Eşantionara smnallor Eşantionara = prlvara d prob dintr-un smnal la momnt d timp dcalat intr l cu cu frcvnta d şantionar, f =/. xˆ t x k t k k = ( = δ ( Smnalul şantionat idal:. Spctrul Xˆ = X ( k k = orma şantionării: Un smnal x(t d nrgi finita si banda limitata B = unic dtrminat d mulţima şantioanlor sal {x(n } n Z} daca. Prin şantionar cu prioada => ˆX. Smnalul original s poat ˆx ( t rconstitui din spctrul smnalului şantionat cu un FJ cu frcvnta d tair, astfl încât, => sau f f. st - + az limita: =, = az dfavorabil: < => fnomnul d alir, smnalul original nu poat fi rconstituit. sin ( t FJ idal: Hr = p h r t = t sin ( ( t k Smnalul rconstituit: x ( ˆ r t = x( t hr ( t = x( k t k = = => Smnalul rconstituit: r k = ( = x t x k k = t sin k t k
Problm. S considra sistmul din figura x (t y(t x (t x 3 (t Suporturil transformati Fourir al smnallor x i (t i=,3, sunt [- i, i ]. Dtrminaţi prioada maxima d şantionar pntru car smnalul y(t poat fi rcuprat din şantioanl sal prin filtrar trc-jos idala. Rzolvar. y ( t = x ( t x ( t ( + x t 3 Y = 3 4 X X X + X sup X =, sup X X =, { } [ ] { } [ ] { X X X } = [ + ] sup { Y } = y, y, y = max ( +, 3 sup, => S aplica torma şantionării: y, cu prioada d şantionar = Valoara maxima pntru prioada d şantionar st: y = max, ( + 3. S considra un sistm cu intrara x(t si işira y(t lgat printr-o rlaţi polinomiala: k y = Px = ax. N k = k Daca smnalul x(t st d banda limitata la intrvalul [-, ], dtrminaţi prioada maxima d şantionar pntru car smnalul y(t poat fi rcuprat din şantioanl sal prin filtrar trc-jos idala. Rzolvar. ransformata Fourir a smnalului y(t st: a an Y = a + ax + X X... X X... X N + + ( Y = [ N N] => sup, d N ori
orma şantionării: N => N =>. N 3. S considra smnalul z(t d banda limitata, la intrvalul [, ] cu spctrul din figura: Z( + S notază = ; = j t a arătaţi ca st valabila rlaţia zt ( = x t, und x (t st un smnal d banda limitata la intrvalul [-, ]. b utilizând formula d rcuprar a smnalului x (t din şantioanl sal, dtrminaţi ca mai mar valoar pntru car st valabila rlaţia: t sin n j ( t n z( t = z( n n= t n Rzolvar. a zt ( = x j t t Z = X ( ( = Z( + { Z} = X( = = si ( = + + <=> X spctrul X dplasat la stânga cu fata d Z sup sup { } [, ] { Z } [ ] { X } [ ] <=> sup, sup, <=> + = si + = (advărat ( ( j t b Smnalul x t = z t - banda limitata [-, ] => şantionar cu => Smnalul rcuprat t sin k x( t x( k = daca = = k = t k 3
t => z( t = x( t xp( jt = xp( jt x( k sinc k k = t => z( t = xp( j( t k z( k sinc k pt k = = =, = 4. Smnalul z(t al cărui spctru st rprzntat in figura, poat fi considrat ca smnalul analitic asociat unui smnal ral, x(t. Z( a Rprzntaţi spctrul smnalului x(t. b Utilizând rlaţia d lgătura intr smnall x(t, x t si z(t, und x t st ( transformata Hilbrt a smnalului x(t, dtrminaţi ca mai mar valoar pntru car sunt advărat rlaţiil: { } sin t n x t = x n cos t n x n sin t n n= t n { } sin = cos ( + sin ( x t x n t n x n t n n= t n t n c P baza rlaţiilor antrioar, in figura următoar sunt rprzntat schml unor sistm car prmit ca din smnall şantionat x( t = x( t δ ( t si x ( t = x ( t δ ( t sa s rcuprz smnall x( t si x ( t. Dtrminaţi răspunsul la impuls h (t si h (t si răspunsuril in frcvnta H ( si H ( al sistmlor corspunzătoar. 4
x (t x ( t h (t h (t x (t h (t x(t x ( t x ( t h (t Rzolvar. a x(t = R(z(t, xt ( = H( xt ( = xt X = jsgnx t z( t = x( t + jx ( t Z = X + jx = X + j( jsgn X = X + sgnx Z X, > Z ( = => < : X ( =, : X, in rst Z > = X( / - - b rbui dmonstrata rlaţia: = ( ( x t x n h t n x n h t n n= h ( t = cos tsinc t H h ( t = sin tsinc t H sinct p n= => pt. H p H = p + p + =, sinc t p = δ ( + δ ( + 5
H = p δ ( δ ( + j H = p ( p ( + j / H ( - -/ - - +/ -/ +/ jh ( / - -/ +/ => X H X si = jx jh = sgnx jh = X => X H X = = ( X H X H X Eşantionara smnallor x si x : ( = δ ( X x t x n t n x ( t = x ( n δ ( t n X X k = k = X k = k = 6
= sgn X j X Pntru rfacra smnalului x(t din x (t: < < < + => > X H = X = X ( X H X = D aca, = ( X H X H X In domniul timp: x t x n t n x n t n t n = k = cos sin sinc Pntru a doua rlaţi: jsgnx H = jsgnx => X H = X jsgn X H j X = sgn ( => X H = X D aca, + = ( X H X H X In domniul timp: x t x n t n x n t n t n = + k = cos sin sinc 5. S considra smnalul x(t având spctrul concntrat ca in figura: X( - - S păstrază rlaţiil ca in problma 3. S şantionază idal smnalul cu frcvnta. 7
a rprzntaţi spctrul smnalului şantionat in ipotza (4k+3 = b (4k+ = c rprzntaţi schml unor sistm car sa prmită rcuprara smnalului x(t din smnall şantionat obţinut la punctl antrioar. Rzolvar. a Pulsaţia d şantionar: = = 4 X X k = k = (4k+3 = => k=, = 7, = 6, = 8 / X ( - - b (4k+ = => k=, = 5, = 4, = 6 / X ( - - c Rconstrucţia: filtr trc-banda / H r ( -8-6 -4 4 6 8 8
6. S considra sistmul din figura. x(t st un smnal d banda limitata la intrvalul [-, ], iar p(t st un smnal priodic d prioada =. x(t p(t x (t a notând cu X( spctrul smnalului x(t si cu a n coficinţii dzvoltării Fourir a smnalului p(t, aratati ca spctrul smnalului şantionat s poat scri: n, =? n= = ( X a X n b prsupunând ca x(t ar o componnta continua nnula a, aratati ca x(t s poat rcupra din x (t prin filtrar trc-jos idala si dtrminaţi paramtrii filtrului trc-jos. c imaginaţi un sistm nu napărat liniar si invariant in timp, car sa prmită rcuprara smnalului x(t din x (t in cazul a =. d daca x(t ar spctrul din figura rprzntaţi modulul spctrului smnalului x (t in următoarl cazuri p(t=δ (t; p(t=δ (t-δ. X( a p( t = an n= jn t P anδ n = n= - X = X P X = anx n n = = b a => X = a X + anx n n H( /a - =, => X = a X + anx n n, c a a 9
H ( /a x (t h (t x(t /- /+ = =3 xp(-jt/ d p(t=δ (t; P = δ X = X P = X k X( / - p(t=δ (t-δ; P jδ = δ jδ X = X P = X δ k k jk Δ jk Δ X = X δ k = X k k k X = X k k