Ponovtv prdavanja Msto lnarnh transformacj v ksprmntalnm stavku: X( H Y( Fzkaln procs/ pojav nzor/ stm X( X(t Procs/ Vzorčnj gnal X(t Krak. / Analza Y( H[X(] X(. naključn procs, (vhodn sgnal, vhodna sprmnljvka, vzbujanj sstma X( H Y( Y( transformran NP, (zhodn sgnal, zhodna sprmnljvka, odzv sstma H.. smbolčna oznaka za transformacjo ozroma vplva sstma, (oprator Lnarna transformacja zvznga procsa Odzv Y( lnarnga sstma j podan z lnarno transformacjo vhoda X( : [ X ( ] H[ X ( ( t d ] Y ( H δ X ( Hδ ( t d X ( d g( kjr j: X ( X ( δ ( t d lm X ( t I( t t Δt Δ t X ( t I( t t Δt X ( X ( d t t t t δ ( t d lm I( t t Δt Δt n: [ d ] d g( d t H δ ( t Za lnarn časovno nodvsn sstma j odzv sstma Y( podan z: Y ( X ( d pr tm s t mnuj tžnostna al mpulzna odzvna funkcja sstma H n opsuj odzv sstma na vzbujanj z mpulzno funkcjo δ. kjr j: X ( t d X ( t d konvolucjsk ntgral.
Iz zpljanh zrazov lnarnh transformacj za momnt odzva smo pokazal da:. Lnarn časovno nodvsn sstm H pr transformacj staconarnga procsa X( ohranja njgovo staconarnost.. Za zračun momntov odzva Y( v splošnm n potrbujmo poznat funkcj porazdltv povzan vrjtnost za sprmnljvko Y. Odzv sstma na harmončno vzbujanj X ( oprdljn z: y ( x( t d kjr j: ( ω ω t t t y t ω( ( d ω ( H H ω d frkvnčna odzvna funkcja sstma. ωt j d V splošnm lahko poljubno prodčno funkcjo x( z osnovno prodo T π /ω zapšmo s komplksno Fourjrjvo vrsto : kjr so: x( k k α ωkt α k... komplksn Fourjrjv kofcnt. Na osnov zraza prodčn funkcj x( s pomočjo Fourjrjv vrst: ωkt x( α tr upoštvanjm lnarnost sstma j odzv sstma na poljubno prodčno funkcjo podan z: kjr j: k k ( k k k kt y α ω H ( ω H ( ωk d t ωk frkvnčna odzvna funkcja sstma za ω k. Prdstavtv nprodčnh funkcj x( Fourjrjva Transformacja: Nprodčno funkcjo x( prdstavmo kot prodčno funkcjo ~ x ( t, z nskončno prodo T :. ~ x x( ( t Enačb : H ωt x( dt ω ω t x( H ( π -T -T / -T T T / T T : t prdstavljata Fourjrjva ntgrala ozroma Fourjrjvo transformacjo n nvrzno Fourjrjvo transformacjo.
8.4.3. Prmr uporab n lastnost Fourjrjv transformacj. Frkvnčna odzvna funkcja sstma: y ( x( t d ( ω d ω t t t ω( d ω( H. Lnarnost Fourjjv transformacj x( X( ω x( X ( ω a x ( + ax( a X( ω + a X ( ω kjr j : H dt ω Fourjr-jva transformacja mpulzn odzvn funkcj. 3. Transformacja zakasnjnga vhoda s substtucjo t x( X j ( ω t x t t X t σ 4. Zaps funkcj δ( v frkvnčnm prostoru: δ ( ωt dt δ ω t ( π jωt jω ( d ( ( σ + t jω t x t t t x σ dσ X 5. Ops transformacj vhoda x( v lnarnm sstmu: y ( x( t d Y Y ωt [ x( t d ] dt h t x t t ( ( d t d t ωt ω Y X d H X Y H X 8.4.4 Grafčna prdstavtv frkvnčn odzvn funkcj H(ω zrazmo v polarn oblk : kjr j ampltuda: In faza: H H ϕ ( ω ( H + ( I H ( H ω ϕ arctan( I H / H 3
Grafa ampltud H(ω n faz ϕ(ω mnujmo Bodjv dagram. Ampltudo občajno naršmo kot log H(ω, čmur ustrzajo not dcbl (db: db H(ω... db H(ω za frkvnčno os pa uporabmo logartmsko razdltv. Prmr: Bodjvga dagrama za sstm m && y + dy& + ky x( ωt Za vzbujanj v oblk x( j odzv podan z: y( ω( H Frkvnčna odzvna funkcja sstma: H ω ( k mω + Frkvnčna odzvna funkcja sstma H ω ( k mω + Bodjv dagram za razlčn kofcnt dušnja: log H ϕ(ω z upoštvanjm: ζ d / ( km n ω k / m π / 4 π / dob oblko: 3π / 4 π / m H ω ω + ζω ω.ω. ω ω ω ω.ω.ω ω ω ω Prmr uporaba frkvnčn odzvn funkcj kot karaktrstk snzorja. Prmr praktčn uporab frkvnčn odzvn funkcj za zaznavanj napak na zvaru rotorja Vzbujanj: mpulz sl Odzv: pospšk plošč Zgornja stran rotorja ža v zvaru podnja stran rotorja 4
Vzbujvalna sla n odzv: Vzbujanj x( Frkvnčna odzvna funkcja: Y FT ( Odzv H X FT ( Vzbujanj Odzv y( Uporaba frkvnčn odzvn funkcj za analzo lastnost ohšja komprsorja 8.5 pktralna gostota Odzv Vzbujanj Navarjn rbr tatstčn momnt naključnh procsov tr njhova lnarna transformacja v frkvnčnm prostoru. {x(}... vhodn naključn procs {y(}... zhodn naključn procs Povprčna vrdnost: E y( E x( d [ ] [ ( ] d t E X za lnarn časovno nodvsn sstm: m z y mx t t d t mx z dz m x H ( kjr j H( odzv sstma na konstantno vzbujanj ω Korlacjska funkcja: za lnarn časovno nodvsn sstm j: ( t t t d t ( t t, d Z vpljavo z t -t, z t -t n t t - t dobmo: ( t z + ( z z z zd z d 5
( t z + ( z z z zd z d t + z z ( Intgral po času z ma oblko: ωz + ωz Ι ( + t z z d z d z (π H π π ωz ωz ( ω H d z d z substtucjo t - z + z z katr zrazmo z,irazpad na produkt ntgralov. Ι (π ω z + t+ z z ( ω ( d d ωt ( ω + ω z ω d z ( (π ωt δ ( ω + ω π Pr tm j: xx ( ω ωt ( dt d mnujmo spktralna gostota procsa {x(}. tm dob zraz za korlacjo oblko: ( H ( ω π ωt H δ ( ω + ω k ga ntgrramo po ω : ωt ( d t n dobmo: ωt ( H ( ω H ( ω π Zarad raln procs j H(-ω H*(ω, zato sld: ωt ( H ( ω π ω ω t ( π kjr j : Fzkaln pomn spktraln gostot: ( H( ω ωt ( d t spktralna gostota zhodnga procsa {y(} Č poznamo močnostn spktr vhoda n zhoda lahko absolutno vrdnost frkvnčn prnosn funkcj določmo z njunga razmrja. Z nvrzno transformacjo dobmo: ω ω t ( π ( Za t j avtokorlacjska funkcja naka drugmu momntu procsa {x(}, k prdstavlja moč sgnala {x(} 6
Kar zapšmo: [ x ] ( M E ( Pr tm prpšmo komponnt s frkvnco v območju: df/π okol frkvnc f ω/π moč: d M (πf d f popsuj gostoto moč dm/df, k jo komponnt s frkvnco f v ntrvalu šrn df prspvajo k clotn moč M sgnala x(. π Nkatr splošn lastnost spktraln gostot: oda: alna: Poztvna: ( ω Prmr: za {x(} nkorlran n staconarn za t > : za t : ( [ x ( ] ( E M Prmr ( n (ω n prpadajoč graf: t / πc 4c ( ( cos( ω + c( ω ω c( ω ω ( ( konstδ ( ωt dt ωt konst. δ ( dt konst. Praktčn prmr I uporab spktraln gostot t / πc 4c ( (cos( ω + cos( ω t / 3 ( + + ( + c( ω ω c( ω ω c( ω ω / 3 c( ω ω / 3 mm Brz s.v.v mm Z s.v.v. Unvrsty of Ljubljana, LAIN WTH Aachn, WZL 7
Prmr spktraln gostot Fn Brz s.v.nhanj Z s.v. nhanj Praktčn prmr II uporab spktraln gostot I(v f Intnztta svtlob Globoka pntracja 6 Pltka pntracja - 3 4 5 6 Podajanj vf [m/mn] pktralna gostota Globoka pntracja Prhod Pltka pntracja frkvnca vf [khz] 8.6 Kržna spktralna gostota Kržna korlacjska funkcja: [ x(, y( ] E[ x( x( ] ( E d ( t h t, (, d Za staconarn procs t t -t ( ( t d Kržna spktralna gostota j oprdljna z: ( ωt d t n podaja odvsnost md vhodom n zhodom v frkvnčnm prostoru. podaja mdsbojno časovno povzavo md vhodnm n zhodnm naključnm procsom. Z upoštvanjm zraza za kržno korlacjo sld: Z zamnjavao t-t'z ωt ( t d d t ωz ω ( z d d z H Č vzbujamo sstm z blm šumom za katrga vlja: dobmo: ( ω H H(ω lahko določmo tako, da zmrmo (ω vhodnga blga šuma. V tm prmru j kržno korlacjska funkcja: ( ( t d δ t d ( t 8
8.7 Kohrnčna funkcja Za analzo vplva v kolkšn mr j zhodn sgnal posldca vhodnga sgnala mrmo s kohrnčno funkcjo: γ Kadar sta X n Y lnarno odvsna j: γ H H Za nkorlrana sgnala j ( n posldčno (ω tr zato: γ Vrdnost md n so lahko posldca nasldnjh vzrokov: Zvza md X n Y n lnarna V mrtvah X n Y j prsotn šum Na zhody polg vhoda X vplvajo tud drug sgnal Prmr: kohrnčna funkcj pr določanju frkvnčn odzvn funkcj za zaznavanj napak na zvaru rotorja. Tm smnarskh, dplomskh n Pršrnovh nalog. Analza vplva lasrskga blska na ločtv lasrsko tvorjn kapljc.. Mrjnj tmpratur lasrsko tvorjn kapljc. 3. Karaktrzacja procsa lasrskga tvorjnja kapljc s pomočjo akustčn msj. 4. Vplv lmntov snzorja odbt lasrsk svtlob na zhodn sgnal snzorja. 5. Karaktrzacj kvaltt lasrskga zvara s pomočjo odbt lasrsk svtlob. 6. Avtomatsko zaznavanj poškodb orodja pr zdlovanju ndustrjskh odprškov. 7. Eksprmntaln n tortčn razskav stablnost vrtanja. 8. Mrjnj prnosn funkcj orodja md rzanjm. 9. Vplv nuravnotžnja n nnakomrn obrab orodja na stablnost frzanja. Prmr: Določtv mpulzn odzvn funkcj sstma y & + ay x( Najprj določmo frkvnčno odzvno funkcjo H(ω za harmonsk vhod x( ωt. Z upoštvanjm da j: 9. Zvočna prnosna funkcja ohšja komprsorja za gospodnjsk aparat.. Gomtrjska kompnzacja tmpraturnh razlk bloka komprsorja.. Adaptvno napovdovanj porab nrgntov.. Ocnjvanj rzka pr napovdovanju porab nrgntov. sld: y( H(ω ωt H ( ω + a H ω + a 9
mpulzno odzvno funkcjo določmo z. z nvrzno transformacjo : π. drktno z ntgrranjm sstm ob vzbujanju z δ( : za t < j δ( ωt ωt d H π ω + ω a Z ntgrranjm načb: y& + ay x( δ ( Po ozkm ntrvalu Δt okol dobmo: Za Δt : Δy + Δt / Δt / Δt / Δt / ay d t ay d t Δt / Δt / Δy za t δ ( d t Za t > : K ma rštv: y& + ay x( y( C αt Za začtn pogoj y(, j C za y( at za t < t >