POSLOVNO RAČUNSTVO 2

Viktorija Pirš POSLOVNO RAČUNSTVO 2 Program: EKONOMSKI TEHNIK Modul: EKONOMIKA POSLOVANJA Vsebiski sklop: POSLOVNO RAČUNSTVO IN STATISTIČNA ANALIZA POJAVOV Ljubljaa, maj 2009

Sredje strokovo izobraževaje Program: Ekoomski tehik Modul: Ekoomika poslovaja Vsebiski sklop: Poslovo račustvo i statističa aaliza pojavov Naslov učega gradiva Poslovo račustvo 2 Ključe besede: Sklepi raču, razdelili raču, proceti raču, delili kriterij, veriži raču Sezam kompetec, ki jih zajema učo gradivo: PRS1: Reševaje problemov s področja sklepega, razdelilega, procetega i obrestega račua. CIP - Kataloži zapis o publikaciji Naroda i uiverziteta kjižica, Ljubljaa 658.14/.17(075.8)(0.034.2) PIRŠ, Viktorija Poslovo račustvo 2 [Elektroski vir] / Viktorija Pirš. - El. kjiga. - Ljubljaa : ZS, Ceter za poslovo usposabljaje, 2009. - (Sredje strokovo izobraževaje. Program Ekoomski tehik. Modul Ekoomika poslovaja. Vsebiski sklop Poslovo račustvo i statističa aaliza pojavov) Nači dostopa (URL): http://www.uisvet.si/idex/idex/activityld/4 4. - Projekt UNISVET ISBN 978-961-6413-13-8 250833408 Avtorica: Viktorija Pirš Recezetka: Vitka Voljč Lektorica: Nadja Blatik Založik: ZS Ljubljaa, Ceter za poslovo usposabljaje za projekt uisvet Kraj i datum: Ljubljaa, maj 2009 To delo je poujeo pod liceco Creative Commos: Prizaje avtorstva Nekomercialo - Deljeje pod eakimi pogoji. Učo gradivo je astalo v okviru projekta uisvet Uvajaje ovih izobraževalih programov v sredjem poklicem i strokovem izobraževaju s področja storitev za obdobje 2008-2012, ki ga sofiacirata Evropska uija preko Evropskega socialega sklada i Miistrstvo Republike Sloveije za šolstvo i šport. Operacija se izvaja v okviru operativega programa razvoja človeških virov za obdobje 2007 2013, razvoje prioritete: Razvoj človeških virov i vseživljejskega učeja, predosta usmeritev Izboljšaje kakovosti i učikovitosti sistemov izobraževaja i usposabljaja. Vsebia gradiva v obeem primeru e odraža meja Evropske uije. Odgovorost za vsebio osi avtor.

Kazalo UVOD... 3 1. OSNOVNI POJMI OBRESTNEA RAČUNA... 4 1. OSNOVNI POJMI OBRESTNEA RAČUNA... 4 1. 1. KOLIČINE V OBRESTNEM RAČUNU... 4 1. 2. RAZDELITEV OBRESTNEA RAČUNA... 4 2. NAVADNI OBRESTNI RAČUN... 6 2. 1. DEKURZIVNO OBRESTOVANJE... 7 2. 2. ANTICIPATIVNO OBRESTOVANJE... 13 3. OBRESTNO OBRESTNI RAČUN... 15 3. 1. DEKURZIVNI OBRESTNO OBRESTNI RAČUN... 15 3. 2. ANTICIPATIVNI OBRESTNO OBRESTNI RAČUN... 20 3. 3. REDUCIRANJE LAVNIC... 25 3. 4. POOSTEJŠA KAPITALIZACIJA... 28 3. 5. RELATIVNA METODA DELITVE OBRESTNE MERE... 28 3. 6. KONFORMNA METODA DELITVE OBRESTNE MERE... 33 3. 7. POVPREČNA OBRESTNA MERA... 36 3. 8. INTERKALARNO OBRESTOVANJE... 38 VIRI... 41

Poslovo račustvo, II. del UVOD Kot fiziče osebe imamo odprt svoj osebi bači raču. Da za bačimi okeci zaradi epozavaja strokovih izrazov e bomo v eprijetem položaju i bomo razumeli dogajaje z ašimi prihraki oziroma posojili, am bo v pomoč gradivo Poslovo račustvo, II. del. radivo Poslovo račustvo, II. del je amejeo dijakom sredješolskega programa Ekoomski tehik i je usklajeo s katalogom zaj za sklop poslovo račustvo i statističa aaliza pojavov. Strokovo je učbeik pregledal ga. Vitka Voljč, za jezikove apake pa je poskrbela ga. Obema iskreo hvala za strokove asvete. Če gradivo pogledamo s tehiče plati, je razdeljeo a tri poglavja. radivo je amejeo spozavaju osovih količi obrestega račua i razlikovaju med avadim i obrestim obrestovajem. Na začetku vsakega poglavja je kratka teoretiča razlaga z izpeljaimi eačbami, ki jo prepozamo po simbolu. Sledijo zgledi, ki vsebujejo aloge i jihovo postopo izpeljavo. Ob kocu vsakega poglavja so vaje s priložeimi rešitvami, ki dijake vodijo k samostojemu reševaju problemov. Veliko dobre volje ob reševaju alog. Kamik, 2009 Viktorija Pirš 3

Poslovo račustvo, II. del 1. OSNOVNI POJMI OBRESTNEA RAČUNA 1. 1. KOLIČINE V OBRESTNEM RAČUNU Obresti - o: Obresti so dearo adomestilo, ki ga dolžik plača upiku za izposoje dear, s katerim je dolžik ekaj časa razpolagal (cea kapitala). Zesek obresti določajo: glavica, čas obrestovaja i obresta mera. lavica : lavica ali kapital je zesek, od katerega se račuajo obresti. Čas obrestovaja l, m, d: Čas obrestovaja pove, kako dolgo se eka glavica obrestuje. Pri tem so obresti araščajoča fukcija časa obrestovaja. Obresta mera p: Obresta mera oz. obresta stopja je predpis, ki določa, koliko dearih eot (d. e.) obresti odpade a vsakih d. e. glavice, ki smo jo uporabljali eo kapitalizacijsko obdobje. Obresta mera je v osovi defiiraa kot leta obresta mera, ki pa jo po potrebi lahko preračuamo oz. reduciramo a krajša časova obdobja. Povečaa glavica + : Če h glavici prištejemo obresti, dobimo povečao glavico. + Torej velja: + o Pomajšaa glavica - : Če pa od glavice obresti odštejemo, dobimo pomajšao glavico. Postopek zmajšaja glavice za obresti imeujemo diskotiraje, obresto mero pa diskota obresta mera. Velja: o Kapitalizacijsko obdobje: Kapitalizacijsko obdobje je tisto časovo obdobje, v katerem se obresti pripisujejo h glavici. Osovo i ajdaljše kapitalizacijsko obdobje je eo leto i temu ustreza leta obresta mera. Najkrajše kapitalizacijsko obdobje pa je e da. Pogostejša kapitalizacija oz. več kapitalizacijskih obdobij v eem letu zahteva preraču oz. zmajšaje dae obreste mee. 1. 2. RAZDELITEV OBRESTNEA RAČUNA a) lede a čas oz. treutek pripisa obresti h glavici ločimo: Dekurzivo obrestovaje pri dekurzivem obrestovaju se obresti pripisujejo h glavici a kocu kapitalizacijskega obdobja. Osova za izraču obresti je glavica a začetku posamezega kapitalizacijskega obdobja. Ozaka za dekurzivo obresto mero p. Aticipativo obrestovaje v primeru aticipativega obrestovaja se obresti pripišejo oz. odštejejo od glavice že a začetku posamezega kapitalizacijskega obdobja. Osova za izraču aticipativih obresti je koča vredost glavice. To metodo se uporablja le pri obračuih posojil. Ozaka za aticipativo obresto mero - π. 4

Poslovo račustvo, II. del b) lede a kapitalizacijo obresti v obračuskem obdobju pa ločimo: Navadi obresti raču (. o. r.) pri avadem obrestem račuu je obresta osova ves čas obrestovaja eaka. Nomiala vredost obresti je pri ostalih kostatih pogojih ves čas eaka, saj se stalo obrestuje prvota (začeta) vredost glavice. Obresto obresti raču (o. o. r.) pri obresto obrestem račuu se obresti v vsakem kapitalizacijskem obdobju sproti pripišejo h glavici. ovorimo o kapitalizaciji obresti, saj se poleg začete vredosti glavice obrestujejo tudi obresti iz predhodih kapitalizacijskih obdobij. 5

Poslovo račustvo, II. del 2. NAVADNI OBRESTNI RAČUN Navadi obresti raču je začile za kratkoroče vloge (depozite) i podobe posle. Uporabljajo ga pri meičih poslih, osebih račuih i različih hrailih vlogah. Kot smo že omeili, izhajamo pri avadem obrestem račuu iz domeve, da obresti ves čas račuamo od prvote (začete, osove) glavice, e glede a to, koliko kapitalizacijskih obdobij je preteklo. Obresti so pri avadem obrestem račuu premosorazmere začeti glavici, obresti meri i času obrestovaja. Eačbe za izraču obresti po avadem obrestem račuu p l a) Štetje časa obrestovaja v letih: o p s b) Štetje časa obrestovaja v polletjih: o 200 p q c) Štetje časa obrestovaja v četrtletjih: o 400 p m č) Štetje časa obrestovaja v mesecih: o 1200 d) Štetje časa obrestovaja v devih Pozamo različe ačie oz. sisteme določaja števila obrestovaih di. Pri štetju obrestovaega časa v devih moramo upoštevati, da se prvi da e šteje v obrestovai čas, zadji da pa se upošteva v celoti. V ašem bačem sistemu se pogosto uporablja sistem (K, 365) ali (K, 366), pri čemer upoštevamo dejasko število di v mesecu i letu. p d p d o ali o 36500 36600 (K,360)-v tem primeru deve štejemo atačo po koledarju, za leto pa vzamemo 360 di. p d o 36000 (30,360)- za leto vzamemo 360 di, vsak v celoti preteče mesec pa račuamo po 30 di. p d o 36000 6

Poslovo račustvo, II. del 2. 1. DEKURZIVNO OBRESTOVANJE Za dekurzivo obrestovaje velja, da se obresti pripišejo k prvoti glavici a kocu obrestovaega obdobja. ZLEDI 1. Pred štirimi meseci smo si sposodili 2300 EUR. Koliko obresti bomo morali plačati daes pri 3,5 % obresti meri, če upoštevamo avado obresti raču ter dekurzivo obrestovaje? p m m 4 o 1200 2300 4 3,5 p 3,5 % o 26, 83 EUR 1200 2300 EUR o? Odg.: Na raču 2300 EUR dolga bomo morali daes plačati 26,83 EUR obresti. 2. Koliko moramo pri 4 % p.a. vložiti v bako, da am bodo po preteku dveh let pripisali 80 EUR obresti, če upoštevamo avado obresti raču i dekurzivo obrestovaje? p 4 % p l o l 2 o p l o 80 EUR 80 0 EUR 4 2? Odg.: Vložiti je treba 0 EUR. 3. Po kakši obresti meri se je obrestoval dolg 2000 EUR, ki je v 200 deh pri upoštevaju dekurzivega obrestovaja i avado obrestega račua arasel a 826,38 EUR (K, 365)? d 200 p d o 36500 2.000 EUR o 2030,14 2000 30, 14 EUR +o 2.030,14 EUR o 36500 p d p? 30,14 36500 p 2,75% 2000 200 Odg.: lavica 2000 EUR se je obrestovala po 2,75 % obresti meri. 7

Poslovo račustvo, II. del 4. lavica 500 EUR se je obrestovala 3 mesece, glavica 300 EUR 2 meseca i glavica 700 EUR 1 mesec. Izračuajte skupe obresti, če je obresta mera 3,5 %, obrestovaje dekurzivo, avado! Skupe obresti predstavljajo vsoto vseh obresti, ki jih dajo posameze glavice za čas jihovega obrestovaja. 1 500 EUR o o1 + o2 + o3 m 1 3 p m o 1200 2 300 EUR 1 p m1 o1 1200 m 2 2 500 3,5 3 o 1 4, 38 EUR 1200 3 700 EUR 2 p m2 o2 1200 m 3 1 300 3,5 2 o 2 1, 75 EUR 1200 p 3,5 % 3 p m3 o3 1200 o? 700 3,5 1 o 3 2,04 EUR 1200 3 i 1 3 i 1 Odg.: Skupe obresti zašajo 8,17 EUR. o 4,38 + 1,75 + 2,04 8,17 EUR 8

Poslovo račustvo, II. del 5. Katera glavica araste v 3 četrtletjih pri uporabi avado obrestega račua i dekurzivega obrestovaja ter pri 5 % obresti meri a 3112,50 EUR? Račuaju začete vredosti glavice iz pripadajoče koče vredosti rečemo diskotiraje. q 3 + + o p 5 % + p q + 400 + 3112,50 EUR 5 3 3112,50 + 400? 3112,50 + 0, 0375 3112,50 1, 0375 3112,50 3000 EUR 1,0375 Odg.: lavica 3000 EUR araste v treh četrtletjih pri 5 % obresti meri a 3112,50 EUR. 6. Izračuajte zmajšao glavico, če veste, da zaša glavica 15.000 EUR, obresta mera je 5,5 %, kapitalizacijska doba so 3 polletja, uporabljamo pa avadi obresti raču i dekurzivo obrestovaje. p 5,5 % o s 3 p s o 200 15.000 EUR 15000 5,5 3 o 1237, 50 EUR 200 -? 15000 1237,50 13.762, 50 EUR Odg.: Zmajšaa glavica zaša 13.762,50 EUR. 9

Poslovo račustvo, II. del 7. Dolg, ki je astal 2. februarja 2009 i aj bi dospel v plačilo 24. aprila 2009, smo poravali že 30. marca 2009, ko smo plačali 502,30 EUR. Koliko smo prihraili, če je obresta mera 3 %? (K, 365) p 3 % d 1 od 2. februarja 2009 do 30. marca 2009 56 di + 1 502,30 EUR d 2 od 2. februarja 2009 do 24. aprila 2009 81 di + o? + o 1 + p d 1 + 36500 3 56 502,30 + 36500 500 EUR o + 1 1 o 1 502,30 500 2,30 EUR p d 2 o2 36500 500 3 81 o 2 36500 o 2 3,33 EUR o o 2 o 1 o 3,33 2,30 1,03 EUR Odg.: Prihraili smo 1,03 EUR. 8. Izračuajte obresto mero, ki bi v petih kvartalih priesla obresti v omiali vredosti 10 % od začete vredosti glavice. q 5 o 10 % od p? + + o p q 1,1 + 400 p 5 1,1 + / 400 1,1 1 + 0,0125p p 8% VAJE 1. Izračuajte obresti iz asledjih podatkov: a) 200 EUR, l 5, p 3,6 % (R: o 36,00 EUR) b) 5500 EUR, m 7, p 5 % (R: o 160,42 EUR) c) 600 EUR, d, p 2,9 %, (K, 365) (R: o 4,77 EUR) č) 1700 EUR, s 1, p 4,2 % (R: o 35,370) 10

Poslovo račustvo, II. del 2. Izračuajte glavico iz asledjih podatkov: a) o 16,00 EUR, m 8, p 3 % (R: 800 EUR) b) o 36,99 EUR, d 150, p 4,5 %, (K, 360) (R: 2000 EUR) c) o 1734,00 EUR, l 2, p 5,1 % (R: 17.000 EUR) č) o 14,57 EUR, q 3, p 2,9 % (R: 670 EUR) 3. Izračuajte obresto mero iz asledjih podatkov: a) 6000 EUR, d 80, o 52,60 EUR, (K, 365) (R: p 4 %;) b) 0 EUR, m 4, o 7,67 EUR (R: p 2,3 %) c) 420 EUR, l 4, o 50,40 EUR (R: p 3 %) č) 900 EUR, q 5, o 36,23 EUR (R: p 3,22 %) 4. Izračuajte čas obrestovaja iz asledjih podatkov: a) 300 EUR, p 5 %, o 10,68 EUR, (K, 365), d? (R: d 260) b) 2600 EUR, p 4 %, o 520,00 EUR, l? (R: l 5) c) 10.000 EUR, p 3,8 %, o 221,67 EUR, m? (R: m 7) č) 730 EU, p 4,1 %, o 44,90 EUR, s? (R: s 3) 5. Po koliko mesecih smo a raču dolga 0 EUR plačali upiku 14,38 EUR avadih obresti, če se uporablja 3,45 % obresta mera i dekurzivi obraču obresti? (R: m 5) 6. Po kakši obresti meri se je obrestovala glavica 600 EUR, da je v 3 polletjih arasla a 640,50 EUR, če upoštevamo avado obresti raču i dekurzivo obrestovaje? (R: p 4,5 %) 7. Koliko moramo vriti upiku 7.8., če smo si 20.5. istega leta izposodili 800 EUR? Upoštevati moramo 5 % obresto mero, avadi obresti raču i dekurzivi obraču obresti ter (K, 365). (R: +o 808,66 EUR) 8. Kdaj moramo vriti dolg, če smo si 2. avgusta sposodili 2000 EUR, obresti zašajo 9,86 EUR, dolg se obrestuje po 3 % obresti meri, dekurzivo avado? (K, 365) (R: 1. oktobra istega leta) 9. Koliko zašajo skupe obresti, če smo zesek 600 EUR obrestovali 2 četrtletji po 4 % obresti meri, zesek 500 EUR pa eo četrtletje po isti obresti meri? Dekurzivo obrestovaje i avadi obresti raču. (R: o 17 EUR) 10. 10.1 Za koliko araste glavica 3000 EUR v 5 letih pri 3,8 % obresti meri? 10.2 Na koliko araste glavica 3000 EUR v 5 letih pri 3,8 % obresti meri? V obeh primerih upoštevamo avadi obresti raču i dekurzivo obrestovaje. (R: a) o 570 EUR, b) + 3.570 EUR) 11. S kolikšim zeskom razpolagamo 17. julija, če smo 5. marca vložili 640 EUR, 15. aprila pa 250 EUR? Obresta mera je 2,9 %, obrestovaje avado, dekurzivo. (R: + 898,03 EUR) 12. Kateri zesek araste v treh semestrih a 5225 EUR pri 3 % obresti meri? Upoštevajte avadi obresti raču i dekurzivo obrestovaje! (R: 5000 EUR) 11

Poslovo račustvo, II. del 13. De 15.12.2008 smo vložili eza zesek i de 23.2.2009 z obrestmi vred dvigili 758,63 USD, p 6 %. Kolikša je bila začeta vloga, če uporabljamo avadi obresti raču i dekurzivo obrestovaje? (R: 750 USD) 14. Koliko moramo vložiti a svoj bači raču, da bomo v letu i pol pri 5 % obresti meri dobili EUR obresti, če upoštevamo dekurzivo obrestovaje i avadi obresti raču? (R: 1333,33 EUR) 15. Skupaj s 7,7 % zamudimi avadimi obrestmi vred smo pri dekurzivem obrestovaju plačali 1645,54 EUR. Koliko so zašale zamude obresti i kolikše je bil dolži zesek, če smo s plačilom zamudili 16 di? (K, 356) (R: o 5,54 EUR, 1640 EUR) 16. 16.1 Kateri zesek araste v 1 četrtletju za 40 EUR pri 2,5 % obresti meri? 16.2 Kateri zesek araste v 1 četrtletju a 40 EUR pri 2,5 % obresti meri? V obeh primerih upoštevamo avadi obresti raču i dekurzivo obrestovaje. (R: a) 6400 EUR, b) 39,75 EUR) 12

Poslovo račustvo, II. del 2. 2. ANTICIPATIVNO OBRESTOVANJE Za aticipativo obrestovaje velja, da se obresti odštejejo od prvote glavice a začetku obrestovalega obdobja. ZLEDI 1. Dolžik i upik sta se dogovorila za avado obresti raču i aticipativo obrestovaje s 5,3 % obresto mero. Kolikše je zesek posojila, ki ga bo dolžik vril čez 140 di, če mu je upik izplačal 4898,36 EUR? π 5,3 % o d 140 π d 36500-4898,36 EUR 5,3 140 4898,36 36500? 4898,36 0, 020329 4898,36 0,979671 4898,36 5000,00 EUR 0,979671 Odg.: Zesek posojila, ki ga bo dolžik vril, zaša 5000,00 EUR. 2. Premostitveo posojilo, ki ga moramo vriti čez 4 mesece, se obrestuje avado obresto s 5 % aticipativo obresto mero. Koliko dearja dobimo izplačaega daes a osovi tega posojila, če bo ob zapadlosti treba vriti 0 EUR? π 5% o m 4 π m o 1200 0 EUR 0 5 4 o 16, 67 EUR 1200 -? 0 16,67 983, 33 EUR Odg.: Daes am baka izplača 983,33 EUR posojila. 13

Poslovo račustvo, II. del 3. Za potovaje po Tajski bomo turističi ageciji odšteli 2320 EUR. 20 % cee smo plačali takoj, 60 % zeska zapade v plačilo tik pred odhodom a potovaje, ostaek pa je treba plačati po vritvi domov. Ker pa smo tudi zadji obrok plačali pred odhodom a potovaje, to je 25 di pred zapadlostjo, so am v ageciji prizali 10 % diskote obresti za ta del plačila. Koliko smo v celoti plačali za potovaje? VAJE π 10 % takoj: 20 % od 2320 EUR 464 EUR d 25 60 % od 2320 EUR 1392 EUR -? ostaek za plačilo: 464 EUR (- 10 %) o π d 36500 464 10 25 464 460,82 EUR 36500 Skupaj: 464 + 1392 + 460,82 2316,82 EUR Odg.: Za potovaje smo plačali 2316,82 EUR. 1. Pri baki, ki posoja dear po 7 % obresti meri, aticipativo (avado obresti raču), smo si izposodili 5000 EUR. Zesek moramo vriti čez eo leto. Koliko gotovie prejmemo a raču tega kredita? Kolikše kredit bi morali ajeti, če bi želeli dobiti izplačaih 5000 EUR gotovie? (R: - 4560 EUR, 5376,34 EUR) 2. Kolikšo posojilo smo ajeli, če smo a jegovi osovi daes dobili izplačaih 393,80 EUR, pri 6,2 % obresti meri, za dobo 3 mesecev, pri uporabi avado obrestega račua i aticipativega obrestovaja? (R: 400,00 EUR) 3. Po kakši aticipativi obresti meri se je obrestovalo izplačao posojilo 2000,00 EUR, ki jih je treba vriti čez pol leta skupaj s 51,28 EUR avadih obresti? (R: π 5 %) 4. Baka am je odobrila posojilo, ki se bo obrestovalo po 7,35 % aticipativi obresti meri i avado obrestem račuu. Po koliko deh je potrebo vriti 400 EUR, če dobimo daes izplačaih 391,95 EUR,? (R: d ) 5. Nov delovi stroj moramo plačati v dvajsetih deh po dobavi. Ker pa smo ga plačali 10 di pred rokom, am prodajalec za ta čas odobri 8 % devi diskot. Koliko smo dejasko plačali za stroj, če bi zašalo plačilo ob roku 2460 EUR? (R: - 2454,61 EUR) 14

Poslovo račustvo, II. del 3. OBRESTNO OBRESTNI RAČUN Osova začilost obresto obrestega ačia je ačelo kapitalizacije obresti. Obresti torej e račuamo samo od prvote glavice, temveč tudi od vseh obresti, astalih v preteklih kapitalizacijskih obdobjih. Kapitalizacija obresti tako pomei, da se po preteku kapitalizacijskega obdobja v tem času astale obresti preoblikujejo v kapital. Količie obresto obrestega račua Začeta vredost glavice 0 Koča vredost glavice - Število kapitalizacijskih obdobij (kolikokrat se glavica skupo obrestuje) Ozaka kapitalizacije (kolikokrat se glavica obrestuje v eem letu) - m Na začetku se bomo osredotočili le a celoleto kapitalizacijo (kar pomei, da se glavica obrestuje po preteku celega leta). Leto obresto mero v tem primeru lahko ozačimo kot x % p.a.. 3. 1. DEKURZIVNI OBRESTNO OBRESTNI RAČUN Sploša eačba dekurzivega obresto obrestega račua: 0 r, pri čemer je p r 1+, p dekurziva obresta mera, r dekurzivi obresti faktor. Pri obrestem obrestovaju glavica arašča kot geometrijsko zaporedje, katerega prvi čle je začeta glavica, količik pa dekurzivi obresti faktor r. 15

Poslovo račustvo, II. del ZLEDI 1. Koliko bomo imeli v baki čez 5 let, če daes vložimo 5500 EUR, obresta mera je 5 %, kapitalizacija celoleta i upoštevamo dekurzivo obresto obrestovaje? 5 0 r m 1 p r 1+ p 5 % p.a. 5 r 1 + 1, 05 0 5500 EUR 5500 1,05 5 7019, 55EUR? Odg.: Čez pet let bomo imeli privarčevaih 7019,55 EUR. 2. Katera glavica je v eem letu, pri 4,3 % obresti meri, dekurzivem obrestem obrestovaju i celoleti kapitalizaciji, arasla a 10.430 EUR? p 4,3 % p.a. 0 r 1 0 r m 1 p r 1 + 10.430 EUR 4,3 r 1 + 1, 043 0? 10430 0 10. 000 EUR 1 1,043 Odg.: lavica 10.000 EUR je v eem letu pri daih pogojih arasla a 10.430 EUR. 16

Poslovo račustvo, II. del 3. Po kakši obresti meri je baka obrestovala vlogo 2000 EUR, ki je v dveh letih arasla za 138,31 EUR, če uporabljamo celoleto kapitalizacijo i dekurzivo obresto obrestovaje? 2 0 r m 1 0 + o 0 2000 EUR 2000 + 138,31 2138, 31 EUR o 138,31 EUR r 2138,31 p? r 2 1, 034 2000,00 p r 1+ p ( r 1) p (1,034 1) 3,4% Odg.: Našo vloga se je obrestovala po 3,4 % leti obresti meri. 0 4. Koliko let se je obrestovala glavica 8000 EUR, da je pri celoleti kapitalizaciji, dekurzivem obrestovaju i 4,2 % leti obresti meri arasla a 10.669,99 EUR? p 4,2 % p.a. 0 r p 0 8000 EUR r 1+ 4,2 10.669,99 EUR r 1 + 1, 042 log log0? log r log10669,99 log 8000 7 log1,042 Odg.: lavica 8000 EUR se je obrestovala 7 let. 17

Poslovo račustvo, II. del 5. V bako smo 2.12.2008 vložili 900 EUR, p 3,5 % leto, dekurzivo obresto obrestovaje. Kolikša je vredost vloge i obresti de 30.3.2009, če upoštevamo celoleto kapitalizacijo? 1 leto + 118 di 0 r m 1 p r 1 + p 3,5 % p.a. 3,5 r 1 + 1, 035 0 900 EUR 118 d 0, 3233 365? 1,3233 900 1,035 941, 92 EUR Odg.: Vredost vloge i pripadajočih obresti a da 30.3.2009 je 941,92 EUR. 6. V kolikšem času se eka glavica pri 5 % leti obresti meri i celoleti kapitalizaciji potroji, če upoštevamo dekurzivo obresto obrestovaje? VAJE p 5 % p.a. 0 r p 3 0 r 1 + 5? r 1 + 1, 05 3 0 0 r / 0 3 1,05 log3 log1,05 log 3 22,5171 leta log1,05 Odg.: Katera koli glavica se teh pogojih potroji približo v 22,5 leta. 1. Kolikša je daašja vredost 3600 EUR, ki smo jih pred 3 leti vložili v bako, ki obrestuje vloge po 3,6 % leto pri celoleti kapitalizaciji i dekurzivem obrestem obrestovaju? (R: 4002,96 EUR) 2. Koliko je treba vložiti ob rojstvu otroka, da bi ga pri leti kapitalizaciji i dekurzivem obrestem obrestovaju ob prazovaju pololetosti a vlogi čakalo 5000 EUR, a) če je leta obresta mera 5 %; b) če je leta obresta mera 9 %? (R: a) 0 2077,60 EUR; b) 0 1059,97 EUR) 18

Poslovo račustvo, II. del 3. Kupec A am za staovaje pouja 86.000 EUR takoj, kupec B pa 90.000 EUR, plačljivih ob vselitvi (tj. čez eo leto). Za katero poudbo se bomo odločili, če upoštevamo veljavo 5 % obresto mero, celoleto kapitalizacijo i dekurzivo obresto obrestovaje? Odgovor utemeljite. Namig: Vredosti dveh glavic sta primerljivi, če jih preračuamo a isti termi oz. treutek. lavico, ki dospe takoj, aobrestimo (povečamo za obresti) za čas dospetja druge glavice. Ali pa glavico, ki dospe kaseje, razobrestimo (pomajšamo za obresti) za isti čas. (R: Odločimo se za kupca A, ker am, realo gledao, pouja več kot kupec B. Njegova vloga v eem letu amreč araste a 90.300 EUR) 4. Po kakši obresti meri se je obrestovala vloga 4000 EUR, ki je po petih letih dekurzivega obrestega obrestovaje pri celoleti kapitalizaciji arasla za 820 EUR? (R: p 3,8 % p.a.) 5. Koliko časa se je obrestovala glavica 2500 EUR, da je pri leti obresti meri 2,75 % i dekurzivem obrestem obrestovaju ter celoleti kapitalizaciji arasla a 3279,13 EUR? (R: 10 let) 6. Zesek 700 EUR se je obrestoval od 20. aprila do 20. septembra istega leta po 4 % leti obresti meri. Na koliko je arasla glavica pri dekurzivem obrestem obrestovaju i celoleti kapitalizaciji? (R: 711,60 EUR) 7. Kako dolgo je bila vložea glavica 0 EUR, če je pri 3,9 % obresti meri, dekurzivem obrestem obrestovaju i celoleti kapitalizaciji dala 10,54 EUR obresti? (R: di) 19

Poslovo račustvo, II. del 3. 2. ANTICIPATIVNI OBRESTNO OBRESTNI RAČUN Sploša eačba aticipativega obresto obrestega račua: 0 ρ, pri čemer je ρ, π π aticipativa obresta mera, ρ aticipativi obresti faktor ( ro ). ZLEDI 1. Na kakšo kočo vredost araste glavica 35.000 EUR pri obresti meri 6 % p.a. i aticipativem obrestem obrestovaju, če je kapitalizacija celoleta i se glavica obrestuje 6 let? π 6 % p.a. ρ π m 1 ρ 1, 063830 6 6 0 ρ 0 35.000 EUR 35000 1,063830 6 50.734, 27 EUR? Odg.: lavica araste a 50.734,27 EUR. 20

Poslovo račustvo, II. del 2. Po kakši leti obresti meri je baka obrestovala vlogo 2500 EUR, ki je v 2 letih pri aticipativem obrestem obrestovaju i celoleti kapitalizaciji arasla a 2741,15 EUR? m 1 2 ρ 0 ρ 2741,15 0 2500 EUR ρ 1, 047120 2500,00 2741,15 EUR ρ π π? ρ 1 π ρ 1,047120 1 π 4,5% p.a. 1,047120 Odg.: Baka je obrestovala ašo vlogo po 4,5 % leti obresti meri. 0 3. Pred koliko leti smo začeli obrestovati glavico 2000,00 EUR, da je pri 4,5 % leti obresti meri i celoleti kapitalizaciji ter aticipativem obrestem obrestovaju dala 636,39 EUR obresti? π 4,5 % p.a. 0 ρ m 1 0 + o 0 2000,00 EUR 2000,00 + 636,39 2636, 39 EUR o 636,39 EUR ρ π? ρ 1, 047120 4,5 log log0 log ρ log 2636,39 log 2000,00 6 let log1,047120 Odg.: lavica 2000,00 EUR se je začela obrestovati pred šestimi leti. 21

Poslovo račustvo, II. del 4. Obresti, ki jih je dolžik vril hkrati s posojilom, so bile eake zesku izplačaega posojila. Po kakšem času je vril dear, če je bilo obrestovaje aticipativo, π 9,5 % p.a. i kapitalizacija celoleta? π 9,5 % p. a. 0 ρ m 1 2 0 0 ρ o 0 ρ π 2 0 ρ 1, 104972 9,5? 2 ρ log 2 log ρ log 2 6,943971 log1,104972 0,943971 365 344,55 345 di Odg.: Dolžik je vril dear po 6 letih i 345 deh. 22

Poslovo račustvo, II. del 5. lavica 10.000 EUR se obrestuje 5 let po 4 % p.a. aticipativo pri leti kapitalizaciji. Za koliko odstotih točk bi morali biti večja leta dekurziva mera, s katero bi v istem času dobili za EUR večje obresti? 1. del: π 5 % p.a. ρ π m 1 ρ 1, 052632 5 5 ρ 0 0 10.000 EUR 00 1,052632 5 12923, 58? o 12923,58 00 2923, 58 EUR 0 2. del O at 2.923,58 EUR o o + 2923,58 + 3023, 58 EUR DEK ANT p? r + o 00 + 3023,58 13023, 58 EUR r 0 0 0 13023,58 r 5 1,054256 00,00 p r 1+ p ( r 1) p (1,054256 1) 5,4256% 5,4256 4 1,4256 odstote točke Odg.: Dekurziva leta obresta mera bi morala biti večja od aticipative za 1,4256 odstote točke. VAJE: 1. lavica 900 EUR se obrestuje po 9 % a leto aticipativo obresto obresto pri celoleti kapitalizaciji. Kolikša bo glavica atako čez leto di? (R: 989,01 EUR) 2. Izračuajte višio obresti, ki jih da glavica 2800 EUR pri štiriletem aticipativem obrestem obrestovaju, celoleti kapitalizaciji i obresti meri 2,7 % leto! (R: o 323,97 EUR) 3. V šestih letih je pri aticipativem obrestem obrestovaju i celoleti kapitalizaciji glavica 4000 EUR arasla a 4802,08 EUR. Po kakši aticipativi obresti meri se je obrestovala? (R: π 3 % p.a.) 23

Poslovo račustvo, II. del 4. Koliko časa bi se morala obrestovati glavica 0 EUR, da se bi pri obresti meri 5,5 % p.a., aticipativem obrestem obrestovaju i celoleti kapitalizaciji potrojila? (R: 19,420284 19 let 154 di) 5. Katera glavica je pri obresti meri 4 % p.a., aticipativem obrestem obrestovaju i celoleti kapitalizaciji v 5 letih arasla za 1132,17 EUR? (R: 0 5000 EUR) 6. Po kakši obresti meri se mora obrestovati glavica, da se v desetih letih podvoji, če upoštevamo aticipativo obresto obrestovaje i celoleto kapitalizacijo? (R: π 6,7 %) Ekvivaletost dekurzive i aticipative obreste mere Ekvivaleti obresti meri zagotavljata pri eakih vhodih podatkih ( 0,, m) eako kočo vredost glavice (oz. eake omiale obresti), e glede a metodo obračua (dekurzivo ali aticipativo obresto obrestovaje). Iz tega sledi, da morata biti obresta faktorja pri obeh ačiih eaka ( r ρ), kar pa e pomei, da sta eaki tudi obresti meri ( p π ). p Iz eačbe 1 + tako izpeljemo sledeči eačbi: π dekurziva ekvivaleta obresta mera π p π aticipativa ekvivaleta obresta mera p π + p ZLEDI 1. Katera aticipativa obresta mera je ekvivaleta 3,6 % dekurzivi obresti meri? p 3,6 % p π + p π? 3,6 π 3,4749% + 3,6 Odg.: 3,6 % dekurzivi obresti meri je ekvivaleta 3,4749 % aticipativa obresta mera. 2. Dekurzivi obresti faktor je 1,067. Določite mu ekvivaleti aticipativi obresti faktor. r 1,067 r ρ ρ? ρ 1, 067 24

Poslovo račustvo, II. del VAJE 1. Katera dekurziva obresta mera je ekvivaleta aticipativi obresti meri 5 %? Koliko zaša ekvivaleti dekurzivi obresti faktor? (R: p 5,2632 %, r 1,052632) 3. 3. REDUCIRANJE LAVNIC Kadar imamo opravka s stajem a račuu, ki se eeho spremija, alogo ajlažje rešimo tako, da račuamo postopo spremijaje staja. Pri reševaju alog takšega tipa am je v pomoč časova premica, a kateri si ozačimo vse dogodke (spremembe). Pri risaju e smemo pozabiti, da je leto itervali podatek. ZLEDI 1. Na začetku 2006 smo vložili a osebi bači raču 8000 EUR, a začetku leta 2007 smo dodali 2000 EUR, a začetku leta 2009 pa smo dvigili 5000 EUR. Koliko imamo a tem račuu a začetku leta 2010, če upoštevamo obresto obrestovaje, 3,5 % leto obresto mero i celoleto kapitalizacijo? + 8000 EUR + 2000 EUR - 5000 EUR? 2006 2007 2008 2009 0 + 8000 EUR 0 r 1 + 2000 EUR p r 1+ 2-5000 EUR 3,5 r 1 + 1, 035 m 1 8000 1,035 8280 EUR 2006 ' 2006 p 1 3,5 % p.a. 8280 + 2000 10280 EUR 2? 10280 1,035 11012, 19 EUR 2008 ' 2008 2009 6012,19 1,035 11012,19 5000 6012,19 EUR 6222,62 EUR Odg.: Na začetku leta 2010 imamo a račuu 6222,62 EUR. 25

Poslovo račustvo, II. del 2. Pred petimi leti smo vložili v bako 7000 EUR, daes dodamo 2000 EUR. Koliko bomo lahko dvigili čez eo leto, če pri celoleti kapitalizaciji i dekurzivem obrestem obrestovaju baka prvi dve leti glavico obrestuje po 4 % leto, aprej pa je obresto mero povečala za pol odstote točke? + 7000 EUR + 2000 EUR? 1 2 3 4 5 6 p 1 4 % p.a. p 2 4,5 % p.a. 0 + 7000 EUR 0 r + 2000 EUR p r 1+ m 1 4 r 1 1 + 1, 04 p 1 4 % p.a. 4,5 r 2 1 + 1, 045 p 2 4,5 % p.a. 2 2 7000 1,04 7571, 20 EUR? 3 7571,20 1,045 8640, 00 EUR 5 5 8640,00 + 2000 6 10.640,00 EUR 10640,00 1,045 11.118,80 EUR Odg: Čez eo leto bomo lahko dvigili 11.118,80 EUR. 3. lavica 400 EUR se obrestuje prvi dve leti po 3,75 % leto, ato 3 leta po 4,25 % leto. Koliko zaša koča glavica, če je m 1 i obrestovaje dekurzivo? Namig: V alogi, kjer gre le za spremembo obreste mere, lahko kočo glavico izračuamo direkto ali pa izraču izvedemo postopoma. 0 400 EUR? 1 2 3 4 5 p 1 3,75 % p.a. p 2 4,25 % p.a. 1 2 p 1 3,75 % p.a. 0 r1 r2 2 1 2 400 1,0375 1,0425 p 2 4,25 % p.a. 487, 83 EUR 2 3 0 400 EUR? Odg.: Koča glavica v daem primeru zaša 487,83 EUR. 3 26

Poslovo račustvo, II. del VAJE 1. Na začetku leta 2005 smo vložili v bako 10.000 EUR, a začetku leta 2009 pa dvigili 4000 EUR. Koliko bomo imeli a račuu eo leto po dvigu, če se upošteva 4 % leta obresta mera, celoleta kapitalizacija i dekurzivo obresto obrestovaje? (R: 8006,53 EUR) 2. Pred štirimi leti smo si izposodili 5000 EUR, ato smo trikrat vrili po 0 EUR (vsakič po preteku eega leta). Koliko bomo morali vriti eo leto po zadjem obroku, če želimo s tem v celoti poplačati dolg? Upoštevati je potrebo 6,3 % leto obresto mero, celoleto kapitalizacijo i dekurzivo obresto obrestovaje? (R: 2990,02 EUR) 3. Na začetku leta 2006 je Srečko vložil a devizo vlogo 2000 USD, ki mu jih je poslal stric iz Amerike. Po dveh letih je iz račua dvigil 1500 USD, ki jih je porabil za akup letalske karte (poleteli smo do strica, seveda). Stric mu je ob odhodu v roke stisil 200 USD, saj mu je Srečko ob obisku pomagal pri beljeju ste v hiši. Srečko je imel dear ajprej ekaj časa doma, šele leto po zadji spremembi a devizem račuu je stopil do bake i vložil teh 200 USD a raču. Kakšo je sedaj staje a jegovem račuu, če mu baka obrestuje dolarje po 4,5 % leto pri celoleti kapitalizaciji i dekurzivem obrestem obrestovaju? (R: 914,83 EUR) 4. Pred tremi leti smo vložili v bako 5000 EUR. Baka obrestuje glavico prvi dve leti po 3 % leto, ato pa je obresto mero povečala za eo odstoto točko, dekurzivo obresto obresto pri leti kapitalizaciji. Koliko moramo vložiti (tri leta po prvoti vlogi), če želimo čez tri leta a račuu 7000 EUR? (R: 3 706,29 EUR) 27

Poslovo račustvo, II. del 3. 4. POOSTEJŠA KAPITALIZACIJA V primeru, ko se glavica obrestuje pogosteje kot ekrat leto, ko je torej m > 1, moramo leto obresto mero ustrezo prilagoditi kapitalizaciji. Pozamo dva ačia spremembe lete obreste mere: a) relativo delitev i b) koformo delitev lete obreste mere. Parameter m, ki pripoveduje o pogostosti kapitalizacije, ima v praksi ekaj posebej tipičih vredosti: m 2 pri polleti kapitalizaciji, m 4 pri četrtleti kapitalizaciji, m 12 pri meseči kapitalizaciji i m 365 (ali m 366 v primeru prestopega leta) pri devi kapitalizaciji. Spremeijo se tudi ozake za obresto mero, ki ustreza določei kapitalizaciji: a % p.s. (pri m 2), a % p.q. (pri m 4), a % p.m. (pri m 12) i a % p.d. (pri m 365 oz. 366). 3. 5. RELATIVNA METODA DELITVE OBRESTNE MERE Relativa obresta mera je tolikokrat majša od lete obreste mere, kolikokrat je kapitalizacijsko obdobje krajše od eega leta. Relativa (ali proporcioala) dekurziva obresta mera: p ' m p m Relativa (ali proporcioala) aticipativa obresta mera: π π ' m m 28

Poslovo račustvo, II. del ZLEDI 1. Upiku dolgujemo 800 EUR, ki jih moramo po pogodbi vriti atako čez eo leto s pripadajočimi obrestmi vred. Baka zameja celoleto kapitalizacijo s polleto i uporabi relativo obresto mero ter dekurzivo obrestovaje. Kolikše je po eem letu aš dolg, če je dogovorjea 8 % leta obresta mera? Za koliko EUR je ta obvezost večja od prvote, ki ustreza celoleti kapitalizaciji? p 8 % p.a. 0 r ' p 8 2 p s 4% s 2 ' m 2 r s 1, 04 0 800 EUR 800 1,04 2 935, 89 EUR? Odg.: Po eem letu zaša aš dolg 935,89 EUR. Celoleta kapitalizacija: 800 1,08 864 EUR Razlika v kočih glavicah: 935,89 864 71, 89 EUR Odg.: Pri polleti kapitalizaciji je obvezost večja za 71,89 EUR. 2. Na začetku leta 2008 smo vložili v bako 0 EUR, čez tri mesece smo dodali 400 EUR, a začetku septembra pa še 500 EUR. Koliko smo imeli a račuu kocu leta 2008, če so se vloge obrestovale mesečo s 5 % leto obresto mero, obrestovaje je dekurzivo i je baka uporabila relative ači? p 5 % p.a. 5 p ' p m 0,4167% 12 12 m 12 3 3 0 1,004167 1012, 55 EUR 0 + 0 EUR ' 3 1012,55 + 400 1412, 55 EUR 3 + 400 EUR 5 8 1412,55 1,004167 1442, 23 EUR 8 + 500 EUR ' 8 1442,23 + 500 1942, 23 EUR? 4 1942,23 1,004167 1974, 81 EUR 12 Odg.: Na kocu leta bomo imeli v baki 1974,81 EUR. 29

Poslovo račustvo, II. del 3. Katera leta obresta mera v treh letih, pri četrtleti kapitalizaciji, dekurzivem obrestem obrestovaju i relativemu ačiu, priese a glavico 4000 EUR obresti v zesku 507,30 EUR? m 4 0 r 12 (2 leti 4-krat a leto) r o 0 4000 EUR + o 4000 + 507,30 4507, 30 EUR 0 o 507,30 EUR ' 4507,30 r 12 q 1, 01 4000 p? p r 1+ p ( r 1) ' (1,01 1) 1% ' p p q 4 ' p p 4 1 4 4% p.a. p q q Odg.: 4 % leta obresta mera priese a začeto glavico 4000 EUR obresti v zesku 507,30 EUR. 4. Koliko di se je obrestovala glavica 430 EUR, da je pri uporabi dekurzivega obrestovaja, devi kapitalizaciji i 0,0106 % devi obresti meri, arasla a 434,58 EUR? Namig: Sprememba obreste mere tu i potreba. Podaa obresta mera (deva) v tem primeru že ustreza kapitalizaciji. m 365 0 r log log0 0 430 EUR log r ' ' ' pd P d 0,0106 % p.d. r d 1 + ' 0,0106 434,58 EUR r d 1 + 1, 000106? log 434,58 log 430 di log1,000106 Odg.: lavica 400 EUR se je obrestovala di. 30

Poslovo račustvo, II. del 5. Po kakši leti aticipativi obresti meri se je obrestovalo posojilo 7000 EUR, da je v 9 mesecih, pri uporabi četrtlete kapitalizacije i relativega ačia, arasla za 437,38 EUR? VAJE 0 7000 EUR 0 ρ m 4 0 + o 3 7000 + 437, 38 EUR 7437,38 EUR ρ ρ ' q 3 0 7437,38 7000 1,020408 ρ π ' ' ρ q 1 π q ' ρ q ' 1,020408 1 π q 2% 1,020408 ' π π q 4 π 2 4 8% p. a. Odg.: lavica 7000 EUR se je obrestovala po 8 % leti aticipativi obresti meri. 1. Ob domevi, da je baka uporabljala relativi ači z devo kapitalizacijo i dekurzivim obrestovajem, za asledje podatke izračuajte kočo glavico: a) 0 2500 EUR; p 3,7 % p.a.; od 2.3.2009 do 9.6.2009; b) 0 10.000 EUR; p 5,5 % p.a.; od 12.12.2008 do 30.5.2009; c) 0 6000 EUR; p 6 % p.a.; od 16.6.2008 do 10.9.2008. (R: a) 2525,21 EUR; b) 10.257,91 EUR; c) 6085,42 EUR) 2. Koliko smo vložili v bako pred štirimi leti, da smo a raču te vloge daes lahko dvigili 17.869,39 EUR, če baka uporablja 4,4 % leto obresto mero, dekurzivo obrestovaje i četrtleto kapitalizacijo ter relativo obresto mero? (R: 0 15.000 EUR) 3. lavica 5.000 EUR se obrestuje prvi dve leti po 3 % p.a., aprej pa po 4 % p.a. Koliko zaša glavica ob kocu šestega leta, če uporabljamo relativo obresto mero, dekurzivo obrestovaje i: a) celoleto kapitalizacijo, b) polleto kapitalizacijo, c) mesečo kapitalizacijo? (R: a) 6205,51 EUR; 6217,78 EUR; 6228,26 EUR) 31

Poslovo račustvo, II. del 4. Odobreo bačo posojilo bomo odplačali čez dve leti i pol z zeskom 8000 EUR. Kakšo fiačo ijekcijo bomo daes prejeli a raču tega posojila, če imamo pogodbeo določeo aticipativo obrestovaje, 7,6 % leto obresto mero, polleto kapitalizacijo i relative ači spremembe obreste mere? Koliko EUR obresti bomo plačali? (R: 0 6591,21 EUR; o 1408,79 EUR) 5. Koliko let se je obrestovala glavica 6000 EUR, da je pri 6 % p.a. relativi obresti meri, dekurzivem obrestovaju i četrtleti kapitalizaciji arasla za 2081,13 EUR? (R: 5 let) 6. Pri kateri leti obresti meri glavica 700 EUR v 210 deh pri devi kapitalizaciji, relativemu ačiu i dekurzivemu obrestovaju, araste a 712,19 EUR? (R: p 3 %) 7. Leta dekurziva obresta mera zaša 4,5 %. Koliko zaša ekvivaleta meseča aticipativa obresta mera, če uporabljamo relativi ači? (R: π s ' 0,3736 %) 8. Pred atako letom di smo vložili v bako 2000 EUR. Daes smo dodali še 0 EUR. Koliko bomo imeli a račuu čez pol leta, če se vloga obrestuje po 4,6 % p.a. dekurzivo, kapitalizacija je polleta i baka uporablja relative ači? (R: 3164,20 EUR) 9. Spremembe staja a ekem račuu so bile sledeče: 12.1.2009 vloga 800 EUR, 29.1.2009 dvig 500 EUR, 9.2.2009 vloga 400 EUR. Kakšo je staje a račuu a da 23.2.2009, če upoštevamo dekurzivo obrestovaje, relative ači, v jauarju 4 % leto obresto mero, ato pa 3,5 % leto obresto mero, kapitalizacija pa je ves čas deva? (R: 702,76 EUR) 32

Poslovo račustvo, II. del 3. 6. KONFORMNA METODA DELITVE OBRESTNE MERE Koforma obresta mera je takša obresta mera, ki v eem letu, e glede a vrsto kapitalizacije, priese eake obresti kot leta obresta mera pri celoleti kapitalizaciji. To pomei, da je višia plačaih obresti za posojilojemalca, ki vre kredit v ekratem zesku atako po eem letu, eodvisa od tega, kako pogosta je bila kapitalizacija. (V primeru relative obreste mere pa vemo: pogostejša ko je kapitalizacija, večja je teža bremea, višje so obresti). V tem primeru matematičo spremijamo obresti faktor. m l 0 rm 0 r ; 1 r r m Koformi dekurzivi obresti faktor: ' m r m p 1 + Koformi aticipativi obresti faktor: ρ ' m m π ZLEDI 1. Z bako, ki daje posojila po leti aticipativi obresti meri 5 % leto, smo skleili pogodbo za posojilo v zesku 3000 EUR, ki jih moramo vriti v ekratem zesku po 4 mesecih. Koliko EUR smo iz aslova tega posojila prejeli od bake ob skleitvi posla, če uporabljamo koformo obresto mero i mesečo kapitalizacijo? π 5 % p.a ρ 1, 052632 π 5 ' m 12 ρ 12 m 1,052632 1, 004284 4 meseci ρ 0 3000 EUR 0 ρ 3000 0? 0 2949, 14 EUR 4 1,004284 Odg.: Ob skleitvi posla smo prejeli od bake 2949,14 EUR. 33

Poslovo račustvo, II. del 2. Koliko let se je pri dekurzivem obrestovaju, 5 % p.a. i četrtleti kapitalizaciji ter koformi delitvi obrestovala glavica, ki je od 18.000 EUR v tem času arasla a 22.973,07 EUR? p 5 % p.a. 0 r m 4 r 1, 05 0 18.000 EUR ' r q 4 1,05 22.973,07 EUR log log0 log r? log 22973,07 log18000 log 4 1, 05 20 četrtletij 20 5 let 4 Odg.: lavica se je obrestovala 5 let. 3. Po kakši leti dekurzivi obresti meri se je obrestovala glavica 2000 EUR, da je v letu i pol pri koformemu ačiu arasla za 10 % svoje vredosti? VAJE 0 2000 EUR 1, 0 10 0 + 10 % od o 2000 1,10 2200 EUR m 2 ' 2200 3 r 3 s 1, 032280 2000 p? r ' s r ' s r 0 2 r r s r 1,032280 2 1,065602 p ( r 1) p ( 1,065602 1) 6,5602% p.a. Odg.: lavica 2000 EUR se je obrestovala po 6,5602 % leti obresti meri. 1. Ob domevi, da je baka uporabljala koformo obrestovaje z devo kapitalizacijo, za asledje podatke izračuajte, kolikša je bila koča glavica : a) 0 2500 EUR; p 3,7 % p.a.; od 2.3.2009 do 9.6.2009; b) 0 10.000 EUR; p 5,5 % p.a.; od 12.12.2008 do 30.5.2009; c) 0 6000 EUR; p 6 % p.a.; od 16.6.2008 do 10.9.2008. (R: a) 2524,76 EUR; b) 10.251,00 EUR; c) 6082,94 EUR) 34

Poslovo račustvo, II. del 2. Na koliko araste vloga 4400 EUR v 8 mesecih, če se obrestuje po 4 % leto, pri dvomeseči kapitalizaciji, dekurzivo i upoštevamo koformo obresto mero? (R: 4516,56 EUR) 3. Katera glavica araste v 200 deh a 616,26 EUR, če je efektiva obresta mera 5 % p.a., obrestovaje dekurzivo, kapitalizacija deva i obresta mera koforma? (R: 0 600 EUR) 4. lavica 3000 EUR se je obrestovala 15 mesecev po 3,75 % leti obresti meri pri aticipativem obrestovaju i meseči kapitalizaciji. Za koliko je arasla glavica v tem obdobju, če smo uporabljali koformo delitev obreste mere? (R: o 146,81 EUR) 5. Po kakši leti dekurzivi obresti meri se je obrestovala glavica 550 EUR, ki je pri koformem ačiu v eem četrtletju arasla a 553,41 EUR? (R: p 2,5 % p.a.) 6. Koliko let se je obrestovala glavica 23.000 EUR, da je pri 6 % leti obresti meri, dekurzivem obrestovaju i koformemu ačiu ter polleti kapitalizaciji arasla za 19.407,18 EUR? (R: 10 let i pol) 7. Na raču dolga smo 12.1.2009 dobili izplačaih 6000 EUR. Koliko je zašal odobrei kredit, ki ga moramo vriti 12.5.2009, če upoštevamo 7 % leto obresto mero, aticipativo obrestovaje, mesečo kapitalizacijo ter koforme ači? (R: 6146,91 EUR) 8. Koliko imamo v baki po deh, če se je glavica 500 EUR obrestovala prvih 30 di po 3 % p.a., preostale di pa je bila leta obresta mera višja za 0,5 odstote točke. Upoštevajte dekurzivo obrestovaje i koformi obraču obresti ter ustrezo kapitalizacijo. (R: 504,53 EUR) 9. Koliko di se je obrestovala glavica 0 EUR, da je pri 0,014 % devi obresti meri, devi kapitalizaciji, dekurzivemu obrestovaju i koformemu ačiu arasla a 110 % prvote vredosti? (R: 681 di) 10. Leta dekurziva obresta mera je 4,25 %. Izračuajte ustrezi meseči dekurzivi obresti faktor po koformem ačiu. (R: r m 1,003474) 11. Spremembe staja a ekem račuu so bile sledeče: 1.12.2008 vloga 800 EUR, 1.2.2009 dvig 500 EUR, 1.3.2009 vloga 400 EUR. Kakšo je staje a račuu a da 1.6.2009, če upoštevamo dekurzivo obrestovaje, koforme ači, 3,5 % leto obresto mero i mesečo kapitalizacijo? (R: 711,56 EUR) 12. lavica 2000 EUR je v 9 mesecih arasla a 2184,36 EUR. Po kakši leti obresti meri se je obrestovala zadje obdobje, če se je prve tri mesece obrestovala po 3 % p.a., asledje tri mesece pa po 4 % p.a. Kapitalizacija je četrtleta, obrestovaje dekurzivo i ači koforme. (R: p 3 5 % p.a.) 35

Poslovo račustvo, II. del 3. 7. POVPREČNA OBRESTNA MERA Povpreča obresta mera je tista obresta mera v določeem obdobju, ki da, e glede a višio osove glavice, eake obresti, kot če bi to isto glavico obrestovali po dejaskih obrestih merah i ustrezih časovih obdobjih. Na višio povpreče obreste mere zesek glavice e vpliva. Vpliva pa čas, po katerem so se uporabljale dejaske obreste mere. Zato povprečo obresto mero izpeljemo iz eačbe: 1 2 m ( r) r r... r 0 0 1 2. Iz zapisa dobimo: Povpreči dekurzivi obresti faktor: r 1 2 r r2... m m 1 r, pri čemer je 1 + 2 +... + m Povpreča dekurziva obresta mera: ZLEDI p ( r 1) 1. lavica 740 EUR se je ajprej obrestovala 55 di po leti obresti meri 4 %, ato pa še 17 di po 5 % leti obresti meri. Kolikša je bila povpreča obresta mera, če baka uporablja koformo različico dekurzivega obrestega račua i devo kapitalizacijo? Namig: Ko imamo pogostejšo kapitalizacijo i koformi ači, am i treba spremijati letega obrestega faktorja, saj se pri koformem obrestovaju pri izračuu povpreče obreste mere m-ti kore faktorjev iziči: m r 1 ( m r ) ( m r ) 2 1+ 2. 1 2 1 2 Če celoto eačbo poteciramo z m, dobimo am že zao obliko r r r... r m 1 2 m. d + d2 0 740 EUR r r 1 d1 d2 1 r2 55+ 55 17 17 d 1 55 r 1,04 1,05 p 1 4 % p.a. r 1, 042352 d 2 17 p ( r 1) p 2 5 % p.a. p ( 1,042352 1) 4,2352% p? Odg.: Povpreča leta obresta mera v tem obdobju je približo 4,2352 %. 36

Poslovo račustvo, II. del 2. lavica se je obrestovala 6 mesecev po 4,2 % p.a., asledjega pol leta pa je bila leta obresta mera 5 % p.a.. Po kakši povpreči leti dekurzivi obresti meri se je obrestovala glavica? VAJE Namig: Če se vse obreste mere uporabljajo za obrestovaje glavice eako dolgo časa, potem čas obrestovaja po posamezi obresti meri e vpliva a velikost povpreče obreste mere. Obresto mero lahko v tem primeru eostavo izračuamo kot običajo aritmetičo sredio oz. je povpreča obresta mera povprečje vseh dejaskih obrestih mer, po katerih se je obrestovala eka glavica. p p 1 4,2 % p.a. 1 + p p 2 2 4,2 + 5 1 2 p 4,6% 2 p 2 5 % p.a. p? Odg.: lavica se je obrestovala po 4,6 % povpreči leti obresti meri. 1. lavica 32.000 EUR se je sprva obrestovala eo leto po 5,5 % leti obresti meri, ato dve leti po 6 % leti obresti meri, akar se je obrestovala še šest let po 7 % leti obresti meri. Po kakši povpreči leti obresti meri se je v tem času obrestovala omejea glavica, če upoštevamo dekurzivo obrestovaje? (R: p 6,61 %) 2. Neki zesek se je ajprej obrestoval dva meseca po 3 % leti obresti meri, ato tri mesece po 3,8 % leti obresti meri i še pet mesecev po 4,5 % leti obresti meri. Koliko odstotkov začete glavice so zašale koforme obresti? Kolikša je bila povpreča obresta mera, če upoštevamo koformo obrestovaje i mesečo kapitalizacijo? (R: o 3,31 % od o ; p 3,9884 %.) 3. lavica 17.000 EUR se je obrestovala deset let. Prva tri leta se je obrestovala po 4 % p.a., ato pet let po 4,5 % p.a., v preostalem času pa po 5,2 % p.a. obresti meri. Koliko je zašala povpreča obresta mera, po kateri se je obrestovala glavica, če upoštevamo dekurzivo obrestovaje i celoleto kapitalizacijo? (R: p 4,4892 % p.a.) 4. lavica se je obrestovala eo leto po povpreči obresti meri 3,1745 % p.a.. Prva dva meseca se je obrestovala po 2,8 % p.a., ato štiri mesece po 3 % p.a., asledjih pet mesecev po 3,3 % p.a., v preostalem času pa po ezai obresti meri. Koliko je zašala leta obresta mera v zadjem obdobju, če upoštevamo dekurzivo obrestovaje i celoleto kapitalizacijo? (R: p 4 4 % p.a.) 37

Poslovo račustvo, II. del 3. 8. INTERKALARNO OBRESTOVANJE Iterkalare obresti so obresti, ki so izračuae za čas od datuma dospetja glavice, ki leži zotraj predpisaega račuskega kapitalizacijskega obdobja, do začetka prvega asledjega kapitalizacijskega obdobja ali obrato (od koca zadjega kapitalizacijskega obdobja do datuma dospetja glavice). Iterkalare obresti se vedo izračuavajo za čas, ki je krajši od predpisaega kapitalizacijskega obdobja, i ga izražamo oz. preštejemo v devih. Če se obresti raču izračuava po koformi metodi, se iterkalare obresti izračuajo po pricipu obresto obrestega račua z devo kapitalizacijo. ZLEDI 1. Na začetku leta 2009 smo si izposodili 5000 EUR i a raču dolga vrili (ajveč) 5 EUR. Kdaj smo poplačali aš dolg, če upoštevamo 6 % obresto mero, celoleto kapitalizacijo i dekurzivo obrestovaje? 0 5000 EUR a) kofoma metoda 5 EUR log log0 log rd m 1 log 5 log 5000. 124,045 124 di 365 log 1,06 p 6 % p.a. d 124 31 28 31 30 4 di? Odg.: Naš dolg smo odplačali 4. maja 2009. Odg.: Naš dolg smo odplačali 1. maja 2009. b) relativa metoda log log0 log r log 5 log 5000 0,339849 log1,06 o 2009 5 5000 EUR 0 p d o2009 36500 o2009 36500 d 0 p 36500 d 121,67 121 di 5000 6 d 121 31 28 31 30 1 38

o Poslovo račustvo, II. del 2. De 15. oktobra 2008 smo dobili izplačaih 10.000 EUR posojila, ki ga je treba vriti koec leta 2010. Koliko zašajo obresti, ki smo jih plačali za to posojilo, če upoštevamo aticipativo obrestovaje, 8 % leto obresto mero, celoleto kapitalizacijo i iterkalaro obrestovaje po metodi: a) koformega obračua i b) relativega obračua? 15. oktober 2008 a) koforma metoda 0 10.000 EUR o 0 π 8 % p.a. 1 2 ρ ρ 0 m 1 77 2 00 ( ) ( ) 12.024, 41 92 92 EUR 77 di + 2 leti o 12024,41 00 2024, 41 EUR o? Odg.: Obresti za dao posojilo zašajo 2024,41 EUR. 1 d 2 b) relativa metoda 2009 0 + o2008 2009 π d o2008 36500 2009 π d 2009 0 + 36500 2009 π d 0 2009 36500 π d 0 2009 (1 ) 36500 8 77 00 2009 (1 ) 36500 00 2009 0,983123/ : 0,983123 2009 10171,67 EUR ρ 0 2009 ρ π 8 92 10171,67 ( ) 2 12.017,57 EUR 92 o 0 o 12017,57 00 2017, 57 EUR Odg: Obresti za posojilo zašajo 2017,57 EUR. 39

Poslovo račustvo, II. del VAJE 1. Na začetku leta 2007 smo si izposodili 4500 EUR i a raču dolga vrili 5000 EUR. Kdaj smo povrili aš dolg, če upoštevamo 5 % p.a., celoleto kapitalizacijo i dekurzivo obrestovaje? Izvedite izraču z iterkalarim obrestovajem po metodi koformega obračua. (R: d 27. februarja 2009) 2. Na začetku leta 2008 smo si izposodili 20.000 EUR. S kakšim zeskom bomo poravali aš dolg 23. maja 2010, če upoštevamo 6 % leto obresto mero, celoleto kapitalizacijo i dekurzivo obrestovaje? Izraču bo izvede z iterkalarim obrestovajem po metodi relativega obračua. (R: 23.000,25 EUR) 3. Pred devi smo vložili a varčevali raču 650 EUR. Koliko imamo a tem račuu daes, če upoštevamo, da je letošje leto prestopo i da am baka vlogo obrestuje pri celoleti kapitalizaciji, dekurzivo, 3,75 % leti obresti meri, z upoštevajem iterkalarega obrestovaja po metodi koformega obračua? (R: 655,59 EUR) 40

Poslovo račustvo, II. del VIRI Čibej J.A. (2004) Poslova matematika. Del 2, Učbeik za predmet poslova matematika v 4. letiku programa ekoomski tehik. Ljubljaa: DZS. Jager. (2002) Poslova matematika. Delovi zvezek z osovami teorije za predmet poslova matematika v 4. letiku programa ekoomski tehik. Ljubljaa: samozaložba. Pirš V. (2007) radivo za predmet poslova matematika 2. Kamik, ŠCRM. 41