ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΜΕΡΣ ο ΕΩΜΕΤΡΙ ΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ
ΜΘΗΜΤΙΚ ΥΜΝΣΙΥ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΣ 1ο : ΕΩΜΕΤΡΙ ΚΕΦΛΙ 1ο ΣΙΚΕΣ ΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΙΕΣ νακφαλαίωση σημίο άπιρς υθίς από υθύγραμμο τμήμα Δ παράλληλα υθύγραμμα τμήματα υθία υθία ημιυθία το σημίο χωρίζι μια υθία σ δύο ημιυθίς και τμνόμνς κάθτς υθίς παράλληλς υθίς υθίς 1 1 1 ο από το μία μόνο κάθτη στην από το μία μόνο παράλληλη στην ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ
Π τρία σημία ορίζουν ένα πίπδο Π Η υθία ανήκι ολόκληρη στο πίπδο Π Π Π Π 1 Η υθία τέμνι το πίπδο Π Η υθία χωρίζι ένα πίπδο σ δύο ημιπίπδα απόσταση δύο σημίων 1 απόσταση σημίου από υθία απόσταση δύο παράλληλων υθιών ΩΝΙ πλυρά κορυφή O ω διχοτόμος z πλυρά διχοτόμος γωνίας κατακορυφήν γωνίς φξής γωνίς 9 ο Δ διαδοχικές γωνίς φ ω z ο 18 ο παραπληρωματικές γωνίς β α συμπληρωματικές γωνίς ο ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ
18 18 18 18 18 18 18 18 18 οξία γωνία Είδη γωνιών ορθή γωνία 9 9 αμβλία γωνία υθία γωνία 9 9 Μηδνική γωνία 9 Μη κυρτή γωνία O O Πλήρης γωνία O 4 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ
Κύκλος ρ χορδή διάμτρος κύκλος(, ρ) και χορδή η διάμτρος κυκλικός δίσκος χωρίζι τον κύκλο σ ημικύκλια ρ Μ 1 Μ Μ O B τόξο A δύο σημία και Μ1 σωτρικό του (, ρ) του κύκλου ορίζουν Μ σημίο του (, ρ) δύο τόξα του κύκλου Μ ξωτρικό του (, ρ) Επίκντρη γωνία Σχτικές θέσις υθίας και κύκλου ρ Μ ρ Μ ρ Μ ξωτρική φαπτόμνη τέμνουσα φαπτόμνα τμήματα 1 Μ 5 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ
ΣΚΗΣΕΙΣ 1. ς πάρουμ από τα γνωστά μας σχήματα το τρίγωνο, μ κορυφές τα σημία,, και το ττράπλυρο, μ κορυφές τα σημία,,, Δ και ας δούμ, ποια ονομασία έχουν τα υθύγραμμα τμήματα που βλέπουμ στα σχήματα αυτά. Στο τρίγωνο, τα τμήματα, και που ορίζονται από δύο κορυφές, λέγονται πλυρές του τριγώνου. Το ττράπλυρο Δ μ κορυφές τα σημία,,, Δ έχι πλυρές τα τμήματα,, Δ, Δ που ορίζονται από διαδοχικές κορυφές. Τα τμήματα και Δ, που ορίζονται από μη διαδοχικές κορυφές, λέγονται διαγώνις του ττραπλύρου. Δ. Έστω τρία σημία, και που δν ανήκουν και τα τρία σ μια υθία. Πόσς υθίς πρνούν από το ; Πόσς από τις υθίς αυτές πρνούν από το ; Το ίναι σημίο της υθίας ; α β πό το διέρχονται άπιρς υθίς. Μια από αυτές πρνάι και από το. Επιδή τα σημία, και δν ανήκουν και τα τρία σ μια υθία, το σημίο δν μπορί να ίναι σημίο της υθίας.. Στο σχήμα φαίνονται πέντ σημία, τα,,, Δ και Ε. Να χαράξτ όλα τα υθύγραμμα τμήματα, που έχουν άκρα τα σημία αυτά. Πόσα διαφορτικά υθύγραμμα τμήματα ίναι; Κάθ σημίο ίναι άκρο νός από τα τέσσρα υθύγραμμα τμήματα, που το συνδέουν μ τα υπόλοιπα τέσσρα σημία. Επομένως: Το σημίο ίναι άκρο των τμημάτων:,, Δ,Ε Το σημίο ίναι άκρο των τμημάτων:,, Δ, Ε Το σημίο ίναι άκρο των τμημάτων:,, Δ, Ε Το σημίο Δ ίναι άκρο των τμημάτων: Δ, Δ, Δ, ΔΕ Το σημίο Ε ίναι άκρο των τμημάτων: Ε, Ε, Ε, ΕΔ Στα παραπάνω, κάθ τμήμα μφανίζται δύο φορές π.χ. το και, αφού το τμήμα έχι δύο άκρα. Έτσι, στο σχήμα, δν ίναι ίκοσι () διαφορτικά τμήματα, αλλά δέκα (1) τα:,, Δ, Ε,, Δ, Ε, Δ, Ε, ΔΕ. Ε Δ γ 4. Να σχδιαστί το υθύγραμμο τμήμα Δ, το οποίο ίναι ίσο μ το τμήμα : (α) μ το υποδκάμτρο και (β) μ διαβήτη. (α) Μ το υποδκάμτρο μτράμ το υθύγραμμο τμήμα και βρίσκουμ ότι 1 4 5, 6 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ
Δ 1 4 5, =, cm. Στη συνέχια πάνω σ μια υθία παίρνουμ ένα υθύγραμμο τμήμα Δ μ μήκος ίσο μ, cm, όπως δίχνι το σχήμα. (β) νοίγουμ το διαβήτη, ώστ η μία άκρη Δ του να ακουμπάι στο και η άλλη στο. Μτακινούμ το διαβήτη, χωρίς να μταβάλλουμ το άνοιγμα του. αράζουμ μια υθία. Τοποθτούμ τη μία άκρη του διαβήτη σ ένα σημίο της και μ το άλλο άκρο, που έχι τη γραφίδα, βρίσκουμ το σημίο Δ της. Τότ το υθύγραμμο τμήμα Δ ίναι ίσο μ το 5. Να βρθί το μέσο νός υθύγραμμου τμήματος. Μ το υποδκάμτρο βρίσκουμ ένα σημίο Μ του, για το οποίο ίναι: Μ =,8 : = 1,9 cm. λλά τότ και Μ =,8 : = 1,9 cm. 1 M 4 5 Δηλαδή: Μ = Μ.,8 : =1,9,8 ποιοδήποτ υθύγραμμο τμήμα έχι πάντα ένα μέσο Μ, που ίναι και μοναδικό. 6. Να συγκριθούν οι προσκίμνς στη βάση γωνίς νός ισοσκλούς τριγώνου. Το ισοσκλές τρίγωνο έχι δύο πλυρές ίσς, δηλαδή =. Μ το διαφανές χαρτί συγκρίνουμ τις προσκίμνς στη βάση γωνίς και. Διαπιστώνουμ ότι: ι προσκίμνς στη βάση ισοσκλούς τριγώνου γωνίς ίναι ίσς. Όπως κάθ υθύγραμμο τμήμα έχι ένα σημίο, το μέσο του, που το διαιρί σ δύο ίσα μέρη, έτσι και κάθ γωνία έχι μία ημιυθία στο σωτρικό της, που τη χωρίζι σ δύο ίσς γωνίς. Διχοτόμος γωνίας ονομάζται η ημιυθία που έχι αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζι σ δύο ίσς γωνίς. ω ω βάση διχοτόμος z 7. Να σχδιαστί υθία, που διέρχται από σημίο και ίναι κάθτη σ υθία. 1η πρίπτωση: Το σημίο ανήκι στην 1 4 5 7 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ
η πρίπτωση: Το σημίο δν ανήκι στην 1 4 5 8. Δίνται η υθία και τα σημία,, και Δ. Να σχδιαστούν υθίς 1, και 4, που διέρχονται από αυτά τα σημία αντίστοιχα, κάθτς στην. Τοποθτούμ τον γνώμονα πάνω στην υθία έτσι, 1 4 Ώστ η μία από τις δύο κάθτς πλυρές του να συμπίπτι μ την υθία. Σύρουμ τον γνώμονα στην υθία, έως ότου η άλλη κάθτη πλυρά του να έρθι σ παφή μ ένα από τα δοσμένα σημία. πό το σημίο αυτό χαράζουμ την υθία που ίναι κάθτη στην. Επαναλαμβάνουμ τη διαδικασία αυτή, για κάθ σημίο,, και Δ και κατασκυάζουμ τις υθίς 1,, και 4 αντίστοιχα, που ίναι κάθτς στην υθία. 9. Να βρθί σημίο της υθίας, η απόσταση του οποίου από ένα σημίο κτός αυτής να ίναι η λάχιστη. πό το σημίο φέρνουμ το κάθτο τμήμα ο στην υθία και συνδέουμ το σημίο μ διάφορα σημία 1,,, 4, 5, 6, 7, 8 και 9 της.μτράμ τις αποστάσις του από αυτά και παρατηρούμ ότι αυτές μγαλώνουν συνχώς όσο απομακρυνόμαστ αριστρά και δξιά από το ο, άρα η λάχιστη απόσταση ίναι το υθύγραμμο τμήμα ο.επομένως το ο, ίναι το ζητούμνο σημίο και ονομάζται ίχνος της κάθτης από το. A 8 A 6 A 4 A Δ A A ο A 1 A A 5 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ A 7 A 9
1. Να σχδιαστούν και να συγκριθούν τα υθύγραμμα τμήματα που διέρχονται από τα σημία, και και κφράζουν τις αποστάσις των παραλλήλων υθιών 1 και. Φέρνουμ τις κάθτς Δ, ΕΖ και Η από τα σημία, και στις υθίς 1 και. Μτράμ τα υθύγραμμα τμήματα Δ, ΕΖ και Η και βρίσκουμ ότι 1 ίναι όλα μταξύ τους ίσα. Άρα η απόσταση των παραλλήλων υθιών 1 και ίναι σταθρή και ίση μ,5 cm. 11. Να σχδιαστούν δύο υθίς 1 και παράλληλς προς μια υθία, που να απέχουν από αυτή cm. δ Σ τυχαίο σημίο Μ της σχδιάζουμ υθία δ κάθτη στην. cm Πάνω στην υθία δ βρίσκουμ μ το υποδκάμτρο δύο M σημία και έτσι, ώστ να ίναι: Μ = Μ = cm. πό τα και, μ τον γνώμονα, σχδιάζουμ υθίς 1 και cm κάθτς στην. ι υθίς αυτές ίναι οι ζητούμνς, γιατί B η απόσταση τους από την ίναι cm.,5 cm Δ Ζ Ε,5 cm Η,5 cm 1 1. Να σχδιαστί ένα τρίγωνο, αν γνωρίζουμ τα μήκη των πλυρών του. γ = 1,5 cm β = cm α = cm ς υποθέσουμ ότι τα υθύγραμμα τμήματα α = cm, β = cm και γ = 1,5 cm ίναι οι πλυρές του τριγώνου που πρέπι να σχδιάσουμ. κολουθούμ την ξής διαδικασία: Παίρνουμ ένα από αυτά και το ονομάζουμ πλυρά = α. Μτά χαράζουμ τους κύκλους (,γ = 1,5 cm) (,β = cm). ι δύο αυτοί κύκλοι τέμνονται στο σημίο. Το τρίγωνο ίναι το ζητούμνο διότι έχι πλυρές: = cm, = 1,5 cm, ως ακτίνα του κύκλου (,1,5 cm) και = cm, ως ακτίνα του κύκλου (, cm), αφού το ανήκι και στους δύο κύκλους. 1. Να κατασκυαστί γωνία ίση μ ο. γ α β 1 9 4 9 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ
5 ω = ο ω ια να κατασκυάσουμ μία γωνία χρησιμοποιούμ το μοιρογνωμόνιο. Το μοιρογνωμόνιο ίναι ένα όργανο μ το οποίο μπορούμ να μτρήσουμ το μέτρο νός τόξου ή μιας γωνίας. Κάθ μοιρογνωμόνιο αντιστοιχί σ ημικύκλιο που έχι βαθμολογηθί έτσι, ώστ να δίχνι τα μέτρα των τόξων από ο έως 18 ο. τρόπος που μπορούμ να κατασκυάσουμ τη ζητούμνη γωνία ο φαίνται στα διαδοχικά παραπάνω σχήματα. 14. Να κατασκυαστί τρίγωνο, για το οποίο γνωρίζουμ ότι έχι δύο πλυρές cm και 4 cm και των οποίων η πριχόμνη γωνία ίναι 55 ο. 1 55 ο 18 ο 15. Να κατασκυαστί τρίγωνο, για το οποίο γνωρίζουμ ότι έχι μία πλυρά cm και τις προσκίμνς γωνίς 4 ο και 1 ο. 5 5 ο 4 cm 1 1 18 ο 14 ο 4 ο 18 ο 1 ο 4 ο 1 ο 4 16. Να σχδιαστί κύκλος που να φάπτται σ σημίο μιας υθίας. Παίρνουμ μια υθία και το σημίο της. Σχδιάζουμ την υθία που ίναι κάθτη στην στο σημίο. Μ Κ κέντρο ένα οποιοδήποτ σημίο Κ της κάθτης αυτής και ακτίνα το τμήμα Κ γράφουμ κύκλο. 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ
κύκλος που φέραμ θα φάπτται στην υθία, διότι αυτή ίναι κάθτη στην ακτίνα Κ του κύκλου στο άκρο της. 17. Να σχδιαστί υθία που να φάπτται σ σημίο νός κύκλου. Παίρνουμ ένα κύκλο (, ρ) και το σημίο του. Σχδιάζουμ την υθία, που ίναι κάθτη στην ακτίνα στο σημίο. Η υθία θα φάπτται στον κύκλο στο σημίο, διότι ίναι κάθτη στην ακτίνα στο άκρο της. 18. Να σχδιαστούν φαπτόμνς νός κύκλου (, ρ) στα άκρα και μιας χορδής του. Σχδιάζουμ τις ακτίνς και. Στο σημίο της ακτίνας φέρνουμ την υθία 1 κάθτη 1 στην ακτίνα αυτή. Η υθία 1 ίναι φαπτομένη του κύκλου στο σημίο. Στο σημίο της ακτίνας φέρνουμ την υθία κάθτη στην ακτίνα αυτή. Μ Η υθία ίναι φαπτομένη του κύκλου στο σημίο. ν ίναι Μ το σημίο που τέμνονται οι φαπτόμνς, τα υθύγραμμα τμήματα Μ και Μ λέγονται φαπτόμνα τμήματα του κύκλου 11 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ
ΚΕΦΛΙ ο ΣΥΜΜΕΤΡΙ 1. Μια γραμμή γ τέμνι την υθία στα σημία, και. Να βρθί ο λόγος για τον οποίο και η συμμτρική γ της γ, ως προς την υθία, θα πρνάι από τα ίδια σημία. Η συμμτρική γραμμή γ της γ ως προς την, αποτλίται από τα γ συμμτρικά όλων των σημίων της γ. Επομένως στη γ ανήκουν και τα συμμτρικά σημία των, και. Επιδή όμως τα, και ίναι A σημία της τα συμμτρικά τους γ ίναι τα ίδια τα σημία. Άρα τα, και ανήκουν και στη γ.. Να χαραχθί η πορία των ακτίνων του φωτός, που κπέμπονται από ένα φωτινό σημίο και ανακλώνται σ έναν πίπδο καθρέφτη (ο οποίος στο σχήμα φαίνται ως μία υθία ). A ρίσκουμ το συμμτρικό του σημίου ως προς την υθία. ι ακτίνς ανακλώνται στον καθρέφτη και ακολουθούν την πορία, που θα ίχαν, αν η πηγή του φωτός ήταν το σημίο. Επιδή οι γωνίς που σχηματίζουν οι ακτίνς μ την ίναι συμμτρικές, θα ίναι και ίσς. Άρα, η γωνία μ την οποία μια ακτίνα πέφτι στον καθρέφτη ίναι ίση μ τη γωνία μ την οποία ανακλάται. A. Στο σχήμα τα σημία και ' ίναι συμμτρικά ως προς την υθία. Να βρθί μ τη βοήθια μόνο του χάρακα το συμμτρικό του ως προς την υθία. Επιδή μ το χάρακα μπορούμ να φέρουμ μόνο υθίς γραμμές, ακολουθούμ τα παρακάτω βήματα, όπως φαίνονται στα παρακάτω σχήματα: Φέρνουμ την υθία και την προκτίνουμ μέχρι να τμήσι τον άξονα στο σημίο Κ. Φέρνουμ την υθία Κ, η οποία ίναι συμμτρική της Κ, αφού νώνι δύο συμμτρικά σημία αυτής, τα Κ και. Κ Κ Κ 1 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ Κ Κ 4 5
Φέρνουμ την, που τέμνι την στο. Τέλος, φέρνουμ την, που η συμμτρική της ίναι η. ι υθίς Κ και ίναι συμμτρικές των Κ και αντίστοιχα και οι τομές τους θα ίναι συμμτρικά σημία, τα και. 4. Να συγκριθούν μταξύ τους οι γωνίς, που σχηματίζονται στα σημία και, στα οποία τέμνι μια υθία δ δύο παράλληλς υθίς 1 και αντίστοιχα. φ δ 1 ω 1 Μπορούμ να διαπιστώσουμ (μτρώντας μ το ω 4 φ μοιρογνωμόνιο) ότι οι γωνίς που σχηματίζονται φ και στα δύο σημία τομής και, ίναι δύο ιδών: ι οξίς γωνίς ω, που ίναι μταξύ τους ίσς και 1 ω 4 ι αμβλίς γωνίς φ, που ίναι κι αυτές μταξύ ω τους ίσς. φ Τα τέσσρα ζυγάρια των γωνιών, που ίναι όλς οξίς και ίσς μταξύ τους ίναι: πό τις ντός ναλλάξ : 4 = πό τις κτός ναλλάξ : = 4 πό τις ντός - κτός πί τα αυτά : = και 4 = 4. Τα τέσσρα ζυγάρια των γωνιών, που ίναι όλς αμβλίς και ίσς μταξύ τους ίναι: πό τις ντός ναλλάξ : = 1 πό τις κτός ναλλάξ : 1 = πό τις ντός - κτός πί τα αυτά : 1 = 1 και = Επιδή όμως οι γωνίς 1 και ίναι παραπληρωματικές, θα ισχύι γνικά: ω + φ = 18 ο. πότ συμπραίνουμ ότι τα υπόλοιπα ζυγάρια των γωνιών ίναι ζυγάρια παραπληρωματικών γωνιών, τα οποία και ίναι τα ξής: ι ντός πί τα αυτά : + = 18 ο και 4 + 1 = 18 ο ι κτός πί τα αυτά : 1 + 4 = 18 ο και 4 + = 18 ο ι ντός- κτός ναλλάξ : 1 + = 18 ο και + 1 = 18 ο και + 4 = 18 ο και 4 + = 18 ο 5. Στο παρακάτω σχήμα ίναι 1 // να υπολογίστ όλς τις γωνίς, που ίναι σημιωμένς, αν ίναι α = 4 ο. ι γωνίς α και γ ίναι κατακορυφήν, άρα θα ίναι: α = γ = 4 ο ι γωνίς α και γ ίναι παραπληρωματικές, άρα θα 1 ίναι: α + β = 18 ο από τη σχέση αυτή συμπραίνουμ ότι: β = 18 ο α = 18 ο 4 ο = 14 ο. ι γωνίς β και δ ίναι κατακορυφήν, άρα θα ίναι: β = δ = 14 ο λλά πιδή 1 // και η τέμνουσα των δύο παραλλήλων υθιών θα ίναι: = α, ως ντός κτός πί τα αυτά, άρα = 4 ο. ζ + α = 18 ο ως ντός πί τα αυτά, άρα ζ = 18 ο α = 18 ο 4 ο = 14 ο. η = α, ως ντός ναλλάξ, πομένως: η = 4 ο και θ = δ, ως ντός κτός πί τα αυτά, άρα: θ = 14 ο. β δ α ζ η θ 1 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ
ΚΕΦΛΙ ο ΤΡΙΩΝ ΠΡΛΛΗΛΡΜΜ ΤΡΠΕΖΙ 1. Να βρθούν τα μέτρα των γωνιών νός ισοσκλούς τριγώνου, αν ίναι γνωστό μόνο ότι το μέτρο μιας γωνίας του ίναι 4 ο. Έστω ένα ισοσκλές τρίγωνο μ =. Τότ θα ίναι =. Επιδή ίναι + + = 18 ο, διακρίνουμ τις ξής δύο πριπτώσις: (α) ν ίναι = 4 ο. Συνπώς θα ίναι 4 ο + + = 18 ο, πομένως + = 18 ο 4 ο. Επομένως θα ίναι: + = 14 ο, από την οποία προκύπτι ότι: = 14 ο, δηλαδή = 14 ο : = 7 ο άρα και = 7 ο. (β) ν ίναι = = 4 ο. Θα ίναι + 4 ο + 4 ο = 18 ο, δηλαδή + 8 ο = 18 ο, συνπώς θα έχουμ: = 18 ο 8 ο = 1 ο. Παρατηρούμ ότι μ τα ίδια ακριβώς δδομένα προκύπτουν δύο τλίως διαφορτικά ισοσκλή τρίγωνα, τα οποία όμως ικανοποιούν αυτά τα δδομένα. 4 ο 4 ο. Τοποθέτησ ένα στην θέση που αντιστοιχί στη σωστή απάντηση ΝΜΣΙ ΖΕΥΥΣ ΩΝΙΩΝ ΠΡΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΤΕΜΝΜΕΝΕΣ Π ΕΥΘΕΙ ΕΝΤΣ ΕΝΛΛΞ ΕΚΤΣ ΕΝΛΛΞ ΕΝΤΣ ΕΠΙ Τ ΥΤ ΕΚΤΣ ΕΠΙ Τ ΥΤ ΕΝΤΣ - ΕΚΤΣ ΕΝΛΛΞ ΕΝΤΣ - ΕΚΤΣ ΕΠΙ Τ ΥΤ ΙΣΕΣ ΣΕΣΗ ΠΡΠΛΗΡΩ- ΜΤΙΚΕΣ 14 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ
. Τοποθέτησ ένα στην θέση που αντιστοιχί στη σωστή απάντηση. (Υπάρχουν και πριπτώσις που πρισσότρς από μία απαντήσις ίναι σωστές). 1. Το άθροισμα των γωνιών νός τριγώνου ίναι: 7 ο 18 ο 9 ο. Σ κάθ ισοσκλές τρίγωνο η διάμσος, που αντιστοιχί στη βάση, ίναι και: Άξονας συμμτρίας Ύψος Διχοτόμος. Σ κάθ ισόπλυρο τρίγωνο όλς οι ξωτρικές του γωνίς ίναι ίσς μ: 145 ο 7 ο 1 ο 4. Σ κάθ ισοσκλές τραπέζιο ίναι ίσς οι: ι προσκίμνς σ κάθ βάση γωνίς του Όλς οι πλυρές του ι διαγώνιοι του. 5. Σ κάθ ρόμβο οι διαγώνις του ίναι: Άξονς συμμτρίας Κάθτς και διχοτομούνται Διχοτόμοι των γωνιών του. 6. Σ κάθ ορθογώνιο παραλληλόγραμμο άξονς συμμτρίας ίναι: ι διαγώνιές του ι μσοκάθτοι των πλυρών του ι πλυρές του. 15 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ
7. Σ κάθ ττράγωνο οι υθίς των διαγωνίων του ίναι: Διχοτόμοι των γωνιών του Μσοκάθτοι των πλυρών του Άξονς συμμτρίας. 8. Σ κάθ παραλληλόγραμμο ίναι: Κέντρο συμμτρίας το σημίο τομής των διαγωνίων του. ι διαγώνιές του άξονς συμμτρίας ι διαγώνιές του διχοτομούνται. 16 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ