Obsah Neur it integr l 7. kladn pojmy a vz ahy.................................. 7.. kladn neur it integr ly............................. 9.. Cvi enia..........................................3 V sledky........................................ Met dy po tania neur it ho integr lu............................. Substitu n met da................................... Cvi enia........................................ 6..3 V sledky....................................... 7..4 Met da per partes (integrovanie po astiach)................... 8..5 V sledky....................................... 3.3 Integrovanie element rnych funkci............................. 4.3. Integrovanie racion lnych funkci.......................... 4.3. Integrovanie trigonometrick ch funkci....................... 8.3.3 Integrovanie iracion lnych funkci.......................... 3.3.4 Integrovanie transcendetn ch funkci........................ 36.3.5 ver......................................... 37 Ur it integr l 39. Pojem ur it ho integr lu................................... 39.. Cvi enia........................................ 4.. V sledky....................................... 43. Met dy po tania ur it ho integr lu............................ 43.. Cvi enia........................................ 45.. V sledky....................................... 46.3 Vlastnosti ur it ho integr lu................................. 47.3. Cvi enia........................................ 5.3. V sledky....................................... 5.4 Integr ly s premennou hranicou............................... 5.4. Cvi enia........................................ 53.4. V sledky....................................... 54.5 Nevlastn integr ly...................................... 54.5. Nevlastn integr ly prv ho druhu.......................... 54.5. Nevlastn integr ly druh ho druhu......................... 57.5.3 Cvi enia........................................ 58.5.4 V sledky....................................... 59.6 Pou itie ur it ho integr lu.................................. 6 3
4 OBSAH.7 Pou itie ur it ho integr lu v geometrii........................... 6.7. Obsah rovinnej oblasti................................ 6.7. Objem telies..................................... 64.7.3 D ka krivky..................................... 66.7.4 Obsah povrchu rota nej plochy........................... 68.7.5 V po et s radn c a iska.............................. 7.7.6 Guldinove vety.................................... 7.8 Pou itie ur it ho integr lu vo fyzike............................ 74.8. Pr ca......................................... 74.8. Tlakov sila...................................... 75.9 Pribli n integrovanie funkci................................ 77 3 Oby ajn diferenci lne rovnice 83 3. kladn pojmy........................................ 83 3. Diferenci lna rovnica prv ho r du.............................. 86 3.3 ODR so separovate n mi premenn mi........................... 88 3.4 LDR prv ho r du....................................... 93 3.5 LDR vy ch r dov...................................... 96 3.6 LDR s kon tantn mi koecientami............................. 99 3.7 Syst my diferenci lnych rovn c............................... 8 3.8 Numerick met dy rie enia za iato n ch loh....................... 4 3.8. vod......................................... 4 3.8. Eulerova met da................................... 5 3.8.3 Met dy typu Runge-Kutta............................. 8 4 Diferenci lny po et funkci viac premenn ch 5 4. Funkcie dvoch a viac premenn ch.............................. 5 4.. kladn pojmy................................... 5 4.. Limita funkcie dvoch a viac premenn ch...................... 8 4. Parci lne deriv cie a diferencovate nos.......................... 3 4.. Parci lne deriv cie.................................. 3 4.. Lineariz cia, dotykov rovina a diferenci l..................... 34 4..3 Vy ie deriv cie a re azov pravidl........................ 36 4..4 Gradient a deriv cia v smere............................ 38 4.3 Extr my funkci viac premenn ch.............................. 4 4.3. Lok lne extr my................................... 4 4.3. Viazan extr my................................... 43 4.3.3 Glob lne extr my................................... 46 4.4 Rozli n lohy........................................ 48 4.5 V sledky........................................... 53 5 Diferenci lna geometria 63 5. vod.............................................. 63 5. Pojem krivky......................................... 63 5.. Vektorov funkcia.................................. 63 5.. Vektorov rovnica krivky.............................. 64 5..3 Parametrick, explicitn a implicitn rovnice krivky............... 65 5..4 Regul rna krivka................................... 66
OBSAH 5 5..5 Transform cia parametra krivky.......................... 66 5..6 Orient cia krivky................................... 67 5..7 D ka krivky, prirodzen parametriz cia krivky.................. 67 5.3 Sprievodn trojhran..................................... 69 5.3. Doty nica krivky................................... 69 5.3. Oskula n rovina krivky............................... 7 5.3.3 Hlavn norm la a binorm la krivky........................ 7 5.3.4 Norm lov a rektika n rovina krivky...................... 7 5.3.5 Sprievodn trojhran v prirodzenej parametriz cii................. 73 5.4 Charakteristiky krivky.................................... 75 5.4. Krivos krivky.................................... 75 5.4. Kru nica krivosti krivky, evol ta, evolventa.................... 76 5.4.3 Torzia krivky..................................... 76 5.4.4 Frenetove-Serretove vzorce.............................. 77 5.4.5 Prirodzen rovnice krivky.............................. 78 5.5 Rovinn krivky........................................ 79 5.5. Rovnice rovinnej krivky............................... 79 5.5. D ka rovinnej krivky................................ 8 5.5.3 Doty nica a norm la rovinnej krivky........................ 8 5.5.4 Krivos rovinnej krivky............................... 83 5.5.5 Kru nica krivosti rovinnej krivky.......................... 84 5.5.6 Evol ta, evolventa.................................. 85 5.5.7 Prirodzen rovnice rovinnej krivky......................... 85
6 OBSAH
Kapitola Neur it integr l. kladn pojmy a vz ahy Funkcia F je primit vnou funkciou k funkcii f v intervale (a; b) pr ve vtedy, ak pre ka d x (a; b) plat : F (x) = f(x): den cie vid me, e pojem primit vnej funkcie je opa n k pojmu deriv cie. Tento fakt vyu vame pri h adan primit vnych funkci k z kladn m funkci m. Pr klad. N jdeme primit vnu funkciu k funkcii a ) y = x v intervale ( ; ), b ) y = x v intervale ( ; ), c ) y = x n, n N v intervale ( ; ), d ) y = x e ) y = x v intervale (; ), v intervale ( ; ). Rie enie: a ) H ad me funkciu F, ktorej deriv cia je pre ka d x ( ; ) rovn x. Vieme, e pri deriv cii mocninnej funkcie je v sledkom mocninn funkcia s exponentom zn en m o a n soben p vodn m exponentom: (x a ) = ax a, pre a 6=. tohoto faktu dostaneme, e primit vnou funkciou k funkcii y = x v intervale ( ; ) bude nejak n sobok funkcie y = x a po kr tkom experimentovan ur me, e je to funkcia y = x. b ) Ke e v etky vahy v rie en predch dzaj ceho pr kladu ost vaj v platnosti aj pre interval ( ; ), rie en m je t ist funkcia. c ) Po vah ch analogick ch ako v predch dzaj cich astiach dost vame, e primit vnou funkciou je funckia y = xn+. M eme pravi sk ku spr vnosti: n+ x n+! = (n + ) xn n + n + = xn ; pre v etky x ( ; ). 7
8 KAPITOLA. NEUR IT INTEGR L d ) Sna me sa n js funkciu, ktorej deriv ciou je funkcia y = x. preh adu deriv ci z kladn ch funkci vypl va, e takouto funkciou je funkcia y = ln jxj, pri om v intervale (; ), ktor n s zauj ma t to funkciu m eme jednoduch ie zap sa ako y = ln x. Skuto ne: pre ka d x (; ) (ln x) = x ; e ) Podobn mi argumentami ako v predch dzaj cej asti dost vame, e primit vnou funkciou k funkcii y = x v intervale ( ; ) je funkcia y = ln jxj = ln( x). Pozn mka. V predch dzaj com pr klade sme na li ku ka dej danej funkcii v danom intervale jedin primit vnu funkciu. V skuto nosti m ka d z t chto funkci nekone ne ve a primit vnych funkci. Plat : Ak F je primit vna funkcia k funkcii f v intervale (a; b), tak aj F + c, kde c je ubovo n re lne slo, je primit vna funkcia k funkcii f v intervale (a; b). Uveden skuto nos vypl va z faktu, e deriv ciou kon tanty je nula, a teda (F (x) + c) D le it je, e plat aj opa n tvrdenie: = F (x). Ak F a G s primit vne funkcie k funkcii f v intervale (a; b), tak existuje re lne slo c tak, e F (x) = G(x) + c pre v etky x (a; b). uveden ho vypl va, e mno ina v etk ch primit vnych funkci k danej funkcii f v danom intervale (a; b) je nekone n mno ina, v ktorej ka d dvojica funkci sa v danom intervale l i len o kon tantu. T to mno inu funkci vol me neur it integr l funkcie f v intervale (a; b) a ozna ujeme R f(x) dx. V tomto ozna en je teda napr klad x dx = x3 3 + c; c R: Pozn mka. V predch dzaj com pr klade je vidie, e t ist funkcia m asto v r znych intervaloch ten ist neur it integr l. V takomto pr pade bude neur it integr l plati v ka dom intervale, v ktorom s pr slu n funkcie denovan, napr. dx = ln jxj + c; c R: x v ka dom intervale, kde s funkcie ln jxj a x denovan, t.j. v ka dom intervale neobsahuj com. V tak chto pr padoch asto vynech me interval, v ktorom sme pracovali. Na ot zku, ktor funkcie maj primit vne funkcie (a teda neur it integr l) d va iasto n odpove nasleduj ce tvrdenie: Ka d spojit funkcia v intervale (a; b) m v tomto intervale primit vnu funkciu. Nie v dy v ak vieme t to primit vnu funkciu vyjadri analytick m v razom. Priamo z den cie neur it ho integr lu a pr slu n ch vlastnost pre deriv cie vypl vaj jednoduch pravidl : Ak k funkcii f existuje primit vna funkcia v intervale (a; b), tak pre v etky x (a; b) plat
.. KLADN POJMY A V AHY 9 f(x) dx = f(x) (.) Ak f existuje v intervale (a; b), tak f (x) dx = f(x) + c (.) Ak maj funkcie f aj g v intervale (a; b) primit vne funkcie, tak v tomto intervale plat kde c je ubovo n re lne slo. (f(x) g(x)) dx = (cf(x)) dx = c f(x) dx f(x) dx; f(x) dx; Obidva tieto vz ahy mo no vyjadri v jednom v eobecnom (cf(x) + dg(x)) dx = c f(x) dx + d f(x) dx; (.3) kde c a d s ubovo n re lne sla. Pr klad. Uk eme platnos posledn ho v ahu Rie enie: Ozna me F a G niektor primit vne funkcie k funkci m f a g v intervale (a; b). Potom pre v etky x (a; b) plat c f(x) dx + d f(x) dx = c (F (x) + c ) + d (G(x) + d ) = cf (x) + dg(x) + e; kde e = c:c + d:d je ubovo n re lne slo. Na druhej strane tie (cf (x) + dg(x)) = cf (x) + dg (x) = cf(x) + dg(x): Preto R (cf(x) + dg(x)) dx = cf (x)+dg(x)+e, kde e je ubovo n re lne slo, tak e obidva integr ly sa rovnaj... kladn neur it integr ly Nasleduje zoznam neur it ch integr lov, niektor ch d le it ch funkci. Platnos v iny nasledovn ch vz ahov vypl va z analogick ch vz ahov pre deriv cie. Nasleduj ce vz ahy platia v ka dom intervale, v ktorom s funkcie denovan.. R x a dx = xa+ a+ R. x dx = ln jxj + c. 3. R e x dx = e x + c. + c, ak a R n f g. R 4. a x dx = ax ln a + c, ak a (; ) [ (; ). 5. R sin x dx = cos x + c, R cos x dx = sin x + c. R R 6. cos x dx = tg x + c, dx = cotg x + c. sin x
KAPITOLA. NEUR IT INTEGR L 7. R +x dx = ( arctg x + c arccotg x + c: R dx 8. = +x ln j x x j + c. R ( dx 9. p = x arcsin x + c arccos x + c:. R dx p x +a = ln jx + p x + aj + c.. R sinh x dx = cosh x + c, R cosh x dx = sinh x + c. R dx R. cosh x = tgh x + c, dx = cotgh x + c. sinh x 3. R f (x) f(x) dx = ln jf(x)j + c. Pr klad 3. Vypo tame integr ly a) R (6x 5 x 3 + x + 3) dx b) R 3x +4x+ 5x dx c) R (3 sin x cosh x) dx d) R tg x dx e) R cotg x dx f) R ( x 3 x ) dx g) R dx p 5x h) R dx 4+4x i) R 5 p 3 3x dx Rie enie: V rie en budeme pou va z kladn vzorce pre neur it integr ly a pravidlo (.3). itate ovi odpor ame v ka dom kroku ur i pr slu n vzorec, resp. pravidlo. a) (6x 5 x 3 + x + 3) dx = 6 x 5 dx x 3 dx + x dx + 3 x dx = b) = 6 x6 6 x4 4 + x3 3 + 3x = x6 x4 + 3 x3 + 3x + c: 3x + 4x + dx = 3 5x 5 x dx + 4 5 x dx + 5 x dx = = 3 x + 4 5 x + ln jxj + c: 5 c) (3 sin x cosh x) dx = 3 cos x sinh x + c: d) e) sin tg x x dx = = cotg x dx = Namiesto R f (x) dx p eme tie R dx f (x) cos x dx = cos x cos x dx = cos x dx = tg x x + c: cos x (sin x) sin x dx = dx = ln j sin xj + c: sin x
.. KLADN POJMY A V AHY f) g) ( x 3 x ) dx = dx p 5x = p 5 x dx 3 3 x dx = x ln + 3 ln 3 x + c: dx p x = p 5 ln jx + p x j + c: 3 h) i) dx 4 + 4x = 4 5 p 3 3x dx = 5 p 3 dx + x = arctg x + c: 4 dx p x = 5 p 3 arcsin x + c:.. Cvi enia Pomocou algebraick ch prav, pou it m pravidla (.3) a z kladn ch vzorcov vypo tajte integr ly.. R (3x + x ) dx.. R x p x 5 x dx. 3. R x (x + ) dx. 4. R (x 3 + ) dx. 5. R x 3 +3x x dx. 6. R x 3x+4 p x dx. 7. R (x ) p 3 x dx. 8. R ( p x+) 3 x dx. 9. R (cos x + 5p x 3 ) dx.. R sin x +. R q x + x dx.. R x + x + x + 3. R x 3(+x ) dx. 4. R cotg x dx. 5. R ( p x + )(x p x + ) dx. 6. R dx x +7. 7. R 4 3x dx. 8. R x (x+) dx. 3 p 4 4x dx. dx...3 V sledky. x 3 + x x + c.. 4 p x + 5 x + c. 3. x5 5 + x3 x7 + c. 4. 3 7 + x4 + x + c. 5. x3 3 + 3x ln jxj + c. 6. 5 xp x x p x + 8 p x + c. 7. 7 x3p x 6 5 xp x + x p x p x + c. 8. 3 xp x + 6x + 4 p x + 8 ln jxj + c. 9. sin x + 5 4 x 5p x 3 + c.. cos x + 3 arcsin x + c.
KAPITOLA. NEUR IT INTEGR L. x ln + p x + c.. x + arctg x x ln + c. 3. (x arctg x) + c. 4. x cotg x + c. 3 5. 5 xp x + x + c. 6. p 7 arctg x p 7 + c. 7. 3 ln 4 4 3x + c. 8. ln jx + j + x+ + c.. Met dy po tania neur it ho integr lu S dve v eobecn met dy po tania neur it ch integr lov: substitu n met da a met da integrovania per partes... Substitu n met da T to met da je odvoden od vz ahu pre deriv ciu zlo enej funkcie a jej princ p je v nasleduj com tvrden : Nech F je primit vna funkcia k funkcii f v intervale I, nech funkcia ' m deriv ciu v intervale (a; b) a nech pre ka d x (a; b) je '(x) I. Potom f('(x)) ' (x) dx = F ('(x)) + c; v intervale (a; b): (.4) asto sa vyskytuj cim peci lnym pr padom tejto met dy je situ cia ke funkcia '(x) = ax + b je line rna. Vtedy ' existuje pre v etky x R a za predpokladov tvrdenia plat f(ax + b) dx = F (ax + b) + c: (.5) a Pr klad 4. Uk eme platnos vz ahu.5. Rie enie: Uprav me integr l na avej strane a pou ijeme vz ah.4: ( ) f(ax + b) dx = '(x) = ax + b f(ax + b) a dx = a ' = F (ax + b) + c: (x) = a a In rie enie: derivujme prav stranu vz ahu.5. a F (ax + b) + c = a F (ax + b) = f(ax + b):a = f(ax + b): a Pr klad 5. Vypo tame neur it integr ly a) R dx 3x+7, b) R (5 7x) dx, c) R cos x dx. Rie enie: Budeme pou va vz ah.5. a) V tomto pr klade je ax +b = 3x + 7 a funkcia f je denovan vz ahom f(t) = t. Primit vna funkcia k f je funkcia F (t) = ln jtj v ka dom intervale neobsahuj com. Preto plat dx 3x + 7 = ln j3x + 7j + c; 3
.. MET DY PO TANIA NEUR IT HO INTEGR LU 3 v ka dom intervale neobsahuj com slo 7 3. b) Teraz je ax + b = 7x + 5 a f(t) = t. Preto (5 7x) dx = 7 (5 7x) (5 7x) + c = + c 54 pre x R. c) Podobne ako v predch dzaj cich astiach dost vame cos x dx = sin x + c = sin x cos x + c; x R: Niekedy je potrebn integrovan funkciu pred pou it m substitu nej met dy upravi algebraick mi alebo in mi pravami. Pr klad 6. Vypo tame neur it integr ly a) R dx 4+x b) R dx p 9 x Rie enie: a) Integrovan funkciu uprav me c) R cos x dx. 4 + x = 4 + ( x ) a integrujeme (pre '(x) = x a f(t) = +t ) dx 4 + x = 4 dx + ( x = arctg x ) 4 + c = arctg x + c: b) Integrovan funkciu uprav me p = 9 x 3 q ( x 3 ) a integrujeme (pre '(x) = 3 x a f(t) = p t ) dx p = 9 x 3 dx q ( x 3 ) = arcsin x 3 + c; pre x ( 3; 3). c) K prave pou ijeme trigonometrick vz ah cos +cos x x =. + cos x cos x dx = dx = dx + cos x dx = = (x + sin x) + c = (x + sin x cos x) + c: Vo v eobecnosti je praktick postup pri pou van substitu nej met dy nasleduj ci:. V integrovanej funkcii h ad me tak funkciu ', ktor sa tam vyskytuje spolu so svojou deriv ciou, alebo jej seln m n sobkom.
4 KAPITOLA. NEUR IT INTEGR L. avedieme nov premenn t, pre ktor je t = '(x). 3. Uprav me dan inegr l na tvar R f(t) dt kde dt = ' (x) dx a po tame R f(t) dt = F (t) + c. 4. Vo v sledku nahrad me t = '(x): F ('(x)) + c. Niekedy, ak je funkcia ' monot nna, tret bod tohoto postupu je v hodn realizova tak, e si vyjadr me inverzn funkciu x = ' (t) a (alebo) dx = ' (t) dt a dosad me do p vodn ho integr lu (pozri napr klad integrovanie iracion lnych funkci ). Pr klad 7. Vypo tame neur it integr ly c) R 3x p x + 6 dx R R a) R cos 4 dx x sin x dx b) x ln x d) 5p R R arccotg x +x dx e) xe 7 x sinh dx p x f) g) R tg x cos x dx h) R 3 x p 9 x dx p x dx i) R sin x sin x+3 dx. Rie enie: a) V integrovanej funkcii sa vyskytuje funkcia '(x) = cos x a z rove n sobok jej deriv cie ' (x) = sin x. (Pre o neuva ujeme '(x) = sin x a ' (x) = cos x?). Dan integr l vypo tame preto nasledovne cos 4 x sin x dx = = ( t = cos x dt = sin x dx ) = t 4 dt = t5 5 + c = cos5 x 5 + c: t 4 ( dt) = b) V integrovanej funkcii sa vyskytuje funkcia '(x) = ln x a z rove jej deriv cia ' (x) = x. Preto dx x ln x = ( t = ln x dt = dx x ) = dt t x (; ) alebo x (; ): = ln jtj + c = ln j ln xj + c; c) d) e) 3x p x + 6 dx = = = 3 xe 7 x dx = ( t = x + 6 dt = x dx t 3 t 3 dt = 3 p 5 arccotg x dx + x = ( ) = 3 px + 6 x dx = 3 pt dt = + c = (x + 6) 3 + c = q(x + 6) 3 + c: 5p arccotg x t = arccotg x = dt = dx +x ) dx +x = dt 5p t ( dt) = t 5 dt = t 6 5 e 7 x (x dx) = ( 6 5 dx + x = ) = + c = 5 5p arccotg 6 x 6 + c: t = 7 x dt = x dx ) x dx = dt ) =
.. MET DY PO TANIA NEUR IT HO INTEGR LU 5 = e t dt = e t dt = et + c = e7 x + c: f) p sinh x p dx = x = ( sinh p xp dx = x t = p x dt = p x dx ) p x dx = dt sinh t( dt) = cosh t + c = cosh p x + c: ) = g) tg x cos x dx = ( tg x dx cos x = ) t = tg x dt = cos x dx = t dt = h) = = 3 x p 9 x dx = ( t 3 3 + c = tg3 x + c: 3 p (3 x ) (3x dx) = t = 3 x dt = 3 x ln 3 dx ) 3 x dx = dt ln 3 dt p t ln 3 = arcsin t arcsin 3x + c = + c: ln 3 ln 3 ) = i) V rie en tohoto pr kladu vyu ijeme trigonometrick identitu sin x = sin x cos x. sin x sin x + 3 dx = sin ( sin x cos x dx) = x + 3 = ( t = sin x + 3 dt = sin x cos x dx ) = = t dt = ln jtj + c = ln(sin x + 3) + c: Pozn mka 3. Pou enie z predch dzaj ceho pr kladu m eme vo ne formulova nasledovne Ak R f(x) dx = F (x) + c, tak v pr slu n ch intervaloch plat R xf(x ) dx = F (x ) + c; R f(arctg x) +x dx = F (arctg x) + c; R f(ln x) R f(sin x) cos x dx = F (sin x) + c; R f(tg x) cos x al ie podobn vz ahy si itate m e odvodi s m. x dx = F (ln x) + c; R p f( p x) x dx = F ( p x) + c; dx = F (tg x) + c:
6 KAPITOLA. NEUR IT INTEGR L.. Cvi enia Pou it m algebraickej pravy (ak je potrebn ) a substit cie line rnej funkcie vypo tajte integr ly. 9. R sin 3x dx.. R dx 5 3x.. R e 3 x dx.. R 3 p 3x dx. 3. R (4 7x) dx. 4. R dx cos 5x. 5. R dx p 9 x. 6. R dx x +6. Pou it m nazna enej substit cie vypo tajte integr ly. 7. R x dx p x 4 ; t = x 4. 8. R cos x +sin x dx; t = sin x. 9. R p cos3 x sin x dx; t = cos x. 3. R xe x dx; t = x. 3. R dx x ln x ; t = ln x. 3. R x p x 3 + dx; t = x 3 +. 33. R dx p x(x+4) ; t = 34. R x dx +x 4 ; t = x. 35. R dx e x ; t = e x. p x. 36. R e xp arctg e x +e x dx; t = arctg e x. 37. R dx x p x ; t = x. 38. R x dx p x+ ; t = p x +. Pou it m substitu nej met dy vypo tajte integr ly. 39. R p 4x dx. 4. R 6 dx 5 3x. 4. R 4x 4+x dx. 4. R 4 dx (x+3) 8. 43. R x(x + 7) 4 dx. 44. R x dx p 3 x. 45. R x +x 6 dx. 46. R x 5p 4 x dx. 47. R sin 6 x cos x dx. 48. R sin x p +cos x dx. 49. R dx x +x+. 5. R dx p 4x 4x. 5. R e x x dx. 5. R (x + )e x +4x 5 dx. 53. R ln 4 x x dx. 54. R cos(ln x) x dx.
.. MET DY PO TANIA NEUR IT HO INTEGR LU 7 55. R e cos x sin x dx. 56. R cotg p x p x dx. 57. R 3 p tg x cos x dx. 58. R dx sin x p cotg x. 59. R x p 4 x dx. 6. R e x 4+e x dx. 6. R dx (+x ) arctg x. 6. R 3 dx x p ln. x..3 V sledky 9. 3 cos 3x + c.. ln j3x 5j + c. 3. e3 x + c.. (3x 4 ) 3p 3x + c. 3. (4 7x) + c. 4. tg 5x + c. 84 5 5. arcsin x 3 + c. 6. 4 arctg x 4 + c. 7. p x 4 + c. 8. ln j + sin xj + c. 9. 5p cos5 x + c. 3. ex + c. 3. ln j ln xj + c. 3. 9p (x 3 + ) 3 + c. 33. arctg p x + c. 34. arctg x + c. 35. ln je x j + c. 36. 3p arctg3 e x + c. 37. arccos x + c. 38. 3p (x + )3 p x +. Vo v sledkoch nasleduj cich cvi en je e te pred v sledkom uveden substit cia, ktorou je mo n integr l rie i. 39. t = 4x ; I = 6p (4x ) 3 + c. 4. t = 5 3x; I = ln j5 3xj + c. 4. t = 4 + x ; I = ln j4 + x j + c. 4. t = x + 3; I = (x+3) 7 + c. 43. t = x + 7; I = (x + 7) 5 + c. 44. t = 3 x ; I = p 3 x + c. 45. t = + x 6 ; I = 3 arctg x3 + c. 46. t = 4 x ; I = 5p 5 (4 x ) 6 + c. 47. t = sin x; I = 7 sin7 x + c. 48. t = + cos x; I = p + cos x + c. 49. t = x + ; I = arctg(x + ) + c. 5. t = x ; I = arcsin(x ) + c. 5. t = x ; I = e x + c. 5. t = e x +4x 5 ; I = ex +4x 5 + c.
8 KAPITOLA. NEUR IT INTEGR L 53. t = ln x; I = 5 ln5 x + c. 54. t = sin(ln x); I = sin(ln x) + c. 55. t = e cos x ; I = e cos x + c. 56. t = sin p x; I = ln j sin p xj + c. 57. t = tg x; I = 3p 3 tg5 x + c. 5 58. t = cotg x; I = p cotg x + c. 59. t = x arcsin x ; I = + c. ln 6. t = 4 + e x ; I = e x 4 ln j4 + e x j + c. 6. t = arctg x; I = ln(arctg x) + c. 6. t = ln x; I = 3 arcsin(ln x) + c...4 Met da per partes (integrovanie po astiach) T to met da je odvoden zo vz ahu pre deriv ciu s inu funkci a spo va v nasledovnom: Nech funkcie u a v maj deriv cie v intervale (a; b). Potom v intervale (a; b). u (x)v(x) dx = u(x)v(x) u(x)v (x) dx (.6) Ako je vidie, met da sa pou va na integrovanie s inu funkci. Jednu z nich zvol me za u, druh za v a v po et dan ho integr lu prevedieme na v po et in ho integr lu. Pritom za funkciu u(x) vol me ubovo n ( o najjednoduch iu) primit vnu funkciu k funkcii u (x). Pr klad 8. Vypo tame integr ly a) R xe x dx b) R x 3 ln x dx c) R 3x cos 5x dx. Rie enie: a) Ide o integr l s inu funkci y = x a y = e x. M me dve mo nosti ako po i met du: u = x v = e x u = e x v = x alebo u = x v = e x u = e x v = R x Po dosaden do.6 dostaneme v prvej mo nosti integr l R ex dx, ktor je e te zlo itej ako p vodn, pou it m druhej mo nosti dostaneme jednoduch integr l e x dx. ( ) xe x u = e x v = x dx = u = e x v = xe x e x : dx = = b) nova m me dve mo nosti vo by: = xe x e x + c = (x )e x + c: u = x 3 v = ln x u = ln x v = x 3 alebo u = x4 v = x u =? v = 6x
.. MET DY PO TANIA NEUR IT HO INTEGR LU 9 R Pri druhej mo nosti je v tejto chv li obtia ne vypo ta aj funkciu u = ln x dx (pre rie enie pozri pozn mku na konci tejto asti a tie Cvi enia), preto zvol me prv mo nos : ( ) u = x 3 v = ln x x 3 ln x dx = = x4 ln x u = x4 v = x x 3 dx = x4 = x4 x 4 ln x x dx = ln x x4 8 + c: c) dvoch mo nost zvol me nasledovn (odpor ame itate ovi sk si druh mo nos a porovna ): ( ) u = cos 5x v = 3x 3x cos 5x dx = sin 5x u = v = 35 = 3 x sin 5x sin 5x 3 dx = 5 5 = 3 5 x sin 5x 3 5 sin 5x dx = 3 3 x sin 5x + cos 5x + c: 5 5 Ako voli funkcie u a v v met de per partes, ak chceme by spe n?. Nemal by by probl m vypo ta funkcie u(x) = R u (x) dx a v (x).. Integr l R u(x)v (x) dx by mal by ah ako p vodn integr l. V al om pr klade odpor ame itate ovi preveri spr vnos vo by funkci u a v. Pr klad 9. Vypo tame neur it integr ly a) R x arctg x dx b) R 5x cosh x dx c) R arcsin x dx d) R (x + 3p x) ln x dx e) R (x + x ) sin 3x dxf) R x 3 4 x dx g) R e x sin x dx h) R cos x sin 3x dx i) R sin(ln x) dx. b) Rie enie: a) ( u = x v = arctg x x arctg x dx = u = x v = +x ) = x arctg x + x dx + x = x arctg x = x arctg x (x arctg x) + c = = x arctg x dx (x + ) arctg x x ( 5x cosh x u dx = cosh x = v = 5x u = sinh x v = = 5 = x sinh x sinh x dx = x sinh x cosh x + c: ) x + x dx = dx + x = + c: c) V tomto pr klade nejde o integr l s inu, av ak integrovan funkciu m eme v hodne zap sa v tvare s inu arcsin x = arcsin x! Pri po tan obdr an ho integr lu pou ijeme substitu n met du. Odpor ame itate ovi premyslie si detaily. ( u = v = arcsin x arcsin x dx = u = x v = p x ) =
KAPITOLA. NEUR IT INTEGR L d) = x arcsin x = x arcsin x + (x + 3p x) ln x dx = = x + 3x 4 3 x p dx (t= x ) = x arcsin x + dt p = x t p x + c; x ( ; ): 4! ( u = x + 3 p x v = ln x u = x + 3x 4 3 v = 4 x! x dx = ln x x + 3x 4 3 4! ln x = x + 3x 4 3 x dx 3 x 3 = 4 4 = x + 3 3p! x 4 ln x x 3 4 p 3 x 4 + c = 4 = x ln x + 3 ln x 3 3p x 4 + c: 4 4 e) V tomto pr klade budeme musie pou i met du per partes opakovane dvakr t. ( ) u = sin 3x v = x (x + x ) sin 3x dx + x = u = 3 cos 3x v = = x + = 3 (x + x ) cos 3x + (x + ) cos 3x dx = 3 ( ) u = cos 3x v = x + = u = 3 sin 3x v = = = 3 (x + x ) cos 3x + 3 3 (x + ) sin 3x sin 3x dx = 3 = 3 (x + x ) cos 3x + 3 3 (x + ) sin 3x + 3! = x 3 x 3 + cos 3x + (x + ) sin 3x + c: 7 9 ) = cos 3x! + c = f) V tomto pr klade mus me pou i met du opakovane trikr t. Vo bu u a v vyzna me len prv kr t a nech me na itate a doplnenie al ch. technick ho h adiska je v hodn prep sa funkciu 4 x = 4 x = x. x 3 4 x dx = = x3 ln x 3 x dx = 8 < : u = x v = x 3 u = ln = x3 x + 3 ln ln x + 3 x x + ln ln ln x x dx = x v = 3x 9 = ; = x x dx! =
.. MET DY PO TANIA NEUR IT HO INTEGR LU = x3 ln x + 3 @ x ln ln x x 3 = ln + x + ln 3x (ln ) + @ x x ln (ln ) 6x (ln ) 3 + 6 (ln ) 4! + c: x A A + c = g) V tomto pr klade pou ijeme met du dvakr t, o n m umo n vyjadri h adan integr l pomocou neho sam ho. obdr anej rovnice ho potom vypo tame. Poznamenajme e te, e v tomto pr klade obidve vo by funkci u a v ved k rie eniu. = ( ) e x u = sin x v = e x sin x dx = u = cos x v = e x = e x cos x ( ) u = cos x v = e x u = sin x v = e x = e x cos x e x sin x + = e x (cos x + sin x) e x sin x dx: e x cos x = e x sin x dx = Ak ozna me h adan integr l symbolom I = R e x sin x dx, tak sme dostali rovnicu I = e x (cos x + sin x) I, z ktorej vypo tame I = e x (cos x + sin x) + c: h) Rie enie tohoto pr kladu je podobn predch dzaj cemu. ( ) u = cos x v = sin 3x cos x sin 3x dx = u = sin x v = = 3 cos 3x ( u = sin x v = cos 3x = sin x sin 3x 3 sin x cos 3x dx = u = cos x v = 3 sin 3x = sin x sin 3x 3( cos x cos 3x 3 cos x sin 3x dx): ) = Po prave, pri ozna en I = R cos x sin 3x dx, dost vame rovnicu I = sin x sin 3x + 3 cos x cos 3x + 9I, ktorej rie en m je I = (sin x sin 3x + 3 cos x cos 3x) + c: 8 i) ( ) u = v = sin(ln x) sin(ln x) dx = u = x v = cos(ln x) x = ( u = v = cos(ln x) = x sin(ln x) cos(ln x) dx = u = x v = sin(ln x) x = x sin(ln x) x cos(ln x) + sin(ln x) dx : ) = Po prave, pri ozna en I = R sin(ln x) dx, dost vame rie enie I = x (sin(ln x) cos(ln x)) + c:
KAPITOLA. NEUR IT INTEGR L Pozn mka 4. Ako sme videli v astiach c) a i), met du m eme pou i aj vtedy, ak integrovan funkcia nie je s inom dvoch funkci. Vtedy za druh inite pova ujeme kon tantu. Podobne sa rie ia integr ly ln x dx; arctg x dx; arctg x dx; arccos x dx: V astiach g), h) a i) sme videli, e niekedy po pou it met dy nedostaneme jednoduch integr l, ale podobn p vodn mu. Po opakovanom pou it met dy vyjadr me p vodn integr l pomocou neho sam ho a z obdr anej rovnice ho vypo tame. ver: Met du integrovania per partes pou vame pri integ loch typu R P (x)f(x) dx, kde P (x) je mnoho len (m e by aj P (x) =!), pr padne racion lna funkcia a f je trigonometrick alebo transcendentn funkcia (exponenci lne, logaritmick, cyklometrick alebo hyperbolick ). Pritom vol me:. u = f a v = P, ak f je trigonometrick, exponenci lna alebo hyperbolick funkcia a postup opakujeme n- kr t, kde n je stupe polyn mu P.. u = P a v = f, ak f je cyklometrick alebo logaritmick funkcia. Dostaneme tak integr l z racion lnej alebo iracion lnej funkcie. Pre ich v po et pozri nasleduj cu as. Cvi enia Pou ite nazna enie met dy per partes na v po et integr lov. 63. R ln x dx; u = ; v = ln x. 64. R ln x dx x ; u = x ; v = ln x. 65. R x cos x dx; u = cos x; v = x. 66. R xe x dx; u = e x ; v = x. 67. R arccotg x dx; u = ; v = arccotg x. 68. R x sin x dx; u = sin x ; v = x. 69. R x cos x sin 3 x dx; u = cos x sin 3 x ; v = x. 7. R x sinh x dx; u = sinh x; v = x. 7. R p x dx; u = ; v = p x. 7. R x tg x dx; u = tg x; v = x. Pou it m met dy per partes vypo tajte integr ly. 73. R x ln x dx. 74. R x sin 3x dx. 75. R 5xe 4x dx. 76. R x arctg x dx. 77. R arccos x dx. 78. R x cosh x dx. 79. R (x + ) cos( 3 5x) dx. 8. R x dx 5 x. 8. R ln px x dx. 8. R 4x 3 ln(x 5 ) dx.
.. MET DY PO TANIA NEUR IT HO INTEGR LU 3 Opakovan m pou it m met dy per partes vypo tajte integr ly. 83. R x sin x dx. 84. R e x cos x dx. 85. R (x + 5) cos x dx. 86. R x sinh x dx. 87. R (x x + 5)e x dx. 88. R x ln x dx. 89. R ln x dx. 9. R e x sin x dx. 9. R sin(ln x) dx. 9. R x e 3x dx. 93. R (x + 5x + 6) cos x dx. 94. R x 3 cos x dx...5 V sledky 63. x ln x x + c. 64. ln x x x + c. 65. x sin x + cos x + c. 66. xe x 4 e x + c. 67. x arccotg x + ln( + x ) + c. 68. x cotg x + ln j sin xj + c. 69. x sin x cotg x + c. 7. x cosh x sinh x + c. 7. (xp x + arcsin x) + c. 7. x tg x + ln j cos xj x + c. Vo v sledkoch nasleduj cich cvi en je e te pred v sledkom uveden vo ba funkcie u v met de per partes, ktorou je mo n integr l rie i. Funkciu v si itate dopln. 73. u = x; I = x ln x 4 x + c. 74. u = sin 3x; I = x 3 cos 3x + sin 3x + c. 9 75. u = e 4x ; I = 5 4 xe 4x 5 6 e 4x + c. 76. u = x; I = x arctg x x + arctg x + c. 77. u = ; I = x arccos x p x + c. 78. u = cosh x; I = x sinh x cosh x + c. 79. u = cos( 3 8. u = 5 x ; I = x5 x ln 5 8. u = x+ 5x); I = sin( 5 3 5x) + 5 cos( 5x) + c. 3 5 x ln 5 + c. p x ; I = p x ln x 4 p x + c. 8. u = 4x 3 ; I = 5x 4 ln x 5 4 x4 + c. 83. u = sin x; I = x cos x + x sin x + cos x + c. 84. u je jedno, I = ex (cos x + sin x) + c. 5 85. u = cos x; I = (x + 3) sin x + x cos x + c. 86. u = sinh x; I = (x + ) cosh x x sinh x + c. 87. u = e x ; I = e x (x + 5) + c. 88. u = x; I = x (ln x ln x) + 4 x + c. 89. u = ; I = x ln x x ln x + x + c.
4 KAPITOLA. NEUR IT INTEGR L 9. u je jedno, I = 8 7 e x (sin x + 4 cos x ) + c. 9. u = ; I = x (sin(ln x) cos(ln x)) + c. 9. u = e 3x ; I = e3x 7 (9x 6x + ) + c. 93. u = cos x; I = x +x+ sin x + x+5 cos x + c. 4 4 94. u = cos x; I = (x 3 6x) sin x + (3x 6) cos x + c..3 Integrovanie element rnych funkci.3. Integrovanie racion lnych funkci opakujme, e racion lnou funkciou rozumieme podiel dvoch mnoho lenov. Integrovanie mnoho lenov Postup pri integrovan mnoho lenu vypl va zo vz ahu (.3) a integr lu mocninnej funkcie. Pr klad. Vypo tame R (5x 7 x 3 + 3x 9) dx. Rie enie: = 5 x 7 dx (5x 7 x 3 + 3x 9) dx = x 3 dx + 3 x dx 9 dx = = 5 8 x8 3x 4 + x 3 9x + c: Integrovanie r dzo racion lnych funkci Ka d r dzo racion lnu funkciu m eme vyjadri v tvare s tu element rnych zlomkov ([H], as 6.4.). Preto k integrovaniu r dzo racion lnych funkci sta vedie integrova v etky tyri typy element rnych zlomkov. a) Integr l prv ho typu zlomkov prevedieme jednoduchou pravou na z kladn integr l: a (t=x r) dt dx = a = a ln jtj + c = a ln jx rj + c: x r t Pr klad. R 3 Vypo tame 5x dx. Rie enie: 3 5x dx = 3 5 dx x 5 = 3 5 ln x 5 (t=x 5 ) b) Integr l druh ho typu zlomkov rie ime analogicky. Pre n > a (t=x r) dx = a (x r) n t n dt = a t n+ n + + c = + c: a + c: ( n)(x r) n
.3. INTEGROVANIE ELEMENT RNYCH FUNKCI 5 Pr klad. R 8 Vypo tame dx. (x+3) 4 Rie enie: c) Tret typ zlomku 8 (x + 3) dx 4 = 8 dx 4 (x + 3 )4 (t=x+ 3 = ) = t 3 3 + c = 6(x + 3 + c: )3 t 4 dt = ax+b x +px+q, kde p 4q <, integrujeme nasledovne:. Algebraick mi pravami rozdel me zlomok na dva zlomky, ktor ch menovatele s zhodn s menovate mi p vodn ho zlomku. itate prv ho je line rna funkcia, ktor je seln m n sobkom deriv cie menovate a a itate druh ho je slo: ax + b x + px + q = a (x + p) x + px + q + b ap x + px + q :. Prv zlomok integrujeme nasledovne: a (x + p) x + px + q (t=x+px+q) a dx = dt t = a ln(x + px + q) + c: Pre o netreba v poslednom logaritme p sa absol tnu hodnotu? 3. Integr l druh ho zlomku pravami a substit ciou prevedieme na R dt t +. Pr klad 3. R Vypo tame integr l Rie enie: 3x x +4x+ dx.. Najsk r uprav me integrovan zlomok na s et dvoch zlomkov s pop san mi vlastnos ami 3 3x x + 4x + = (x + 4) x + 4x + + 7 x + 4x + :. Po tame prv integr l 3 x + 4 (t=x+4x+) 3 dt dx x = + 4x + t = 3 ln jtj + c = 3. Po tame druh integr l 7 x + 4x + dx = 7 = 7 6 = 3 ln(x + 4x + ) + c: dx x+ = p + 6 dx x + 4x + = 7 (t= x+ p 6 ) = 7 6 dx (x + ) + 6 = p 6dt t + = = 7 p 6 arctg t + c = 7 p 6 arctg x + p 6 + c: V sledok je s tom obidvoch integr lov: 3x x + 4x + dx = 3 ln(x + 4x + ) 7 p 6 arctg x + p 6 + c:
6 KAPITOLA. NEUR IT INTEGR L ax+b d) Integr ly zo zlomkov tvrt ho typu (x +px+q) n pre n > sa po taj zlo itou rekurentnou met dou. Pre v sledn vz ahy pozri [E], as Integrovanie racion lnych funkci. Pr klad 4. Vypo tame integr l R 4x 3 4x +8x 7 (x ) (x x+5) dx. Rie enie: lohu budeme rie i v nieko k ch krokoch.. Integrovan r dzo racion lnu funkciu rozlo me na element rne zlomky 4x 3 4x + 8x 7 (x ) (x x + 5) = x + 5 (x ) + x 3 x x + 5 :. Integrujeme prv integr l 3. Integrujeme druh integr l dx = ln jx j + c: x 5 (x ) dx = 5 x + c: 4. Podobne ako v predch dzaj com pr klade integrujeme tret integr l. Podrobnosti nech me na itate a. x 3 x x + 5 dx = x x x + 5 = ln(x x + 5) 4 = ln(x x + 5) 4 x x + 5 dx (x ) + 4 = x = ln(x x + 5) arctg x dx = + + c: dx = 5. S tame v etky vypo tan integr ly 4x 3 4x + 8x 7 (x ) (x x + 5) dx = = ln jx j 5 x + ln(x x + 5) x arctg + c: Integrovanie racion lnych funkci Pri integrovan racion lnych funkci vyu vame zn my fakt (pozri [H]): Ka d racion lna funkcia sa d vyjadri ako s et mnoho lena a r dzo racion lnej funkcie. Pr klad 5. Vypo tame integr l R x 8 +x 6 +5x 4 +3x 3 +x 8x+7 x 5 +9x 3 dx.
.3. INTEGROVANIE ELEMENT RNYCH FUNKCI 7 Rie enie:. Dan racion lnu funkciu rozlo me na s et mnoho lena a r dzo racion lnej funkcie. Rozklad menovate a na s in je x 3 (x + 9). Dost vame x 8 + x 6 + 5x 4 + 3x 3 + x 8x + 7 x 5 + 9x 3 = = x 3 + x + x x + 3 x 3 4x 5 x + 9 :. Integr l mnoho lena je jednoduch R (x 3 + x) dx = x4 4 + x + c. 3. Integr ly prv ch troch zlomkov s jednoduch, integr l posledn ho je 4x 5 x + 9 dx = x x + 9 dx 5 dx x + 9 = ln(x + 9) 5 3 arctg x 3 + c: 4. V sledok je s tom v etk ch integr lov x 8 + x 6 + 5x 4 + 3x 3 + x 8x + 7 x 5 + 9x 3 dx = = x4 4 + x + ln jxj + x 3 x ln(x + 9) + 5 3 arctg x 3 + c: Cvi enia Vypo tajte integr ly r dzo racion lnych funkci. 95. R dx x +x. 96. R dx x. 97. R dx x 3 +x. 98. R dx (x )(x+)(x+3). 99. R dx x(x+).. R x +4x 9 (x )(x+3)(x 4) dx.. R dx x +x+5.. R dx 3x +5. 3. R dx x 3 + dx. 4. R dx x 3 +x +x. Vypo tajte integr ly racion lnych funkci. 5. R x 5x+9 x 5x+6 dx. 6. R 5x 3 + x 3 5x +4x dx. 7. R x dx x 6x+. 8. R x 3 +x+ x(x +) dx. 9. R (x ) x +3x+4 dx.. R x 4 x 4 dx.. R x 3 (x 3x+) dx.. R x 3 +x x(x +) dx.
8 KAPITOLA. NEUR IT INTEGR L V sledky 95. ln x x+ + c. 96. lnr x x+ + c. 97. ln jxj ln(x + ) + c. 98. ln (x )(x+3) (x+) + c. 4 99. x+ + ln x x+ + c.. ln (x )4 (x 4) 5 (x+3) + c. q 7. arctg x+ + c.. p 3 arctg x + c. 5 5 3. 6 ln (x+) x x+ + p 3 arctg x p 3 + c. 4. ln x x +x+ p 3 arctg x+ p 3 + c. 5. x + 3 ln jx 3j 3 ln jx j + c. 6 6. 5x + ln 6 p x(x 4) (x ) 7 3 + c. 7. x + 3 ln(x 6x + ) + 8 arctg(x 3) + c. 8. x x + ln p x + + c. 9. x 5 ln(x + 3x + 4) + p 9 arctg x+3 p + c. 7 7. x + 4 ln x arctg x + c... x + ln x+ (x + c. 3x+) p x + jxj + c..3. Integrovanie trigonometrick ch funkci Pri integrovan trigonometrick ch funkci je v inou viac mo nost ako postupova. Integr l z ubovo nej racion lnej funkcie z funkci sin a cos, t.j. funkcie obsahuj cej algebraick oper cie (s itanie, od tanie, n sobenie a delenie) a funkcie sin a cos (a teda aj tg a cotg), m eme pomocou substit cie t = tg x ; x ( ; ); previes na integr l z racion lnej funkcie. Postupujeme pritom tak, e vyjadr me inverzn funkciu, jej diferenci l dx a tie funkcie sin x a cos x s pomocou premennej t x = arctg t; dx = dt t t ; sin x = ; cos x = + t + t + t : Pr klad 6. Vypo tame R +tg x tg x dx. Rie enie: Sk r ne za neme po ta, uvedomme si, e lohu m eme rie i v ubovo nom intervale, v ktorom je integrovan funkcia denovan, t.j. v ubovo nom intervale ( +k; 3 4 )+k alebo ( 3 4 +
.3. INTEGROVANIE ELEMENT RNYCH FUNKCI 9 k; + k), k. Integr l uprav me a prevedieme spom nanou substit ciou na integr l z racion lnej funkcie. + tg x cos x+sin x tg x dx = cos x cos x + sin x dx = cos x sin x cos x sin x dx = cos x dt + t = t + t +t +t t +t t +t t 4t (t + )(t + t ) dt: R dzo racion lnu funkciu v poslednom integr le rozlo me na s et element rnych zlomkov a tieto integrujeme. t 4t (t + )(t + t ) dt = t 4t (t + )(t + t ) = t t + t + + p t + p t t + dt dt t + + p ln(t + ) ln jt + + p j ln jt + p j = ln dt t + p = t + t + t + c: V po et ukon me sp tnou substit ciou premennej t na p vodn premenn x. + tg x + tg x dx = ln tg x tg x + tg x + c: Poznamenajme e te, e tento v sledok plat v ubovo nom intervale, v ktorom je integrovan funkcia denovan. Substit ciu t = tg x ; x ( ; ) je mo n pou i pri integr le z ubovo nej racion lnej funkcie z funkci sin x a cos x, t to v ak vedie asto ku integr lom z komplikovan ch racion lnych funkci a je mo n ho v peci lnych pr padoch zjednodu i. Uvedieme tu niektor mo nosti a itate ovi so z ujmom o al ie odpor ame [], [3], [4]. asto je mo n pou i substit ciu potom t = tg x; x ; ; x = arctg t; dx = dt + t ; sin x = t p + t ; cos x = p + t : T to substit cia (ak je mo n ju po i ) vedie v inou k integr lu z jednoduch ej racion lnej funkcie. Odpor ame itate ovi vyrie i predch dzaj ci pr klad pomocou substit cie t = tg x. Neur it integr l sin n x cos m x dx; kde n a m s cel sla a aspo jedno z nich je nep rne. Tento integr l pravou a substit ciou t = cos x, ak n je nep rne alebo t = sin x, ak m je nep rne prevedieme na integr l z racion lnej funkcie. Pr klad 7. Vypo tame integr l R cos 3 x dx.
3 KAPITOLA. NEUR IT INTEGR L Rie enie: V integrovanej funkcii sa vyskytuje len funkcia cos x a to v nep rnej mocnine (cos 3 x). Preto pravou a substit ciou t = sin x, kde dt = cos x dx a cos x = t, dost vame cos x cos 3 x dx = cos 4 x dx = dt ( t ) : Posledn integr l z r dzoracion lnej funkcie rie ime rozkladom na element rne zlomky dt ( t ) dt = 4 = 4 Po sp tnej substit cii dost vame v sledok ( + t) + + t + ( t) + t + ln j + tj + + t t ln j tj = t 4 t + ln + t t + c: cos 3 x dx = 4 cos x + ln + sin x sin x sin x + c = + c: dt = Neur it integr ly sin mx cos nx dx; sin mx sin nx dx; cos mx cos nx dx kde m a n s prirodzen sla prevedieme na jednoduch integr ly pomocou trigonometrick ch vz ahov sin sin = (cos( ) cos( + )) ; cos cos = (cos( ) + cos( + )) ; sin cos = (sin( ) + sin( + )) : Pr klad 8. R Vypo tame sin x cos 5x dx. Rie enie: Pou ijeme vy ie uveden vzorec pre = x a = 5x. sin x cos 5x dx = (sin( 3x) + sin 7x) dx = = (sin 3x + sin 7x) dx = 6 cos 3x cos 7x + c: 4
.3. INTEGROVANIE ELEMENT RNYCH FUNKCI 3 Cvi enia Vypo tajte integr ly trigonometrick ch funkci. 3. R sin 3 x cos x dx. 4. R cos 5 x sin x dx. 5. R tg 4x dx. 6. R cos x dx. 7. R cos 5 x dx. 8. R dx sin x. 9. R sin 3 x cos 4 x dx.. R dx sin x cos 3 x.. R cotg 3 x dx.. R sin x cos x sin x+cos x dx. 3. R dx 5 3 cos x. 4. R cos x +cos x dx. 5. R sin x sin x dx. 6. R dx sin x+cos x. 7. R dx cos x+ sin x+3. 8. R sin 3x sin 5x dx. 9. R sin x 4 cos 3x 4 dx. 3. R sin x sin x sin 3x dx. 3. R cosh 3 x dx. 3. R tgh x dx. V sledky 3. 4 sin4 x + c. 4. cos6 x + c. 5. 4 ln j cos 4xj + c. 6. x sin 4x + 7. sin x 3 sin3 x + 5 sin5 x + c. 8. ln tg x + c. 8 + c. 9. 3 cos 3 x cos x + c.. cos x + ln j tg xj + c.. sin x ln j sin xj + c.. ln j sin x + cos xj + c. 3. arctg tg x + c. 4. x tg x + c. 5. x + tg x + cos x + c. 6. p ln tg x + 8 + c. 7. arctg + tg x + c. sin 8x sin x 8. + + c. 6 4 9. cos x + cos x + c. cos x 3. 8 3. sinh3 x + sinh x + c. 3 3. ln j cosh xj + c. cos 4x cos 6x + + c. 6 4
3 KAPITOLA. NEUR IT INTEGR L.3.3 Integrovanie iracion lnych funkci Odmocnina z line rnej lomenej funkcie Ak m me integrova funkciu, v ktorej sa okrem algebraick ch q oper ci vyskytuje odmocnina z linen rnej lomenej funkcie ( peci lne z line rnej funkcie), t.j. ax+b cx+d ( peci lne np ax + b), tak pou ijeme substit ciu t = '(x) = n q ax+b cx+d (t = np ax + b). Pri tejto substit cii je technicky v hodn vyjadri inverzn funkciu x = ' (t) a dx = ' (t) dt. V etky tieto vz ahy dosad me do rie en ho integr lu, ktor tak prevedieme na integr l z racion lnej funkcie premennej t. Pr klad 9. Vypo tame integr l R p 3x+4 x p 3x+4 dx. Rie enie: V tomto pr klade pou ijeme substit ciu t = p 3x + 4; x ( 4 ; ) a vyjadr me 3 inverzn funkciu x = t 4 a tie dx = t dt. Dosaden m dost vame integr l z racion lnej funkcie 3 3 premennej t I = t t 4 3 t t 3 dt = t dt t 3t 4 = + 3t + 4 dt: t 3t 4 R dzo racion lnu funkciu v integr le rozlo me na s et element rnych zlomkov. a pokra ujeme v integrovan 6 3t + 4 t 3 4 = 5 t 4 5 t + I = t + 65 ln jt 4j 5 ln jt + j + c: Nakoniec v sledok vyjadr me v term noch premennej x. p3x 6 I = + 4 + 5 ln jp 3x + 4 4j 5 ln jp 3x + 4 + j V pr pade, e sa v integrovanej funkcii vyskytuj dve r zne odmocniny n q ax+b cx+d a m q ax+b cx+d, pou ijeme q substit ciu t = k ax+b cx+d, kde k je najmen spolo n n sobok sel m a n. Podobne postupujeme aj vtedy, ak sa vyskytuje viac odmocn n z tej istej line rnej lomenej funkcie. Pr klad. R Vypo tame integr l 4p x 3p p x+ x dx. Rie enie: Najmen spolo n n sobok sel ; 3 a 4 je slo. Preto pou ijeme substit ciu t = p x, vyjadr me x = t a dx = t dt. alej uv ime, e p x = t 6, 3 p x = t 4 a 4p x = t 3 a dosad me do p vodn ho integr lu I = 4 p x 3p x + p x dx = t 3 t 4 + t 6 t dt = t + t dt: Posledn integr l (z racion lnej funkcie) rozlo me na s et mnoho lena a r dzo racion lnej funkcie a zintegrujeme I = (t 8 t 6 + t 4 t + ) dt t + dt = + c:
.3. INTEGROVANIE ELEMENT RNYCH FUNKCI 33 = = p x 9 9 t 9 9 t7 7 + t5 5 t3 3 + t arctg t! p x 7 + 7 Odmocnina z kvadratickej funkcie p x 5 5 + c = p x 3 + p x arctg p x 3 Ak m me integrova funkciu, v ktorej sa okrem algebraick ch oper ci vyskytuje odmocnina z kvadratickej funkcie p ax + bx + c, postupujeme nasledovne:. Doplnen m na tvorec a algebraick mi pravami a substit ciou prevedieme dan v raz na niektor z v razov p r u, p r + u alebo p u r.. Pou it m substit ci! + c: u = r sin t u = r tg t u = r cos t pre pre pre p r u p r + u p u r prevedieme dan integr l na integr l z trigonometrickej funkcie. Pr klad. Vypo tame R p 4x 8x + 5 dx. Rie enie: p p Uprav me 4x 8x + 5 = (x ) + a zvol me u = x. Potom du = dx a p 4x 8x + 5 dx = Pou ijeme substit ciu u = tg t; I = q I = t ( ; ) a po tame tg t + cos t dt = Tento integr l sme u po tali v Pr klade 7 I = cos 3 t dt = 8 pu + du : q sin t+cos t cos t cos t sin t dt = cos t + ln + sin t sin t + c: cos 3 t dt: Pre sp tn substit ciu potrebujeme vyjadri sin t a cos t pomocou u. To sprav me umocnen m substitu nej rovnice u = tg t, pravou a vyjadren m u = Po sp tnej substit cii dost vame sin x sin x ; sin t = u p + u ; cos t = p + u : I = 8 = 8 p p + u u + u + ln + u! p = + u u p p u + u + ln( + u + u) + c:
34 KAPITOLA. NEUR IT INTEGR L Nakoniec prejdeme k premennej x (u = x ). I = (x ) p 4x 8x + 5 + 4 ln( p4x 8x + 5 + x ) + c: Pr klad. Vypo tame integr l R (x ) p 8+x x dx. Rie enie: p p. Uprav me 8 + x x = 9 (x ) a zvol me u = x. Potom m eme p sa (Uvedomme si, e du = dx!) (x ) I = p dx = u p du: 8 + x x 9 u. Pou ijeme substit ciu pod a n vodu Potom du = 3 cos t dt a p 9 u = u = 3 sin t; t ; : q p 9 9 sin t = 9 cos t = 3 cos t: p (Pre o nie 9 u = 3 cos t?) Dosad me, v prave pou ijeme trigonometrick identitu sin t = cos t a integrujeme. 9 sin t cos t I = 3 cos t 3 cos t dt = 9 sin t dt = 9 dt = = 9 sin t t = 9 (t sin t cos t) = 9 arcsin u 3 u p! 9 u = 3 3 = 9 arcsin x 3 (x ) p 8 + x x + c: Pozn mka 5. Integr ly obsahuj ce odmocninu z kvadratickej funkcie je mo n rie i tie in mi typmi substit ci ([E], [I], [K]). Niekedy je mo n pri integrovan tohoto typu funkci pou i met du per partes. Pr klad 3. Vypo tame integr l R p + x dx. Rie enie: Met dou per partes dost vame I = p + x dx = x p + x x p + x dx = p + x = x + x p p dx = x + x I + + x dx p + x : Posledn integr l je jeden zo z kladn ch. Pri tan m hodnoty integr lu I k obidvom stran m rovnice a vydelen m dvomi dost vame I = p p x + x + ln(x + + x ) + c:
.3. INTEGROVANIE ELEMENT RNYCH FUNKCI 35 Cvi enia Vypo tajte integr ly iracion lnych funkci. 33. R p x + p x dx. 34. R dx ( x) p x. 35. R p x x+ dx. 36. R dx + 3p x. 37. R p x 3p x dx. 38. R dx x p x 4. 39. R q +x x dx. 4. R q +x x 4. R dx p(x ) 3 (x 3). 4. R dx p 3 x 5x. 43. R x p x x+ dx. 44. R dx (9+x ) p 9+x. 45. R p 3 x x dx. 46. R x+ p x +x dx. 47. R p x +x x dx. 48. R dx p 5+9x. 49. R 3dx p 9x. 5. R dx x p 9 x. dx. ( x)(+x) V sledky 33. x p x + ln( p x + ) + c. 34. arctg p x + c. 35. p x p arctg q x + c. 36. 3 3 p x 3p x + ln j + 3p xj 37. 6 6p x p x 6 5 38. arctg p x 4 + c. 39. arcsin x p x + c. 4. x p x + c. 4. q x 3 x + c. 4. p 5 arcsin 5x+ 4 + c. 43. p x x + + c. 44. x 45. x+ + c. 6p 6p x5 6 x7 3 ln 7 p 9 9+x + c. p 3 x x + arcsin x+ + c. 46. p x + x + c. 47. p x + x + ln jx + + p x + xj + c. 6p x 6p x+ + c.
36 KAPITOLA. NEUR IT INTEGR L 48. 3 ln j3x + p 5 + 9x j + c. 49. ln j3x + p 9x j + c. 5. p 9 x 9x + c..3.4 Integrovanie transcendetn ch funkci Transcendentn funkcie integrujeme pod a okolnost bu met dou substitu nou alebo met dou per partes (podrobnosti s v z vere prech dzaj cej asti). Pri rie en je asto potrebn opakovane kombinova obidve met dy. Pr klad 4. R Vypo tame integr l I = x e 3 x4 + arccotg x Rie enie: Dan integr l rozdel me na dva. Prv po tame pomocou substitu nej met dy, druh met dou per partes. x 3 arccotg x = x 3 e x4 dx t= x4 = 4 ( u = x 3 v = arccotg x dx. e t dt = 4 e x4 + c; ) u = x4 v = = x4 4 +x 4 arccotg x + 4 x 4 dx + x : Posledn integr l z racion lnej funkcie po tame rozkladom na mnoho len a r dzo racion lnu funkciu x 4 dx + x = x + dx + x = x3 x arccotg x + c: 3 Poznamenajme, e namiesto arccotg x sme mohli tie p sa + arctg x. Celkov v sledok je s tom obidvoch integr lov! I = 4 e x4 + x4 4 arccotg x + x 3 4 3 x arccotg x + c: Pr klad 5. R Vypo tame integr l I = 4 cosh x x p arcsin x dx. x Rie enie: Dan integr l vypo tame ako rozdiel dvoch integr lov.! I = 4 cosh e x + e x x dx = 4 = (e x + + e x ) dx = = ex + x e x Druh integr l rie ime met dou per partes. ( x arcsin x u = I = p dx p x = x x p = x arcsin x + = sinh x + x + c: v = arcsin x u = p x v = p x ) dx = x p x arcsin x + c: = Nakoniec p I = I I = sinh x + x + x arcsin x + c:
.3. INTEGROVANIE ELEMENT RNYCH FUNKCI 37.3.5 ver Vo v eobecnosti je h adanie neur it ho integr lu k danej funckii innos n ro nej ia ako h adanie deriv cie danej funkcie. Na rozdiel od deriv ci neexistuje v eobecn algoritmus ako n js integr l ubovo nej element rnej funkcie. Ten ist integr l je asto mo n rie i r znymi met dami (napr. R x p x). Na druhej strane existuj element rne funkcie, ktor ch neur it integr ly sa nedaj vyjadri pomocou element rnych funkci. Tak s napr klad e x dx; sin(x ) dx; sin x x dx; p + x 4 dx a al ie. Ur itou v hodou pri po tan integr lov oproti po taniu deriv ci je fakt, e v pr pade pochybnost m eme spr vnos v po tu integr lu overi sk kou. o vz ahu (.) f(x) dx = f(x) toti vypl va, e ak sme pri v po te postupovali spr vne, tak deriv ciou v slednej funkcie dostaneme integrovan funkciu. Cvi enia Kombin ciou r znych met d vypo tajte integr ly. 5. R dx 3p(4 3x). 5. R e x sin x dx. 53. R e ax cos bx dx. 54. R (3x + x + ) sin x 3 dx. 55. R sin x p (3 + cos x) 5 dx. 56. R (3x + ) ln(x 4) dx. 57. R ln x x dx. 58. R x arctg 3x dx. 59. R arcsin x dx. 6. R sin x sinh x dx. 6. R (4x 3 + x) arctg x dx. 6. R dx (x +) parccotg. 3 x 63. R (x ) arccos x dx. 64. R (x 3x + ) cosh x dx. V sledky 5. 3p 4 3x + c. 5. e x sin x e x (sin x + cos x) + c. 5 ae 53. ax (a +b (cos bx + b sin bx) + c. ) 54. ( 9x 6x + 59) cos x 3 + (54x + 8) sin x 3 + c. 55. 7p (3 + cos x) 7 + c. 56. (x 3 + x 68) ln(x 4) x3 3 x 7x + c. 57. ln x+ ln x+ x + c. 58. x3 3 arctg 3x x 8 + ln(9x +) 6 + c.
38 KAPITOLA. NEUR IT INTEGR L 59. x arcsin x p + x arcsin x x + c. 6. (sin x cosh x cos x sinh x) + c. 6. (x 4 + x ) arctg x x3 3 + c. 6. p arccotg x + c. 63. (x x ) arccos x + ( x )p x + c. 64. (x 3x + ) sinh x (x 3 ) cosh x + c.
Kapitola Ur it integr l. Pojem ur it ho integr lu Den cia ur it ho integr lu je pomerne zlo it a itate ju n jde napr. v [], [5], [6]. Na tomto mieste ju len vo ne op eme. Predstavme si, e v intervale ha; bi je denovan nez porn spojit funkcia f a potrebujeme vypo ta obsah plochy "pod jej grafom", t.j. obsah rovinnej oblasti ohrani enej grafom funkcie f, osou o x a priamkami x = a a x = b. Pokia je f line rna alebo kon tantn, jedn sa o lichobe n k, pr padne obd nik a rie enie lohy je jednoduch. Pre v eobecn funkciu m eme postupova nasledovne. y n=7 f(x) d a=n p n p n p n p n p n p n p n =b 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 x Obr..: Ur it integr l.. Rozdel me bodmi a = x < x < x < < x n < x n = b interval ha; bi na n podintervalov hx i ; x i i. Ozna me d d ku najdlh ieho z nich.. V ka dom podintervale zvol me niektor bod p i. 3. V ka dom podintervale nahrad me pr slu n as plochy obd nikom so z klad ou d ky (x i x i ) a v kou f(p i ). 4. S tame obsahy v etk ch tak chto obd nikov. S = nx i= f(p i )(x i x i ): 39
4 KAPITOLA. UR IT INTEGR L Dost vame tak aproxim ciu (pribli n hodnotu) h adan ho obsahu. S t mto v sledkom sa v ak nem - eme uspokoji. obr zku je vidie, e ak zhust me deliace body, hodnota S sa viac pribl i skuto nej hodnote. Preto cel postup opakujeme tak, e d ka d najdlh ieho podintervalu sa bude bl i k nule. Takto limitnou hodnotou aproxim cie S bude h adan obsah. Tento teoretick postup je v ak pre v eobecn funkciu f prakticky neuskuto nite n. Preto hlad me in sp sob, ako n js h adan obsah. Ozna me S(x) obsah plochy pod grafom funkcie f v intervale ha; xi. V imnime si zmenu S(x + h) S(x) pre slo h bl zke k nule. T to sa pribli ne rovn obsahu obd nika so stranami d ok h a f(x), teda S(x + h) S(x) hf(x). y f(x) S(x) a x x+h h x Obr..: S (x) = f(x) Preto S(x + h) S(x) lim = f(x): h! h V raz na avej strane je deriv cia funkcie S v bode x, tak e dost vame d le it fakt S (x) = f(x); z ktor ho vypl va, e S je t primit vna funkcia k funkcii f v intervale ha; bi, pre ktor plat S(a) = (v bode a sa jedn o "plochu" s nulov m obsahom). Preto h adan obsah sa rovn rozdielu S(b) S(a). V predch dzaj cich riadkoch je pribli ne op san proces integr cie spojitej funkcie f v intervale ha; bi a motivuje nasleduj ci pojem ur it ho integr lu. Nech f je spojit funkcia v intervale ha; bi a F je funkcia primit vna k f v intervale ha; bi. Ur it integr l funkcie f v intervale ha; bi je slo F (b) F (a). Tento fakt zapisujeme nasledovne b a f(x) dx = [F (x)] b a = F (b) F (a): (.) Pozn mka. Uveden vz ah sa vol Newtonova-Leibnizova formula. Neur it a ur it integr l s vo svojej podstate naprosto odli n matematick objekty. K m neur it integr l je mno ina funkci, ur it integr l je slo. To, o ich sp ja (okrem slova integr l v ich n zvoch), je skuto nos vyjadren uveden m vz ahom (.), e ur it integr l sa d vyjadri pomocou ubovo nej funkcie z neur it ho integr lu. Vo vz ahu (.) v raz na avej strane je ozna en m ur it ho integr lu funkcie f v intervale ha; bi a v raz v strede je in z pis sla F (b) F (a). Pri samotnom v po te postupujeme tak, e najsk r n jdeme niektor primit vnu funkciu F k funkcii f (ozna enie v razom v strede)