Marko Kegl, Matej Vesenjak, Boštjan Harl Mehanika za mehatronike Univerzitetni učbenik B A F 1 F 2 c 1 c 2 β 1 1 β 2 z'' = z''' ''' '' v 1 N N tangentna ravnina 2 smernica trka v 2 O '' ''' Maribor, 2011
M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike Naslov publikacije: Vrsta publikacije: Avtorji: Oblikovanje: Recenzenta: Jezikovni pregled: Založba: Tisk: Naklada: Mehanika za mehatronike Univerzitetni učbenik izr. prof. dr. Marko Kegl, univ. dipl. inž. str. doc. dr. Matej Vesenjak, univ. dipl. inž. str. doc. dr. Boštjan Harl, univ. dipl. inž. str. Avtorji red. prof. dr. Zoran Ren, univ. dipl. inž. str., FS UM izr. prof. dr. Boštjan Brank, univ. dipl. inž. gradb., FGG UL Nataša Belšak, univ. dipl. ling. Založništvo Fakultete za strojništvo, Maribor Tiskarna tehniških fakultet Tisk po naročilu Leto prve izdaje: 2011 Pravice: Avtorske pravice so pridržane. Gradiva iz publikacije brez dovoljenja avtorjev ni dovoljeno kopirati, reproducirati, objavljati ali prevajati v druge jezike. CIP - Kataložni zapis o publikaciji Univerzitetna knjižnica Maribor 531/534:681.5(075.8) KEGL, Marko Mehanika za mehatronike : univerzitetni učbenik / Marko Kegl, Matej Vesenjak, Boštjan Harl. - Maribor : Fakulteta za strojništvo, 2011 ISBN 978-961-248-254-1 1. Vesenjak, Matej 2. Harl, Boštjan COBISS.SI-ID 66370561 Naslovi avtorjev: Fakulteta za strojništvo, Smetanova 17, 2000 Maribor marko.kegl@uni-mb.si m.vesenjak@uni-mb.si bostjan.harl@uni-mb.si UM, Fakulteta za strojništvo I http://www.fs.uni-mb.si
M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike Vsebina Vsebina... II Predgovor... V 1 UVOD... 1 1.1 Mehanika v inženirski praksi 1 1.2 Modeliranje mehanskih dogajanj 2 1.3 Skalarne in vektorske količine 4 1.4 Področja mehanike 4 1.4 Osnovne predpostavke in dogovori 5 2 GRADNIKI MEHANIKE... 8 2.1 Osnovni gradniki mehanskega modela 8 2.2 Telo 9 2.3 Podpora in vez 11 2.4 Sila 12 2.4.1 Točkovna sila 12 2.4.2 Porazdeljene sile 13 2.4.2.1 Linijska sila 13 2.4.2.2 Ploskovna sila 14 2.4.2.3 Prostorninska sila 14 2.4.2.4 Rezultante porazdeljenih sil 14 2.4.3 Redukcija sile 15 2.4.4 Razdelitev sil 18 2.4.4.1 Zunanje in notranje sile 18 2.4.4.2 Aktivne in pasivne sile 19 2.4.5 Aktivna zunanja sila: teža 19 2.4.5.1 Težišče telesa 21 2.4.5.2 Težišča geometrijskih teles 22 2.4.5.3 Težišča ploščinskih likov 22 2.4.5.4 Težišča črtnih likov 23 2.4.6 Pasivne zunanje sile: reakcije v podporah 24 2.4.6.1 Ravninske podpore 25 4.2.1.2 Prostorske podpore 26 2.4.7 Trenje 27 2.4.7.1 Sila trenja med trdnim telesom in ravno podlago 27 2.4.7.2 Sila trenja med vrvjo in krožno podlago 30 3 STATIKA... 32 3.1 Ravnovesni enačbi statike 32 3.1.1 Splošni zapis 32 3.1.2 Zapis enačb z reduciranimi silami in momenti 33 3.1.3 Zapis enačb v primeru sil s skupnim prijemališčem 33 3.2 Konstrukcija 34 3.3 Statična analiza konstrukcije 35 3.4 Računanje reakcij v podporah 36 3.4.1 Ugotavljanje splošnih oblik reakcijskih sil in momentov 36 3.4.2 Ugotavljanje splošnih oblik sil in momentov v vezeh 36 3.4.3 Zapis ravnovesnih enačb 37 UM, Fakulteta za strojništvo II http://www.fs.uni-mb.si
M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike 3.4.4 Zunanja statična določenost konstrukcij 38 3.5 Računanje notranjih sil 39 3.5.1 Koncept in izvor notranjih sil 39 3.5.2 Upoštevanje notranjih sil v mehanskem modelu 40 3.5.3 Konstrukcijski elementi 42 3.5.3.1 Nosilec 42 3.5.3.2 Palica 44 3.5.3.3 Vrv 44 3.5.4 Zapis ravnovesnih enačb 46 3.5.5 Notranja statična določenost konstrukcij 47 3.6 Kontrola trdnosti 47 3.6.1 Pojem napetosti 48 3.6.2 Statične količine prereza 48 3.6.3 Osnovni problemi trdnosti 50 3.6.3.1 Natezna in tlačna obremenitev 50 3.6.3.2 Upogibna obremenitev 52 3.6.3.3 Strižna obremenitev 53 3.6.3.4 Torzijska obremenitev 54 4 KINEMATIKA... 56 4.1 Lega, hitrost in pospešek točke 56 4.2 Tir in dolžina poti gibajoče se točke 60 4.3 Opis gibanja v ravnini 60 4.3.1 Premo (translatorno) gibanje točke 61 4.3.2 Krožno (rotacijsko) gibanje točke 62 4.3.3 Opis gibanja telesa 64 4.3.4 Opis gibanja točke po gibljivem telesu 66 4.4 Opis gibanja v prostoru 67 4.4.1 Opis gibanja točke v cilindričnih koordinatah 67 4.4.2 Opis gibanja točke z uporabo spremljajočega triroba 68 4.4.3 Opis gibanja točke z uporabo gibljive baze 70 4.4.4 Opis gibanja telesa 73 4.4.4.1 Parametrizacija z uporabo Eulerjevih kotov 74 4.4.4.2 Parametrizacija z uporabo rotacijskega psevdovektorja 76 5 OSNOVE DINAMIKE... 78 5.1 Masni delec in telo 78 5.2 Osnovni zakoni dinamike 80 5.2.1 Prvi Newtonov zakon 80 5.2.2 Drugi Newtonov zakon 80 5.2.3 Tretji Newtonov zakon 81 5.2.4 Uporaba Newtonovih zakonov na sistemu delcev 81 5.3 Splošni zakoni dinamike in njihova uporaba 82 5.3.1 Zakoni o gibalni količini 82 5.3.2 Zakoni o vrtilni količini 84 5.3.3 Zakoni o mehanski energiji 86 5.3.3.1 Delo sile 86 5.3.3.2 Kinetična energija 87 5.3.3.3 Potencialne energije 89 6 TRKI... 91 6.1 Uvod 91 6.2 Potek trka 92 6.3 Normalni in poševni centrični trk 94 UM, Fakulteta za strojništvo III http://www.fs.uni-mb.si
M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike 6.3.1 Normalni centrični trk 94 6.3.1.1 Analiza hitrosti 94 6.3.1.2 Izgubljena kinetična energija 95 6.3.1.3 Določitev koeficienta trka 96 6.3.2 Poševni centrični trk 97 6.3.2.1 Analiza hitrosti 97 7 NIHANJA... 98 7.1 Uvod 98 7.2 Osnovni gradniki 99 7.2.1 Telo 100 7.2.2 Vzmet 100 7.2.2.1 Natezna/tlačana togost palice 100 7.2.2.2 Upogibna togost konzolno vpetega nosilca 101 7.2.2.3 Torzijska togost palice z okroglim prerezom 102 7.2.2.4 Vzporedna vezava vzmeti 102 7.2.2.5 Zaporedna vezava vzmeti 103 7.2.3 Dušilka 104 7.3 Lastna nihanja 104 7.3.1 Nedušeno lastno nihanje 104 7.3.2 Dušeno lastno nihanje 107 7.4 Vsiljena nihanja 110 7.4.1 Nedušeno vsiljeno nihanje 110 7.4.2 Dušeno vsiljeno nihanje 112 7.4.2.1 Primer vsiljenega nihanja z inercijskim vzbujanjem 113 7.4.2.2 Primer vsiljenega nihanja z vzbujanjem podlage 114 8 ANALITIČNA DINAMIKA... 115 8.1 Obravnavani sistem 115 8.2 Generalizirane koordinate 116 8.3 Virtualno delo in generalizirane sile 118 8.4 Lagrangeve enačbe 120 Literatura... 122 UM, Fakulteta za strojništvo IV http://www.fs.uni-mb.si
M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike Predgovor Ta knjiga je nastala kot učni pripomoček k predmetu Mehanika za mehatronike, ki spada v učni program Fakultete za strojništvo in Fakultete za elektrotehniko, informatiko in računalništvo na Univerzi v Mariboru. Za razumevanje knjige je potrebno relativno skromno predznanje. S področja mehanike je koristno poznavanje osnovnih pojmov. S področja matematike pa je potrebno poznavanje osnov vektorskega in diferencialnega računa. Zaradi preglednosti in lažjega branja so matematični in drugi objekti pisani z različnimi pisavami. Kolikor se je dalo, so uporabljena naslednja pravila označevanja: skalarne količine:, vektorske količine in matrike:, točke, liki, telesa ipd.:. Maribor, 2011 UM, Fakulteta za strojništvo V http://www.fs.uni-mb.si
M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike 1 Uvod 1 UVOD Namen: Pokazati pomen mehanike v inženirski praksi Prikazati postopek modeliranja mehanskih pojavov Spoznati razdelitev področja mehanike Cilj: Študenta seznaniti z dejstvom, da je mehanika pomemben in zelo aktualen sestavni del vsakdanje inženirske prakse. Glavne oporne točke: Modeliranje: naravni pojav mehanski model matematični model rešitev Razdelitev mehanike: kinematika, kinetika (statika, dinamika) 1.1 Mehanika v inženirski praksi Mehanika je veda, pri kateri je v središču pozornosti spreminjanje stanja snovi v smislu spreminjanja oblike in lege. Zaradi tega je precej očitno, da predstavlja mehanika pomemben vidik vsakega sistema, pri katerem se pojavljajo sile ter posledično tudi deformacije in gibanje takšni pa so praktično vsi sistemi v tehniški praksi. Slika 1.1: Obesa avtomobilskega kolesa Pogled na običajno obeso avtomobilskega kolesa, slika 1.1, odpre celo področje vprašanj, na katera mora odgovoriti mehanika: Kakšen je tir gibanja koles (kinematika)? Kakšne so napetosti in deformacije pri mirovanju vozila (statika)? UM, Fakulteta za strojništvo 1 http://www.fs.uni-mb.si
M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike 1 Uvod Kakšen je odziv kolesa pri vožnji čez neravnine (dinamika)? Dober zgled izjemnih koristi, ki jih omogoča mehanika, je robotska roka, slika 1.2, ki so jo razvili v Laboratoire de Robotique, Universite Laval. Problem pri robotskih rokah je, da imajo precej prostostnih stopenj (PS), zaradi česar je potrebno veliko število aktuatorjev. To pa slabo vpliva na natančnost in končno maso. Raziskovalci so se problema lotili pri kinematiki vpletenih mehanizmov. Rezultat je bila roka z 10 PS, ki jo poganjata samo 2 aktuatorja. S to roko je bilo opremljeno vesoljsko plovilo. Slika 1.2: Roka z 10 PS, ki jo poganjata le 2 motorja 1.2 Modeliranje mehanskih dogajanj Naloga mehanike je številčno ovrednotenje mehanskega dogajanja, in sicer z ustreznimi postopki in numeričnimi orodji. Pri tem je zelo pomembno dejstvo, da ti postopki delujejo tudi, kadar se neko mehansko dogajanje dejansko sploh še ne odvija, ampak si ga samo zamislimo. To dejstvo omogoča projektiranje in izdelavo mehanskih sistemov, za katere že vnaprej natančno vemo, kako se bodo odzivali na razne obremenitve. MEHANSKO DOGAJANJE Številčno ovrednotenje MEHANSKI model MATEMATIČNI model Slika 1.3: Ovrednotenje mehanskega dogajanja Postopek ovrednotenja mehanskega dogajanja bi lahko opisali nekako takole, slika 1.3: mehansko dogajanje najprej poenostavimo s predpostavkami ter ga nato opišemo z zakoni, ki povezujejo mehanske količine dogajanja. Rezultat tega je mehanski model dogajanja. V naslednjem koraku vpletene količine predstavimo z ustreznimi matematičnimi objekti ter mehanske zakone zapišemo v obliki matematičnih enačb. Rezultat tega koraka je matematični UM, Fakulteta za strojništvo 2 http://www.fs.uni-mb.si
M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike 1 Uvod model mehanskega dogajanja. Sedaj nam ostane le še zadnji korak, številčno ovrednotenje, pri katerem pa se stvari lahko zapletejo. Enačb modela namreč z obstoječimi metodami včasih ne znamo rešiti. Če so rešljive, pa je rešitev lahko več ali pa je vprašljiva njihova natančnost. Skoraj vse praktične primere moramo namreč reševati numerično, pri čemer se napakam zaradi zaokroževanja številk ne moremo izogniti. Kljub omenjenim zapletom pa največkrat le pridemo do uporabnih številčnih rezultatov. Za njihovo pravilno tolmačenje je nujno treba upoštevati uporabljene mehanske predpostavke in zakone ter z njimi povezano območje veljavnosti mehanskega modela. Nepoznavanje teh zakonov in predpostavk lahko pripelje do popolnoma napačnih sklepov. Tej nevarnosti smo v inženirski praksi izpostavljeni ravno pri uporabi najsodobnejših orodij računalnikov in programske opreme za analiziranje mehanskih sistemov. Kot smo že dejali, je vsak mehanski model osnovan na predpostavkah in predstavlja zgolj idealizacijo naravnega procesa. Natančno poznavanje vseh uporabljenih predpostavk je zato bistvenega pomena za pravilno modeliranje procesa in pravilno oceno natančnosti številčnih rezultatov. Mehanske predpostavke lahko razvrstimo v naslednje skupine: materialne predpostavke, kamor spadajo vse predpostavke o zgradbi in fizikalnih lastnostih obravnavane materije; kinematične predpostavke, kamor spadajo vse predpostavke o gibanju delcev materije; druge predpostavke, kamor spada na primer predpostavka o točkastem prijemališču sile. prerezi pri upogibanju ostanejo ravni (kinematične) točkovna sila (druge) homogen material brez napak (materialne) Slika 1.4: Primer pogosto uporabljenih mehanskih predpostavk pri konzolnem nosilcu Različne predpostavke se bolj ali manj ujemajo z realnostjo, kar pa ne pomeni, da lahko na tej osnovi sklepamo o njihovi sprejemljivosti za uporabo v konkretnem modelu. Če za gumijast kvader uporabimo predpostavko o nedeformabilnosti telesa (nedeformabilno telo nikoli ne spremeni svoje oblike ne glede na velikost in vrsto zunanjih obremenitev), je to povsem sprejemljiva osnova, če nas na primer zanima, kako se bo gibalo težišče telesa pri poševnem metu. Nasprotno pa je lahko ta predpostavka povsem nesprejemljiva, če nas zanima, kakšne so notranje napetosti pri obremenitvi, ki vidno spremeni obliko telesa. Zato lahko rečemo, da kvaliteta predpostavke ni univerzalna, pač pa je odvisna od konteksta, v katerem je uporabljena. Tako je lahko neka predpostavka v enem primeru povsem sprejemljiva, v drugem pa ne. Na sliki 1.4 je prikazan konzolni nosilec, ki je na vrhu obremenjen s silo. Slika prikazuje nekatere predpostavke, ki se v takšnih primerih pogosto uporabljajo. UM, Fakulteta za strojništvo 3 http://www.fs.uni-mb.si
M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike 1 Uvod 1.3 Skalarne in vektorske količine V mehanskem modelu se pojavljajo različne vrste mehanskih količin. V okviru te knjige bomo imeli opravek le s takšnimi, ki imajo lastnosti skalarjev ali pa vektorjev. Skalarne količine. Za skalarno količino je značilno, da je njena vrednost podana z realnim številom. Ta vrednost je neodvisna od izbire (lege in orientacije) koordinatnega sistema. Tipični skalarni količini sta na primer masa nekega telesa in gostota mase (ali tudi gostota snovi) v izbrani točki telesa. Masa telesa je odvisna od vrste snovi in velikosti telesa, gostota pa od vrste snovi in od izbrane točke telesa. V primerjavi z maso je torej gostota takšna količina, katere vrednost se od točke do točke telesa spreminja. Takšni skalarni količini pravimo skalarno polje. Vektorske količine. Za vektorsko količino je značilno, da ji lahko določimo smer, jakost in usmerjenost, razen tega pa mora ustrezati aksiomom vektorskega prostora. Tako kot pri skalarjih bomo imeli tudi pri vektorskih količinah opravek s takšnimi, ki se bodo spreminjale od točke do točke opazovanega telesa. Takšni vektorski količini pravimo vektorsko polje. 1.4 Področja mehanike V okviru tega predmeta bomo s pojmom mehanika označevali le tehniško mehaniko trdnih teles. V tem primeru lahko rečemo, da se mehanika ukvarja z vsem, kar je povezano s spreminjanjem oblike in lege teles. Za zgled naštejmo nekaj problemov, s katerimi se ukvarja mehanika. To so: 1. upogib nosilca (statika), 2. gibanje obese avtomobila (kinematika), 3. dinamično obnašanje manipulatorja (dinamika). V zgoraj naštetih primerih bi naravni proces lahko številčno ovrednotili z več parametri. To so: 1. poves vrha nosilca in napetosti v prerezu, 2. trajektorija gibanja premnika kolesa, 3. trajektorija efektorja manipulatorja in reakcijske sile v podporah. Mehaniko običajno delimo najprej na kinematiko in kinetiko. H kinematiki spadajo tisti problemi, v katerih se ne pojavljajo vzroki gibanja sile. Preostale probleme, ki v svojem opisu vsebujejo sile, štejemo h kinetiki, slika 1.5. Področje kinetike delimo naprej na statiko in dinamiko. K statiki spadajo problemi, ki ne vsebujejo časa kot neodvisne spremenljivke. Druge kinetične probleme, ki vsebujejo čas, štejemo k dinamiki. UM, Fakulteta za strojništvo 4 http://www.fs.uni-mb.si
M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike 1 Uvod MEHANIKA Kinematika Kinetika Statika Dinamika Slika 1.5: Razdelitev področja mehanike Znotraj področij, prikazanih na sliki, razvrščamo mehanske probleme še nadalje glede na to, kakšne predpostavke uporabljamo v mehanskem modelu. Tako govorimo na primer o statiki elastičnih teles, dinamiki togih teles in tako naprej. 1.4 Osnovne predpostavke in dogovori V okviru te knjige bomo privzeli naslednje dogovore in predpostavke: Telesa bomo obravnavali kot homogena. Največ opravka bomo imeli z nedeformabilnimi oziroma togimi telesi, razen kadar bo posebej poudarjeno, da je obravnavano telo deformabilno oziroma (v našem primeru) elastično. Vse mehanske sklope, kot so na primer ležaji, mehanske vezi in podpore, bomo obravnavali idealizirano: ni zračnosti, ni trenja in podobno. Za opis gibanja bomo večinoma uporabljali Kartezijev koordinatni sistem. Za opis mehanskega dogajanja v ravnini bomo uvedli fiksno ortonormirano vektorsko bazo e, in koordinatni sistem, slika 1.6. e e a a a O e Slika 1.6: Ortonormiran koordinatni sistem O v opazovani ravnini Dogovorimo se še, da bomo bazo e, e in koordinatni sistem O orientirali vedno tako, kot kaže slika. Zaradi tega dogovora bomo risanje koordinatnega sistema pogosto opuščali. Prav tako bomo običajno opuščali risanje vektorske baze. UM, Fakulteta za strojništvo 5 http://www.fs.uni-mb.si
M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike 1 Uvod Za opis gibanja v prostoru vektorsko bazo e, e razširimo z vektorjem ez e e, ki določa tretjo os z-os, slika 1.7. Baza e, e, ez je ortonormirana in določa desnosučni koordinatni sistem, ki ga imenujemo Kartezijev koordinatni sistem. z e z e a a a a z O e Slika 1.7: Ortonormiran koordinatni sistem v prostoru Glede na gornje dogovore lahko poljuben vektor a zapišemo kot: Ker v izbranem koordinatnem sistemu lahko zapis vektorja a skrajšamo na oziroma a a e a e a e (1.1) velja: z z 1 0 0 e 0, e 1, ez 0 (1.2) 0 0 1 a a a (1.3) az T z a a a a (1.4) Skalarje a, a in a z imenujemo koordinate vektorja. Pri ravninskih problemih imamo v glavnem opravka z vektorji, za katere velja. Zaradi racionalnosti v takih primerih vektor a pišemo tudi kot: a a (1.5) a Pozor: Če tak vektor uporabimo v vektorskem produktu, ga je treba pred tem obvezno razširiti s tretjo koordinato. Razen fiksnega koordinatnega sistema bomo uvedli še gibljivega. Vektorsko bazo gibljivega sistema bomo označili z ( ). Kot se bo izkazalo v nadaljevanju, je uvedba gibljivega koordinatnega sistema koristna zato, ker s tem opis gibanja v mnogih primerih zelo poenostavimo. Ravninska različica fiksnega in gibljivega koordinatnega sistema je prikazana na sliki 1.8. UM, Fakulteta za strojništvo 6 http://www.fs.uni-mb.si
M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike 1 Uvod v e e v Q e u u O e Slika 1.8: Fiksni koordinatni sistem in gibljivi koordinatni sistem Z uvedbo še enega koordinatnega sistema lahko poljubni vektor a zapišemo na dva načina, in sicer kot: ter kot: Opozorimo na dejstvo, da so koordinate a a e a e a e (1.6) u u v v z w z a a e a e a e (1.7) a, sistemu številčno drugačne od koordinat koordinatnem sistemu. a in a u, w a z vektorja a v fiksnem koordinatnem a in v a w istega vektorja v gibljivem UM, Fakulteta za strojništvo 7 http://www.fs.uni-mb.si
M. Kegl, M. Vesenjak, B. Harl: Mehanika za mehatronike 2 Gradniki mehanike 2 GRADNIKI MEHANIKE Namen: Definirati osnovne gradnike mehanskega modela (telo, podpore, vezi, sile, momenti) Vpeljati vrste sil, njihovo klasifikacijo ter rezultante sile in momenta Vpeljati postopek redukcije sile ter način določevanja aktivnih in pasivnih zunanjih sil Cilj: V tem poglavju bomo spoznali osnovne gradnike za modeliranje in analizo mehanskih sistemov. Glavne oporne točke: Telo: sistem zvezno porazdeljenih delcev Podpore in vezi: točkovni model Vrste sil: točkovne, linijske, ploskovne in prostorninske Določitev sil za mehanski model: redukcija 2.1 Osnovni gradniki mehanskega modela Pri skoraj vsaki mehanski nalogi iz inženirske prakse je pred začetkom njenega reševanja treba odgovoriti predvsem na naslednja tri vprašanja Kaj je opazovan sistem (eno ali več trdnih teles) in kakšen bo njegov model (togi, elastični...)? Kakšni so kinematični robni pogoji (predpisani pomiki in/ali zasuki)? Kakšni so kinetični robni pogoji (predpisane sile in/ali momenti)? RP: sile in momenti telo RP: pomiki in zasuki Slika 2.1: Osnovni gradniki mehanskega modela: telo ter kinematični (pomiki/zasuki) in kinetični (sile/momenti) robni pogoji (RP) UM, Fakulteta za strojništvo 8 http://www.fs.uni-mb.si