ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2010-11 Τέταρτη Γραπτή Εργασία στην Επιχειρησιακή Έρευνα Γενικές οδηγίες για την εργασία Η εργασία περιλαμβάνει πέντε υποχρεωτικές ασκήσεις. Οι απαντήσεις στις ασκήσεις της εργασίας θα αναπτυχθούν σε δύο αρχεία (ένα Word και ένα Excel) σύμφωνα με τις αναλυτικές οδηγίες που ακολουθούν. Τα δύο αρχεία, μαζί με το συμπληρωμένο δελτίο υποβολής αξιολόγησης εργασίας, θα πρέπει να αποσταλούν ηλεκτρονικά (e-mail) και σε έντυπη μορφή στον Καθηγητή Σύμβουλο. Ημερομηνία αποστολής της γραπτής εργασίας: Παρασκευή, 13 Μαΐου 2011 Καταληκτική ημερομηνία παραλαβής: Τρίτη, 17 Μαΐου 2011 Εργασίες που παραλαμβάνονται εκπρόθεσμα, επισύρουν βαθμολογικές κυρώσεις (0,5 βαθμό για κάθε ημερολογιακή ημέρα καθυστέρησης). Προσοχή! Εργασίες οι οποίες παραλαμβάνονται 7 ημέρες μετά την 17 η Μαΐου (δηλαδή μετά την 24 η Μαΐου) δεν γίνονται αποδεκτές προς διόρθωση. Αναλυτικές Οδηγίες Οι πλήρεις απαντήσεις στις ασκήσεις της εργασίας θα πρέπει να δοθούν σε ένα αρχείο Word το οποίο θα ονομάσετε EponymoOnoma-GE04.doc (π.χ. IoannouIoannis-GE04.doc) και θα συνοδεύονται από το αρχείο Excel που περιγράφεται στην επόμενη παράγραφο. Για την εισαγωγή μαθηματικών εκφράσεων να χρησιμοποιήσετε τον επεξεργαστή εξισώσεων - Equation Editor (Βλέπε οδηγίες στο συμπληρωματικό εγχειρίδιο Εισαγωγή στους Η/Υ στην ιστοσελίδα της ΔΕΟ13). Για απλές μαθηματικές εκφράσεις (π.χ. εκθέτες) μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις επιλογές μορφοποίησης του Word. Για τα ερωτήματα της Άσκησης 4 και της Άσκησης 5 που απαιτούν τη χρήση του Excel να δημιουργήσετε ένα αρχείο Εxcel το οποίο θα ονομάσετε EponymoOnoma-GE04.xls (π.χ. IoannouIoannis-GE04.xls). Για κάθε άσκηση θα πρέπει να έχετε τα κατάλληλα φύλλα εργασίας και τελικά το αρχείο σας θα πρέπει να περιέχει οκτώ φύλλα εργασίας (βλ. τις εκφωνήσεις για περαιτέρω οδηγίες). Τα αποτελέσματα από το excel πρέπει να ενσωματωθούν στην εργασία σας στο αρχείο Word ως εικόνες, ώστε το κείμενο της εργασίας να περιέχει όλα τα απαραίτητα στοιχεία για την ανάγνωσή της, ανεξάρτητα από τον έλεγχο που θα πραγματοποιηθεί στο αντίστοιχο αρχείο Excel. Η εργασία σας πρέπει να είναι επιμελημένη και ευανάγνωστη.
ΑΣΚΗΣΗ 1 (ΜΟΝΑΔΕΣ 15) Γαλακτοβιομηχανία συλλέγει το πρωτογενές γάλα από παραγωγούς σε ένα κεντρικό σιλό (έστω Α). Σύμφωνα με τον τρόπο που είναι οργανωμένη η παραγωγική διαδικασία του παστεριωμένου γάλακτος, στη συνέχεια το πρωτογενές γάλα ρέει μέσω αγωγών σε τέσσερις συστοιχίες προετοιμασίας και προεπεξεργασίας (έστω Σ1, Σ2, Σ3, Σ4). Ακολούθως προχωρά σε τρεις συστοιχίες ψύξης και παστερίωσης (έστω Ψ1, Ψ2, Ψ3) και μετά την ολοκλήρωση της διαδικασίας αυτής ακολουθεί το τμήμα συσκευασίας και διανομής με δύο συστοιχίες (έστω Δ1, Δ2) απ όπου το γάλα φεύγει πια για την Αγορά. Οι αγωγοί μέσα από τους οποίους ρέει το ημικατεργασμένο προϊόν είναι ρυθμισμένοι σε κάποιες μέγιστες ημερήσιες δυναμικότητες ροής (σε λίτρα) σύμφωνα με τους παρακάτω πίνακες όπου καταγράφονται: i) η μέγιστη ποσότητα που μπορεί να μεταφερθεί από το σιλό (Α) στην προετοιμασία (Σ1, Σ2, Σ3, Σ4), ii) η μέγιστη ποσότητα που μπορεί να μεταφερθεί από την προετοιμασία στην παστερίωση και ψύξη (Ψ1, Ψ2, και Ψ3) iii) η μέγιστη ποσότητα που μπορεί να μεταφερθεί από την παστερίωση και ψύξη στις συστοιχίες συσκευασίας και διανομής (Δ1, Δ2) iv) η μέγιστη ποσότητα ροής προς την Αγορά από κάθε συστοιχία συσκευασίας και διανομής. Προετοιμασία Σιλό Σ1 Σ2 Σ3 Σ4 Α 500 600 1000 900 Προετοιμασία Παστερίωση - Ψύξη Ψ1 Ψ2 Ψ3 Σ1 600 400 - Σ2 400 300 - Σ3 400 300 300 Σ4-400 400 Συσκευασία και Παστερίωση και διανομή Ψύξη Δ1 Δ2 Ψ1 450 350 Ψ2 600 350 Ψ3 350 400 Συστοιχία συσκευασίας και Αγορά διανομής Δ1 1000 Δ2 1350 Χρησιμοποιείστε την κατάλληλη τεχνική της δικτυωτής ανάλυσης προκειμένου να βοηθήσετε τη διοίκηση της εταιρείας να μεγιστοποιήσει την ημερήσια ποσότητα τελικού προϊόντος που είναι δυνατό να προωθηθεί στην αγορά. (15 μονάδες) Οδηγία: Να χρησιμοποιήσετε τα εργαλεία σχεδιασμού του Word για να απεικονίσετε την πορεία επίλυσης του προβλήματος βήμα - βήμα, αναγράφοντας επάνω στα διαδοχικά δίκτυα που θα κατασκευάσετε τα ενδιάμεσα αποτελέσματα. Η παρουσίαση της μεθόδου που εφαρμόζετε να είναι σαφής. 2
ΑΣΚΗΣΗ 2 (ΜΟΝΑΔΕΣ 20) Στο χιονοδρομικό κέντρο Βασιλίτσας Γρεβενών οι σκιέρ συνωστίζονται τις ώρες αιχμής για να αγοράσουν τη σχετική κάρτα - εισιτήριο για χρήση της καρέκλας που τους ανεβάζει στο βουνό καθώς και άλλων ευκολιών. Στο σημείο που βρίσκεται ο υπάλληλος που είναι υπεύθυνος για τις κάρτες καταφθάνουν κατά μέσο όρο 2 σκιέρ το λεπτό (διαδικασία Poisson) και απαιτούνται κατά μέσο όρο 20 δευτερόλεπτα για την εξυπηρέτηση ενός σκιέρ (εκθετική κατανομή). Το κόστος εργασίας του υπαλλήλου ανέρχεται σε 0,1 ευρώ ανά λεπτό ενώ το κόστος για έναν σκιέρ που εξυπηρετείται ή περιμένει, ανέρχεται σε 0,3 ευρώ ανά λεπτό. Ερώτημα 1 Η διοίκηση του κέντρου επιθυμεί να προσδιορίσει με την παρούσα διαμόρφωση λειτουργίας τα εξής μέτρα απόδοσης: 1. Βαθμός απασχόλησης του υπαλλήλου του κέντρου (1 μονάδα) 2. Πιθανότητα άμεσης εξυπηρέτησης ενός σκιέρ (1 μονάδα) 3. Μέσος αριθμός σκιέρ σε αναμονή (2 μονάδα) 4. Μέσος αριθμός σκιέρ είτε σε αναμονή είτε σε εξυπηρέτηση (1 μονάδα) 5. Μέσος χρόνος αναμονής ενός σκιέρ (1 μονάδα) 6. Μέσος χρόνος παραμονής ενός σκιέρ στο σύστημα (2 μονάδα) 7. Συνολικό κόστος λειτουργίας του συστήματος έκδοσης καρτών (ανά λεπτό) (2 μονάδες) Ερώτημα 2 Η διοίκηση του κέντρου σκέφτεται να χρησιμοποιήσει ακόμη έναν υπάλληλο (με ίδιες δυνατότητες και αμοιβή με τον πρώτο) για να εξυπηρετεί και αυτός τους σκιέρ (με την ίδια ουρά αναμονής) με στόχο να μειώσει το συνολικό κόστος λειτουργίας του συστήματος (ανά λεπτό). 8. Εξετάστε αν με δύο άτομα να εξυπηρετούν τελικά θα μειωθεί το κόστος του συστήματος (5 μονάδες) Στη συνέχεια προσδιορίστε τα εξής μέτρα απόδοσης: 9. Πιθανότητα άμεσης εξυπηρέτησης ενός σκιέρ (2 μονάδα) 10. Μέσος χρόνος αναμονής ενός σκιέρ (2 μονάδα) 11. Μέσος χρόνος παραμονής στο σύστημα ενός σκιέρ (1 μονάδα) Υπόδειξη: Για να απαντήσετε στα ερωτήματα είναι απολύτως απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε ως στοιχειώδη μονάδα μέτρησης του χρόνου το λεπτό. Στους υπολογισμούς, είτε να διατηρείτε κλασματικούς αριθμούς, είτε να στρογγυλοποιείτε σε τουλάχιστον τέσσερα (4) δεκαδικά ψηφία. Κάθε τύπο που χρησιμοποιείτε να τον παραθέσετε με σαφήνεια και στη συνέχεια να αντικαταστήσετε στους τύπους τις αριθμητικές τιμές ώστε να κάνετε τις πράξεις. 9
ΑΣΚΗΣΗ 3 (ΜΟΝΑΔΕΣ 20) Σε μία στρατιωτική άσκηση προσομοιώνεται η εμπλοκή της Στρατιάς Α με την Στρατιά Β. Η Στρατιά Α κρατά το ρόλο του επιτιθέμενου, ενώ η Β το ρόλο του αμυνόμενου. Τα αποτελέσματα της άσκησης μετρώνται σε απώλεια ζωτικού χώρου (εδάφους σε εκτάρια), με τον πίνακα που ακολουθεί να καταγράφει τα κέρδη της Στρατιάς Α για καθένα εκ των σεναρίων στρατηγικής που μπορεί να ακολουθήσει εκάστη των Στρατιών. Στρατηγικές Στρατιάς Α Στρατηγικές Στρατιάς Β B1 B2 B3 A1 1600 2400 2400 A2 3200 1800 1600 A3 2800 2800 2000 Ερώτημα 1 Χωρίς να διαγράψετε τις υποδεέστερες στρατηγικές, εφαρμόστε το κριτήριο minimax στον πίνακα πληρωμών, για να διαπιστώσετε την ύπαρξη ή όχι σημείου ισορροπίας. (5 μονάδες ) Ερώτημα 2 Να εφαρμόσετε την κατάλληλη μεθοδολογία προκειμένου να προσδιορίσετε την άριστη στρατηγική για κάθε Στρατιά. Να διατυπώσετε τα αποτελέσματά σας με σαφήνεια, αποδίδοντας και το κατάλληλο φυσικό νόημα (15 μονάδες) 12
ΑΣΚΗΣΗ 4 (ΜΟΝΑΔΕΣ 20) Η εταιρεία παιχνιδιών GALAXY INDUSTRIES διαθέτει στην αγορά 2 είδη νεροπίστολων: το Space Ray και το Galaxy Ray. Τα 2 παιχνίδια κατασκευάζονται σε δωδεκάδες από την ίδια πρώτη ύλη (πλαστική ουσία). Το εργοστάσιο διαθέτει 1000 κιλά πρώτης ύλης και λειτουργεί για 40 ώρες εβδομαδιαίως. Οι απαιτήσεις σε πόρους (πρώτη ύλη, χρόνος παραγωγής) και τα κέρδη ανά τύπο παιχνιδιού παρατίθενται στον κατωτέρω πίνακα: Κέρδος (χρημ. μονάδες ανά δωδεκάδα) Πρώτη ύλη (σε κιλά ανά δωδεκάδα) χρόνος παραγωγής (σε λεπτά ανά δωδεκάδα) Space Ray 8 2 3 Galaxy Ray 5 1 4 Ο διευθυντής παραγωγής πρέπει να προσδιορίσει το βέλτιστο πρόγραμμα παραγωγής που μεγιστοποιεί τα συνολικά κέρδη της GALAXY INDUSTRIES λαμβάνοντας επιπλέον υπόψη ότι η εβδομαδιαία παραγωγή και για τα δύο παιχνίδια δεν μπορεί να υπερβεί τις 700 δωδεκάδες ενώ η εβδομαδιαία παραγωγή του Space Ray δεν μπορεί να υπερβεί την αντίστοιχη του Galaxy Ray περισσότερο από 350 δωδεκάδες. Ερώτημα 1. Να διαμορφώσετε το μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού για το παραπάνω πρόβλημα. Να εξηγήσετε με σαφήνεια τις μεταβλητές που χρησιμοποιείτε και το φυσικό νόημα των περιορισμών του μοντέλου που θα κατασκευάσετε. Χρησιμοποιήστε τη γραφική μέθοδο για να σκιαγραφήσετε την εφικτή περιοχή και να βρείτε τη βέλτιστη λύση και την άριστη τιμή του μοντέλου που διαμορφώσατε. Τα αποτελέσματα της επίλυσης να τα διατυπώσετε με σαφήνεια. Στη συνέχεια να βρείτε πάλι τη βέλτιστη λύση και την άριστη τιμή όταν το κέρδος του Galaxy Ray ανά δωδεκάδα, αυξηθεί από 5 σε 6 ευρώ. (14 μονάδες) Ερώτημα 2 Να χρησιμοποιήσετε το Εxcel για να επιλύσετε αλγεβρικά το μοντέλο σας και να επιβεβαιώσετε όλα τα αποτελέσματα του προηγούμενου ερωτήματος. Να συμπεριλάβετε στο αρχείο Word της εργασίας που θα παραδώσετε, το φύλλο εργασίας με τα δεδομένα μετά την επίλυση, την αναφορά απάντησης (answer report) και την αναφορά ευαισθησίας (sensitivity report) ως εικόνες από το Excel. (6 μονάδες) Υπόδειξη: Για την κατασκευή της εφικτής περιοχής, να χρησιμοποιήσετε τα εργαλεία σχεδίασης του WORD. Για τη μεθοδολογία χρήσης του Excel στην επίλυση γραμμικών μοντέλων, μπορείτε να διαβάσετε την ενότητα 5.2 του τόμου «Γραμμικός Προγραμματισμός» του ΕΑΠ. Στο αρχείο excel που θα παραδώσετε, για την άσκηση αυτή πρέπει να υπάρχουν τρία φύλλα εργασίας (Άσκηση 4 δεδομένα μοντέλου, Άσκηση 4 αναφορά απάντησης, Άσκηση 4 αναφορά ευαισθησίας). 15
ΑΣΚΗΣΗ 5 (ΜΟΝΑΔΕΣ 25) Ένας γεωργικός συνεταιρισμός καλλιεργεί τρία μεγάλα κτήματα. Η παραγωγή κάθε κτήματος καθορίζεται από την έκτασή του και τον όγκο νερού που είναι διαθέσιμο για άρδευση, όπως φαίνεται παρακάτω: Κτήμα Έκταση (στρέμματα) Διαθέσιμο νερό (m 3 ) Κ 1 4000 18000 Κ 2 3700 21000 Κ 3 2400 9300 Στα κτήματα αυτά ο συνεταιρισμός έχει τη δυνατότητα να καλλιεργήσει βαμβάκι, καπνό ή καλαμπόκι. Τα τρία αυτά προϊόντα διαφέρουν ως προς τις απαιτήσεις που έχουν για άρδευση και το αναμενόμενο κέρδος ανά στρέμμα. Τα στοιχεία αυτά φαίνονται στον πίνακα που ακολουθεί: Προϊόν Κατανάλωση νερού (m 3 ανά στρέμμα) Αναμενόμενο κέρδος ( ανά στρέμμα) Βαμβάκι 6 400 Καπνός 5 340 Καλαμπόκι 4 270 Είναι πάγια πολιτική του γεωργικού συνεταιρισμού να καλλιεργεί το ίδιο ποσοστό στρεμμάτων στα τρία κτήματα, ώστε να διαμοιράζεται ομοιόμορφα το εργατικό του δυναμικό. Επίσης, για να υπάρχει σχετική ισορροπία μεταξύ των τριών προϊόντων, ο συνεταιρισμός έχει αποφασίσει για κάθε προϊόν να διατεθεί τουλάχιστον 30% της έκτασης που θα καλλιεργηθεί συνολικά. Ο συνεταιρισμός επιδιώκει να μεγιστοποιήσει το συνολικό κέρδος από την εκμετάλλευση των τριών κτημάτων του. Ερώτημα 1. Να διαμορφώσετε ένα μοντέλο γραμμικού προγραμματισμού με το οποίο ο συνεταιρισμός θα προσδιορίσει το βέλτιστο σχέδιο καλλιέργειας. Να εξηγήσετε με σαφήνεια τις μεταβλητές που χρησιμοποιείτε και το φυσικό νόημα των περιορισμών του μοντέλου που θα κατασκευάσετε. (12 μονάδες) Ερώτημα 2. Να χρησιμοποιήσετε το Excel για να επιλύσετε το μοντέλο σας. Να συμπεριλάβετε τα αποτελέσματα (εικόνες από φύλλα Excel) στο αρχείο Word της εργασίας που θα παραδώσετε και να διατυπώσετε τα αποτελέσματα της επίλυσης έτσι ώστε να μπορεί να τα αντιληφθεί και να τα αξιοποιήσει η διοίκηση του συνεταιρισμού. Τα σχετικά φύλλα excel είναι τα δεδομένα μετά την επίλυση, η αναφορά απάντησης και η αναφορά ευαισθησίας (βλ. υπόδειξη). (5 μονάδες) Ερώτημα 3 Ο συνεταιρισμός έχει τη δυνατότητα να αυξήσει το διαθέσιμο όγκο νερού σε κάποιο από τα τρία κτήματα κατά 50 m 3. Σε ποιο από τα τρία κτήματα είναι πιο συμφέρουσα η αύξηση; Το σχετικό φύλλο excel είναι η αναφορά ευαισθησίας του ερωτήματος 1. (2 μονάδες) Ερώτημα 4 Πώς θα επηρεαστεί το συνολικό κέρδος αν ο συνεταιρισμός αυξήσει την έκταση του βαμβακιού στο κτήμα Κ 1 κατά ένα στρέμμα; Το σχετικό φύλλο excel είναι η αναφορά ευαισθησίας του ερωτήματος 1. (2 μονάδες) Ερώτημα 5 Ο συνεταιρισμός θεωρεί ότι η συνθήκη που απαιτεί ίδιο ποσοστό καλλιεργήσιμης γης στα τρία κτήματα είναι αρκετά δεσμευτική. 1. Ποιο θα είναι το μέγιστο κέρδος αν δεν ισχύει η συνθήκη αυτή; (2 μονάδες) 2. Είναι η βέλτιστη λύση μοναδική; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (2 μονάδες) Τα σχετικά φύλλα excel θα είναι ένα αντίγραφο των δεδομένων διαμορφωμένο όμως με βάση τα νέα στοιχεία και λυμένο (ερώτημα 5.1) και η αναφορά ευαισθησίας βάσει της οποίας θα απαντηθεί το ερώτημα 5.2 (βλ. υπόδειξη). Υπόδειξη Για τη μεθοδολογία χρήσης του Excel στην επίλυση γραμμικών μοντέλων, μπορείτε να διαβάσετε την ενότητα 5.2 του τόμου «Γραμμικός Προγραμματισμός» του ΕΑΠ. Τα αποτελέσματα από το Excel να τα συμπεριλάβετε ως εικόνες στο κείμενο της εργασίας σας. Συνολικά από αυτή την άσκηση θα πρέπει να συμπεριλάβετε 5 φύλλα εργασίας στο αρχείο excel (Άσκηση 5 δεδομένα μοντέλου, Άσκηση 5 αναφορά απάντησης, Άσκηση 5 αναφορά ευαισθησίας, Άσκηση 5 ερώτημα 5.1 δεδομένα, Άσκηση 5 ερώτημα 5.2 ευαισθησία). 21
ΔΙΕΥΚΡΙΝΗΣΗ για την επίλυση των ασκήσεων 4 και 5 Tech and Math Στο office 2007 η εντολή Επίλυση (Solver) βρίσκεται στη βορειοανατολική γωνία αν επιλέξουμε το μενού Data (Δεδομένα). Αρκεί βέβαια να έχει ενεργοποιηθεί από τα πρόσθετα όπως και στις παλαιότερες εκδόσεις του excel. Στις υπόλοιπες εκδόσεις του Excel η εντολή Επίλυση (Solver) βρίσκεται στο μενού Εργαλεία (Tools) του Excel. Όμως είναι πιθανό την πρώτη φορά που θα προσπαθήσετε να την ενεργοποιήσετε, να μην υπάρχει η εντολή αυτή στο μενού, επειδή η επίλυση είναι ένα πρόσθετο εργαλείο (add ins). Για να εισαχθεί στο μενού, πρέπει από την εντολή Εργαλεία (Tools) να επιλέξετε Πρόσθετα (Add-ins), και στη συνέχεια να κάνετε κλικ στην επιλογή Επίλυση (Solver). Με τον τρόπο αυτό, ενεργοποιείται μόνιμα η Επίλυση (Solver) στο μενού Εργαλεία (Tools), και είναι διαθέσιμη κάθε φορά που χρησιμοποιείτε το Excel. 29