REAALAINETE KESKUS JAAK SÄRAK

REAALAINETE KESKUS JAAK SÄRAK TALLINN 2006 1

DESCRIPTIVE GEOMETRY Study aid for daily and distance learning courses Compiler Jaak Särak Edited by Tallinn College of Engineering This publication is meant for the students of the faculties of constructions, architecture, transport and mechanical engineering. This publication contains projections of points, lines, planes and solid figures on plane surfaces (on technical drawings) by the method of Monge s orthogonal projections, also it contains projections of solid figures in there dimensional room (aonometric projections). There is graphical solving of measurement eercises included; intersection of solid figures with planes and mutual intersection of them. Drawings of spread surfaces of solid figures are also handled. At the end of publication there are principles of making projections of the shadows of solid figures and quoted orthogonal projections SAATEKS Käesolevas õppematerjalis on esitatud kujutava geomeetria kursus, mis vastab selle aine programmidele Tallinna Tehnikakõrgkoolis. Varjude osa ja perspektiiviõpetust (käesolevas loengukonspektis ei ole) käsitletakse arhitektuurieriala üliõpilastele eraldi õppeprogrammides (käesolevas loengukonspektis on varjude osa toodud täiendusena aine programmile ning jääb arhitektuurieriala üliõpilastele ka napiks). Antud väljaanne on võrreldes eelmise loengukonspektiga, mis on välja antud 2005. a, parandatud ja täiendatud, ümber töötatud on kõik joonised ning lisatud ka uusi näiteid. Tallinnas 30. juulil 2006. a. Koostaja 2

SISUKORD 1. SISSEJUHATUS... 6 1.1., SELLE SISU JA EESMÄRK... 6 1. 2. JOONISTE VORMISTAMINE.... 6 1.3. TÕSIASJU ELEMENTAARGEOMEETRIAST.... 9 2. PROJEKTSIOONIDE LIIGID JA ELEMENDID... 9 2.1. TSENTRAALPROJEKTSIOON... 9 2.1.1. Projektsioonide üldomadused:... 10 2. 2. PARALLEELPROJEKTSIOON... 10 2.2.1. Paralleelprojektsioonide omadused:... 11 2.3. RISTPROJEKTSIOON.... 12 2.3.1. Sirglõigu ristprojektsioon... 13 2.3.2. Nurga ristprojektsioon... 13 2.3.3. Ristprojektsiooni omadused... 13 3. AKSONOMEETRIA... 14 3.1. RISTAKSONOMEETRIA... 15 3.1.1. Ristisomeetria... 16 3.1.2. Standardne ristdimeetria... 16 3.2. KALDAKSONOMEETRIA... 18 3.2.1. Frontaalne kalddimeetria e. kabinetprojektsioon.... 19 3.2.2. Frontaalne kaldisomeetria... 19 3.2.3. Horisontaalne kaldisomeetria... 20 4. PUNKTI JA SIRGE PROJEKTSIOONID... 20 4.1. MONGE I MEETOD. PUNKTI KAKSVAADE... 20 4.1.1. Punkti kaksvaade... 21 4.1.2. Punkti asukoht ruumiveerandite järgi... 22 4.2. PUNKTI KOLMVAADE (E.ÜLDASENDILINE PUNKT)... 24 4.3. SIRGJOONE KAKSVAADE JA KOLMVAADE... 26 4.4. SIRGLÕIGU JAOTAMINE ANTUD VAHEKORRAS... 26 5.ERIASENDILISED SIRGED... 27 5.1. HORISONTAAL H... 27 5.2. FRONTAAL F... 28 5.3. PROFIILSIRGE S... 28 6. SIRGE JÄLGPUNKTID... 29 7. SIRGETE VASTASTIKUSED ASENDID... 30 7.1. PARALLEELSED SIRGED... 30 7.2 LÕIKUVAD SIRGED... 31 7.3. KIIVSIRGED... 31 8. SIRGLÕIGU PIKKUS. KALDENURGAD... 32 8.1. TÄISNURKSE KOLMNURGA VÕTE... 32 8.2. SIRKLIVÕTE... 33 9.TASAPINNA PROJEKTSIOON. JÄLJED... 34 9.1. TASAPINNA MÄÄRAMINE... 34 9.2. TASAPINNA JÄLJED... 34 10. ERIASENDILISED TASAPINNAD... 36 10.1. NIVOOPINNAD... 37 10.2. PROJEKTEERIVAD TASAPINNAD... 37 11. PUNKT JA SIRGE TASAPINNAL... 38 3

11.1. PUNKT JA SIRGE ERIASENDILISEL TASAPINNAL... 38 11.2. PUNKT JA SIRGE ÜLDASENDILISEL TASAPINNAL... 39 12. TASAPINNA NIVOOJOONED... 40 12.1. TASAPINNA HORISONTAAL... 40 12.2. TASAPINNA FRONTAAL... 41 13. TASAPINNA LANGUSJOONED. KALDENURGAD... 42 13.1 TASAPINNA LANGUSJOONED... 42 13.2 TASAPINNA KALDENURGAD... 43 14. SIRGE JA TASAPINNA LÕIKUMINE... 45 14.1. SIRGE JA TASAPINNA LÕIKUMINE... 45 14.2. SIRGE JA TASAPINNA PARALLEELSUS... 46 15. TASAPINDADE VASTASTIKUSED ASENDID... 47 15.1. TASAPINNA LÕIKUMINE EKRAANI RISTTASAPINNAGA... 47 14.2 TASAPINDADE LÕIKUMISE ÜLDJUHTUM.... 48 15.3. TASAPINDADE PARALLEELSUS... 50 16. TASAPINNA NORMAAL... 51 17. NURGAD SIRGETE JA TASAPINDADE VAHEL... 53 17.1. NURK KAHE SIRGE VAHEL... 53 17.2. NURK KAHE TASAPINNA VAHEL... 53 17.3. NURK SIRGJOONE JA TASAPINNA VAHEL... 54 18. LISAPROJEKTEERIMINE... 54 18.1. LISAEKRAANI VÕTE... 55 18.1.1. Punkti projekteerimine lisaekraanile... 56 18.1.2. Tasapinna muutmine ekraani risttasapinnaks.... 57 18.1.3. Sirgjoone muutmine ekraani normaaliks... 57 18.2. OBJEKTI PÖÖRAMISVÕTE... 58 18.2.1. Pööramine ümber ekraani normaali... 58 18.2.2. Pööramine ümber nivoosirge... 59 18.3 TASAPINNALISE KUJUNDI ORIGINAALVORMI TULETAMINE PÖÖRAMISE TEEL... 61 19. KEHA JA SIRGE LÕIKUMINE... 62 19.1. TAHUKA LÕIKUMINE SIRGEGA... 62 19.2. KERA LÕIKUMINE SIRGEGA... 63 19.3. SILINDRI LÕIKUMINE SIRGEGA... 63 19.4. KOONUSE LÕIKUMINE SIRGEGA... 64 20. TAHUKA LÕIKUMINE TASAPINNAGA... 65 20.1. TAHUKA LÕIKUMINE ERIASENDILISE TASAPINNAGA.... 65 20.2. TAHUKA LÕIKUMINE ÜLDASENDILISE TASAPINNAGA... 66 21. PÖÖRDPINDADE LÕIKAMINE TASAPINNAGA... 68 21.1. SFÄÄRI JA PÖÖRDSILINDRI LÕIKED... 68 21.2. PÖÖRDKOONUSE LÕIKED.... 70 22. TAHUKATE LÕIKUMINE. PINNALAOTUSED... 71 22.1. HULKTAHUKAD... 71 22.2. TAHUKATE PINNALAOTUSED... 73 22.3. TAHUKATE LÕIKUMINE... 76 23. PÖÖRDKEHADE LÕIKUMINE... 79 23.1 KÕVERPINNA JA TASAPINNA LÕIKUMINE... 79 23.2. KÕVERPINNA JA SIRGJOONE LÕIKUMINE... 80 23.3 ABITASAPINDADE VÕTE LÕIKEJOONTE TULETAMISEL... 81 23.4 ABISFÄÄRIDE VÕTE LÕIKEJOONE TULETAMISEL... 83 23.4.1. Kontsentrilised abisfäärid... 83 4

23.4.2. Ekstsentrilised abisfäärid... 85 23.5. NIVOOSIRGETE (ABISIRGETE) VÕTE... 86 23.5.1. Silindrite lõikumine... 87 24. VARJUD... 88 24.1. PÕHIMÕISTED... 88 24.2 VARJUDE KONSTRUEERIMINE KAKSVAATEL... 89 24.3. VARJUD AKSONOMEETRILISTEL KUJUTISTEL... 93 25. KVOODITUD RISTPROJEKTSIOON... 95 25.1. PUNKTI JA SIRGJOONE KVOODITUD RISTPROJEKTSIOON... 95 25.2. PINDADE RISTPROJEKTSIOONID JA NENDE LÕIKUMISED... 96 25.2.1. Pindade ristprojektsioonid... 96 25.2.2. Tasapindade lõikumine... 97 25.2.3. Pöördpinna lõikumine tasapinnaga... 100 25.3. KATUSED... 100 25.4. ANTUD KALDENURGAGA PIND LÄBI ANTUD JUHTJOONE... 101 25.4.1. Tasapind läbi antud sirge. Muldkeha kalded.... 101 25.4.2. Etteantud kaldega pind läbi antud kõverjoone... 103 25.5. TOPOGRAAFILISE PINNA LÕIKUMINE TEISTE PINDADEGA... 104 25.5.1. Ühesuguse kaldega tasapinna lõikumine topograafilise pinnaga... 105 25.5.2. Mullatööde piirete määramine topograafilistel pindadel.... 106 26. KORDAMISEKS... 110 SOOVITATAV KIRJANDUS... 115 5

1. SISSEJUHATUS 1.1. Kujutav geomeetria, selle sisu ja eesmärk Kujutav geomeetria on geomeetria eriharu, milles käsitletakse: 1) objektidest tasapinnaliste kujutiste (jooniste) tuletamist; 2) ruumigeomeetriliste ülesannete lahendamist kujutiste abil. Kui geomeetria muudes harudes (stereomeetria, analüütiline geomeetria) lahendatakse ülesanded arvutuslike meetoditega, siis kujutavas geomeetrias lahendatakse kõik graafiliselt. Seega on siin joonisel eriline koht. Siin on joonis põhivahend, mujal illustreeriva tähendusega. Seega peab joonis üheselt määrama kujutatud objekti kõik geomeetrilised omadused. Kui see tingimus on täidetud, siis nimetatakse teda objekti määravaks jooniseks. Kõige tähtsamad on tehnilised joonised, mille järgi toimub nn jooniste lugemine, s.o objekti kuju, suuruse ja tema osade vastastikuse asendi kindlakstegemine joonise järgi. Kujutava geomeetria eesmärgid: 1) teoreetilise aluse andmine jooniste lugemiseks ja valmistamiseks ning sellega aluse rajamine tehnilisele joonestamisele ja muudele joonestamise harudele; 2) inimese ruumikujutluse arendamine. Hästi väljaarenenud ruumikujutlus on eriti tähtis konstruktoritel, arhitektidel, ehitusinseneridel jne. Kujutav geomeetria on õppeaine, kus kõik järgnev õppematerjal tugineb eelneval, seepärast tuleb kõik eelnev alati üle korrata ja selgeks teha. Mõne osa vahelejätmine põhjustab edasise mittemõistmist. Kujutav geomeetria on õppeaine, mis nõuab kujutlemisoskust. Kujutlemisraskuste ületamiseks kasutage abivahendeid, tehke mudeleid jne. Harjutusülesanded, kordamisküsimused. 1.2. Jooniste vormistamine 1. Vahendid Pliiatsid kõvadusega 3H, 2H, H, F, HB,B,2B (vene tähistusega 3T, 2T,T,TM, M, 2M) Sirklid: mõõtsirkel, joonsirkel Kumm, žilett, nuga, kustutusplaat, kleeplint, kolmnurgad Mõõtjoonlaud, mõõtkavajoonlaud, lekaalid, mall, trafaretid, pehme harjake, tušiga töötamise vahendid, joonsuled, rapidograafid (0,25; 0,35; 0,5; 0,7; 1,0) Personaalarvuti CAD projekteerimisega, kasutades erinevaid joonestusprogramme 2. Normkiri Kiri on joonise lahutamatu osa. Joonise kvaliteet oleneb kirja korrektsusest. Kiri kirjutatakse, ei joonestata. Ladina tähestik: A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S Š T U V W Õ Ä Ö Ü X Y Z 6

a b c d e f g h i j k l m n o p q r s š t u v w õ ä ö ü y z Kreeka tähestik: Αα - alfa Ββ - beeta Γγ - gamma δ - delta Εε - epsilon Ζζ - dzeeta Ηη - eeta Θθ - teeta Ιι - joota Κκ - kappa Λλ - lambda Μµ - müü Νν - nüü Ξξ - ksii Οο- omikron Ππ - pii Ρρ - roo Σσ - sigma Ττ - tau Υυ - üpsilon ϑϕ - fii Χχ - hii Ψψ - psii Ωω - oomega Numbrid: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Kirja suuruseks loetakse suurtähe kõrgust h = (2,5; 3,5; 5; 7; 10; 14; 20) millimeetrites. Vastavalt kirja kõrgusele on kirjal number. ISO 3098/1 järgi on kahte tüüpi kirja A- ja B-tüüpi; nii püst- kui kaldkirja. Joonisel 1 on toodud B- tüüpi kaldkirja nr 5 näide koos mõõtudega. Meie kasutame töödes B-tüüpi kaldkirja. Väiketähe kõrgus c = (7/10) h a. Harjutusülesanded: 5 ISO h 1,5 f 1,5 15 ο 1 ISO 81 taip 0,5 Formaat A4 a d 3,5 c 7 b 297 Tähtede vahe a = (2/10) h b. 25 Ridade alusjoonte vahe b = (14/10)h Sõnade vahe min Graafilised tööd ja kontrolltööd: 420 Ain Kaasik MI-11 210 10 e = (6/10) h Kirja joone jämedus Formaat A3 d = (1/10) h Tsentreerimisjoon Väiketähtede üla- ja alapikendus f = (3/10)h Tähe laius (taval.) 25 10 130 297 g = ( 6/10) h 3. Formaadid Formaadid (paberi mõõdud): (siin Raamjoon Formaadi äärejoon Joonis 1. a kirja näidis (B tüüpi kaldkiri nr 5); b jooniste lehtede formaadid A4 ja A3. toome ainult põhiformaadid.) A0 841 1189 A1 594 841 A2 420 594 A3 297 420 A4 210 297 30 7

Kirjanurk (vt joonis 2) kujutavas geomeetrias on väiksem kui insenerigraafikas 130 25 25 25 10 30 10 10 TTK 15.06.06. Ain Kuusik 3437 MI-11 Hulktahu lõige Nr 3 10 Töö nimetus Üliõpilaspileti või õppemärkmiku number Töö number Joonis 2. Graafilistel töödel kasutatav kirjanurk Mõõtkavad. 1:2; 1:5; 1:10; 1:20; 1:50 jne vähendav suurus; 1:1 loomulik suurus; 2:1; 5:1; 10:1; 20:1; 40:1; 100:1; 200:1 jne suurendav. Joonte liigid. Joonise hõlpsamaks lugemiseks ja joonisest arusaamiseks on kehtestatud kindlad joonte liigid, määratud nende jämedused, kasutusalad. Pidev jämejoon: Kriipsjoon: Kriips-kakspunktpeenjoon: Kriips-punktpeenjoon s nähtavad kontuur- ja üleminekujooned, pidev jämejoon ehk põhijoon, lõigete kontuurid. Joone jämedus s = 0,5...1,4 mm, meie võtame s = 0,7...0,9 mm. Arvutijoonistel võtame s = 0,7 mm s/2 või s nähtamatud kontuurjooned, nähtamatud üleminekujooned s/2 liikuvate osade äärmised asendid s/2 mitmesugused telg ja tsentrijooned Pidev peen- s/2 igasugused abijooned, viirutusjooned, joon: viitejooned, projektsioonteljed, tasapindade jäljed, painutusjooned pinnalaotusel jne Pidev vabakäejoon: Murretega peenjoon: Jämendatud s/2 katkestusjooned, kohtlõike ja -vaate üleminekujoon s/2 pikad katkestusjooned s.1,5s lõikepinna asukohta ehk kulgemist 8

kriipsud: näitavad jooned (ISO128-24:1999(E) järgi kriips-punktpeenjoont jämendatud joonte vahel ei ole vaja kasutada) Joonte jämedused ja nende kasutusala vastab standardile ISO128-24:1999(E) ja nende kasutusala insenerigraafikas on tunduvalt laiem. 1.3. Tõsiasju elementaargeomeetriast 1. Kaks sirgjoont, mis on paralleelsed kolmandaga, on paralleelsed omavahel. 2. Kui paralleelsed sirged lõikavad nurga haarasid, siis lõigud, milleks paralleelid jaotavad nurga ühe haara, on võrdelised lõikudega, milleks nad jaotavad nurga teise haara. 3. Sirgjoon ja tasapind on paralleelsed, kui tasapinnal leidub antud sirgega paralleelne lõik. 4. Kaks tasapinda on paralleelsed, kui ühe tasapinna kahel lõikuval sirgel on kummalgi oma paralleel teisel tasapinnal. 5. Sirgjoon ja tasapind on teineteisega risti, kui tasapinnal leidub kaks lõikuvat sirget, mis on risti antud sirgega. 6. Kaks tasapinda, mis on paralleelsed kolmandaga, on paralleelsed ka omavahel. 7. Paralleelsete tasapindade lõikamisel tasapinnaga tekivad paralleelsed lõikesirged. 8. Kolme tasapinna lõikesirged on kas paralleelsed või lõikuvad kõik ühes punktis. 9. Tasapinna normaal (ristsirge) on risti iga sirgega, mis asetseb sellel tasapinnal. 10. Igast punktist saab läbi panna üheainsa sirge, mis on risti antud tasapinnaga. 11. Igast punktist saab läbi panna üheainsa tasapinna, mis on risti antud sirgega. 12. Iga tasapind, mis läbib antud tasapinna normaali, on selle antud tasapinnaga risti. 13. Kui sirge ei ole risti antud tasapinnaga, siis saab temast läbi panna ühe tasapinna, mis on antud tasapinnaga risti. Selle tasapinna määrab antud sirge koos tasapinna iga normaaliga, mis lõikab antud sirget. 14. Kahe kiivsirge vahelist nurka mõõdetakse tavalise nurgaga, mille haarad on paralleelsed nende kiivsirgetega. 15. Kahetahulist nurka mõõdetakse nurgaga, mille haarad asetsevad teine teisel tahul ja on risti tahkude lõikejoonega. Kahetahulist nurka võib mõõta ka nurgaga nende tasapindade normaalide vahel. 2. PROJEKTSIOONIDE LIIGID JA ELEMENDID Kujutise saamist objektist nimetatakse projekteerimiseks. 2.1. Tsentraalprojektsioon Kirjeldataval projekteerimisel lähtuvad kõik kiired ühest punktist (tsentrist S) s.o tsentraalprojekteerimine ja saadavat kujutist nimetatakse tsentraalprojektsiooniks e perspektiiviks. Seega A B C on ABC tsentraalprojektsioon. Igale S D A M N C B C' ε Joonis 3. Tsentraalprojektsioon M'=N' 9

ruumipunktile saab leida selle meetodiga projektsiooni, välja arvatud ekraaniga paralleelsete kiirtega projekteerimisel. See tähendab, et punkti D projektsiooni me ei saa. Kiir SD ε ja punkti D kujutist lõplikul kaugusel ei ole. Elemendid: tasapind ε ekraan e projektsioonipind sellel saadakse kujutis; punkt S projekteerimistsenter e silmapunkt; kiired SA, SB, SC kujutamiskiired e projekteerivad kiired. 2.1.1. Projektsioonide üldomadused 1. Punkti projektsioon ekraanil on seda punkti läbiva kujutamiskiire ja ekraani lõikepunkt. See kirjutatakse nii: A SA ε (A prim on kiire SA ja ekraani ε lõikepunkt). 2. Mistahes objekti projektsioon koosneb selle objekti punktide projektsioonidest. Punktid sirgel B C projekteeruvad B C -le. Kõverjoonte projektsiooni on just punktide kaudu lihtne teha. 3. Sirgjoone projektsioon on üldjuhul sirge, sest ta on sirgjoont projekteeriva tasapinna ja ekraani lõikesirge. Erijuhul punkt M K. 4. Kui punkt on mingil joonel, siis selle punkti projektsioon on selle joone projektsioonil. S 5. Kui tasapinnalist kujundit projekteerivad kiired asetsevad kõik kujundi tasapinnas (vt A B joonis 4), siis see kujund projekteerub sirglõiguks s.o tasapinna sirgkujutis, ning sirgjoone punktikujuline projektsioon C sirgjoone punktkujutis. 6. Objekti üksainus projektsioon ilma C' lisaandmeteta ei määra seda objekti ruumis. Nagu punkti A projektsioon silmapunktist S võib olla tegelikult ükskõik kus sellel kiirel SA. 2.2. Paralleelprojektsioon ε Joonis 4. Projektsioonide üldomadused tasapinnalist kujundit projekteerivad kiired asuvad kõik kujundi tasapinnas Kui kujutamiskiired on omavahel paralleelsed, siis on see paralleelprojekteerimine; vastav kujutis aga paralleelprojektsioon. Paralleelprojekteerimist võib võtta ka kui tsentraalprojekteerimise erijuhtu, kus silmapunkt on viidud lõpmata kaugele (S ). Siin antakse S asemel kujutamiskiirte siht K (vt joonis 5). C A B K ε Paralleelprojektsioonid jagunevad kald- ja ristprojektsioonideks. Ristprojektsiooni nimetatakse ka ortogonaalprojektsiooniks. C' Joonis 5. Paralleelprojektsioon 10

2.2.1. Paralleelprojektsioonide omadused Kehtivad p 2.1. omadused 1...6, lisaks veel aga järgmised. 7. Kui sirglõik on paralleelne ekraaniga, siis tema paralleelprojektsioon sellel ekraanil on pikkuselt võrdne ja paralleelne lõigu enesega. Tõestus: AB ε ja asetseb tasapinnal µ, µ ε (vt joonis 6). µ ja ε lõikamisel tasapinnaga ABB A tekivad paralleelsed lõikesirged, siis A B AB; ABB A rööpkülik ja A B =AB. B C A D µ C'=D' ε Joonis 6. Paralleelprojektsioonide omadused: sirglõik on paralleelne ekraaniga 8. Sirgjoone lõigud on võrdelised oma paralleelprojektsioonidega. Tõestus: kui sirgjoon AC ja tema paralleelprojektsioon A C asuvad samal projekteerival tasapinnal, siis sirged kas lõikuvad või on paralleelsed. Lõikepunkt L; AA BB CC ; siis lõikavad nad nurga haaradest võrdelised lõigud (vt 1.3. p2), seega AB : BC = A B : B C (vt joonis 7). Siit järeldub: 1) lõigu keskpunkt projekteerub sama lõigu kujutise keskpunktiks; 2) kolmnurga raskuskese (mediaanide lõikepunkt) projekteerub kujutiskolmnurga raskuskeskmeks. Sirglõigu paralleelprojektsioon võib olla lõigust kas lühem või pikem või võrdne. Projektsiooni pikkuse ja lõigu enda suhet nimetatakse moondeteguriks (m). Näiteks lõigu AB moondetegur m = A B AB; valemist AB BC = A B B C ; A B /AB = B C / BC = m; A B = m AB ja B C = m BC ning sõltuvalt kujundi, kiirte ja ekraani asendist võib paralleelprojektsiooni pikkus muutuda 0, seega ka moondeteguri m vahemik on 0 m. ε L=L' A B C' C Joonis 7. Paralleelprojektsioonide omadused: sirgjoone lõigud on võrdelised oma paralleelprojektsioonidega 9. Paralleelsete sirgete paralleelprojektsioonid on üldjuhul jälle paralleelsed sirged. Tõestus: AB CD siis ka π τ, sest ka AA CC ja tekivad lõikesirged A B C D. Erandid: 1. Kui paralleelid on kujutamiskiirtega paralleelsed, siis projekteeruvad nad punktideks. ε A π G τ B C M C' =G' Joonis 8. Paralleelprojektsioonide omadused: paralleelsete sirgete paralleelprojektsioonid D N D' 11

Märkus: punkt 9 aga ei ole pööratav, st ei saa öelda, et kui A B C D, siis ka AB CD, sest ka AG, mis on kiivne sirge, ei ole paralleelne CD-ga A B A G = C D, aga AG CD. 2. Kui sirged, sõltumata nende arvust, asuvad ühel ja samal tasapinnal, mis on kiirtega paralleelne, siis nad projekteeruvad üheks ainsaks sirgeks. 10. Paralleelsed sirged on võrdelised oma paralleelprojektsioonidega. Tõestus: tasapindadel π ja τ lõigud A M AB ja C N CD, saame A B M ja C D N, kus A M = AB ja C N = CD; siit AB CD = A B C D või A B AB = C D CD = m, st paralleelsetel lõikudel on sama moondetegur. 11. Kui tasapinnaline kujund on paralleelne ekraaniga, siis tema paralleelprojektsioon on kongruentne kujundi endaga. Kujund γ mistahes lõik temal on paralleelne lõiguga ekraanil ε kui kujundi tasapind on paralleelne ekraaniga ε k A ' γ' A γ Joonis 9. Paralleelprojektsioonide omadused: tasapinnaline kujund on paralleelne ekraaniga B ε, s.o lause 7 põhjal ja seda moondevabalt; järelikult A B = AB γ ja γ on kongruentsed. Kui aga kujundi tasapind on paralleelne kujutamiskiirtega (vt 2.1 p 5), siis tema paralleelprojektsiooniks on sirglõik. Võrreldes paralleelprojekteerimist tsentraalprojekteerimisega, võib välja tuua järgmist. 1. Paralleelprojekteerimisel säilib sirgjoonte paralleelsus ja lõikude lihtsuhe. Objektide mõõtmed on vähem moonutatud kui tsentraalprojektsioonil. 2. Paralleelprojektsiooni tuletamine on tunduvalt lihtsam tsentraalprojektsiooni tuletamisest. Tehnikas eelistatakse paralleelprojektsiooni, eriti aga ristprojektsioone. 2.3. Ristprojektsioon Kui kujutamiskiired on risti ekraaniga, siis saadud kujutis on ristprojektsioon. Ta kuulub paralleelprojektsioonide hulka ja tema kohta kehtivad kõik paralleelprojektsioonide omaduste M M' ε L=L' ε N ϕ A L N'=L' Joonis 10. Paralleelprojektsioonide omadused: tasapinnaline kujund on paralleelne kujutamiskiirtega ϕ K K' B M Joonis 11. Ristprojektsiooni omadused: sirglõigu ristprojektsioon k 12

laused 1...11 (vt 2.1 ja 2.2). Sirgjoone kaldenurk ϕ, teravnurk (0...90 ), selle sirgjoone ja tema ristprojektsiooni vahel sellele tasapinnale. Nurga tipp L on sirgjoone ja ekraani lõikepunkt. Nurk ϕ on sirgjoone kaldenurk. 2.3.1. Sirglõigu ristprojektsioon Tõmbame abijoone A M AB (vt jn 11). Tekib A B M, sealt A B = A M cosϕ, aga A M = AB, siis AB = AB cosϕ. Siit järeldub, et sirglõigu ristprojektsioon ei saa olla lõigust enesest pikem. Ta on aga piires 0...AB-ni. Et A B AB = cosϕ = m, siit cos ϕ = m (moondetegur), seega 0 m 1. 2.3.2. Nurga ristprojektsioon Nurga ristprojektsioon võib olla nurgast enesest kas väiksem, suurem või võrdne. Sõltub nurga tasapinna asendist ekraani ja kiirte suhtes: a S b π a) kui nurga tasapind on risti ekraaniga, siis nurga ristprojektsioon on kas 0 või 180; b) kui nurga tasapind on paralleelne ekraaniga, siis projektsioon on võrdne nurga enesega (vt 2. 2 p11). b' a' ε Nurga ristprojektsioon Kui a//a' ja b ε, siis 90 =90 ' 2.3.3. Ristprojektsiooni omadused Lisaks eelpooltoodud omadustele 1...11 on ristprojektsioonil veel järgmised omadused. 12. Sirglõigu ristprojektsiooni pikkus võrdub sirglõigu enda pikkuse ja kaldenurga koosinuse korrutisega (vt jn 11) (vt Sirglõigu ristprojektsiooni pikkus). 13. Täisnurk projekteerub ristprojekteerimisel täisnurgaks, kui tema üks haar asetseb ekraanil või on sellega paralleelne, teine haar aga pole selle ekraaniga risti. Tõestus: kui a ja b on täisnurga haarad ja a ja b nende haarade ristprojektsioonid ekraanil. Haar a aga on paralleelne ekraaniga (a ε), siis a s, sest s ε ja a ε. a b, seega a π ja b asub projektsioonpinnal π ning paralleelprojektsioonide omaduse (7.) põhjal a a (sest a ε), järelikult ka a π ja a b. 13a. Nurk, mille üks haar asetseb ekraanil või on ekraaniga paralleelne ning mille ristprojektsioon on täisnurk, on ka ise täisnurk. Meil on kolmnurgad ACB ja AC B, seal nurk ϕ(a, A= c ε Joonis 12. Ristprojektsiooni omadused: nurga ristprojektsioon β B= ϕ b b' a ϕ' a' α C k C' Joonis 13. Ristprojektsiooni omadused: nurga ristprojektsioon 13

b) ja tema projektsioon ϕ (a b ). Koosinuslause põhjal nendest kolmnurkadest c 2 = a 2 + b 2-2ab cos ϕ c 2 = (a ) 2 + (b ) 2-2a b cos ϕ, siit nende valemite vasakust poolest saame, et c 2 - c 2 = 0. Lahutades ka paremad pooled saame- a 2 - (a ) 2 + b 2 -(b ) 2-2abcos ϕ + 2a b cosϕ =0 Kolmnurkadest BCC ja ACC leiame, et a 2 - (a ) 2 = k 2 = b 2 -(b ) 2. Pannes selle eelmisesse valemisse asemele, saame 2k 2-2abcos ϕ + 2a b cos ϕ = 0 aga k/a = sinα ja k/b = sinβ; a /a = cosα ja b /b= cosβ siis teisendades eelmist valemit saame: sinα sinβ - cosϕ + cosα cosβ cosϕ = 0. cosϕ cosα sin β Siit cosϕ =, cosα cos β kus 0 < ϕ < 180; 0 α; β 90. 3. AKSONOMEETRIA Objekti kujutis peab olema lihtne, mõõdetav ja piltlik. Lihtne mida vähem jooni, seda lihtsam. Mõõdetav seda parem, mida rohkem tasapinnalisi kujundeid on projekteerunud moondevabalt. Piltlik seda parem mida hõlpsamini me tema järgi objekti ära tunneme; selleks tuleb objekt seada kiirte ja ekraani suhtes üldasendisse, s.o asendisse, mille puhul võimalikult palju objekti servi ja tahke on kiirte suhtes kaldu. Kõige piltlikuma kujutise saame tsentraalprojekteerimisega. Seda tehakse arhitektuuris. Hõlpsasti saab aga piltlikke (ruumilisi) kujutisi aksonomeetriliste kujutiste abil. Aksonomeetriliste projektsioonide esmaseks ülesandeks on ilmekate (ruumiliste) kujutiste saamine. Seda kujutamismeetodit nimetatakse aksonomeetriaks (kreeka keeles akson telg, metreo mõõdan). Ilmekuse saavutamiseks tuleb ese asetada võimalikult üldisesse asendisse ekraanide suhtes ning siduda mingi kindla teljestiku ja koordinaatidega. Andmetena kasutame aksonomeetriliste projektsioonide saamiseks kaksvaadet. Tegevuse järjekord selleks on järgmine. 1. Objekt seotakse ruumilise ristteljestikuga objekti iga punkt saab oma koordinaadid selles teljestikus. 2. Joonestatakse teljestiku kujutis. 3. Konstrueeritakse objekti enda kujutis teljestiku kujutise baasil, kasutades selleks saadud objekti punktide koordinaate selles teljestikus. Tulemuseks saame objekti aksonomeetrilise kujutise. Suur tähtsus on telgede asendil ja moondeteguritel telgede suhtes. Siin on moondetegur telgedel oleva ühiklõigu aksonomeetrilise kujutise ja tema loomuliku suuruse suhe erinevate telgede suundades. Moondetegurid: m = O 0 A 0 OA; m y = O 0 B 0 OB; 14

m z = O 0 C 0 OC, O A C γ siit näiteks: z α C B O 0 A 0 = m OA, kus Z β z OA = O O 0 A 0 m jne X A B Lähtuvalt teljestiku Y asendist ja telgede ε y moondetegurite vahekorrast liigitatakse aksonomeetrilisi y kujutisi järgmiselt. Joonis 14. Aksonomeetria teljestik 1. Kui moondetegur on kõikide telgede suundades ühesugune (m = m y = m z ), siis aksonomeetrilised kujutised on isomeetrilised e. võrdmõõdulised (ristisomeetria, frontaalne kaldisomeetria, horisontaalne kaldisomeetria). 2. Kui kahe telje suunas on moondetegur ühesugune, kolmanda suunas aga erinev (m = m z ; m y m z ), siis kujutised on dimeetrilised e. kahemõõdulised (ristdimeetria, frontaalne kalddimeetria, horisontaalne kalddimeetria). 3. Kui moondetegur on kõikide telgede suunas erinev (m m y m z ), siis aksonomeetrilised kujutised on trimeetrilised e. kolmemõõdulised (risttrimeetria, frontaalne kaldtrimeetria, horisontaalne kaldtrimeetria). Praktikas harilikult trimeetriat ei kasutata. Aksonomeetria põhiteoreem ütleb: tasapinnale joonestatud kolme lõiku, mis algavad kõik ühest punktist, kuid ei asetse ühel sirgel, võib alati vaadelda ristteljestiku ühikkolmiku paralleelprojektsioonina. Selle teoreemi alusel võib teljestiku ühikkolmiku paralleelprojektsiooni joonestada vabalt, ainsa kitsendusega, et kogu teljestiku kujutis ei tohi asetseda ühel sirgel. 3.1. Ristaksonomeetria Ristaksonomeetria jaguneb: a) ristisomeetria; b) ristdimeetria. 1. Ristteljestiku telgede ristprojektsioonid on jälgkolmnurga kõrgussirgeteks. Kolmnurka XYZ, mille tippudeks on telgede jälgpunktid ja külgedeks on koordinaatpindade XOY, YOZ ja ZOX jälgsirged, nimetatakse telgede jälgkolmnurgaks (vt joonis 14). 2. Moondeteguritevaheline seos: m = O 0 /O = cosα ; m y = O 0 y/oy = cosβ; m z = O 0 z/oz = cosγ Ristprojektsiooni puhul on telgede moondetegurite ruutude summa võrdne 2, s.o Tõestus vt [1] lk 190 192. m 2 + m y 2 + m z 2 = 2. 15

3. Kahe koordinaattelje tasapinnal (või selle paralleeltasapinnal) asetseva ringjoone ristaksonomeetrilise kujutise (ellipsi) pikem telg on risti kolmanda koordinaattelje kujutisega. Telgede suurused on: pikem telg a = r; Tõestus vt[1] lk193 194. 3.1.1. Ristisomeetria 2 y m z 2 z m y 2 yz m lühem telg b = r 1 ; b = r 1 ; b = r 1. Kasutades ekraanide suhtes ristuvaid kiiri ja teljestikku, kus kõik teljed on ekraanide suhtes võrdse nurga all, saame ristisomeetria teljestiku (vt jn 15). Teljestik: Siin on moondetegurid kõikide telgede suunas võrdsed: m = m y = m z, siis m 2 + m 2 y +m 2 z = 2, siit 3m 2 = 2 (selle väite tõestuse võib leida [1], lk 191...192). 2 Järelikult moondeteguri väärtus on: m = m y = mz = = 0, 82 ; 3 2 s.o cos α = m =, st telgede kalle ekraanide suhtes on α = β = γ =35 16. Seetõttu 3 on ka nurgad telgede kujutiste vahel kõik võrdsed, st suurusega 120. Teljestiku kujutist koos moondeteguritega ja praktikas nende asemel kasutatavate taandatud moondeteguritega vt joonisel 15. Tegelikult moondetegurit m = 0,82 ei kasutata, vaid seda suurendatakse km = 1,0, kus tegur k = 1,0 = 1,22 ; st joonestamisel muudetakse mõõtkava ja seda uut moondetegurit 0,82 nimetatakse taandatatud moondeteguriks. Ringjooned need muutuvad ellipsiteks, mille pikem pooltelg a = kr = 1, 22r, 2 lühem pooltelg b = kr 1 m = kr 1 2 0, 71r. 3 Edukalt saab ellipseid konstrueerida kasutades kõõlude meetodit. Kera ristisomeetriline kujund on ring, millel raadius R = 1,22 r. Joonisel 18a on kujutatud risttahuka ristisomeetriline kujutis. 3.1.2. Standardne ristdimeetria Kui kasutada ekraanide suhtes ristuvaid kiiri, on kaks koordinaattelge ( ja y) võrdsete ja kolmas (z) telg erineva kalde all ekraanide suhtes ja saame täisnurkse ristdimeetria. Kõige levinum on standardne ristdimeetria, kus y- ja z-teljed on 28 08 ja -telg 61 52 ekraani suhtes kaldu. Teljestik (vt joonis 16). Moondetegurid telgede suunas m y = m z = 2m (või m = m z = 2m y ) [(2m ) 2 + (2m ) 2 2 + m = 9m 2 2 ], aga 9m = 2, siit m = 1 2 0,47 3 = ja m = = 2 2 0, 94 3 = y m z. 16

m=0,82 km=1 120 z mz=0,82 kmz=1 120 R z 120 my=0,82 kmy=1 m=my=mz= 2/3=0,82 k=1/m=1/0,82=1,22 y R z y r C B b O A a D R=2b b a a b a b y Ellipsi teljed: BD=2b CA=2a Ellipsi poolteljed: a=1,22r b=0,71r Joonis 15. Ristisomeetria teljestik, selle joonestamine ja kuubi ristisomeetriline kujutis Praktikas ei kasutata moondetegureid m = 0.47; m y = 0,94 ja m z = 0,94. Kõik moondetegurid korrutatakse teguriga k = 1 = 3 2 1, 06. Võetakse km 4 = 1/2 ja km y = km z = 1, need on m y taandatud moondetegurid ning kujutis tekib 1,06 korda originaalist suurem. Telgede joonestamiseks nurgad 0 - ja y 0 -telje ning z 0 -telje ristsihi vahel on 41 25 ja 7 10. ' Kuna tan 41 25 7/8 ja tan 7 10 1 võib need nurgad tangensite kaudu välja joonestada. 8 Ringjooned (vt joonis16) Ringjooned muutuvad ellipsiteks, mille poolteljed on a = 1,06r; 17

ja 2 b kr m y r 1 1 = 1 = 1,06 0, 35r ; (kusjuures suhe 9 2 ning b kr m r 7 2 = 1 = 1,06 0, 95r. 9 Kera joonestatakse raadiusega R = 1,06r ringina. b1 = a Kui moondetegurid telgede suunas on m :m y :m z = 1:1/2:1, siis nurgad on peegelpildis. 1 3 ) z0 z0 C0 8 8 1 41v25' 00 7v10' 7 A0 00 B0 y0 0 km=0,5 kmy=1,0 m=0,47 my=0,94 y0 0 z b1 a m/my/mz=0,5/1/1 a=1,06r b1=a/3 b2=0,9a a 0 b2 a b1 y Joonis 16. Standardse ristdimeetria teljestik, selle joonestamine ja kuubi standardne ristdimeetriline kujutis Kumba, kas ristisomeetriat või ristdimeetriat kasutada, sõltub objektist, tähtis on, et ei oleks kahjustatud piltlikkust. Viilkatusega hoone kujutis isomeetrias jääb igal juhul ilmetuks. 3.2. Kaldaksonomeetria Kaldaksonomeetria jaguneb: - frontaalne kaldisomeetria, - frontaalne kalddimeetria, - horisontaalne kaldisomeetria, - horisontaalne kalddimeetria (ei kasutata). Ristaksonomeetrias on tihti vähemalt üks detaili pind ekraaniga risti (projekteerub sirgjooneks). Sellega kaotab objekti kujutis aga oma piltlikkuse. Ristaksonomeetrias on ka objekti teljestik tavaliselt ekraani suhtes risti, et aga piltlikkust säilitada, siis välditakse teljestiku sellist asendit. 18

Kaldprojektsiooni puhul aga ei ole vaja vältida selliseid teljestiku lihtsaid eriasendeid, seepärast kasutataksegi praktilises kaldaksonomeetrias teljestiku ja ekraani vastastikust asendit, kus kaks telge asetsevad vahetult ekraanil (st ekraaniks on üks koordinaatpind). Kolmas telg on siis ekraaniga risti. 3.2.1. Frontaalne kalddimeetria e. kabinetprojektsioon Ekraaniks võetakse vertikaalne koordinaatpind Oz, mis on paralleelne objekti fassaadpinnaga. Teljed ja z ühtivad oma kaldprojektsioonidega ja moondetegurid z0 nendel telgedel m = m z = 1. Kaldkiirte sihi valime nii, et moondetegur m y = 0,5. Kuna y-telje moondetegur võrdub kiirte kaldenurga kootangensiga m y = OB 0 / OB = cotϕ = 0.5, siis kiirte kaldenurk ekraani suhtes ϕ 63. y-telje kaldenurk on ekraanil 45 (võib olla ka 30 või 60 ). Ringid frontaaltasapinnal (või sellega paralleelsel pinnal) on loomulikus suuruses. Teistel tasapindadel projekteeruvad ringjooned ellipsiteks, mille suur pooltelg a = 1,07R asub -telje 7 14' 0 OD m= 1,0 O0 mz= 1,0 7 14' my=0,5 b=0,33r a=1,07r o 45 o (30 või 60 ) b=0,33r a=1,07r y0 Joonis 17. Kabinetprojektsiooni teljestik, selle Joonis 17. joonestamine Kabinetprojektsiooni ja ringjoone teljestik, kujutised selle ekraanidel. joonestamine ja ringjoone kujutised ekraanidel. suhtes nurga all 7 14 (horisontaaltasapinnal) ja z-telje suhtes ka 7 14 (vertikaalsel profiilpinnal). Väike pooltelg b = 0,33R. Frontaalset kalddimeetriat nimetatakse ka kabinetprojektsiooniks. Joonisel 18b on kujutatud risttahuka kabinetprojektsioon. z a. b. z y y Joonis18. Ühesuguste mõõtudega risttahuka aksonomeetriliste kujutiste näited: a ristisomeetriline kujutis; b kujutis frontaalses kalddimeetrias e kabinetprojektsioonis 3.2.2. Frontaalne kaldisomeetria Ekraaniks võetakse siin samuti vertikaalne z-koordinaatpind. Objekti fassaadpind on paralleelne ekraaniga. Teljed ja z ühtivad oma kaldprojektsioonidega, siis m = m z = 1. 19

Kui aga kaldkiirte siht on selline, et m y = 1 (sel juhul kiirte kaldenurk ekraani suhtes ϕ = 45 ) ja moondetegurid telgede suunas m = m y = m z = 1:1:1. y-telje kaldenurk ekraanil on 45 (võib ka 30 või 60 kui vaja) (vt jn 19). zo 3.2.3. Horisontaalne kaldisomeetria Ekraaniks ε 0 võetakse horisontaalne y-pind. Siin - ja y-telg ühtivad oma kaldprojektsioonidega horisontaalsel põhipinnal ja moondetegurid m = m y = 1. z-telje moondetegur aga võrdub kiirte kaldenurga kootangensiga m z = OC 0 /OC = cotϕ. Kui kiirte kaldenurk ekraani suhtes ϕ = 45, siis m z = 1 (see on horisontaalse kaldisomeetria puhul kõige rohkem kasutatav kaldenurk) (vt jn 20). o m=1,0 mz=1,0 my=1,0 45 yo Joonis 19.Frontaalse kaldisomeetria teljestik o o o (30 või 60 ) y-telje kaldenurk soovitatakse võtta ω = 30, kuid võib kasutada ka 45 ja 60. Objekti kõik horisontaalpinnad ja -lõiked projekteeruvad moondevabalt (seal saame ka põhiplaani). Horisontaalset kaldisomeetriat on otstarbekas kasutada arhitektuursetel joonistel. mz=1,0 z0 30 o o (45 või 60 ) Joonis 20. Horisontaalse kaldisomeetria teljestik 0 m=1,0 my=1,0 y0 4. PUNKTI JA SIRGE PROJEKTSIOONID 4.1. Monge i meetod. Punkti kaksvaade Monge i meetod seisneb järgmises. Objektist tuletatakse kaks ristprojektsiooni ekraanidel, mis on teineteisega risti. Seejärel pööratakse ekraanid koos kujutistega joonise tasapinnale. Saame objekti kaksvaate. Sageli on vaja veel täiendavaid vaateid (ristprojektsioone) või lõikeid ja projekteerida neid teistele tasapindadele ja pöörata joonise tasapinnale. Niiviisi saadud joonist, mis koosneb mitmest omavahel seotud ristprojektsioonist, nimetatakse mituvaateks. Meetod sai nime kuulsa prantsuse matemaatiku ja suure geomeetria spetsialisti, inseneri, ühiskonna- ja riigitegelase Gaspard Monge järgi, kes elas aastatel 1746 1818. Gaspard Monge andis oma raamatus Géométrie déscriptive (1799) kokkukuuluvate ristprojektsioonide meetodi ja rajas sellele kogu kujutava geomeetria teooria. 20

4.1.1. Punkti kaksvaade Meil on kaks teineteisega ristuvat ekraani ε 1 ja ε 2 ; kusjuures ε 1 ε 2 (vt jn 21). Siin joonisel: ε 1 horisontaalne põhiekraan; ε 2 vertikaalne esiekraan; ekraanide lõikesirge - telg; projekteerivad kiired: K 1 põhikiir (K 1 ε 1 ), K 2 esikiir (K 2 ε 2 ); punkti A ristprojektsioon põhiekraanil A (s.o p A põhiprojektsioon, tema pealtvaade e horisontaalprojektsioon); punkti A ristprojektsioon esiekraanil A (s.o p A a. b. ε2 A" B=B" A K2 C" ε1 K1 A Vaade ε2 suunas Vaade ε1 suunas C=C' ε2 B=B" ε1 A A" C" Vaade suunas C=C' Vaade ε2 suunas Joonis 21. Punkti kaksvaade: a punktid ruuminurgas ja nende projektsioonid teineteisega ristuvatele ekraanidele; b samade punktide joonis (kaksvaade) esiprojektsioon, tema eestvaade e frontaalprojektsioon); sirge A A p A projektsioone ühendav sidejoon, mis on alati risti -teljega (A A - telg); -telg kaksvaate telg. Pöörates põhiekraani (ε 1 ) esiekraani (ε 2 ) tasapinnale, s.o joonise tasapinnale, saame p A joonise (2 vaadet), mis koosneb p A kahest teineteisega seotud vaatest A ja A ja mida nimetatakse punkti A kaksvaateks. Kaksvaate omadused A2 1. Sidejoon A A. ε2 2. Punkti A kaugus põhiekraanist seda mõõdetakse A" A1 eestvaatel punkti A projektsiooni (A ) kaugusega -teljest A A = AA. Punkti A kaugus esiekraanist seda mõõdetakse pealtvaatel punkti A projektsiooni (A ) kaugusega -teljest A A A = AA. 3. Kui punkt on esiekraanil (nagu p B), siis tema ε1 esiprojektsioon B B [p B eestvaade (B ) langeb kokku p B Joonis 22. Punkti asukoht enesega ruumis], punkti B pealtvaade (B ), aga on -teljel. ruumis tema Põhiekraanil oleva punkti puhul aga (nagu p C) p C kaksvaate järgi. pealtvaade C C, eestvaade (C ) aga on -teljel. 4. Joonise pinda võib aga soovi kohaselt tõlgendada kas põhi- või esiekraanina (vt jn 22). 14. Punkti kaksvaade määrab punkti asukoha ristuvate ekraanide suhtes üheselt, joonise pinna suhtes aga kaheselt (vt jn 22). 21

Kui joonise pinnaks võtta põhiekraan, näeksime punkti A asukohaga A 1, kui aga joonise pinnaks võtta esiekraan, näeksime sama punkti asukohaga A 2. Punkt asub seega jooniste erivariantide järgi kahel kohal A 1 ja A 2. Tegelikult, kui murrame joonise pinna kokku ruumi nurgaks, saame esialgse tulemuse mõlemad punktid, nii A 1 kui A 2, langevad kokku punktis A, st, ruumis A 1 A 2 A. 4.1.2. Punkti asukoht ruumiveerandite järgi Ristuvad tasapinnad ε 1 ja ε 2 jagavad ruumi neljaks ruumiveerandiks (vt jn 23 ): I ekraani ees ja põhiekraanist üleval pool; II esiekraani taga ja põhiekraanist üleval pool; III esiekraani taga ja põhiekraanist allpool; IV esiekraani ees ja põhiekraanist allpool. 3. 2. B C' C ε2 A" B" B D C A C'' 4. 1. ε1 D" A D' Kui joonise pinnaks võtame esiekraani ε 2, siis pöörates ekraani ε 1 joonise pinnale, saame punktide kaksvaated, nii nagu on näidatud joonisel 24. Joonis 23. Ristuvad tasapinnad jagavad ruumi neljaks ruumiveerandiks D Kui punkti kaksvaated langevad kokku, siis punkt asub tasapinnal ξ, mis poolitab II ja IV veerandit (vt jn 25). ε1 2. B -y C' ε2 +z ' ' 0 A D' 1. +y ε1 1. 2. 3. 4. ' C' ' D'' D 3. C C'' 4. -z ε2 C'' D'' D' Joonis 24. Punkti asukoht ruumiveerandite järgi joonisel (kaksvaatel) ja joonise saamine 22

ε1 ξ 2. -y F' 3. F ε2 +z F'' 0 G'' -z 1. G' G +y 4. ξ ε1 2. 4. F''=F' G'=G" ε2 Joonis 25. Punkti asukoht ruumiveerandites, kui punkti kaksvaated langevad kokku Tabelis 1 on toodud punktide koordinaatide märgid, kui punktid asuvad erinevates ruumiveerandites. Punktide asukohad ruumiveerandites vastavad joonistele 23 ja 24. Punktide koordinaatide märgid vastavates ruumiveerandites Punkt Punkti asukoht ruumiveerandis y z A I + + + B II + + C III + D IV + + Tabel 1. Siin on punkti A kõik koordinaadid positiivsed, kuna punkti koordinaatlõigud vastavatel telgedel langevad kokku telgede positiivse suunaga (vastasel juhul oleks koordinaadid negatiivsed). Koordinaat määrab punkti A kauguse külgekraanist e 3 (punkti A laiuse koordinaat), seda mõõdetakse mööda -telge või paralleelselt -teljega. Koordinaat y määrab punkti A kauguse esiekraanist e 2 (punkti A sügavuse koordinaat), seda mõõdetakse mööda y-telge või paralleelselt y-teljega. Koordinaat z määrab punkti A kauguse põhiekraanist e 1 (punkti A kõrguse koordinaat), seda mõõdetakse mööda z-telge või paralleelselt z-teljega. Näide punkti koordinaatide märkimise kohta: A(20; 15; 35), st punkti A koordinaatide väärtused on järgmised = 20 mm, y = 15 mm ja z = 35 mm. Joonisel 26 on toodud näide punktide K(40; 35; 10); E(15; -20; -15) ja F(30; 10; -30) kaksvaate joonestamiseks, kus punktid on vastavalt I, III ja IV ruumiveerandis. 23

4.2. Punkti kolmvaade (e üldasendiline punkt) Punkti kaksvaade määrab punkti asukoha ekraanide suhtes üheselt. Keerukama objekti puhul peaks neid punkte olema väga palju ja punktide tähiseid samuti väga palju. Joonis läheb liiga kirjuks ja isegi segaseks. Seetõttu on tehnilises joonestamises üldse loobutud punktide tähistamisest. Kuid kui punktid on tähistamata, siis ei määra kaksvaade tihti enam objekti üheselt. Näiteks vaatame kaksvaadet, mis on näidatud joonisel 27 a. Sellise kaksvaate võivad anda erinevad objektid. Joonisel 27 annavad samasuguse kaksvaate nii detailid 27 b, c kui ka d. Kui kaksvaade ei määra objekti üheselt, siis võetakse kasutusele lisaristprojektsioonid lisaekraanidele. Esimene täiendav ekraan võetakse risti -teljega. Ta on risti nii põhikui esiekraaniga ja tähistatakse ε 3 ning nimetatakse külgekraaniks. Külgekraan lõikab nii põhi- kui esiekraani vastavalt mööda telgesid y ja z. Objekti ristprojektsioon külgekraanil s.o objekti vasakvaade e. külgvaade. Punktist A saame siis projektsioonid ekraanidel ε 1, ε 2 ja ε 3 : pealtvaate A, eestvaate A ja külgvaate A (vt jn 28). Punkti A kaugus külgekraanist on AA. Ekraanide lõikesirged võetakse ristkoordinaadistiku teljestikuks Oyz. Kehad c ja d ei ole kaksvaatega lõplikult määratud. a. K" 40 K' E' 30 15 F' F" E" z -20 10 0 10-15 -30 35 y1 Joonis 26. Näide punktide kaksvaadete konstrueerimiseks nende koordinaatide järgi Ekraanid on koordinaatpinnad (vt jn 28): põhiekraan ε 1 y (ykoordinaatpind); esiekraan ε 2 z (z-koordinaatpind); b. c. d. külgekraan ε 3 yz (yz-koordinaatpind). Joonis 27. Kaksvaatega määramata detailide variante Punkti A kaugused ekraanidest on: 0 = OA = A A s.o p A kaugus külgekraanist e p A külgkvoot; y 0 = OA y = AA s.o p A kaugus esiekraanist e p A esikvoot; z 0 = OA z = A A s.o p A kaugus põhiekraanist e p A põhikvoot. Need on punkti A koordinaadid. Kirjutatakse näiteks nii A(2; 5; 3), kui = 2; y = 5 ja z = 3. Saadud joonist, mis koosneb punkti A kolmest omavahel seotud ristprojektsioonist, nimetatakse punkti A kolmvaateks. 24

z z ε2 ε2 ε3 A" 0 y0 z0 A 0 y0 z0 ε1 Az y0 A z0 0 O ε3 A"' z0 y0 Ay 0 y ε1 a. b. A" A 0 y0 0 Az y0 z0 z0 z0 O y0 Ay 0 y1 y0 Ay 45 Abisirge A"' y3 Joonis 28. Punkti A kolmvaade: a punkt A ruuminurgas ja tema projektsioonid teineteisega ristuvatele ekraanidele; b sama punkti A joonis (kolmvaade), kus põhi- ja külgekraan on pööratud esiekraani tasandile Pöörates ekraanid joonise tasapinda, saame punkti kolmvaate (vt jn 28 b). Siin joonisel: A A on püstsidejoon; A A z rõhtsidejoon. Kaugused A z A = A A = y 0 s.o kolmvaate peaomadus s.o ühtlasi ka p A y-koordinaat. Koordinaatlõigud 0 ja z 0 on: OA = A z A = 0 s.o p A -koordinaat; OA z = A A = z 0 s.o p A z-koordinaat. Punkti kaks projektsiooni kolmvaatel määravad ära üheselt ka kolmanda projektsiooni. Siin on nagu 2 kaksvaadet: 1) eestvaade pealtvaatega; 2) eestvaade külgvaatega. Punkti projektsioonid võib anda ka koordinaatide järgi ja need projektsioonid võivad asetseda ükskõik millises veerandis I, II, III või IV. Näitena vaatame joonisel 26 toodud punktide K(40; 35; 10) ja F(30; 10; -30) kolmvaateid (vt jn 29). K" z 10 K"' 40 30 F' 10 0 y3 K' F" -30 35 y1 F"' Joonis 29. Näide punktide kaksvaadete konstrueerimiseks nende koordinaatide järgi, kus punkt K on I ja punkt F on IV ruumiveerandis 25

4.3. Sirgjoone kaksvaade ja kolmvaade Sirgjoon on määratud oma kahe punktiga, iga punkt aga kaksvaatega või kolmvaatega. Seega sirgjoon on määratud oma 2 punkti kaksvaatega või kolmvaatega. Järelikult sirgjoone projekteerimiseks piisab, kui on teada tema otspunktide koordinaadid. Sirgjoone projekteerimisel: 1) leida otspunktide ristprojektsioonid; 2) ühendada samanimelised punktide projektsioonid pideva jämejoonega. Kui võtta sirgel mingi punkt M, siis selle punkti projektsioonid asuvad sirge AB pealt- ja eestvaatel nii, et sidejoon M M on risti -teljega (vt jn 30). Üldjuhul, ε2 kui sirget AB nimetada sirgeks s, siis s" sirge s on määratud oma s" kaksvaatega, ja kui ühegi punkti π s projektsiooni ei ole sirgel määratud (nagu joonisel 31a), siis võime sirgel τ võtta vabalt mõned punktid. Nende punktide projektsioonid asuvad s' sidejoontel sirge s vastavatel ε1 s' projektsioonidel. Sirge s pealtvaate määrab projekteeritav tasapind τ. Eestvaate projekteeritav tasapind π; kusjuures τ ε 1 ja π ε 2 ; ning τ ja π lõikejoon on sirge s (vt jn 31b). Joon. 30. Sirge kaksvaade ja punkt sirgel Joonis 31. Sirge projektsioonide saamine Kui meil on vaja saada kolmandat vaadet, külgvaadet sirgest s, millel on kaksvaade olemas, valime sirgel s vabalt kaks punkti M ja N ning tuletame nende punktide külgvaated kaksvaate kaudu. Siin on kaks varianti (vt jn 32): I variant: M M = M z M ja N N = N z N kanname rõhtsatele sidejoontele M ja N st risti z-teljega. Saadud punktid N ja M ühendame ja saame s ; II variant: punktide M ja N kaugused esiekraanist kanname pealtvaatelt üle 45 joontega või kaartega, selleks tõmbame rõhtsad sidejooned punktide põhiprojektsioonidest M ja N (risti y-teljega) kuni y-teljeni. A" a. b. M" B" M' 4.4. Sirglõigu jaotamine antud vahekorras Antud teemat selgitame näite abil (vt jn 33). Jaotame sirglõigu AB vahekorras 3:2, nii et AM = 3. Sirglõigu jaotamiseks tõmbame ükskõik kas eestvaatel või pealtvaatel ühest MB 2 sirglõigu otspunktist vabalt mingi nurga all sirge, nagu joonisel 33 on see tõmmatud pealtvaatel punktist A, ja kanname sellele 5 jaotust ühtlaste vahedega, kuna meil on vaja sirge jagada suhtes 26

3:2. Seejärel ühendame sirgega viimase jaotuse punktiga B, saame sirge 5. Lõpuks tõmbame kolmanda jaotuse kohalt paralleelse sirge kuni sirgeni AB, saame punkti M (3M'+5). Sealt saame sidejoonega punkti M teise projektsiooni. M" M' z s" s'" N" O N"' N' s' y1 M"' y3. A" Joonis 32. Sirge kolmvaate konstrueerimine sirge kaksvaatest M' M" B" 3 5 Joonis 33. Sirge jaotamine etteantud vahekorras 5. ERIASENDILISED SIRGED Üldasendiline sirge s.o sirge, mis ei ole ühegi ekraaniga paralleelne ega asetse ühelgi ekraanil. Eriasendiline sirge on mõne ekraaniga paralleelne või asetseb mõnel neist. Ekraaniga paralleelseid sirgeid nimetatakse nivoosirgeteks. Need on: horisontaal, s.o põhiekraaniga paralleelne sirge (tähistatakse h ); frontaal, s.o esiekraaniga paralleelne sirge (tähistatakse f ); profiilsirge, s.o külgekraaniga paralleelne sirge (tähistatakse s ). 5.1. Horisontaal h Horisontaali eestvaade h -teljega, siis A B = AB sirglõik projekteerub põhiekraanile õiges pikkuses. Originaalsuuruses on ka esikaldenurk ϕ 2 (kaldenurk esiekraani suhtes, sest selle tasapind on põhiekraaniga paralleelne). Punkt E h, s.o horisontaali esijälg, sirge h lõikepunkt esitahuga E h Ε h. Põhijälg horisontaalil puudub, sest h ε 1. Kui h ε 2 ja h ε 1, siis E h E h h (horisontaal projekteerub esiekraanile punktiks). X ε1 Eh=Eh" A A" Eh' ϕ2 h h' ε2 h" B" ϕ2 B Eh=Eh" Eh' A" ϕ2 h" B" Joonis 34. Horisontaalsirge, tema projektsioonid, pikkus ja kaldenurk h' 27

5.2. Frontaal f Frontaali pealtvaade f -teljega (vt jn 35). Esiekraanile projekteeruvad originaalsuuruses frontaali pikkus (siin lõik AB, milline on frontaalil A B = AB) ja frontaali põhikaldenurk ϕ 1 ; põhiekraanil aga A B -telg. Frontaalil puudub esijälg, sest f ε 2, frontaali põhijäljeks on punkt P(P,P ), frontaali lõikepunkt põhiekraaniga. Kui sirge f on paralleelne esi- ja külgekraaniga (f p) (vt jn 35c); siis f -teljega ja f ε 1, frontaalsirge f põhiprojektsioon on punkt. Kui sirge s on paralleelne põhi- ja esiekraaniga s h f; siis f -teljega ja s ε 3, sirge s külgprojektsioon on punkt. ε2 B" Pf" A" f" ϕ1 A Pf=Pf' f" B f Pf" A" ϕ1 f' ε1 B" ϕ1 f' Pf=Pf' a. b. c. f" f'=p=p' f ε1//ε2//ε3 Joonis 35. Frontaalsirge: a frontaalsirge piltkujutis, tema projektsioonid ekraanidel, pikkus ja kaldenurk; b sama frontaalsirge joonis; c frontaalsirge joonis, kui f ε 1 5.3. Profiilsirge s Profiilsirge pealt- ja eestvaade on üldjuhul sirged ühel ja samal sidejoonel (vt jn 36). Erandjuhul võib üks projektsioonidest olla punkt. Kui sirgel ei ole punkte fikseeritud, siis kaksvaade ei määra üheselt profiilsirget, sest projekteeruvad pinnad esi- ja põhitasapinnale τ ja π langevad ε2 s'' s π=τ m ε1 s'' s' a. s' b. Joonis 36. Profiilsirge: a piltkujutis, b selle joonis A" B" s'' s' z y1 a. b. s'' y3 ühte ja külgekraanile ei teki lõikesirget (vt jn 37). Joonis 37. Profiilsirge joonis: a sirge on määratud kahe punktiga; b sirge ei ole määratud punktidega 28

NÄIDE Meil on sirge kaksvaade ja sellel punkti M eestvaade M. Leida punkti asukoht sirgel, tema pealtvaade. Lahendusel on siin kaks varianti. 1. variant: tuleb leida sirge külgvaade ja punkt M kanda sidejoontega üle sellele sirgele (vt jn 38 1. var.). 2. variant: tõmbame vabas suunas mingi nurga all A B suhtes sirge A 0 B = A B nii, et ta läbiks sirget A B, sinna kanname A 0 M 0 = A M. Sirglõigud jagunevad nagu A M M B. Tõmbame M 0 M B 0 B A 0 A, saame M (vt jn 38 2. var). ' M'' z '' M''' ' M'' ' M' 1. variant y1 '' y3 ' M' M0 A0 Vabas suunas 2. variant--a0='' M0='M'' Joonis 38. Punkti asukoha leidmine sirgel 6. SIRGE JÄLGPUNKTID Sirgjoone ja ekraani lõikepunkti nimetatakse selle sirge jälgpunktiks (e. jäljeks). Kui sirge s ei ole ühegi ekraaniga paralleelne, siis on tal 3 jälgpunkti: põhijälg P s ε 1 ; esijälg E s ε 2 ; külgjälg K s ε 3. Põhijälg P (vt jn 39a) asetseb põhiekraanil ε 1 ja sirgel s, seega selle punkti eestvaade P asetseb -teljel ja samaaegselt sirge eestvaatel (sirge eestvaade tuleb pikendada -teljeni) seega P = -telg s. Sidejoonega leiame ka pealtvaates punkti P pealtvaate P. Analoogselt saame leida esijälje E projektsioonid (E s -telg ja tõmbame sidejoone punktist E kuni sidejoon lõikub s saame eestvaatel E ). Joonisel 39 on näidatud sirge põhijälje ja esijälje leidmine sirge kahe erineva asendi korral. 29

ε2 E''=E E''=E P'' s'' s E' s' P =P ε1 s'' P'' a. P =P s' E' t'' P'' P =P t' b. E' E''=E Joonis 39. Sirge jälgpunktide leidmine: a sirge ühe otsa pikendamisel saame põhijälje ja teise otsa pikendamisel esijälje; b sirge pikendamisel läbib sirge põhiekraani ja sama sirge otsa pikendamisel lõikub ta esiekraaniga (aksonomeetrilist kujutist ei ole näidatud) 7. SIRGETE VASTASTIKUSED ASENDID Kaks sirgjoont võivad olla paralleelsed, lõikuvad või kiivsed. Kuidas otsustada, milline on kaksvaate järgi sirgete vastastikune asend ruumis? Seda vaatame järgnevalt. 7.1. Paralleelsed sirged Paralleelsed sirged projekteeruvad üldjuhul igale ekraanile paralleelsete sirgetena (vt jn 40a). Kui a b, siis ka a b ja a b. Õige on üldjuhul ka vastupidine väide: kui a b ja a b, siis ka a b. Erandiks on aga profiilsirged et otsustada, kas sirged on paralleelsed, peab siin olema ka külgvaade. Kui külgvaatel sirgete projektsioonid lõikuvad, on nad kiivsed (vt jn 40c). a'' a' a. Üldjuhus b'' b' z a'' a''' b'' b'' a'' b''' y3 a' a' b' b' b. y1 Erandid, kui a ja b//ε3 c. z y1 b''' a''' y3 Sirgjoonte paralleelsuse tunnus: kui sirgete samanimelised projektsioonid on omavahel paralleelsed, kuid pole risti kaksvaate teljega, siis need sirged on paralleelsed. Joonis 40. Paralleelsete sirgete joonised: a üldjuhus; b ja c erandid, kui sirged on paralleelsed külgekraaniga 30

7.2. Lõikuvad sirged Lõikuvad sirged a ja b läbivad nende lõikepunkti L. Järelikult eestvaates a ja b lõikuvad, saame punkti L, ja pealtvaates a ja b lõikuvad saame L. Nende sirgete lõikepunkt pealtvaates L ja eestvaates L asuvad ühel ja samal sidejoonel (vt jn 41a). Kahe sirge lõikumise tunnus kaksvaate järgi: kui kahe sirge samanimeliste projektsioonide lõikepunktid asetsevad ühel ja samal sidejoonel ning kummagi sirge mõlemad projektsioonid pole risti -teljega, siis need sirged ruumis lõikuvad. a. a'' a' L'' L' b'' Kui ühe sirge mõlemad projektsioonid on risti -teljega (need on profiilsirged), siis võib olla tegemist kas ristuvate või kiivsete sirgetega seda näitab sirgete külgvaade (vt jn 41b), kas külgvaates sirgete projektsioonid Joonis 41. Lõikuvad sirged: a üldjuhus; b erand, kui üks sirgetest samal sidejoonel on profiilsirge, siis tuleb teha ka külgvaade lõikuvad või mitte. Siin joonisel 41b külgvaates A B ja C D lõikepunkti sidejoonel ei esine, järelikult sirged AB ja CD on kiivsed. 7.3. Kiivsirged b' z C'' ' '' C''' M''=N'' M''' ' '' N''' D''' D'' D' y3 M' N' C' b. Kiivsirged ei ole paralleelsed ega lõiku, järelikult kiivsirgete kaksvaade ei rahulda lõikumise ega paralleelsuse tunnust see on kiivsuse tunnus. Praktikas tuleb sageli lahendada ülesanne, et leida, kumb sirge läheb teisest üle (kui vaadata ülevalt) või kumb sirge teise eest läbi (eestvaates). y1 b'' M''=N'' U'' a'' V'' M' U'=V' b' N' a. a' C'' ' C' b. ' D'' D' z y1 '' '' C''' D''' y3 Joonis 42. Kiivsirged: a üldjuhus; b sirged võivad projekteeruda kas ühel või ka kahel ekraanil paralleelsetena Sirgetel a ja b punktid U ja V 31