Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot alege trei umere cu suma divizibilă cu 3. b) Să se arate că, ditre 17 umere aturale oarecare, se pot alege ouă umere cu suma divizibilă cu 9. Fie AD îălţimea triughiului ascuţitughic ABC. Cosiderăm mulţimea M a puctelor X ( AD) cu proprietatea că ABX = ACX. a) Să se arate că mulţimea M este evidă. b) Dacă M coţie cel puţi două elemete, să se demostreze că mulţimea M coţie o ifiitate de elemete. Cristia Lazăr Fie segmetul AB şi semidrepta (Ox, ude O ( AB) şi AB, ( Ox. Perpedicularele î A şi B pe dreapta AB itersectează bisectoarele (Oy şi (Oz ale ughiurilor AOx şi BOx î puctele M, respectiv N. Perpediculara di A pe (Oy itersectează perpediculara di B pe (Oz î puctul P. Să se arate că puctele M, NP, sut coliiare. Mircea Fiau
Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VIII-a Cosiderăm cubul ABCDA B C D şi M, NP, mijloacele muchiilor AB, AD, respectiv AA. Să se determie măsura ughiului ditre dreapta AC şi dreapta de itersecţie a plaelor ( MNP ) şi ( ) BCC. Fie ab, umere îtregi disticte cu proprietatea că există umăr real astfel îcât 3 3 a a= b b=. Să se arate că 0 =. Se dau şase pucte î pla, oricare trei ecoliiare. Cosiderăm zece segmete, fiecare avâd capetele î câte două ditre aceste pucte. Să se arate că există cel puţi u triughi avâd ca laturi trei ditre cele zece de segmete. Fie SABC u tetraedru regulat. Puctele A1, B1, C 1 aparţi muchiilor ( SA ), ( SB ), ( SC ), respectiv, astfel îcât AB 1 1 = BC 1 1 = C1A1. Să se arate că plaele ( ABC 1 1 1) şi ( ABC ) sut paralele. 2
Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a IX-a x Determiaţi umărul soluţiilor ecuaţiei [ ] 2007. { x } = 2008 Mihail Băluă x 6 5 2 Rezolvaţi î mulţimea umerelor îtregi ecuaţia x + x + = y Fie ABCDE u petago covex. Demostraţi că aria( ABC) aria( CDE) + < 1. aria( ABCD) aria( BCDE) 4. Ioa Cucurezeau Da Ismailescu Fie C 1, C 2 două cercuri cocetrice disticte şi [ AB ] u diametru al cercului C 1. Cosiderăm două pucte variabile M C1, N C 2, esituate pe dreapta AB. a) Arătaţi că există şi sut uic determiate puctele PQ,, situate pe dreptele MA, respectiv MB, astfel îcât N să fie mijlocul segmetului [ PQ ]. 2 2 b) Arătaţi că suma AP + BQ este costată, ude P, Q sut defiite la puctul a). Mihai Piticari, Mihail Băluă 3
Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a X-a Fie O cetrul cercului circumscris triughiului ABC şi A 1 puctul de pe cerc diametral opus lui A. Notăm cu GG, 1 cetrele de greutate al triughiurilor ABC şi ABC 1 şi cu P PG 2 itersecţia dreptelor AG 1 şi OG. Să se arate că. PO = 3 Gabriel Popa, Paul Georgescu Să se arate că u există umere îtregi abcastfel,, îcât ( a+ bi 17 3) = c+ i 3. Dori Adrica, Mihai Piticari Să se determie poligoaele covexe, iscriptibile, cu proprietatea că orice triughi determiat de trei ditre vârfurile acestora este isoscel. Gheorghe Iurea Fie r u umăr real, cu proprietatea 1 1 2 r,2 r + Ζ 4 4 petru orice N. Să se arate că r este umăr îtreg. Cipria Baghiu 4
Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a XI-a Fie A M 4 (R) astfel îcât det(a 2 I 4 ) < 0. Să se arate că există α R, cu α < 1 astfel îcât matricea A + αi 4 să fie sigulară. Mihai Haivas Fie A, B, S M 3 (C), S fiid o matrice esigulară îcât B = S 1 AS. Să se arate că tr(b 2 = + 2 tr(b ) = (tr(a)) 2. Mihai Haivas Fie a > 1 u umăr real. Petru fiecare umăr atural eul otăm pri k() cel mai mic umăr atural k petru care ( + 1) k a k. Să se calculeze k( ) lim. + Neculai Hârţa Fie f : R R o fucţie cotiuă pe Q, cu proprietatea 1 f ( x) < f x + petru orice x R şi orice N. Să se demostreze că f este strict crescătoare pe R. Gabriel Mârşau, Mihai Piticari 5
Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA A XII-A Se cosideră şirul ( ) * Calculaţi lim 2 a a N a dx = (1 + x 1 2). Bogda Eescu Determiaţi umerele N, 3 şi a R petru care poliomul X + ax - 1 are u divizor de foma X 2 + α X + β cu α, β Ζ. Mihail Băluă Determiaţi fucţiile crescătoare f [ 0,1] R petru orice N. : petru care 1 0 f x ( x) e dx 2008 Mihai Piticari Fie A u iel fiit î care umărul elemetelor iversabile este egal cu umărul elemetelor ilpotete. Să se arate că umărul elemetelor ielului este o putere a lui 2. (U elemet x A se umeste ilpotet dacă există k atural cu x k = 0.) Diu Şerbăescu 6