INTEGRAREA ECUAŢIILOR DIFERENŢIALE CU CONDIŢII INIŢIALE Cosdeăm dae: Meode cu aş seaaţ Fomulaea obleme - evalul îcs [ a] R I - ucţa couă : I R R ( ( - ecuaţa deeţală P : ( Poblema deeţală de odul cosă î deemaea ucţe devable : I R cu oeaea că eu I avem Peu u ssem de ecuaţ deeţale de odul se cuosc ucţle coue : I R R ( (z z z : ş ecuaţle deeţale ( Κ ( Κ Κ Κ ş eesează deemaea ucţlo devable : I R asel îcâ ( ( : Κ Iegaea uu ssem de ecuaţ deeţale de odul ( ( Κ Κ Κ : scs î oaţe vecoală smlcaă sub oma ( ( R R ( Κ cu : I (sau : I (R R esuue deemaea ucţlo devable : I R sau : Ssemul de ecuaţ deeţale de od oae edus olosd subsuţle de ma os: v v Κ ( v la ssemul de ecuaţ deeţale de od v v v v Κ v v v Κ v Eseţa soluţlo ecuaţlo deeţale ş ssemelo de ecuaţ deeţale ese codţoaă de o suceă eezme a ucţlo Peu ucaea soluţlo ş umae eu o buă
omulae a obleme de egae umecă se mu codţ sulmeae cum su codţle ţale ale ec Poblema deeţală cu codţ ţale (oblema Cauc cosă d ezolvaea ecuaţe ( ( ( λ P : muâd codţa ţală P : cu λ R da Vom esuue î mod cosa î cele ce umează că ucţle sasac o codţe Lscz I u v R ( u ( v < L u v L > asel îcâ Codţa Lscz asguă eseţa ş ucaea soluţe obleme Cauc Poblema deeţală cu codţ ţale ese ecvaleă cu deemaea ue ucţ coue e I cu oeaea că ( λ ( ( d ecvaleţă cuoscuă ş sub umele de meoda cosucvă Pcad Meoda u ese alcablă aalc deoaece u adme î geeal mve De cele ma mule o soluţa aalcă u ese emablă ucţ elemeae sau ese oae geu de găs ş de aceea se aelează la ec de egae umecă ce oeă valo aomave ale soluţe î-o dvzu e a lu I Câeva de cele ma moae meode umece su ezeae î couae Se îmae evalul [ a] a N I ucele de abscse a N ş se aomează soluţa Y î cae Y Y λ Meoda lu Eule î N evale ecdsae de lugme Y ( : N uco Eule( a /* Iă: /*caăul sâg al evalulu de egae /* a lugmea evalulu /* umăul de uce /* codţa ţală /* ucţa de ega '( /*Ieş: /* vecoul aomaţlo soluţe zeos; ( ; a / o : * ( (- *( (- ed
Cosseţă sablae covegeţă O meodă cu aş seaaţ deemă aomaţa soluţe î asul umăo Y olosd uma omaţa d asul cue Y Y λ Y ( Y Κ Eoaea î-u as (î se deeşe ca e a eoaea globală Y E N ma e : N O meodă cu aş seaaţ ese cosseă dacă lm ( ( Sablaea ue meode cu aş seaaţ mue ca vaaţa codţlo ţale să u oducă vaaţ ma î ezulae Fe oblema deeţală cu codţ ţale ( ( λ oblema deeţală eubaă ( z δ( z( ε z ş meodele cu aş seaaţ coesuzăoae ( [ ( ε ] z z N Meoda cu aş seaaţ ese sablă dacă lm εn N ma N > asel îcâ z z ma ε N Ilusaăm oţuea de sablae a meode e oblema smlă avâd soluţa A ( A > A e Meoda Eule uzează aomaţa Y Deoaece lm cae e coduce la ( A Y ese ecesa ca lm Y A < < < A adcă meoda Eule ese codţoal sablă aceasa uzează ezulae coece uma dacă se alege asul suce de mc Codţa de ma sus deeşe A-sablaea meode N
Peu sablea covegeţe meode Eule se scade d dezvolaea î see Talo: ( ( ( ( ( ξ cu ξ [ ] ş (ξ M elaţa lu Eule: ( e e [( ( -( ] / (ξ e e [( ( -( ] /M e e L e /M (L e /M e /M e (L e /M [(L] /M e (L e /M [(L (L] /M e [(L( L (L - ] /M e ( L M ( L L L L e L (L e L e (-L M [ ( e e ] L Dacă ( ese soluţa eacă ş - lm M L ( e M e O( ese aomaţa lu ( eu da auc: L [ ] lm Meode de Ruge - ua O meodă de Ruge-ua ese o meodă cu aş seaaţ î cae ucţa ( asel se îmae evalul [ ] î subevale cu abscsele u u u u Număul subevalelo deeşe agul meode se calculează aomaţle soluţe î ucele emedae de oma l l ( l l : se deemă Pucele emedae ş cosaele l se obţ d codţa ca î dezvolaea Talo a lu duă uele lu să cocdă câ ma mulţ eme cu ce d dezvolaea Talo a soluţe eace Meoda ese de odul dacă î cele două dezvolă eme cocd âă la clusv Meoda Ruge-ua de od ş ag ese de oma ( Dezvolaea î see Talo a soluţe eace ese
! ( ( Κ ( Κ D decae se obţe cae coduce la meoda lu Eule Meoda u ese ulzaă î mod acc deoaece eoaea î-u as de odul ese moaă I meodele cu aş seaaţ de ag ş od se a! [ ] u u : u u Peu avem l l ( Dezvolaea Talo a soluţe ese ( l ( ( u u Κ u Κ D decae ezulă u Peu avem l ( ( î cae ( ( se îlocueşe cu dezvolaea î see Talo î vecăaea uculu ( ( ( ( Κ ( u Κ dec ( u Da: ( ( ( ( ( Dezvolaea eacă ese ( ( Κ de ude ezulă u Ssem cae ae soluţa u u Relaţle Ruge-ua au î aces caz oma Κ 5
sau: ( u ( ( u u ( ( Peză ees acc umăoaele cazu aculae î ao cu valoaea lu [ ] meoda agee ameloae î cae u ( ( u Rezulă ( - meoda Eule-Cauc î cae u ( [ ( ( ] meoda Heu eu ( [ ( ( ] u cae coduce la elaţle ( Eoaea î-u as î meodele Ruge-ua de od ese ε u ( ξ u ( ξ 6 I mod ecve se ulzează o meodă de Ruge-ua de od de oma ( u 6
( 6 a căe mlemeae ese uco Ruge_ua(a b % Iă: % a b - evalul de egae % - umăul de uce % - codţa ţală % - ucţa '( % Ieş: % - aomaea soluţe î ucele (b-a/; zeos(; ( ; o : a * ( (- ( / (- / ( / (- / ( (- ( (-(/6 ed Peu ca meoda Ruge-ua φ ( să e covegeă căe soluţa a obleme deeţale auc câd ese suce ca să vece o codţe Lscz globală ş φ ( ( Vecaea A-sablăţ eu meoda Ruge-ua de odul coduce la ( A A A A A A A A A A P îlocue se obţe o ecuaţe ecueă de oma 6 A A A 6 cu soluţa A ( A A ϕ 7
Îucâ lm [ ( A ] lm adcă asul de dscezae u oae ales aba 78 ( A < < < A Eoul de calcul î meodele Ruge-ua ese lega î cal de evaluaea lu Meoda Ruge- O ua de od ecesă evaluă î-u as cu eoaea î-u as de odul O meodă deală cu aş seaaţ Coolul eo - meode adave cu aş seaaţ ( ebue să e asgue eu o oleaţă ε daă u umă mm de uce emedae asel îcâ eoaea globală să sasacă umăoaea codţe ( ε E ma < Îucâ eoaea globală u oae deemaă deoaece u se cuoaşe valoaea eacă vom ulza o esmae a eo locale e baza calcululu soluţe cu două meode de ecz dee ş vom olos aceasă esmae eu ausaea asulu ş aceasa eu coolul eo I meoda Eule λ ( eoaea î-u as sasace ecuaţa ( ( e I meoda Eule modcaă ( ( λ [ ( ( ( ] ese eoaea de ucee î-u as î oeza ( ( ( ( ( ( ( e de ude obţem esmaea ( ( e e e e Aceasă esmae a eo oae olosă eu emaea asulu omal cae să asgue o eoae globală mmă 8
Fe două meode cu aş seaaţ λ ( λ ( cu eole locale de ucee e O( ş esecv e O( îae avem ( e C e ( C ( C cu e O de ude Se alege asel îcâ e ezulă codţa ( < ε ε < Pocedâd ca ma ε Relaţle de calcul dev 6 6656 856 9 5 85 56 5 5 8 97 6 565 5 55 5 6 ude 5 ( 9 8 9 7 796 97 97 97 9 68 85 8 6 5 8 5 859 7 565 5 6 5 Meoda eză avaaul că ecesă uma 6 evaluă ale ucţe î-u as î loc de 6 eu meodele coveţoale de od ş 5 Pod cu u as ţal se deemă ş cae e coduc la calculul eeâdu-se eu asul 9
ε ε 8 Meoda elmă de aseme vaaţle ma ale asulu lmâd ş [O]R_Felbeg(abεmma %Iă: a b - evalul de egae %ε - oleaţa musă eu eoae %m ma - lmele de vaaţe ale asulu % - ucţa de ega ' %Ieş: % O - dcao de euşă/eşec al meode % - umăul de uce emedae olos % - abloul ucelo emedae % - aomaţa soluţe î ucele m ; ma ; a; u ; ( ; ( u; ma; O ue; ; wle < b O *( u; *(/* u/*; *(/8* u/*9/*; *(/* u9/97* -7/97* 796/97*; 5 *( u9/6*-8*68/5*-85/*; 6 *(/* u-8/7** -5/565*859/*-/*5; e abs(/6*-8/75*-97/75*/5*5-/55*6 ; 8(ε / e^5; e ε ; u u 5/6* 8/565* 97/* - /5*5; ; ( ; ( u; ed < m m; > ma ma; *; > ma ma; < m O alse; ed Meode cu aş legaţ Meodele cu aş seaaţ su ulzae ecve daoă smlăţ lo ş aulu că ecesă uţe omaţ ţale Ele eză ouş dezavaaul lse de ecze Se deosebe de acesea meodele cu aş legaţ (sau meodele mulas olosesc ma mule omaţ ţale dec su ma ecse S-a am ma îae că oblema deeţală cu codţ ţale
( λ î cae ( sasace codţa Lscz globală ( u ( v L u v ese ecvaleă cu deemaea ucţe d λ Peu a o alca vom esuue cuoscue valole aomave ( ( ( ( Κ ( ( Alcâd elaţa eu ezulă ş ( λ ( ( λ ( d ( ( d ( d Peu calculul egale vom ulza olomul de eolae P( a lu da sub oma cele de-a ea omule de eolae Newo-Gego Iegalele ( d ( ( ( ξ ξ ( (! ( ( ( ξ ( ξ (! u ( Κ ( d u u c ( du u du ( u Κ ( u du 5 5 calculae cu meoda see geeaoae au valole Κ ec ş duc la elaţa 8 7 c ded o meodă elcă cuoscuă sub umele de meoda Adams-Baso I acelaş mod se obţe meoda mlcă Adams-Moulo
d Puem ece la o elaţe de ecueţă laă ma geeală alcablă aâ eu meode elce câ ş mlce de oma O meodă elcă ae î m ce meodele mlce se caacezează Peu deemaea coeceţlo vom mue ca elaţa să eeze soluţa eacă eu oloame de gad câ ma dca Asel eu Κ se aleg ucele Κ ecdsae cu ş ogea î Se obţe ssemul Κ ( ( ( Deemaea celo ( î cazul meodelo mlce coeceţ mue o aâea elaţ aşada omula va eacă eu oloame de gad (esecv eu meode mlce Peu meoda Adams-Baso ese Meode elce ş mlce adcă ( a eesa eo ese î aces caz 5 e ( ξ I mod asemăăo se obţe -eu ( 6 5 ( e ( ξ ; 8 - eu
- eu 5 ( 55 59 7 9 5 ( 5 e ( ξ ; 7 7 ( 9 77 66 7 5 95 88 ( 6 ( ξ 5 e Meodele mlce Adams-Moulo coesuzăoae su e ( ( ξ 9 ( 5 ( ξ 7 5 66 6 7 6 5 ( 6 ( ξ 6 ; ( 9 9 5 e ; ( 9 e Se ma olosesc de asemeea umăoaele meode meoda elcă Mle ( ( 5 e ( ξ ; 5 -meoda mlcă Smso e ( ( 5 ( ξ 9 Meode edco - coeco Meodele mlce asguă aomaţ ma bue ale soluţlo decâ meodele elce De aceea ele se olosesc eu a ceşe ecza ezulaelo obţue meode elce Alcaea ue meode mlce coduce la o ecuaţe elaă de oma ( C C Rezolvaea ecuaţe elae se ace de obce meoda aomaţlo succesve Meoda edco-coeco îmbă alcaea ue meode elce cu ua mlcă Meoda elcă calculează o edcţe a soluţe a meoda mlcă - o coecţe ăcâd o sguă eaţe cu valoaea de oe edcţa oeă de meoda elcă Asel meoda elcă Adams-Baso de odul uzează edcţa [ 6 5 ] a omula mlcă Adams-Moulo de odul coecează aceasă valoae
[ ] ( c 5 8 Rezulă umăoul algom Fuco Ped_Co(a b % Iă: a b evalul de egae % umăul de uce % codţa ţală ucţa de ega '( % Ieş: abloul aomaţlo soluţe Ruge_ua(a b (b-a / ; a; a; a; (; (; (; o : a*; ((-6(5(/; co(5(8(-(/ ; ( co; ; ; co; ; ; ; ed Asocem meode mulas lae oeaoul: Covegeţa ş sablaea meodelo mulas [ ] ( ( ( L Dezvolăm ( ş ( î see Talo : L[]C (C ( C ( L! ( [ ] ( (!! ( C C ( C! ( ( Meoda mulas ae odul dacă ese eacă eu oae oloamele de od adcă L[ ] : da L[ ] Dacă meoda mulas ese de odul auc C C C C d L [ ] C ( d ( Λ ( Λ C C C! Λ C O meodă de odul ese cosseă dacă
Eumeăm ma mule meode uzuale: meoda elcă Adams-Baso meoda elcă Nsom meoda mlcă Adams-Moulo meoda mlcă Smso-Mle Se deesc oloamele: ρ ( z z z σ ( z z Fe oeaoul de delasae E de E Ecuaţa ecueă oae emaă ca ( E σ( E ρ Algomul mulas de elaţa ecueă ese zeo-sabl dacă - ădăcle ecuaţe ρ z su de modul subua e ρ ( z z ; - ădăcle de modul su smle Sablaea ese uecă dacă sgua ădăcă de modul ese z Meoda Adams ese uec sablă deoaece z z ρ z ae sgua ădăcă de modul z Meoda Nsom ese slab sablă căc z z ρ z ae două ădăc de modul z ± Imuem ca ecuaţa ecueă să abă odul Se dezvolă aceasă ecuaţe î see Talo î vecăaea uu uc ( ρ E ρ E C î cae C Κ ρ ( ρ σ C Κ Κ C ( Κ Κ!! Dacă meoda ese de od auc C C Κ C C O meodă cu aş legaţ ese cosseă dacă ese de od cel uţ Codţa de cosseţă mue dec ca Κ 5
ρ σ ρ O meodă cu aş legaţ zeo-sablă ş cosseă ese covegeă Pobleme ezolvae Poblema Cosdeăm oblema deeţală ( ( a căe soluţe eacă ese e Să se sudeze covegeţa ş sablaea meode Eule Soluţe ( ( Peu covegeţă cosdeăm evalul cosa ( τ cu ( Avem lm τ τ ( lm e elaţe cae aaă că algomul covege soluţa eacă d e Peu sablae acem τ ( lm lm e lm lm τ î cae acem ( dacă < < < Eoaea globală ese e e Dezvolaea î see Talo î vecăaea lu ese ( ( ( ξ Meoda Eule se sce ( de ude ezulă eoaea î-u as ( θ e ( e e maoaă de e < ( e elaţe cae scsă succesv eu Κ ese e e ( e < e e e ( e < e e < e e e e e < ( e e < ( e e de ude deducem ducţe că ( e < ( e Poblema Poblema deeţală cu codţ ţale 6
( se ezolvă -o meodă cu aş seaaţ a deemaţ aza de sablae eu o ecuaţe deeţală laă ( a b eu ecuaţa deeţală a a < calculaţ aza de sablae a meode Ruge-ua R R R Soluţe a O meodă cu aş seaaţ olosă eu egaea obleme deeţale cu codţ ţale ese o elaţe de ecueţă de oma ( căea î coesude ecuaţa caacescă Raza de sablae eu ecuaţa caacescă îdeleşe eu d a codţle eu < < oae ădăcle ecuaţe caacesce su î modul < eu δ > cel uţ o ădăcă ese î modul > eu δ b Peu ecuaţa deeţală laă a elaţa de ecueţă ae oma P( a î cae P ese u olom de gad s Ecuaţa caacescă ese P( a ( P( a ş ae ca ădăc e ş P( a Codţa de sablae mue eu ca P ( a < Peu ecuaţa de ma sus meoda Ruge-ua de od ş ag - R ae oma a c ( a Peu R P( a a Codţa de sablae mue ca a < < a < de ude ezulă aza de sablae R (osbl îucâ a a < Peu R P a a c a a codţa de sablae mue a c ( a cae se sce a a ş e coduce la c( a ( c a < c < > < < ( a a a ( a Peu R P( a a cae e coduce la codţle de sablae a a ( a a Raza de sablae ese dec R > < a a > 7
Poblema Peu oblema deeţală se cosdeă omula aomavă de egae Deemaţ asel îcâ omula să abă gadul de valablae cel ma dca Cae ese eesa eo î-u as Soluţe Imuem ca omula să e eacă eu Coeceţ su deedeţ de ş dec uem alege eu smlcaea calculelo Peu obţem ş ecuaţa Valoaea e eme să scem ş Luâd avem ş Cu obţem ( ş Se obţ soluţle cae îlocue î omula de egae e dau Fomula ese eacă eu oloame âă la odul clusv Eoaea meode ese de odul 5 Poblema Meoda elcă Adams de od ese sau E E σ ρ î cae z z z ρ ( σ z z Calculaţ coeceţ omule de egae î cazul Soluţe Peu ecuaţa Adams ae oma Imuem codţa ca omula să e eacă eu : Îlocum î omula de egae : 8
Îucâ omulele su deedee de ş vom lua eu a educe volumul de calcule ăă a ede d geealae ( umae Obţem ssemul de ecuaţ : : : Ssemul ae soluţa Poblema 5 Se cosdeă ecuaţa ecueă ( a ( Κ a b scsă sub oma ( a E a I b E Κ ( E b P Se deeşe ecuaţa caacescă P a Să se aae că dacă ecuaţa caacescă ae ădăc smle Κ soluţa geeală a ecuaţe ecuee omogee ae oma C C Κ C b Să se aae că dacă olomul caacesc ae ădăca cu mullcaea auc C Κ C Soluţe a Se cauă de oma P ( E a Κ ( a Κ a P ( E P P Fe Κ ădăcle auc Κ ş soluţa ecuaţe omogee se emă ca C C Κ C b P ( P Se a u v ş se obţe P a 5 s s ( E u P ( E v a E v a v( s s s s as s s ( E v P ( E v Folosm oeaoul deeţă ogesvă (sau deeţă îae E v E I P E v P I [ ] [ Κ ] v ( P Dacă alegem v Κ auc v Aşada Κ Poblema 6 Peu egaea ecuaţe deeţale ( s E I de î caolul v 9
meoda de egae ( A B (sau ( ρ σ ese A( E B( E ude A( z Π B( z Π a cae su codţle eu ca aceasă meodă să abă odul b Să se sce codţle de covegeţă î ucţe de A ( z ş B ( z Soluţe Elcăm oloamele ( z B( z z A z Meoda de egae ese de odul dacă A cae se dezvolă ( ( E B( E C E E C C C Κ Κ ( C C Κ Idecăm coeceţ cu aceeaş uee eu Π Peu a educe volumul de calcule C Κ [ ] vom lua ăă a educe geealaea asul ş Obţem elaţle C A Κ Κ C A Κ B ( Κ ( Κ C!!!! ( Κ Κ C!! Meoda ese de odul dacă eme d cele două dezvolă cocd âă la gadul clusv adcă dacă ( ( B( C A C A Κ C C b Peu a covegeă o meodă ( B ( z A ebue să e sablă ceea ce mue ca ecuaţa caacescă A să abă ădăcle z î modul subuae adcă z Meoda ebue să e cel uţ de od adcă C cae coduc la C Poblema 7 Fe ecuaţa deeţală ( A( E B( E cu A( z Π B( z Π a o codţe ecesaă de covegeţă ese ca ădăcle ( z abă mullcaea cel mul b e o meodă de egae ( B A( A ( B( Soluţe Pocedăm ca î cazul obleme 6 A Obţem elaţle ( ( E B( E C ş meoda de egae Aăaţ că A să e z < ş z să A sablă ş covegeă Să se aae că
C C Κ Κ ( ( Κ C Κ! (! Meoda ese de od dacă C : C Meoda ( A B de od ese ( E B E C O( A eu cae C A( A ( C A ( A ( C A ( B( A ( B Poblema 8 Deemaţ coeceţ meode Adams-Baso asel îcâ aceasa să abă gadul de valablae Soluţe Fomula Adams-Baso ese Imuem ca omula să e eacă eu geealae Κ Obţem ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( cae e coduc la ssemul cu soluţle 55 5 7 Pobleme ouse 8 ş luăm ăă a ede d Poblema Sceţ u algom eu ezolvaea obleme deeţale cu codţ ţale olosd meoda Eule-Cauc Poblema Se cosdeă ssemul de ecuaţ deeţale ( ( ( ( λ ( ( ( ( λ Sceţ elaţle Ruge-ua coesuzăoae Poblema Cosdeăm oblema deeţală cu codţ ţale ( (
Noăm Fe omula de egae ( λ λ a Deemaţ ş asel îcâ omula să abă gadul de valablae câ ma dca b Calculaţ eesa eo î-u as c sudaţ cazule aculae λ λ λ Poblema Sceţ o ucţe cae mlemeează meoda edco-coeco olosd elaţle ( c ( Poblema 5 Cae ese gadul de valablae al omulelo ( 6 5 ( 55 59 7 9 Poblema 6 Peu oblema deeţală cu codţ ţale : se cosdeă omula de egae elcă ude ( Să se aae că muâd codţle ca omula de egae să abă gadul de valablae se obţ escţle ( ( : a N