CLASA a V-a 1. Îtr-o familie de 4 persoae, suma vârstelor acestora este de 97 de ai. Băiatul s-a ăscut câd tatăl avea 3 de ai, iar fata s-a ăscut câd mama avea de ai şi fratele său 4 ai.puteţi găsi ce vârstă are fiecare acum? Prof. Mariaa Drăghici, Reşiţa. Să se găsească mulţimile A şi B care au fiecare câte 3 elemete, umere aturale, ştiid că satisfac următoarele proprietăţi : a) 4 A B; b) x A x B ; c) suma elemetelor mulţimii B este triplul sumei elemetelor mulţimii A. Prof. Marius Şadru, Reşiţa 3. Arătaţi că difereţa ditre jumătatea lui 4 57 şi sfertul lui 16 8 este divizibilă cu 14, iar suma ditre treimea lui 9 45şi 7 9 este divizibilă cu 10. Prof. Emilia-Daa Schiha, Berzasca 4. Cosiderăm mulţimea tuturor umerelor aturale care împărţite la 101 dau câtul egal cu restul. Arătaţi că dublul sumei elemetelor acestei mulţimi se poate scrie ca produsul a trei umere aturale cosecutive. Prof.Vasile Chiş, Reşiţa. TIMP DE LUCRU ORE.
MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI TINERETULUI 1. Se cosideră umerele CLASA a VI-a 3 4 5 008 B = + + +... +. 4 5 6 009 1 1 1 1 A = + + +... + şi 4 5 6 009 a) Arǎtaţi că A + B este umăr atural ; b) Demostraţi că 1003 < B A< 006. Prof. Delia şi Adria Dragomir, Carasebeş 90 93 46 91 9 45. a) Arǎtaţi cǎ umǎrul ( 4 ) :( 4 ) = + + + + este mai mic decât 4. 90 6 b) Stabiliţi care ditre umerele a = şi b = 3 este mai mare. Prof.Adriaa şi Lucia Dragomir, Oţelu Roşu 0 3. Fie m( AOB ) > 90 şi (OC o semidreaptă situată î iteriorul 0 ughiului AOB, iar m( AOB) + m( AOC) = 180. a) Arătaţi că bisectoarea (OX a ughiului BOC este perpediculară pe dreapta OA. b) Dacă m( AOB) = 5 m ( BOC), determiaţi măsurile ughiurilor AOB, AOC şi XOY, ude (OY este bisectoarea ughiului AOC. Prof. Moica Moţco, Reşiţa. 4. Pe latura [OX a ughiului XOY cu măsura de 60º se cosideră puctul P. Dacă puctele R şi S sut pe latura [OY astfel ca OR=8 cm iar RS = cm, atuci determiaţi perimetrul triughiului OPS ştiid că el este echilateral. Realizaţi u dese corespuzător. Prof. Iria Avrămescu, Reşiţa TIMP DE LUCRU ORE.
MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI TINERETULUI CLASA a VII-a 1. a) Arătaţi că u există pătrate perfecte de forma 4k +, oricare ar fi umărul atural k. b)arătaţi că umărul x= 85 + 115 + 1 + 5 + + 6 \,. Prof. Iria Avrămescu, Reşiţa. Fie 1 1 1 1 1 y = + + +... + + 1 4 6 3 8 48 98 49 100 Calculaţi valoarea lui y.. Prof. Moica Moţco, Reşiţa. 3. Cosiderăm triughiul ABC şi u puct M situat î iteriorul triughiului. Dacă E şi F sut simetricele puctului M î raport cu mijloacele segmetelor [AB] şi respectiv [AC], arătaţi că M se află pe îălţimea di A a triughiului ABC dacă şi umai dacă segmetele [CE] şi [BF] sut cogruete. Prof. Vasile Chiş, Reşiţa 4. Fie ABCD u paralelogram î care AD BD, AD =6cm, M mijlocul lui (CD), N mijlocul lui (AB), AM BD = şi CN BD =. Dacă EF = 6 cm, aflaţi aria paralelogramului ABCD. Prof. Mariaa Drăghici, Reşiţa.
MINISTERUL EDUCAŢIEI, CERCETĂRII ŞI TINERETULUI CLASA a VIII-a 1. Sǎ se determie umerele îtregi eule a şi b petru care a+ 1 b 1 = şi 3 + 4 =. b a a b Prof. Ovidiu Bǎdescu, Reşiţa. Fie umărul a ( x 1)( x )( x 3)( x 4), x a) Arătaţi că a + 1 este pătrat perfect; b) Arătaţi că, dacă x= 5,, atuci a + 009 este u umǎr iraţioal. = + + + +. Prof. Mariaa Drăghici, Reşiţa 3. Fie cubul cu vârfurile A,L,G,E,B,R,I,C î care suma ditre lugimea uei muchii, a diagoalei uei feţe şi a diagoalei cubului este1+ 8+ 15 7 10. Arătaţi că distaţa de la puctul A la plaul BEL este mai mică decât 0,(6). Prof. Iria Avrămescu, Reşiţa 4. Triughiul echilateral ABC şi triughiul dreptughic isoscel DBC ( m 0 ( D ) = 90 ), se află î plae diferite, măsura ughiului ditre ele fiid de 30 o. a) Dacă P este proiecţia puctului D pe plaul (ABC) şi M este mijlocul lui [BC], arătaţi că puctele M, A, P sut coliiare. b) Stabiliţi poziţia puctului P î raport cu ΔABC. Prof. Vasile Chiş, Reşiţa
Clasa a IX a 1. Sǎ se demostreze cǎ dacǎ,, ( 0, ) xyz şi x y z = 1, atuci : 1 1 1 3 + + <. x+ y+ z y+ z+ x z+ x+ y 4 Lucia Dragomir, Oţelu- Roşu x. a) Sǎ se arate cǎ u existǎ umere reale x petru care = x + 1. y b) Sǎ se determie umerele reale y petru care = y. Lucia Dragomir, Oţelu- Roşu, articol RMCS 5/008 3. Sǎ se arate cǎ umǎrul + 1 a = 3 + + 1 este divizibil cu 4, oricare ar fi. Mari Chirciu, Piteşti, RMT 4/008 4. Petru orice triughi ABC se oteazǎ AB = c, BC = a, CA= b, iar I este cetrul cercului îscris, iar G este cetrul de greutate. Sǎ se arate cǎ: a) 1 GI = ( a GA + b GB + c GC ); a+ b+ c b) dacǎ c = 3, b = 4, a = 5, atuci IG este paralelǎ cu AC. Gabriel Popa, Iaşi, GM 3/008
Clasa a X a 1. Sǎ se determie umerele aturale petru care existǎ z cu z = 1 şi z + z+ 1= 0. GM 4/008. Sǎ se determie x petru care 4 x + 4 x + 1 x 1 x =. + x GM /008 3. Sǎ se determie fucţiile ijective f : cu proprietatea cǎ f( x) f( y) = xf( y) + yf( x) f( xy), x, y. Iacob Didraga, RMCS 3 4. Sǎ se determie umerele aturale m şi petru care egalitatea x x x x = x este adevǎratǎ petru orice x> 0, x 1. RMCS,euţ modificat puţi m 3 m
Clasa a XI a 1. a) Sǎ se dea u exemplu de matrice A ( ) existǎ p, p astfel îcât A p = A ; b) Sǎ se arate cǎ dacǎ p,, p, M, A O, A I, petru care şi A M ( ) astfel îcât A + = A, p atuci rag( A) + rag( I A ) =. RMCS 4, articol. U determiat D de ordiul 3 are elemetele de pe diagoala pricipalǎ egale cu 1, iar suma elemetelor de pe fiecare liie şi de pe fiecare coloaǎ este egalǎ cu 1. Sǎ se arate cǎ : D > 0. * * * x1 0,1 şi şirul ( x ) defiit pri 3 x + 1 = x x + 1, 1.Sǎ se arate cǎ şirul ( x ) este coverget şi să se calculeze lim ( x1 x... x ) 3. Fie ( ) ctgx x x 3 + 5 4. Sǎ se calculeze lim. x 0 p 1 * * * GM 10/007
1. Fie f : ( 0, ) g : [ 0, ) Clasa a XII a o fucţie bijectivǎ.sǎ se studieze dacǎ existǎ fucţii care admit primitive pe şi satisfac relaţia g g = f.. Dacă G este u grup multiplicativ î care,petru orice x, yz, G, avem: xy = z x y = z,să se arate că : a) x e, x G\ { e} ; RMCS 6 b) G este abelia ; c) Orice grup cu proprietăţile a) şi b) are proprietatea di euţ. Prof. Maria Adroache, Bucureşti,RMCS 3. Fie (, ) G u grup cu proprietatea că x = e, x G.Să se arate că petru orice fucţie f : G G şi orice a G, a e,fucţia g : G G, g( x) = f( x) f( ax) u este ijectivă. * * * 4. Sǎ se determie x + x+ 1 arctgx e dx, x. x + 1 TIMP DE LUCRU 3ORE.