Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Transcript

1 16. UVOD U STATISTIKU Statistika je nauka o sakupljanju i analizi sakupljenih podatka u cilju donosenja zakljucaka o mogucem toku ili obliku neizvjesnosti koja se obradjuje. Frekventna distribucija - je broj pojava neke vrijednosti unutar promatrane cjeline ili skupa podataka. Histogram i Poligon frekvencija - su grficki prikazi frekventne distribucije. Na osi se nanose ocitanja pojave a na osi broj ili frekvencija pojave. Prikaz moze biti u obliku stupaca (histogram) ili krivulje (poligon frekvencije) Mjera sredisnje tendencije - je vrijednost koja definira sredisnju vrijednost skupa podataka. U praksi ima vise takvih mjera. Ovdje ce biti rijeci o: a) Median - srednja vrijednost skupa promatranih podataka, svrstanih po velicini. Median je vrijednost na pola puta izmedju naj vece i naj manje vrijednosti. b) Srednja aritmeticka vrijednost - je vrijednost koja se dobije kada se podijeli zbroj vrijednosti svih podataka i podijeli sa brojem podataka. c) Standardna devijacija - je mjera koja prikazuje raspodjelu oko srednje vrijednosti i = ( ) dana je izrazom s ; s oznacava standardnu devijaciju, srednju aritmeticku vrijednost, n n 1 broj podataka. Prikladni pravac - je metoda prikazivanja podataka sa pravcem koji naj bolje prikazuje podatke koji se obradjuju. U praksi ima vise metoda a ovdje ce biti rijeci o metodi "najmanjih kvadrata". Ova metoda ima za cilj pronaci jednadzbu pravca koja bi predstavljala podatke tako, da udaljenost ordinate pravca, koji predstavlja podatak i originalne vrijednosti podatka, bude minimalna. Prikaz nelinearnih podataka - je metoda u kojoj se podaci prikazuju graficki, koristenjem krivulja drugog reda, uglavnom parabole. 1. Za predmet Matematika 1, na fakultetu je bilo prijavljeno ukupno 80 studenata. Nakon ispita, rezultati ispita su prikazani u tabeli. Svaki broj predstavlja uspjeh na testu u postocima i broj studenata koji su taj postotak postigli: Statistika 1

2 Podaci su svrstani u intervale i broj studenata koji su imali odgovarajuci postotak uspjeha, prikazan je u tabeli: Interval uspjeha % Broj studenata Interval uspjeha % Broj studenata Broj studenata i ocjenu koju su zasluzili prikazani su u narednoj tabeli: Ocjena Broj studenata Histogram frekvencije studenata i ocjena, dani su u donjem prikazu: Poligon frekvencija broja studenata i postotka rijesenih testova Statistika

3 . Izracunaj median dva igraca na osnovu podataka koji predstavljaju rezultate u pogadjanju mete: Igrac 1., 5,34,35, 41, 41, 46, 46, 46, 47, 49,54,54,59, 60 Igrac. 8,13,14,16,3,6,8,33,39,61 Median je broj koji je na sredini slijeda brojeva koji cine promatrani skup: n Igrac 1. ima 15 podataka i srednji broj je 46, tj. = = 8 osmi broj brojeci sa lijeva na desno:, 5,34,35, 41, 41, 46, 46, 46, 47, 49,54,54,59, 60 M = 46 Igrac. ima 10 podataka i nema srednjeg broja, vec tu vrijednost treba izracunati: n = = 5.5, median je aritmeticka sredina brojeva na polozaju 5 i 6: ,13,14,16, 3, 6,, 8 33,39,61 median isnosi M = = Izracunaj srednju vrijednost pogodaka svakog od igraca u gormnjem zadatku: Igrac 1., 5,34,35, 41, 41, 46, 46, 46, 47, 49,54,54,59, 60 Igrac. 8,13,14,16,3,6,8,33,39,61 Srednja aritmeticka vrijednost iznosi: Igrac n = = n 15 ( ) 659 = = ( ) = = = = n = n Igrac Izracunaj srednju aritmeticku vrijednost postotka kojim je rjesen ispit iz zadatka 1. U ovom slucaju, posto su podaci dani u intervalima, za proracun treba uzeti sredinu intervala a za broj podataka n, vrijednosti propadajucih frekvencija: () + () () () f = = = = 71.7 f Izracunaj standardnu devijaciju iz zadatka 1. Statistika 3

4 Interval f f f Interval f 7 5 f f ( ) f = f = f = f 5755 f 4935 = = = ( ) = = = f 80 f 80 = s = = = s = = Zakljucak: Studenti su rjesili ispit prosjecno sa % i standardnom devijacijom od 13.84%. 6. Standardna krivulja normalne distribucije je krivulja predstavljena jednadzbom 1 = e. Ova krivulja je "pravilna i simetricna" i koristi se za odredjivanje π postotka raspodjele podataka unutar intervala. Tako je za primjer 1 : 68% podataka je unutar intervala s s = = % podataka je unutar intervala s s = = % podataka je unutar intervala 3s 3s = = Graficki prikaz krivulje izgleda ovako: s = e = e s π π Statistika 4

5 7. Metoda pronalazenja "prikladnog pravca po metodi minimalnih kvadrata" Odredi pravac po metodi minimalnih kvadrata, koji ce predstavljati podatke sa ispita. Rezultati rjesenosti testa oznaceni su sa %, a broj studenata koji je postigao taj uspjeh, oznacen je sa. Broj mjerenja n = 10 : Jednadzba trazenog pravca je: = k+ l a vrijednosti za k i l imaju oblik: ( )( ) ( )( ) ( ) l n n n k = = Jednadzba trazenog pravca ima oblik: n ( ) = k+ l = + n n ( ) ( ) 10( 5 ) = = Podaci koji imaju takvu raspodjelu da se ne mogu prikazati metodom "prikladnog pravca", mogu se prikazati koristenjem prikladnih funkcija, kao na primjer 1 kvadratne funkcije ili hiperbole. U jednadzbu pravca, umjesto velicine, staviti cemo funkciju f = i sada nasa jednadzba ima oblik: = k f + l k + l Promotrimo slijedeci primjer: Statistika 5

6 Odredi prikladni graficki prikaz za podatke u tabeli, koristenjem kvadratne jednadzbe: f = ( ) n = Jednadzba trazenog "pravca" je: = k ( )( ) ( )( ) ( ) n n n = k + l = 6( 979) 55 = ( 979) = + + l a vrijednosti za k i l imaju oblik: + = Statistika 6