Cursul de recuperare Algebra. v n. daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,..., λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = A =

Transcript

1 Matrice, determinanti Un punct de vedere liniar independent "A judeca matematic nu înseamn a gândi losoc, a judeca losoc nu înseamn a liber, a gândi liber nu înseamn a losof " Blaise Pascal Liniar independenta: λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n = 0 (1) = λ 1 = λ 2 = = λ n = 0 daca in schimb exista coecienti λ 1, λ 2,, λ n nu toti nuli care satisfac relatia (1), de exemplu λ i 0 = v i = λ 1 λ i v 1 λ 2 λ i v 2 λ 1n λ i v n spunem ca v 1, v 2,, v n sunt liniar dependenti orice set de vectori care contine vectorul nul este liniar dependent liniar dependent exista un vector care este o combinatie liniara de ceilalti vectori (nu aduce noi informatii ) matricea: A = poate interpretata ca o colectie de vectori linie: (1 2 1) = l 1 A = (0 0 2) = l 2 ( 1 2 3) = l 3 (2 4 0) = l 4 sau de vectori coloana: c 1 c 2 c A = rang(a) = nr de linii liniar independente = nr de coloane liniar independente rang(a) = 2 si se poate verica ca primele doua linii l 1 si l 2 sunt liniar independente iar l 3 = l 1 + l 2 sau l 4 = 2l 2 + l 3

2 oricare trei linii sunt liniar dependente si exista doua linii liniar independente, de exemplu l 1, l 2 acelasi rezultat are loc pentru coloanele c 1, c 2, c 3 Structura matricelor de rang r Daca A M m n (R) are rangul r atunci exista U M m r (R) si V M r n (R) atsfel ca: De ex: A = U V A = = ( 1 2 ) Structura matricelor de rang 1 Daca A M m n (R) are rangul 1 atunci a 1 a 2 exista u = si v = (b 1 b 2 b n ) astfel ca: a n Teorema lui Sylvester: A = u v rang(a) + rang(b) n rang(ab) min{rang(a), rang(b)} deci rangul nu creste prin inmultire cu o alta matrice are loc si inegalitatea: rang(a + B) rang(a) + rang(b) evidenta intrucat prin adunare putem modica fundamental matricea ea putand deveni chiar inversabila Transformari elementare: urmatoarele transformari realizate asupra liniilor( sau coloanelor) unei matrice se numesc transformari elementare pe linii (coloane): inmultirea unei linii ( coloane) cu un numar real nenul: l i cl i schimbarea a doua linii ( coloane) intre ele: l i l j, l j l i adunarea la o linie (coloana) a unei alte linii (coloane) inmultite cu un numar nenul l i l i + cl j Matrice elementare: matricele obtinute din matricea I in urma unei transformari elementare se numesc matrice elementare

3 Retine: daca realizam o transformare elementara pe linii asupra matricei I si rezultatul il notam cu E atunci EA realizeaza aceeasi transformare elementara pe linii asupra matricei A: Exemplu: Fie A = a11 a 12 si I = a 21 a inmultim linia 2 cu c = E = EA = ( c ) a11 a 12 c a 21 c a 22 si observam ca daca realizam o transformare elementara pe coloane asupra matricei I si rezultatul il notam cu E atunci AE realizeaza aceeasi transformare elementara pe coloane asupra matricei A: Exemplu: Fie A = a11 a 12 si I = a 21 a adunam coloanei 2 coloana 1 = E = AE = a11 a 12 + a 11 a 21 a 22 + a si observam ca 0 1 O matrice este inversabila daca si numai daca este un produs de matrice elementare: A = E 1 E 2 E p Determinanti Efectul transformarilor elementare asupra determinantilor: daca in matricea A schimbam intre ele doua linii (coloane) atunci determinantul isi schimba semnul daca inmultim o linie (coloana) cu un numar atunci determinantul se inmulteste cu acel numar daca la o linie (coloana) adaugam o alta linie (coloana) inmultita cu un numar atunci determinantul ramane neschimbat Determinantii testeaza liniar independenta liniilor (coloanelor): = daca o linie (coloana) este o combinatie liniara intre celelalte linii (coloane) atunci det(a) = 0 ( determinantul va nenul doar daca liniile si coloane sunt liniar independente) daca elementele unei linii (coloane) sunt nule = deta = 0 daca matricea are doua linii (coloane) identice = det(a) = 0 daca doua linii (coloane) sunt proportionale = det(a) = 0 Alte proprietati:

4 derivarea unui determinant: d f 11 (x) f 12 (x) f 13 (x) dx f 21 (x) f 22 (x) f 23 (x) f 31 (x) f 32 (x) f 33 (x) = f 11 (x) f 12 (x) f 13 (x) f 21 (x) f 22 (x) f 23 (x) f 31 (x) f 32 (x) f 33 (x) + f 11 (x) f 12 (x) f 13 (x) f 21 (x) f 22 (x) f 23 (x) f 31 (x) f 32 (x) f 33 (x) + f 11 (x) f 12 (x) f 13 (x) f 21 (x) f 22 (x) f 23 (x) f 31 (x) f 32 (x) f 33 (x) se deriveaza pe rand ecare linie ( sau coloana) liniaritatea determinantului: a 11 a 12 a 13 x 21 + y 21 x 22 + y 22 x 23 + y 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 12 a 13 x 21 x 22 x 23 a 31 a 32 a 33 + a 11 a 12 a 13 y 21 y 22 y 23 a 31 a 32 a 33 determinantul este o aplicatie liniara in raport cu ecare linie sau coloana Aplicatii in geometrie: 1 Aria triunghiului format de punctele A(x A, y A ), B(x B, y B ) si C(x C, y C ) este: A ABC = 1 2 det x A y A 1 x B y B 1 x C y C 1 avem nevoie de modul inaintea determinantului pentru a ne asigura ca aria este tot timpul pozitiva Ce "ascunde" liniar dependenta? daca determinantul de mai sus este nul stim ca liniile sunt liniar dependente, asadar va exista o linie care sa e o combinatie liniara de celelalte, sa presupunem de exemplu l 3 = αl 1 + βl 2, adica: (x C y C 1) = α (x A y A 1) + β (x B y B 1) deci 1 = α + β si prin urmare: x C = α x A + (1 α) x B y C = α y A + (1 α) y B care conduce la: x C x A = y C y A = 1 α x B x A y B y A adica punctul C se aa pe dreapta AB = determinatul este nul daca punctele sunt coliniare: x A y A 1 A(x A, y A ), B(x B, y B ), C(x C, y C ) coliniare x B y B 1 x C y C 1 = 0

5 Retine: coordonatele punctelor M situate pe dreapta AB sunt o combinatie ana a coordonatelor punctelor A si B adica: (x M, y M ) = α (x A, y A ) + (1 α)(x B, y B ) α R coordonatele punctelor N situate in interiorul segmentului combinatie convexa a coordonatelor punctelor A si B: AB sunt o (x N, y N ) = α (x A, y A ) + (1 α)(x B, y B ) α > 0 2 Volumul tetraedrului format de punctele A(x A, y A, z A ), B(x B, y B, z B ), C(x C, y C, z C ) si D(x D, y D, z D ) este dat de formula: V ABCD = 1 x A y A z A 1 6 det x B y B z B 1 x C y C z C 1 x D y D z D 1 printr-un rationament asemanator liniar dependenta liniilor conduce la conditia de coplanaritate a punctelor Liniar independenta functiilor: functiile f 1 (x), f 2 (x),, f n (x) sunt liniar independente daca si numai daca wronskian-ul lor W (f 1, f 2,, f n ) este nenul: f 1 (x) f 2 (x) f n (x) f 1 (x) f 2 (x) f n(x) W (f 1, f 2,, f n ) = f 1 (x) f 2 (x) f n(x) 0 f (n 1) 1 (x) f (n 1) 2 (x) f n (n 1) (x) Exemplu: stim deja de la cursul de Algebra ca polinoamele f 1 = 1, f 2 = X si f 3 = X 2 sunt liniar independente, putem verica acelasi rezultat si pentru functiile polinomiale atasate f 1 (x) = 1, f 2 (x) = x si f 3 (x) = x 2 : 1 x x 2 W (f 1, f 2, f 3 ) = 0 1 2x = 2 0 Determinanti Vandermonde si formula de interpolare a lui Lagrange: o problema clasica in matematica se refera la aarea polinomului de grad n 1, p = a n 1 X n 1 + a n 2 X n a 1 X + a 0 care satisface relatiile: p(x 1 ) = y 1 p(x 2 ) = y 2 p(x n ) = y n

6 necunoscutele sunt evident a n 1, a n 2,, a 1, a 0 iar daca transformam relatiile anterioare intr-un sistem obtinem un sistem liniar de ecuatii cu determinantul matricei sistemului egal cu: 1 x 1 x 2 1 x n x 2 x 2 2 x n 1 2 = 1 x n x 2 n x n 1 un astfel de determinant se numeste determinant Vandermonde si are loc formula: 1 x 1 x 2 1 x n x 2 x 2 2 x n 1 2 n = = (x j x i ) 1 x n x 2 n x n 1 j>i n Exemplu: cum se aplica formula de mai sus? sa consideram determinantul: 1 a a 2 a 3 = 1 b b 2 b 3 1 c c 2 c 3 1 d d 2 d 3 se stabileste ordinea a, b, c, d si prin asta intelegem o "ordine sociala" crescatoare stabilita intre a, b, c si d In produsul indicat de formula se vor scriu toate diferentele in care primul termen trebuie sa e mai mare in "rang" decat cel de al doilea: 1 a a 2 a 3 1 b b 2 b 3 1 c c 2 c 3 = (b a)(c a)(d a)(c b)(d b)(d c) 1 d d 2 d 3 cu putina rabdare se obtine in cele din urma formula polinomului p numita formula de interpolare a lui Lagrange: p = (X x 2)(X x 3 ) (X x n ) (x 1 x 2 )(x 1 x 3 ) (x 1 x n ) y 1 + (X x 1)(X x 3 ) (X x n ) (x 2 x 1 )(x 2 x 3 ) (x 2 x n ) y 2 + (X x 1)(X x 2 ) (X x n 1 ) (x n x 1 )(x n x 2 ) (x n x n 1 ) y n n Unde este liniar independenta?? Polinoamele: p 1 = (X x 2)(X x 3 ) (X x n ) (x 1 x 2 )(x 1 x 3 ) (x 1 x n )

7 p 2 = (X x 1)(X x 3 ) (X x n ) (x 2 x 1 )(x 2 x 3 ) (x 2 x n ) p n = (X x 1)(X x 2 ) (X x n 1 ) (x n x 1 )(x n x 2 ) (x n x n 1 ) sunt liniar independente si formeaza chiar o baza a spatiului R n 1 [X] al polinoamelor de grad cel mult n 1 cu coecienti reali Determinanti??? Problema 1 Aratati ca (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = (ac bd) 2 + (ad + bc) 2 apoi argumentati faptul ca pentru orice n N numarul 25 n este o suma de patrate pefecte a b c d Solutie: Considera matricele A = si B = b a d c si observa ca deta = a 2 + b 2 iar det(b) = c 2 + d 2 In plus: Evident: det(ab) = ac bd bc ad ad + bc ac bd = (ac bd)2 + (ad + bc) 2 det(a)det(b) = det(ab) Problema 2 Descompuneti in factori expresia: E = a 3 + b 3 + c 3 3abc Solutie: Considera matricea: A = a b c c a b b c a observa E = det(a) = a 3 + b 3 + c 3 3abc dar putem realiza transformari elementare asupra determinantului matricei A: a b c E = c a b b c a = a b c + a + b c a b + c + a b c a + b + c = a b c + a + b c a a b 0 b a c b 0 = (c + a + b) ( (c a)(c b) + (a b) 2) = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 ab ac bc) Problema 3 Aati urmatorul termen al sirului: 1, 4, 3, 8, 9,?

8 Solutie: Genul acesta de probleme sunt frecvente in testele de stabilire a IQ-ului dar nu fac altceva decat sa stabileasca IQ-ul celui care le-a propus! Asadar avem un sir haotic si se presupune ca intre termenii sai exista o relatie care odata descoperita va conduce la aarea termenului urmator De ce nu o relatie polinomiala intre termenii sirului? Am gasit! Toti termenii sunt valori consecutive ale aceluiasi polinom p adica: p(1) = 1, p(2) = 4, p(3) = 3, p(4) = 8, p(5) = 9, p(6) =? si putem sa aam un polinom de grad 4 care satisface aceste proprietati folosind formula de interpolare a lui Lagrange: adica: p = (X 2)(X 3)(X 4)(X 5) (1 2)(1 3)(1 4)(1 5) 1 (X 1)(X 3)(X 4)(X 5) + 4 (2 1)(2 3)(2 4)(2 5) (X 1)(X 2)(X 4)(X 5) + 3 (3 1)(3 2)(3 4)(3 5) (X 1)(X 2)(X 3)(X 5) + 8 (4 1)(4 2)(4 3)(4 5) (X 1)(X 2)(X 3)(X 4) + 9 (5 1)(5 2)(5 3)(5 4) p = 1 (X 2)(X 3)(X 4)(X 5) 24 2 (X 1)(X 3)(X 4)(X 5) (X 1)(X 2)(X 4)(X 5) 4 4 (X 1)(X 2)(X 3)(X 5) (X 1)(X 2)(X 3)(X 4) 8 deci termenul urmator al sirului este p(6) = = 24 Rezultatul era oricum evident!!