~ ~ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Μια συνάρτηση f ( ) u( x, y) iv( x, y ) έχει παράγωγο σε ένα σημείο x iy αν ικανοποιούνται τα ακόλουθα: i) Οι πρώτες μερικές παράγωγοι ux( x, y), uy( x, y), vx( x, y ), v (, ) y x y υπάρχουν και είναι συνεχείς στο σημείο( x, y ) ii) Στο σημείο ( x, y ) επαληθεύονται οι εξισώσεις auchy- iema Επί τούτου κοιτάξτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» σελ Σημειώστε ότι μια συνάρτηση f ( ) u( x, y) iv( x, y ) που έχει παράγωγο σε ένα σημείο δεν είναι εκεί απαραίτητα και αναλυτική Για να είναι αναλυτική θα πρέπει επί πλέον να υπάρχει γειτονιά του σε όλα τα σημεία της οποίας η f() να έχει παράγωγο (Κοιτάξτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» σελ4) Θεώρημα auchy-goursat: Κοιτάξτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» σελ β) Το πραγματικό και φανταστικό μέρος της f ( ) είναι: u( x, y) y x, v( x, y) y x Οι πρώτες μερικές παράγωγοι u x, u y, vx x, v y είναι προφανώς συνεχείς σε όλο το επίπεδο x,y Οι εξισώσεις auchy- iema ux vy, uy v x γράφονται:, x Η πρώτη από αυτές τις δύο εξισώσεις δεν μπορεί να ικανοποιηθεί σε κανένα σημείο του μιγαδικού επιπέδου Συμπεραίνουμε ότι η f ( ) δεν
~ ~ έχει παράγωγο πουθενά στο μιγαδικό επίπεδο και επομένως δεν είναι και πουθενά αναλυτική Η συνάρτηση f () ως το άθροισμα της ρητής συνάρτησης (8 i ) και της συνάρτησης Log( i ) δεν είναι αναλυτική στα σημεία που κάποια από αυτές τις δύο συναρτήσεις δεν είναι αναλυτική Η πρώτη δεν είναι αναλυτική στα σημεία που αντιστοιχούν στις ρίζες της εξίσωσης i 6 8 i Αυτές είναι οι e ( i ) 4, i, i5 6 e ( i ) 4 (Ο υπολογισμός τους έχει ως εξής: Επειδή i αναζητούμε τις ρίζες στην μορφή e Η προς επίλυση αλγεβρική εξίσωση γράφεται ισοδύναμα i i e e και από αυτή παίρνουμε με,,, Τελικά τα ορίσματα των ριζών είναι 6,, 5 6) Η Log( i ) δεν είναι παραγωγίσιμη ούτε και αναλυτική στα σημεία της εγκοπής κλάδου που προσδιορίζονται από τις: Im( i ), και e( i ) Αυτά προφανώς είναι τα σημεία x i με x Υπολογισμός του ολοκληρώματος I Επειδή η f ( ) δεν είναι αναλυτική πουθενά στο μιγαδικό επίπεδο είμαστε αναγκασμένοι για τον υπολογισμό του δρομικού ολοκληρώματος να προχωρήσουμε σε παραμετροποίηση Ο βρόχος αποτελείται από τα δύο παραβολικό τόξο O, και το ευθύγραμμο τόξο ΑΟ Η παραμετρική εξίσωση για καθένα από αυτά έχει ως εξής: Για το O : Εδώ f ( ) x x y x και άρα ( x) x ix με x Ενώ Για το ΑΟ: Εδώ y x και άρα ( x) ( i) x με x Ενώ f ( ) i( x x ) Τα δρομικά ολοκληρώματα πάνω σε κάθε δρόμο θα είναι: x O 4 f ( ) d ( x x)( i) dx ( i) x ( i ) f( ) d i( x x )( i) dx ( i ) x x ( i ) A 4 Κοιτάξτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» σελ
~ ~ Τελικά, 4 4 4 f ( ) d f ( ) d f ( ) d ( i) ( i ) 4i AO OA Υπολογισμός του ολοκληρώματος I Η συνάρτηση Log( i ) είναι αναλυτική πάνω και στο εσωτερικό του βρόχου (τα σημεία της εγκοπής κλάδου είναι όλα έξω από τον βρόχο) οπότε από το θεώρημα auchy-goursat Log( i) d Έτσι, f ( ) d Log( i) d d d i i 8 8 Τα σημεία, βρίσκονται προφανώς έξω από τον βρόχο Το σημείο βρίσκεται στο εσωτερικό του αφού 4 και 4 4 4 Τελικά f d i i i 8 4 ( ) es i ΘΕΜΑ α) Θεώρημα Taylor: Δείτε τις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» σελ49 Η συνάρτηση e είναι ακεραία αναλυτική Επομένως σε κάθε σημείο του μιγαδικού επιπέδου αναλύεται σε σειρά Taylor με άπειρη ακτίνα σύγκλισης Εφαρμόζουμε τον τύπο f ( ) f ( ) ( ) ( )! ( ) για και επειδή f ( ) e e παίρνουμε
~ 4 ~ f ( ) e ( )! β) Στον εσωτερικό κυκλικό δίσκο του δακτυλιοειδούς χωρίου υπάρχει το ανώμαλο σημείο της f ( ) Άρα το ανάπτυγμα της f ( ) σε σειρά δυνάμεων του (κέντρο το ) είναι σειρά Lauret Για τον υπολογισμό της σειράς αναλύουμε πρώτα την f ( ) σε απλά κλάσματα: f ( ) 4 ( )( ) Μετά αναλύουμε σε σειρά στο χωρίο καθένα από τα απλά κλάσματα:, διότι ( ), διότι Τελικά f ( ) ( ) γ) Στο χωρίο η f () είναι παντού αναλυτική Το χωρίο αυτό είναι δακτυλιοειδές όπου όμως ο εσωτερικός «δακτύλιος» είναι το σημείο Το σημείο αυτό είναι αιρώμενο ανώμαλο σημείο για την f () Πράγματι, αν τότε f ( )!!! ( )! Η δυναμοσειρά συγκλίνει σε όλο το μιγαδικό επίπεδο (δείτε ( )! το θεώρημα 6 σελ48 στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού») και
~ 5 ~ επομένως ορίζει μια ακεραία αναλυτική συνάρτηση g () με g () (δείτε το θεώρημα 6 σελ49 στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού») Θέτοντας f () κάνουμε τη συνάρτηση f () αναλυτική στο σημείο και επομένως και ακεραία αναλυτική Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι το ανάπτυγμα της f () σε σειρά δυνάμεων του είναι σειρά MacLauri Οι τρείς πρώτοι όροι της σειράς μπορούν να υπολογισθούν ή μέσω του τύπου ή ως εξής: f ( ) f () f () f () f () ( )! 6 f( ) a a a ( )! a a a ( a a a ) a a a 6 6 Από αυτή τη σχέση παίρνουμε a, a, a και τελικά f( ) Από τα ανωτέρω είναι πλέον σαφές ότι το ανάπτυγμα σε σειρά δυνάμεων του της συνάρτησης f e στο χωρίο είναι μια ( ) ( ) σειρά Lauret Οι τρείς πρώτοι όροι αυτής της σειράς προκύπτουν από την τελευταία σχέση και είναι: Το es ( ) τη σειρά δηλαδή e e είναι ο συντελεστής του όρου ως προς σε αυτή e es ( )
~ 6 ~ ΘΕΜΑ α) Θεωρούμε την συνάρτηση f() ( i) ( i) και τον θετικά προσανατολισμένο ημικυκλικό βρόχο του σχήματος που αποτελείται από το ημικύκλιο κέντρου Ο και την διάμετρό του ( ) επί του άξονα των x Η συνάρτηση f() ως ρητή είναι παντού αναλυτική εκτός από τα σημεία που αντιστοιχούν στις δύο τριπλές ρίζες i και i του παρονομαστή Παρατηρούμε ότι από αυτές τις ρίζες η βρίσκεται στο άνω ημιεπίπεδο ( y ) ενώ η βρίσκεται στο κάτω ημιεπίπεδο ( y ) y Ο x Το θεώρημα των ολοκληρωτικών υπολοίπων εφαρμοζόμενο για το βρόχο και την συνάρτηση f() μας δίνει f ( ) d f ( ) d f ( x) dx ies f ( ) Αφήνουμε την ακτίνα να τείνει προς το άπειρο και η πιο πάνω σχέση γίνεται lim f ( ) d f ( x) dx i es f ( )
~ 7 ~ Το ολοκληρωτικό υπόλοιπο στο σημείο της f() ) γράφεται i (που είναι τριπλός πόλος es f( ) es = =i ( i) 6 5 5 5 ( ) ( ) ( ) 6 i i i i i i i, και επομένως lim f ( ) d f ( x) dx i 6 i 8 Τώρα θα δείξουμε με την βοήθεια της ανισότητας Darboux (βλέπε σημειώσεις Μιγαδ Λογ σελ 7 εξίσωση (54)) ότι lim f ( ) d Γι αυτό το σκοπό χρησιμοποιούμε την τριγωνική ανισότητα για τα σημεία πάνω στον δρόμο (όπου ) για να πάρουμε: ( ) ( ) Άρα πάνω στον η f() φράσσεται ως εξής: f ( ) M ( ) Τώρα η ανισότητα Darboux γράφεται f ( ) d ( ) Άρα lim f ( ) d lim f ( ) d Τελικά αποδείξαμε ότι Όμως η συνάρτηση δίνει dx ( x ) 8 ( x ) είναι άρτια και η τελευταία εξίσωση μας dx ( x ) 6
~ 8 ~ β) Θεωρούμε την συνάρτηση g( ) f ( ) e i, όπου f(), και τον θετικά προσανατολισμένο ημικυκλικό βρόχο του σχήματος που αποτελείται από το ημικύκλιο κέντρου Ο και την διάμετρό του ( ) επί του άξονα των x Η συνάρτηση g () είναι παντού αναλυτική εκτός από τα σημεία που αντιστοιχούν στις δύο απλές ρίζες της εξίσωσης Οι ρίζες αυτές είναι ( i ), ( i ) Παρατηρούμε ότι από αυτές τις ρίζες μόνο οι βρίσκεται στο άνω ημιεπίπεδο ( y ) ενώ καμία δεν βρίσκεται πάνω στον άξονα των x y Ο x Το θεώρημα των ολοκληρωτικών υπολοίπων εφαρμοζόμενο για το βρόχο και την συνάρτηση g () μας δίνει g( ) d g( ) d g( x) dx i es g( ) Αφήνουμε την ακτίνα να τείνει προς το άπειρο και η πιο πάνω σχέση γίνεται lim g( ) d g( x) dx ies g( ) ()
~ 9 ~ Το ολοκληρωτικό υπόλοιπο στο σημείο (που είναι απλός πόλος της g) () είναι es ( ) = i i i i i i i g e e e ( ) Αντικαθιστούμε την ποιο πάνω τιμή στη σχέση () που γίνεται lim ( ) ( ) i g d g x dx e () Τώρα θα δείξουμε με την βοήθεια του λήμματος Jorda (δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» σελ 78) ότι lim g( ) d Γι αυτό το σκοπό παρατηρούμε ότι πάνω στον δρόμο ισχύει η ακόλουθη ανισότητα: (όπου ) ( ) ( )( ), όπου χρησιμοποιήσαμε το ότι Από αυτή προκύπτει ότι πάνω στον η f() φράσσεται ως εξής: f ( ) M ( ) Τώρα επειδή lim M από το λήμμα Jorda έπεται ότι lim g( ) d και έτσι η σχέση () γράφεται x xe x i x i dx e Από αυτήν παίρνοντας τα φανταστικά μέρη και των δύο μελών προκύπτει ότι xsi( x) dx e x x
~ ~ ΘΕΜΑ 4 α) Η μετασχηματισμένη Fourier γράφεται ix F [ f ( x)] F( ) f ( x) e dx, όπου f ( x) H ( x) H ( x ) αν x αν x ή x Οπότε ix i ix i i F( ) e dx e ( e ) [si i(cos )] Εδώ τύπος Parseval Placherel γράφεται (δείτε στο ecourse το «Συμπλήρωμα Σημειώσεων Μιγαδικού Λογισμού» εξίσωση () σελ8): cos cos ( ) dx F d d d Από αυτόν αμέσως προκύπτει ότι cos d, ή ακόμα, επειδή η υπό ολοκλήρωση συνάρτηση είναι άρτια cos d β) Αν δράσουμε πάνω στην προς επίλυση διαφορική εξίσωση με τον μετασχηματισμό Fourier F και χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα μετασχηματισμού της παραγώγου (δείτε το «Συμπλήρωμα σημειώσεων Μιγαδικού Λογισμού», σελ) παίρνουμε
~ ~ U t U t U, της οποίας η ολοκλήρωση μας δίνει t U(, t) U(,)( t ) e (4) H U (,) είναι η μετασχηματισμένη Fourier της συνάρτησης f( x ) Δηλαδή έχουμε U(, o) F( ) και F [ U(, o)] f ( x) Η αντίστροφη t μετασχηματισμένη της e έχει υπολογισθεί στο «Συμπλήρωμα Σημειώσεων Μιγαδικού Λογισμού» Παράδειγμα 5 σελ4 Εκεί βρήκαμε ότι g x t x 4t e F t t (, ) [ e ] Εφαρμόζοντας τώρα το θεώρημα της συνέλιξης (Δείτε στο «Συμπλήρωμα Σημειώσεων, σελ8, Ιδιότητα 7) για την εξίσωση (4) παίρνουμε ( x y) 4t t t u( x, t) F U (,)( t ) e ( t ) F U (,) e ( x y) 4t t t t e f ( x) g( x, t) f ( y) g( x y, t) dy dy t t t e dy Το τελευταίο ολοκλήρωμα μπορεί με την αλλαγή ( y x) t στη μεταβλητή ολοκλήρωσης να γραφεί ως εξής: t ( x) t ( x) t ( x y) /4t e dy e d e d e d x t x t x t ( x) t x t ( x) t e d e d e d e d x x erf erf t t
~ ~ Τελικά η λύση του προβλήματος γράφεται t x x u( x, t) erf erf t t