (, y)) = adcă (cu teorema de recuoaştere) ş y sut lar depedeţ 4 Î spaţul C 3 se cosderă vector =(,,) ş y=(,-,), ude C este fat a) Dacă =, avem: My (, ) ş rag (M(,y))= (de fapt, î acest caz y= ) dec ş y sut lar depedeţ Dacă =, avem: My (, ) ş rag (M(,y))= (de fapt, î acest caz y= ) dec ş y sut lar depedeţ b) Dacă ş, vom arăta că ş y sut lar depedeţ Îtradevăr, avem: My (, ) Estă tre mor de ordul do De eemplu, morul este eul dacă Dec rag(m(, y)) =, adcă ş y sut depedeţ 5 Se cosderă î R (sau C ) vector =(,), y=(,-) ş z=(+, ) (ude R (sau C ) este fat) Atuc {, y, z} este mulţme de geerator dacă ş uma dacă Îtr-adevăr, dacă avem: Myz (,, ) ş, dec rag (M(,y,z))= Cu teorema de recuoaş-tere avem: {,y,z} este mulţme de geerator Dacă = avem: Myz (,, )

17 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor ş rag (M(,y,z))= Atuc, d ou teorema de recuoaştere e arată că mulţmea {, y, z} u este mulţme de geerator De eemplu, î acest caz u putem scre vectorul (, ) ca o combaţe lară de, y, z : dacă ar esta u, v, w î R sau C aşa ca (,)=u(,)+v(,)+w(,), ar rezulta (, )=(u+w,u+w), dec u+w= ş u+w=, mposbl Faptul că î cazul mulţmea {, y, z} este mulţme de geerator poate f verfcat ş drect după cum urmează Cosderăm u elemet arbtrar (a, b) d R (sau C ) Avem de arătat că estă umere u, v, w aşa ca u v y w z=(a, b), adcă: u(,) v (, ) w(+,-) = (a, b), ceea ce reve la faptul că: u v ( ) w a u v ( ) w b, a b a b dec u w, v w Se observă că screrea lu (a, b) ca o combaţe lară de, y, z u este ucă (coefceţ u, v depd de parametrul w) Aceasta se eplcă pr faptul că, y, z u sut lar depedeţ 6 Se cosderă vector = (,, ), y = (,, ), z=(,,) Atuc aceşt vector formează bază î R 3 Îtr-adevăr, avem: Myz (,, ) Cum det (M(,y,z))= rezultă că {, y,z} este bază î R 3 7 Să cosderăm u vector arbtrar =(a,b,c) R 3 Ne propuem să screm acest vector ca o combaţe lară de vector baze precedete: u=(,,), v=(,,), w=(,,) Prma metodă Căutăm scalar,, R aşa ca =u v w Dec: (a,b,c)=(,,) (,,) (,,) adcă: a ab b bc c c A doua metodă Vom folos lema substtuţe Plecăm cu baza caocă B=( e,e, e 3 ): e =(,, ), e =(,, ), e 3 =(,, )

18 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Î prmul pas trecem la oua bază B *=(f, f, f 3 ) ude: f = e = (,,), f = (,,), f 3 = e 3 =(,, ) Faptul că B* este bază rezultă d prma parte a leme substtuţe: am modfcat elemetul umărul = al baze B petru a ajuge la B* Noul vector este f =e e, cu coefcetul lu e eul, egal cu De fapt: f = e e 3 e 3 cu =, =, 3 = Scrd =ae be ce 3 =a *f b *f c *f 3, avem atuc: * b b * a aba b * c cb c Aşadar =(a b)f + bf + cf 3 Acum trecem de la baza B*={(,, ), (,, ), (,, )} la baza B**= {(,, ), (,, ), (,, )} modfcâd dec ultmul vector Noul vector umărul = 3 este (,,) Avem (,,)=(,,) (,,) = (,,) (,,) (,,) Atuc vom scre =a**(,,) b**(,,) c**(,,) ude ** c c ** a ( ab) c a b ** b bc b c Aşadar, =(a b) (,,) (b c) (,,) c (,,) recofrmâd prmul rezultat 8 Cosderăm u terval edegeerat IR Notăm (I) = {f : I Rf este cotuă} Atuc (I) este R-spaţu vectoral, operaţle fd cele obşute: Operaţa teră este dată pr f g sut î (I) D h, ude h(t)=f(t)+ g(t) Ac f, g, h Operaţa eteră este dată pr f sut î (I) D g ude g(t) =f(t) Ac R ş f, g a) Fe u umăr atural fat Putem def subspaţul (+)-dme-soal (I) al lu (I), aume: (I) ={f :I Rf este fucţe polomală de grad cel mult } 3

19 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Petru orce p atural troducem fucţa u p :I R, u p (t)=t p, dec u p (I) Atuc B = {u,u,u,,u } formează bază petru (I) Îtr-adevăr, B este sstem de geerator: dacă f (I) este dată pr avea f a u k k k ft () at k k k, vom B este lar depedetă: fe f aku k k =O (I) Dec detc ulă, adcă avem petru orce ti relaţa: au k k este fucţa k k au() t at k k k k k Acest lucru u este posbl decât dacă a =a = =a = etc Putem troduce subspaţul vectoral (I) (I), aume: (I)= () I Dec (I)={f :I R f este fucţe polomală} Atuc (I) este u spaţu ft dmesoal Îtr-adevăr, să presupuem pr absurd că dm R ((I))=< Atuc fe mn, m Rezultă că dm R ( m (I)) = m + > Pe de altă parte m (I) (I), dec dm R ( m (I)) dm R (), dec m + fals Cum (I) (I) rezultă că ş (I) este (cu atât ma mult) spaţu vectoral ft dmesoal 4

20 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Test de autoevaluare a) Să se arate că {(a,a+), (a+,a+)} este bază petru R petru orce a R b) Care sut coordoatele vectorulu (,) î baza de ma sus (petru ar oarecare)? Răspusurle la test se vor da î spaţul lber d chear, î cotuarea euţurlor a) Poate f {(,,3),(,,)} bază petru R 3? b) Puteţ completa mulţmea {(,,3),(,,)} petru ca să obţeţ o bază a lu R 3? Răspusurle la acest test se găsesc la paga 88 a aceste utăţ de îvăţare 5

21 Aplcaţ lare Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Acum e ocupăm de aplcaţ lare (morfsme lare sau morfsme de spaţ vectorale) Cosderăm două spaţ vectorale X, Y peste acelaş corp comutatv K Î X aduarea se otează cu ar î Y aduarea se otează cu Îmulţrea cu scalar se va ota la fel ş î X ş î Y: (,) (petru K, X) ş (, y) y (petru K, yy) O aplcaţe T:X Y se umeşte aplcaţe lară dacă a are următoa-rea propretate: -- petru orce ', '' î X avem T(' '')=T(') T('') -- petru orce K ş X avem T()=T() Rezultă medat că petru orce,,, p K ş orce,,, p X avem p p T T( ) Î partcular T('-'')=T(')-T('') De asemeea, se vede că T( X )= Y Nucleul lu T este subspaţul vectoral al lu X deft pr: ker (T)={ X T()= Y } (cu alte cuvte ker (T)=T ({O y }) Se vede că T este jecţe dacă ş uma dacă ker (T)={ X } Relatv la această oţue vom ma face ş o altă observaţe foarte utlă ş aume: Cosderăm ca ma îate o aplcaţe lară T:X Y ş u elemet b Y Ne propuem să e ocupăm de ecuaţa T()=b (ecuoscuta este ) Avem două posbltăţ Prma posbltate: ecuaţa u are soluţe (reve la faptul că b T(X)) A doua posbltate: ecuaţa are soluţe (reve la faptul că bt(x)) Atuc, fe X o soluţe oarecare Se costată medat că mulţmea tuturor soluţlor ecuaţe este: D S = ker(t) { uuker (T)} Spuem că o soluţe oarecare a ecuaţe este de forma = u= o soluţe partculară (adcă ) plus o soluţe a ecuate omogee ataşate T()= Y (adcă u) Imagea lu T este subspaţul vectoral T(X) Y O aplcaţe lară T:X Y se umeşte zomorfsm lar dacă este bjectvă Î acest caz rezultă medat că ş T este zomorfsm lar (umt zomorfsmul vers al lu T) Evdet că u îtotdeaua două spaţ vectorale peste acelaş corp K pot f zomorfe (adcă estă u zomorfsm lar ître ele) Vom reve medat Dacă X, Y, Z sut spaţ vectorale peste K ş T:X Y, S:Y Z sut lare, rezultă că ş S T:X Z este lară 6

22 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Dacă T ş S sut zomorfsme lare, rezultă că ş S T este zomorfsm lar Fe acum X, Y două spaţ vectorale peste corpul comutatv K ş AX bază, BY bază A da o aplcaţe lară bjectvă T:X Y reve la a da o fucţe U : A B bjectvă Aume, T b U ( b), petru orce b, b,,b A Î partcular, rezultă că două spaţ lare ft dmesoale sut zomorfe dacă ş uma dacă au aceeaş dmesue De eemplu, dacă X are dmesuea, rezultă că X este zomorf cu K Aume, dacă B={b,b,,b } este o bază a lu X ş {e,e,,e } este baza caocă a lu K, u zomorfsm posbl T : X K este dat pr T b e (,,, ) Avem u rezultat geeral prvd aplcaţle lare ître spaţ vectorale ft dmesoale Aume, dacă X ş Y sut spaţ vectorale ft dmesoale peste acelaş corp comutatv K vom avea petru orce aplcaţe lară T : X Y formula dmesu: Dm K (X) = dm K (ker(t))+dm K (T(X)) Recomadăm cttorulu ca, studd cele ce preced, să demostreze următorul rezultat de rgdtate care are două părţ strâs legate: I Fe X u spaţu vectoral de dmesue ftă dm K (X)= peste corpul comutatv K Fe ş,,, elemete î X Următoarele afrmaţ sut echvalete: ) {,,, } este lberă; ) {,,, } este mulţme de geerator petru X; 3) {,,, } este bază petru X II Fe X u spaţu vectoral ft dmesoal peste K ş Y u alt spaţu vectoral ft dmesoal peste K, astfel îcât dm K (X) = dm K (Y) Fe ş T:X Y o aplcaţe lară Următoarele afrmaţ sut echvalete: ) T este jecţe; ) T este surjecţe; 3) T este zomorfsm lar 7

23 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Test de autoevaluare 3 a) Se cosderă u umăr real a Defm aplcaţa T:R R pr T(,y)=+y+a Poate f T lară? Î ce codţ? b) Fe N Î ce codţ este lară aplcaţa T : R R, deftă pr T()=? Răspusurle la test se vor da î spaţul lber d chear, î cotuarea euţurlor a) Cosderăm pe C ca R-spaţu lar Arătaţ că aplcaţa T : C C, deftă pr Tz ( ) z (cojugatul comple) este lară (adcă R-leară) b) Arătaţ că aplcaţa de ma sus u este C-lară (acum cosderăm pe C ca C -spaţu lar) Răspusurle la acest test se găsesc la paga 89 a aceste utăţ de îvăţare 8

24 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Îcheem această epuere a teore prvd aplcaţle lare cu prezetarea legătur ître aplcaţ lare ître spaţ ft dmesoale ş matrce Dacă X ş Y sut spaţ vectorale peste acelaş corp comutatv K vom ota L(X,Y) = {T:X YT este lară} Evdet că ş L(X,Y) deve K-spaţu vectoral cu operaţle obşute (L(X,Y) este u subspaţu al lu Y (X)), vez îceputul paragrafulu) De asemeea, dacă m, sut umere aturale eule, putem costru spaţul,m (K) al tuturor matrcelor j a j m cu elemete aj K ş avâd l ş m coloae Ş acesta este u spaţu vectoral peste K (de dmesue m) cu operaţa teră de aduare obşută a matrcelor ş îmulţrea cu scalar d K dată pr (,(a j ) j ) (a j ) j (îmulţrea obşută cu scalar a matrcelor) Remarcăm otaţa (a j ) j petru o matrce Cosderăm acum două spaţ vectorale ft dmesoale: X cu dm K (X) = m ş o bază U={u,u,,u m } ş Y cu dm K (Y)= ş o bază V={v,v,,v } Vom stabl u zomorfsm lar: :L(X,Y),m (K) Fe TL(X,Y) Î vrtutea lartăţ, a da pe T îseamă a da modul cum acţoează T pe vector baze U, dec a precza: T(u ), T(u ), T(u m )Y (deoarece petru m u j j X oarecare vom avea: j m T( ) T j ( uj )) Fecare elemet T(u j ) este î Y, dec vom scre T(u j ) î baza V: j Tu ( ) av, j=,, m j j cu a j K Î acest mod am pus î evdeţă matrcea: a M(T;U,V)= j j m,m (K) care are pe coloae coordoatele vectorlor T(u j ) î baza V: a a a m a a am a a a m Tu ( ) Tu ( ) Tu ( ) Cu ajutorul matrce M(T,U,V) putem descre î îtregme acţuea aplcaţe T m 9

25 Observaţe Ateţe! Elemete de algebră lară ş teora poloamelor m Aume, fe u j j X arbtrar Vom avea T()=yY, dec y va f de j forma y yv Eprmarea elemetelor y î fucţe de elemetele j dă dec felul cum acţoază T Se costată că deducerea elemetelor y d j se face pr îmulţre formală de matrce: a a a y m a a am y a a a y m m D acest motv matrcea M(T;U,V) se umeşte matrcea operaţe T î perechea de baze (U,V) Dacă X=Y ş U=V, vom ota M(T;U) D M(T;U,U) ş vom um pe M(T;U) matrcea aplcaţe T î baza U Avem rag (M(T;U,V))=dm K (T(X)) Aplcaţa : L(X,Y),m (K) este zomorfsm lar Faptul că este bjecţe (dec versablă) rezultă d faptul că, recproc, petru orce matrce M=(a j ) j,m (K) putem def aplcaţa lară TL(X,Y) dată pr: T jbj yv, j ude y se deduc d y ca î (m) de ma sus Avem atuc T= (M) Avâd î vedere cele două baze fate U ş V, vom folos următoarea otaţe: dacă M,m (K) este dată, aplcaţa T obţută ca ma sus d M se otează pr T=T(M;U,V) ş umm pe T(M;U,V) aplcaţa lară geerată de matrcea M î perechea de baze (U,V) Notaţ smlare: T(M;U) câd U=V etc Î toate cosderaţle făcute prvd legătura ître matrce ş operaţ lare, bazele se cosderă ordoate (ordea î care se scru elemetele baze este eseţală) Izomorfsmul de ma sus are propretăţ suplmetare: A) La compuerea de aplcaţ lare corespude îmulţre de matrce (ş recproc) Ma precs: dacă X, Y, Z sut spaţ vectorale ft dmesoale cu bazele U X, V Y, W Z ş SL(X,Y), T L(Y,Z), vom avea: M (T S;U,W ) =M (T;V,W) M(S;U,V), care se ma poate scre ş astfel (screrea este completă! reflectaţ): (T S)= (T) (S) (m)

26 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor B) Acum, admţâd, î plus, că spaţle vectorale X, Y sut zomorfe ş luâd o bază UX ş o bază VY vom cosdera u zomorfsm lar TL(X,Y) Petru el estă zomorfsmul vers T L(Y, X) Atuc: M(T ;V, U) = (M (T;U,V)) (la verse de aplcaţ corespud verse de matrce) Remarcăm dec că zomorfsmele lare sut caracterzate de matrce de reprezetare versable Test de autoevaluare 4 a) Petru orce umăr real t cosderăm matrcea: cost st At () st cost Demostraţ că A(t) A(s)=A(t+s) petru orce t ş s d R b) Să se arate că A(t) este versablă petru orce tr Să se arate că: (A(t)) =A ( t) Răspusurle la test se vor da î spaţul lber d chear, î cotuarea euţurlor a) Să se determe aplcaţa lară T t geerată de matrcea A(t) de la puctul, petru orce t R b) Este T t versablă? c) Aţ ma îtâlt aplcaţa T t? Răspusurle la acest test se găsesc la paga 9 a aceste utăţ de îvăţare

27 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Remarcă mportată Cttorul trebue să observe mportaţa decsvă petru calcul a faptulu că s-a fat câte o pereche de baze î teora reprezetăr aplcaţlor lare ca matrce -- De obce se lucrează î spaţ K cu bazele caoce Pr trecerea la alte perech de baze, matrcea de reprezetare se schmbă, putâd deve foarte smplă Formele smplfcate (caoce) ale matrcelor de reprezetare formează obectul uu captol al algebre lare Eemple Spaţul dual Cosderăm u spaţu vectoral X peste u corp comutatv K Vom ota: X *={T:X K T este lară} = L(X,K) Atuc spaţul vectoral peste K astfel obţut X * se umeşte dualul (algebrc) al lu X Operaţle d X * au ma fost defte a) Operaţa teră (aduarea): petru *, y* î X * avem: * y * = z * ude z*x*, z*()=*()+y*() b) Îmulţrea cu scalar: dacă K ş *X*, avem * X * dat pr ( *)()=*() Î cotuare vom cosdera că X este ft dmesoal ş fe e,e,,e X o bază a lu X Această bază geerează baza duală a lu X *, aume e *,e *,,e * obţută după cum urmează: Fe < Petru orce p p, avem e *()= p e X Verfcăm faptul că e *,e *,,e este bază petru X* Elemetele e *,e *,,e * sut lar depedete Îtr-adevăr, cosderâd o combaţe lară ulă e *, vom avea petru orce X egaltatea * e ( ) Luâd =e t, vom avea * e ( et) t ş t este arbtrar, t =,,, Elemetele e *,e *,,e * sut u sstem de geerator petru X* Îtr-adevăr, fe * X* Fe petru orce =,,,: *(e )= K Atuc * * e Îtr-adevăr, dacă e t t, vom avea: t * * ( ) ( e ) t t t t t t

28 Pe de altă parte Elemete de algebră lară ş teora poloamelor * * * e ( ) e ( ) e e t t t * e t ( et) etc t Aşadar, spaţle X ş X^* sut zomorfe Izomorfsmul este următorul: h :X X*, h e e Cosderăm aplcaţa lară T : R 3 R, dată pr: * T(,y,z)=(+y+z,+y+z) Calculăm ker(t)={(,y,z) R 3 T(,y,z)= R }, adcă: ker(t)={(,y,z) R 3 +y+z=} Se costată că ker(t) este u subspaţu al lu R 3 geometrcă este aceea a uu pla care trece pr orge) Avem dm R (ker(t))= (reprezetarea Apo Im(T)=T(R 3 )={(u,v)r u=v} după cum se poate verfca uşor Este u subspaţu -dmesoal al lu R, a căru reprezetare geometrcă este prma bsectoare î pla Se verfcă ş formula dmesu: 3 = dm R (X = R 3 ) = dm R (ker(t)) + dm R (Im(T))=+ 3 Î spaţul R 3 cosderăm baza U={u,u,u 3 } ude u =(,,), u =(,,), u 3 =(,,) (verfcarea că U este bază a ma fost făcută) Î spaţul R avem baza V={v,v } ude v =(,), v (,) Vom cosdera matrcea: M 3, care dă aplcaţa lară T(M;U,V) Aume avem îmulţrea formală: 3 y 3 y y z Atuc acţuea lu T este următoarea: T(u yu zu 3 ) = ( + y + 3z) v (y-z) v Avem dec: T(u yu zu 3 )=(+y+3z)(,)(y z)(,)=(+3y+z, y z) Cum îsă: u yu zu 3 = (,,) y(,,) z(,,) = (+y+z,y+z,z), vom recalcula pe T 3

29 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Să luăm acum u elemet arbtrar (a,b,c)r 3 Vom calcula T((a,b,c)) Petru aceasta, vom eprma pe (a,b,c) sub forma: (a,b,c) = (+y+z, y+z, z), dec: y z a ab y z by bc z c z c Atuc: T(a,b,c) = ( + 3y + z, y z) = ((a b) + 3(b c) + c, (b c) c)= =(a+b c, b c) Dacă vom cosdera î R 3 baza caocă: M={e =(,,), e =(,,), e 3 =(,,)} ş î R baza caocă: N={f = (,), f = (,)} putem obţe matrcea lu T î această pereche de baze: T(e )=T(,,)=(,); T(e )=T(,,)=(,); T(e 3 )=T(,,)=(-,-); MTMN ( ;, ) 4 Acum vom lucra î ses vers (ca verfcare) Aume, cosderăm aplcaţa T : R 3 R, dată pr T(a,b,c) = (a+b c,b c) Vom cosdera î R 3 baza U = {u,u,u 3 } ude u =(,,), u =(,,) ş u 3 =(,,) Î R vom cosdera baza V={v,v } ude v =(,), v =(,) Ne propuem să găsm matrcea M (T; U, V) Fe u elemet arbtrar u yu zu 3 d R 3 Vom calcula: T(u yu zu 3 )=v v Petru aceasta vom folos metoda de aflare a matrce î bazele U,V T(u ) = T(,,) = (,) Eprmăm (,) î baza V, dec (,) = v v = (,) (,) = (+, ) Rezultă că += ş =, dec = T(u )=T(,,)=(3,)=v v =(,) (,)=(+, ) Rezultă că + = 3 ş =, dec = T(u 3 )=T(,,)=(, )=v v = (,) (,) = (+, ) Rezultă că +=, =, dec = 3 4

30 Avem dec: Elemete de algebră lară ş teora poloamelor 4 MTUV ( ;, ) regăsd matrcea de la 3, ca o verfcare Dec, la fel T(u yu zu 3 ) = ( + y + 3z) v (y z)v 5 Cosderăm u umăr atural, u terval edegeerat IR ş spaţul vectoral peste R (deja costrut): (I)={f:I Rf este o fucţe polomală de grad } Avem dec dm R ( (I)) = + Cosderăm î acest spaţu baza B = {u,u,u,,u }, ude u k (t)=t k petru k=,,, Defm aplcaţa T: (I) (I) dată pr T(f)=f ' Ne propuem să calculăm matrcea aceste aplcaţ î baza B, dec matrcea M(T;B) (R) Eplcaţ: Avem T(u )= ş T(u k )=ku k- petru k Atuc, cu regula de formare a matrce avem: 3 MTB ( ; ) pe prma coloaă am scrs coordoatele lu Tu ( ) O =u u u ( I) ( I) Pe a doua coloaă am scrs coordoatele lu T(u ) =u u u Pe a trea coloaă am scrs coordoatele lu T(u )=u u u u etc 5

31 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Test de autoevaluare 5 a) Se cosderă aplcaţa T:R R, deftă pr: T(,y) = ( y, + y) Să se arate că T este lară ş să se calculeze matrcea lu T î perechea de baze (U,U) ude U = {(, ), (, )} = baza caocă b) Să se scre matrcea lu T î perechea de baze (V, V) ude V={(, ), (, )} (verfcaţ că V este bază!) Răspusurle la test se vor da î spaţul lber d chear, î cotuarea euţurlor a) Descreţ acţuea ue aplcaţ lare T:R R care are î perechea de baze (U,U) (ude U este baza caocă) matrcea de reprezetare dagoală (adcă a j = dacă j) b) Ivers, dacă V={u,u,,u } este o bază a lu R, calculaţ matrcea de reprezetare a ue aplcaţ lare T:R R care are propretatea că estă t, t,, t î R cu propretatea că T(u ) = t u, =,,, Răspusurle la acest test se găsesc la paga 9 a aceste utăţ de îvăţare 6

32 3 Ssteme lare Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Observaţe U sstem lar este u sstem de forma a a a mm b a a a b a a a b m m m m ude a j ş b sut elemete date î K=R sau C ş,,, m sut ecuoscutele ( K) Spuem că avem u sstem de ecuaţ cu m ecuoscute O soluţe a lu () este u elemet (,,, m ) K m care verfcă () Teora poate f epusă eact la fel petru u corp comutatv oarecare K î loc de R sau C Putem prv pe () î alt mod Cosderăm aplcaţa lară T:K m K dată a (umtă matrcea sstemulu ()) de matrcea A = j j m () Aume, se au bazele caoce U = {e,e,,e m } î K m ş V = {f, f,,f } î spaţul K Dec e = (,,,,), e = (,,,,) î K m ş f = (,,,,,) f = (,,,,), î K Cosderăm T=T(A;U,V) L(K m,k ) Atuc rezultă medat că petru orce =(,,, m )K m ş orce y = (y,y,,y )K egaltatea T() = y echvalează cu egaltatea A t = t y, ude: (screm vector pe coloaă) m t ş y y y y Î cocluze, a spue că =(,,, m )K m este soluţe petru sstemul () (ude otăm b=(b,b,,b )) îseamă a spue ua d următoarele afrmaţ echvalete: T() = b A t = t b Matrcea etsă a sstemulu () este: a a a m b a a am b A a a am b t 7

33 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Teorema Kroecker-Capell Următoarele afrmaţ sut echvalete: ) Sstemul () este compatbl e are cel puţ o soluţe ) rag (A) = rag ( A ) Această teoremă fudametală va f ma puţ folostă î practca rezolvăr efectve a sstemulu () de care e vom ocupa î cele ce urmează Petru îceput, reamtm că dacă m = (matrcea A este pătrată, dec umărul ecuaţlor este egal cu umărul ecuoscutelor ş rag (A)=, adcă det (A) ) sstemul () are soluţe ucă dată de formulele lu Cramer: j j j=,,, m ude = det (A) ş j = det (A j ) Ac A j este matrcea obţută d matrcea A pr îlocurea coloae j cu coloaa termelor lber b Rezolvarea practcă presupue oţule de mor prcpal ş mor caracterstc Dacă rag (A) = r (ecludem cazul câd matrcea A este detc ulă), umm mor prcpal (al matrce A) u mor P de ordul r al lu A petru care det (P) Lle corespuzătoare acestu mor prcpal dau ecuaţle prcpale ale sstemulu () (dec avem r ecuaţ prcpale) ar ecuoscutele j d sstem deate cu dc de coloaă dtr-u mor prcpal se umesc ecuoscute prcpale (avem dec r ecuoscute prcpale), celelalte ecuos-cute (dacă ma rămâ, î cazul m r>) se umesc ecuoscute secudare U mor de ordul r+ al matrce etse A obţut pr bordarea cu o le d cele r l rămase a morulu prcpal ş pr bordarea pe vertcală a aceluaş mor cu elemetele corespuzătoare d coloaa termelor lber se umeşte determat caracterstc al sstemulu () Evdet, oţuea are ses uma dacă r > (umărul ecuaţlor > ragul matrce A) Avem dec -r determaţ caracterstc Teorema lu Rouché Se presupue că r > Următoarele afrmaţ sut echva-lete: ) Sstemul () este compatbl ) Toţ ce r determaţ caracterstc sut ul Să urmărm cum se face dscutarea ş rezolvarea (î caz de compatbltate) a sstemulu A Notăm pr r ragul matrce A Prmul caz: r = Î acest caz sstemul este compatbl, -- Dacă m = r =, sstemul este cramera Avem soluţe ucă, dată de formulele lu Cramer -- Dacă m > r, avem r ecuoscute prcpale ş m r ecuoscute secudare 8

34 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Ducem î membrul al dolea ecuoscutele secudare, scrd dec (reumerotăm ecuoscutele petru ca,,, r să fe ecuos-cutele prcpale): a a a rr b a, rr a, rr a mm a a a b a a a a a a b a a a r r, r r, r r m m r r r r r r r, r r r, r r r m m Rezolvăm sstemul cramera () î raport cu,,, r Soluţle depd de m r parametr (ecuoscutele secudare r+, r+,, m ) Spuem că sstemul () este (m r)-edetermat (u are soluţe ucă) Al dolea caz: r< Î acest caz folosm teorema lu Rouché Îtâ studem compatbltatea lu () cu teorema lu Rouché Dacă sstemul este compatbl avem două stuaţ (î ambele cazur reumerotăm ecuoscutele ş ecuaţle astfel îcât ecuaţle prcpale să fe,,, r ş ecuoscutele prcpale să fe,,, r Reţem uma ecuoscutele ş ecuaţle prcpale ca ma sus, formăm sstemul () ş îl rezolvăm ca la prmul caz D ou sstemul este compatbl (m r)-edetermat SCHEMĂ =umărul de ecuaţ m =umărul de ecuoscute r =ragul matrce sstemulu I r = COMPATIBIL ) m=r= CRAMER ) m>r compatbl (m r)-edetermat II r < ROUCHÉ INCOMPATIBIL STOP COMPATIBIL ) m=r CRAMER pe ecuaţle prcpale, soluţe ucă ) m>r compatbl (m r)-edetermat pe ecuaţle prcpale () Observaţe Se vede că avem soluţe ucă dacă ş uma dacă m (umărul de ecuoscute) = r (ragul matrce sstemulu) 9

35 Test de autoevaluare 6 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor t y Se cosderă sstemul (t este parametru) ty a) Este cramera sstemul (adcă admte soluţe ucă) prvt ca sstem î R? b) Este cramera sstemul, prvt ca sstem î C? Răspusurle la test se vor da î spaţul lber d chear, î cotuarea euţurlor y z 3 a) Să se rezolve sstemul y b) Să se dscute ş să se rezolve sstemul (t este u parametru): y t y ty Răspusurle la acest test se găsesc la paga 9 a aceste utăţ de îvăţare 3

36 Eemple Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Sstemul () se umeşte omoge dacă avem b = b = = b = D cele ce preced rezultă că u sstem omoge este îtotdeaua compatbl (are cel puţ soluţa baală = = = m = ) Practc, a rezolva sstemul omoge îseamă a determa ker (T(A;U,V)) De asemeea ma rezultă următoarele: Sstemul omoge are ş soluţ ebaale dacă ş uma dacă r = ragul matrce sstemulu < m = umărul ecuoscutelor Presupuâd că () este compatbl, o soluţe oarecare a sstemulu are forma: = u ude este o soluţe partculară a sstemulu ş u este o soluţe a sstemulu omoge asocat lu () (adcă a sstemulu obţut d () pr îlocurea tuturor b cu, sau, echvalet, uker(t(a;u,v)) Să se dscute ş să se rezolve sstemul: a y z 3 ay z 3 y az 3 î fucţe de parametrul (real sau comple) a Î prmul râd, deoarece umărul de ecuaţ este egal cu umărul de ecuoscute, vom calcula determatul al matrce sstemulu: a det a ( a) ( a) a I Îtâ cosderăm stuaţa câd a ş a Rezultă ş sstemul este cramera 3 a 3 a 3 a 3( a ) 3 a a 3 dec a 3 Smlar y z a Avem soluţa ucă ( yz,, ),, a a a II Acum, fe a = Sstemul deve: y z 3 y z 3 y z 3 Ragul matrce A este r = 3

37 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Ecuaţa prcpală cu ecuoscuta prcpală : + y + z = 3 = 3 y z Sstemul este compatbl dublu edetermat (-edetermat) avâd o ftate de soluţ care depde de parametr, real sau complecş Mulţmea soluţlor este: S = {(3,, ), K } ude K=R sau C III Î fe, fe ş a = Matrcea sstemulu deve: A ş rag (A) = r = (am îcadrat u mor prcpal) Aplcăm teorema lu Rouché Avem u sgur determat caracte-rstc, aume 3 C Observaţe Î acest caz sstemul este compatbl Î cazul a =, sstemul deve y z 3 y z 3 y z 3 Pr aduare rezultă = 9 ş se vede drect compatbltate Să se dscute ş să se rezolve sstemul y a y 3 ay 5 î fucţe de parametrul (real sau comple) a Deoarece ragul matrce sstemulu este cel mult, vom aplca teorema lu Rouché Morul dat de prmele două ecuaţ este a a Prma varată: a Ragul este Ecuaţle prcpale sut prmele două Avem u sgur determat caracterstc: 3

38 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor C a a a 3 a Avem C = a= (eclus) sau a Dec î acest caz sstemul este 4 5 compatbl dacă ş uma dacă a 4 Î acest caz avem soluţa ucă =, y= A doua varată: a= Ragul este tot Ecuaţle prcpale sut ultmele două Ucul determat caracterstc este C, 3 5 dec sstemul este compatbl Î acest caz avem soluţa ucă =, y = 3 Vom face o aplcaţe la teora ecuaţlor tegrale O ecuaţe tegrală cu ucleu degeerat este o ecuaţe de forma: b ( ) u( ) v( y) ( y) d y f( ) a Ac fucţle cotue u : [a, b] R, v : [a, b] R ş f : [a, b] R sut cuoscute, ar ecuoscuta este fucţa (tot cotuă), :[a,b] R Rezolvarea ue astfel de ecuaţ se reduce la rezolvarea uu sstem lar de ecuaţ algebrce Vom eemplfca modul cum se rezolvă aceste ecuaţ pe u eemplu smplu Ne propuem să rezolvăm ecuaţa tegrală ( ) ( )d y y y y (e) Ac = ; u : [,] R, u () = ; u : [,] R, u () = ; v = v :[,] R, v (y) = y ş f : [,] R, f () = Reluâd relaţa (e) observăm că rezultă ()=+ +, ude ( ) y( y)dy (dec ş R este ecuoscut) Rezultă că trebue să căutăm pe de forma: () = a + b, 33

39 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor cu a, b ecuoscute Ecuaţa (e) deve:, a b y y ay by dy dec petru orce [,] vom avea: a b a b a b Rezultă că trebue să avem: Rezultă sstemul: cu soluţle 4 Algebre Poloame 9 a, 5 a b a ş 3 4 a b a b b 5 Soluţa a ecuaţe tegrale (e) este dec :[,] R, a b b 3 4 dec a b =, ( ) Eemple Vom cosdera u corp comutatv K Se umeşte algebră peste K u el (X,, ) care este spaţu vectoral peste K ş are î plus propretatea: petru orce K ş orce,y î X avem: ( y) = () y = (y) Î K utatea este ş operaţle sut otate obşut: + ş Dacă elul (X,, ) este comutatv spuem că algebra este comutatvă, ar dacă elul (X,, ) este utar spuem că algebra este utară Rezultă ş () ( y) = () (y) petru orce, K;, yx Orce corp comutatv K deve automat algebră comutatvă cu utate peste K D ou, fe K u corp comutatv Fe ş T o mulţme evdă Am otat k (T) = {f : T K} Atuc k (T) deve algebră comutatvă cu utate peste K Structura de el ( k (T),, ) este cea caocă: f g=h ude h(t)=f(t)+g(t); fg = u ude u(t) = f(t) g(t) Îmulţrea cu scalar este cea obşută: f = g ude g(t) = f(t) Utatea este fucţa :T K, (t)= 3 Luâd T=I R terval R ş K=R, putem forma ca ma sus R ([a,b]) O subalgebră a lu R ([a,b]) este: 34

40 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor ([a, b])={f :[a, b] R f este cotuă } Noţuea de subalgebră este deftă atural: este ş subel ş sub-spaţu vectoral 4 D ou, fe K u corp comutatv Atuc (K) = mulţmea matrcelor pătrate de ord cu elemete d K este algebră (ecomutatvă) peste K Operaţle de el sut aduarea ş îmulţrea obşute de matrce, ar îmulţrea este cea obşută (cu scalar) Matrcea utate E este elemet utate 5 Strâs legat de eemplul precedet este eemplul care este prezetat acum Fe K u corp comutatv ş X u K-spaţu vectoral Notăm, ca de obce, L(X,X)={T:X XT este lară} L(X) Atuc L(X) deve algebră peste K cu operaţle următoare: operaţle de el sut (aduarea obşută a fucţlor), ca aduare, compuerea fucţlor, ca îmulţre Îmulţrea cu scalar este cea obşută Această algebră este ecomutatvă, dar are utate pe X D Eemple Acum să cosderăm două algebre X ş Y peste acelaş corp comutatv K O aplcaţe h : X Y se umeşte morfsm de algebre dacă este morfsm de ele ş aplcaţe lară Dacă este ş morfsm de ele cu utate (î cazul î care algebrele sut cu utate) î vom spue morfsm utar de algebre Î cazul specal câd Y=K umm u morfsm de algebre caracter U morfsm bjectv de algebre se umeşte zomorfsm de algebre Iversul lu este de asemeea zomorfsm Cosderăm o mulţme evdă T, u elemet fat t T ş u corp comutatv K Fe k (T) algebra deftă ma sus la ş cosderăm aplcaţa de evaluare î t, aume h : k (T) K, h (f ) = f (t ) Atuc h este caracter Cosderăm u spaţu vectoral -dmesoal peste corpul comutatv K ş fe U o bază a lu X Atuc aplcaţa : L (X) (K) dată pr (T) = M(T;U), este zomorfsm de algebre Î rest vom cosdera u corp comutatv K ş e vom ocupa de algebra K[X] a poloamelor îtr-o edetermată peste K Se şte că u astfel de polom este de fapt u şr (a ) de elemete d K cu propretatea că { N a } este o mulţme ftă Să cosderăm u polom P = (a ) = (a, a, a,,a, ) Dacă toţ a = vom scre P = Dacă estă N aşa ca a vom cosdera: deg (P)= ma{n a } (acest umăr se umeşte gradul lu P) Î acest caz vom scre: P = a + a X + a X + + a X ude = deg (P) Pr coveţe deg ()= 35

41 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Atuc K[X] deve algebră comutatvă cu utate, operaţle fd date astfel: Dacă P = (a ), Q = (b ), atuc P Q =a + b petru orce D S=(u ), ude u Dacă P = (a ), Q = (b ), atuc P Q v =a b +a b + a b + +a b D T=(v ) ude D Dacă P = (a ) ş K, atuc P U=(w ) ude w =a (operaţa eteră) Ielul (K[X],, ) este tegru Meţoăm că operaţle de ma sus au fost defte î mod abstract Operaţle ş sut efectv operaţ tere De eemplu, dacă P ş Q sut eule, calculâd P Q=(v ) avem v = petru orce > deg (P) + deg (Q) Cttorul a observat că î corpul K suma elemetelor a ş b se otează pr a + b, ar produsul lor pr ab Ma meţoăm că operaţle defte abstract ca ma sus rev la cele cuoscute pr calcul clasc De eemplu, dacă P=a +a X++a m X m ş Q = D b +b X+ +b X, vom scre P Q T=v +v X+ +v m+ X m+ îmulţrea fd cea obşută: (a +a X+ +a m X m )(b +b X+ +b X )= = a b + (a b + a b )X ++ (a m b )X m+ Fecare polom P K a X (sau P=) pue î evdeţă fucţa polomală ataşată lu P, aume fucţa: f P :K K, f p (a) = a + a a + a a + + a a Aplcaţa H:K[X] k (K) dată pr H(P)=f P este morfsm de algebre Sublem faptul că H u este îtotdeaua jectvă De eemplu, dacă vom lua K = Z, observăm că avem f = f p = (fucţa detc ulă) petru P = X + X Cttorul va reflecta asupra aceste chestu, observâd că avem: ker (H)={PK[X] f P ()= petru orce K} Aşadar, detfcarea obşută a uu polom P cu fucţa polomală f P ataşată lu, u este îtotdeaua justfcată Î cazul câd K = Q sau R sau C aplcaţa H este jectvă ş se obşueşte să se detfce P cu f P Aceasta reve la faptul că ker (H) = {} (ucul elemet al lu ker H este polomul = (,,,,, ) umt polomul detc ul) Î geeral H u este c surjectvă De remarcat că atuc câd K este u corp ft, H este surjecţe (orce fucţe f : K K este polomală) O problemă fudametală î teora poloamelor este problema rădăclor uu polom 36

42 Eemplu Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Reamtm că dacă P K[X], u elemet ak se umeşte rădăcă a lu P dacă f P (a) = (ueor se scre ma smplu P(a)=) De acum îate vom scre ş o petru orce a K ma smplu P(a) î loc de f P (a) Petru u polom PK[X] ş u elemet a K, calculul valor P(a) se poate face drect pr îlocure sau folosd teorema lu Bézout: P(a) = R(a), ude RK[X] este polomul rest al împărţr lu P la polomul X-a (de fapt R este o costată!) Meţoăm că î K[X] calculele de împărţre cu rest, aflarea celu ma mare dvzor comu (algortmul lu Eucld) ş schema lu Horer se fac după regul smlare celor d R [X] sau C [X] 4 Să efectuăm î Z 5 [X] împărţrea lu P X 3X la Q 4 X X 3 Vom folos tabla de îmulţre a lu Z 5 : (), () 3, (3), (4) 4 Aşezăm calculele astfel: 4 3 X X 3X X 4 X X X X X / 3 X 4 X X 3 4 X X X / / X Aşadar, câtul este 4 X 4 X ş restul este X adcă dettatea împărţr cu rest este: X X X X X X X Rezultă că u elemet a K este rădăcă petru PK[X] dacă ş uma dacă (X-a)P (X-a este dvzor al lu P, adcă estă QK[X] aşa ca P = (X-a)Q) U polom PK [X] se umeşte reductbl dacă estă două poloame U,VK[X] de grad strct ma mc decât P (ateţe! dec î orce caz P) astfel îcât P=UV Î caz cotrar, P se umeşte reductbl U polom P K [X] reductbl u are rădăc Ivers este fals Totuş, dacă deg (P) = sau 3 ş P u are rădăc, rezultă că P este reductbl Evdet, poloamele de grad sut reductble ş au rădăc Să cosderăm u polom eul PK [X] ş ak Vom spue că a este rădăcă smplă petru P dacă a este rădăcă petru P ş (X-a) u este dvzor al lu P Dacă a K este rădăcă petru P, vom spue că a este rădăcă multplă petru P dacă (X-a) P Petru o rădăcă ak a lu P se defeşte ordul de mult-plctate al lu P ca fd ucul umăr atural care are următoarele propretăţ: (X a) P ş (X a) + u îl dvde pe P Fe P = a + a X +a X + +a X K[X] Dervata formală a lu P este pr defţe: P'=P () = a + a X + 3a 3 X + +a X Dervata secudă formală este pr defţe: P''=P () = (P' )' = a + 6a 3 X + + ( ) a X 37

43 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Putem def î geeral P (t ) K[X] (se vede că P (t ) = dacă t+) Se poate arăta atuc că dacă PK[X] este eul ş ak următoa-rele afrmaţ sut echvalete: ) a este rădăcă petru P cu ordul de multplctate t ; ) P(a) = P () (a) = P () (a) = = P (t ) (a) = ş P (t ) (a) U corp comutatv K se umeşte algebrc îchs dacă petru orce P K[X], P eul, estă a P astfel îcât a este rădăcă petru P Dacă PK[X], P, î geeral P are u umăr de rădăc ma mc sau cel mult egal cu gradul lu P Dacă K este algebrc îchs rezultă că P are eact rădăc (u eapărat dstcte! fecare rădăcă se umără cu ordul e de multplctate) Dacă deg (P)= rezultă î acest caz descompuerea: P a ( X a ) ( X a ) ( X a ) t ude a sut rădăcle dstcte, fecare cu ordul de multplctate ş avem t = Dacă P ş Q sut î K[X], rezultă că P ş Q au rădăc comue dacă ş uma dacă cel ma mare dvzor comu al lor, otat (P,Q) (se poate calcula cu algortmul lu Eucld) u este, adcă poloamele u sut prme ître ele Î partcular, a spue că P are ş rădăc multple îseamă a spue că P ş P' au rădăc comue, dec (P,P') Îcheem cu celebra teoremă Hamlto-Cayley Fe N, ş A (C ) Se cosderă polomul caracterstc al lu A, adcă polomul P = a + a X + a X + +a X obţut astfel: petru orce C avem P()=det ( E A) Atuc P (A)=, adcă avem: a E + a A + a A + +a A = t 38

44 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor 5 Teore Jorda 5 Iele eucldee Să amtm ma îtâ două teoreme mportate d algebră Teorema mpărţr cu rest petru umere îtreg Fe a ş b două umere îtreg cu b Atuc estă umerele îtreg, uc determate, q ş r astfel îcât: a bqr cu r b () Nmerele q ş r se umesc câtul ş respectv restul împărţr lu a la b Teorema mpărţr cu rest petru poloame Fe K u corp comutatv, ar f ş g cu g poloame d KX [ ] Atuc estă poloamele q s r d KX, [ ] uc determate, astfel îcât: f gqr cu grad r grad g () Defţe Poloamele q ş r se umesc câtul ş respectv restul împărţr lu f pr g Se observă că cele două relaţ () ş () sut asemăătoare Este sufcet să schmbăm cuvâtul umăr îtreg cu cel de polom ş d () obţem () cu schmbarea codţe r b cu codţa grad r grad g Ma mult, demostraţle celor două teoreme, bazate pe propretatea de buă ordoare a mulţm umerelor aturale, sut la fel Aceste teoreme stau la baza artmetc umerelor îtreg ş a artmetc poloamelor îtr-o edetermată cu coefceţ îtr-u corp comutatv Pe baza lor se costrueşte algortmul lu Eucld de determare a celu ma mare dvzor comu petru umere îtreg ş petru poloame De asemeea, se obţe teorema de descompuere î factor prm petru umere îtreg ş petru poloame etc Estă ş alte mulţm de umere sau mulţm ale căror elemete sut de o atură oarecare petru care se pot da teorema de împărţre cu rest ş care le coferă aumte propretăţ artmetce Artmetca umerelor îtreg, artmetca poloamelor, cât ş alte artmetc se pot trata î mod utar pr troducerea oţu de el euclda Se umeşte el euclda u domeu de tegrtate R petru care estă o fucţe : R \{} avâd propretatea că, orcare ar f ab, R cu b, estă qr, R, astfel îcât: a bqr, ude r sau ( r) ( b ) Eemple D teorema împărţr cu rest petru, rezultă că elul este el euclda î raport cu fucţa : \{}, ( a) a D teorema împărţr cu rest petru KX, [ ] rezultă că elul KX, [ ] K corp comutatv, este el euclda î raport cu fucţa : KX [ ]\{}, ( f) gradf 39

45 Observaţe Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Î cotuare, câd vom spue că R este el euclda, vom îţelege că R este uul d elele meţoate ma sus: fe elul al umerelor îtreg, fe elul KX [ ] al poloamelor îtr-o edetermată cu coefceţ îtr-u corp comutatv K Dacă R este uul d elele de ma sus, petru orce ab, R, estă cel ma mare dvzor comu al lor, otat cmmdc{a,b}, sau pe scurt, (a,b) Î plus, dacă ab, R ş d ( a, b ), atuc estă uv, R, astfel îcât d uavb Fe R u el euclda Dacă ab, R spuem că a dvde b ş screm a b dacă estă cr astfel îcât b ac Spuem că elemetele ab, R sut asocate î dvzbltate dacă a b ş b a ş screm a d b Este medat că a d b dacă ş uma dacă estă u elemet versabl u d R astfel îcât b ua Rezultă uşor că relaţa de asocere î dvzbltate este o relaţe de echvaleţă pe R Observăm că dacă R, atuc a d b dacă ş uma dacă a b, ar dacă R K[ X ], atuc f d g dacă ş uma dacă estă K \{}, astfel îcât g f U polom eul d KX [ ] se umeşte moc sau utar dacă are coefcetul termeulu de grad mam egal cu Este evdet că orce polom eul d KX [ ] este asocat î dvzbltate cu u uc polom moc d KX [ ] 5 Matrce artmetc echvalete Fe R u el comutatv ş M( R ) elul matrcelor pătratce de ord cu elemete d elul R Notăm cu: GL ( R) { T M ( R) T versablă} Avem că T este matrce versablă dacă ş uma dacă det T U( R ), ude UR ( ) este mulţmea elemetelor versable d elul R Cosderăm matrcea pătratcă de forma: I) j a Tj ( a ), j, ar, care are pe dagoala prcpală, la tersecţa le cu coloaa j, u elemet ar ş î rest zero 4

46 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor j II) P j, j, j î care pe locurle (t,t) cu t, j ş pe locurle (, j ), (,) j se găseşte, ar î rest zero III) D ( u) u, u U( R ), Î care pe locurle (t,t) cu t se găseşte ş pe locul (,) se găseşte u elemet u U( R ), ar î rest zero Matrcela Tj ( a ), P j ş D ( u ) sut versable: T ( a ) T ( a ), j j P P, j j D ( u) D ( u ) Vom ota MmR (,, ) mulţmea matrcelor de tp ( m, ) cu elemete d R Î partcular, vom ota MmmR (,, ) Mm( R ) Fe A MmR (,, ) Dacă Tj ( a ), P j ş D ( u ) sut matrce d Mm( R ), atuc: I) Tj ( a) A se obţe d A aduâd la la la j, îmulţtă cu a; II) PA j se obţe d A permutâd la cu la j; III) D ( u) A se obţe d A îmulţd la cu u Dacă Tj ( a ), P j ş D ( u ) sut matrce d M( R ), atuc: I ) ATj ( a ) se obţe d A aduâd la coloaa j coloaa, îmulţtă cu a; II ) AP j se obţe d A permutâd coloaele ş j; III ) AD ( u ) se obţe d A îmulţd coloaa cu u 4

47 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Defţe Matrcele Tj ( a ), P j, D ( u ) se umesc matrce elemetare respectv de tp I, II ş III Multplcărle matrce A cu asemeea matrce la stâga, respectv la dreapta, se umesc trasformăr elemetare asupra llor, respectv coloaelor, matrce A, respectv de tp I, II ş III Defţe Fe A, BM( m,, R ) Spuem că matrcele A ş B sut matrce echvalete ş screm A B, dacă estă U GLm ( R ) ş V GL ( R ), astfel îcât B UAV Rezultă medat că relaţa bară este o relaţe de echvaleţă pe mulţmea MmR (,, ) Defţe Fe R u el comutatv Spuem că o matrce D M( m,, R ) are forma dagoal-caocă dacă: d d D d r cu d orcare r, r m{ m, } ş d d d r Matrcea D se ma otează D dag( d, d,, d,,,) Vom arăta că dacă R este u el euclda, orce matrce este artmetc echvaletă cu o matrce dagoal-caocă Acest lucru permte aflarea medată a ragulu matrce ş, dacă este cazul, aflarea verse ue matrce Observăm că: GL ( ) { U M ( ) det( U) } ş GL( KX [ ]) { UM( KX [ ]) det( U) K \ {}}, ude K este corp comutatv Teorema Fe R u el euclda ş A MmR, (,, ) A Atuc estă o matrce dagoal-caocă D, uc determată, ma puţ o asocere î dvzbltate a elemetelor de pe dagoală, astfel îcât A D Demostraţe Vom arăta că efectuâd asupra lu A u umăr ft de trasformăr elemetare se ajuge la o matrce D dagoal-caocă, D U U AV V s ude U ( s ) ş Vj ( j t ) sut matrce elemetare de ord m, respectv Cum U ( s ) ş V ( j t ) sut versable, rezultă că j U U s U ş V V V t sut matrce versable, dec A D Fe : R \{} fucţa care terve î defţa elelor eucldee Presupuem că A a M( m,, R), A ş fe j t r 4

48 ( A) m{ ( a ) a } j j Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Presupuem teorema adevărată petru matrcele de tp ( m, ) ş petru matrcele B de tp ( m, ) astfel îcât ( B) ( A ) Presupuem că estă u elemet a j care dvde toate elemetele matrce A Matrcea PAP j este echvaletă cu A ş are pe locul (,) elemetul a j Putem dec presupue că aj ş a a st, orcare ar f s m ş t Fe q, q R astfel îcât a a q ( m ), a a q ( j ) j j j Îmulţd succesv la stâga matrcea A cu matrcele T( q ) de ord m ş la dreapta cu matrcele Tj ( q j ) de ord, ude m ş j, obţem că: a ' ' a a a A A ' ' am am ' Este clar că a a j, orcare m ş j Cum A este de tpul ( m, ), coform presupuer făcute, estă U' GL ( R ) ş V' GL ( R ) astfel îcât: d d3 U' AV ' d D' r m să fe matrce dagoal-caocă Fe U U ', V Avem că estă U GLm ( R ), V GL ( R ) V ' ş a d UAV d r Ma mult a d ş luâd d a se obţe rezultatul cerut 43

49 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Să cosderăm acum că estă a j care să dvdă toate elemetele matrce A Estă a st astfel îcât ( A) ( a st ) Atc PAP s t are pe locul (,) elemetul a st Putem presupue dec că a ş ( A) ( a ) Dacă estă j astfel îcât a đ aj, avem a a q r, ude r ş ( r ) ( a ) j j j j j Îmulţd prma coloaă cu q j ş aduâd-o la coloaa j se obţe o matrce A A care are pe locul (, j ) elemetul r j Cum ( A) ( rj ) ( a) ( A ), coform presupuer făcute, estă o matrce dagoal caocă D astfel îcât A D ş dec A D Aalog se procedează dacă estă astfel îcât a đ a Î caz cotrar, a a j ( j ) ş a a ( m ) ş procedâd ca î prmul caz, obţem: a A A A Deoarece a u dvde toate elemetele matrce A rezultă că a u dvde toate elemetele matrce A Dacă a u dvde u elemet de pe la a matrce A, aduâd la la prma le se obţe o stuaţe îtâltă îate Să demostrăm uctatea Aceasta rezultă d următoarele rezultate Dacă A MmR, (,, ) petru orce k m{ m, } vom ota cu ( A k ) cel ma mare dvzor comu al tuturor morlor de ord k a matrce A Propozţa Fe A, BM( m,, R ), ude R este el euclda Dacă A ş B sut artmetc echvalete, atuc ( A) ( B ) petru orce k m{ m, } k d k Demostraţe Petru j, otăm cu c j A coloaa j a matrce A D V ( v ) M(, p, R ), atuc petru orce j p : j j c c v c v c v AV A j A j A j D propretăţle determaţlor rezultă că orce mor de ord k al matrce AV este o combaţe lară cu coefceţ d R de mor de ord k a matrce A Pr urmare, k ( A ) dvde orce mor de ord k al matrce AV ş dec ( A) ( AV ) Aalog, dacă U M{ q, m, R }, atuc k ( A) ( UA ) k k k Acum, dacă A B, rezultă că estă U GLm ( R ) ş V GL ( R ) astfel îcât B UAV D cele prezetate obţem că: ( A) ( UA) ( UAV ) ( B ) ş k k k k ş dec ( A) ( B ) k d k k k k k ( B) ( U B) ( U BV ) ( A ) 44

50 Propozţa Fe R el euclda ş A MpR (,, ) ş Eemple d d D d Elemete de algebră lară ş teora poloamelor o formă dagoal-caocă a matrce A Atuc d ( ) d A ş k ( A) dk d ( A ), k r k Demostraţe Avem afrmaţle d euţ r A D ş cum ( D) dd d, k r, rezultă k D această propozţe rezultă î mod clar că determate ma puţ o asocere î dvzbltate r d k, k r, sut 3 Fe matrcea A 9 9 M 3( ) Să determăm forma dagoalcaocă a matrce A 9 Soluţe Avem ( A ) ş permutâd prma coloaă cu a doua vom obţe că: 3 A Cum pe prma le se găseşte 3 care u dvde cu ş cum 3 împărţt la dă câtul ş restul, se aduă la coloaa a doua prma coloaă îmulţtă cu ş apo se permută prmele două coloae Obţem: A 9 9 Aduăm la la a trea prma le ş apo aduăm la coloaa a doua prma coloaă îmulţtă cu Se obţe: A 9 Aduăm la coloaa a trea coloaa a doua mulţtă cu, apo se permută coloaa a doua cu a trea ş obţem: 45

51 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor A 3 9 Aduăm la coloaa a trea coloaa a doua mulţtă cu 3 ş obţem: Dec A 3 D D dag(,3,) este forma dagoal-caocă a matrce A 6 8 ) Fe matrcea A 6 6 M 3(3,4, ) Să determăm forma 4 4 dagoal caocă a matrce A Soluţa Avem ( A ) ş permutâd prma coloaă cu a doua, obţem: 6 8 A Aduăm la la a trea prma le îmulţtă cu ş apo aduăm la coloaa a doua, a trea ş a patra prma coloaă îmulţtă, respectv, cu 3, cu 6 ş cu 4 Obţem: A Aduăm la la a trea la a doua ş obţem: A 6 6 Aduăm la la a trea la a doua ş apo aduăm la coloaa a trea ş a patra coloaa a doua mulţtă, respectv cu ş cu Obţem: A 6 dag(, 6,) Soluţa Determăm forma dagoal caocă a matrce A folosd propozţa precedetă ( A ) (cmmdc al morlor de ordul ); ( A ) 6 (cmmdc al morlor de ordul ); ( 3 A ) (cmmdc al morlor de ordul 3) 46

52 Dec d, d 6 ş se obţe: Elemete de algebră lară ş teora poloamelor A 6 Observaţe Determarea forme dagoal-caoce D M( m,, R ) a ue matrce A MmR (,, ) pr efectuarea de trasformăr elemetare (adcă, pr îmulţrea la stâga ş la dreapta matrce A cu matrce elemetare) permte, dacă se cere, aflarea matrcelor versable U GLm ( R ) ş V GL ( R ), astfel îcât D AUV 47

53 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Test de autoevaluare 7 8 Fe matrcea A 8 M 3( ) Să se determe forma 8 4 dagoal-caocă a matrce A Răspusurle la test se vor da î spaţul lber d chear, î cotuarea euţurlor 4 6 Fe matrcea A M (,3, ) Să se determe 4 8 forma dagoal-caocă D a matrce A ş matrcele versable U ş V astfel îcât D AUV X Fe matrcea A X 5 M3( [ X]) Să se X 6 determe forma dagoal caocă a matrce A Răspusurle la acest test se găsesc la paga 9 a aceste utăţ de îvăţare 53 Matrce asemeea 48

54 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Fe R u el ecomutatv, X edetermată astfel îcât ax Xa, orcare ar f ar Ca ş î cazul comutatv se costrueşte elul poloamelor RX [ ] Luâd î partcular R M( K ), K corp comutatv, putem vorb de elul poloamelor M( K)[ X ] (poloame î edetermata X, avâd coefceţ matrce d elul M( K )) m Propozţa 3 Fe F( X) A X A X A M ( K)[ X ] ş A M ( K ) Atuc: m ) estă marcele B,, B, B, MM ( K ), uce, astfel îcât: m F( X) ( B X B X B )( I X A) M ( ) m m m ş î plus, M A A AAA ; m ) estă matrcele C,, C, C, M' M ( K ), uce, astfel îcât: m F( X) ( I X A)( C X C X C ) M ' () m m Observaţe Eemple m ş î plus, M' A A AAA m Demostraţe ) Î relaţa () screm membrul drept sub formă caocă ş apo detfcăm coefceţ corespuzător d ce do membr Obţem Am B m, Am Bm Bm A, Am Bm3 BmA,, A B BA, A RBA, de ude B m A m, Bm AmA A m, m B A A A AA,, B A A A AA, m3 m m m m M Am A AA A ) Se demostrează aalog Se vede uşor că aplcaţa: : M ( X)[ K] M ( K[ X ]), este zomorfsm de ele m ( a k ) k ( ( k k j j X aj X ), j k k Fe A ( a ) M ( K ) Atuc polomul IXA M( K)[ X ] poate f scrs j ca o matrce: X a a a a X a a IX A M( KX [ ]) a a X a ş se umeşte matrcea caracterstcă a lu A Polomul P X I X A X A X A K X se A( ) det( ) tr( ) ( ) det [ ] umeşte polomul caracterstc al matrce A, ude urma matrce A 4 Fe matrcea A M 3( ) tr( A) a este 49

55 Matrcea caracterstcă a lu A este: X 4 IX 3 A X M3( [ X]) X Polomul caracterstc al matrce A este: X 4 pa X ( X )( X )( X 3) X Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Teorema (Hamlto-Cayley) Dacă A M( K ) ş pa( X ) este polomul său caracterstc, atuc p ( ) A A Demostraţe Dacă B I X A este matrcea caracterstcă, matrcea * * recprocă a lu B este B* ( bj ) M( K[ X ]), ude ( ) j bj detb j, B j fd matrcea care se obţe d B, elmâd la ş coloaa j Avem că B* B BB* (det B) I î M( K[ X ]), de ude obţem egaltatea ((det BI ) ) ( B*) ( B ), ude este zomorfmul d observaţa de ma îate Cum B I X A, rezultă că ( IX A) este u polom moc de grad, QX ( ) M( K)[ X ] ş atuc egaltatea precedetă se scre sub forma: IX a IX aix ai QX ( )( IX A ) ude p ( X) X a X a X a A Coform propozţe precedete pct ), rezultă p ( A) I p ( A ) A A Defţe Fe K u corp comutatv ş A, BM ( K ) Spuem că matrcea A este asemeea cu matrcea B, ş screm îcât B P AP A B, dacă estă P GL ( K ) astfel Teorema 3 (teorema fudametală a asemăăr) Fe A, BM ( K ), K fd corp comutatv Sut echvalete afrmaţle: ) A B, ) IXAIXB (ca matrce cu coefceţ î elul KX) [ ] Demostraţe ) ) Deoarece A B, estă P GL ( K ) astfel îcât P AP B Atuc P ( IX A) P IX B ş cum rezultă că IXAIXB P PGL K X, ( [ ]) ) ) Cum IXAIXB, estă UV, GL ( K[ X ]) astfel îcât UIX ( AV ) IXB () Cum U ş V sut poloame î edetermata X cu coefceţ matrce d M ( ) K, aplcâd propozţa 3, avem: U ( I X A) Q M, V Q ( I X B) M 5

56 cu Elemete de algebră lară ş teora poloamelor QQ, M ( KX [ ]) ş M, M M ( K ) Îlocud U ş V î () obţem: M ( I X A) M I X BU( I X A) Q ( I X B) ( I X B) Q( I X AV ) ( IXBQIX ) ( AQ ) ( IXB), de ude: M( IX AM ) IX B ( IX AV )( Q QU QIX ( AQ ) )( IX B ) Dacă polomul V Q QU Q( I X A) Q ar f eul, atuc membrul stâg al egaltăţ precedete este u polom de gradul îtâ, ar membrul drept este u polom de grad ma mare sau egal cu do, cotradcţe Rezultă V Q QU Q( I X A) Q, de ude: M ( I X A) M I X B Observaţe ş, detfcâd coefceţ, rezultă MM I, MAM B Dec M AM B, adcă A B M M ş D demostraţa teoreme precedete se obţe totodată u mod de a calcula matrcea versablă M astfel îcât P M AM Eemplu 4 Matrcele A ş B sut asemeea deoarece matrcele caracterstce IXA ş IXB sut artmetc 3 6 echvalete Îtr-adevăr, aducâd la forma dagoal-caocă matrcele IX B, avem: IX A 6 IX B X X Dec I X A I X B, de ude A B 54 Matrcea caocă Jorda Fe K u corp comutatv, * ş K Matrcea pătratcă: J ( ) M( K ) se umeşte celulă Jorda de ord asocată lu K IX A ş Dacă,,, K ş,,, s * astfel îcât s, matrcea pătratcă J J ( ) J ( ) (,,, ) J ( ) s s,,, s 5

57 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor se umeşte matrce caocă Jorda de ord Câd u este percol de cofuze o vom ota smplu J Propozţa 4 Fe K u corp comutatv, * ş K Atuc: IX J( ) ( X ) Demostraţe Deoarece det( IXJ ( )) ( X ) rezultă ( ( )) ( ) IX J X Î matrcea IX J ( ) morul (de ord ) obţut elmâd ultma le ş prma coloaă este egal cu ( ) ş dec ( ( )) IX J Cum, î plus, k( IX J( )) k ( IX J ( )), k, avem că d d d, ar d ( ) X ş dec rezultă cerţa d propozţe Propozţa 5 Dacă,,, t KX [ ] astfel îcât (, j ) petru orce j t, atuc: A t D t t t Demostraţe Vom demostra afrmaţa pr ducţe după t Petru t afrmaţa este evdetă, ar petru t, cum (, ), estă uv, K[ X ] astfel îcât uv Cosderăm matrcele u U ş V v u v Avem că detu detv u v ş dec U, V GL ( K[ X ]) Ma mult, t t t t u v UAV D ( v u) Dec A D Presupuem adevărată afrmaţa petru t ş să demostrăm petru t Estă dec Ut, Vt GLt( K[ X ]) astfel îcât U A V D Defm Ut ' Ut ş Vt Vt ' 5

58 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Deoarece det( Ut ') detu t ş det( Vt ') detv t Atuc Ut ' Vt ' GLt([ X ]) Ma mult, avem că: Notăm: U ' AV ' t t t U A V U A V t t t t t t t t I D t t t t t t A ' ş cum ( t, t ), coform pasulu t t estă U', V' GL( K[ X ]) astfel îcât U' A' V ' Fe t It It acum Ut '' ş Vt '' U ' V '' Avem acum că U '', V '' GL ( K[ X ]) ş î plus, It It Ut '' Ut ' At ' Vt ' Vt '' Dt U' A' V' t Pr urmare estă Ut Ut '' Ut ' GLt( K[ X ]) ş Vt Vt ' Vt '' GLt( K[ X ]) astfel îcât UAV D, adcă A D Fe acum: t t t t t t J ( ) J ( ) J M( K) J ( ) s s o matrce caocă Jorda Fe,,, cu t t s elemetele dstcte (evetual reumerotate) dtre,,, ş s q umărul celulelor Jorda asocate lu, t, de orde, respectv k k k Avem t q s ş matrce Jorda J t q j q kj, ude s este ordul Arajăm poloamele care corespud (coform propozţe 4) celulelor Jorda î tabloul: 53

59 Teorema 4 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor k k k q k k k q ( X ),( X ),,( X ) ( X ),( X ),,( X ) kt k k t tqt t ( X ),( X ),,( X ) Fe m ma{ q, q,, q t } ş d m, dm,, d respectv produsul poloamelor d coloaa îtâ, a doua,, a r a a tabloulu () Este clar că d, d,, d m sut poloame moce cu grad d, m ş d d d m Cu otaţle precedete avem: ude umărul de este Demostraţe IX J, d dm r I X J ( ) I X J ( ) IX J I X J ( ) s s s ( X ) Prop 5 d d d ( ) s m X s Observaţe Prop 4 Î cotuare, uele rezultate sut date î cazul î care corpul K este corpul al umerelor complee sau u subcorp al acestua Amtm că, corpul este algebrc îchs, adcă orce polom de grad are toate rădăcle î Rezultă că orce polom f [ X ] de grad poate f scrs î mod uc sub forma: f ( X ) ( X ) ( X ) p, l l p l () 54

60 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor ude,,,, p, j, petru orce j p ş l *, orcare p Dacă polomul f este moc, atuc Teorema fudametală a teore lu Jorda este următoarea Teorema 5 Fe AM ( ) Atuc estă o matrce caocă Jorda J A, uc determată ma puţ ordea celulelor de pe dagoală, astfel îcât A J A Demostraţe Cum det( IX A) PA( X ), rezultă că estă poloamele moce d, d,, d [ X ] uc determate astfel îcât ude m IX A, d dm gradd, r ş d d d m Poloamele moce d, d,, d m se umesc factor varaţ a matrce A Polomul d m are toate rădăcle î ş fe,,, t rădăcle dstcte ale lu d m avâd respectv multplctăţle k, k,, k t Atuc k k k d ( X ) ( X ) ( X ) t ş cum d d, avem: m t d X X X, k k k m ( ) ( ) ( t) t ude k k, k k,, kt k t Cotuăm procedeul, descompuâd succesv factor varaţ, care se îchee cu descompuerea lu d ş formăm tabloul () k Poloamele ( X ) j, k j, d tabelul () se umesc dvzor elemetar a matrce À Fe J A matrcea caocă Jorda care are pe dagoala prcpală, îtr-o orde oarecare, celulele Jorda J k ( ) j, t, j q asocate dvzorlor elemetar a matrce A Coform teoreme avem că: IX A d dm m m 55

61 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Dec IXAIXJ ş coform teoreme fudametale a asemăăr A avem A J A Observaţe Este clar că rezultatul d teorema precedetă rămâe adevărat petru A M( K ), K fd u corp comutatv, dacă ş uma dacă polomul caracterstc p A se descompue î produs de factor de gradul îtâ î KX, [ ] adcă p A are toate rădădcle î K Defţe O matrce AM ( ) se umeşte dagoalzablă dacă A dag(,,, ) cu,, u eapărat dstcte Corolar Fe K u subcorp al lu ş A M( K ) Atuc matrcea A este dagoalzablă dacă ş uma dacă d m este u produs de factor de gradul îtâ d KX, [ ] moc ş dstcţ Algortmul de calcul al forme caoce Jorda a ue matrce d M ( ) Se scre matrcea caracterstcă Se aduce matrcea caracterstcă la forma dagoal-caocă (pr trasformar elemetare) 3 Se descompu factor varaţ î factor reductbl (de gradul îtâ) ş se calculează dvzor elemetar 4 Fecăru dvzor elemetar se asocază celula Jorda corespuzătoare 3 4 Eemple Fe matrcea A M 3( ) Să se găsească matrcea caocă Jorda J A astfel îcât A J A Soluţa Aducem la forma dagoal-caocă matrcea caracterstcă a lu A, X 3 4 IX 3 A 4 X7 8 M3( [ X]), 6 7 X 7 avâd coefceţ î elul euclda [ X ] Aduăm coloaa a doua la coloaa a trea ş apo permutăm prma coloaă cu a trea Obţem: 3 X IX 3 A X X7 4 X 7 6 Aduăm la coloaa a doua ş a trea prma coloaă îmulţtă cu 3, respectv cu X ş apo aduăm la la a doua ş a trea prma le îmulţtă cu X, respectv cu X ş obţem: 56

62 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor IX 3 A 4X4 X X3 3X 7 X X 6 Aduăm la la a doua la a trea îmulţtă cu, apo aduăm la la a trea la a doua îmulţtă cu 3 ş permutâd la a doua cu la a trea se obţe: IX 3 A 6 X X5 X 3 X 3 Aduăm coloaa a doua la coloaa a trea, apo împărţm la a doua la 6 ş se obţe: ( X ) IX 3 A 6 X 3 Aduăm la la a trea la a doua îmulţtă cu 3 X ş apo aduăm la ( X ) coloaa a trea coloaa a doua îmulţtă cu ş se obţe: 6 IX 3 A ( X ) (3 X ) 6 Î fe, îmulţm prma le cu ş la a trea cu 6 Se obţe: IX 3 A ( X ) ( X 3) Avem u sgur factor varat d ( X ) ( X 3) Celulele Jorda asocate dvzorlor elemetar sut J (3) ş J ( ) ş dec: 3 J(3) A J( ) Soluţa Formăm matrcea caracterstcă: X 3 4 IX 3 A 4 X7 8 M3( [ X]) 6 7 X 7 57

63 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Determăm forma dagoal-caocă a matrce IX 3 A folosd propozţa d secţuea ( IXA ) (cmmdc al morlor de ordul ) 3 ( IXA ) (cmmdc al morlor de ordul ) 3 ( IXA) det ( IXA) ( X) ( X 3) Pr urmare, elemetele forme dagoal-caoce ale matrce sut d, d, d3 ( X ) ( X 3) ş Dec: D ( X ) ( X 3) IX 3 A ( X ) ( X 3) Se cotuă ca la soluţa IX 3 A 3 3 Fe matrcea 6 3 A M 4( ) Să se găsească matrcea caocă Jorda J A astfel îcât A J A Soluţa Aducem la forma dagoal-caocă matrcea caracterstcă a lu A, X 3 3 X 6 3 IX 4 A M4( [ X]), 3 X 3 4 X 8 avâd coefceţ î elul euclda [ X ] Permutâd ître ele l ale matrce IX 4 A avem: 4 X 8 X 3 3 IX 4 A X X 3 Aduăm la coloaa a doua ş a patra prma coloaă îmulţtă cu 4, respectv cu 8 X ş apo aduăm la la a doua ş a trea prma le îmulţtă cu X ş cu ş obţem: 58

64 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor 4X 7 X 9X IX 4 A X X 3 3 X 3 Aduăm coloaa a doua la coloaa a patra, apo permutăm la a doua cu la a patra ş obţem: 3 X IX 4 A X X 4X 7 X 5X 4 Îmulţm la a doua 3 ş apo îmulţm coloaa a trea cu 3 obţem: X IX 4 A X X 4X 7 X 5X 4 Aduăm la coloaa a trea coloaa a doua îmulţtă cu X ş apo permutăm coloaa a trea cu coloaa a patra Se obţe: IX 4 A X ( X )( X ) ( X )( X 4) ( X)(4X 7) Aduăm la coloaa a trea coloaa a doua îmulţtă cu X ş apo aduăm la la a patra la a trea îmulţtă cu 4 X ş obţem: IX 4 A X 3 ( X ) Îmulţd cu ultma coloaă avem: IX 4 A X 3 ( X ) Factor varaţ sut d X ş d 3 ( X ), aceşta fd ş dvzor elemetar Dec: 59

65 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor A J A 6

66 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Test de autoevaluare 8 Să se arate că matrcele asemeea 4 A ş 3 B sut 3 4 Răspusurle la test se vor da î spaţul lber d chear, î cotuarea euţurlor 3 Fe matrcea A 4 M 3( ) Să se determe 4 8 factor varaţ, dvzor elemetar ş forma caocă Jorda 4 3 Fe matrcea 3 A M 4( ) Să se determe factor 4 varaţ, dvzor elemetar ş forma caocă Jorda Răspusurle la acest test se găsesc la paga 93 a aceste utăţ de îvăţare 6

67 53 Polomul mmal al ue matrce Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Fe K u corp comutatv ş A M( K ) Estă poloame f K[ X ], f, astfel îcât f( A ) (de eemplu, polomul caracterstc p A al matrce A ) Fe ma K[ X ] polomul moc de grad mm d KX [ ] astfel îcât m ( ) A A Evdet m A este uc determat de codţle: ) ma K[ X ], m A este moc; ) m ( ) A A ; 3) Dacă f K[ X ] ş f( A ), atuc m f Polomul m A se umeşte polomul mmal al matrce A Teorema 6 Fe K u subcorp lu, A M( K ) ş d, d,, dm K[ X ] factor varaţ a matrce A, Atuc: ) pa dd d m, ma dm ; ) (teorema lu Frobeus) m A ş p A au aceaş factor reductbl d KX [ ] Demostraţe ) Cum p det( IXA, ) d teorema rezultă că p dd d Să arătăm că m d A m A A m Fe ma îtâ, A J ( ) M ( K ) Avem A I N ude: N M( K ) k k Cum N M( K ), rezultă că N, orcare ar f k ş N Deoarece p ( ) A X ş ma p A, rezultă că m ( ) l A X, l Cum m ( ) ( ) l l A A A I N, N, N, rezultă l ş dec m p ( X ) (sgurul factor varat) A A Să presupuem acum că p A se descompue î produs de factor de gradul îtâ î KX [ ] Estă P GL ( K ) astfel îcât: P AP k J ( ) JA, ude,,, s K J ( ) s s A 6

68 Este clar că petru f K[ X ] avem Elemete de algebră lară ş teora poloamelor f A p f A P f P AP f J, ( ) ( ) ( ) ( A) adcă fj ( ( )) fj ( ( )), s ( X ) f, fj ( ( )) s s d f, de ude m d (coform relaţlor ()) m A m Î sfârşt, să presupuem că p A u se descompue î produs de factor de gradul îtâ Deoarece K, atuc IX AM( KX [ ]) M( [ X ]) ş î plus GL ( K[ X]) GL ( [ X ]) Dec forma dagoal-caocă a matrce IXA î M ( K[ X ]) este aceeaş cu forma dagoal-caocă î M ( [ X ]) Cum pa dd dm se descompue î produs de factor de gradul îtâ î [ X ] rezultă că polomul moc de grad mm d [ X ] care admte pe A ca rădăcă este d m ş, totodată, d m este polomul d KX [ ] cu aceleaş propretăţ Dec m d ) Cum d d d m, d ) rezultă evdet afrmaţa A m Eemple Să se găsească p A ş m A dacă 3 4 A M 3( ) Soluţe După cum am văzut la secţuea precedetă, avem că: I3 A ( X ) ( X 3) ş dec p m ( X ) ( X 3) A A Să se găsească p A ş m A dacă: A M 4( ) Soluţe D secţuea precedetă, avem că: IX 4 A X 3 ( X 3) 63

69 Atuc p ( X ) 4 ş m ( X ) 3 A A Elemete de algebră lară ş teora poloamelor 56 Aplcaţ la studul trasformărlor lare Subspaţ varate Fe K u corp comutatv ş V, u K -spaţu vectoral de dmesue ftă, dm K V U morfsm de spaţ vectorale (sau aplcaţe lară) u: V V se umeşte îcă edomorfsm al lu V sau îcă trasformare lară a lu V Vom ota cu Ed K ( V ) mulţmea tuturor trasformărlor lare ale lu V sau îcă mulţmea tuturor edomorfsmelor spaţulu V Fe { e, e,, e } o K bază a lu V ş A ( aj ) M ( u) matrcea asocată lu u î baza Matrcea A este deftă de relaţle ue ( ) ae, Vom def polomul caracterstc p u ş polomul j j mmal m u al edomorfsmulu u pr pu p A ş mu m A Aceste defţ sut corecte î sesul că ele u depd de alegerea baze Îtr-adevăr, fe ' { e', e',, e '} o altă K bază a lu V ş p GL ( K ) matrcea de trecere de la baza la baza ' Dacă A' ( a ') M ( u), atuc A' P AP, adcă A A ' ş dec IX A IX A ' Pr urmare pa p A' ş ma m A' ş dec defţle date petru p u ş m u sut corecte Teorema 7 Fe V u spaţu vectoral de dmesue ftă peste ş ued K ( V ) Atuc estă o bază ' a lu V ' astfel îcât M ( u) ', otată J u să fe o matrce caocă Jorda Ma mult, J u este uc determată ma puţ ordea celulelor Jorda de pe dagoala matrce J u Demostraţe Fe { e, e,, e } o bază a lu V ş A M ( u) Estă P ( p ) GL ( ) astfel îcât P AP J este matrce caocă j Jorda Fe ' { e', e',, e '}, ude ej ' pje, Deoarece P este matrce versablă, rezultă că ' este o bază a lu V ş, î plus, M ( ) ' u P AP JA Ju Uctatea este evdetă Defm acum suma drectă de subspaţ, oţue pe care o vom folos î cotuare Fe K u corp comutatv, V u K-spaţu vectoral ş vectorale ale lu V Fe subspaţlor L, A j ' L, L,, L subspaţ L L { V, L, } suma Propozţa 6 Fe V u u K-spaţu vectoral ş L, L,, L subspaţ vectorale ale lu V ş L L Următoarele afrmaţ sut echvalete: 64

70 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor ) orcare ar f L se scre î mod uc sub forma ;, L, ) Dacă, L,, atuc, ; 3) petru orce j avem Demostraţe ) ) Fe Lj L j, L, Avem ş d uctatea screr lu V rezultă, ) 3) Fe Lj L Atuc L j ş j j L, dec avem,adcă j ( ) j Cum L ş L j petru j, d ) rezultă că ş dec Lj L j 3) ) Fe L astfel îcât ',, ' L, j j Petru orce j avem ' ( ' ) L ş dec: j j j j j j ' L L, j Pr urmare ', orcare Dacă j j L L satsface ua d codţle echvalete ale propozţe precedete, spuem că L este sumă drectă a subspaţlor L, ş screm L L Spuem că spaţul vectoral V este sumă drectă a subspaţlor, dacă V L Î partcular, dacă avem V L L dacă ş uma dacă V L L ş L L L, 65

71 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Observaţe Fe V u K spaţu vectoral de dmesue ftă ş L, L,, L subspaţ ale lu V Atuc: dmk L dm K( L ) Această relaţe rezultă d faptul că dacă este o bază a lu L, petru orce, atuc este o bază petru Defţe Fe V u K spaţu vectoral, L u subspaţu vectoral al lu V ş ued K ( V ) ) L se umeşte varat î raport cu u dacă ul ( ) L L ) V se umeşte decompozabl î raport cu u dacă d V L L cu L ş L subspaţ varate î raport cu u, rezultă Î caz cotrar V se umeşte decompozabl î raport cu u L sau L 3) subspaţul varat L este decompozabl î raport cu u dacă este decompozabl ca spaţu vectoral î raport cu restrcţa u' u Propozţa 7 Fe V u K spaţu vectoral ş ued K ( V ) Atuc V poate f reprezetat ca o sumă drectă de subspaţ decompozable î raport cu u, V L L L s Demostraţe Raţoăm pr ducţe după dm K V Dacă, atuc V este decompozabl Dacă ş V este decompozabl î raport cu u, atuc este clar Dacă, ar V este decompozabl î raport cu u, atuc V L L, ude L ş L sut subspaţ eule varate î raport cu u Cum dm K L, {,}, se aplcă poteza de ducţe petru L ş L Propozţa 8 Fe V u K spaţu vectoral ş ued ( V ) astfel îcât V LL L s, ude L, L,, L s sut subspaţ ale lu V, varate î raport cu u, Dacă u' u ş este o K bază a lu L,, atuc s este o K bază a lu V ş M M( u) L ( u ) M ( u ) M s K ( u ) s Demostraţe Faptul că este o K bază a lu V rezultă d screrea lu V ca sumă drectă de L, L,, L s Deoarece subspaţle L, s, sut L 66

72 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor varate î raport cu u, rezultă medat că matrcea M ( u) are forma de ma sus Dacă V, cum dm K V, rezultă că vector, u ( ),, u( ) sut lar depedeţ Dec estă,,, K, u toţ ul, astfel îcât u ( ), adcă gu ( )( ), ude gx ( ) XKX [ ] Fe m ( ) X K [ X ] polomul moc de grad mm, astfel îcât m ( )( ) u Polomul m se umeşte polomul mmal al vectorulu V ş, este clar că are următoarele propretăţ: () Dacă g K[ X ] astfel îcât gu ( )( ), atuc m g () Dacă d grad( m ), atuc vector depedeţ () m m orcare ar f V u d, u ( ), u ( ) sut lar Propozţa 9 Fe V u K spaţu vectoral ş ued ( V ) Atuc V este decompozabl î raport cu u ş p u se descompue î factor de gradul îtâ î KX [ ] (câd K este adevărat) dacă ş uma dacă estă K astfel îcât Ju J ( ) Demostraţe Fe { e, e,, e } o K bază a lu V astfel îcât M ( u) J ( ) Dacă e e, atuc ue ( ) ue ( ) e e e e, de ude rezultă e ( u V)( e ) Aalog, d ue ( ) e e, obţem k e ( u V) ( e ) ( u V) ( e ) Î geeral, avem ek ( u V) ( e ), k Am văzut că p ( ) u X ş cum mu p u, rezultă că ( ) l mu X, cu l Cum ( u V ) ( e) e, rezultă că l ş dec l Atuc m ( X ) p m u u e Dacă, pr absurd, V este decompozabl î raport cu u, atuc estă L ş L, subspaţ eule ale lu V, varate î raport cu u astfel îcât V L L Fe dmkv, {,} ş e cu L ş d L Cum m m, {,}, rezultă că m ( X ), ude u d d gradm, {,} Deoarece vector, ( ), u u ( ) sut lar depedeţ, rezultă d, {,} Dacă d ma{ d, d }, atuc d d ( u V) ( ), {,} ş dec ( u V ) ( e ) Cum m ( ) e X, rezultă d, cotradcţe Evdet p ( X ) se descompue î factor de gradul îtâ î KX [ ] u Fe s umărul celulelor Jorda ale lu J u Să arătăm că s Dacă s, fe { e, e,, e } o K bază a lu V astfel îcât: K 67

73 Teorema 8 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor J ( ) J ( ) M ( u) Ju J ( ) s s, ude Dacă otăm { e, e,, e }, s { e,, e },, s { e,, } e s, fe L subspaţul geerat de petru orce s Avem L Ke Ke, L Ke Ke,, L s Ke Ke s Atuc L este subspaţu al lu V, varat î raport cu u petru orce s ş V L L Dec V este decompozabl î raport cu u, cotradcţe s D cele de ma sus rezultă Orce reprezetare a lu V ca sumă drectă de subspaţ varate decompozable î raport cu u are s sumaz ş dmesule acestora cocd cu ordele celulelor Jorda ale matrce J u 57 Vector ş valor propr Dagoalzarea matrcelor pătratce Defţe Fe V u spaţu vectoral de dmesue peste corpul comutatv K, L u subspaţu al lu V ş ued K ( V ) Observăm că dacă L este u subspaţu varat î raport cu u, de dmesue ş el este u geerator al lu L, atuc e ş ue ( ) e cu K Recproc, dacă ue ( ) e cu ev ş K, ar L Ke, atuc L est varat î raport cu u ş dm V K U scalar K se umeşte valoare propre sau valoare caracterstcă a lu u dacă estă ev, e, astfel îcât ue ( ) e Vectorul e se umeşte vectorul propru al lu u asocat valor propr Teorema 9 Fe K u corp comutatv, V u K-spaţu vectoral, dm K V ş ued K ( V ) Petru u scalar K, următoarele afrmaţ sut echvalete: ) este valoarea propre a lu u; ) p ( u ) Cu alte cuvte, valorle propr ale lu u sut eact rădăcle d K ale lu p u Î partcular, dacă K, valorle propr cocd cu rădăcle lu p u Demostraţe Fe { e, e,, e } o K bază a lu V, A ( aj ) M ( u) ş V, e e e cu K, Atuc: u ( ) jue ( j) e j je) e j j j j e e j, j j 68

74 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor ( I A ) ( ) Pr urmare, petru u scalar K estă V,, astfel îcât u ( ) dacă ş uma dacă sstemul omoge () are soluţ eule dacă ş uma dacă det( I A ), adcă p ( u ) Observaţe Dacă { e, e,, e } este o K bază a lu V ş e V,, atuc este vector propru al lu u asocat valor propr dacă ş uma dacă,,, K costtue o soluţe eulă a sstemulu omoge () Propozţa Fe V u Pr urmare, determarea vectorlor propr reve la determarea soluţlor eule ale sstemulu omoge () K spaţu vectoral, ued ( V ) ş,,, m K valor propr dstcte ale lu u, ar,,, m vector propr asocaţ, respectv acestor valor propr Atuc,,, m sut vector lar depedeţ Demostraţe Raţoăm pr ducţe după m Petru m, cum, rezultă că este lar depedet Presupuem afrmaţa adevărată petru m, adcă vector,,, m sut lar depedeţ Fe: K () m m m m Avem u, adcă u ( ), de ude: () m m m m m m Presupuâd că m, îmulţm relaţa () cu m ş obţem: (3) m m m m m m m Aduâd relaţle () ş (3), obţem: D poteza de ducţe rezultă: ( ) ( ) m m m m ( m ),, m ( m ), m m Cum m ş j, orcare ar f j m, rezultă că: Dec m m,,, m sut vector lar depedeţ Corolar Fe V u spaţu vectoral, dmv, ued ( V ) avâd valorle propr dstcte Atuc vector propr asocaţ formează o bază a lu V 69

75 Fe V u Elemete de algebră lară ş teora poloamelor K spaţu vectoral, dm K V, ued ( V ) ş K o valoare propre a lu u Atuc este rădăcă a polomulu caracterstc p u ş fe k multcplctatea rădăc Numărul k se umeşte multplctatea algebrcă a valor propr Notăm L { V u( ) } Se vede uşor că L este subspaţu al lu V, varat î raport cu u Numărul dm K L se umeşte multplctatea geometrcă a lu Propozţa Fe ued K ( V ), dm K V Petru orce valoare propre a lu u avem dm K L k Demostraţe Fe { e, e,, e r } o bază a lu L, r r dm K L Completăm baza la o bază a lu V, { e,, er, fr,, f} Cum e,, er L, avem că ue ( ) e ee er fr f, ue ( ) e ee e e f f,, 3 r r ue ( ) e ee e f f, r r r r r uf ( ) e e f f, r r r r r r r r r uf ( ) erer r fr f ş dec matrcea asocată lu u î baza este: M r r Ir A r r ( u) r B r r r r r Ir ( X ) A Atuc XI M ( u) ş IrX B r pu( X) det( XI M ( u)) ( X ) pb( X) Dar p ( ) ( ) k u X X q( X ) cu q ( ) ş dec r k, adcă dm K L k Fe V u K spaţu vectoral de dmesue ftă ş ued K ( V ) Trasformarea lară u se umeşte dagoalzablă dacă estă o bază a spaţulu V astfel îcât matrcea M ( u) să fe dagoalzablă Observăm că dacă M ( u) este dagoalzablă, adcă M ( u) dag(,,, ), atuc P ( ) ( ) ( ) M u X pd X ş dec,,, sut char valorle propr ale lu M ( u) Teorema Fe V u spaţu vectoral, dm V ş ued ( V) Fe,,, m rădăcle dstcte ale lu p u ş k, k,, k m * multcplctăţle acestor rădăc Să se arate că următoarele afrmaţ sut echvalete: K 7

76 ) Trasformarea lară u este dagoalzablă Elemete de algebră lară ş teora poloamelor ) Estă o bază a lu V formată uma cu vector propr a trasformăr lare u 3) V L L m 4) Petru orce m, dm L k Demostraţe ) ) D poteză estă o bază { e, e,, e } a lu V astfel îcât M ( u) dag(,,, ) cu, u eapărat dstcte Atuc fe ( ) e,, fe ( ) e ş dec baza este formată uma cu vector propr a lu u ) 3) D propozţa rezultă că suma subspaţlor L, m, este drectă ş avem L L V Recproc, fe V ş { e, e,, e } m o bază a spaţulu V formată cu vector propr a lu u Atuc j e cu j K, j ş grupâd terme j e j care aparţ aceluaş subspaţu L, rezultă că L L m 3) 4) Să presupuem că estă l, l m, astfel îcât dm L k l l Cum dm L k petru orce m, rezultă că dm V dm L dm L dm L k k k, de ude l m l m, cotradcţe 4) ) Avem L L L L V Cum m dm ( L L ) dm L dm L k k m m m ş dec L L V Alegâd câte o bază m j î fecare L j petru orce j m ş reud aceste baze se obţe o bază petru V, m Dacă { e,, e k }, { e,, e k },, m m m m { e,, e }, atuc { e,, e, e,, e,, e,, e } Avem: m km k k km ( m ) k k, m ( m ) k k, m ( m k ) k k, m ( m m k ) m k m m km ue e e e e ue e e e e ue e e e e ue e e e e, de ude rezultă că m j j Observaţe M ( u) dag(,,,,,, m,, m) ude se repetă de k or, se repetă de k or,, m se repetă de k m or Dec u este dagoalzablă Teorema precedetă dă algortmul de dagoalzare a matrcelor pătratce 7

77 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor 3 Eemple Fe V M (3,, ) ş u Ed ( 3 ) astfel îcât: M ( u) 4 M3( ) 3 6 4, ude { e, e, e 3 } este baza caocă a lu 3, ar e (,,) t, e (,,) t ş e 3 (,,) t t (Dacă A este o matrce, atuc A este traspusa sa) Să se determe valorle propr ş vector propr a trasformăr u Este trasformarea lară u dagoalzablă? Soluţe Avem: X pu det( I3 X M ( u)) X 4 ( X ) ( X ) 3 6 X 4 Rădăcle d ale lu p u sut ş, aceste fd valorle propr Petru sstemul omoge () este: ( S ) 3, ar petru sstemul omoge () este ( S ) Sstemele ( S ) ş ( S ) se scru, respectv: 46 63, ( S ') 3 3,, ; , ( S ') 3, Vector propr petru u asocaţ valorlor propr ş respectv sut tocma soluţle eule ale sstemelor omogee ( S ') ş respectv ( S ') 7

78 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor 3 Petru, vector propr petru u sut vector eul de forma 3 cu real Petru vector propr a lu u sut vector eul de y z t forma y cu y, z reale Dec L {(3,,3 ) } ş z L {(y z, y, z) t y, z }, ar dm L ş dm L Cum multplctăţle algebrce ş geometrce ale lu ş respectv sut egale, rezultă că u este dagoalzablă, M ( u) 4 ) Fe V M (4,, ) ş u Ed ( 4 ) astfel îcât: 3 3 M ( u) M ( ) 3 3 4, ude { e, e, e 3, e 4 } este baza caocă a lu 4, ar e (,,,) t, e (,,,) t, e3 (,,,) t, e4 (,,,) t Să se determe valorle propr ş vector propr a trasformăr u Este trasformarea lară u dagoalzablă? Soluţe Avem: X 3 X 3 pu det( I4 X M ( u)) ( X 3) X 4 X 3 Polomul caracterstc propre 4 Petru 3 sstemul omoge () deve: p u are rădăca 3, aceasta fd valoarea ( S ), 3 4 adcă, 4, sau 4, Rezultă,, 3 y, 4 cu, y reale 73

79 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Vector propr petru u care corespud valor propr 3 sut vector eul de forma (,, y, ) t cu, y reale t Dec L3 {(,, y, ), y }, ar dm L 3 Cum multplctatea geometrcă a lu 3 este, ar multplctatea sa algebrcă este 4, ar 4, rezultă că u u este dagoalzablă, Test de autoevaluare 9 Fe V 3 ş u Ed ( 3 ) astfel îcât M 4 ( u), ude { e, e, e 3 } este baza caocă a lu 3, ar e (,,) t, e (,,) t ş e 3 (,,) t Să se determe valorle propr ş vector propr a trasformăr u Este trasformarea lară u dagoalzablă? Răspusurle la test se vor da î spaţul lber d chear, î cotuarea euţurlor Fe V 4 ş u Ed ( 4 ) astfel îcât M ( u) 4, ude { e, e, e 3, e 4 } este baza caocă a lu 4, ar e (,,,) t, e (,,,) t, e 3 (,,,) t ş e 4 (,,,) t Să se determe valorle propr ş vector propr a trasformăr u Este trasformarea lară u dagoalzablă? Răspusurle la acest test se găsesc la paga 93 a aceste utăţ de îvăţare 74

80 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor 6 Forme blare ş forme pătratce 6 Forme blare Vom cosdera uma spaţ vectorale reale, de dmesue ftă Defţe Fe V u spaţu vectoral real Se umeşte formă blară pe V o aplcaţe b: V V care are propretăţle: ) b ( ', y) by (, ) b ( ', y ), by (, y') by (, ) by (, '); ) b(, y) b(, y ), b (, y) by (, ), orcare ar f ş orcare ar f Dec b este, ', y, y' V lară î fecare argumet Forma blară b se umeşte smetrcă dacă, yv by (, ) by, (, ) orcare ar f Eemple Fe spaţul vectoral, V Aplcaţa b: V V, b((, y),(, y)) y y este o formă blară smetrcă, ar aplcaţa b': V V, b'((, y),(, y)) y y este o formă blară care u este smetrcă a a Fe A M( ) o matrce, V ş b: V V deftă a a pr b((, y),(, y)) a ay ay ayy Se verfcă uşor că b este o formă blară Dacă A este o matrce smetrcă, atuc forma b este, de asemeea, smetrcă 3 Fe, ş fucţle fg, defte pr f( ) ş g ( ), Aplcaţa b :, by (, ) f( gy ) ( ) este o formă blară smetrcă Matrcea ue forme blare Fe V u spaţu vectoral, dmv, { e, e, e } o bază a lu V ş b : o formă blară Dacă e, y yje j sut vector a lu V, atuc j by (, ) be, ye j j ybe j (, e j) j, j Dacă otăm cu aj b( e, e j), atuc by (, ) ay j j Matrcea A( a ) M ( ) se umeşte matrcea forme blare b î baza j Propozţa O formă blară b : este smetrcă dacă ş uma dacă matrcea forme blare îtr-o bază oarecare este smetrcă Demostraţe Fe { e, e, e } o bază a spaţulu V Dacă b este smetrcă, atuc be ( j, e) be (, e j), adcă aj a j petru orce, j ş dec matrcea A ( a j ) este smetrcă 75, j

81 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Ivers, să presupuem că matrcea A ( a j ) a forme blare b î baza este smetrcă Dec be (, e) a a be (, e) petru orce, j Dacă, yv, ş dec b este smetrcă e, j j j j y ye, j j atuc: j by (, ) be, ye j j ybe j (, ej) j, j y jbe ( j, e) bye j j, e b( y, ), j j Teorema Fe V u spaţu vectoral real, dmv, b : o formă blară, { e, e,, e }, ' { e', e',, e '} două baze ale lu V ş P ( p ) M ( ) matrcea de trecere de la la ' Dacă A ş A ' sut j matrcele lu b î bazele, respectv Demostraţe Avem j j ', atuc t A' PAP e ' p e, j Dacă A ( a ), A' ( a ' ), atuc aj b( e, e j), a' j b( e', e ' j) ş dec: aj ' b( e ', ej ') t bpkek, pljel pk pljb( ek, el ) plj alk pk pjl alk pk k l k, l l k l k t t Pr urmare, a' j pjl alk p k, orcare, j Dec A' PAP, l k t t ude P ( p jl ) este traspusa matrce P Corolar Cu otaţle d teorema precedetă, A ş A ' fd matrcele asocate forme blare b î bazele ş respectv ', avem: rag A rag A ' Defţe Acest corolar e permte să dăm: Se umeşte ragul forme blare b, ragul matrce A asocată lu b îtr-o bază oarecare a lu V j j 76

82 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor 6 Forme pătratce Forma caocă a ue forme pătratce Defţe Fe V u spaţu vectoral real O aplcaţe q: V se umeşte formă pătratcă, dacă estă o formă blară smetrcă b: V V, astfel îcât q ( ) b (, ) orcare ar f V Se spue că q este forma pătratcă asocată lu b Dacă dm V ş { e, e,, e } este o bază a lu V, atuc orce V se scre î mod uc, j e, ude,, atuc q ( ) a j j, ude aj aj b( e, e j ) Observaţe Dacă b: V V este o formă blară smetrcă, ar q: V forma pătratcă asocată, q ( ) by (, ), atuc: Eemplu q( y) b( y, y) b(, ) b(, y) b( y, y) q( ) q( y) b(, y ), de ude by (, ) q ( y) q ( ) qy ( ) Dec forma blară b este uc determată de forma pătratcă Să se determe forma blară a căre formă pătratcă asocată este 3 q :, q ( ), 3 3 ude e e e 3 3, { e, e, e 3} fd baza caocă a lu 3, ar e (,,), e (,,), e 3 (,,) Soluţe Dacă y, 3, e e e 3 3 ş y yeyey3e 3, avem: by (, ) q ( y) q ( ) qy ( ) (( y) ( y ) ( y ) ( y )( y ) ( y )( y ) y y y3 yy yy 3) Efectuâd calculele d membrul drept se obţe: b(, y) yy 3y3 y yy3 3y Problema formelor pătratce este următoarea: Fd dată o formă pătratcă q, să se determe o bază astfel îcât q să abă o reprezetare cât ma smplă, cu cât ma mulţ coefceţ a j ul Dacă matrcea ue forme pătratce reale îtr-o bază are forma dagoală, atuc forma pătratcă se scre: q ( ), ude, O astfel de bază se umeşte bază caocă petru q, ar epresa de ma îate se umeşte forma caocă a forme pătratce q Esă ma multe metode de reducere a formelor pătratce la forma caocă I) Metoda lu Jacob 77

83 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Teorema (Jacob) Fe V u spaţu vectoral real, dm V ş { e, e,, e } o bază oarecare a sa Fe q ( ) b (, ) o formă pătratcă pe V a căre matrce î baza este A( a ) M ( ) Dacă determaţ: j a, a a a a a 3 a a, 3 a a a3 a3 a3 a33,, det A sut eul, atuc estă o bază ' { e', e',, e '} a lu V astfel îcât k q ( ) yyy, ude k,, k, ar y k, k sut coordoatele vectorulu î baza ' Demostraţe Costrum baza ' astfel îcât: e ' e, e ' e e,, e ' e e e cu codţle k be (, e ') petru k, k ş be (, e '), k k Petru k se obţe be (, e ') be (, e) a, de ude Presupuem că am găst vector e a ', e ',, ek ' Puâd codţle be (, e k '), be (, e k '),, be ( k, e k ') ş be ( k, e k ') se obţe sstemul de ecuaţ lare: cu ecuoscutele,,, a k ak akkk, a k ak akkk, a a a, k k k k kk kk k k kk Coform regul lu Cramer, obţem: a a ak a a ak k kk k a, k a, k ak, k a a a k k kk Atuc, dacă U ( ) M ( ), rezultă că j k detu Dec ' { e', e',, e '} este o bază a lu V Petru orce k, k ş k, avem ak ' b( e ', ek ') btet, ek ' tb( et, ek ') t t petru orce k, matrcea asocată lu b î baza ' fd A' a ' M ( ) este dagoală ş, î plus, smetrcă Atuc matrcea j k k 78

84 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Eemplu k k avem relaţa: akk ' b( ek ', ek ') b tket, ek ' kkb( ek, ek ') kk, t k adcă q ( ) y y y, petru orce ye k k ' V Folosd metoda Jacob să se aducă la forma caocă forma pătratcă k 3 q :, q( ) Soluţe Matrcea lu q î baza caocă 3 este: Deoarece, a a a3 A a a a3 3 a3 a3 a33 ş 3 3 sut eul, putem aplca metoda lu Jacob Rezultă că forma caocă a lu q ( ) î baza ' { e ', e ', e 3 '} este q ( ) y y y 3 Să determăm baza ' { e ', e ', e 3 '}, ude: e ' e, e ' e e, e ' e e e Dacă q este forma pătratcă asocată forme blare b, determăm coefceţ,,, 3, 3, 33 î modul următor: D codţa be (, e') deducem că ş dec e' e (,,) D codţle be (, e') ş be (, e') rezultă sstemul, de ude ş e' ee (,, ) Petru a determa e ' avem 3 codţle be (, e ') be (, e ') ş be (, e ') Rezultă sstemul: , de ude ş dec: e3' e e e 3,, Dec baza ' î care forma pătratcă q are forma caocă este ' { e ', e ', e 3 '}, ude e ' (,,), e ' (,, ) ş e 3 ',, Avem q ( ) y y y 3, ye ' ye ' ye 3 3' II) Metoda lu Gauss 79

85 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Metoda lu Gauss de reducere a ue forma pătratce la forma caocă costă î gruparea coveablă a termelor ş restrâgerea de pătrate Fe V u spaţu vectoral real, dmv ş q o formă pătratcă avâd î raport cu baza { e, e,, e } epresa q ( ) a j j Atuc estă o bază ' { e', e',, e '} a lu V ş,,, astfel îcât petru orce V, q ( ) y y y, ude: Dacă, j ye' ye ' y e ' q ( ), aceasta este forma caocă Dacă q ( ) este eulă, dstgem două cazur: estă cel puţ u dce,, astfel îcât a ; orcare ar f,, a, dar estă dc j, astfel îcât a j Putem presupue, fără a restrâge geeraltatea, că a Făcâd schmbarea de coordoate, y y, yy ş y petru orce 3, atuc termeul a al lu q ( ) are forma a ay a y Cum a a, terme care coţ pe y ş y au coefceţ eul ş astfel am redus sutuaţa la cazul Fe, pr urmare, o formă pătratcă q astfel îcât estă,, cu a ş după cum am văzut putem presupue că a Ma îtâ, dacă a, screm: q ( ) a ( a a a ) q'( ), ude q'( ) este o formă pătratcă care u coţe pe Notăm: y a a a ş screm sus, dacă a ', screm:, j q'( ) aj ' j La fel ca ma q'( ) a' ( a ' a ' a ' ) q''( ), 3 3 ude q''( ) u coţe pe (ş c pe ) Notăm y a' a3' 3 a' ş se cotuă procedeul cu q''( ) şamd După u umăr ft de paş, găsm o eprese a lu q de forma: q ( ) yyy cu,,, Matrcea trasformăr coordoatelor este trughulară ş aceasta dă o trasformare de baze 8

86 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor Observaţe Fe { e, e,, e } ş ' { e', e',, e '} două baze ale spaţulu a a a vectoral V ş a a a A matrcea de trecere de la baza a a a la ' e' e Avem e' e t A e' e Dacă vectorul V se scre î cele două baze ş respectv ', e e e ş ' ' e ' ' e ' ' e ', atuc : ' ' A, ' umtă formula trasformăr coordoatelor Î cocluze, dacă ' e' e ' C, atuc e' e t ( C ) ' e' e Eemple Folosd metoda lu Gauss să se aducă la formă caocă forma 3 pătratcă q :, dată î baza caocă a lu 3, q ( ) Soluţe Baza caocă a lu 3 este { e, e, e3} e,, ş 3,, e Observăm că a Avem succesv:, ude 5 q ( ) ( 3) ( ) 5 Atuc q ( ) y y y 3, ude: e,,, 8

87 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor y 3, 5 y 3, y, 3 3 ar ye ' ye ' ye 3 3', ude ' { e', e', e3'} este oua bază Să determăm baza ' y Avem 5 y Dacă 5 C, d observaţa y3 3 e' 5 t precedetă rezultă e' C Dar C ş 5 5 e3' 3 t C, de ude e ' 5,,, e ',, ş e 3 ',, 5 Folosd metoda lu Gauss să se aducă la formă caocă forma 3 pătratcă q :, dată î baza caocă a lu 3, q( ) Soluţe Deoarece a petru orce 3 ş a, facem schmbarea de coordoate y y, y y, 3 y 3 Obţem q ( ) y y 4yy 3 8yy, 3 ude ye ' ye ' ye 3 3' este scrs î oua bază ' { e', e', e3'} Cum coefcetul lu y este, obţem, succesv, q ( ) (y y3) y3 8 yy 3 (y y3) (y 4 y3) 6y3 Puem: z y y3, z y 4 y3, ( ) z y, 3 3 8

88 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor ş obţem q ( ) z z 6z 3, ude ze '' ze '' ze 3 3'' este scrs î baza '' { e'', e'', e3''} Să determăm baza '' Avem y, y ş y3 3 ş, îlocud î () deducem: z, 3 z 4, z z Avem z 4 Dacă C 4, d observaţa z e'' e t precedetă rezultă e'' C e Dar C ş e3'' e 3 t C, de ude e '',,, e '',, ş 3 e '' 3,, Forma ormală a ue forme pătratce Fe V u spaţu vectoral real, dmv ş q: V o formă pătratcă Am văzut că estă o bază a lu V, astfel îcât: q ( ) y y y, ude y, y,, y sut coordoatele lu î baza cosderată, ar,,, Această eprese este forma caocă a lu q, ar baza î care q are o formă caocă este baza caocă Prtr-o reumerotare putem presupue că,,, l sut coefceţ poztv,,, l sut coefceţ egatv ş r,, r sut ul Făcâd schmbarea de coordoate: z y, l, zj jy j, l j r, zk yk, r k, se obţe: q ( ) z zl zl zr 83

89 Observaţe Elemete de algebră lară ş teora poloamelor O formă caocă a căre coefceţ sut,, +, se umeşte formă ormală Matrcea aceste forme este C dag(,,,,,,, ), ude se repetă de l or, de r l or ş de r or Numărul r este u varat deoarece repreztă ragul matrce asocate forme pătratce, fd umt ragul forme pătratce Forma caocă la care se reduce o formă pătratcă dată u este î geeral uc determată De eemplu, fe forma pătratcă: q( ) Î eemplul ) de ma îate am arătat că : q ( ) y y 6y3, ude y, y 4, y De asemeea, q ( ) z 6z 8y3 ude z 3, z 3, z U rezultat fudametal al teore formelor pătratce arată că dferet de metoda de reducere la forma caocă, umărul coefceţlor poztv, egatv sau eul este acelaş Teorema 3 (legea de erţe a formelor pătratce a lu Sylvester) Fe V u spaţu vectoral real, dmv Petru orce formă pătratcă q: V, umărul coefceţlor poztv, egatv sau ul a forme caoce u depde de alegera baze î care q este adusă la forma caocă Demostraţe Fe două reprezetăr î bazele ş ale forme pătratce q sub formă ormală (obţute pr procedeele descrse ma îate), q ( ) y yk yk yr z zl zl zr Vom demostra că l k Să presupuem pr absurd că l k ş fe l k Dacă P ( p ) M ( ) este matrcea de trecere de la baza la, atuc j j j j y p z, Vom arăta că estă vector V astfel îcât să satsfacă relaţle: zl zr zr z ş y y k, care sut î umăr de l k Se obţe astfel sstemul lar omoge: pz pz p lzl, p z p z p z, k k kl l î care umărul de ecuoscute este ma mare decât umărul de ecuaţ Pr urmare, sstemul are ş soluţ eule Rezultă că petru vector V 84

90 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor care satsfac relaţle de ma sus, avem: q ( ) y k yr z z, l cotradcţe Dec l k ş, î plus, r l r k, adcă umărul coefceţlor poztv ş respectv egatv d cele două forme ormale ale lu q ( ) este acelaş 6 4 Forme pătratce poztv defte Forma pătratcă reală ) q ( ), orcare ar f V ; ) q ( ), dacă ş uma dacă q: V se umeşte poztv deftă dacă: Propozţa Fe V u spaţu vectoral real, de rag r Fe forma ormală: dm V ş q: V o formă pătratcă q ( ) y yk yk yr () Avem următorul rezultat: Cu otaţle precedete, forma pătratcă q este poztv deftă dacă ş uma dacă r k ( r, k ş sut umerele d forma ormală ()) Demostraţe Dacă r k, îtr-o bază caocă a lu V, avem că q ( ) y y, orcare ar f V Dec q ( ) ş q ( ) dacă ş uma dacă, adcă q este poztv deftă Recproc, fe q este poztv deftă ş { e, e,, e } o bază caocă a lu V Petru orce avem e ş dec: qe ( ) be (, e) a Rezultă, evdet, k r Teorema 4 (crterul lu Sylvester) O formă pătratcă q este poztv deftă dacă ş uma dacă toţ mor prcpal a matrce asocate lu q îtr-o bază oarecare sut poztv Demostraţe Fe { e, e,, e } o bază oarecare a spaţulu vectoral real V cu dmv ş A ( aj ) M ( ) matrcea asocată î această bază forme pătratce poztv defte q Petru k fe Vk V subspaţul vectoral geerat de { e, e,, e k } Avem că restrcţa forme pătratce q la V k este o formă pătratcă q k poztv deftă a căre matrce asocată î baza k { e, e,, ek} a lu V k este: A k a a a k a a ak M ak ak akk Aducâd pe q k la forma caocă (îtr-o bază ( ) q ( ), k k k k ' a lu V k ) avem: 85

91 ude Elemete de algebră lară ş teora poloamelor e V k ş, k Atuc matrcea asocată lu q k î oua bază ' este matrcea dagoală D dag(,,, ) Dacă k P k este matrcea de trecere de la baza k la baza k ', atuc D P t t t A P ş dec det D det( P A P ) (det P )(det A )(det P ) k k k k k k k k k k k k (det Ak)(det Pk) k(det Pk), de ude k, k Recproc, fe k, orcare ar f k D teorema rezultă că q ( ), ude e Pr urmare q ( ) orcare ar f V ş dec q este poztv deftă Eemple Forma pătratcă q ( ) este poztv deftă, deoarece mor e prcpal: 5 5,, k Observaţe sut poztv Forma pătratcă q ( ) u este poztv deftă, deoarece morul e prcpal de ordul al dolea, este egatv: 3 Aalog, pot f troduse forme pătratce egatv defte 86

92 Test de autoevaluare 3 Fe forma pătratcă q :, q ( ) Elemete de algebră lară ş teora poloamelor dată î baza caocă a lu 3 ) Să se determe forma blară b a căre formă pătratcă asocată este q ) Este forma pătratcă q poztv deftă? ) Să se aducă la formă caocă forma pătratcă q folosd metoda Jacob Răspusurle la test se vor da î spaţul lber d chear, î cotuarea euţurlor Folosd metoda lu Gauss să se aducă la formă caocă formele pătratce următoare, date î baza caocă a lu 3 : ) q ( ) ; ) q ( ) 3 3 Răspusurle la acest test se găsesc la paga 94 a aceste utăţ de îvăţare 87

93 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor 7 Cometar ş răspusur la testele de autoevaluare Test a) Da Folosm teorema de recuoaştere: matrcea 3 are 3 determatul egal cu 7, dec ragul matrce este egal cu umărul coloaelor b) Tot cu teorema de recuoaştere: matrcea 3 trebue să abă 3 a ragul < = umărul vectorlor = umărul coloaelor, adcă trebue să abă determatul a 9 egal cu Vector sut lar depedeţ dacă ş uma dacă a=9 a) Folosm d ou teorema de recuoaştere: matrcea 3 3 u poate avea ragul 3 = umărul vectorlor (ragul este ) Se poate îcerca ş drect: se arată că, de eemplu, (,3) este combaţe lară de (3,) ş (,) Îtr-adevăr, egaltatea (,3) = a (3, ) + b (,) reve la sstemul 3 a b 3 cu soluţa a, a 3 7 b b) Dacă avem u spaţu vectoral X de dmesue m ş vector d X, > m, atuc vector respectv sut lar depedeţ 3 3 a) Da Cu teorema de recuoaştere, rezultă că matrcea 3 are ragul =umărul llor b) Matrcea 3 cu determatul a 9 trebue să abă ragul < = 3 a dmesuea spaţlor = umărul llor, adcă trebue să avem: a 9 = a = 9 c) Am găst echvaleţele: {(, 3), (3, a)} este lberă {(,3),(3,a)} este mulţme de geerator a 9 Test a a a) Cu teorema de recuoaştere: matrcea are a a determatul egal cu, petru orce a R b) Coordoatele cerute sut umerele reale (uc determate!) ş y cu propretatea că (,) = (a,a+) + y(a+, a+) Ele sut soluţle a ( a ) y sstemulu cu soluţle =, y = ( a) ( a) y a) Nu Dmesuea lu R 3 este 3 88

94 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor b) Îtâ trebue} să verfcăm că vector (,,3) ş (,,) sut lar depedeţ Îtr-adevăr, matrcea are ragul, deoarece: 3 O bază posblă, obţută pr completare este {(,, 3), (,, ), (,, )} Î adevăr, determatul matrce este egal cu 3 3 Test 3 a) Dacă a =, aplcaţa T : R R, dată pr T(, y) = + y este lară (calcul!) Ivers, se presupue că T : R R, dată pr T(, y) = + y + a este lară Rezultă că T este omogeă, dec T((, y)) = T(, y) petru orce (,y) R Petru (,y)=(,), ar trebu să avem: T (, ) = T (, ), adcă: + + 4a = ( + + a) + 4a = + a a = a = Pr urmare: T este lară a= b) Dacă =, T()= ş T este, evdet, lară Ivers, dacă T este lară, trebue să avem T() = T() petru orce R, dec T() = T(), adcă: = = Aşadar, T este lară = a) T(z=+y) = y T((+ y) + (a + b)) =T(( + a) + (y + b)) = (+a) (y + b) = = - y + a b = T( + y) +T(a+ b) Petru tr :T(t( + y)) = T(t + t y) = t t y = tt( + y) b) Dacă T ar f C -lară, am avea: T( z)= T(z), petru orce z C Luâd îsă z =, avem: T( ) = T( ) = T( ) =, T( ) = ( ) = = 89

95 Test 4 a) cost st coss ss st costss coss Elemete de algebră lară ş teora poloamelor costcossstss costssstcoss stcosscostss stsscostcoss cos( st) s( st) s( st) cos( st) b) Avem det (A(t)) = cos t + s t =, dec A(t) este versablă Matrcea complemeţlor algebrc este: dec matrcea adjuctă este: cost st st cost, cost st A( t) st cost ş matrcea adjuctă cocde cu matrcea versă, deoarece determatul este egal cu a) T(,y)=(u,v) după regula de îmulţre: cost st u st costy v dec T(, y) = ( cos t + y s t, s t + y cos t ) b) Da, deoarece matrcea geeratoare A(t) este versablă c) Da La studul grupurlor, am văzut că A t este rotaţa de ugh t Test 5 a) T(, ) = (, ) ş T(,) =(,), dec matrcea căutată este: b) V este bază (teorema de recuoaştere) deoarece: det U vector (a,b) se scre î baza V astfel: (a,b) = (, ) + y (, ) = ( + y, y), dec: y a ab, y b y b adcă (a,b)=(a-b)(,)+b(,) Atuc: 9

96 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor T(, ) = (, ) = (, ) + (,), T(, ) = (, ) = (, ) + (,) Matrcea căutată este: a) Matrcea are dec forma t t t3 t ude t R, =,,, Atuc T(e )=t e, =,,, ş dec T(,,, ) T e T ( e) te ( t, t,, t ) b) Este eact matrcea de la b) Test 6 Matrcea sstemulu: t t are determatul t + a) Î R, t + >, dec sstemul este cramera b) Î C, ecuaţa: t + = are soluţle ş - Dacă t ş t, sstemul este cramera Dacă t =, sstemul deve: y y, fals y y Sstemul este compatbl Dacă t =, sstemul deve: y y, fals y y Sstemul este compatbl 9

97 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor a) Necuoscutele prcpale sut ş y: z y z z y y z z y Mulţmea soluţlor este: z z S,, z zk, ude K = R sau C b) Matrcea sstemulu este: t t t Morul format cu prmele două l este: t t Dacă t acest mor este prcpal ş ragul matrce este r = Aplcăm teorema lu Rouché Avem u sgur determat caracterstc: t ( t ), t care se aulează uma petru t = Sstemul are soluţe dacă ş uma dacă t = Î acest caz sstemul deve y y y y Mulţmea soluţlor este: S = {(a, a) ak} ude K = R sau C Test 7 D 8 3 D, U, V

98 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor 3 Determăm forma dagoal-caocă a lu A folosd propozţa d secţuea Avem ( A ), ( A) X, ( A) ( X ) 3 Dec 3 d, d X, d3 ( X ) ş forma dagoal caocă a matrce A este: Test 8 D X ( X ) Avem IX A X 5X IX B ş dec A B Avem IX 3 A Estă u sgur factor ( X ) ( X ) varat d ( X ) ( X ), dvzor elemetar sut: X ş ( X ), ar forma caocă Jorda este J A 3 Avem IX 4 A Factor varaţ sut: X ( X )( X 3) X, ( X )( X 3) ; dvzor elemetar sut: X, X ş ( X 3), ar forma caocă Jorda este: J A 3 3 Test 9 pu ( X )( X )( X 3) Valorle propr sut, ş 3 3 Vector propr petru sut de forma (,, ) t, petru sut de forma (,, ) t, ar petru 3 sut de forma (,,) t cu real eul Avem că u este dagoalzablă deoarece valorle propr sut dstcte Atuc MB( u) 3 93

99 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor pu ( X ) ( X 3) Valorle propr sut ş 3 Vector propr petru sut de forma (,,, ) t cu ş real, cel puţ uul eul, ar petru 3 sut de forma (,,,3 ) t cu real eul Dec L 3 {(,,,3 ) t } ş dm L 3 Dec multplctatea geometrcă a lu 3 este, ar multplctatea sa algebrcă este Cum acestea sut dferte, rezultă că u u este dagoalzablă Test ) b(, y) y3y 3y3 y yy3 3y y3 3y ),, 3 5 Dec q u este poztv deftă ) q ( ) y y y 3 ude y, y, y 3 sut coordoatele lu î baza 5 ' { e', e', e3'} Avem e ' (,,), e,,, e 3,, ) q ( ) y y y3 ude y 3, y 3, 5 y3 3, ar ye ' ye ' ye 3 3' este scrs î baza ' { e', e', e3'} 9 Avem e ',,, e ',,, e 3 ' 5 5,, 5 ) Cum a a a 33, puem y y, yy, 3 y 3 ş obţem : q ( ) y y yy ( y y) y y Dec q ( ) z z z 3 ude z 3, z, z3 3, ar ze '' ze '' ze 3 3'' este scrs î baza '' { e'', e'', e3''} Avem '',, '',, e '',, e, e, 3 94

100 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor 8 Lucrare de verfcare petru studeţ Idcaţ de redactare Problemele se vor rezolva î ordea d tetul euţulu Rezolvărle se vor epeda pe adresa tutorelu puct d ofcu,5p Fe X u spaţu vectoral de dmesue, Fe u, u,, u vector î X Să se arate că următoarele afrmaţ sut echvalete: a) Sstemul (u, u,, u ) este lar depedet b) Sstemul (u, u,, u ) este sstem de geerator petru X c) Mulţmea { u, u,, u } este bază petru X,5p Se cosderă spaţul vectoral: { f : [, ] R f este cotuă} Să se arate că vector f, g d X sut lar depedeţ, ude: f :[, ] R, f () = cos ; g :[, ] R, g()=\s,5p 3 a) Să se arate că U={(,),(,)} ş V={(,)(,)} sut baze î R b) Se cosderă matrcea M 3 Fe T=T(M; U, V) aplcaţa lară geerată de matrcea M î perechea de baze (U, V) Să se calculeze T(, y) petru orce (, y)r,5p 4 Să se calculeze ker (T)= ucleul lu T, ude T : R 3 R este aplcaţa lară deftă pr T(, y, z) = ( y, + y +z),5p 5 Să se dscute ş să se rezolve sstemul a y z ay z y z, ude a C este u parametru,5p 6 Petru ce valor ale parametrulu a C, polomul P = X 3 X X + a are rădăc multple? 95

101 Elemete de algebră lară ş teora poloamelor 9 Bblografe [] I Creagă, C Rescher, Algebră lară, Edtura Ddactcă ş Pedagogcă, Bucureşt, 97 [] H Ikramov: Recuel de problèmes d algèbre léare Edtos MIR Moscou, 977 [3] I D Io, N Radu: Algebră, ed III Ed Dd Ped Bucureşt, 98 [4] I D Io, C Nţă, D Popescu, N Radu: Probleme de algebră Ed Dd Ped Bucureşt, 98 [5] A Kurosh: Cours d Algèbre supereure, Ed MIR, Moscou, 973 [6] C Năstăsescu, C Nţă, C Vracu: Bazele algebre, vol I, Ed Acad RSR Bucureşt, 98 [7] C Năstăsescu, C Nţă, M Bradburu, D Joţa: Culegere de probleme petru lceu Algebra, clasele IX-XII Ed Rotech Pro Bucureşt, 4 [8] C Năstăsescu, M Ţea, I Otărăşau, G Adre: Probleme de algebră petru clasa a XII-a Ed Rotech Pro Bucureşt, 997 [9] C Năstăsescu, M Ţea, G Adre, I Otărăşau: Probleme de structur algebrce Ed Acad RSR Bucureşt, 988 [] O Stăăşlă: Aalză lară ş Geometre, Ed All, Bucureşt, [] I Gh Şabac: Matematc specale, vol I Ed Dd Ped Bucureşt, 98 [] G Şlov: Aalză matematcă (spaţ ft dmesoale) Ed Ştţfcă ş Ecclopedcă Bucureşt, 983 [3] V Voïévode: Algèbre léare Edtos MIR Moscou,

102 Elemete de Aalză Matematcă Utatea de îvăţare ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ Cuprs Obectvele Utăţ de îvăţare 97 Recaptularea elemetelor de Aalză Matematcă d lceu 98 Spaţ metrce Spaţ ormate 5 3 Lmtă ş cotutate (reluare) 57 4 Dervabltate 6 5 Dervate parţale ş aalctate 68 6 Itegrale mpropr 94 7 Itegrale curbl 98 8 Itegrale multple 9 Elemete de teora ecuaţlor dfereţale Cometar ş răspusur la testele de autoevaluare Lucrare de verfcare petru studeţ 8 Bblografe 3 Obectvele Utăţ de îvăţare După ce veţ parcurge această utate de îvăţare, veţ avea sufcete cuoştţe petru a putea face următoarele operaţ matematce ş a rezolva următoarele probleme: Idetfcarea umerelor care apar sau se cer î respectva problemă de aalză Îcadrarea probleme î uul sau ma multe captole de aalză Idetfcarea de propretăţ posble ale elemetelor cerute Determarea datelor prmordale ş a modulu cum trebue ţată procedura pe baza lor Preczarea velulu acceptabl de apromare petru soluţ Verfcarea rguroasă a îdeplr potezelor de lucru Aplcarea formulelor de calcul ale aalze petru rezolvarea probleme Eprmarea rguroasă a rezultatelor obţute Traspuerea probleme îtr-u cadru ma geeral (de eemplu, trecerea de la R la spaţ ormate), adaptâd metoda la cadrul ma geeral Modelarea cu ajutorul Aalze Matematce a uor probleme practce (de eemplu, calculul cu formule tegrale, de lugm, ar ş volume cocrete) 97

103 Elemete de Aalză Matematcă Recaptularea elemetelor de Aalză Matematcă d lceu Şrur ş ser Mulţmea umerelor reale se va ota, ca deobce, cu, ar dreapta reală R R, îcheată se va ota cu (reamtm că Vom lucra cu şrur ş ser de umere reale A Şrur de umere reale Î geeral, u şr este o secveţă de umere (reale) de forma,,,, 3 Ma geeral, vom putea cosdera u umăr atural ş vom putea cosdera u şr umerotat, îcepâd cu : Observaţe,,, Această geeralzare este ecesară, deoarece apar stuaţ câd u putem scre petru orce De eemplu, dacă : 4 Vom cosdera = 5 ş vom scre şrul 5, 6,, adcă:,,, 4 Vom ota, pe scurt, stuaţa de la () astfel: subîţeles, u şr se otează smplu: Dacă este O defţe rguroasă a oţu de şr poate f dată după cum urmează Se cosderă u umăr atural ş se otează:,,,, Atuc, u şr este o fucţe f, ude f f Aume, detfcăm Deobce se a = sau = Urmează prma defţe fudametală a Aalze Matematce: defţa lmte uu şr Petru a da această defţe, vom def îtâ oţuea de vecătate a uu elemet a Dacă a, umm vecătate a puctulu a orce mulţme de forma V a, a, ude >, este u umăr Aşadar, î acest caz, avem echvaleţa: V a < Dacă a, umm vecătate a puctulu, orce mulţme de forma: 98

104 V,,, Elemete de Aalză Matematcă ude > este u umăr Aşadar, î acest caz, avem echvaleţa Dacă forma: Eemple Şrul V > a, umm vecătate a puctulu, orce mulţme de V,,, ude > este u umăr Aşadar, î acest caz, avem echvaleţa: V <- u şr de umere (reale) ş a Spuem că Defţe Fe tde către a (î scrs a ), dacă: petru orce vecătate V a puctulu a estă u umăr atural (V) cu propretatea că petru orce V avem V Î aceste caz, spuem că a este lmta şrulu ş screm : a lm Alte deumr Spuem că u şr are lmtă dacă estă a, astfel îcât a lm (Ateţe! Dacă estă, lmta uu şr este ucă!) U şr se umeşte coverget dacă are lmtă ftă U şr care u este coverget, se umeşte şr dverget Şrul 3 Şrul, dat pr, dat pr, dat pr este coverget ş lm este dverget Aume: lm, adcă şrul:,,,,,,, este dverget, deoarece u are lmtă Să revedem defţa ufcatoare a lmte, î cazul câd lmta este ftă Aşadar, a (şrul este coverget) Avem echvaleţa: a (petru orce >, estă cu propretatea că, petru orce avem Am scrs a < ) () petru a marca faptul că depde de ε Relaţa () e spue că, dacă ε este sufcet de mc, valoarea apromează foarte be lmta a 99

105 Elemete de Aalză Matematcă Observaţe Să presupuem că şrul este coverget ş a Atuc, petru orce >, putem găs, ca ma sus Acest u este uc! Care este varabltatea lu? Prmul tp de varabltate: petru u ε dat, găsm ; atuc acest este bu petru orce, adcă avem petru orce, cu atât ma mult (v(*)) a < Refertor la acest tp de varabltate, cometăm că este dcat să găsm petru u cât ma mc Î acest fel, valoarea apromează (petru ) foarte be lmta a De eemplu, dacă luăm ε de forma, *, spuem că apromează pe a cu zecmale eacte Al dolea tp de varabltate: petru acelaş ε, dacă am găst u atuc orce umăr atural orce avem (v()):, este bu, î sesul că, petru a < Cocluzoăm cele de ma sus cu o cosecţă calculatore (calculul precs al lu (ε)), după cum urmează Fe u şr coverget către a Fe ş ε u umăr dat Atuc, mulţmea < petru orce A m a m Eemplu este evdă Fe (ε) cel ma mc elemet al mulţm A(ε) (orce mulţme evdă de umere aturale are u prm elemet!) Aşadar, acest (ε) este cel ma mc umăr m (depedet de ε), îcepâd de la care apromarea este ma mcă decât ε (adcă, avem petru orce m egaltatea a < ) Am putea să îl umm pe lm a pragul precs de apromare cu ε petru De obce, u se găseşte pragul precs, c se găseşte o valoare ma mare Eemplul care urmează este edfcator petru îtreaga dscuţe ateroară Să arătăm, folosd defţa, că lm Vom rezolva problema pr două metode Prma metodă (Metoda precsă )

106 Avem de arătat că, petru orce ε, estă petru orce avem: Elemete de Aalză Matematcă, cu propretatea că < () adcă : < > Evdet, este sufcet să arătăm că () are loc petru ε < Fe, dec, < ε < Notăm: P() = () ş () se rescre sub forma P() ( ) Tromul P() are dscrmatul 3 4 >, dec rădăcle sale reale sut: << (cttorul poate verfca sgur că <, adcă < ) Teora refertoare la semul tromulu e spue că ( ) este echvaletă cu < sau, ceea ce echvalează cu, deoarece am văzut că < Ajugem la următoarea cocluze: trebue să avem > (3) Îtr-adevăr, dacă u ar avea loc (3), am avea două posbltăţ: a) Î acest caz, luâd ce ar cotrazce ( ), ar rezulta P() =, ceea b) < Deoarece <, rezultă că < <, va rezulta P() <, ceea ce cotrazce ( ) Cocluza (3) e coduce la următorul rezultat fal ş precs: Cel ma mc umăr (ε) posbl este: 3 4 Ac, [ ] este partea îtreagă a lu Luâd Reamtm că, petru u umăr real, partea sa îtreagă [] este cel ma mare umăr îtreg ma mc sau egal decât, adcă avem smulta [ ], (4)

107 < + Elemete de Aalză Matematcă Cocluza de la (4) rezultă observâd că, dacă am lua u umăr atural m < [ ] +, ar rezulta m [ ] ş, folosd (3), se vede că u putem avea m = (ε) Aşadar, (ε) de la (4) este pragul precs de apromare cu ε petru () A doua metodă (Metoda majorărlor) Această metodă este ma puţ precsă Deobce, ea furzează valor (ε) care sut ma mar decât cea ma mcă valoare posblă Î schmb, această metodă este ma rapdă ş u ecestă raţoamete atât de delcate ca prma metodă D acest motv, această metodă este cosderată ma avatajoasă ş se foloseşte curet m cu propretatea că petru orce Căutăm dec m avem (v ()) < (5) Avem îsă, succesv, următoarele majorăr: < < Aşadar, petru a avea (5), este sufcet să avem < > Putem lua, dec: m (6) Vom compara rezultatele date de cele două metode, adcă (4) ş (6), petru valoarea, Vom obţe (calcule apromatve cu u PC): = 99,4964 Pr urmare, valoarea dată de (4) este: Pe de altă parte, î acest caz avem este m Putem verfca drect că valoarea posblă Îtr-adevăr, calculâd epresa: E, dec valoarea dată de (6) este cea ma mcă

108 Ateţe! Recaptulaţ sgur! obţem: petru =, valoarea caz: (valoarea = este acceptablă) petru = 99, valoarea caz: Elemete de Aalză Matematcă 8 E,995, dec, î acest 4 E,99749 <, 793 E 99,989975, dec, î acest 398 E 99,49 >, (valoarea = 99 este acceptablă) Dscuţ smlare se pot face ş î cazurle sau Teora lmte petru şrur este fudametală petru îtreaga Aalză Matematcă Îcheem ac prezetarea fudametelor aceste teor, recomadâd cttorlor să recaptuleze captolul Şrur d maualele de lceu, partea de Aalză Matematcă Se vor avea î vedere următoarele elemete: lmtele fudametale de şrur, teorema şrurlor mootoe, trecerea la lmtă î egaltăţ, operaţ algebrce cu şrur, etc 3

109 Elemete de Aalză Matematcă Test de autoevaluare Numm permutare a ue mulţm evde A orce aplcaţe bjectvă p : A A Arătaţ că u elemet a este lmta şrulu dacă petru orce permutare p : şrul dacă ş uma p tde către a Răspusurle la test se vor da î spaţul lber d chear, î cotuarea euţurlor Fe t Î ce codţ are lmtă şrul t? dat pr Răspusurle la acest test se găsesc la paga a aceste utăţ de îvăţare 4

110 B Ser de umere reale Elemete de Aalză Matematcă Vom dscuta ac foarte puţ despre ser, o epuere ma amăuţtă fd făcută î subparagraful 355 (Fucţ aaltce) Cosderăm u şr Costrum şrul S dat astfel S ş spuem că S = suma parţală de ord a sere () Se spue că sera () este covergetă, dacă şrul S este coverget Î acest caz, fe S lms Numărul S se umeşte suma sere () De multe or screm (cofudăm sera cu suma) S O sere care u este covergetă, se umeşte dvergetă Eemplele fudametale de ser la care e vom refer î cotuare sut: sera geometrcă ş sera armocă geeralzată Sera geometrcă de raţe a (ude a este dat) este sera adcă: a a a a Ea este covergetă, dacă ş uma dacă a < Î acest caz suma e este S a Sera armocă geeralzată (de epoet t) este sera () t Î cazul t =, sera se umeşte sere armocă Se arată că sera () este covergetă dacă ş uma dacă t Îcheem cu câteva preczăr prvd fracţle zecmale fte d puctul de vedere al teore serlor Câd screm egaltatea,333 avem î vedere apromărle d ce 3 î ce ma bue ale lu 3 : ,3;,33;,333 5

111 De fapt, scrd (cu zecmale) avem S, lms 3 Elemete de Aalză Matematcă Ma geeral, orce umăr real a, poate f reprezetat ca sumă a ue ser zecmale: ude a,,,9 (fracţe zecmală ftă) Dacă,, p a a (3) Screm (3) ş sub forma a, aa a3 a a a a p sut umere aturale, vom folos otaţa : aa a a a a a p p p p p Numărul a este raţoal dacă ş uma dacă poate f reprezetat ca suma ue ser zecmale perodce O astfel de sere zecmală poate f: a) Perodcă smplă (peroada îcepe de la prmul terme) de forma: a a ak a a ak k k k k aa ak aa ak Î acest caz, suma este: a k 9999 (avem la umtor k cfre 9) Eemplu,333 =,(3) = 3 99 b) Perodcă mtă (estă o parte eperodcă la îceput) de forma: b b b p a a ak p p p pk a a ak pk pk pk Î acest caz, suma este bb b aa a bb b bb b aa a bb b a 9999 (avem la umtor k cfre 9 ş p cfre ) p k p p k p p k Eemplu,33,

112 Elemete de Aalză Matematcă Sublem că teora se meţe ş petru alte baze de umeraţe b, b (î locul lu ) Î acest caz, umerele se repreztă ca sume ale uor ser b adcă de forma: u ude u,, b b Baza b = (dec u pot f ş ) este utlzată petru calculatoarele electroce Test de autoevaluare Arătaţ că sera este covergetă Care este suma e? Răspusurle la test se vor da î spaţul lber d chear, î cotuarea euţurlor Arătaţ că umărul reprezetat de fracţa zecmală ftă, (se umără cfrele d fecare grup) este raţoal Răspusurle la acest test se găsesc la paga a aceste utăţ de îvăţare Lmtă ş cotutate A Lmte de fucţ Noţuea de lmtă este oţuea de bază a Aalze Matematce Itutv, a trece la lmtă îseamă a te apropa orcât de mult de u puct, fără a spera să atg acel puct D acest motv, lmta se studază î pucte de acumulare 7

113 Elemete de Aalză Matematcă Defţe Fe A ş a Spuem că a este puct de acumulare petru A dacă are următoarea propretate: petru orce vecătate V a puctulu a, estă pucte AV, a Se arată că a este puct de acumulare petru A, dacă ş uma dacă, estă u şr de elemete d A\ a, cu propretatea că a Î cele ce urmează vom lucra î următorul Cadru de lucru Se cosderă o mulţme A ş u puct a care este puct de acumulare petru A Se ma cosderă ş o fucţe f : A Defţe Se spue că fucţa f are lmtă î puctul a dacă estă u elemet L cu propretatea următoare: petru orce vecătate V a lu L, estă o vecătate U a lu a, astfel îcât f V petru orce AU, a Se poate arăta că, dacă estă L, ca ma sus, atuc L este uc determat Atuc, î codţle de ma sus, dăm următoarea Deumre Numm pe L lmta fucţe f î puctul a ş screm Ma screm ş a L lm f a f L (spuem că f() tde către L, câd tde către a ) Dacă L ş a, obţem Defţa a lmte Avem echvaleţa: f a avem < >, < L lm f, A, a, a L Totul se poate reduce la lmte de şrur, după cum arată următoarea Teoremă (Defţa cu şrur a lmte) I Fe L Următoarele afrmaţ sut echvalete: L lm f ) Avem egaltatea a ) Petru orce şr de elemete d \ a, avem lmf L II Următoarele afrmaţ sut echvalete: ) Fucţa f are lmtă î puctul a ) Petru orce şr de elemete d \ a, estă lmf A a, cu propretatea că A a, cu propretatea că 8

114 Elemete de Aalză Matematcă Cosecţă Următoarele afrmaţ sut echvalete: ) Fucţa f u are lmtă î puctul a ) Estă u şr de elemete d \ a ş astfel îcât şrul f u are lmtă De eemplu, fucţa f : A a, cu propretatea că deftă pr f( ) s u are lmtă î puctul (u are lmtă la ), deoarece, dacă luăm, şrul f etc) f u are lmtă (avem p f ş 4p Remarcă mportată După cum se vede, î studul lmte ue fucţ îtru puct, u teresează comportametul lu f î acel puct (fucţa poate să u fe deftă î acel puct!) Ma târzu, la cotutate, va trebu ca valorle lu f î a ş î puctele apropate lu a să fe ş ele apropate Î acest ses, să cosderăm următorul Eemplu ) Se cosderă u umăr real t Defm fucţa ft : dacă ft t, dacă Atuc t pr lmf (valoarea lmte este aceeaş petru orce t ) Îtradevăr: dacă, avem f, dec petru orce şr, ) Se cosderă fucţa F \, deftă pr F lmf t lm( ) Atuc lmf lm( ) Practc, studul lmtelor î petru F ş toate f t este acelaş! Dacă mulţmea A este terval ş a R, putem vorb despre lmtele laterale ale lu f î puctul a Aume, dacă a u este etremtate stâgă (respectv dreaptă) a lu A, putem def lmta laterală la stâga (respectv la dreapta) a lu f î a după cum urmează: Lmta la stâga Se cosderă restrcţa lu f la mulţmea,a A, pe care o otăm cu g Dacă estă lm g, vom ota: a D D D lm g lm f f a a a lmta la stâga a lu f î a Lmta la drepta Se cosderă restrcţa lu f la mulţmea a care o otăm cu h Dacă estă lm h, vom ota: a D D D lm h lm f f a a a, A, pe lmta la dreapta a lu f î a 9

115 Dacă estă lm f a f î a ş sut egale cu lm f a Elemete de Aalză Matematcă, atuc estă ş lmtele laterale (care au ses) ale lu Teoremă Se presupue că a este teror lu A Atuc: Recproca este, evdet, falsă Fucţa f are lmtă î a, dacă ş uma dacă estă f a ş f a ş sut egale Î acest caz, lmta este egală cu valoarea comuă: lm f f a f a a Observaţe Dacă a este etremtate stâgă petru A, atuc: a spue că f are lmtă î a îseamă a spue că estă lmta la dreapta f (a +) Î acest caz, lm f f a a Eemplu Se cosderă fucţa f :, deftă astfel: a, dacă < f b, dacă a dacă ude a ş b sut umere reale Atuc, f are lmtă î dacă ş uma dacă a = (ş b poate lua orce valoare reală!) Îtr-adevăr: f a lm( ) f lm( a) a f f a, dacă b, dacă = Î acest caz avem f ş f lm Petru calculul practc al lmtelor de fucţ, se va ţe seama de următoarele fapte: Se pot face operaţ cu lmte de fucţ De eemplu, avem: f g f g lm lm lm a a a Aceasta îseamă că avem f : A (ca î cadrul geeral) ş g : A De asemeea, se presupue că estă: a a lm f L ş lm g G Se ma presupue că L + G are ses î Atuc rezultă că estă ş lm a f g L G Cosderaţ smlare petru alte operaţ Fucţle elemetare sut cotue (vom reve la cotutate asupra aceste epres), adcă avem petru astfel de fucţ lm f f a, a

116 dacă a este î domeul de defţe al lu f De eemplu, dacă f :, f 3, avem: 4 4 Se cuosc lmtele stadard lm e, Elemete de Aalză Matematcă lm f lm(3 ) 3 f 4 lm lm e, a lm l a, dacă a >, sa a s lm, dacă a, b (î partcular lm ) b b Se foloseşte teorema de compuere a lmtelor (lmta fucţlor compuse sau schmbarea de varablă î calculul lmtelor), adcă următoarea Teoremă Fe A, B mulţm evde Fe a puct de acumulare petru A, astfel îcât estă lm f b a Se presupue, î plus, că estă o vecătate U a lu a cu propretatea că f b U A \ a petru orce Se ma presupue că f A acumulare petru B! ) B (atuc, rezultă că b este puct de Fe, de asemeea, o fucţe g : B, cu propretatea că estă lm g y c y b Rezultă atuc că estă: lm g f c a (adcă fucţa compusă F : A, F g f î a ) Epuere schematcă: a f b y b g y c y f g f c are lmtă egală cu c

117 Eemplu Avem lm Elemete de Aalză Matematcă e Îtâ eplcăm euţul De fapt, avem fucţa F :,,, deftă pr F Trebue să vedem dacă F are lmtă î a = ş să calculăm (dacă estă) această lmtă Vom arăta cum se poate aplca teorema precedetă Avem, de fapt (dec ş atuc cosderăm fucţle: f :,,, f,,,, f g :,,, g y y y (deoarece trebue să avem + y > ş y ) Atuc, putem lua A,,, B,, Î plus, dacă luăm a = avem dacă a ş f b Apo, yb y Pr urmare Schematc, avem: B Cotutate ş putem forma F gf : A F lm f lm b a lm g y lm yy e c lmf e etc lm edetermare de tp ; y y y e Vom lucra î următorul Cadru de lucru Se cosderă o mulţme A, u puct a A ş o fucţe f: A R

118 Elemete de Aalză Matematcă Defţe Se spue că f este cotuă î a dacă are următoarea propretate: petru orce vecătate V a lu f(a ) estă o vecătate U a lu a cu propretatea că f() V petru orce U A Teoremă(Defţa ε - a cotutăţ) Avem echvaleţa: f este cotuă î a >, >, A, a < avem: f f a < Totul se reduce la lmte de şrur, după cum arată următoarea Teoremă (Defţa cu şrur a cotutăţ) Următoarele afrmaţ sut echvalete Fucţa f este cotuă î a Petru orce şr a avem f f a de elemete d A cu propretatea Puctele zolate (adcă puctele a A care u sut pucte de acumulare petru A) u preztă teres d puct de vedere al cotutăţ, deoarece, î astfel de pucte, fucţa f este automat cotuă Petru puctele a A, care sut ş pucte de acumulare, avem următoarea Teoremă (Legătura ître lmtă ş cotutate) Fe a A u puct care este ş puct de acumulare petru A Următoarele afrmaţ sut echvalete: Teoremă Eemplu Fucţa f este cotuă î a Estă lm a f ş avem lm f a = f(a ) Dacă A este terval, putem def cotutatea laterală Aume, dacă restrcţa lu f la,a A este cotuă, spuem că f este cotuă la stâga î a, ar dacă restrcţa lu f la a, A este cotuă, spuem că f este cotuă la dreapta î a Dacă a este teror lu A, atuc f este cotuă î a dacă ş uma dacă f este cotuă ş la dreapta ş la stâga î a Reluăm u eemplu studat la lmte de fucţ Fe a ş b umere reale Să vedem î ce codţ fucţa f : R R, deftă pr : a, dacă f b, dacă a, dacă este cotuă î Petru cotutate, trebue să avem lm f f 3

119 Elemete de Aalză Matematcă Î prmul râd, am observat că f are lmtă î = dacă ş uma dacă a = lm f Apo f () = b Î acest caz Pr urmare: f este cotuă î dacă ş uma dacă a = ş b = Î acest caz, fucţa f : R R este deftă pr f () = + Teorema de compuere a fucţlor cotue Fe A, f : A ş a A, cu propretatea că f este cotuă î a Fe B, astfel îcât f A B Cosderăm ş o fucţe g : B R care este cotuă î f (a) Atuc fucţa gf : A este cotuă î a Test de autoevaluare 3 Se cosderă fucţle f : R R, f ş g : R R, g () = [] (Ac, [] = partea îtreagă a lu Aume, [] este acel uc umăr îtreg m cu propretatea m < m + ) Care d cele două fucţ este cotuă î? Răspusurle la test se vor da î spaţul lber d chear, î cotuarea euţurlor cos Să se calculeze lm Răspusurle la acest test se găsesc la paga a aceste utăţ de îvăţare 4

120 Teoremă Aplcaţe Elemete de Aalză Matematcă Cotutatea se poate studa ş global Aume, avem următoarea Defţe Fe A ş f : A R Se spue că f este o fucţe cotuă dacă are propretatea că este cotuă î toate puctele lu A Propretatea ue fucţ de a f cotuă este globală (adcă se referă la îtreaga fucţe, prvtă î toate puctele ude este deftă) Fucţle cotue au propretăţ specale Vom meţoa, î îcheerea acestu paragraf, două propretăţ specale ale fucţlor cotue Fe A u terval ş f : A R o fucţe cotuă Atuc, f are propretatea lu Darbou (adcă: petru orce terval I A, mulţmea f (I) este terval) Să se arate că ecuaţa: 3 are o sgură rădăcă reală, plasată î tervalul (,) Î adevăr, dacă screm f : R R, ude: 3 f () =, atuc: f = u + v ude u 3, v ş fucţle u : R R, v : R R sut strct crescătoare Rezultă că f este strct crescătoare, dec jectvă Atuc f poate avea cel mult o rădăcă Avem f ( ) = ş f () = Cum f ( ) < < f (), rezultă că trebue să este a (,) aşa ca f (a) =, deoarece f ( [,] ) este terval, etc Teoremă Dacă < a < b < ş f : a, b ab, ş ab, cu propretatea că f a, b f, f este cotuă, atuc estă (spuem că f este mărgtă ş îş atge margle) 3 Dervabltate Se cosderă u terval (edegeerat) I, u puct a I ş o fucţe f : Defţe Se spue că f are dervată î a dacă estă: f f a D lm fa a a Elemetul fa se umeşte dervata lu f î a Dacă f are dervată î a ş f a, spuem că f este dervablă î a Reţem: f este dervablă î a f are dervată î a ş dervata este ftă Defţe Fe A I Spuem că f este dervablă pe A dacă f este dervablă î orce puct a A Î cazul partcular câd f este dervablă pe I, spuem că f este dervablă 5

121 Observaţe Elemete de Aalză Matematcă Î mod rguros, defţa faptulu că f are dervată î a trebue prvtă astfel: a) Se cosderă fucţa P : I \ a, deftă pr: f f a P a b) Se observă că a este puct de acumulare petru I \ a c) Are ses să studem lmta lu P î a Dacă estă lm P f a, a spuem că f are dervată î a ş f (a) este dervata lu f î a Smlar, dacă a u este etremtate stâgă (respectv dreaptă) petru I, putem cosdera (dacă estă) a < a def f f a f s a lm dervata la stâga a lu f î a; a Eemple dacă f s (a) R, spuem că f este dervablă la stâga î a (respectv f f a f d a lm dervata la dreapta a lu f î a; dacă f d (a) R, a a > a spuem că f este dervablă la dreapta î a) Dacă a este teror lu I, se vede că: f are dervată î a f are dervată la stâga ş la dreapta î a ş avem f s (a) = f d (a) (î acest caz f (a) = f s (a) = f d (a)) Dacă a este etremtatea stâgă (respectv dreaptă) petru a, faptul că f are dervată î a reve la faptul că f are dervata la dreapta (respectv la stâga) î a (î acest caz, f '( a) f a f '( a) f a )) (respectv d Îate de a da câteva eemple, reţem următorul rezultat mportat (care u admte recprocă) Propozţe Dacă f este dervablă î a (respectv f este dervablă la stâga sau la dreapta î a) rezultă că f este cotuă î a (respectv este cotuă la stâga sau la dreapta î a) ) Fe f : R R, deftă pr f () = Atuc f este dervablă ş avem petru orce a R Î adevăr, dacă a, avem: f a a s f f a a a a a a a ) Fe u umăr atural eul Fucţa f : R R deftă pr, dacă f este cotuă î ş este dervablă î, s, dacă dacă ş uma dacă (de fapt, petru =, fucţa f u are dervată î ) 6

122 Elemete de Aalză Matematcă f Cotutatea rezultă d faptul că avem Petru a studa dervabltatea, formăm raportul caoc petru : f f P s Dacă =, avem P u are dervată î Î adevăr, dacă, avem ş P dacă y, avem y ş P y Dacă, avem 3) Fucţa sg : are dervată î, aume s ş se vede că u estă lm P P, dec f () =, deftă pr, dacă < sg, dacă, dacă > f, dec f f f Î adevăr, dacă, avem Această fucţe u este dervablă î (de altfel este dscotuă î ), deş are dervată (ftă) î 4) Fe t R Fucţa f :, f, deftă pr, dacă t s, dacă > este dervablă î, dacă ş uma dacă t Î acest caz, dervabltatea î reve la dervabltatea la dreapta î Petru, raportul caoc este Dacă t, u estă lm P P f t f s (dec f u are dervată î ) Îtr-adevăr, vom arăta acest fapt separat petru t < ş t = Dacă t <, luăm şrurle ş y, defte pr: ş obţem:, y 3 7

123 P t, Elemete de Aalză Matematcă P y t 3 Dacă t = obţem P ş Py Dacă t, avem: dec lm P, adcă f () = t P, etc, dacă 5) Fucţa f :, deftă pr f este, dacă > cotuă î, dar u are dervată î (ude are dervate laterale eegale) Cotutatea î este baală (se va testa cotutatea laterală) Î ceea ce prveşte dervabltatea î vom observa că P P f f, dacă < f f, dacă, dec, trecâd la lmtă lateral ' ' lmp f f lmp către, vom obţe s d < > Ateţe! Recaptulaţ sgur! Cttorul va recaptula sgur formulele petru calculul dervatelor fucţlor elemetare De eemplu: ', s ' cos etc De asemeea se vor recaptula regulle de bază ale dervăr De eemplu: f g' f ' g', fg ' f ' g fg ', f f ' g fg' g g Î cotuare câte ceva despre dervabltatea de ord superor Cosderăm îtâ dervabltatea de ord Defţe Petru f : I ş a I ca la îceput, vom spue că f este de două or dervablă î a dacă: ) Estă > cu propretatea că f este dervablă pe, ) Fucţa dervată f : a, a I f este dervablă î a aa I, care acţoează pr 8

124 Î acest caz: Elemete de Aalză Matematcă D f a f a f a = = dervata a doua a lu f î a (sau dervata secudă a lu f î a sau, îcă, dervata de ordul a lu f î a) Î geeral, dervata de ord se defeşte recuret, după cum urmează Defţe Se spue că f este dervablă de or î a dacă: ) Estă ε cu propretatea că f este dervablă de - or pe a, a I ) Fucţa dervată de ord, adcă fucţa f : a, a I, care acţoează pr dervablă î a Î acest caz: D f f a f a = dervata de ord a lu f î a, este Defţle de ma sus se pot da ş lateral (dervata a doua la stâga a lu f î a ) 3 Eemplu Dacă f : R R este deftă pr f avem: 3 f a a f a 6a 3 f a f a 6 f a, dacă 4, atuc, petru orce a R Urmează câteva teoreme fudmetale ale calcululu dfereţal (adcă ale teore dervate) Teorema lu Cauchy Fe f, g :[ ab, ] fucţ cotue, care sut dervable pe ( ab, ) Se presupue că g Atuc: a) Avem ga gb petru orce ( ab, ) b) Estă a < u < b cu propretatea că: f b f a f u g b g a g u Luâd g () = î teorema lu Cauchy, obţem Teorema lu Lagrage (Formula creşterlor fte) Fe f : [a,b] R o fucţe cotuă ş dervablă pe (a, b) Atuc: f b f a f u b a estă a < u < b cu propretatea că Î cazul partcular câd f (a) = f (b), d teorema lu Lagrage obţem 9

125 Elemete de Aalză Matematcă Teorema lu Rolle Fe f : [a, b] R o fucţe cotuă ş dervablă pe (a, b) astfel îcât f (a) = f (b) Atuc: estă a < u < b astfel îcât fu Notă D puct de vedere storc, teorema lu Rolle a apărut prma ş, cu ajutorul e, s-au dedus succesv teoremele lu Lagrage ş Cauchy Teorema lu Darbou Orce dervată are propretatea lu Darbou Ma precs: fe I u terval ş f : I o fucţe petru care estă F : I dervablă, astfel îcât F f (spuem că F este o prmtvă a fucţe f) Atuc: f are propretatea lu Darbou Petru a euţa teorema următoare, vom reamt următoarea Defţe Fe A, aa ş f : A Spuem că a este puct de mam local (respectv mm local) petru f, dacă estă o vecătate V a puctulu a, astfel îcât f () f (a) (respectv f () f (a)) petru orce V A Valoarea f (a) se umeşte mam local (respectv mm local) petru f U puct de mam sau de mm local se umeşte puct de etremum local, ar u mam sau u mm local se umeşte etremum local Acum putem euţa Teorema lu Fermat Fe I u terval, a I ş f : I R Se presupue că: a) Puctul a este teror lu I (adcă estă ε cu propretatea că a, a I) b) Fucţa f este dervablă î a c) Puctul a este puct de etremum local petru f Atuc f a Dervatele e ajută ş la calculul de lmte de fucţ Î acest ses, vom euţa regulle lu L Hosptal Aceste două regul (teoreme) au u Cadru comu Fe I u terval ş a u puct de acumulare petru I Fe fg, : I\ a două fucţ dervable Se presupue că: g petru orce I\ a f ' lm A ag ' a) Avem ' b) Estă Î cotuare prezetăm regulle lu L Hosptal Regula I a lu L Hosptal (cazul ) Î plus, faţă de cadrul comu, se presupue că: Atuc: estă f g lm lm a a () Avem g () petru orce I\ a

126 () Estă f lm a g A Elemete de Aalză Matematcă Regula a II-a a lu L Hosptal (cazul ) Î plus, faţă de cadrul comu, se presupue că: Atuc: estă lm g a () Estă o vecătate V a lu a cu propretatea că g () petru orce V I\ a () Estă f lm a g A Notă Î multe cărţ, regula II este cuoscută sub deumrea de cazul, deoarece, î euţur, se cere î plus ca lm f (poteză eecesară!) a Urmează câteva cosecţe mportate ale teoremelor de ma sus Î prmul rîd, avem Cosecţa teoreme creşterlor fte petru calculul dervate Fe I u terval, I ş f : I R Se presupue că u este etremtate stâgă (respectv dreaptă) petru I ş fe a < astfel îcât a, I (respectv < a astfel îcât, a I ) Se presupue că: a) Fucţa f este cotuă la stâga (respectv la dreapta) î b) Fucţa f este dervablă pe (a, ) (respectv (, a)) c) Estă lm f A (respectv lm a < a a > a f A ) Eemplu Atuc, estă dervata la stâga d f A ) f A (respectv dervata la dreapta Să aplcăm această teoremă î următorul Fe a ş b umere reale ş fe f : R R deftă după cum urmează f s a b,dacă, dacă > Să se determe a ş b astfel îcât f să fe dervablă Î prmul râd, este evdet că f este dervablă î orce (Eplcaţa este dată de faptul că propretatea de a f dervablă este locală:

127 Elemete de Aalză Matematcă a) Dacă <, avem f a b pe o vecătate V,, cu ε mc, luat astfel îcât + ε < a lu b) Dacă, avem f () = pe o vecătate V, a lu cu ε mc, luat astfel îcât ε Î ambele stuaţ, dervabltatea restrcţe lu f la V î (care este echvaletă cu dervabltatea lu f î ) este evdetă) Rămâe să studem dervabltatea lu f î Această dervabltate este f f echvaletă cu s d Prma etapă Dacă f este dervablă î (ceea ce se doreşte) rezultă că f este cotuă î Aşadar, este ecesar să asgurăm îtâ cotutatea lu f î Avem succesv: lmf ab f ; < > lmf 4 Aşadar: f este cotuă î a + b = 4 b = 4 a () A doua etapă Avâd cotutatea î (dec ş cotutatea) asgurată de (), putem să folosm cosecţa teoreme creşterlor fte La stâga: î codţle teoreme, luăm I = R, =, a =, dec, ş f a, petru orce Rezultă lmf a f < s La dreapta: luăm I = R, =, b =, dec f petru orce (, ) Rezultă lmf 4 f > Aşadar, avem f f a 4 s d d Cu () obţem b = 4 Î aceste codţ, fucţa (dervablă) f : R R este dată astfel: f Cosecţe prvd mootoa 4 4, dacă, dacă > Fe f : I R dervablă (ude I este u terval) Atuc ) f este crescătoare (respectv descrescătoare) f (respectv f ) petru orce I ) Dacă f f > respectv < cu ecepţa, cel mult, a uu umăr ft de pucte d I f este strct crescătoare (respectv strct descrescătoare)

128 Cosecţe prvd covetatea Elemete de Aalză Matematcă Fe f : I R (ude I R este u terval), dervablă de două or Atuc: f este coveă (respectv cocavă) f f ) petru orce I Reamtm că f este coveă, dacă are propretatea că: f t ty t f tf y, petru orce t [, ] ş orce, y I Spuem că f este cocavă dacă f este coveă (adcă: f t ty t f tf y, (respectv petru orce t [, ) ş orce, y î I) D puct de vedere geometrc, covetatea (respectv cocavtatea) îseamă că grafcul lu f se află dedesubtul (respectv deasupra) orcăre coarde A se vedea fgura ş fgura Fg Fg Cele de ma sus se aplcă la costrurea grafculu ue fucţ Îate de a prezeta u eemplu î acest ses, vom reamt defţa asmptotelor Fe I R u terval ş f : I R Defrea asmptote vertcale Fe I Spuem că dreapta de ecuaţe = este asmptotă vertcală petru grafcul lu f dacă estă ş este ftă cel puţ ua d lmtele laterale f ( ) sau f ( + ) Defrea asmptote oblce (î partcular orzotale) Se presupue că I este emărgt la dreapta (respectv la stîga) Spuem că dreapta de ecuaţe y = m + este asmptotă oblcă la (respectv la ) petru grafcul lu f dacă f estă lm m (respectv calculat ca ma sus, lm f estă lm respectv lm Î partcular, dacă estă m ) ş apo, cu m f m f m lm f (respectv lm f ) (ceea ce mplcă m =, vez ma sus!) spuem că dreapta de ecuaţe y = este asmptotă orzotală la (respectv la ) petru grafcul lu f 3

129 Eemplu Să reprezetăm grafc fucţa f : \ Deoarece Avem îsă: lm f ş f lm f Elemete de Aalză Matematcă, deftă pr m ş, u avem asmptote orzotale f lm lm lm f lm, dec dreapta de ecuaţe y = este asmptotă la petru grafcul lu f Smlar: f lm lm m ş lm f lm, dec dreapta de ecuaţe y = este asmptotă ş la petru grafcul lu f De asemeea: lm f lm f, < ş > dec dreapta de ecuaţe = este asmptotă vertcală la grafcul lu f Avem f petru, dec: f sau < pe -,, > pe -,-, f f Rezultă că =- este puct de mam local, ar = este puct de mm local f '' Avem ş, dec '' 3 < > f petru < ş '' > Tabel de varaţe - - f () f () - f () + + f petru Fg 3 4

130 Teoremă Elemete de Aalză Matematcă Îcheem prezetarea dervate cu câteva chestu legate de formula lu Taylor Cosderăm u terval I R, u puct a I ş o fucţe f : I R care este dervablă de or î puctul a (, atural) Polomul lu Taylor de ordul ataşat fucţe f î puctul a este fucţa T : deftă pr f a f a f a T f a a a a!!! Defm fucţa R : I pr R f T ş obţem formula (valablă petru orce I) f T R umtă formula lu Taylor de ord ataşată fucţe f î puctul a Fucţa R este umtă restul formule lu Taylor (de ord, ataşată lu f î a) Remarcăm că formula lu Taylor este teresată uma petru a (dacă = a, avem R (a) =, f (a) = T (a)) Se costată că, dacă este foarte apropat de a, rezultă că valoarea T () este foarte apropată de f (), dec T () apromează pe f () Schematc: at f Î acest ses, avem următoarea teoremă, care arată că R () tde către ma repede decât a câd tde către a: Avem a R lm a Îtărd potezele, obţem u rezultat ma precs Teoremă (Restul formule lu Taylor î forma lu Lagrage) Folosm aceceleaş otaţ ca ma sus Î plus, presupuem că f este dervablă de + or Atuc, petru orce I a, estă u puct u stuat strct ître a ş, cu propretatea următoare: u! f R a Cu alte cuvte, formula de ma sus cotuă formula d polomul lu Taylor, adcă formula lu Taylor se scre astfel: '' f ' a f a f f a a a!! f a f u a a!! Aplcaţe Dacă f : I este o fucţe polomală de grad, formula lu Taylor de ordul este precsă, adcă R Cu alte cuvte f T, adcă dezvoltăm pe f () după puterle lu a 5

131 3 Eemplu Luăm f ş a = Avem dec: Elemete de Aalză Matematcă 3 f ' f '' f ''' 3 f T3 f!! 3! Test de autoevaluare 4 Să se calculeze, folosd regulle lu L Hosptal s lm 3 (se vor verfca codţle de aplcare) Răspusurle la test se vor da î spaţul lber d chear, î cotuarea euţurlor Să se calculeze dervata fucţe l f :, f Răspusurle la acest test se găsesc la paga a aceste utăţ de îvăţare 6

132 4 Itegrabltate Elemete de Aalză Matematcă Defţle fudametale Vom cosdera u terval [a, b] (ude < a < b < ) O dvzue a lu [a, b] este u sstem de pucte a < < < < b (dec ) Vom ota o astfel de dvzue pr ; ma precs: Norma dvzu este umărul : a < < < < b, deft astfel: ma Vom ota cu dv ab, mulţmea dvzulor lu [a, b] Petru o dvzue ca ma sus, u sstem de pucte termedare este u sstem de pucte u, u, u, astfel îcât u, petru =,,, Vom ota pe scurt u astfel de sstem de pucte termedare după cum urmează: u Acum să cosderăm ş o fucţe f : a, b Defţe Cu otaţle care preced, se umeşte sumă Rema (sau sumă remaaă) ataşată fucţe f, dvzu ş sstemulu de pucte termedare u umărul S f def,, u f u Acum avem toate oţule ş otaţle ecesare petru a prezeta defţa tegrabltăţ ş a tegrale î sesul lu Rema Cu otaţ date, avem următoarea Defţe Se spue că fucţa f este tegrablă Rema (pe scurt, tegrablă) dacă: estă u umăr I cu propretatea că petru orce ε estă, cu propretatea că petru orce dvzue cu < ş orce sstem de pucte termedare u, petru avem: Formal, putem scre: < I S f,, u f este tegrablă D I, >, > sstem de pucte termedare petru : u, cu <,, dv ab, < I S f,, u Acum, să presupuemcă f este tegrablă Î defţe se spue că estă I R cu aumte propretăţ 7

133 Elemete de Aalză Matematcă De fapt, se poate arăta că I, dacă estă (adcă, dacă f este tegrablă), este uc determat Cu alte cuvte, umărul I este uc determat de fucţa tegrablă f Defţe Numărul uc determat I d defţa tegrabltăţ ue fucţ f se umeşte tegrala Rema a lu f (pe scurt, tegrala lu f) ş se otează astfel: I def b a f d Teoremă Teoremă Teoremă Ueor se ma scre ş b a f î loc de b a f d Cometaru Estă ş alte defţ ale oţu de tegrabltate ş (pe cale de cosecţă) ale tegrale De aceea vorbm de tegrală Rema, tegrabltate Rema etc De eemplu, tegrabltatea î sesul lu Lebesgue (ş tegrala Lebesgue) sut ma geerale Î prezetul curs vom vorb uma despre tegrabltatea ş tegrala Rema (dec vom putea omte umele) Cele ma mportate eemple de fucţ tegrable sut date de următoarele teoreme: Orce fucţe cotuă f : [a, b] R este tegrablă Orce fucţe mootoă f : [a, b] R este tegrablă Orce fucţe cotuă pe porţu este tegrablă (Refertor la ultma teoremă, trebue să preczăm terme) Vom um fucţe cotuă pe porţu o fucţe f : [a, b] R cu următoarea propretate: estă o dvzue : a < < < b cu următoarele propretăţ: f (, ) a) Petru orce =,,, fucţa este cotuă pe este cotuă), (adcă b) Estă ş sut fte: f lm f lm f lm f lm a a b b ş, dacă < <, estă ş sut fte lm f ş lmf Evdet, dacă, dec : a < b, codţle petru u se ma pu Petru o fucţe f ca ma sus ş, se costată că putem def f :, deftă astfel: fucţa cotuă f, dacă < < f lm f, dacă lm f, dacă 8

134 Elemete de Aalză Matematcă Petru o astfel de fucţe f, tegrala se calculează astfel: Eemplu b f d fd a Fe f : [-, ] R, deftă astfel:, dacă < f, dacă dacă < < 3 dacă = Ac = Aume, : = < = < = f :,, f f :,, f f d f d fd d d 3 6 Estă ş fucţ care u sut tegrable De eemplu, fucţa lu Drchlet, deftă astfel:, dacă este raţoal f :,, f, dacă este raţoal u este tegrablă Rema (Remarcă Această fucţe este, îsă, tegrablă Lebesgue ş tegrala sa Lebesgue este egală cu ) Propretăţ Regul de calcul ) Orce fucţe tegrablă (Rema) este mărgtă ) Fe f : [a, b] R, g: [a, b] R tegrable Atuc f + g este tegrablă ş avem b b b f gd f d gd a a a 3) Fe f : [a, b] R tegrablă ş R Atuc f este tegrablă ş avem b f d f d a 4) Fe f : [a, b] R, g: [a, b] R tegrable Atuc f g este tegrablă 5) (Aceste propretăţ sut cosecţe medate ale celor ce preced) b a d b a petru orce b b b f g d f d g d a a a petru f : [a, b] R, g: [a, b] R tegrable b a 9

135 6) Dacă f : [a, b] R este tegrablă ş cd, ab, d D d tegrablă Vom ota f d gd, ude c c Elemete de Aalză Matematcă g f 7) Fe f : [a, b] R tegrablă ş a < c < b Atuc (v 6)): b c b f d f d f d a a c cd,, rezultă 8) Dacă f : [a, b] R, g: [a, b] R sut tegrable ş f g avem b f d g d a 9) Dacă f : [a, b] R este tegrablă, rezultă că ş f :, tegrablă ş avem b f d f d a ) Fe f : [a, b] R o fucţe poztvă tegrablă ş cd, ab, (v 6)): ) Fe : [, ] f a b ş f :[ a, b] tegrablă Atuc: d f d f d c b a b a b a f este cd, a b este Atuc u şr de elemete d ( ab, ) Fe ş b a) Dacă b avem f d lm f d b) Dacă a avem f d lm f d a b a Trecem la câteva modaltăţ de calcul al tegrale Teorema fudametală a calcululu tegral este Formula Lebz Newto Fe f : [ a, b] o fucţe tegrablă care admte prmtvă (de eemplu, f poate f o fucţe cotuă) Atuc, petru orce prmtvă F :[ a, b] a lu f avem: b a a D a b f d F F b F a (Reamtm că o prmtvă a lu f este o fucţe dervablă F:[a,b] R, cu ab, ) propretatea că F () = f () petru orce Dacă F este o prmtvă a lu f, atuc F + C este ş ea o prmtvă a lu f, petru orce C R b 3

136 Elemete de Aalză Matematcă Petru orce fucţe cotuă f :[ a, b], estă F :[ a, b], care este prmtvă a lu f (se spue că f admte prmtvă)) Metodele uzuale de calcul petru tegrală sut următoarele: tegrarea pr părţ ş schmbarea de varablă Evdet, avem mereu î vedere formula Lebz Newto, dec trebue să ştm să calculăm prmtve Teoremă (Itegrarea pr părţ petru tegrale) Fe f : [a, b] R ş g: [a, b] R două fucţ dervable cu dervate tegrable (adcă fucţle f : [a, b] R, g : [a, b] R sut tegrable) Î aceste codţ avem: Schematc: f g Eemplu b a b b f g' d f g a f ' gd a ' d? f g f g g d b a f g f g f g d Să calculăm e d f g e f g e d e b a b a e d e e d e e e e e e e e Itegrala propusă este egală cu Cometaru Î calculul făcut, am avut g e ş, pr urmare, g trebue să fe o prmtvă a fucţe e Am luat drept prmtvă pe e (cea ma smplă varată) Puteam să luăm drept prmtvă ş pe C e, ude C R este o costată Rezultatul este acelaş, dar calculul este mult ma complcat! Îtr-adevăr, calculul făcut astfel este: e d? b a 3

137 f g e f g e C Elemete de Aalză Matematcă e d e C e Cd e C e C e Ce C e C e C e C e C Trecem la schmbarea de varablă Vom prezeta îtâ formula prcpală ş apo două reformulăr ale e Teoremă (Formula schmbăr de varablă) Fe I, J tervale î R ş u : I J, f : J R Se presupue că f este cotuă ş u este dervablă cu dervata u tegrablă (î partcular, u poate f cotuă) Atuc, petru orce două umere a < b d I, avem Cometar asupra euţulu: b ub a f u u d f t dt Schema cu fucţle f ş u care terv este: u IJ Dervata u : I R este tegrablă (î partcular, cotuă) 3 Deş a < b, u rezultă că u (a) < u (b) Petru a putea cuprtde ş cazurle celelalte (adcă stuaţa ua ( ) ub ( ) sau stuaţa ua ( ) ub ( )), vom face coveţle de calcul: D tdt D tdt tdt dacă 4 Formula se aplcă dacă u ( ) apare ca factor Reţem formula schmbăr de varablă după următoarea schemă: f u a 3

138 Elemete de Aalză Matematcă Schematc: b a? f u u d u a, t u a t b, t u b u d dt b a ub f u u d f t dt t dt u a Prmul eemplu Fe u umăr atural eul Să calculăm s cos d Observăm că s cos După schemă:, t s t, t cos d dt t s cos d t dt dt t Al dolea eemplu Să calculăm 4 5 d Observăm că Petru a pue î evdeţă dervata lu, vom scre tegrala sub forma: L = d = d 33

139 Elemete de Aalză Matematcă După schemă: 4 6 9, t t, t d dt 4 5 d = L = t dt 9 5 tdt 9 5 tdt (coveţa!) = t dt = 9 5 t 9 5 = 3 t t t = = Teoremă (Ctrea versă a formule schmbăr de varablă) Fe J u terval ş f : J o fucţe cotuă Fe ş a < b pucte î J Se presupue că estă u terval I, o fucţe u: I dervablă cu dervata cotuă ş două umere ş î I aşa ca u( ) a, u( ) b Î plus, admtem că ut () J petru orce t [, ], dacă < (respectv t dacă [, ] < ) Atuc, avem formula: Cometar asupra euţulu b f d f ut u t dt a Deumrea de ctre versă prove d faptul că, practc, varabla deve fucţa u (vez schema) Î acest calcul, puctul cetral este posbltatea rezolvăr ecuaţlor î, : u () = a, u () cu o fucţe u care trebue găstă Reţem această formulă după următoarea schemă: 34

140 Elemete de Aalză Matematcă Schematc: f d? b a u t d u t dt,, u t a u a u t b u b Eemplu b a ut u u t dt u f d f d f u t u t dt Să calculăm d Deoarece, dacă screm = s t, vom avea st cost : urmăm schema astfel: st, s st st, s d costdt d st costdt = cost cos t costdt = cost dt = costdt = cost dt st dt cos tdt s s Ultma formulă de schmbare de varablă pe care o prezetăm este deumtă a doua formulă a schmbăr de varablă (ueor) Î această formulă, apare versa geeralzată a ue fucţ Fucţa d formulă este strct mootoă, dec jectvă, ş are versa geeralzată Teoremă (A doua formulă a schmbăr de varablă) Fe I u terval, a < b pucte î I ş f :I o fucţe cotuă Fe ş X :, X ab, J Fe h: J a, b a b o fucţe cotuă ş strct mootoă Notăm: (dec J este u terval) versa geeralzată a lu X Se presupue că h este dervablă cu dervata cotuă Atuc avem formula: b X b f d f ht h t dt a X a 35

141 Elemete de Aalză Matematcă Schematc: f d? Vom reţe formula după următoarea schemă: b a X a, t X a t b, t X b X t h t d h t dt b a X b f d f h t h t dt ht h t dt Xa Prmul eemplu Să calculăm e d Ac apare fucţa strct crescătoare :,, X X e Î vom calcula versa geeralzată după cum urmează: X e, e t lt X e e Aşadar h:, e,, ht l Î plus h :, e, h t Putem aplca schema:, t e t, t e lt d dt t e d dt e = t t dt t t t, dec h este cotuă t e e e dt l t l t t t = e e lt lt le lle l l l l l Al dolea eemplu e e Să calculăm s d 36

142 Elemete de Aalză Matematcă La astfel de tegrale trgoometrce, se face schmbarea de varablă tg t () t t, s Rezultă, după cum se şte: cos t t D efercre, substtuţa () u poate f făcută petru valor ale lu de, forma Petru a calcula tegrala propusă, vom folos propretatea de trecere la lmtă ), deja meţoată (v subparagraful ) Ma precs: ude < <, lm d lm d s s, Fe, pr urmare, u umăr < a < Vom calcula ma îtâ tegrala I a a d () s Acum putem cosdera fucţa strct crescătoare: X :, a, tg O versăm geeralzat: X a X, X a tg, a tg t arctg t[, ] [, ) arctgt a Dec h:[,tg ], a, h t arctgt ş h' t t, pr urmare a h ':[,tg ] este cotuă Aplcăm schema:, t tg t a a, t tg X a arctgt d dt t 37

143 a X a I a d dt s t t t a a t X a dt dt arctg t t t t Xa X a arctg arctg Elemete de Aalză Matematcă Fe acum u şr aşa ca ş lm I Rezultă că tegrala propusă este (deoarece lm X ş lm arctg ), folosd (): d lmi s Test de autoevaluare 5 Să se calculeze 3 d Răspusurle la test se vor da î spaţul lber d chear, î cotuarea euţurlor f, deftă pr f Fe :,, dacă, dacă =, dacă Răspusurle la acest test se găsesc la paga 3 a aceste utăţ de îvăţare 38

144 5 Calcule de lugm, ar ş volume cu formule tegrale A Lugm de arce Elemete de Aalză Matematcă Practc, vom prezeta ac calculul lugmlor uor grafce de fucţ Fe f : a, b Grafcul fucţe f este mulţmea (plaă) graf f, f a, b (a se vedea fg 4 ude porţuea curbă este grafcul) y f ( ) Fgura 4 Teoremă Fe f : a, b o fucţe dervablă cu dervata f ':, a b tegrablă Atuc, lugmea grafculu lu f (pe care u o defm rguros!) este umărul l(f) dat pr formula b l f f ' t dt Eemplu Să calculăm lugmea grafculu fucţe f :,, dată pr f (dec, calculăm lugmea uu arc al parabole de ecuaţe Avem f ' O a b a, dec lugmea căutată este lf y ) 4 d Folosm formula a doua a schmbăr de varablă ş facem substtuţa lu Euler 4 t t 4 t Pr urmare: t 5 Pr rdcare la pătrat î formula de substtuţe: t t 4 4 4t t d dt 4t 4t t t 4 t t t t Itegrala deve: 5 t 4 t t t t 3 3 t 4t 8 t 8 t 5 5 t dt t 4lt t t t 5 dt dt dt 39

145 Elemete de Aalză Matematcă Eemplu 5 4l Remarcă De multe or, formula de ma sus u este aplcablă, deoarece u se îdeplesc codţle d poteză, relatve la fucţa F Să calculăm lugmea cerculu de rază Acest cerc are ecuaţa + y = Semcercul superor al acestu cerc este dat astfel: S, y y, y Rezultă că S graf f, ude f :,, f Petru a calcula lugmea semcerculu, adcă lugmea grafculu lu f, u putem aplca formula deoarece f u este dervablă î puctele ş Procedăm după cum urmează Vom cosdera u umăr < ε < ş f :,, dată pr fucţa f f Atuc, fucţa f ε este dervablă, cu dervata cotuă dată de formula Avem, dec f f Vom calcula atuc lugmea grafculu lu f ε (vez fgura 5) Fg 5 Acest grafc al lu f ε este o parte a semcerculu ostru ş are lugmea: l f d d arcs Se vede că, luâd petru ε valor d ce î ce ma mc, grafcul lu f ε tde să acopere îtreg semcercul Este, dec atural, să afrmăm că lugmea semcerculu este egală cu 4

146 Elemete de Aalză Matematcă lmlf lmarcs arcs Rezultatul este î cocordaţă cu ce ştm: semcercul are lugmea, cercul are lugmea B Ar B Ar de fgur plae mărgte de grafce de fucţ Defţe Fe f : a, b o fucţe poztvă (adcă f () petru [a, b]) Subgrafcul lu f este mulţmea: (vez fgura 6),,, S f y a b y f Teoremă Fe f :, Fg 6 Fg 7 Se vede că S(f) este trapezul curblu mărgt de dreptele vertcale de ecuaţ = a ş = b, de dreapta O ş de grafcul fucţe f a b o fucţe poztvă ş tegrablă Rema Atuc, subgrafcul lu f are are (u am deft î mod rguros ara!) dată de formula: aras f b a f d Eemplu Fe u umăr atural ş f :, dată pr f () = Atuc, ara subgrafculu lu f este aras f d Ma geeral, putem calcula ara porţu plae cuprse ître două grafce de fucţ Î mod precs: Teoremă Fe f : a, b, g : a, b două fucţ tegrable cu propretatea că f g (adcă f () g() petru orce [a, b]) Se cosderă mulţmea (vez fgura 7):,,, S f g y a b f y g Atuc S(f, g) are are dată de formula: b ara S f, g g f d a 4

147 Elemete de Aalză Matematcă De multe or se spue că S(f, g) este mulţmea cuprsă ître dreptele de ecuaţ = a, = b ş grafcele fucţlor y = f () ş y = g () Eemplu Să cosderăm fucţle f :,, f ş :, g Avem f g Să calculăm ara S(f, g) 3 3 ara S f, g d g, B Arle suprafeţelor de rotaţe (obţute pr rotrea grafcelor uor fucţ) Se cosderă o fucţe poztvă f :, a b al căru grafc se roteşte î jurul ae O (vez fgura 8) Î acest mod se geerează o suprafaţă SR(f) care se umeşte suprafaţa de rotaţe (geerată pr rotrea grafculu lu f î jurul ae O) Teoremă Fg 8 Se presupue, î plus, că fucţa f este dervablă cu dervata f ': a, b cotuă Atuc, suprafaţa SR(f) are are (u am deft î mod rguros ara!) dată de formula b arasr f f f ' d Eemplu Fe h ş m umere strct poztve Se cosderă fucţa f :, h, deftă pr f m Să calculăm ara SR(f) Avem f ' m, dec: h a h arasrf m m d m m m m h Iterpretare geometrcă Grafcul lu f este u segmet de dreaptă, care pr rotaţe geerează u co crcular drept cu vârful î orge, îălţmea h ş raza baze h m Cttorul va calcula ara laterală a acestu co ş va verfca egaltatea e cu ara găstă ma sus C Volumele corpurlor de rotaţe (obţute pr rotrea grafcelor de fucţ) Se repetă costrucţa de la puctul precedet B Se obţe u corp geometrc V(f) mărgt de suprafaţa de rotaţe de la puctul B, precum ş de capacele date de porţule plae corespuzătoare lu = a ş = b (vez fgura 8) 4

148 Elemete de Aalză Matematcă Spuem că V(f) este corp de rotaţe (geerat pr rotrea grafculu lu f î jurul ae O) Teoremă Fe, ca ma sus, fucţa poztvă f : a, b Atuc, dacă f este tegrablă Rema, mulţmea V(f) are volum (u am deft volumul î mod rguros!) dat de formula Eemplu volumv f f d Reluăm ultmul eemplu studat îate Atuc volum b a Teoremă Fe f :, h 3 h 3 Vf m d m m h 3 3 Acesta este eact volumul coulu crcular drept de îălţme h ş rază a baze m h D Cetrele de greutate ale plăclor omogee plae mărgte de grafce de fucţ Cosderăm o fucţe cotuă poztvă f :, a b Subgrafcul său (v B) cosderat ca placă omogeă, are cetrul de greutate G(f) Cosderete de apromare e coduc la următoarea a b o fucţe cotuă, poztvă ş eulă Atuc G(f) are coordoatele date de următoarele formule Gf b a b a f d f d ; ygf b Observaţe D poteze, rezultă că f d b a a b a f d f d Eemplu Să calculăm coordoatele lu G(f) petru f :,, f f d d, 3 3 f d d, 4 4 f d d, Gf, y Gf

149 Elemete de Aalză Matematcă Test de autoevaluare 6 Să se calculeze ara mulţm cuprse ître dreptele de ecuaţ 4 = - ş = ş grafcele fucţlor y ş y 3 Răspusurle la test se vor da î spaţul lber d chear, î cotuarea euţurlor Să se calculeze volumul de rotaţe obţut pr rotrea grafculu f : a, b, f î jurul ae O Ac a b ş fucţe * Răspusurle la acest test se găsesc la paga 3 a aceste utăţ de îvăţare 44

150 6 Calcule apromatve Elemete de Aalză Matematcă Aalza Matematcă este o ştţă a apromărlor Noţuea fudametală a Aalze Matematce lmta eprmă perfect această dee: e putem apropa orcât de mult de lmtă, fără speraţa de a o atge Aşadar, pr îsăş atura e, Aalza Matematcă geerează apromăr, care fac parte d teora e Câd se pue îsă problema lucrulu practc cu aceste apromăr (de eemplu, câd se pue problema umărulu de paş ecesar petru ca eroarea să fe ma mcă decât u umăr dat a se vedea îceputul aceste utăţ de îvăţare, aume ), atuc trăm îtr-u domeu specal al Aalze Matematce, aume este vorba de Aalza Numercă Î aceste paragraf vom eemplfca uma câteva posbltăţ de a face calcule apromatve cotrolate, î sprtul practc al Aalze Numerce Vom arăta, de eemplu, cum putem aproma valor umerce pe care u le putem calcula eact A Reluăm u eemplu d Avem: lm Am văzut că, petru < ε < dat, putem calcula: 3 4 [ ] ş avem, petru orce umăr atural egaltatea, ude Dacă otăm err, adcă err () măsoară dstaţa ître valoarea calculată (apromatvă) la pasul a lu, vom avea: petru orce err, De eemplu, după cum am văzut, petru ε =, avem (,) = Calculele de ma sus respectă cerţa fudametală a aalze umerce, aume cerţa de a cotrola eroarea făcută atuc câd calculăm valoarea apromatvă î locul valor eacte Pr cotrol îţelegem posbltatea de a spue cu precze pâă ude trebue dus calculul (de eemplu ac, cât de mare trebue să fe ragul al lu ) petru ca eroarea făcută să fe ma mcă decât u prag prestablt Notăm că eroarea deftă ca ma sus se ma umeşte ş eroare absolută B Să calculăm cos cu două zecmale eacte Evdet, cos u poate f calculat eact Petru a precza lucrurle, reamtm că î aalză ughurle se măsoară î rada, ar logartm sut atural, adcă î baza e 45

151 Elemete de Aalză Matematcă Pr urmare, cos îseamă cosusul uu ugh de rada Deoarece cercul îtreg (adcă 36 = 36 grade seagesmale) are 3,4 rada, rezultă că rada 57 3 Aşadar putem prevedea că cos cos, ude repreztă 6 Î plus, valoarea cos este 3 3 foarte apropată de Petru rezolvarea probleme vom folos formula lu Taylor Luăm f :, f cos Screm formula lu Taylor de ord ataşată fucţe f î puctul a =, petru valoarea : f f f!!! cos R!!! f f R Petru = avem dec: cos' cos'' cos f coscos R!!! Restul î forma lu Lagrage este cuprs ître ş Petru = avem dec ş Aşadar avem A u! f R u! cos cos A A R, ude u este strct cos' cos'' cos cos!!! cos! 4!! cosa R, dec: cos cosa R u! Vom lua ca valoare apromatvă petru cos pe A, ude u Ateţe! Deocamdată este ecuoscut Va trebu să stablm ce valoare a lu face ca eroarea să fe cea propusă, adcă să avem: err cosa () Rezultă că trebue să avem R Deoarece cos egal cu ±cos u sau ±s u, vom avea: u poate f 46

152 cos u R Elemete de Aalză Matematcă! Pr urmare, petru a îdepl codţa (), va f sufcet să avem:!! Petru = 3 avem 4! = 4 <, ar petru =4 avem 5! = Aşadar, valoarea = 4 este cea ma mcă posblă, dec putem să 3 apromăm cos A4! 4! 4 4 Aşadar, 3 cos,54 4 C Metoda trapezelor petru calculul apromatv al tegralelor Fe f :[ a, b ] o fucţe tegrablă Rema Deş tegrala lu f estă, de multe or u o putem calcula eact De eemplu, dacă u putem calcula o prmtvă a lu f, u putem aplca formula Lebz Newto, etc Estă metode de calcul promatv al tegrale Aume, după u algortm, se calculează o valoare umercă ş aceasta va f valoarea apromatvă căutată Metoda u are valoare dacă u putem cotrola eroarea, dec trebue să putem precza ecesarul de calcul petru a avea o eroare ma mcă decât u prag dat date Dtre metodele cuoscute de apromare, vom prezeta uma ua, aume, metoda trapezelor Metoda trapezelor îlocueşte valoarea tegrale apromatvă: b a f d cu valoarea b a T f f af b f f f Ac ş avem dvzuea echdstată: ba ba b a : a b Cotrolul eror este dat de următoarea: Teoremă Se presupue că f este de două or dervablă ş f : a, b tegrablă Rema Atuc, petru orce * avem b a ude sup '', f d T f M f a b a 3 M b este Ca aplcaţe, vom prezeta u eemplu de tegrală pe care o putem calcula eact ş vom vedea cum fucţoează metoda 47

153 Eemplu Elemete de Aalză Matematcă Să calculăm cu două zecmale eacte, folosd metoda trapezelor, d Evdet, d = 3, Ac f :,, f f, f, dec putem lua M = Cerţa probleme este ca, dec a =, b = Avem b a = ş err () = d T f Va f sufcet ca: Petru = 4 avem 6, ar petru = 5 avem Putem lua = 5 Valoarea apromatvă va f: 3 4 T5 f f f f f f f = = 3 7 =, Se vede că, îtr-adevăr = T5 f f d,34,333,666, 48

154 Elemete de Aalză Matematcă Test de autoevaluare 7 Să se dce u umăr atural cu propretatea că, petru orce avem 3-3 Răspusurle la test se vor da î spaţul lber d chear, î cotuarea euţurlor Să se calculeze cu o zecmală eactă trapezelor 3 d, folosd metoda Răspusurle la acest test se găsesc la paga 4 a aceste utăţ de îvăţare 49

155 Elemete de aalză matematcă Spaţ metrce Spaţ ormate Observaţ O epuere moderă a uor elemete de aalză trebue făcută î cadru geeral, abstract Noţuea fudametală a aalze, aume oţuea de lmtă, îş găseşte locul atural de epuere î cadrul spaţlor topologce No u vom lucra î acest cadru atât de geeral Vom face epuerea petru spaţ metrce ş, ma partcular, petru spaţ ormate Acest cadru este sufcet de geeral ş, î acelaş tmp, mult ma tutv decât cadrul spaţlor topologce Pe parcurs vom lucra foarte mult cu spaţle ormate specale R, care costtue cadrul atural al aalze clasce Vom cosdera cuoscute elemetele de aalză d lceu Vom ota pr R + mulţmea [, ) Dacă X este o mulţme evdă ş d : X X Y este o fucţe oarecare (ude Y este o altă mulţme evdă), vom ota d(,y) î loc de d((,y)), petru orce, y î X Defţe Fe X o mulţme evdă O fucţe d : X X R + se umeşte metrcă sau dstaţă pe X dacă are propretăţle: (), y X, d(,y)= = y; (), y X, d(,y)=d(y,); (), y, z X, d(,z) d(,y)+d(y,z); Dacă,y sut î X, umărul d(,y) se umeşte dstaţa ître ş y U cuplu (X,d), ude X este o mulţme evdă ş d este o metrcă pe X, se umeşte spaţu metrc Î cadrul de ma sus, petru orce X ş orce umăr r > troducem mulţmle: B(,r)={y Xd(y,)<r (se umeşte bla deschsă de cetru ş rază r) B[,r]=y Xd(y,) r (se umeşte bla îchsă de cetru ş rază r) Evdet B (,r) B [,r] D ou î acelaş cadru dăm următoarea: Defţe Fe ( ) u şr de elemete d X ş u elemet d X Vom spue că ( ) tde la (coverge la ) dacă: >, () N, (), d(,) < Î aceste codţ se umeşte lmta lu ( ) ş screm lm Dacă u şr / este coverget (adcă estă X aşa ca lm rezultă că este uc determat A spue (screrea aceasta îseamă că ( ) tde la ) reve la a spue că orcum am lua o blă B (, ) estă u rag () N aşa ca B (, ) dacă () 5

156 Elemete de aalză matematcă 3 Î lmbajul aalze d lceu, faptul că î spaţul metrc (X, d) reve la faptul că d(,) (adcă dstaţa ître ş poate f făcută orcât de mcă) Eemple de spaţ metrce Petru orce mulţme evdă X defm metrca d:x X R + dată pr, dy (, ), y y Atuc B(,r) = B[,r] = petru orce X ş orce < r < Apo B(,) = ş B [,] = X petru orce X Î fe, petru orce X ş orce r > avem B(,r) = B[, r] = X Se poate arăta că î acest spaţu metrc avem echvaleţa N,, = Cel ma famlar eemplu de spaţu metrc este (R,d) ude d(,y) = y petru orce,y R (aceasta este dstaţa caocă î R) Petru orce r > ş R avem: B(,r) = ( r, + r) ş B[,r] = [ r, + r] Costatăm că \^{\} (R,d) \^{\} sesul obşut (cuoscut d lceu) 3 Î mod smlar defm spaţul metrc (C,d) ude: d(,y)= -y petru orce,y C Blele sut î acest caz dscur (v fg 9): Fg 9 Fg B(,r) = dscul cetrat î puctul d pla de af, de rază r, fără crcumferţă B[,y]= dscul cetrat î puctul d pla de af, de rază r, împreuă cu crcumferţa Se vede că dacă u=a+ b C ş v= + C, avem duv (, ) ( a ) ( b b) Obţem î fod dstaţa obşută î pla (vfg ) 5

157 Elemete de aalză matematcă 4 Vom da ş o costrucţe a ue metrc pe R (reamtm că R R {, } Î această metrcă avem următorul rezultat: covergeţa cocde cu covergeţa obşută (cuoscută d lceu), adcă cu următoarele fapte: a) >, () N, (), - < (î cazul R, R); b) >, () N, ( ), > (ac R); c) - >, () N, ( ), < (ac R) Costrucţa auţată se bazează pe faptul că fucţa: : R [-,], dată pr:, ( ), este o bjecţe Atuc pe R se sttue metrca dată pr: d (,y) = () (y) Costrucţa de ma sus este u caz partcular al trasportulu de metrcă`` 5 Vom cosdera spaţul s al tuturor şrurlor = ( ) N de umere (reale sau complee) Pe s se cosderă metrca d dată pr: dy (, ) y y (ac = ( ) ş y = (y ) s) Vom reve asupra serlor ma târzu Relatv la spaţle metrce, u cocept fudametal este coceptul de complettude, la care e vom refer pe scurt Îtr-u spaţu metrc (X,d), u şr ( ) este umt şr Cauchy dacă are propretatea că petru orce > estă () atural aşa ca d ( m, )< petru orce m, () Evdet, orce şr coverget este Cauchy Recproca u este valablă î geeral Spaţle metrce î care recproca este valablă se umesc spaţ metrce complete Aşadar, u spaţu metrc (X,d) este complet dacă ş uma dacă petru orce şr Cauchy ( ) cu elemete d X estă u puct X cu propretatea că Toate eemplele de spaţ metrce pe care le-am prezetat sut eemple de spaţ metrce complete Estă ş spaţ metrce care u sut complete Vom da ma târzu u astfel de eemplu Î cotuare vom trece la uul d cele ma mportate eemple de spaţ metrce: spaţle ormate 5

158 Teoremă Elemete de aalză matematcă Î cele ce urmează vom folos următoarea otaţe: dacă :X R + (ude X este o mulţme evdă) vom scre petru orce X valoarea lu î astfel: (î loc de ) De asemeea, vom ota pr K corpul umerelor reale sau complee Defţe Fe X u spaţu vectoral peste K O aplcaţe :X R + se umeşte ormă pe X dacă au loc următoarele propretăţ: (a) == X ; (b) = (c) +y + y Ac, y sut elemete î X ş este î K Am otat pr elemetul ul al spaţulu vectoral X U cuplu (X, ) ude este o ormă pe X se umeşte spaţu ormat Legătura ître teora spaţlor ormate ş teora spaţlor metrce este dată de următoarea: Orce spaţu ormat deve spaţu metrc î mod caoc Ma precs: Fe (X, ) u spaţu ormat Defm aplcaţa d :X X R +, dată pr: d (,y) = y Atuc d este o metrcă pe X, umtă metrca asocată orme Îseamă că putem prv spaţle ormate ca pe şte cazur partculare de spaţ metrce Toate problemele care apar î cotetul spaţlor metrce pot f atacate î cadrul ma partcular al spaţlor ormate Î cele ce urmează e vom refer la u spaţu ormat (X, ) subîţelegâd structura sa de spaţu metrc echpat cu dstaţa caocă geerată de orma Defţe U spaţu ormat care, prvt ca spaţu metrc,este complet, se umeşte spaţu Baach Estă ş spaţ ormate care u sut spaţ Baach Î acest fel se pu dec î evdeţă spaţ metrce care u sut complete Eemplu de spaţu ormat care u este spaţu Baach Vom ota pr fc mulţmea tuturor şrurlor =( ) de elemete d K care au următoarea propretate: uma u umăr ft de elemete sut eule Dec, petru fecare =( ) fc estă câte u umăr atural () cu propretatea că = petru orce () Evdet fc este u spaţu vectoral, subspaţu al spaţulu vectoral s al tuturor şrurlor scalare (pe s avem operaţle aturale) Spaţul fc deve spaţu ormat cu orma dată pr: sup Se poate arăta că (fc, ) u este spaţu Baach 53

159 Eemple de spaţ Baach Elemete de aalză matematcă Cel ma mportat eemplu de spaţu ormat este spaţul vectoral ( ) echpat cu o ormă oarecare De otat că toate ormele posble pe K sut echvalete, î sesul că geerează aceeaş topologe (u trăm î amăute) Normele clasce pe K sut ormele p, p, pe care le defm î cele ce urmează a) Fe u umăr real p Petru orce =(,,, ) K defm K p p p Î cazul K=R ş p=, se umeşte orma eucldaă pe R Dacă = ş K = C avem z p = z petru orce z C Dacă p=, = ş K = R avem (, ) Regăsm lugmea obşută a vectorlor d pla (avem ş (, ) z ) î acest caz) b) Pe K avem ş orma dată pr ma Eemplele de ma sus accetuează aaloga dtre modul ş ormă, orma costtud o geeralzare a modululu ş formal-zâd defţa oţu tuttve de lugme a uu vector Se poate arăta faptul următor: covergeţa î K, echpat cu orma p, p+, cocde cu covergeţa pe compoete Ma precs: fe ( ) N u şr î K ş fe K Î mod eplct, petru fecare avem =(,,, ) ş, de asemeea, =(,,, ) Făm arbtrar p Atuc ) dacă ş uma dacă p t p î (K, p ) (cu alte cuvte, petru toţ t,,, Putem prezeta şte structur smlare cu cele de la pe spaţ de şrur Reamtm că am otat pr s spaţul tuturor şrurlor scalare =( ) N, ude K, echpat cu operaţle aturale de spaţu vectoral peste K: dacă = ( ) s ş y = (y ) s avem + y = = ( + y ) N, ar dacă K avem =( ) N Putem orgaza ca spaţ Baach aumte subspaţ ale lu s după cum urmează: a) Spaţul m==( ) s( ) este şr mărgt, cu orma: sup Ueor se ma otează m=l Spaţul m are următoarele subspaţ clasce care se orgazează ca spaţ Baach cu orma de pe m: 54 t

160 Remarcă Elemete de aalză matematcă -- spaţul c==( ) s( ) este coverget cu orma de ma sus -- spaţul c ==( ) cu orma de ma sus b) Cosderăm u umăr p < Acest umăr geerează spaţul vectoral l p = = ( ) ssera p este covergetă cu orma: Avem cluzule: petru orce p'< p''< p p p p' p'' l l c c l m 3 Vom prezeta ş câteva spaţ de fucţ Fe T o mulţme evdă Cosderăm spaţul vectoral (T) = f :T Kf este mărgtă, echpat cu operaţle aturale de aduare ş îmulţre cu scalar Atuc spaţul (T) deve spaţu Baach cu orma covergeţe uforme dată pr f = sup f (t) t T (ueor se scre f sup f( t) tt Î cazul specal câd T = [a, b], ude < a < b <, vom cosdera următoarele subspaţ ale lu ([a,b]): a) ([a, b]) =f : [a, b] Kf este cotuă (Se şte că orce fucţe cotuă f : [a, b] K este mărgtă) Atuc ([a, b]) echpat cu orma d ([a,b]), dată pr f = sup f(t) t [a,b] este spaţu Baach b) U subspaţu al lu ([a,b]) este ([a,b]) =f :[a, b] Kf este dervablă cu dervata cotuă Pe acest spaţu se cosderă orma f sup f() t sup f '() t t[ a, b] t[ a, b] ş atuc se poate arăta că ([a,b]), ) este spaţu Baach Spaţul ormat (([a,b]), )) ude f sup f( t) u este Baach t[ a, b] Observaţe geerală prvd costrucţa de subspaţ metrce ş ormate Î toate eemplele costrute pr trecere de la spaţ ma mar la spaţ ma mc am folost următoarele scheme geerale: Dacă (X,d) este u spaţu metrc ş AX, obţem spaţul metrc (A, d A ) ude d A (, y) = d (, y) petru orce, y A 55

161 Elemete de aalză matematcă Dacă (X, ) este u spaţu ormat ş YX este u subspaţu vectoral, obţem spaţul ormat (Y, ) ude = petru orce Y Test de autoevaluare 8 Fe X o mulţme evdă ş d, două dstaţe (metrc) pe X Se presupue că estă două umere strct poztve a ş b cu propretatea următoare: petru orce ş y î X avem a d (,y) (, y) b d (,y) (se spue că dstaţele d ş sut echvalete) Fe ş u şr de elemete d X, precum ş u elemet d X Arătaţ că avem următoarea echvaleţă: î spaţul metrc (X, d) î spaţul metrc (X, ) Răspusurle la test se vor da î spaţul lber d chear, î cotuarea euţurlor Arătaţ că fc u este spaţu ormat (defţa lu fc apare medat după defţa oţu de spaţu ormat) Răspusurle la acest test se găsesc la paga 4 a aceste utăţ de îvăţare 56

162 Elemete de aalză matematcă 3 Lmtă ş cotutate (reluare) Cea ma mportată dee d aalză este deea de lmtă Am putea-o rezuma astfel: e putem apropa orcât de mult, fără ca să fm sgur că atgem Puct de acumulare Vom cosdera u spaţu metrc (X,d), o mulţme evdă AX ş u elemet X Defţe Se spue că a este puct de acumulare petru A dacă are următoarea propretate: petru orce > estă A, a cu propretatea că d (,a) < Mulţmea A'= X este puct de acumulare petru Ase ma umeşte ş mulţmea dervată a lu A Putem rescre defţa astfel: A A' >, (B (a, ) A) \ a Teoremă (Caracterzarea cu şrur a puctelor de acumulare) Următoarele afrmaţ sut echvalete: a A' Estă u şr ( ) A cu propretăţle: a petru orce ş a De eemplu, î R cu metrca obşută, dacă A este u terval edegeerat, puctele teroare ş etremtăţle sut pucte de acumulare petru A Î R cu metrca obşută puctul (respectv ) este puct de acumulare petru orce mulţme A R care este emărgtă superor (respectv feror) Î C cu metrca dată de (adcă d(,y) = y ) cosderăm u puct a ş r > Luâd A = B(a, r) \ a, avem a A' Lmta ue fucţ îtr-u puct Fe (X,d) ş (Y,s) două spaţ metrce ş AX Fe a A', a X ş fe f : A Y Î fe, fe ş l Y Defţe Spuem că f are lmtă î puctul a ş lmta este egală cu l (î scrs f( ) l sau lm f( ) l dacă: petru orce > estă a a > cu propretatea că petru orce A, a, cu d(,a)< avem (f (), f (a)) < Ueor ma spuem că f () tde către l câd tde către a Î cotetul de ma sus se spue că f are lmtă î a dacă estă ly aşa ca f( ) l Elemetul l se umeşte lmta lu f î a a Teoremă (Hee) Defţa cu şrur a lmte Următoarele afrmaţ sut echvalete: ) lm f( ) l a ) Petru orce şr ( ) A \ a cu propretatea a avem f( ) l a 57

163 Cotutate Fe (X,d) ş (Y, ) spaţ metrce ş a A X Fe ş f : A Y Elemete de aalză matematcă Defţe Se spue că f este cotuă î a dacă: petru orce > estă > cu propretatea că petru orce A astfel îcât d(,a)< avem (f(), f(a)) Dacă f este cotuă cotuă Teoremă (Defţa cu şrur a cotutăţ) Următoarele afrmaţ sut echvalete: ) f este cotuă î a î orce A se spue că f este o fucţe ) Petru orce ( ) A cu propretatea a avem f( ) f( a) a După cum se vede, ître oţule de lmtă ş cotutate este o mare legătură Avem următoarea Teoremă (Legătura ître lmtă ş cotutate) Observaţe Eemple Se presupue că a A A' Atuc, următoarele afrmaţ sut echvalete: f este cotuă î a Fucţa f are lmtă î a ş lmta este egală cu f (a) Î puctele a A\A' (umte pucte zolate ale lu A) fucţa f este automat cotuă Eemplele care urmează vor clarfca oţule de lmtă ş cotutate Fucţa f : R R, f() = petru orce d R are lmtă î orce puct R ş lm f ( ) Această fucţe este cotuă Fucţa f : = ş aume o, dată pr lm f( ) f( ), are lmtă î puctul Fucţa f u este cotuă î = deoarece 3 Fucţa f :(, ) R, dată pr lm f( ) f( ) 4 Fucţa f : R \ R, dată pr deoarece lmtele laterale dferă î : lm f( ) ş f() lm f( ), are lmtă î = ş avem f( ), u are lmtă î = lm f( ) 58

164 Elemete de aalză matematcă, 5 Fucţa f : R R, dată pr f( ) u are lmte laterale î s =, dec u are lmtă î = De eemplu, luâd, avem ş f( ) Luâd apo y, avem y ş f( y ) Dec u estă lm f( ) 6 Fucţa f : C C dată pr f (z) = z + z, este cotuă (evetual, verfcare cu şrur) 7 Fucţa f : R R, dată pr lmtă î (,) f( ) y, y ( y, ) (,), ( y, ) (,) Îtr-adevăr, dacă luăm şrul (, y), (,) avem: Dacă luăm şrul f(, y) ( ', y' ), (,), avem: f( ', y' ) (,) u are 8 Fucţa f : (, ) R deftă pr f( ) Aume, vom arăta că lm f( ) e Îtr-adevăr, petru orce > avem: are lmtă î puctul f( ) Deoarece ş Apo lm Dec lm f( ) lm, vom avea e lm e 59

165 Test de autoevaluare 9 Arătaţ că u estă lm s Elemete de aalză matematcă Răspusurle la test se vor da î spaţul lber d chear, î cotuarea euţurlor Arătaţ că fucţa f : R f( ) y R deftă pr: y, dacă ( y, ) (,), dacă ( y, ) (,) este cotuă (adcă este cotuă î toate puctele) Răspusurle la acest test se găsesc la paga 5 a aceste utăţ de îvăţare 6

166 4 Dervabltate Elemete de aalză matematcă 4 Dervarea fucţlor vectorale de varablă reală Fe K = R sau K = C, ca de obce ş X u spaţu vectoral peste K, ormat cu orma Vom cosdera o mulţme evdă AK, u puct t A A' ş o fucţe f : A X Defţe Se spue că fucţa f este dervablă î puctul t dacă estă î X lmta Observaţ D lm ( ft ( ) ft ( )) f'( t) t t tt Î aceste codţ elemetul f'(t ) se umeşte dervata lu f î t (ueor se df ma otează f '( t) ( t) dt Î cazul specal câd X = R se poate da o defţe ma geerală, î următorul ses Spuem că f are dervată î t dacă estă D lm ( ft ( ) ft ( )) f'( t) t t tt î R (e f '( t ) R poate f ş sau ) Atuc, faptul că f este dervablă î t reve la faptul că f are dervată f'(t ) î t ş f'(t ) este ftă De obce, î cazul K = R, se cosderă că A este u terval Dacă t este puct teror tervalulu A avem dervata obşută Dacă t u este etremtate stâgă (respectv dreaptă) petru A rezultă că t este ş puct de acumulare petru A (-, t ] (respectv A [t, )) ş putem def dervata la stâga (respectv dreapta) a lu f î t (dacă estă), aume: respectv f'( t) lm ft () ft ( ) s tt t t tt f '( t ) lm f() t f( t ) d tt t t tt 3 De cele ma multe or, î cele ce urmează vom cosdera stuaţa câd t este teror mulţm A (e estă > aşa ca B (t, ) A) Defţe Vom cosdera o mulţme A K ş vom presupue că A este deschsă (e petru orce t A estă t > aşa ca B (t, t ) A Î acest caz se vede medat că AA' Se spue că fucţa f : A X este dervablă dacă este dervablă î orce puct t A Î acest caz fucţa dervată a lu f f : A X deftă pr ft () f'() t se umeşte fucţa 6

167 Elemete de aalză matematcă Defţe Fe AK o mulţme deschsă ş f : A K dervablă Fe ş t A Se spue că f este de două or dervablă î t dacă f este dervablă î t Î acest caz ( f )'( t) f ''( t) se umeşte dervata secudă (sau dervata a doua) a lu f î t Putem geeralza defţa de ma sus, defd dervatele de ord superor Aume, defţa se dă pr recureţă Defţe Fe A K deschsă, t A, f : A X ş u umăr atural Se spue că f este dervablă de or î t dacă: a) f este fucţe dervablă de or b) Fucţa dervată de ord a lu f (otată f ( ) ) este dervablă î t Î acest caz, dervata lu f astfel: ( ) î t (adcă vectorul (f ( ) )' (t ) se otează D ( ) ( ) f '( t ) f ( t ) Î această defţe f (p) se defeşte ş ea ductv, aume f (p) este fucţa dervată a lu f (p ) Vom da câteva eemple (î care A= terval real ş K = R) Fucţle elemetare sut dervable De eemplu, orce fucţe P raţoală f ' : R\ B R este dervablă ş fucţa sa dervată este f':r\ Q B R, dată pr: PQ ' PQ' f ' Q Ac P ş Q sut fucţ polomale cu coefceţ real, ar B= RQ()= (evetual B=\emptyset ) Fucţa f : [,] R, f () = arcs, este dervablă pe (,) ş f '( ), dacă (,) Î puctele ş fucţa f u este dervablă, dar are dervată ş aume f'( ) = f' () = 3 Fucţa f : R R, dată pr f,,, este dervablă î toate puctele ş acolo f'()= Î fucţe de cosderete drecte se obţe ş faptul că î fucţa f este dscotuă, dec u este dervablă (v ma departe), dar are dervată: f'()= 6

168 Elemete de aalză matematcă (Fucţa f se umeşte ş fucţa sgum Ueor otăm f () = sg () petru orce R) 4 Fucţa f : R R, dată pr f este dervablă î toate s puctele Î puctul =, deş f este cotuă, totuş f u are dervată (u are c măcar dervate laterale) 5 Fucţa f : R R, f () = este dervablă î toate puctele ş avem f'() = (dacă > ), f'() = (dacă < ) Î fucţa f u are dervată, dar are dervate laterale dferte, aume f s '()= ş f d '() = 6 Fucţa f : R R, f()= 3 este dervablă î toate puctele (avem f'()=, eercţu!), 7 Fucţa f : R R, dată pr f, este dscotuă î ş u, are dervată î 8 Fucţle elemetare sut deft dervable adcă sut dervable de or î orce puct, petru orce Teoremă 9 Fucţa f : R R, dată pr f()= dacă = ş f( ) dacă este deft dervablă Avem f () ()= petru orce (eercţu!) Sublem o propretate mportată O fucţe dervablă îtr-u puct este cotuă î acel puct e 4 Formula lu Taylor Defţe Fe A K o mulţme deschsă ş X u spaţu ormat peste K Fe ş N O fucţe f : A X se umeşte fucţe de clasă C dacă este dervablă de or î toate puctele lu A ş fucţa dervată de ord, (aume f () : A X) este cotuă O fucţe f : A X se umeşte fucţe de clasă C (fucţe deft dfereţablă) dacă este de clasă C petru orce Sublem, de asemeea, că î cazul câd A K = R este terval, fucţa are dervată î t A, dacă ş uma dacă estă ş sut egale dervatele laterale: f' s (t )=f d (t ) (dec =f'(t )) Fe I R u terval, a I ş f : I o fucţe dervablă de or î a, Defţe Polomul lu Taylor de ord ataşat fucţe f î puctul a este polomul: ( ) f '( a) f ''( a) f ( a) T ( ) f( a) ( a) ( a) ( a)!!! Se vede că gradul lu T este cel mult 63

169 Teoremă Elemete de aalză matematcă Petru orce I otăm: R () = f () T () Am deft fucţa R : I R umtă restul de ord al formule lu Taylor (ma corect, dar ma lug, R se umeşte restul formule lu Taylor de ord ataşate fucţe f î puctul a) Avem dec egaltatea, valablă petru orce I: f() = T () + R () care se umeşte formula lu Taylor de ord ataşată lu f î puctul a Dacă a =, formula ma poartă umele de formula lu Mac Laur Fucţa polomală T realzează o buă apromare a lu f î vecătatea lu a, după cum e arată următoarea Avem: R ( ) lm a ( a) Cu alte cuvte, R () tde la zero ma repede decât (-a) câd tde la a Putem dec scre formula de apromare f() T () câd a Î codţ ma restrctve avem formule ma precse petru restul R : Teoremă (Formula lu Lagrage a restulu formule lu Taylor) Se presupue că f este dervablă de + pe îtreg tervalul I Atuc, petru orce I estă u puct cuprs ître a ş astfel îcât ( ) f ( ) R( ) ( a) ( )! Vedem că această formulă a restulu se reţe uşor deoarece ea cotuă formula polomulu Taylor Formula lu Taylor deve î acest caz: ( ) ( ) f '( a) f ( a) f ( ) f( ) f( a) ( a) ( a) ( a)!! ( )! De remarcat că se schmbă odată cu ş cu Ca o cosecţă a formule lu Lagrage a restulu, vom observa că atuc câd f este fucţe polomală de grad cel mult, formula lu Taylor de ord este eactă, cu alte cuvte restul R este fucţa detc ulă Avem, dec, î acest caz: Eemplu f = T dec avem posbltatea de a dezvolta polomul f după puterle lu Luăm f 3 ( ) ş a = (ac f : R R, beîţeles, dec I=R): f f 3 ( ) ( ) f f '( ) 3 '( ) 3 f ''( ) 6 f ''( ) 6 f '''( ) 6 f '''( ) 6 ( a) 64

170 Eemplu Avem dec dettatea: 3 3 3( ) 3( ) ( ) Elemete de aalză matematcă Pe lâgă alte utlzăr, formula lu Taylor poate serv ş la calculul uor lmte Să arătăm că petru orce umăr > avem: e lm a (epoeţala tde ma repede către decât orce putere) Vom lua I = R, a =, f ()=e Fe N,, aşa ca < Deoarece f este dervablă de + or putem scre formula lu Mac Laur cu restul Lagrage de ordul +: e e!! ( )! ( )! ude este ître ş Petru > vom avea: e ( )!, dec e ( )! ( )!, ceea ce îchee demostraţa Cosecţe Petru orce b > ş orce R avem: b lm (Îtr-adevăr, cazul este baal Î cazul >, reducem la precedeta, luâd î cosderare schmbarea de varablă y y y b e b e y lb sau (l b) etc) lb y Petru orce b >, b ş orce R, >, avem: logb lm (logartmul tde ma let către ft decât orce putere) l Cazul câd be se reduce la cazul b = e, deoarece logb Petru lb b = e screm l făcâd schmbarea de varablă l = y = ey =e y dec l y y Dar y câd ş folosm y y e e 65

171 Elemete de aalză matematcă 43 Apped Iterpretarea geometrcă ş terpretarea cematcă a dervate fucţlor vectorale Dacă IR este u terval ş este u umăr atural, vom um drum o fucţe cotuă : I R (de obce I = [a, b]) Î cele ce urmează vom cosdera că este char o fucţe dervablă Iterpretarea geometrcă a dervate Drumul se umeşte eted dacă petru orce t I avem '(t) Î legătură cu cele de ma sus facem o observaţe eseţală Fucţa se detfcă cu compoetele sale scalare Aume, petru fecare t I, avem (t)=( (t), (t),, (t)) Puem î acest mod î evdeţă fucţle reale : I R, =,,, umte compoetele reale ale fucţe Atuc dervabltatea lu reve la dervabltatea tuturor fucţlor ş avem '(t) = ( '(t), '(t),, '(t)) Cosderâd u drum eted ş u puct t I, vectorul '(t) tras-portat cu puctul de aplcaţe î (t) este alat cu tageta la magea lu (care este o curbă î R ) î puctul (t) Iterpretarea cematcă a dervate Cosderăm acum că = sau = 3 Avem u puct mobl î pla (câd = ) sau î spaţu (câd = 3) Itervalul I este u terval de tmp Câd parametrul t (tmpul) parcurge tervalul de tmp I, puctul mobl se mşcă pe o traectore a căre mage este magea lu La fecare momet t I, vectorul '(t) trasportat cu puctul de aplcaţe î (t) este vteza stataee la mometul t De asemeea, dacă este de două or dervablă î t, vectorul ''( t) repreztă acceleraţa stataee la mometul t 66

172 Elemete de aalză matematcă Test de autoevaluare Să se calculeze f petru fucţa ude * N f :[, ] ft () ((cos),(s)) t t R deftă pr Răspusurle la test se vor da î spaţul lber d chear, î cotuarea euţurlor Să se scre formula lu Taylor de ord petru fucţa f : R \{ } R deftă pr: f( ) Răspusurle la acest test se găsesc la paga 5 a aceste utăţ de îvăţare 67

173 5 Dervate parţale ş aaltctate Elemete de aalză matematcă 5 Dervate parţale a) Defţ D ou K = R sau C Fe u umăr atural Cosderăm A K ş a = (a, a,, a ) A Î plus, presupuem că a este teror lu A, adcă estă > astfel îcât Observaţ D D D D A ude D = R -a < = (a, a + ), dacă K=R ş D =z C z a < dacă K= C Petru orce =,,, putem def atuc mulţmea A = R(a, a,,a,, a +,, a ) A ş avem evdet D A, =,,, (Evdet, am forţat puţ otaţle De eemplu, dacă =, avem: A = K, a, a 3,, a ) A ar dacă =, avem: A = K(a, a,, a -, ) A Fe acum f : A X, ude X este u spaţu ormat peste K Putem def petru orce =,,, fucţle parţale f ( ) : A X, date pr: f ( ) () = f (a, a,,a,, a +,, a ) Defţe Se spue că f este parţal dervablă î raport cu î puctul a dacă f ( ) este dervablă î a f f Î acest caz otăm f '() ( a) ş umm pe ( a) dervata parţală a lu f î raport cu î a După cum se vede, putem derva î a care este puct de acumulare petru A D Ueor se spue că f are dervată parţală î raport cu î a Această eprmare lasă loc ş petru cazul câd f ( ) (a ) = î cazul K = R, stuaţe pe care u o vom lua î dscuţe 3 Se ma folosesc ş otaţle: f ( a) f ' ( a) Df ( ) ( ) a df a Ca ş î cazul fucţlor de o varablă, putem cosdera cazul specal câd A este deschsă ş f are dervată parţală î raport cu î toate puctele lu A Î acest caz putem def fucţa dervată parţală î raport cu, care este fucţa f ( ) : A X, 68

174 ( ) f f ( ) ( ) a Elemete de aalză matematcă Vom ota (ambguu, dar sugestv) fucţa dervată parţală f ( ) pr f Să presupuem că estă fucţa dervată parţală : A X Fe a f A Dacă are dervată parţală î raport cu j î a vom ota această dervată parţală pr Adcă: f j ( a) f f ( a) ( a) j j Î cazul specal câd = j vom ota dervata parţală de ma sus pr f ( a ) Procedeul poate f cotuat Dacă estă fucţa dervată parţală f : A K putem îcerca dacă estă dervata e j f f ( a) ( a) k j kj f Î cazul câd k = j vom scre ( a) Î cazul câd k = sutem oblgaţ j 3 3 f f să screm ( a), deoarece screrea ( a) are semfcaţa j f (dfertă) ( a) j Am arătat dec cum putem obţe dervate parţale de ord superor (de 3 f f ord do, cum sut ( a) ; de ord tre, cum sut ( a) etc) j j k j Se vede că ordea de dervare este eseţală, ceea ce poate f demostrat ş pe eemple Totuş, î aumte cazur specale, îtâlte uzual î calcul, ordea de dervare este eeseţală (putem derva î orce orde ş obţem acelaş rezultat) f 69

175 Elemete de aalză matematcă Teoremă (Crterul de comutatvtate al lu Schwarz) Se presupue că A R este deschsă ş f : A R este astfel îcât estă f toate fucţle dervată parţală mtă de ordul al dolea: : A R, j Fe ş aa astfel îcât toate fucţle f j, j sut cotue î a j Observaţ Atuc toate dervatele parţale mte de dervare u cotează), ma precs: petru orce j avem f j ( a), j, sut egale (ordea f f ( a) ( a) j j Teorema poate f dată î codţ mult ma larg Teorema este valablă petru dervate parţale de ord superor lu 3 De remarcat că teorema fucţoează petru K = R ş X = R Îate de a trece ma departe e vom refer î mod eplct la calculul dervatelor parţale Î cazul geeral, fe a teror lu AK ş f : A X A calcula dervata f parţală ( a) îseamă a derva fucţa f cosderată ca fucţe de varabla, celelalte varable fd fate Ma precs, d defţa dervate parţale, se vede că avem: adcă: a f ( a) lm f() ( ) f() ( a) a a f ( a) lm f( a, a,, a, a,, a) f( a, a,, a a, a,, a) a Dec, dervăm fucţa de o varablă f ( ) î puctul a Adcă, dervăm fucţa: t f( a, a,, a t, a,, a ) î puctul t = a Î cazul K = R ş =, î loc să screm f(, ) vom scre f (, y), ar î cazul K = R ş = 3, î loc să screm f(,, 3 ) vom scre f (,y,z) Puctul a = (a,a ) va f, de regulă, (a, b) (î cazul K = R ş =) ar puctul a = (a,a,a 3 ) va f, de regulă, (a, b, c) (î cazul K = R ş = 3) Cu aceste otaţ: f ( ab, ) lm f( tb, ) f( ab, ) tat a 7

176 Elemete de aalză matematcă f ( ab, ) lm f( at, ) f( ab, ) y tbt b (î cazul K = R, = ) ş f ( abc,, ) lm f( tbc,, ) f( abc,, ) tat a f ( abc,, ) lm f( atc,, ) f( abc,, ) y tbt b f ( abc,, ) lm f( abt,, ) f( abc,, ) z tc t c (î cazul K=R, =3) Eemple Fe f : R R, f (, y) = y, f (,3) Îtr-adevăr, avem fucţa y (y fat) care, dervată îtr-u puct oarecare (a, b) dă dervata ab Luăm a =, b = 3 f (,3) 4 y Îtr-adevăr, avem fucţa y y ( fat) care, dervată îtr-u puct oarecare (a, b) dă dervata a Luăm a = Fe f : R f f R, f (, y) = s Atuc, ( ab, ) cosa ş ( ab, ) y petru orce (a, b) R Refertor la al dolea rezultat: avem fucţa y s ( fat) care este costată, dec dervata e î orce puct este, ( y, ) (,) 3 Fe f : R R, f(, y) y Vom arăta că, ( y, ) (,) y f f (,) (,) Ac calculăm dervatele coform defţe: y dec: Smlar: f(,) f(,) f(,), f f(,) f(,) (,) lm f(, y) f(,) f lm (,) y y y 7

177 Elemete de aalză matematcă Î prmele două eemple schema de calcul a fost următoare: am calculat f îtr-u puct curet (,y), adcă am calculat fucţa dervată parţală f ş apo -am calculat valoarea î puctul partcular cerut f f f Formal: a) (, y) ; b) ( y, ) ( y, ) etc A se vedea abuzul de a, yb f otaţe (, y) care cofudă (, y) cu varable de dervare î al trelea caz această metodă u este avatajoasă, epresa fucţe efd smplă 4 Fucţa f : R y s, dacă R, f(, y) u are dervată, dacă parţală î puctele (,y) cu y, î raport cu Dec f u estă (, b) dacă b Îtr-adevăr: b s (( f, b) f(, b)) bs ş u estă lm b s f Avem (,) deoarece f Smlar (,) ş y 5 Fe f : R 3 \ A R, f(, y, z) f(,) f(,) f ( a,) as, dacă a y a z y z, ude A = (,y,z) R 3 + y + z = Se vede că R 3 \ A este deschsă (eercţu!) f Vom calcula ( abc,, ) îtr-u puct curet (a, b, c) R 3 \ A, după schema z date: f ( ) ( yz,, ) z y z z z yz z z ( y z) ( y z) 6 Fe f : R y \ A R, f(, y) y, ude: A=(, y) R + y = } f 7

178 Elemete de aalză matematcă Se vede că R \ A este deschsă (eercţu!) f f Vom calcula ( ab, ) ş ( ab, ) ude (a, b) R \A este arbtrar y y Smlar: ( a b) ( a b) f ( ) ( ) ( ab, ) b a b a ab b a b y y ( y) f y y ( ab, ) a, yb ( y )( y) ( y)( y y) 4 ( y) a, yb 4 ( y )( y) ( y y) 3a ba 4 3 ( y) ( a b) 3 f ( y, ) y ( y) a, yb f 3a ba ( ab, ) y y ( y) ( a b) a, yb f f Se vede că ( ab, ) ( ab, ), deoarece codţle d crterul lu y y Schwarz se îdeplesc b) Eprmarea dfereţelor petru fucţ de ma multe varable: etderea formule creşterlor fte Reamtm câteva oţu prelmare Cosderăm u spaţu vectoral X peste K = R sau C Fe, y X Segmetul de etremtăţ ş y este mulţmea: [, y] = ( t) + tyt [,]X; putem scre ş egaltatea: [,y]=u+vyu,v,u+v= O mulţme AX se umeşte coveă dacă petru orce, y A avem [, y] A De eemplu, dscurle sau dreptughurle d pla sut mulţm covee Teoremă (Formula creşterlor fte petru fucţ de ma multe varable) Fe, N ş AR, A deschsă Se cosderă o fucţe f : A R cu propretatea f că estă toate fucţle dervată parţală : A R, =,,, ş sut cotue Atuc, petru orce două pucte a = (a,a,,a ) A ş b = (b, b,, b ) A astfel îcât [a, b] A estă u puct t [a, b] astfel îcât: f f( b) f( a) ( t) ( b ), 73

179 Observaţe Elemete de aalză matematcă Dacă A este coveă, codţa [a, b] A se îdepleşte automat Formula de ma sus serveşte la eprmarea dfereţe f(b) f (a) D motve de cotutate a fucţlor dervată parţală, dacă b este foarte apropat de a, putem aproma dfereţa astfel: f f( b) f( a) ( a)( b a) 35 Etremele fucţlor de ma multe varable a) Vom cosdera u umăr atural ş vom ota d ou cu K pe R sau C Petru orce a = (a,a,,a ) K ş orce r >, vom cosdera o blă B (a, r) ude dstaţa pe K este obţută cu ajutorul orme Fe A K, a A ş f : A R Defţe Se spue că a este puct de mam (respectv mm) local dacă estă o blă B (a, r) cu propretatea că f() f(a) (respectv f () f (a)) petru orce B (a, r) A Î ambele cazur vom spue că a este puct de etrem local petru f ar valoarea f(a) se umeşte etrem local petru f (mam, repectv mm local) Î cele ce urmează vom cosdera K = R Teoremă (Aalogul teoreme lu Fermat petru fucţ de ma multe varable) Se cosderă o mulţme A R ş u puct teror a A Fe ş f : A R o f fucţe care are toate dervatele parţale ( a), =,,, Se presupue că a este puct de etrem local petru f Atuc a este puct crtc (puct staţoar) petru f, adcă f ( a), =,,, Costatăm dec că puctele de etrem local trebuesc căutate prtre puctele crtce (ateţe, pot esta pucte crtce care u sut pucte de etrem local!) Codţa precedetă este dec ecesară Vom da codţ sufcete de etrem local, î cazul = Teoremă (Codţ sufcete de etremum) Fe A R o mulţme deschsă ş (a, b) A Fe f : A R o fucţe cu propretatea că estă ş sut cotue fucţle f f f f dervată parţală de ordul do:,, : A Ma y y y presupuem că (a, b) este puct crtc petru f f f f Notăm ( ab, ) ( ab, ) ( ab, ) y y ) Dacă >, puctul (a, b) este puct de etrem local petru f, aume: f de mm, dacă ( ab, ) ; 74

180 Elemete de aalză matematcă f de mam, dacă ( ab, ) ) Dacă <, puctul (a, b) u este puct de etrem local petru f Observaţe Î cazul = u putem afrma mc despre puctul (a, b) (crtc petru f) Eemplu Fe f : R R, f (,y) = + y + y y Vom calcula etremele locale petru f, pe baza precedetă Îtâ căutăm puctele crtce Rezolvăm dec sstemul: cu soluţa ucă, 3 3 Acum testăm codţle petru ca dec: f ( y, ), f ( y, ) y f ( y, ) y, y, 3 3 f ( y, ), y să fe puct de etrem local f ( y, ), y f f f,,, y 3 3 y 3 3 Observaţe f Cum, 3 3, puctul, 3 3 este puct de mm local petru f Mmul local este f, De fapt, este u mm global, adcă avem: 3 petru orce (,y) R y y y 3 b) Vom epue, î cotuare, câteva chestu legate de etreme codţoate ş teora multplcatorlor lu Lagrage 75

181 Elemete de aalză matematcă A Prelmar algebrce ) Numm formă pătratcă de k varable o fucţe P : R k R de forma (screm = (,,, k ) R k ): k ( ) j j j () P a ay De eemplu, dacă avem k=3 ş varabla d R 3 este (u, v, w) vom avea: P( u, v, w) a u a v a w a uv a uw a vw De eemplu, dacă Puvw (,, ) u v w uv uw vw, atuc: a a a33 ş a a3 a3 O formă pătratcă () se umeşte poztv deftă dacă P()> petru orce R k, ş egatv deftă dacă P() < petru orce R k, (adcă P este poztv deftă) Coform teoreme lu Sylvester, putem decde dacă forma () este poztv deftă astfel: a) Formăm matrcea asocată forme (), adcă matrcea: cu coveţa că aj a j a a a3 a k a a a ak a3 a3 a33 a 3k ak ak ak3 a k3 b) Calculăm determaţ d stâga sus, adcă determaţ: a a a3 a a a, a a, 3 a a a3, a a a k a a a k a a ak a a a k k kk c) Teoremă (Sylvester) Forma pătratcă () este poztv deftă >, >, 3 >,, k > ) Putem reduce umărul varablelor ue forme pătratce astfel: Fe umerele aturale < p Notăm m = p Cosderăm forma pătratcă: 76

182 k ( ) j j j P a a Elemete de aalză matematcă () Admtem că estă umerele reale uj jp astfel îcât: p p uj j, j j j u,, j p u () j j j Făcâd substtuţa de ma sus î (), forma P deve formă pătratcă î m varable (screm d ou = (,,, p ), y = (y, y,, y m )): m ( ) ( ) j j j, P Qy Ay Ayy ude am otat: y = +, y = +,, y m = +m = p Numm pe Q forma pătratcă obţută d () pr substtuţa () B Teorema multplcatorlor lu Lagrage Se cosderă umerele aturale < p ş fe m = p Fe G R p o mulţme deschsă Fe H = (H, H,, H ) : G R o aplcaţe de clasă C u, ude u (adcă fucţle H, H,, H au dervate parţale de orce ord u cotue) Se presupue că mulţmea A= GH()=este evdă Î plus, cosderăm că î orce puct a A, ragul matrce jacobee: H H H ( a) ( a) ( a) p H H H ( a) ( a) ( a) p, H H H ( a) ( a) ( a) p este egal cu (adcă mam) Î codţle de ma sus, euţăm Teorema multplcatorlor lu Lagrage Fe f : G R o fucţe de clasă C Se presupue că a A este puct de etrem local al lu f, codţoat de relaţa H()= (adcă este puct local petru restrcţa f A ) Atuc, a este puct crtc petru f, codţoat de relaţa H()=, adcă H(a)= ş estă umere reale,,, (umte multplcator lu Lagrage) cu propretatea: f H ( ) ( a), f a H ( ) ( a), a 77

183 Elemete de aalză matematcă f p H ( a) ( a), p adcă d(a) =, ude: H f C Am văzut că orce puct a de etrem codţoat este puct crtc codţoat (adcă satsface codţle teoreme multplcatorlor) Cum recuoaştem prtre puctele crtce codţoate pe cele care sut efectv pucte de etrem codţoat? Păstrăm otaţle de la B Teoremă (Codţ sufcete petru ca u puct crtc codţoat să fe puct de etrem codţoat) Fe f :G R o fucţe de clasă C Fe a G puct crtc petru f, codţoat de relaţa H () = Fe,,, multplcator lu Lagrage daţ de a ş: f H Dfereţem pe legătur, adcă screm relaţle: petru =,,, j p H ( a )d j, () j D codţa de rag rezultă (evetual reumerotâd) că sstemul () este cramera î ecuoscutele d, d,, d p, adcă putem rezolva î raport cu d, d,, d cu soluţle uce: petru =,,, p d u d, () j j j Cosderăm forma pătratcă dată de dfereţala a doua a lu, adcă forma pătratcă î varablele formale d, d,, d p : P(d,d,,d ) ( a)(d ) ( a)dd p p j j j j Forma pătratcă obţută d P pr substtuţa () este: P(d,d,,d,d,,d ) Q(d,d,,d ) m p p A j(d ) A jdd j j jp Se presupue că Q este deftă Atuc: -- dacă Q este poztv deftă, rezultă că a este puct de mm local codţoat de relaţa H()=; -- dacă Q este egatv deftă, rezultă că a este puct de mam local codţoat de relaţa H () = 78

184 Eemplu Elemete de aalză matematcă Vom lucra petru p=3, = Fe f : (, ) 3 R, dată pr f (, y, z) = yz + z + y Se cer puctele de etrem local ale lu f codţoate de relaţa: yz= (adcă ac avem H = H : (, ) 3 R, dată pr H(,y,z)=yz ) Soluţe Ac A = (, y, z) (, ) 3 yz= Avem u sgur multplcator (pe care îl vom găs!) ş defm fucţa :(, ) 3 R, (,y,z) = f (,y,z) + H (, y, z) = yz + z + y + yz D teorema multplcatorlor, rezultă că va trebu să rezolvăm sstemul de 4 ecuaţ cu 4 ecuoscute, y, z, : H(, y, z) adcă yz ( zy,, ) adcă y zyz ( zy,, ) adcă z z y ( zy,, ) z adcă yy Îmulţd ecuaţle, 3 ş 4 cu, y, z respectv obţem sstemul echvalet: yz y z yz y z yz ş pr scăder obţem sstemul echvalet yz y ( z) yz ( ) z ( y) Soluţa ucă este dată de = y = z = Obţem atuc ş = Aşadar: a = (,,) = puctul crtc codţoat = = multplcatorul lu Lagrage Fucţa : (, ) 3 R este dată de (,y,z) = yz + z + y yz + (, yz, ) yzyz; (, yz, ) zz; y 79

185 Elemete de aalză matematcă (, yz, ) yy, z dec: ( yz,, ) ( yz,, ) ( yzy,, ) ; y z (, yz, ), dec yz (,,) ; yz (, yz, ) y, dec z (,,) ; z (, yz, ) z, dec (,,) y y Aşadar, obţem forma pătratcă: (,,)(d ) (,,)(d y) (,,)(d z) y z (,,)d ydz (,,)d zd (,,)d dy yz z y (,,)d ydzdzd ddy Dfereţem pe legătura : yz = ş obţem: yzd + zdy + ydz =, ceea ce, î puctul (,,) deve: d + dy + dz = Deducem d = dy dz Cu această substtuţe, obţem d forma pătratcă () forma redusă: (dydz dz(dy + dz) dy(dy + dz)) = (dy) + (dz) +dydz Matrcea aceste forme pătratce este forma este poztv deftă () ş =, = 4 = 3, dec Î cocluze, puctul (,,) este puct de mm local petru f, codţoat de relaţa yz = Valoarea mmă este f(,,)=3 De fapt, putem arăta că (,,) este char puct de mm global codţoat: y y yz yz z y y y y 3 y Aşadar, avem îtotdeaua yz z y 3, dacă yz ş, y, z 8

186 Elemete de aalză matematcă 53 Dervabltatea î comple Relaţle Cauchy-Rema Fe AC o mulţme evdă ş f : A C Facem următoarele detfcăr: a) A 'A' = (,y) R + y A Dec A C ş 'A' R Facem deosebre ître R ş C b) Petru orce z = + y A, avem f (z) C, dec f(z) = Re(f(z)) + Im(f(z)) Î acest fel putem def fucţle: (partea reală a lu f) Re (f) : A R, Re( f)( z) Re( f( z)) Im (f) : A R, Im( f)( z) Im( f( z)) (partea magară a lu f) Acum detfcăm: Re (f) P : 'A' R, ude P(,y) = Re(f) (z = + y), Im (f) Q : 'A' R, ude Q(,y) = Im (f) (z= + y) Î deftv avem detfcarea f (P, Q) î sesul că f F ude F : 'A' R, F(, y) = (P(, y), Q(, y)) Acum vom cosdera că mulţmea A C este deschsă Fe z = a + b A, dec z este puct teror lu A Cosderăm o fucţe f : A C ş detfcăm ca ma sus f (P, Q) Teoremă Se presupue că estă fucţle dervată parţală P, P y, Q, Q :' A y ' ş ele sut cotue î puctul (a, b) Atuc, avem echvaleţa: (f este dervablă î z =a+ b) P Q ( ab, ) ( ab, ) y (Avem relaţle Cauchy-Rema P Q ( ab, ) ( ab, ) y D D Observaţ Se poate da o codţe ecesară ş sufcetă de dervabltate î comple, î care terv relaţle Cauchy-Rema Faptul că f este dervablă î z (sau, cum se ma spue, f este C- dervablă î z ) reve la defţa clască: estă lmta: f( z) f( z ) lm z z 8

187 Eemple Elemete de aalză matematcă Fe f : C C, f (z) = z Vom arăta că f este dervablă î toate puctele d pla f(z = + y) = (+ y) = ( y ) + y Aşadar, ac avem P:R R, Q:R R, P(,y) = y, Q(,y) = y Atuc, î orce puct (a,b) R avem: P Q ( ab, ) ( ab, ) a y P Q ( ab, ) ( ab, ) b y (evdet, fucţle dervată parţală sut cotue) Fe s, t umere reale Cosderăm fucţa f : C C, dată pr f(z=+ y)=( +sy )+ ty Ne puem problema să studem dervabltatea lu f Ac avem P,Q : R R date astfel:, Qy (, ) Py (, ) sy ty; P P Q Q ( ab, ) a, ( ab, ) sb; ( ab, ) tb, ( ab, ) ta y y Evdet, fucţle dervată parţală sut cotue Relaţle Cauchy-Rema rev la: a ta tb sb Avem ma multe cazur: a) Cazul a, b Sstemul deve: t =, t = s, dec soluţa este s =, t = b) Cazul a =, b Sstemul deve =, t=-s, dec soluţa este formată d mulţmea tuturor perechlor (s, t) petru care t = s c) Cazul a, b= Sstemul deve t =, =, dec soluţa este formată d mulţmea tuturor perechlor (s, ), ude s R este arbtrar d) Cazul a =, b = Sstemul deve =, =, dec soluţa este formată d mulţmea tuturor perechlor (, t) de umere reale 8

188 Elemete de aalză matematcă Cocluze (vom scre z=+yc): a) f este dervablă î orce z =a+b C cu a, b dacă ş uma dacă s =, t = Î acest caz f(z))= -y +y=z b) f este dervablă î orce z = b cu b dacă ş uma dacă t= s Î acest caz f(z)= +sy -sy Ac s R este arbtrar (avem o ftate de fucţ f) c) f este dervablă î orce z =a R cu a dacă ş uma dacă t= Î acest caz f(z)= +sy +y Ac sr este arbtrar (avem o ftate de fucţ f) d) f este dervablă î z = orcare ar f s ş t (avem o ftate de fucţ f) Evdet, ştd că fucţa f este dervablă î z, se pue problema de a calcula f'(z ) Teoremă Î codţle de la teorema precedetă ş ştd că f este dervablă î z, avem P Q f'( z a b) ( ab, ) ( ab, ) Să folosm această teoremă î calculul dervatelor la eemplele ş de ma sus Avem f'(z )=a+b=(a+b)=z a) Petru a, b avem f'(z )=a+b=z, b) Petru a=, b, avem f'(z )=a+tb= sb= sb= sz =tz c) Petru a, b=, avem f'(z )=a+tb=a=z d) Petru a=, b=, avem f'(z )= Regulle obşute de dervare se păstrează ş î cazul dervăr î comple Dăm ma jos câteva formule î acest ses fără eplcaţ: (uv)'(z )=u'(z )v(z )+u(z )v'(z ) ( u)'(z )= u'(z ) (ude C) (u+v)'(z )=u'(z )+v'(z ) ' u u'( z) v( z) u( z) v'( z) ( z ) v v( z ) ' ( f u)( z ) f '( u( z )) u'( z ) 83

189 Elemete de aalză matematcă 54 Fucţ aaltce Ma îtâ, o revedere a câtorva oţu refertoare la ser de umere (reale sau complee) Îcepem pr a dscuta despre sera a (sau a ) Vom cosdera u şr de umere d K = R sau C, aume şrul a Ac N este fat De obce = sau Numărul a se umeşte termeul de rag al sere a Petru fecare cosderăm suma parţală de ord a sere a, aume umărul: S a p Vom spue că sera are sumă dacă estă lms S Aume, dacă K = C, avem S C, ar dacă K = R, avem S Î acest caz umm pe S suma sere a Vom spue că sera este covergetă dacă are suma S ş S K (adcă şrul (S ) este coverget, dec lmta S R î cazul câd K = R) Câd sera are sumă, otăm de multe or S a Observaţe După cum se vede, u defm oţuea de sere, c dscutăm despre sera a ca despre o ettate acceptată tutv Aume, deea de sere este legată de dorţa de a etde suma la u umăr ft de terme Î acest ses, suma uu şr a este obţută î mod rezoabl luâd sume S ca ma sus cu u umăr d ce î ce ma mare de terme ş cosderâd lmta acestu şr ca sumă (câd lmta estă!) Dacă sera a este astfel îcât u estă lms vom spue că sera u p are sumă sau este osclată Dacă sera a u este covergetă spuem că este dvergetă Aşadar, dacă sera este dvergetă, avem următoarele varate: -- sau are sumă ş suma este egală cu sau cu (î cazul K=R); -- sau este osclată 84

190 Propretăţ Dacă sera Elemete de aalză matematcă a este dată, vom scre ueor ma smplu a sau uma a (dec este subîţeles) Câteodată otăm sera ca sumă ftă: a a a Dacă a este covergetă, atuc lma (recproca este falsă, după cum arată sera armocă, care este dvergetă, dar a ) O sere a petru care sera modulelor a este covergetă se umeşte sere absolut covergetă Se arată că orce sere absolut covergetă este covergetă (recproca ( ) este falsă, după cum arată sera armocă alterată, adcă sera care este semcovergetă, adcă este 3 4 covergetă ş u este absolut covergetă) 3 Dacă sera a este cu terme poztv (adcă a petru orce ) atuc ea are sumă Aume, (S ) este crescător ş suma S este dată astfel: S sups Covergeţa sere reve la mărgrea şrulu (S ) De aceea, î acest caz, petru a desema faptul că sera este covergetă screm ş a 4 Petru ser cu terme poztv avem următoarele crter de covergeţă: a) Crterul lu d'alembert (crterul rădăc) Fe sera a cu a > a Dacă lm, sera este covergetă a a Dacă lm, sera este dvergetă a a (Î cazul câd lm u putem spue mc; î uele cazur sera a coverge î această stuaţe (v sera ) ar î alte cazur sera dverge 85

191 î această stuaţe (v sera ) Elemete de aalză matematcă Eemplu de aplcare Fe a > ş R Studem atura sere a a Avem a a a Dacă a< sera coverge, dacă a> sera dverge Dacă a= sera deve (sera armocă geeralzată); coverge dacă ş uma dacă > b) Crterul lu Cauchy (Crterul rădăc) Fe sera a cu a Dacă lm a sera este covergetă Dacă lm a sera este dvergetă (Î cazul lm a u putem spue mc A se vedea acelaş eemplu ca la crterul lu d'alembert) Eemplu de aplcare Studem atura sere Avem a e Dec sera este covergetă c) Prmul crteru al comparaţe Fe a ş b două ser cu a, b Se presupue că a b petru orce Dacă b este covergetă rezultă că a este covergetă Dacă a este dvergetă rezultă că b este dvergetă Eemplu de aplcare Studem atura sere Observăm că putem compara cu ( ) sera Aume luăm a b ( ) Observaţe Cum sera covergetă b este covergetă rezultă că ş sera oastră a este La această sere putem char calcula ş suma Aume, deoarece avem petru orce : 86

192 rezultă că S p Elemete de aalză matematcă ( ), pp ( ) Dec S = d) Al trelea crteru al comparaţe Fe serle a cu a ş b cu a b > Se presupue că lm Atuc, serle a ş b au b aceeaş atură (sut ambele dvergete sau ambele covergete) Eemplu de aplcare Să studem atura sere arctg Î prmul râd observăm că sera este covergetă, deoarece Apo, deoarece lm, vom avea: arctg lm Luâd î crterul al trelea al comparaţe a arctg b, obţem că sera oastră a este covergetă Observaţe Putem calcula suma acestor ser Aume, se poate arăta că suma este 4 Vom îchea această parateză prvd serle umerce cu prezetarea a două ser etrem de mportate, care se îtâlesc mult î aplcaţ (ua d ele, aume sera armocă geeralzată, a fost deja îtâltă) Sera armocă geeralzată Făm u umăr > Sera m se umeşte sere armocă geeralzată (î cazul = se umeşte sera armocă) Se arată că sera de ma sus este covergetă dacă ş uma dacă > Euler a arătat că dacă = suma sere este 6 Sera geometrcă Făm u umăr real sau comple Sera raţe (adcă ) se umeşte sera geometrcă de ş 87

193 Aplcaţe Teoremă Elemete de aalză matematcă Se arată că sera de ma sus este covergetă dacă ş uma dacă este absolut covergetă dacă ş uma dacă < Î acest caz suma sere este (ceea ce se vede uşor, deoarece suma parţală S este ) Luăm u umăr atural p (umt baza sstemulu de umeraţe}) Se şte că orce umăr atural N se scre uc î forma N a p a p a pa cu a ş a A=,,,,p Smlar, orce umăr (,) se poate scre ca suma ue ser p- adce: ude a a p A petru orce Covergeţa sere este garatată de p covergeţa sere cu suma (Idcaţe Se va studa sera p geometrcă de raţe /p) După această parateză prvd serle umerce vom dscuta pe scurt despre fucţle aaltce Î eseţă, o fucţe este aaltcă dacă se dezvoltă î sere Ideea de dezvoltare î sere este legată de îcercarea de a etde la ft oţuea de polom Cu alte cuvte, o fucţe aaltcă se eprmă, cel puţ local, ca u polom cu o ftate de terme Demersul este motvat de faptul că poloamele sut fucţle cele ma accesble d puctul de vedere al studulu Î cele ce urmează K este (d ou) corpul umerelor reale sau complee Fe DK o mulţme, a D u puct teror lu D ş f : D K Defţe Se spue că f este aaltcă î a dacă estă u umăr strct de elemete d K cu următoarele propretăţ: poztv > ş u şr () B(a,)D; a () Petru orce B ( a, ) avem ff( ) a ( ) a Cu alte cuvte, fucţa f se dezvoltă î sere î jurul puctulu a Defţe Dacă D K este o mulţme deschsă ş f : D K este o fucţe, vom spue că F este aaltcă (sau olomorfă) dacă este aaltcă î orce puct d D Avem următorul rezultat mportat care leagă cele două oţu Î codţle de la defţa aaltctăţ lu f îtr-u puct: Dacă f este aaltcă î a, atuc estă u umăr r > avâd propretăţle: a) B ( a, r ) D b) f este aaltcă Bar (, ) 88

194 Elemete de aalză matematcă Cu alte cuvte, mulţmea puctelor de aaltctate ale ue fucţ este deschsă Defţe Fe D K o mulţme deschsă ş f : D K Vom spue că f este de clasă C dacă este de clasă C petru orce Cu alte cuvte, F are dervate de orce ord î orce puct Teoremă Fe D K o mulţme deschsă ş f : D K o fucţe aaltcă Atuc f este de clasă C Î mod atural, se pue îtrebarea î ce măsură recproca aceste afrmaţ este valdă Răspusul la această îtrebare este uaţat, după cum K=R sau C Petru a putea precza răspusul, vom da următoarea Teoremă Defţe Fe D K o mulţme deschsă ş a D, teror Fe ş f : D K de clasă C ( ) f ( a) Sera de fucţ ( ) a se umeşte sera Taylor! ataşată lu f î puctul a Termeul de sere de fucţ d această defţe este epreczat Î fapt, avem petru orce fucţa u :D K, dată pr Am cosderat sera ( f ) ( a) u( ) ( a)! u care este o sere de fucţ î sesul că ea are semfcaţa că putem cosdera î fecare puct D sera umercă u ( ) Î defţa precedetă, î loc să screm ( ) f ( a) ( a) u am scrs î mod abuzv dar sugestv Dervatele succesve se pot calcula î puctul! a, deoarece a este teror lu A Î codţle de la defţa aaltctăţ ue fucţ îtr-u puct: Dacă f este aaltcă î a, atuc rezultă că estă > aşa ca B (a,) D, f este de clasă C ( f ) ( a) ş a petru orce atural! Cu alte cuvte, dacă f este aaltcă î a, atuc estă > aşa ca f să fe suma sere sale Taylor î puctul a pe B(a,) D Î rezumat: Teoremă Fe DK ş ad, a teror Fe ş f : D K, aaltcă î a Atuc estă ( ) f ( a) > aşa ca B(a,)D ş ( a) petru orce B ( a, ) ş, î! plus, f este aaltcă pe B ( a, ) (adcă f Ba (, ) este aaltcă) Ba (, ) 89

195 Elemete de aalză matematcă Am văzut că fucţle aaltce sut de clasă C Teorema care urmează dă codţ ecesare ş sufcete de aaltctate Teoremă Fe D K o mulţme deschsă ş f : D K o fucţe Următoarele afrmaţ sut echvalete: Teoremă Fe a Fucţa f este aaltcă Fucţa f este de clasă C ş petru orce ad estă u umăr (a)> aşa ca B(a, (a))d ş petru orce B(a, (a)) ( ) f ( ) f( ) ( a)! Îcheem această parte geerală prvd fucţle aaltce (valablă ş î real ş î comple) cu cel ma mportat eemplu de fucţe aaltcă u şr de elemete d K cu următoarea propretate: estă u umăr > astfel îcât sera at coverge petru orce t K cu t < Fe a K Defm fucţa f : B( a, ) K pr f( ) a ( ) a Atuc f este aaltcă Îcepâd d acest momet vom trata separat cazurle real ş comple Î mod paradoal, cazul real este ma complcat Cazul K = R Teoremă Vom cosdera o mulţme deschsă D R ş u umăr a D Fe ş f : D R o fucţe de clasă C Următoarele afrmaţ sut echvalete: ) f este aaltcă î a; ) Estă u umăr > aşa ca (a, + ) D ş, î plus, petru orce (a, + ), avem lm R ( ) Ac R : (a, + ) R este restul formule lu Taylor de ord ataşate lu f î a Cu alte cuvte, aaltctatea lu f î a este echvaletă cu faptul că putem prelug formula lu Taylor la ft Observaţe Î cazul real estă fucţ de clasă C care u sut aaltce Eemplu Fe f : R R, dată pr f( ), dacă / e, dacă Atuc f este de clasă C Se poate arăta că Totuş, f u este aaltcă (deoarece u este aaltcă î ) ( f ) () petru orce 9

196 Elemete de aalză matematcă Cazul K = C Î acest caz smpla dervabltate atreează cu se aaltctatea Avem următoarea teoremă fudametală: Teorema fudametală a olomorfe Fe D C o mulţme deschsă ş f D Următoarele afrmaţ sut echvalete: ) f este aaltcă (olomorfă); ) f este dervablă Folosd detfcarea fucţlor complee cu perechle de fucţ reale, vom obţe ş următoarea caracterzare Teoremă Fe DC o mulţme deschsă ş f D Cosderăm ş detfcarea caocă f F (P, Q): 'D' R Următoarele afrmaţ sut echvalete: ) f este aaltcă (olomorfă); ) Estă ş sut cotue fucţle dervată parţală P, P y, Q, Q :' D ' ş, î plus, ele satsfac relaţle Cauchy-Rema peste tot: P Q P Q ş y y Îcheem cu câteva eemple Serle respectve sut covergete absolut Eemple de fucţ aaltce î real Vom prezeta câteva dezvoltăr î sere uzuale Fucţle astfel obţute sut aaltce, coform uu rezultat ateror ) Petru orce R avem: m e!!!! ) Petru orce R avem: s ( ) 3! 5! 7! ( )! 3) Petru orce R avem: 4 6 cos ( )! 4! 6! ( )! 4) Fe R Petru orce (, ) avem: ( ) ( ) ( )!!,! ( ) ( )( ) dec:!! 3! 5) Petru orce (, ) avem: 3 4 m l( ) ( ) 3 4 9

197 Schmbâd pe î avem: 3 m Elemete de aalză matematcă l( ) 3 6) Fe ab Cosderăm fucţa f \{ b},dată pr f( ) b Vom vedea că este aaltcă Petru orce R cu a < b a avem b a b a Scrd b a a y, avem y <, dec deoarece b a y y y, y îlocum ş avem: a a ( a) f( ) b a b b a b a, a( ba) ceea ce se verfcă ş observâd că ( ) (!) ( b ) ( ) f a a Eemple de fucţ aaltce î comple Vom prezeta eemple de fucţ aaltce (olomorfe) care prelu-gesc î comple fucţle corespuzătoare d real z ) Fucţa f : C C, deftă pr f( z) prelugeşte fucţa a! :, () = e Vom um pe f epoeţala compleă Notăm f (z) = ep (z) petru orce z C ) Fucţa f : C C, deftă pr: z f( ) ( ), ( )! prelugeşte fucţa :, () = s Vom um pe f susul comple Notăm f (z) = sz petru orce z C 3) Fucţa f : C C, deftă pr: z f( ) ( ), ( )! prelugeşte fucţa :, ()=cos Vom um pe f cosusul comple Notăm f (z) = ()z petru orce z C 9

198 Elemete de aalză matematcă Observaţe Putem arăta că petru orce z = + y C avem: ep (z)=e (cos y+ sy) Aşadar, făcâd detfcarea ep(p,q) avem pr PQ, : ' ' P(,y)=e cosy, Q(,y)=e sy Cttorul va verfca relaţle Cauchy-Rema Reţem ş faptul că petru R avem ep( ) = cos + s Test de autoevaluare Să se calculeze ude f : f ( ab, ), y f ( ab, ), y deftă pr y ft () y f ( ab, ) f f, (,), (,), y y y, dacă (,y) (,), dacă (,y)=(,) ş ( ab, ), ( ab, ) (,), date Răspusurle la test se vor da î spaţul lber d chear, î cotuarea euţurlor Să se dezvolte î sere î jurul puctulu z fucţa f : z dată pr: f( z) z Răspusurle la acest test se găsesc la paga 5 a aceste utăţ de îvăţare 93

199 6 Itegrale mpropr Elemete de aalză matematcă Ştm să tegrăm fucţ defte pe tervale de tpul [a,b] (tervale îchse ş mărgte, umte ş tervale compacte) Acum vom cosdera u terval ecompact I R ş o fucţe cotuă f : I Vom da u ses, î aumte cazur, tegralelor lu f pe I Defţle care urmează pot f date îtr-u cadru ma geeral Petru îceput observăm că I poate avea ua d următoarele forme: (a, b), (, b), (a, ), (, ), [a, b), (a, b], [a, ), (, b] cu a, b umere reale Ma pe scurt, I poate avea ua d formele: (a, b), [a, b), (a, b] ude a < b Defrea tegrale mpropr a lu f A) Cazul I = [a, b) Spuem că f este tegrablă mpropre dacă estă ş este ftă lm F( ), ude F : I este dată pr ude F( ) f( ) d b a Dacă b <, otăm b lm F( ) f( ) d b a Dacă b =, otăm lm F( ) f( ) d b a B) Cazul I = (a, b] Spuem că f este tegrablă mpropre dacă estă ş este ftă lm F ( ) a b ude F : I este dată pr F( ) f( ) d Dacă < a, otăm b lm F( ) f( )d a a b Dacă a =, otăm lm F( ) f( )d C) Cazul I = (a, b) Spuem că f este tegrablă mpropre dacă estă c(a, b) astfel îcât f ş f sut tegrable mpropru ( ac, ] [ cb, ) (Defţa ş valorle defte ma jos u depd de c) Dacă a = ş b =, otăm: D c f( )d f( )d f( )d c 94

200 Dacă a = ş b <, otăm: Elemete de aalză matematcă b D c b f( )d f( )d f( )d Dacă < a ş b =, otăm: Dacă < a ş b <, otăm: D f( )d f( )d f( )d a a c b D c b a a c c f( )d f( )d f( )d Valorle umerce defte ma sus se umesc tegrale mpropr ale lu f (pe I) Eemple Luăm I = [, ) ş f( ) Atuc: c deoarece: d, F( ) d arctg Luăm I = R = (, ) ş f( ) Atuc: d, deoarece putem lucra cu puctul termedar c=: d am văzut la ) d F( ) d arctg Atuc d d d 3 Luăm I = (,) ş Atuc: f( ) d, 95

201 deoarece: Elemete de aalză matematcă F( ) d Alte deumr Ueor, î loc să spuem că f este tegrablă mpropru, spuem că tegrala este covergetă sau că tegrala mpropre estă De eemplu, referdu-e la ultmul eemplu, putem spue că te-grala d este covergetă sau tegrala mpropre d estă Defţe Î acelaş cotet geeral, vom spue că f este absolut tegrablă mpropru (sau tegrala este absolut covergetă sau tegrala mpropre estă î mod absolut) dacă f este tegrablă mpropru Teoremă Dacă f este absolut tegrablă mpropru, atuc f este tegrablă mpropru (Recproca este falsă, după cum arată eemplul fucţe f :[, ), s f( ) ) Vom prezeta tre eemple deosebt de mportata de tegrale mpropr, care terv î dverse ramur ale matematc Fucţa B a lu Euler Petru orce două umere strct poztve tegrala a b- (, ) (-) d Bab este covergetă Fucţa astfel deftă B:( a, ) se umeşte fucţa B a lu Euler (sau tegrala euleraă de prma spece) Fucţa a lu Euler Petru orce umăr strct poztv tegrala: a ( ) d a e, este covergetă Fucţa astfel deftă :(, ) se umeşte fucţa a lu Euler (sau tegrala euleraă de a doua spece) Se poate arăta că este de clasă C (avem asemeea, petru orce a > avem: (a+) = a (a), de ude, petru N rezultă: (+) =! a a e l d '( ) ) De 96

202 Elemete de aalză matematcă Legătura ître fucţle B ş este dată de celebra formulă a lu Drchlet: petru orce a, b > avem: 3 Itegrala lu Posso Se arată că mpropr este următoarea: ( a) ( b) Bab (, ) ( a b) e d este covergetă Valoarea aceste tegrale e d Această tegrală este fudametală î teora probabltăţlor Cu ajutorul e se defeşte legea de repartţe ormală, care are drept fucţe de destate a probabltăţ fucţa f : dată pr: f( ) e Grafcul lu f este o curbă cuoscută sub umele de clopotul lu Gauss Ac, sut do parametr real, > Aume este meda (valoarea mede) ar este dspersa ue varable aleatoare dstrbute ormal N (, ) Cu alte cuvte avem: e d ; e d ; ( ) e d 97

203 Test de autoevaluare Să se calculeze: d Elemete de aalză matematcă Răspusurle la test se vor da î spaţul lber d chear, î cotuarea euţurlor a) Să se arate că tegrala mpropre este covergetă b) Folosd rezultatul de la a) să se arate că tegrala: este covergetă e d e d 7 Itegrale curbl Răspusurle la acest test se găsesc la paga 6 a aceste utăţ de îvăţare Vom prezeta îtr-u cadru foarte restrctv tegralele curbl de prma ş a doua spece Fe N, Cosderăm u drum :[a,b] R, despre care presupuem că este dervabl cu dervata cotuă Cu alte cuvte, dacă =(,,, ), atuc fecare compoetă scalară :[a,b] R este o fucţe dervablă ş fucţa dervată ':[ ab, ] este cotuă Fe ş D R cu propretatea că ([a,b])d 98

204 Elemete de aalză matematcă 7 Itegrala curble de prma spece Vom cosdera ş o fucţe F : D, care este presupusă cotuă Defţe Itegrala curble de prma spece a lu F pe drumul este pr defţe umărul: D b F (,,, )d l F( ( t)) '( t) dt a Cu alte cuvte avem F (,,, )dl b F( (), t (), t, (),) t '() t '() t '() t dt a Dacă = screm de obce Fy (, )dl, ar dacă =3 screm de obce Fyz (,, )dl Iterpretarea fzcă a tegrale de ma sus poate f următoarea (î cazul =3): u fr materal a căru mage este magea lu are î fecare puct (,y,z)= ( t ) destatea de masă F(,y,z) Atuc masa lu totală este Fyz (,, )dl O altă terpretare poate f următoarea: acelaş fr materal de ma sus este îcărcat electrc, avâd î fecare puct (,y,z)=(t) des-tatea de sarcă electrostatcă F(,y,z) Sarca electrcă totală a frulu este atuc Fyz (,, )dl Eemplu Cosderăm drumul :[,] R dat pr (t)=(t,t ) Vom calcula:, ydl Ac =, D=R ş F:R R, F(,y)=y ş :[,] R, (t)=t; :[,] R, (t)=t Avem;, yd l () t () t '() t '() t dt 3 t t (( t )') (( t )') d t t 4 t d t Folosm schmbarea de varablă t =u ş tegrala deve (deoarece (t )'=t): u 4 u d u Facem o ouă schmbare de varablă ş aume: 99

205 v 4u v 4u v u 4 (deoarece v v ) tegrala deve: 4 ' Elemete de aalză matematcă 5 5 v v 4 d ( )d v v v v v v v Observaţe Î cazul câd F, se obţe că: b a F (,,, dl d l '() t '() t '() t dt = lugmea drumulu Eercţu Să se calculeze lugmea lu :() 4 d l t t 7 Itegrala curble de a doua spece Vom cosdera ş o fucţe vectorală cotuă: P = (P, P,, P ) : D R Cu alte cuvte fecare compoetă scalară P : D R este cotuă Defţe Itegrala curble de a doua spece a fucţe P pe drumul este pr defţe umărul: D P(,,, )d P (,,, )d P (,,, )d D b [ P( ( t), ( t),, ( t)) ' ( t) P ( ( t), ( t),, ( t)) ' ( t) a P ( (), t (), t, ()) t '()]d t t Dacă = otăm compoetele scalare P ş P pr P ş Q ş screm de obce Py (, )d Qy (, )dy Dacă =3 otăm compoetele scalare P, P, P 3 pr P, Q, R ş screm de obce: Pyz (,, )d Qyz (,, )d yryz (,, )dz Iterpretarea fzcă a tegrale de ma sus (î cazul =3) este următoarea: o forţă varablă cu puctul de aplcare mobl î D ş reprezetată ca vector î fecare puct (, y, z)d de vectorul (,y,z) + (P(,y,z), Q(,y,z), R(,y,z))= =(+P(,y,z), y+q(,y,z), z+r(,y,z))

206 Elemete de aalză matematcă îş deplasează puctul de aplcare de-alugul drumulu Atuc lucrul mecac efectuat este Pyz (,, )d Qyz (,, )d yryz (,, )dz Eemplu Cosderăm acelaş drum ca la tegrala curble de prma spece, aume :[,] R, (t)=(t,t ) Vom calcula, yd dy Ac =, D=R, P:R R, P(,y)=y ş Q:R R, Q(,y)= Py (, )d Qy (, )d y ( ( t) ( t) ' ( t) ( t))dt t t ( tt t)d t t ( t )d t t Observaţe Drumul folost î cele două eemple de ma sus are ca mage u arc de parabolă Aume, magea sa este grafcul fucţe f : [,] R, f (t) = t Test de autoevaluare 3 Să se calculeze: ude :[,] dl este dat pr () t (, t t ) Răspusurle la test se vor da î spaţul lber d chear, î cotuarea euţurlor Să se calculeze: :[, ], () t (cos,s) t t d ydy Răspusurle la acest test se găsesc la paga 7 a aceste utăţ de îvăţare

207 8 Itegrale multple Elemete de aalză matematcă Calculul tegralelor poate f ets ş petru fucţ de varable, Vom prezeta tegralele multple îtr-u cadru restrctv Vom cosdera o mulţme D R, o fucţe f : D ş vom calcula tegrala lu F, otată f(,,, )d,d,,d D (î stâga sut seme de tegrală) Fucţa f este cotuă, ar mulţmea D va f de aumte tpur care vor f prezetate ma jos Dacă = avem tegrale duble ş vom scre f(, y)d,dy, ar dacă = 3 avem tegrale trple ş vom scre f(, y, z)d,d y,dz Î geeral, avem o tegrală multplă de ord Nu vom da defţa precsă a tegrale multple, petru a u îcărca prea mult acest (mc) curs Să spuem uma că tegrala multplă se defeşte tot cu ajutorul sumelor Rema, prtr-u procedeu de apromare, luâd dvzu d ce î ce ma fe Sumele Rema sut de forma f( P ) ( P) ude P sut mulţmle care formează dvzuea lu D, P P sut pucte termedare ş (P) este măsura Jorda dmesoală a mulţm P D (de eemplu, dacă =, (P) este ara lu P) Calculul măsur dmesoale: ( D) d,d,,d D 8 Itegrale multple pe tervale -dmesoale Mulţmea D este î acest caz de forma =,,, (spuem că D este terval -dmesoal) D D D [ a, b ], cu a b petru Vom reduce calculul tegrale multple a lu f la tegrale obşute ale uor fucţ de o varablă Aume, avem formula de reducere a tegrale multple la o tegrală terată: b b b f(,,, )d,d,,d d d f(,,, )d D a a a Semfcaţa membrulu secud este următoarea: Făm î mod arbtrar [ a, b ], [ a, b],, [ a, b ] Atuc fucţa (de o varablă) f : [ a, b], f() t f(,,,,) t este cotuă Putem calcula: pe care o screm sub forma: b b f()d t t f(,,,,)d t t, a a

208 Fucţa astfel deftă F e defm fucţa: b f(,,, )d F (,,, ) a Elemete de aalză matematcă : [ a, b ] este ş ea cotuă Cu ajutorul f :[ a, b ], f () t F (,,,,) t Putem calcula: b b f ()d t t F (,,,,)d t t a a Screm ultmul umăr sub forma: b b f(,,,, )d d a a b d f(,,,, )d a b Cotuăm procedeul obţâd: b b b a a a a D f(,,,, )d d d b b b D d d f(,,,, )d a a a ş tot aşa ma departe pâă ce obţem î fal: D f(,,,, )d d d d b b b a a a b b b D Dacă = avem dec: d d f(,,,, )d a a a f(,,,, )dd d D b b b b f(, y)ddy d f(, y)d y f(, y)dy d D a a aa Dacă = 3 avem: b b b3 bb b 3 f(, y, z)ddydz d d y f(, y, z)d z f(, y, z)dy d dz D a a a3 a a a3 Observaţe mportată: ordea de tegrare u este eseţală Obţem acelaş rezultat tegrâd î orce orde De eemplu, dacă = avem două varate: 3

209 Eemple Elemete de aalză matematcă b b b b b b D f( y, )ddy d f( y, )dy d y f( y, )d f( y, )d dy D a a a a aa Dacă =3 avem şase varate: b b f(, y, z)ddydz d d y f(, y, z)dz b3 D a a a3 b b3 b b b b3 d d z f(, y, z)dy dy d f(, y, z)dz a a3 a a a a3 b b3 b b3 b b b3 b b dy d z f(, y, z)d dz d f(, y, z)dy dz d y f(, y, z)d a a3 a a3 a a a3 a a De eemplu, ultma tegrală terată îseamă D b3 b b a3 a a [,] [,] [ a,] ş : Itegrala teroară : f(, y, z)d dy dz f D, f(, y) y d l( ) l( ) l( ) y y y ş dec tegrala căutată este 4 3 l( )d l()d ltdt ltdt ( tl t t) ( tl t t) l 3 Petru verfcare se poate îcerca ş ordea de tegrare alteratvă dy d y D [,] [,] [,] ş f : D, D f(, y, z) y z 3 (,, )d d d d d d f y z y z y y z z z y y z dz y z dz y y dy y dy y

210 Observaţe d 6 6 Elemete de aalză matematcă Î această tegrală varablele sut separate ş se observă că, de fapt, avem: D f(, y, z)ddydz d y dy z dz Acest feome este geeral (ş foarte utl î calcule) Aume, dacă f :[ a, b] sut fucţ cotue ş f : D [ a, b ] este de forma f(,,, ) f ( ) f ( ) f ( ) va rezulta că: f(,,, )d d d D b b b f( )d f( )d f( )d a a a 8 Itegrale duble pe dome smple Îtâ defm domele smple î raport cu aa Oy Fe a<b ş uv, :[ ab, ], două fucţ cotue, u v Petru orce [a, b] avem dec u() v() ş putem def mulţmea evdă Mulţmea D {(, y) u( ) y v( )} D [ a, b] D se umeşte domeu smplu î raport cu aa Oy geerat de fucţle u ş v Î fgura 3 este fgurată o mulţme D (care este u segmet vertcal î plaul R ) ş se vede cum se obţe D (care este o mulţme cuprsă ître grafcele lu u ş v, haşurată) Fg 3 Fg 3 Î mod smlar putem def domele smple î raport cu aa O (vez fgura 3) Avem c < d ş u,v:[c,d] R, u v două fucţ cotue Petru fecare y [c, d] defm D {(, y) u( y) v( y)} ş atuc y[ c, d] y y D D este u domeu smplu î raport cu aa O geerat de fucţle u ş v (haşurat î fgura 3) 5

211 Elemete de aalză matematcă Itervalele -dmesoale sut cazur partculare de dome smple î raport cu ambele ae De eemplu, dacă D=[a,b][c,d], rezultă că D este domeu smplu î raport cu aa Oy geerat de fucţle uv, : [ ab, ], u()=c, v()=d (adcă u ş v sut fucţ costate) Formulele de calcul ale tegralelor duble pe astfel de dome se reduc tot la tegrale terate Îtâ presupuem că D este domeu smplu î raport cu Oy geerat de u ş v Atuc v( ) f(, y)dd y f(, y)dy D Membrul al dolea are următoarea semfcaţe: Petru orce [a,b], fucţa f : [ u( ), v( )], f (y)=f(,y) este cotuă Putem calcula: v( ) v( ) u( ) u( ) u( ) f ( y)d y f(, y)d yf( ) Fucţa astfel deftă F:[a,b] R este cotuă ş avem: Eemple adcă: f(, y)dd y F( )d, D b v( ) b v( ) f( y, )dd y f( y, )dy d d f( y, )dy D a u( ) a u( ) Smlar, dacă D este domeu smplu î raport cu O geerat de u ş v vom avea d v( y) d v( y) f(, y)ddy d y f(, y)d f(, y)d dy D c u( y) cu( y) Dacă D este domeu smplu î raport cu ambele ae putem folos orcare d formule Fe u,v:[,] R, u()=, v()= Ele geerează domeul smplu î raport cu Oy otat pr D (vez fgura 3) Fe f : D, f(,y)=y b a Fg 3 Ara lu d d d d d 7 D y y 3 D 6

212 Avem: yddy d ydy D 5 y ydy ydy 5 6 D 63 y d dy d 6 4 Elemete de aalză matematcă D=(,y) R +y = dscul cetrat î orgea aelor de coordoate de rază este u domeu smplu î raport cu ambele ae (vez fgura 4): -- î raport cu Oy geerată de u,v:[-,] R, u ( ), v ( ) ; --î raport cu O geerat de u,v:[-,] R, vy ( ) y uy ( ) y, Fe f : D, f(, y) Fg 4 Vom calcula: D y (, )d d d d f y y y y Avem: y y 3/, y d d ( y ) 3 D f(, y)dd y ( y ) d y ( y ) dy cos tdt Itegrale multple calculate cu formula schmbăr de varablă Fe, R două mulţm deschse Presupuem că D Fe T=(T,T,,T ) : o fucţe de clasă C (adcă toate fucţle T T : au toate dervatele parţale : fucţ cotue) Ma presupuem că estă d, d terval -dmesoal (î cazul = putem presupue char ma geeral, că d este domeu smplu î raport cu ua d ae), astfel îcât T(d)=D j 7

213 Elemete de aalză matematcă Î plus, admtem că T este jectvă pe terorul lu d= d este teror lu d ş J(T)(a) petru orce a d terorul lu d Ac, J(T)(a) este jacobaul lu T calculat î a, aume: JT ( )( a) T T T ( a) ( a) ( a) T T T ( a) ( a) ( a) T T T ( a) ( a) ( a) Î aceste codţ, petru orce fucţe cotuă f : D avem formula schmbăr de varablă f( y, y,, y)dy dy dy D f( T (,,, ), (,,, ),, (,,, ) ( )(,,, ) T T J T d d d d Formula se poate da î codţ mult ma geerale Î cazul =, cea ma folostă trasformare T este trasformarea î coordoate polare î pla, aume T :, T(,) cos Ac ş TT, :, aume: T (,) cos, T (,) s Rezultă cos s JT ( )(, ) s s Luâd d [, r] [, ] (ude r > ) obţem: Td ( ) D {( y, ) y r} =dscul cetrat î orge de rază r Luâd d [, r] [, ] obţem: Td D y y y r sus aflată î prmul cadra Avem ş alte varate petru d ( ) {(, ), ş } =partea d dscul de ma Î ambele stuaţ codţle d teoremă se îdeplesc Î fgura 5 se observă terpretarea coordoatelor polare (,) ale uu puct M d pla de coordoate cartezee (,y), aume =cos, y= s Ac = dstaţa de la orgea aelor la M ş este ughul făcut de O cu OM Fg 5 8

214 Elemete de aalză matematcă Deoarece formulele care dau pe T au terpretare geometrcă petru, dec J(T)(, ) = =, formula schmbăr de varablă deve î acest caz: f(, y)dd y f( cos, s ) dd D d Eemple Vom relua calculul tegrale f(, y)ddy, ude D {(, y) y } ş f : D, f(, z) Avem D=T(d), ude d [,] [, ] Rezultă: D D f(, y)dd y f( cos, s ) dd ( cos ) dd d 4 3 cos dcos d d 4 s ( ) Fe D {(, y) y 4, y } Se vede că D este o semcoroaă crculară cuprsă ître cercurle cetrate î orge de raze ş, vez fgura 6 d Fg 6 Avem D=T(d), ude d [,] [, ] Vom calcula f(, y)ddy, ude f : D este dată pr f(, y) y Dec: D D f(, y)dd y ( y)ddy D (cos s ) d d ( cos s )d d d cos dd sdd D d d cos d d s d s cos 3 3 D 9

215 Elemete de aalză matematcă 3 Î cazul =3 cea ma folostă traformare T este trasformarea î 3 3 coordoate plae î spaţu, aume T :, Pr urmare, ac T(,, ) ( scos, ss, cos ) 3 ş TTT,, : 3 3 sut date pr: T (,, ) s cos, T (,, ) s s, T3 (,, ) cos Rezultă pr calcul (eercţu): JT ( )(,, ) s Luâd d [, r] [, ] [, ] obţem: 3 T( d) D {(, y, z) y z r } = bla cetrată î orge de rază r > Codţle d teorema schmbăr de varablă se îdeplesc Avem ş alte varate petru d Î fgura 7 se observă terpretarea coordoatelor polare (,, ) ale uu puct M d spaţu de coordoate cartezee (,y,z), aume = s cos, y= s s, z= cos Ac = dstaţa de la O la M, este ughul făcut de semdreapta poztvă a ae Oz cu OM ş este ughul făcut de semaa poztvă O cu proecţa OM' a lu OM pe plaul Oy Fg 7 Avem ş s î acest caz, dec câd avem terpretare geometrcă rezultă JT ( )(,, ) s Formula deve: D f(, y, z)ddydz Eemple Să calculăm f ( scos, ss, cos ) sddd d D y z y z, ude: ( d d d D {(, yz) y z } Ac avem dec f : D, f(, y, z) y z Este clar că D=T(d), ude d [,] [, ] [, ] dec D y z y z ( )d d d ( s cos s s cos ) ddd d sddd d

216 4 d cosd d 5 4 Să calculăm ddydz ude: D Elemete de aalză matematcă 3 D {(, y, z) y z 4 ş, y, z } (= porţuea d bla cetrată î orge de rază care este î prmul octat) Ac f : D este dată pr f(,y,z)= Avem D=T(d) ude d [,] [, ] [, ] Itegrala căutată este dec: scos sddd d s d cosd d 3 Remarcă fală prvtoare la tegrale Putem def tegrale ş petru fucţ cu valor complee, dacă părţle reală ş magară sut cotue Aume fd = Re( f)d + Im( f)d D D D Test de autoevaluare 4 Să se calculeze: ude D [,] [,4] D yddy Răspusurle la test se vor da î spaţul lber d chear, î cotuarea euţurlor Să se calculeze: D ddy ude D {(, y), y, y } Răspusurle la acest test se găsesc la paga 7 a aceste utăţ de îvăţare

217 9 Elemete de teora ecuaţlor dfereţale Elemete de aalză matematcă Problema găsr aumtor fucţ care să satsfacă uele codţ este foarte mportată De cele ma multe or aceste codţ se referă la dervata fucţe ecuoscute, sau char la dervatele de ord superor ale aceste fucţ, ţâd seama de terpretărle fzce sau geometrce ale dervate (dervata a doua este legată de acceleraţe) Ecuaţle î care ecuoscutele sut fucţ se umesc ecuaţ fucţoale} Iată u eemplu î acest ses Căutăm o curbă petru care pata tagete î fecare puct al curbe este proporţoală cu ordoata Dacă curba căutată este grafcul ue fucţ dervable f : I (ude IR este u terval), va trebu să avem î fecare puct I relaţa f '( ) af( ), ude a este costata de proporţoaltate Î lmbaj obşut, avem dec ecuaţa dfereţală y'=ay a) Teorema de esteţă a lu Peao Cosderăm o mulţme deschsă D R (adcă D este formată uma d pucte teroare) ş o fucţe F : D O soluţe a ecuaţe dfereţale y ' Fy (, ) () este o fucţe dervablă f : I (ude IR este u terval deschs) avâd propretăţle: () Petru orce I avem (,f()) D () Petru orce I avem f '( ) F(, f( )) Î eemplul ateror putem lua D=R ş F:R R, F(,y)=ay Î geeral, u putem afrma că o ecuaţe dfereţală de tpul () are soluţe sau are soluţe ucă De obce rezolvarea ecuaţe () se face mpuâd o cerţă suplmetară Cea ma mportată ş ma cuoscută codţe suplmetară este codţa Cauchy (sau codţa ţală) Aume, se dau două pucte R, y R, astfel îcât (,y ) D Codţa ţală Cauchy: y( )=y () îseamă că cerem ca soluţa f : I a ecuaţe () să satsfacă î plus codţa că I ş f( )=y (') Teorema lu Peao Î codţle ş cu otaţle de ma sus, se ma presupue ş faptul că F este cotuă Atuc, petru orce (,y ) D, ecuaţa dfereţală () admte soluţe f care satsface codţa Cauchy () (sau ('))

218 Elemete de aalză matematcă Observaţe Nu este garatată ş uctatea soluţe, avâd propretăţle de ma sus Totuş, de cele ma multe or, satsfacerea codţe Cauchy mplcă uctatea soluţe Î cotuare, vom folos următoarea eprmare: dacă putem găs o soluţe a ecuaţe dfereţale () care satsface codţa Cauchy () (sau (')) spuem că am rezolvat problema Cauchy y'=f(,y), y( )=y Dacă, pur ş smplu, găsm o soluţe a ecuaţe (), spuem că am rezolvat ecuaţa () Dacă putem găs toate soluţle ecuaţe (), spuem că am găst soluţa geerală a ecuaţe () (eprmarea este oarecum mprecsă) Î cotuare, vom prezeta câteva tpur elemetare de ecuaţ dfereţale, dcâd algortm de rezolvare b) Ecuaţ cu varable separable Î acest caz D=UV, ude UR, VR sut tervale deschse Se cosderă ş două fucţ cotue a:u R, b:v R Fucţa F : D este dată pr F(,y)=a()b(y) Ecuaţle cu varable separable sut dec de forma: y'=a()b(y) (3) Î cotuare vom lua U, y V ş vom rezolva problema Cauchy y'=a()b(y), y( )=y Vom lucra î poteza b(y ) D motve de cotutate estă > aşa ca (y, y +V ş b(y) petru y (y, y +) (Evetual, restrâgem pe V ş presupuem b(y) petru yv) Algortm de rezolvare Pasul Screm ecuaţa (3) sub forma: dy dy aby ( ) ( ) ad ( ) d b( y) Pasul Itegrăm î egaltatea precedetă: dy ad ( ) by ( ) ş screm B(y)=A()+C ude B:(y, y+) R este o prmtvă a fucţe (y, y +); A:U R este o prmtvă a fucţe a() deftă pe U, C este o costată reală Pasul 3 Alegem costata C aşa ca: B(y )=A( )+C, adcă: y by ( ) deftă pe 3

219 Eemple C=B(y ) A( ) Elemete de aalză matematcă Pasul 4 Cu această costată C screm egaltatea: B(y)=A()+C, adcă: B(y)=A() A( )+B(y ) Deoarece, petru =, ultma egaltate deve: B(y)=B(y ), rezultă că ecuaţa î y: B(y)=A()+C are soluţe ucă: y=b (A()+C), petru I, ude IU este u terval deschs satsfăcâd codţle: I ş A()+CB((y, y +)) (respectv I ş A()+CB(V), dacă presupuem b(y) petru orce yv) Aceasta, deoarece fucţa B este strct mootoă pe (y, y +) (respectv pe V), avâd dervata eulă by ( ) Soluţa căutată este f : I, f()=b (A()+C) Revem la ecuaţa ţală Aume, fe a Vom rezolva problema Cauchy: y'=ay, y()= Deoarece y = y >, vom lua ac V (, ) ş b :(, ), b(y)=y (dec b ( y ) petru orce y V ) Putem lua U = R ş a: U, a() a Urmăm algortmul: dy dy dy y ' ay ay ad ad d y y l y ac ly ac (deoarece y V=(, )) Petru = = ş y=y = obţem =a+c dec C a y a a a y e a ( ) l ( ) Soluţa este f :, f( ) e a ( ) Observaţe Soluţa geerală este f : Să rezolvăm problema Cauchy: a C, f( ) e, ude C y y ', y() 4

220 Ac avem y' y ş y =>, => Elemete de aalză matematcă Vom lua dec U (, ) ş a: U, a ( ) ; V (, ), b: V, ş by ( ) y (dec b(y) petru orce y V) y dy dy y' y d d y dy d l C l( ) C y y, deoarece U=(, ) Petru = ş y = obţem: l3c C l3, dec l( ) C y y l( ) C l( ) l3 Trebue să avem By ( ) y l( ) C A( ) (, ) BV ( ) ude B:(,) R, Dec este ecesar ca l( ) l3, adcă e e e e l( ) l3 l căc U=(, ) Soluţa este 3 f :, e, f( ) l( ) l3 Observaţe Codţa b(y) petru y V este foarte mportată Dacă estă y V cu b(y ) = ajugem la stuaţ complcate De eemplu, î acest caz fucţa s:u R dată pr s() y este soluţe a ecuaţe (3) (umtă soluţa staţoară) C) Ecuaţ afe (ecuaţ lare) Fe UR u terval deschs ş a,b:u R două fucţ cotue Vom lua D=U R ş F : D, F(,y)=a()y+b() Ecuaţle afe sut dec de forma y'=a()y + b() Dacă b se ma umesc ş ecuaţ lare de ordul îtâ U autor umesc ecuaţle afe ecuaţ lare de ordul îtâ, deumd ecuaţ lare omogee de ordul îtâ pe cele cu b Fe U, y R 5

221 Algortm de rezolvare a probleme Cauchy: y'=a()y+b(), u( )=y Pasul Se rezolvă ecuaţa omogeă asocată y ' ay ( ) după procedeul de la ecuaţ cu varable separable: Elemete de aalză matematcă dy dy dy ay ( ) ad ( ) ad ( ) l y A ( ) K d y y, cu K R Screm K sub forma K= l C (deoarece orce umăr real K se poate scre sub forma K= l C cu u aumt K > ) l y A ( ) l C y Ce y Ce A( ) A( ) A( ) Dacă b(), petru = ş y=y obţem y Ce, dec C y e A( ) A( ) A( ) Soluţa este f : U, f( ) ye e, ude A: U este o prmtvă a lu a Dacă b u este detc ulă, trecem la Pasul (Varaţa costatelor) Folosm rezolvarea ecuaţe omogee asocate ş căutăm soluţa sub A( ) forma f : U, f( ) ce, ude C:U R este o fucţe ecuos-cută (am cosderat costata C ca varablă ) Puâd codţa ca f să verfce ecuaţa obţem: A ( ) A ( ) f '( ) a( ) f( ) b( ) C( ) e a( ) C'( ) e A ( ) A ( ) ace ( ) ( ) b ( ) C'( ) be ( ) A ( ) Dec C ( ) be ( ) d, adcă C este o prmtvă a fucţe cotue ( ) b( ) e A pe U Screm C()=P()+H cu H co-stată ( ) Determăm H aşa ca f( )=y, adcă ( P ( ) He ) A y etc Eemple Să rezolvăm problema Cauchy Ecuaţa omogeă este: y ' y, y()= dy dy / y' y y d l y lc y Ce d y Varem costata C: ' / Ce C ' C( ) d e H / ; e e 6

222 y ( ) e H e He ; y() He H 3e / / Elemete de aalză matematcă Soluţa este f :, f( ) 3e (deoarece ac a :, a ( ) ş b :, b ( ) ) Fe m R Să rezolvăm problema Cauchy Ac d ou U=R, a : y ' y m, y()=, a ( ) ş b :, b ( ) m -- Dacă m = avem o ecuaţe lară (omogeă) Am văzut că soluţa este de forma f :, f( ) Ce, cu CR Petru = avem f / ( ) Ce dec C / e ş soluţa este f :, f( ) e -- Dacă m varem costata C: y' Ce Ce Ce mc'( ) me dec / C ( ) m e d Screm C=P+H, ude P : este o prmtvă a fucţe e / pe R ş H R care rezultă d f()= c) Ecuaţ dfereţale de ord superor (sub formă eplctă) Ecuaţ lare de ordul do Vom cosdera u umăr atural ş o mulţme DR +, D deschsă Fe ş F : D o fucţe O soluţe a ecuaţe dfereţale de ordul ( ) ( ) y F(, y, y',, y ) (4) este o fucţe de or dervablă f : I (ude IR este terval deschs) avâd propretatea că petru orce I avem f f f D ş ( ) (, ( ), '( ),, ( )) ( ) ( ) f F f f f ( ) (, ( ), '( ),, ( )) Cosderăm ş u puct (,y,y,,y ) D A rezolva problema Cauchy ( ) ( ) y F(, y, y',, y ) (5) ( ) y ( ) y, y'( ) y,, y ( ) y îseamă a găs o soluţe f : I a ecuaţe () care satsface î plus codţle ( ) f( ) y, f '( ) y,, f ( ) y Î cele ce urmează e vom ocupa de u sgur tp de ecuaţ de ordul 7

223 Elemete de aalză matematcă Ecuaţ lare ş omogee de ordul al dolea cu coefceţ costaţ Vom cosdera două umere reale a ş b Î (4) luăm D=R 3 ş F:R 3 R dată pr F(,y,y')=ay'+by Aşadar, luăm î cazul = ş dorm să rezolvăm ecuaţle dfereţale de ordul de forma y '' ay ' by (6) umte ecuaţ dfereţale leare ş omogee cu coefceţ costaţ de ordul al dolea Vom arăta cum putem determa soluţle geerale ale ecuaţlor de tp (6) ş cum putem rezolva problema Cauchy : y'' ay' by ; y( ) y, y '( ) y (7) petru, y, y arbtrare Totul se bazează pe ecuaţa algebrcă: umtă ecuaţa caracterstcă a ecuaţe (6) Avem tre stuaţ dstcte a b (8) Eemplu A) Cazul câd (8) are două rădăc reale dstcte ş Î acest caz o fucţe f : este soluţe a ecuaţe (6) dacă ş uma dacă estă două costate reale C ş C cu propretatea că ft () Ce Ce (9) t t petru orce t R Se arată că problema Cauchy (7) are soluţe ucă petru orce, y, y î R, adcă estă î mod uc costatele C ş C reale aşa ca f( )=y ş f'( )=y, ude f este dat de (9) Să cosderăm problema Cauchy y'' 3 y' y; y(), y '() Ecuaţa caracterstcă este cu soluţle =, = O soluţe oarecare este dec f : =3, f( ) Ce C e Avem f '( ) Ce C e Rezolvarea probleme Cauchy reve la găsrea costatelor C ş C petru care: f() CC f '() C C, 8

224 dec C, C Elemete de aalză matematcă Soluţa probleme Cauchy este fucţa f :, f( ) e Eemplu B) Cazul câd (8) are rădăcă dublă = = Î acest caz o fucţe f : este soluţe a ecuaţe (6) dacă ş uma dacă estă două costate reale C ş C cu propretatea că petru orce t R avem: t ft () Ce Cte t Ş î acest caz problema Cauchy (7) are soluţe ucă, î acelaş ses cu cel de la A) Să rezolvăm problema Cauchy: y'' y' y ; y(), y '() Ecuaţa caracterstcă = are soluţa dublă = Dec, o soluţe oarecare este f :, f( ) Ce Ce Soluţa probleme Cauchy rezultă d codţle: f() Ce Ce f '() CeC e, Dec C ş C e e Fucţa soluţe este dec f :, f( ) e ( ) Eemplu c) Cazul câd (8) are două rădăc ereale dstcte =, +, cu Î acest caz o fucţe f : este soluţe a ecuaţe (6) dacă ş uma dacă estă două costate reale C ş C cu propretatea că () t t ft Ce cost Ce s t, petru orce t R Ş î acest caz problema Cauchy are soluţe ucă Să rezolvăm problema Cauchy y'' y' y; y( ), y '( ) Ecuaţa caracterstcă = are rădăcle ş + Dec o soluţe oarecare este f :, ( ) f Ce cos Ce s Soluţa partculară (soluţa probleme Cauchy) rezultă d codţle f( ) Ce C f '( ) Ce C e Fucţa soluţe este f :, ( ) cos f e 9

225 Test de autoevaluare 5 Să se rezolve problema Caucy: y y ', y() Elemete de aalză matematcă Răspusurle la test se vor da î spaţul lber d chear, î cotuarea euţurlor Să se rezolve problema Caucy: y '' 4 y' 3y, y(), y '() 3 Răspusurle la acest test se găsesc la paga 7 a aceste utăţ de îvăţare

226 3 Cometar ş răspusur la testele de autoevaluare Elemete de aalză matematcă Test a) Să presupuem că petru o orce permutare p şrul ( p( ) ) tde către a, luâd î partcular, permutarea p dată pr p( ) petru orce, rezultă că srul ( ( )) tde către a p b) Presupuem că are ca lmtă pe a Să cosderăm o permutare p : Fe V o vecătate a puctulu a Putem găs (V) cu propretatea că V petru orce V ( ) Deoarece p este surjecţe, putem găs N(V) cu propretatea p( A) {,,,, V ( )}, ude A {,,,, NV ( )} Atuc, petru orce N( V ) avem p( ) V ( ) (deoarece p este jecţe), ceea ce mplcă p ( ) V Am arătat că p( ) tde către a Dacă t, rezultă că t, dec şrul ( ) este dverget, fd emărgt Dacă t avem ( ), dec şrul ( ) este dverget, alterâd valorle ş Dacă t avem ( ) ( ) petru orce, dec şrul ( ) este coverget Dacă t avem t, dec şrul ( ) este coverget către Test Este o sere geometrcă cu raţa d care lpseşte prmul terme (egal cu ) Suma sere geometrce: este: Dec suma sere oastre este = (Varată: S

227 Elemete de aalză matematcă Numărul studat este suma sere zecmale eperodce (cu terme d ce î ce ma rarefaţ) 4 7 ( ), Test 3 Evdet f este cotuă î (este fucţe elemetară, dec lm f( ) f( a) petru orce a ) Petru fucţa g, avem: Dacă, g ( ) [ ] dec lm g ( ) Dacă, g ( ) [ ] dec Pr urmare, g este dscotuă î lm g ( ) Avem fucţa f : \{}, deftă pr Test 4 s s s cos f( ) 4 Avem fucţle fg, : \{} defte pr f( ) s ş Se cere să calculăm f( ) lm g ( ) Evdet, g ( ) petru, dec euţul are ses Ac I, a, lm f( ) lm g( ) ş g Î plus: f '( ) cos g'( ) 3 La testul de autoevaluare (3) am calculat cos lm, dec lmta cerută este 3 6 Aplcăm formula de dervare: dec: ' f f' g fg', g g '( ) 3 g ( ) petru 3

228 ' l( ( ) ( ) Test 5 Elemete de aalză matematcă ( ) l( ) l( ) 3 3 d d d d Facem schmbarea de varablă Atuc d ' d dt t t t, t, t d dt d l l Itegrala propusă este egală cu: l l Fucţa care trebue tegrată este cotuă pe porţu Cu teora prezetată, tegrala căutată este: 3 ' d d d dt t l3 l3 l cu schmbarea de varablă t Test 6 Avem f :[,], (reve la a spue că f( ) ş :[,] ) g, g ( ) 3 Atuc f g Deoarece avea: g ( ) 3, dacă ş g ( ) 3, dacă, vom ara S( f, g) g( ) f( ) d g( ) f( ) d g( ) f( ) d d d b volum ( ) d d Vf b a a b a 3

229 Test Trebue să avem Elemete de aalză matematcă 99 Aşadar, putem lua 3 4 d,5 Avem f ''( ) 6 6 Putem lua M 6 Putem lua 3 Obţem: Test 8 6 Trebue să avem: 5 3 T3 () f f() f() f 6 3 f 3 8 5, Îtâ presupuem că, î X, d, dec d (, ) Atuc, petru orce avem: (, ) bd(, ), dec (, ), adcă î X, Ivers, dacă î X,, vom folos egaltatea: d (, ) (, ) a Şrurle vor f umerotate îcepâd cu Şrul este Cauchy, ude: deoarece, petru dat ş,,,,,,,,, m() [ ] avem: m,,,,,,,,,, m Dacă ar esta, pr absurd, lm avea petru orce p:, ude a, a,, a p,,,, am 4

230 Elemete de aalză matematcă a, a,, ap,,,,,,, p p p, dec umăr f etc p Test 9 Avem fucţa f :, deftă pr f( ) s ş trebue să arătăm că u estă lm f( ) s Dacă ar esta lmte de ma sus ş ar f egală cu l, atuc am avea lms l petru orce şr (defţa cu şrur a lmte) Petru avem, îsă, lms ş petru avem lms Test Avem, petru orce t, : '( ) ( s (cos ), (s ) cos ) f t t t t t Vom scre f( ) ( ) Atuc: f '( ) ( ), f ''( ) ( )( ) 3, 4, f '''( ) 3 ( ) ( ) f ( ) ( )!( ) Test 3 f a ( ab, ) y ( a b ) 3 3 f f ( ab, ) ( ab, ) ( ab, ) 3 y y ( y ) 3y 3ab ( y ) ( a b ) 5 5 a y b 5

231 Elemete de aalză matematcă f 3a ( y ) ( a b ) ( ab, ) ( ab, ) 3 aba ( b ) 3 5 y y f (,) y 5 5 ( ) 5 f f(, y) f(,) (,) lm lm y y y yy Petru z, avem: z z z z z Avem (v testul ()): ( ) f ( z) ( )!( z ), ( ) dec f () ( )!( ), dec: ( ) f () fz ( ) ( z) ( ) ( ) ( z)! petru z (v ş teora) Test Petru, avem: dec d, d a) Dacă, avem: dec e d b) Dacă, avem: deoarece Deoarece este ftă e d e e e d e d e d A e d A e d petru lm e d estă ş este ftă (vez ş a)), rezultă că estă ş lm e d etc 6

232 Test 3 Elemete de aalză matematcă dl t ( t) dt t 4t dt 4 t (4 t )'dt / 3/ d (5 ) 8 u u u, 8 3 cu schmbarea de varablă 4t u dydy cos t( s t)dt coststcostdt, cos t(cos t)'d t (cos t) (cos t)'dt udu udu cu schmbarea de varblă cost Test 4 D u 4 4 y ydd y d yd y (64) 3 Mulţmea D este domeu smplu î raport cu Oy, geerat de fucţle u :[,], u ( ) ş v :[,], v ( ) (se determă y d ecuaţa y ) Itegrala căutată este dec: v( ) dy d dy d ( )d u( ) 3 ( )d 3 4 Test 5 Avem problema Cauchy: y ' aby ( ) ( ) y, y(), ude a :(, ), a ( ) ş b :, by ( ) y dy dy d y l y C d y Deoarece y() avem: y y, dec ly C () D (): y, dec l C C l 7

233 Tot d () obţem f :(, ), C y e, dec soluţa este: l f( ) e e Avem ecuaţa caracterstcă: cu soluţle, 3 Soluţa geerală este dată de 43 43, 3 y( ) Ae Be 3 ş atuc: y '( ) Ae 3Be y() AB, y'() A3B 3, Elemete de aalză matematcă dec A, B Soluţe este f :, f( ) 3 e Lucrare de verfcare petru studeţ Idcaţ de redactare Problemele se vor rezolva î ordea d tetul euţulu Rezolvărle se vor epeda pe adresa tutorelu puct d ofcu p Să se determe a astfel îcât şrul să abă propretatea că lm p Să se calculeze suma sere: a a a 3 ( 3 ) 3 p 3 Să se studeze cotutatea fucţe f(, y) p 4 Să se arate că fucţa f : f : deft pr:, deftă pr: y, dacă ( y, ) (,) y, dacă ( y, ) (,) deftă pr 3 3 y, dacă ( y, ) (,) f(, y) y,, dacă ( y, ) (,) are dervate parţale î toate puctele dervate parţale (, ) ab ş să se calculeze aceste 8

234 p 5 Să se calculeze: d ydy, Elemete de aalză matematcă ude :[,] este deft pr 3 () t ( t, t ) p 6 Să se calculeze: ude D [,] [,] D y ddy p 7 Să se rezolve problema Cauchy: y ' ( ) y, () y p 8 Fe p u umăr prm Petru orce umăr atural eul defm u ( ) p epoetul lu p î descompuerea ucă a lu î factor prm (de eemplu: u (6) u (3), u 3 3 Petru orce umăr raţoal eul u, u3() u3( 5) ) 3(9) 3(3 ) m defm: v ( ) u ( m ) u ( ) p p p a) Arătaţ că v ( ) depde uma de ş u depde de reprezetarea lu p m ca fracţe de forma b) Petru orce două umere raţoale ş y defm: ( y, ) p v ( y), dacă y p, dacă y vp ş fe dp : deftă pr (, ) ( y d ) p y p Arătaţ că d p este o dstaţă (umtă dstaţa p adcă) p 9 Fe a ş b două umere strct poztve Arătaţ că fucţa deftă pr My (, ) a b y, este o ormă pe M :, 9

235 Elemete de aalză matematcă Bblografe Maualele de matematcă î vgoare petru clasele XI ş XII L Aramă, T Moroza Culegere de probleme de aalză matematcă petru bacalaureat ş admtere î îvăţămâtul superor, Edtura Uversal Pa, Bucureşt, L Aramă, T Moroza Culegere de probleme calcul dfereţal ş tegral, vol I, ed II, Edtura Tehcă, Bucureşt, Gh Bucur, E Câmpu, S Găă, Culegere de probleme de calcul dfereţal ş tegral, vol II, 966 ş vol III, 967, Edtura Tehcă, Bucureşt 5 I Chţescu, P Aleadrescu, M Rădulescu, S Rădulescu, Aalză matematcă, clasa a XII-a, Colecţa Mate, Edtura Paralela 45, Pteşt, I Colojoară, Aalză matematcă, Edtura Ddactcă ş Pedagogcă, Bucureşt, N Dculeau, S Marcus, M Ncolescu, Aalză matematcă, vol I, ed a V-a, 98 ş vol II, ed a III-a, 98, Edtura Ddactcă ş Pedagogcă, Bucureşt 8 G M Fhteholţ, Curs de calcul dfereţal ş tegral, vol I 963, vol II 964, vol III 965, Edtura Tehcă, Bucureşt 9 D V Ioescu, Ecuaţ dfereţale ş tegrale, Edtura Ddactcă ş Pedagogcă, Bucureşt, 964 3

236 Bblografe Elemete de aalză matematcă Maualele de matematcă î vgoare petru clasele XI ş XII L Aramă, T Moroza Culegere de probleme de aalză matematcă petru bacalaureat ş admtere î îvăţămâtul superor, Edtura Uversal Pa, Bucureşt, L Aramă, T Moroza Culegere de probleme calcul dfereţal ş tegral, vol I, ed II, Edtura Tehcă, Bucureşt, Gh Bucur, E Câmpu, S Găă, Culegere de probleme de calcul dfereţal ş tegral, vol II, 966 ş vol III, 967, Edtura Tehcă, Bucureşt 5 I Chţescu, P Aleadrescu, M Rădulescu, S Rădulescu, Aalză matematcă, clasa a XII-a, Colecţa Mate, Edtura Paralela 45, Pteşt, I Colojoară, Aalză matematcă, Edtura Ddactcă ş Pedagogcă, Bucureşt, I Creagă, C Rescher, Algebră lară, Edtura Ddactcă ş Pedagogcă, Bucureşt, 97 8 N Dculeau, S Marcus, M Ncolescu, Aalză matematcă, vol I, ed a V-a, 98 ş vol II, ed a III-a, 98, Edtura Ddactcă ş Pedagogcă, Bucureşt 9 G M Fhteholţ, Curs de calcul dfereţal ş tegral, vol I 963, vol II 964, vol III 965, Edtura Tehcă, Bucureşt H Ikramov: Recuel de problèmes d algèbre léare Edtos MIR Moscou, 977 I D Io, N Radu: Algebră, ed III, Ed Dd Ped Bucureşt, 98 I D Io, C Nţă, D Popescu, N Radu: Probleme de algebră Ed Dd Ped Bucureşt, 98 3 D V Ioescu, Ecuaţ dfereţale ş tegrale, Edtura Ddactcă ş Pedagogcă, Bucureşt, A Kurosh: Cours d Algèbre supereure, Ed MIR, Moscou, C Năstăsescu, C Nţă, C Vracu: Bazele algebre, vol I Ed Acad RSR Bucureşt, C Năstăsescu, C Nţă, M Bradburu, D Joţa: Culegere de probleme petru lceu Algebra, clasele IX-XII Ed Rotech Pro Bucureşt, 4 7 C Năstăsescu, M Ţea, G Adre, I Otărăşau: Probleme de structur algebrce Ed Acad RSR Bucureşt, C Năstăsescu, M Ţea, I Otărăşau, G Adre: Probleme de algebră petru clasa a XII-a Ed Rotech Pro Bucureşt, C Nţă, T Sprcu: Probleme de structur algebrce Ed Tehcă Bucureşt, 974 O Stăăşlă: Aalză lară ş Geometre, Ed All, Bucureşt, I Gh Şabac: Matematc specale, vol I Ed Dd Ped Bucureşt, 98 G Şlov: Aalză matematcă (spaţ ft dmesoale) Ed Ştţfcă ş Ecclopedcă Bucureşt, B L Va der Waerde: Algebra, achte Auflage Sprger Verlag Berl, Hedelberg, New Yok, 97 4 V Voïévode: Algèbre léare Edtos MIR Moscou, 976 3

237 Proect cofaţat d Fodul Socal Europea pr Programul Operaţoal Sectoral Dezvoltarea Resurselor Umae 7-3 Ivesteşte î oame! Formarea profesoală a cadrelor ddactce d îvăţămâtul preuverstar petru o oportutăţ de dezvoltare î careră Utatea de Maagemet al Proectelor cu Faţare Eteră Str Spru Haret r, Etaj, Sector, Cod poºtal 76, Bucureºt Tel: Fa: e-mal: covers@pmuro IS BN