Cercul lui Euler ( al celor nouă puncte și nu numai!) Prof. ION CĂLINESCU,CNDG, Câmpulung Voi prezenta o abordare simplă a determinării cercului lui Euler, pe baza unei probleme de loc geometric. Preliminarii: Definiția 1. Numim loc geometric mulțimea punctelor din plan care au o proprietate comună Locurile geometrice se pot clasifica astfel:. Punctul variabil verifică o conditie metrică, B. Punctul variabil se află la intersecția a două curbe variabile, sau este un anume punct al unei curbe variabile. In funcție de tipul locului geometric avem următoarele etape de rezolvare: Pentru tipul : a) desenarea punctelor fixe date prin ipoteză, b) descoperirea altor puncte fixe, c) desenarea unor puncte ce verifică condiția metrică, în urma cărora se intuiește locul geometric, etapă pe care o numesc iluminare, d) demonstrarea că acesta-i locul geometric cerut de problemă ( arătând că orice punct al mulțimii intuite verifică ipoteza și reciproc,că orice punct care verifică ipoteza aparține acestei mulțimi). Pentru tipul B: a) se desenează mai multe poziții ale curbelor variabile, b) marcăm punctele de intersecție, -- 1 --
c) intuirea locului geometric, d) analog ca la tipul. cum problema de loc geometric, care ne va conduce la cercul lui Euler. Problema 1. Fie S și O două puncte fixate, R un număr real strict pozitiv C(O,R) cercul de centru O și rază R, P un punct variabil pe C(O,R). Să se determine locul geometric al mijlocului segmentului SP, atunci când P parcurge cercul C(O,R) Demonstrație: Fie C(O,R), P C(O,R), M = mijlocul segmentului SP. P M B S Fig.1 Desenăm punctele P1, P2, P3,P4 și M1, M2,M3, M4 mijloacele segmentelor SP1, SP2, SP3 respectiv SP4. Se observă că Mi, i=1,2,3,4 se află pe un cerc,cercul de centru B, mijlocul segmentului SO și rază BM = R 2. Demonstrăm că C(B, R ) este locul geometric cerut. 2-2 -
Fie M mijlocul segmentului SP, B mijlocul lui OS, deci B= punct fix. Rezultă MB este linie mijlocie,deci BM = PO 2 = R 2 = constant. M aparține unui cerc, C(B,R 2 ). Reciproc, dacă M1 C(B, R 2 ), fie {P 1} = SM1 C(O,R). Dar OP1 = R, B = mijlocul lui SO și M1 B = R 2 rezultă că M1 B este linie mijlocie în triunghiul SOP1, adică M1 este mijlocul lui SP1, P1 C(O,R). Concluzie locul geometric este cercul cu centru în mijlocul segmentului O și rază R. 2 Vom descoperi cercul lui Euler ca o consecință a acestei probleme de loc geometric, modalitate ce va permite găsirea și a altor puncte importante referitoare la triunghiul BC, identificarea cu ușurință a centrului și a mărimii razei sale, în comparație cu raza cercului circumscris triunghiului BC. Fie triunghiul BC, H ortocentrul său. Notăm cu 1,B1, C1 picioarele înălțimilor din, B respectiv C, cu 2,B2, C2 mijloacele segmentelor H, BH, respectiv CH, cu ',B', C' mijloacele laturilor BC, C respectiv B. Cu H 1, H 2 simetricele lui H față de 1 respectiv ', H B B 1,H 2 C C simetricele lui H față de B1 respectib B' și cu H 1, H 2 simetricele lui H față de C1 respectiv C' Vom arăta că punctele 1,B1, C1, 2,B2, C2, ', B', C' sunt pe un cerc, numit cercul lui Euler, sau cercul celor nouă puncte. Cercul din problema 1 va fi cercul circumscris triunghiului BC, cu centrul O, pe care îl notăm C(BC), H preia rolul lui S din aceeași problemă. Se știe ( sau lăsăm ca temă cititorului - 3 -
să demonstreze) faptul că punctele H 1, H 2,, H B 1, H B C C 2, H 1, H 2 aparțin C(BC). H 1 B H 1 C B1 C1 H B' H 2 B H 2 C C' B2 C2 B 1 ' C H 1 H 2 Fig.2 Când punctul variabil P din această problemă coincide cu, M va coincide cu 2, când va fi în B, M va fi în B2, iar atunci cînd P va fi în C, M va fi ăn C2. Rezultă că punctele 2, B2 și C2 aparțin cercului cu centru în mijlocul segmentului OH și rază acestui cerc. R 2. Se notează cu ω centrul tunci când punctul variabil, P, coincide cu H 1, punctul M va coincide cu 1, când P va fi în H 2, M va fi în '. Rezultă că punctele 1 și ' sunt pe cercul C(ω, R 2 ). nalog concluzionăm că - 4 -
punctele B1, B', C1, C ' sunt pe cercul C(ω, R 2 ). vantajul acestui mod de abordare este că s-a descoperit foarte ușor centrul cercului lui Euler și raza acestuia, se găsește foarte frumos o aplicație a unei probleme de loc geometric. Intrucât mijlocul oricărui segment cu capetele, unul în H, iar celălalt într-un punct oarecare de pe cercul C(BC), va aparține cercului lui Euler, vom putea găsi multe alte puncte remarcabile, relative la triunghiul BC. Exemple: 1. Mijloacele segmetelor HP4, și HP5 unde P4 și P5 reprezintă intersecțiile dreptei HO cu cercul circumscris triunghiului BC vor aparțin cercului C(ω, R 2 ). 2. Mijloacele segmentelor HP6 și HP7, unde punctele P6 și P7 reprezintă intersecțiile dreptei HI cu cercul C(BC), I fiind intersecția bisectoarelor triunghiului BC. Lăsăm în seama cititorului să demonstreze, tot ca o consecință a acestei abordări: a) punctele O,G.H sunt coliniare, dreapta O-G-H numită dreapta lui Euler b) OG = 1 3 OH c) G este și centrul de greutate al triunghiurilor H'D, HB'E, HC'F unde D, E respectiv F sunt simetricele lui ', B',respectiv C' față de O - 5 -
d) Mijloacele segmentelor HP8, HP9, HP10, HP11, HP12,HP13 unde P8 și P9, P10 și P11, respectiv P12 și P13 sunt intersecțiile cu cercul circumscris triunghiului BC ale dreptelor HD, HE respectiv HF Bibliografie: 1. Mircea Ganga, Editura Mathpress, 2006, Manual de matematică pentru clasa a-ix-a, trunchi comun și curriculum diferențiat. 2. Colecția Gazeta matematică, Seria B 3. Viorel GH. Vodă,Surprize în matematica elementară,editura albatros 4. Ion D. Teodorescu, Curs de geometrie, Universitatea din București,1988-6 -