Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste urmatoarele conditii: Primul element nenul pe fiecare linie este 1 iar coloana corespunzatoare acestuia este de tipul e i coloana din matricea unitate. Coloana de tip e i are elementul de pe linia i egal cu 1 si restul elementelor egale cu 0. 0.. 1.. 0.. α 0. 0.. 0 0.. 0 1.. β 0. 0.. 0 0.. 0 0.. 0 1................. A L =................................ 0.. 0 0.. 0 0 0.. 0 0 0. e 1 e 2 e 3 Orice coloana din matricea A L, care nu este de tip e i se poate scrie ca o combinatie liniara de coloane de tip e i situate la stanga sa. Matricea A L se calculeaza aplicand Algoritmul de Esalon Redus pe Linii (AERL) asupra matricei A. 1
1.1. BREVIAR TEORETIC Algoritm Esalon Redus pe Linii: 1. Se exploreaza prima coloana si se identifica primul element nenul 1. Remarca 1.1.1. Daca elementele explorate pe coloana sunt toate nule se pastreaza indicele liniei si se creste indicele coloanei cu o unitate 2. Se permuta linia pe care s-a gasit elementul nenul cu prima linie obtinand in acest fel elementul de pe pozitia (1, i) diferit de 0 3. Se imparte prima line la numarul de pe pozitia (1, i) 4. Cu unitatea de pe pozitia (1, i) se fac 0 toate elementele de pe coloana i prin sumari ale liniei 1, ponderata corespunzator, cu celelalte linii. 5. Se creste indicele de coloana si de linie cu o unitate si se reia algoritmul de la pasul 1. Algoritmul se termina dupa ce am epuizat toate liniile sau coloanele. Obtinerea matricii A L se realizeaza iterativ, prin efectuarea unui numar finit de pasi, executand operatii cu liniile matricii A, operatii ce conserva rangul matricii prin pastrarea pozitiilor coloanelor in timpul aplicarii AERL. Definitia 2. Forma A L se numeste esalon redus ordonat pe linii si se obtine prin permutarea coloanelor de tip e i din matricea A L. A L = I r X 0 0 I r este formata din toti vectorii de tip e i. sau de forma r x x x 0......... 0 0 0 0 1.1.2 Operatii cu ERL. Subspatii. Calculul rangului unei matrice. Rangul matricei A, pe care il notam cu r, este dat de numarul de coloane tipul e i din A L. rang A = rang A L = r (1.1) Calculul subspatiului imagine. Subspatiul imagine lui A Im(A) (baza pentru A) este compusa din coloanele liniar independente din matricea A. Acestea sunt coloanele ce corespund coloanelor de tip e i din matricea 1 In practica, pentru a obtine numere cat mai mici, in urma executarii pasului 3 se alege din respectiva coloana, numarul cu modulul cel mai mare. 2
SEMINARUL 1. ESALONUL REDUS PE LINII (ERL). SUBSPATII. esalon A L. 2 Calculul complementul ortogonal. Pentru a calcula complementul ortogonal se aplica AERL tabloului extins [A I m ]. Dupa aplicarea AERL se extrage transformarea A conform relatiei de mai jos. unde (A ) T = [ A I m ] esalon redus pe linii 0 0... 0 0 0... 0 primele n coloane ultimele m coloane A = {z R m / A T z = 0 sau z T A = 0} (1.2) Calcului nucleului unei transformari Nucleul transformarii definita de matricea A se determina aplicand AERL pe tabloul extins [A T I n ]. Acesta se poate calcula practic ca ortogonalul subspatiului imagine a lui A T. [ A T I n ] esalon redus pe linii 0 0... 0 0 0... 0 primele m coloane ultimele n coloane 2 Acest lucru se justifica prin faptul ca pozitia coloanelor din A nu a fost schimbata, realizandu-se numai operatii pe linii. 3
1.2. EXERCITIU REZOLVAT unde (Ker A) T = Ker A = {u R n / A u = 0 R m } R n (1.3) 1.2 Exercitiu rezolvat Se se aplice AERL pentru matricea A R 4x5 A = 1 2 0 1 0 1 2 1 2 1 2 4 2 4 2 1 2 1 0 1 1 2 0 1 0 1 2 1 2 1 2 4 2 4 2 1 2 1 0 1 P asul 1 L 1 L 3 L 1 /2 L 1 +L 2 L 1 +L 3 L 1 +L 4 1 2 1 2 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 2 2 2 P asul 2 L 2 L 4 L 2 /( 2) L 2 +L 3 L 2 pivot 1 2 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 P asul 3 Descriere pasi: Pasul 1 Se exploreaza prima coloana si se identifica primul element nenul cu modulul cel mai mare. Numarul de pe coloane 1 care indeplineste acesta conditie este 2 si se gaseste pe L 3. Se interschimba L 1 cu L 3 si se imparte noua L 1 cu numarul de pe pozitia (1,1). Cu noul L 1 drept pivot se anuleaza elementele ([2:4],1). Pasul 2 Se creste indicele de linie si de coloana cu 1 si se cauta primul numar nenul cu modulul cel mai mare printre elementele ([2:4],2). Prin parcurgerea acestor numere constatam ca toate sunt egale cu 0, prin urmare crestem indicele de coloanea cu o unitate si cautam numarul cu modulul cel mai mare printre elementele ([2:4],3). Numarul de pe coloane 3 care indeplineste acesta conditie este 2 si se gaseste pe L 4. Se interschimba L 2 cu L 4 si se imparte noua L 2 cu numarul de pe pozitia (2,3). Cu noul L 2 drept pivot se anuleaza elementele ([2:4],3). Pasul 2 Se creste indicele de linie si de coloana cu 1 si se cauta primul numar nenul cu modulul cel mai mare printre elementele ([3:4],4). Prin parcurgerea acestor numere constatam ca toate sunt egale cu 0, prin urmare crestem indicele de coloanea cu o unitate si cautam numarul cu modulul cel mai mare printre elementele ([3:4],5). Cum si acestea sunt egale cu 0 rezulta ca am terminat algoritmul si am obtinut matricea A L 4
SEMINARUL 1. ESALONUL REDUS PE LINII (ERL). SUBSPATII. 1.3 Chestiuni de studiat 1. Se da matricea A R 4x5 Sa se calculeze, folosind AERL, urmatoarele: (a) Rangul matricii A (b) Subspatiul Imagine Im(A) (c) Complementul Ortogonal A (d) Nucleul transformarii Ker A 5
1.3. CHESTIUNI DE STUDIAT 6