primitívnoufunkcioukfukncii f(x)=xnamnožinereálnychčísel.avšakaj 2 +1 = x, tedaajfunkcia x2

Transcript

1 Neurčitý integrál. Primitívna funkcia a neurčitý integrál Funkcia F(x)sanazývaprimitívnoufunkcioukfunkcii f(x)naintervale(a,b),akpre každé x (a,b)platí F (x)=f(x). Z definície vidíme, že pojem primitívnej funkcie je opačný k pojmu derivácie. Teda pri hľadaní primitívnej funkcie k funkcii f(x) si kladieme otázku Akú funkciu je potrebné derivovať, aby výsledkombolafunkcia f(x)? Príklad..Dokážte,žefunkcia F(x)=ln ( x+ +x ) jeprimitívnoufunkcioukfunkcii f(x)=. +x Stačíukázať,že F (x)=f(x). F (x)= x+ +x [ ln ( x+ +x )] = x+ +x ( + ) +x x = x+ +x +x +x +x x+ +x = [ x+ +x ] = ( + +x = f(x) ) x = +x Príklad.. Nájdite primitívnu funkciu k funkcii f(x) = x na množine reálnych čísel. Ľahkovidieť,žederivácioufunkcie x x dostávamefunkciu x.tedafunkcia [ ] je x primitívnoufunkcioukfukncii f(x)=xnamnožinereálnychčísel.avšakaj + = x, tedaajfunkcia x +jeprimitívnoufunkcioukfunkcii f(x)=x.podobnekaždáfunkcia tvaru x +C,preľubovoľné C Rjeprimitívnoufunkcioukfunkcii f(x)=x. Vo všeobecnosti k danej funkcii existuje nekonečne veľa primitívnych funkcií, ktoré sa navzajom líšia iba reálnou konštantou. Množinu všetkých primitívnych funkcií F(x) k funkcii f(x) na intervale(a, b) nazývame neurčitým integrálom funkcie f(x) na intervale(a, b) a označujeme f(x)dx=f(x)+c. Metódu, ako nájsť k danej funkcii neurčitý integrál, nazývame integrovaním.

2 . Všeobecné pravidlá integrovania funkcií Nasledujúce pravidlá integrovania sú dôsledkom pravidiel pre derivovanie funkcií. ) c f(x)dx=c f(x)dx ) (f(x)±g(x))dx= f(x)dx± g(x) dx ) f (x) f(x) dx=ln f(x) +C. Integračné vzorce: dx=x+c x α dx= xα+ +C,pre α α+ a x dx= ax +C,pre a lna x dx=ln x +C cosxdx=sinx+c sinxdx= cosx+c cos x dx=tgx+c sin x dx= cotgx+c { dx a x,dx= arcsin x+c a arccos x+c a dx a x = a ln a+x a x x+c { dx arctg x+c a +x = a a arccotg x+c a a dx x+ x +k =ln x +k +C Príklad.. Vypočítajte neurčitý integrál (x x+4cosx e x ) dx Na výpočet tohto integrálu použijeme všeobecné pravidlá integrovania ) a ). (x ) x+4cosx e x dx= xdx x dx+ 4cosxdx e x dx= xdx x dx+4 cosxdx e x dx= x x x x +4sinx e x +C +4sinx e x +C=

3 Príklad.4. Vypočítajte neurčitý integrál tan xdx Keďžetanx= sinx cosx aplatívzťah=sin x+cos x,danýintegrálmôžemevypočítať nasledovne: sin tan x cos xdx= cos x dx= x cos x.4 Substitučná metóda cos x dx dx= dx=tanx x+c ( ) x cos x cos cos x dx= Hlavnou myšlienkou substitučnej metódy je vo výpočte ekvivalentne nahradiť pôvodný integrál takým integrálom, ktorý sa ľahšie vypočíta. Táto metóda je odvodená od vzťahu pre deriváciu zloženej funkcie a jej princíp ukážeme v nasledujúcich príkladoch. Príklad.5. Vypočítajte neurčitý integrál x e x dx x e x dx= Často je vhodné zvoliť do substitúcie vnutornú zložku zloženej funkcie x = u derivujeme xdx = du xdx = du = e x xdx }{{} du Substitúciajevtedy dobrá,akpojejzavedenísavovýrazenevyskytujepremenná x. e u du = e u du= eu +C= e x +C

4 Príklad.6. Vypočítajte neurčitý integrál (x+) x +6x+dx Substitúcia: (x+) x +6x+dx= x +6x+ = t (x+6)dx = dt (x+)dx = dt (x+)dx = dt = x +6x+(x+)dx= tdt= }{{} dt t t dt= +C= (x +6x+) +C Príklad.7. Vypočítajte neurčitý integrál dx xlnx Substitúcia: dx xlnx = lnx = u dx = du x = lnx x dx = }{{} du u du=ln u +C=ln lnx +C 4

5 .5 Integrovanie racionálnych funkcií, rozklad na parciálne zlomky Funkciu, ktorá je podielom dvoch polynómov nazývame racionálnou funkciou. Ak stupeň polynómu v čitateli je ostro menší ako stupeň polynómu v menovateli, hovoríme o rýdzoracionálnej funkcii. Každú racionálnu funkciu možno vyjadriť ako súčet polynómu a rýdzoracionálnej funkcie(v prípade, ak daná funkcia je rýdzoracionálna príslušný polynóm je rovný 0). Každú rýdzoracionálnu funkciu možno rozložiť na súčet tzv. parciálnych(elementárnych) zlomkov. Pod parciálnymi zlomkami rozumieme zlomky tvaru kde A,a Ralebozlomkytvaru A x a, A (x a),..., A (x a) n, Ax+B x +bx+c, Ax+B Ax+B (x +bx+c),..., (x +bx+c) n, kde A,B,b,c Rakvadratickýtrojčlen x + bx+cnemáreálnekorene,t.j.,platí D= b 4c <0. Neurčitý integrál z racionálnej funkcie počítame tak, že funkciu vyjadríme ako súčet polynómu a rýdzoracionálnej funkcie, ktorú nasledne rozložíme na súčet parciálnych zlomkov. Týmto sa problém integrovania racionálnej funkcie redukuje na integrovanie polynómov a parciálnych zlomkov. V nasledujúcej časti demonštrujeme túto metódu na niekoľkých príkladoch. Príklad.8. Vypočítajte neurčitý integrál x+5 x x dx x+5 x x dx Daná funkcie je racionálna. V čitateli aj v menovateli tohto zlomku sa nachádza polynóm. Hovoríme, že funkcia je rýdzoracionálna, ak stupeň polynómu v čitateli je ostro menší ako stupeň polynómu v menovateli. Keďže v čitateli daného zlomku je polynóm prvého stupňa a v menovateli je polynóm druhého stupňa, táto funkcia je rýdzoracionálna. Túto funkciu rozložíme na súčet parciálnych zlomkov. x+5 x x = x+5 (x )(x+) = A (x ) + B (x+) x+5 x x = A(x+) B(x ) (x )(x+) = (A+B)x+A B x x Tieto zlomky sa rovnajú vtedy, ak sa rovnajú polynómy v čitateli: x+5=(a+b)x+a B 5

6 Dva polynómy sa rovnajú vtedy, ak sa rovnajú koeficienty pri rovnakých mocninách premennej x. Teda: koeficientpri x : = A+B x 0 : 5 = A B Riešenímsústavyrovnícje: A=aB= x+5 x x dx= (x ) dx (x+) dx= (x ) dx (x+) dx= ln x ln x+ +C=ln ( x ) x+ +C Príklad.9. Vypočítajte neurčitý integrál (x )(x +4) dx Funkcia (x )(x +4) jerýdzoracionálna,keďževčitatelijepolynómnultéhostupňaa v menovateli polynóm tretieho stupňa. Polynóm x +4jeireducibilnýnad R(nerozložiteľnýnasúčinpolynómovprvéhostupňa s reálnymi koeficientami). Preto v menovateli druhého zlomku vystupuje on sám a v čitateli vystupuje všeobecný tvar polynómu prvého stupňa. Teda hľadáme nasledujúci rozklad na parciálne zlomky: (x )(x +4) = A x + Bx+C x +4 A x + Bx+C x +4 = A(x +4)+(Bx+C)(x ) (x )(x +4) Aby sa zlomky rovnali musí platiť: = Ax +4A+Bx Bx+Cx C (x )(x +4) = Ax +4A+Bx Bx+Cx C = (A+B)x +(C B)x+(4A C) Riešime sústavy lineárnych rovníc(troch rovníc o troch neznámych). 6

7 koeficientpri x : A+B = 0 x : C B = 0 x 0 :4A C = A= 5 B= 5 C= 5 (x )(x +4) dx= 5 x dx+ 5 x 5 x +4 dx= 5 5 x dx 5 x x +4 dx 5 x+ x dx 5 x +4 dx= x +4 dx= 5 ln x 0 ln x +4 0 arctan x +C Príklad.0. Vypočítajte neurčitý integrál x +7x+8 x +4x +4x dx x +7x+8 x +4x +4x = x +7x+8 x(x+) = A x + B x+ + C (x+) A x + B x+ + C A(x+) +Bx(x+)+Cx (x+) = x(x+) = Ax +4Ax+4A+Bx +Bx+Cx x(x+) Porovnaním koeficientov pri rovnakých mocninách x dostávame sústavu troch rovníc o troch neznámych: x dx x +7x+8 x +4x +4x dx= x+ dx+ x : A+B = x : 4A+B+C = 7 x 0 : 4A = 8 A= B= C= A x dx+ B x+ dx+ C (x+) dx= (x+) dx=ln x ln x+ x +C 7

8 Príklad.. Vypočítajte neurčitý integrál x +5x +8 x +7x 5 dx Funkcia x +5x +8 x +7x 5 niejerýdzoracionálna. Najprv vydelíme polynóm z čitateľa funkcie polynómom z jej menovateľa. Zvyšok po tomto podiele je už rýdzoracionálnou funkciou. x +5x +8 x +7x 5 =(x +5x +8):(x x 7 +7x 5)=x + x +7x 5 x +5x +8 x +7x 5 = x + x 7 x +7x 5 x +5x +8 x +7x 5 dx= xdx dx+ ( x + x 7 x +7x 5 x 7 x +7x 5 dx ) dx= x 7 Funkcia x +7x 5 jerýdzoracionálna,tedanavýpočetintegrálumožemepoužiťmetódu: rozklad na parciálne zlomky; x 7 x +7x 5 = x 7 (x )(x+5) = A x + B x+5 x 7 x +7x 5 = A(x+5)+B(x ) (x )(x+5) x 7=A(x+5)+B(x )=(A+B)x+(5A B) koeficientpri x : = A+B x 0 : 7 = 5A B A=4 B=9 x +5x +8 x +7x 5 dx= xdx dx+ x 7 x +7x 5 dx= 8

9 xdx dx+ 4 x + 9 x+5 dx= x x+ln x +9ln x+5 +C.6 Metóda PER PARTES Metóda per partes sa využíva pri integrovaní súčinu funkcií. Vzorec(4), ktorý sa pri tejto metóde využíva, je odvodený z pravidla o derivovaní súčinu dvoch funkcií. u(x) v (x)dx=u(x) v(x) u (x) v(x)dx (4) Uvádzame niekoľko typov funkcií, ktoré sa najčastejšie integrujú pomocou tejto metódy.. typ: P(x) e x dx P(x) sinxdx P(x) cosxdx Funkcia P(x) je polynomickou funkciou, ktorá sa derivovaním zmení na polynóm o jednotku nižšieho stupňa a integrovaním sa zmení na polynóm o jednotku vyššieho stupňa. Príklad.. Vypočítajte neurčitý integrál x cosxdx x cosxdx Zvoľme: Využijeme vzťah(4) u(x)=x v (x)=cosx u (x)=x v(x)=sinx x cosxdx=x sinx x sinxdx 9

10 Na výpočet integrálu Zvoľme: x sinxdxznovapoužujememetóduperpartes. u(x)=x v (x)=sinx u (x)= v(x)= cosx x sinxdx=x ( cosx) ( cosx)dx=x ( cosx)+ cosxdx= x cosx+sinx+c Záver: x cosxdx=x sinx (x )sinx+xcosx+c x sinxdx=x sinx+x cosx sinx+c=. typ: P(x) lnxdx Je vhodné zvoliť u(x)=lnx v (x)=p(x) u (x)= x v(x)= P(x)dx P(x) arctanxdx u(x)=arctanx v (x)=p(x) u (x)= v(x)= P(x)dx +x P(x) arcsinxdx u(x)=arcsinx v (x)=p(x) u (x)= v(x)= P(x)dx x Príklad.. Vypočítajte neurčitý integrál lnxdx Danýintegrálvýpočítamepomocoumetódyperpartes.Keďželnx= lnx,v tomto prípade číslo považujeme za polynóm nultého stupňa. lnxdx= lnxdx= v (x)= u(x)=lnx v(x)=x u (x)= x = xlnx x x dx=xlnx x+c. 0