Kvantitativne metode u Industrijskom inženjerstvu

Kvantitativne metode u Industrijskom inženjerstvu

sastavna područja Industrijskog inženjerstva (Gavriel Salvendy):

Neka područja obuhvaćena pojmom kvantitativnih metoda: Snimanje postojećeg stanja (VSM) Rudarenje podacima (Data mining) Analiza prikupljenih informacija o procesima Statističke metode: Probabilistički modeli Testiranje statističkih hipoteza (potpora odlučivanju) Korelacijska i regresijska analiza Multivarijatne statističke metode Planiranje i analiza pokusa Optimiranje: Linearno programiranje i optimizacija Cjelobrojno programiranje Nelinearno programiranje Eksperimentalno optimiranje Metode kontrole kvalitete Analiza vremenskih nizova i prognoziranje Transportni problemi Analiza rizika Računalne simulacije Monte Carlo simulacije Modeliranje stohastičkih procesa Supply chain management

Temeljna znanja iz kvantitativnih metoda na smjeru ind. inženjerstva: 1. Inženjerska statistika 2. Planiranje pokusa 3. Optimiranje 4. Kontrola kvalitete

1. INŽENJERSKA STATISTIKA Područja inženjerske statistike: Kombinatorika i vjerojatnost Deskriptivna statistika Raspodjele podataka Teorija uzoraka Testiranje statističkih hipoteza Analiza varijance Korelacijska i regresijska analiza Kombinatorika i vjerojatnost Slučajni događaj događaj koji se pod nekim okolnostima može ali i ne mora dogoditi. Služe pri određivanju vjerojatnosti slučajnih događaja Modeli u kombinatorici: Permutacije (bez ponavljanja i s ponavljanjem) Varijacije (bez ponavljanja i s ponavljanjem) Kombinacije Složene kombinacije

Zavod za industrijsko inženjerstvo Primjer iz kombinatorike: Primjer 1: Koliko treba ispuniti nizova da bi se u LOTU 7/39 sigurno dobila sedmica? NAPOMENA: budući da nije bitan redoslijed odabiranja (izvlačenja) kuglica radi se o kombinacijama. Primjer iz vjerojatnosti: Primjer 2: Bacamo kocku i novčić. Kolika je vjerojatnost da će kocka pokazati broj 6 i novčić pasti na glavu? 1 1 1 1 1 P(broj 6) ; P('glava') P('glava' i '6') 6 2 6 2 12

Upotreba teorije vjerojatnosti na primjeru iz prakse: Primjer 3: U kritičnom dijelu nekog sustava važno je da je barem jedna pumpa u stanju ispravnog rada kako ne bi došlo do zastoja. Ako su vjerojatnosti ispravnog rada (pouzdanost) svake pumpe R=0,99 kolika je vjerojatnost da sustav funkcionira ispravno? Budući da je P(ispravnog rada)+p(zastoja)=1 možemo pisati sljedeće: P(ispravnog rada) 1-P(zastoja); P(zastoja) Q(pumpa1) Q(pumpa2) Q(pumpa3) P(ispravnog rada) 1-0,01 0,01 0,01 0.999999

Deskriptivna statistika opisivanje podataka iz uzorka ili populacije u formi osnovnih parametara, identifikacija procesa grafička obrada empirijskih podataka: Histogram Histogram Histogram of x1 Boxplot of x1; x2 12 7 20 40 10 6 Frequency 8 6 4 2 Frequency 5 4 3 2 1 Cumulative Frequency 15 10 5 Data 35 30 25 0 0 1 2 C1 3 4 5 0 22 24 26 x 28 30 0 22 24 26 28 x1 30 32 34 20 x1 x2 fi Stem Leaf 2 21 02 4 22 3 3 4 9 5 23 1 2 5 8 9 81; 40,5% Pie Chart of x 1; 2; 0,5% 1,0% 7; 3,5% 31; 15,5% Category 5 6 4 3 2 0 1 Dotplot of x Cause-and-Effect Diagram Measurement Material Personnel s Kriva Krivo Veličina veličina postavljen papira papira papir 4 24 5 6 7 8 zraku poklopca zatvaranja nejasne papira 2 25 4 8 77; 38,5% 0 1 2 3 x 4 5 6 u Vlaga nakon papir Pomaknut podešavanje za Oznake 1 26 4 Each symbol represents up to 3 observations. Environment Methods Machines

numerička obrada empirijskih podataka mjere položaja: aritmetička sredina suma svih elemenata u populaciji podijeljena sa brojem elemenata populacije (težište paralela sa mehaničkim modelom) n xi i 1 x aritm. sredina uzorka n mod podatak (ili razred) koji ima najveću frekvenciju medijan 50% podataka je manje, a 50% veće od te vrijednosti kvantili - vrijednosti numeričkog obilježja koje niz uređen po veličini dijele na q jednakih dijelova Kvartili Decili Percentili

interpretacija mjera položaja u praksi: Primjer: Izračun prosječne mjesečne plaće u RH. Mjere položaja su bitno različite u ovisnosti o samoj strukturi podataka. Moguće manipulacije terminima i pogrešno tumačenje istih. Ako se govori o prosjeku na razini aritmetičke sredine: Uzimajući medijan kao relevantnu mjeru: Kada se koristi mod: x 5493 kn 4300 kn xmed xmod 2900 kn mjere rasipanja: standardna devijacija σ prosječno odstupanje svakog podatka od arit. sredine varijanca σ 2 prosječno kvadratno odstupanje svakog podatka od arit. Sredine n 2 ( xi x) 2 i 1 2 n koeficijent varijacije, V međusobno uspoređivanje varijabilnosti pojava ili svojstava - pokazuje koliki odnos vrijednosti aritm. sredine iznosi vrijednost standardne devijacije (u %) raspon, R x razlika najveće i najmanje vrijednosti u nekom nizu podataka

Raspodjele podataka Raspodjele podataka za diskretna obilježja Raspodjele podataka za kontinuirana obilježja Teorijske raspodjele podataka 0,30 0,25 Distribution Plot Poisson; Mean=2,3 0,265 0,20 Probability 0,15 0,10 0,30 0 Binomial; n=18; p=0,1 1 2 3 4 0,284 5 6 7 0,05 0,00 Probability 0,25 0,20 0 2 8 0,15 X 0,10 0,05 0,00 0 1 2 3 4 5 6 X 7

Poisson-ova raspodjela primjer upotrebe ( Operations research ) Primjer: Tijekom drugog svjetskog rata London je gađan projektilima V1. Britance je zanimalo kako iz podataka o padanju projektila zaključiti da li je riječ o gađanju nasumce ili se cilja neka točka u Londonu. - London je podijeljen na 576 sektora - U vremenskom periodu promatranja palo je 537 projektila Value Chart of Observed and Expected Values 250 200 150 100 50 0 x 0 1 2 3 >=4 Expected Observed Poisson mean for x = 0,928819 Poisson Contribution x Observed Probability Expected Chi-Sq 0 229 0,395020 226,74 0,009479 1 211 0,366902 211,39 0,000533 2 93 0,170393 98,54 0,269846 3 35 0,052755 30,62 0,700380 4 7 0,014931 7,14 0,041860 5 (6,7..) 1 1,57 TEST: N N* DF Chi-Sq P-Value 576 0 3 1,02210 0,796 - podaci se ponašaju po Poisson-ovoj razdiobi! - zaključak - V1 nije imao navođenje

Normalna raspodjela prvi definirao Abraham de Moivre upotrijebio Gauss (Gauss-ova raspodjela) najčešće korištena raspodjela čak 33% procesa u prirodi slijedi zakon normalne raspodjele funkcija gustoće vjerojatnosti normalne raspodjele f(x): 1 2 f( x) e za - x 2 vjerojatnosti ispod normalne raspodjele N{μ, σ 2 }: 2 1 x

primjena normalne raspodjele: Primjer: Pretpostavimo da se izmjerena jakost struje u vodiču pokorava zakonu normalne raspodjele sa očekivanjem μ=10 ma i varijancom σ 2 =4 ma2. Kolika je vjerojatnost da će jakost struje premašiti 13 ma? 0,20 0,15 Normal; Mean=10; StDev=2 5,0 7,5 10,0 12,5 15,0 17,5 ( x ) (13 10) z z 1,5 2 Px ( 13) Pz ( 1,5) 1 Pz ( 1,5) 0,06681 Density 0,10 0,05 Normal; Mean=0; StDev=1-3 -2-1 0 1 2 3 0,00 5,0 7,5 10,0 X 12,5 13 15,0 17,5 0,4 0,3 Density 0,2 0,1 0,0668 0,0-3 -2-1 0 z 1 1,5 2 3

definicija krivulje učestalosti kvarova u tehničkim sustavima (krivulja mortaliteta): I. period dječje bolesti 1. raspodjela e -λt II. period normalne eksploatacije, slučajni kvarovi 2. raspodjela uniformna III. period zbog trošenja dijelova, vremenski kvarovi 3. raspodjela normalna

Teorija uzoraka i testiranje statističkih hipoteza T.S.H. predstavlja postupak donošenja odluke na bazi uzorka uzorak, n podataka: x1, x2,..., xn rezultati se uzorka mogu shvatiti kao točka u n-dimenzionalnom prostoru prostor se može podijeliti na dva međusobno disjunktna dijela (koji se isključuju), dio A i dio B Postavljaju se dvije hipoteze H 0 : nulta hipoteza H 1 : alternativna hipoteza dio B (odbacivanje H 0 ) dio A (prihvaćanje H 0 )

testiranje hipoteze na primjeru (t-test uzorak-osnovni skup) Primjer: Ugovorom je propisano da određena pošiljka alata mora imati tvrdoću 60HRC. Iz pošiljke izuzet je uzorak od 8 elemenata te je nad njim izvršeno ispitivanje tvrdoće. Podaci su dani u tablici. Potrebno je testirati hipotezu: Da li na temelju uzorka možemo zaključiti da je očekivana tvrdoća alata u pošiljci jednaka propisanoj. Neka je razina povjerenja P=0,95. 59,4 59,6 61,2 60,2 60,4 59,6 58,8 58,5 H0 : 60HRc H1 : 60HRc x 59,2 s 0,535; sx 0,189 x 59, 2 60 t s 0,189 x 4,23 k n 1 t0 2,365 0,05 t t odbaciti H i prihvatiti H 0 0 1

Analiza varijance Postupak usporedbe više uzoraka pri čemu svaki uzorak predstavlja osnovni skup (populaciju) U tehničkim i proizvodnim uvjetima analiza varijance predstavlja postupak provjere djelovanja promjene stanja nekog faktora na mjerenu vrijednost rezultat Analizom varijance provjeravaju se promjene aritmetičkih sredina uzoraka Primjena ANOVA metode u praksi: Primjer - Čvrstoća papira (psi) u ovisnosti o udjelu tvrdog drva u smjesi, u % mjerenja udio tvrdog drva, % 5 10 15 20 1 7 12 14 19 2 8 17 18 25 3 15 13 19 22 4 11 18 17 23 5 9 19 16 18 6 10 15 18 20 Suma po uzorcima 60 94 102 127 Ar. sredina uzorka 10 15.67 17.00 21.7 izvor varijacije faktor: udio tvrdog drva slučajno odst. u uzorcima (ostatak) suma kvadrata odstupanja stupnjevi slobode srednji kvadrat odstupanja F rač. F 0( =0.01) 382.79 3 127.60 19.61 4.94 130.17 20 6.51 UKUPNO: 512.96 23 f ( F ) 1 k b = 3; k n = 20 F 0 = 4.94 0.01 F rač. > F 0 odbaciti H 0 uz vj. pogreške 1. vrste = 0.01 F

Korelacijska analiza Mjera povezanosti dvije ili više varijabli metoda kojom se utvrđuje da li među varijablama postoji funkcionalna ovisnost Pearson-ov koeficijent korelacije r može poprimiti vrijednost od -1.00 do +1.00 r<0 definira negativnu korelaciju r>0 definira pozitivnu korelaciju SMJER POVEZANOSTI Metoda korelacije prati odstupanja i uspoređuje varijacije dvaju ili više varijabli te mjeri odnose među varijacijama. jakost veze Regresijska analiza Određuje oblik krivulje koja najbolje opisuje zadane podatke Oblik povezanosti varijabli: Linearna povezanost ili krivolinijska Kod regresijske analize se zna što je uzrok a što posljedica (zavisna, nezavisna varijabla) Osnovni problem ove metode je odrediti koeficijente regresije Regresijska analiza: jednostavna linearna regresija; nelinearna regresija (linearizacija); višestruka regresija

primjena korelacijske i regresijske metode PRIMJER U nekom istraživanju mehaničkih svojstava nekog alatnog čelika utvrđeni su podaci o mikrostrukturnom sastavu (volumnom udjelu jedne od faza) i tvrdoći, prema tablici. Utvrditi ima li ovisnosti između ove dvije varijable i kakvog je ona oblika. Volumni udio faze x [%] 1.2 1.4 1.8 2.1 2.9 3.6 4.2 5.1 tvrdoća, y [HRC] 66 65 64 64 62 61 60 57 Regression Analysis: Tvrdoca versus Udio faze_ The regression equation is Tvrdoca = 68,2-2,09 Udio faze_ Predictor Coef SE Coef T P Constant 68,1995 0,3618 188,52 0,000 Udio faze_ -2,0895 0,1173-17,81 0,000 S = 0,437523 R-Sq = 98,1% R-Sq(adj) = 97,8%

Analysis of Variance Source DF SS MS F P Regression 1 60,726 60,726 317,23 0,000 Residual Error 6 1,149 0,191 Total 7 61,875 Udio Obs faze_ Tvrdoca Fit SE Fit Residual St Resid 1 1,20 66,000 65,692 0,242 0,308 0,84 2 1,40 65,000 65,274 0,225-0,274-0,73 3 1,80 64,000 64,438 0,193-0,438-1,12 4 2,10 64,000 63,812 0,174 0,188 0,47 5 2,90 62,000 62,140 0,155-0,140-0,34 6 3,60 61,000 60,677 0,182 0,323 0,81 7 4,20 60,000 59,424 0,227 0,576 1,54 8 5,10 57,000 57,543 0,312-0,543-1,77

2. PLANIRANJE POKUSA Visoki zahtjevi koje suvremeno tržište postavlja na sve aspekte kvalitete proizvodnih i tehnoloških procesa zahtijevaju uporabu različitih metoda kontrole i upravljanja kvalitetom kako u procesima proizvodnje tako i u njihovu projektiranju Uz već uobičajene metode i tehnike upravljanja kvalitetom, sve se više koristi i metodologija planiranja i analize pokusa (Design of Experiments), koja se pokazala vrlo učinkovitom, posebice žele li se postići optimalna rješenja kako u funkcionalnim značajkama proizvoda tako i u pogledu parametara odvijanja tehnološkog i proizvodnog procesa odnosi se na procedure planiranja istraživanja koja se temelje na statističkom ocjenjivanju rezultata ispitivanja kako bi se, s određenom razinom povjerenja, donosili zaključci o značajkama procesa ili proizvoda metode planiranja pokusa najčešće se primjenjuju u istraživanju utjecajnih faktora na karakteristike procesa ili proizvoda Primjenom neke od procedura planiranja pokusa postižu se velike uštede ljudskih, vremenskih i financijskih resursa

Francis Bacon (1561. 1626.), filozof, znanstvenik, povjesničar, koristio jednofaktorske pokuse ponavljanje pokusa John Bennet Lawes zanimao se za utjecaj vrste gnojiva na količinu uroda 1842. godine zajedno s s Joseph Henry Gilbert osnovao Rothamsted Experimental Station 1843. godine započeli su prvu seriju eksperimenata glavni cilj je bio mjeriti efekte na poljima usjeva pognojenih organskim i anorganskim gnojivom 1919. godine Sir Ronald Aylmer Fisher zaposlio se u Rothamsted Experimental Station, te počeo proučavati dotada sakupljene podatke o eksperimentima 1925. godine Fisher objavljuje knjigu pod nazivom Statistical Methods for Research Workers definirao osnovne pojmove vezane uz pokuse: ponavljanje (repetiton; replicates), slučajnost pri izvođenju pokusa (randomization), blokovi, aliasi 1935. godine Fisher objavljuje knjigu pod nazivom Design of Experiments od tada je izraz Design of Experiments u službenoj upotrebi Početkom 20-og stoljeća pokusi sa smjesama se pojavljuju u poljoprivrednoj industriji, industriji guma te industriji sapuna

Model pokusa kontrolirani faktori w 1 w 2... w p Faze pri izvođenju pokusa 1. Definirati problem i cilj istraživanja... 2. Odabrati utjecajne faktore i njihove razine 3. Odabrati mjerene vrijednosti (izlazne varijable) x 1 y 1 4. Odabrati model pokusa x 2 : x m ulazi (faktori, varijable)... Proces, problem...... y 2 : y m izlazi (mjerne vrijednosti, rezultati) 5. Izvesti pokus (predpokus, glavni pokus) 6. Analizirati rezultate 7. Formulirati zaključke i prijedloge z 1 z 2... z p nekontrolirani faktori (poremećaji) Primjer : Kokice za mikrovalnu

3. METODE OPTIMIRANJA Eksperimentalno optimiranje, nakon provedenog i analiziranog plana pokusa direktno optimiranje svojstava proizvoda i procesa Matematičko optimiranje metode optimiranja kada su funkcije cilja i ograničenja unaprijed poznate i eksplicitno izražene

Eksperimentalno optimiranje primjer : Siluminski odljevci Matematičko programiranje: Linearno programiranje L.P. je kvantitativna znanstvena metoda kojom se od većeg broja mogućih alternativnih rješenja izabere ono koje je optimalno za neki definirani kriterij optimalnosti Postupak koji se pri tome koristi omogućava određivanje svih vrijednosti niza varijabli povezanih ograničenjima, koje daju ekstremnu vrijednost (maksimum ili minimum) linearne funkcije cilja. Nelinearno programiranje Kvantitativna znanstvena metoda koja izabire optimalno rješenje iz domene varijabli povezanih ograničenjima koje daju optimum funkcije cilja nelinearnog karaktera Transportni problem Cjelobrojno programiranje

Linearno programiranje (grafička metoda) Primjer: Za zadanu funkciju cilja F(X)=30x 1 +20x 2 potrebno je grafički pronaći maksimalnu vrijednost, ako su zadana sljedeća ograničenja:

Trendovi u području industrijskog inženjerstva Dva osnovna smjera razvoja proizvoda i procesa objedinjavanjem i uporabom kvantitativnih metoda : Poboljšanje proizvodnih procesa na principu LEAN proizvodnje vitka proizvodnja Povećanje kvalitete uporabom 6 sigma metodologije

6 sigma metodologija σ slovo grčkog alfabeta σ mjera varijabilnosti nekog procesa (koji se ponaša prema normalnoj razdiobi) k σ razina kvalitete govori o učestalosti mogućih pogrešaka uz unaprijed definirane granice tolerancije specifikcije!

Rezultat, iskazan u ppm (dpmo) DGS -1.5 σ +1.5 σ GGS μ Granice specifikacije: ±1 σ ±2 σ ±3 σ ±4 σ ±5 σ ±6 σ Sukladnih % 30,23 69,13 93,32 99,3790 99,97670 99,999660 Nesukladnih (ppm) 697.700 308.700 66.810 6.210 233 3,4

Uobičajena razina kvalitete 99% sukladnih proizvoda i usluga znači: 20.000 izgubljenih poštanskih pošiljki na sat 15 min/dan zagađenje pitke vode 5.000 nekorektno izvedenih medicinskih zahvata na tjedan 2 nekorektno prizemljena zrakoplova dnevno (u glavnim zračnim lukama) 200.000 pogrešno propisanih lijekova godišnje bez električne energije cca 7 sati/mjesec Ako odigrate 100 partija golfa godišnje i igrate na razini preciznosti: 2 sigma promašit će te 6 putt-ova po partiji 3 sigma promašit će te 1 putt po partiji 4 sigma promašit će te 1 putt svakih 9 partija 5 sigma promašit će te 1 putt svake 2.33 godine 6 sigma promašit će te 1 putt svakih 163 godine

Stopa nesukladnosti i σ razina kvalitete - unapređenje Zavod za industrijsko inženjerstvo ppm 10 puta UNAPREĐENJE 30 puta 70 puta N. razdioba centrirana + + N. razdioba pomaknuta za 1.5 σ σ razina kvalitete

Počela 6σ programa MOTOROLA, 1987 (Bill Smith, reliability engineer) Uvođenje programa 6σ inicirano krizom izazvanom jakom konkurencijom, nedovoljnom kvalitetom proizvoda i usluga i visokim troškovima! 1995 MOTOROLA primila prestižnu nagradu za kvalitetu (Malcom Baldrige Quality Award) Prema propozicijama MBQA iskustva objavljena i podijeljena s drugima!!! Kasnije: GENERAL ELECTRIC CEO Jack Welch izjavio: Six Sigma je bila najizazovnija inicijativa ikada poduzeta u General Electricu! 1997. GE objavio godišnju korist: $ 300 miliona prihoda, najava i realizacija za 1998.: UDVOSTRUČENJE Slijedili: ABB, Bombardier, Lockheed Martin, IBM, Allied Signal, KODAK, VOLVO,

6σ DMAIC MODEL D M A I C Definiraj ciljeve aktivnosti unapređenja Izmjeri postojeći sustav (način rada, proces) Analiziraj sustav (proces) radi utvrđivanja mogućnosti eliminiranja razlike današnjih performansi sustava ili procesa i željenog cilja Unaprijedi sustav, proces Kontroliraj (upravljaj) novi sustav

Metodologija rješavanja problema Faza 1: Odredi (Define) Karakterizacija Faza 2: Izmjeri (Measure) Strategija raščlanjivanja Faza 3: Analiziraj (Analyze) Optimiranje Faza 4: Unaprijedi (Improve) Faza 5: Upravljaj (Control)

METODE, TEHNIKE, ALATI U PROJEKTIMA 6σ D faza: Pareto analiza blok-dijagrami procesa M faza: Analiza mjernog sustava: mjerna nesigurnost Analiza podataka: deskriptivna statistika Rudarenje podataka (Data mining) Pareto analiza Karta izvođenja (run) procesa

A faza: dijagram uzrok posljedica dijagram stabla greška (fault tree diagrams) mozgovne oluje (brainstorming) karte povijesti (ponašanja) procesa (SPC) blok-dijagrami procesa enumerativna statistika (testiranje hipoteza) nepristrane i intervalne procjene FMEA, QFD, stablo grešaka, simulacijski modeli i metode planiranje i analiza pokusa (DOE Design of Experiments) I faza metode operacijskih istraživanja (LP, ND, teorija igara, )

Zavod za industrijsko inženjerstvo Veće kompanije koje su uvele 6σ razinu kvalitete u svoje poslovanje

Kvantitativne metode potpora odlučivanju!