6. 6.4 σκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 9 30 Ερωτήσεις Κατανόησης. Πότε µία γωνία λέγεται εγγεγραµµένη; πάντηση Όταν η κρυφή της είναι σηµεί τυ κύκλυ και ι πλευρές της είναι τέµνυσες τυ κύκλυ. ν φ και ω είναι αντίστιχα η εγγεγραµµένη και η επίκεντρη γωνία πυ βαίνυν στ ίδι τόξ τότε α. φ =ω, β. φ = ω, γ. ω = φ, δ. φ = 90 +ω ε. τίπτα από τα πρηγύµενα Κυκλώστε την σωστή απάντηση και αιτιλγήστε την απάντηση σας πάντηση ˆ Είναι ˆ ω φ= ˆω = ˆφ 3. Συµπληρώστε τ κενό στην επόµενη πρόταση : Η γωνία χρδής και εφαπτµένης ισύται µε την εγγεγραµµένη πυ βαίνει στ τόξ της χρδής 4. Πις είναι γεωµετρικός τόπς των σηµείων τυ επιπέδυ τα πία βλέπυν ένα γνωστό ευθύγραµµ τµήµα υπό γωνία φ < ή φ =. πάντηση Ο γεωµετρικός τόπς των σηµείων τυ επιπέδυ από τα πία φαίνεται δθέν ευθύγραµµ τµήµα υπό γωνία φ είναι δύ τόξα κύκλων χρδής χωρίς τα άκρα,, συµµετρικά ως πρς την ευθεία καθένα από τα πία δέχεται γωνία ίση µε την φ. ν φ =, τότε γεωµετρικός τόπς είναι κύκλς διαµέτρυ χωρίς τα και.
σκήσεις Εµπέδωσης. Σε καθένα από τα παρακάτω σχήµατα να βρείτε τα,. 4 3 + 3 + 4 = 360 9 = 360 = 40 = 4 = = =. 40 = 80 50 0 35 0 = 50 εγγεγραµµένες πυ βαίνυν στ ίδι τόξ A Â = 35 εγγεγραµµένες πυ βαίνυν στ ίδι τόξ Στ τρίγων έχυµε = 80 Â = 80 50 35 = 95. ν στ παρακάτω σχήµα είναι ˆ = 40, να βρείτε τ µέτρ τυ τόξυ Ε. 40 0 Ε πό εφαρµγή γνωρίζυµε ότι Ε ˆ = 40 0 40 Ε = 80 = 40 Ε Ε = 40 80 Ε = 60
3 3. ν στα παρακάτω σχήµατα ι ευθείες ε και ε είναι εφαπτόµενες, να βρεθύν τα και. λλά ε ίνεται ˆ = 40 και = Είναι = ˆ = 40 (εγγεγραµµένη υπό χρδής και εφαπτµένης) Είναι ˆ = 40 = = 80 = = = + + = 360 + 80 = 360 = 80 = 40 ε ε ίνεται ˆ= 60 και ˆ = 50 Φέρυµε τις,. Είναι ˆ = ˆ = 50 = 00 λλά + + = 360 + + 00 = 360 + = 60 () Είναι ˆ = 60 = = 0 () Λύνυµε τ σύστηµα των (), () και βρίσκυµε = 70, = 90 4. ν στ παρακάτω σχήµα είναι ˆ= 5, να βρείτε τα µέτρα των τόξων EB και. Κ Ε ίνεται ˆ= 5 και ˆK = 70 5 = Είναι ˆ= = 50 () + Είναι ˆK = 70 = + + = 40 () Λύνυµε τ σύστηµα των (), () και βρίσκυµε = 45, = 95
4 5. ν στ παρακάτω σχήµα είναι BM = M και ˆ= 70, να υπλγίσετε τις γωνίες των τριγώνων Ο και Μ. 70 0 Ο Μ Είναι Άρα Μ ˆ= = BM = M (εγγεγραµµένη) 70 = BM = M Μ Οµίως ˆ = = 35 και ˆ = 35 Στ τρ.μ έχυµε ˆΜ = 80 ˆ ˆ = 80 35 35 = 0 κόµη ˆΟ = ˆ = 70 = 40 Στ ισσκελές τρ.ο έχυµε ˆ + ˆ = 80 ˆΟ ˆ = 80 40 ˆ = 40 ˆ = 0 6. Στ παρακάτω σχήµα, πια σχέση είναι σωστή; i) z = 0 ii) + z = 0 iii) + z = 0 iv) + = z v) καµία από τις παραπάνω. Να δικαιλγήσετε την απάντησή σας z Κ Ε z = z (βαίνυν στ Ε ) = z + z = z (εξωτερική τυ τρ. ) Ελέγχυµε κάθε µία από τις απαντήσεις. Είναι σωστή η iii
5 7. Τ καλύτερ κάθισµα σε έναν κινηµατγράφ είναι τ κάθισµα A. Nα βρείτε πια άλλα καθίσµατα έχυν την ίδια πτική γωνία µε τ θεατή πυ κάθεται στ κάθισµα A. Τα ζητύµενα καθίσµατα βρίσκνται πάνω σε τόξ κύκλυ πυ έχει χρδή τη σκηνή και δέχεται γωνία ίση µε την Â. πδεικτικές σκήσεις. Να απδείξετε ότι η εφαπτµένη στ µέσ ενός από τα τόξα µε χρδή κύκλυ (Κ) είναι παράλληλη στη χρδή και αντίστρφα. Ευθύ Έστω ε η εφαπτµένη στ µέσ Μ τυ Μ=Μ ˆ = ˆ αλλά ˆ = ˆΜ άρα ˆ = ˆΜ ε ε Μ ντίστρφ Έστω ε η εφαπτµένη σε σηµεί Μ µε ε ε ˆ = ˆΜ, αλλά ˆ = ˆΜ. Άρα ˆ = ˆ Μ=Μ. Άρα Μ µέσ τυ.
6. ύ κύκλι τέµννται στα σηµεία και. ν και είναι τα αντιδιαµετρικά σηµεία τυ στυς δύ κύκλυς, να απδείξετε ότι η ευθεία διέρχεται από τ. Φέρυµε τις,, ˆ = 90 (βαίνει σε ηµικύκλι) ˆ = 90 ˆ + µίως ˆ = 80 ευθεία. 3. ύ κάθετες χρδές, κύκλυ (Κ) τέµννται στ σηµεί Ρ. Να απδείξετε ότι η διάµεσς ΡΜ τυ τριγώνυ Ρ είναι κάθετη στην. Σ Ρ Κ Μ Η ΡΜ τέµνει την σε σηµεί Σ. ρκεί να απδείξυµε ότι ˆ + ˆΡ = 90 ή ˆ + ˆΡ = 90 ΡΜ διάµεσς τυ ρθ. τριγώνυ Ρ ΡΜ = = Μ ˆΡ = ˆ, πότε αρκεί να απδείξυµε ότι ˆ + ˆ = 90. Είναι + ˆ + ˆ = + = = ˆΡ (από εφαρµγή) = 90.
7 4. Ο καπετάνις ενός ιστιπλϊκύ πλίυ Ι είδε τρεις σηµαδύρες για υφάλυς στα σηµεία,,. Με µια πυξίδα διόπτευσης µέτρησε ότι ˆ BI = 5, τ Ι τ ˆ AIB = 00, ˆ Ι = 35. Εντόπισε τα σηµεία,, στ χάρτη και πρσδιόρισε την ακριβή θέση τυ ιστιπλϊκύ. Πώς τα κατάφερε; Επειδή AIB ˆ = 00, τ ιστιπλϊκό θα ανήκει σε τόξ κύκλυ Τ µε χρδή πυ δέχεται γωνία 00. Επειδή Î = 5, τ ιστιπλϊκό θα ανήκει σε τόξ κύκλυ Τ µε χρδή πυ δέχεται γωνία 5. Τ σηµεί τµής των τόξων Τ και Τ είναι η θέση τυ ιστιπλϊκύ. Σύνθετα Θέµατα. ύ κύκλι εφάπτνται εξωτερικά (ή εσωτερικά) στ σηµεί και δύ ευθείες ε, ε πυ διέρχνται από τ τέµνυν τν ένα κύκλ στα σηµεία, και τν άλλ στα, αντίστιχα. Να απδείξτε ότι. Φέρυµε την κινή εφαπτµένη των κύκλων στ σηµεί επαφής. Είναι = ˆ ˆ = ˆ = ˆ (εγγεγραµµένη υπό χρδής εφαπτµένης) Και επειδή ι γωνίες ˆ, ˆ είναι εντός εναλλάξ, θα έχυµε.
8. ύ κύκλι εφάπτνται εσωτερικά στ. Μία χρδή τυ µεγαλύτερυ κύκλυ εφάπτεται στ µικρότερ στ σηµεί. Να απδείξτε ότι η διχτµεί τη γωνία ˆ. Ε 3 Ονµάζυµε Ε τ σηµεί τµής της µε τ µικρό κύκλ. Φέρυµε την Ε και την κινή εφαπτµένη A. Εντπίζυµε ισότητες γωνιών (εγγεγραµµένη χρδής εφαπτµένης). Â = ˆ () 3 ˆ = ˆ () ˆΕ = ˆ = ˆ + ˆ (3) ˆΕ είναι εξωτερική τυ τριγώνυ Ε, άρα ˆΕ = ˆ + ˆ ˆ + ˆ = ˆ + ˆ ˆ = ˆ ˆ = Â 3 (3) () () 3. ίνεται κύκλς (Κ), η εφαπτµένη ε σε ένα σηµεί τυ και ένα σηµεί Ρ της ε. πό τ Ρ φέρυµε µία ευθεία πυ τέµνει τν κύκλ στα και. ν η διχτόµς της γωνίας ε ˆ τέµνει τη χρδή στ, να απδείξτε ότι Ρ = Ρ. 3 Ρ ρκεί να απδείξυµε ότι τ τρίγων Ρ είναι ισσκελές, ή ότι ˆ = ˆ + ˆ ˆ είναι εξωτερική τυ τρ άρα ˆ = ˆ + 3 Â = ˆ + ˆ ρκεί, λιπόν, να απδείξυµε ότι ˆ + ˆ = ˆ + ˆ ή ˆ = ˆ, τ πί συµβαίνει, αφύ έχυµε εγγεγραµµένη χρδής εφαπτµένης.