ENERGIJA POLJA_1(13).doc 1/11.6.6 Energija magnenega polja, prvič Izhajamo iz moči na uljavi, ki je enaka produku oka in napeosi na uljavi p = ul il. To so sedaj časovno spreminjajoče veličine, lahko bi orej pisali udi p( ) = u ( ) i ( ). Upoševamo še izraz za dψ di padec napeosi na uljavi ul = = L, ki je izražena s produkom indukivnosi in spremembe d d oka v uljavi in dobimo i( ) di() p() = L i(). Inegral moči s časom pa je energija d i () di W () = p() d = L i d = Li di d. Z inegracijo po oku dobimo W () Li ( () i( ) ) L L 1 =. Vzemimo, da na začeku ni bilo oka skozi uljavo ( i ( ) = A), poem bo renuna energija, shranjena v magnenem polju uljave sorazmerna kvadrau renune vrednosi oka skozi uljavo 1 W () = Li() (13.1) Z upoševanjem zveze med magnenim sklepom in okom skozi uljavo Ψ () = L i() lahko energijo izrazimo udi s renuno vrednosjo magnenega sklepa Ψ () W () = (13.) L Primer 1: Izračunaje in skiciraje časovni poek energije v uljavi z indukivnosjo mh, če skozi ovoje eče ok,5sin( ω )A, kjer je perioda signala T = 5 ms. Določie še maksimalno vrednosi e energije. Energija v uljavi bo W () =,5 LI sin ( ω), maksimalna bo,5 mj.
ENERGIJA POLJA_1(13).doc /11.6.6 SLIKA: Časovni poek oka in magnene energije v polju uljave. Energija je sorazmerna kvadrau oka in doseže maksimum v čerini periode signala. Takra je enaka I ampliuda oka.,5li, kjer je Energija sisema več uljav. Kakšne pa so energijske razmere, če je uljav več, med njimi pa je določen magneni sklep? V em primeru je porebno upoševai še magneno energijo zaradi skupnega vorjenja magnenega polja v sisemu več uljav. Splošna formula za sisem N sklopljenih uljav je 1 N N 1 W () = Ljk ij () ik () (13.3) j= 1 k= 1 (Lasne indukivnosi uljave imajo enaka indeksa, medsebojne pa različna.) Vzemimo primer dveh uljav z medsebojno indukivnosjo M. Po enačbi (13.3) bo energija v magnenem polju sisema obeh uljav enaka 1 1 W = Li 11 + Li ± Mi1i. (13.4) Predznak je odvisen od ega, ali se fluksa dveh uljav med sabo podpiraa ali ne. Če se podpiraa je porebno o energijo prišei, če se ne, pa odšei. Vzemimo še poseben primer, ko gre skozi obe uljavi isi ok. Tedaj lahko pišemo 1 1 W = Li 1 + Li ± Mi. Sedaj izposavimo i / in dobimo 1 = ( + ± ). (13.5) W i L1 L M Izraz v oklepaju lahko razumemo ko skupno (nadomesno) indukivnos, ki bo orej L = L + L ± M (13.6) nad 1 1 Za izpeljavo glej npr. A.R.Sinigoj, Osnove elekromagneiko, 367-37. Pred člen z medsebojno indukivnosjo smo dodali plus/minus v smislu podpiranja ali nasproovanja magnenih polj dveh uljav.
ENERGIJA POLJA_1(13).doc 3/11.6.6 Primer : Vzemimo primer uljave v uljavi, ki smo ga obravnavali v prejšnjem poglavju in določimo skupno indukivnos, če predposavimo, da se fluksa uljav seševaa. Določimo še celono magneno energijo v času = s in = 3 ms. Za lasni indukivnosi in medsebojno indukivnos dobimo L = 156, 7µH, L = 39,17µH, M = 78,35µ H. 1 Vidimo, da je medsebojna indukivnos spodobno velika v primerjavi z lasnima indukivnosima, kar se odraža udi v skupni indukivnosi, ki bo 35 µh. Energija je odvisna od renune vrednosi oka skozi uljavo in je orej v skladu z enačbo (13.5) enaka ( ) W ( = s) =,5 1,5 A 35µH = 396µJ. W ( = 3s) =,5,5 A 35µH = 44µJ ( ) SLIKA: Sisem dveh sklopljenih uljav z isim okom in nadomesno vezje. Energija magnenega polja v nelinearnih magnenih srukurah V preprosejšem, linearnem primeru, smo izhajali iz moči na koncenriranem elemenu uljavi. Sedaj nas zanima energija magnenega polja v nelinearnih srukurah, v feromagnenih jedrih, kjer vemo, zveza med jem in Hjem oziroma magnenim sklepom in vzbujalnim okom ni linearna. Še več, običajno imamo opravka z hiserezo. Izhajai moramo iz osnovnih zvez p = iu in dψ u = od d
ENERGIJA POLJA_1(13).doc 4/11.6.6 koder je dw = p d = i dψ. Energija, porebna za magneenje od časa do je enaka W () = i dψ. Vzemimo feromagneno jedro, esno ovio z N ovoji, kjer velja Amperov zakon mag L Ni = H dl, za diferencial magnenega sklepa pa lahko pišemo dψ = N dφ = N ( da). Z upoševanjem obeh zvez, pa udi ega, da bo porebno pazii na časovno spremembo ja, dobimo W () = H dl Nd da. Enačbo preuredimo ako, da združimo inegracijo po mag 1 ( ) N L A površini in dolžini v inegracijo po volumnu 3 : Wmag () = H d dv (13.7) V V oklepaju v enačbi (13.7) lahko razpoznamo gosoo magnene energije, ki jo lahko zapišemo ko wmag () = H d, (13.8) () pri čemer je porebno inegrirai jakos polja po gosoi preoka. Če magneimo maerial od = T do nekega, bo w ( ) = H d. Gosoa energije pri linearni magneilni krivulji. V primeru, da imamo opravka z maerialom, ki ga lahko opišemo z linearno magneilno krivuljo, lahko uporabimo zvezo kar vsavimo v gornjo enačbo in določimo gosoo energije ko = µ H, w = (13.9) µ oziroma, če magneimo do je w ( ) =. µ Celono energijo magneenja dobimo z inegracijo gosoe energije po volumnu W = dv. (13.1) µ V 3 To lahko naredimo, ker so rije od širih vekorjev v inegralu kolinearni (enako usmerjeni). To so d, da, dl H d dl da. lahko združimo ( ) in ( ). Zao
ENERGIJA POLJA_1(13).doc 5/11.6.6 Če predposavimo homogeno polje v volumnu, pa je energija kar W = V. (13.11) µ To enačbo lahko zapišemo udi s Hjem ko W µ H = V Primer 3: Jedro brez zračne reže iz feromagnenega maeriala z µ r = 85 ima 35 ovojev. Presek jedra ima površino 3 cm, srednja dolžina gosonice pa je 6 cm. Določie magneno energijo v jedru pri enosmernem oku skozi ovoje A. NI 35 A H = = = 1166,7A/m l,6m 7 r H 85 4 1 (1166, 7) w µµ π = = 77J/m W 4 = w V = 77,6 3 1 =,13J. 3 SLIKA: Primer jedra z linearno magneilno krivuljo s prikazom gosoe energije v jedru ko površine med magneilno krivuljo in H osjo. Energija v nelinearnih magnenih srukurah. V primeru, da je magneilna krivulja nelinearna, je porebno energijo računai direkno s pomočjo inegrala (13.8). Lahko udi zapišemo diferencial gosoe magnene energije, ki bo dw = H d. (13.1) Gosoo energije dobimo orej z inegracijo površine med magneilno krivuljo in osjo H: končna w= H d. (13.13) začena Če vzamemo v obzir celono hiserezno zanko, ugoovimo, da bo gosoa energije v em maerialu enaka površini hiserezne zanke.
ENERGIJA POLJA_1(13).doc 6/11.6.6 SLIKA: Primer jedra z nelinearno magneilno krivuljo s prikazom gosoe energije v jedru ko površine med magneilno krivuljo in H osjo. Primer 4: Vzemimo primer linearizirane magneilne krivulje, ki jo opišemo s prelomina očkama 1 = 1T, H1 = 1 A/m in = 1, T, H = 4 A/m. Določimo gosoo magnene energije v jedru feromagneika s podano magneilno krivuljo, če ga magneimo od T do gosoe 1,1 T. Izračunai je porebno inegral po enačbi (13.13), ki pa ga v primeru linearizirane krivulje lahko določimo preproso iz delnih površin krivulje: 1A/m 1T 6A/m,1T w = + 1A/m,1T+ = 75 J/m 3 SLIKA: Odsekoma zvezna magneilna krivulja in gosoa energije ko površina med hiserezno krivuljo in osjo. Izgube v jedru. Energija, vložena v grajenje magnenega polja v nelinearni magneni srukuri je nepovrana. Porebna je za obračanje.i. Weissovih obsegov, pri čemer pride do (mehanskega) renja. Če je ok v ovojih na jedru izmeničen in»prehodi«hiserezno krivuljo f kra na sekundo (frekvenca signala), bo gosoa izgubne moči enaka p = f A (13.14) his zanke
ENERGIJA POLJA_1(13).doc 7/11.6.6 celona hiserezna izgubna moč pa bo enaka gosoi moči pomnoženi z volumnom maeriala 4 P = p V. (13.15) his his Opozorilo: A zanke predsavlja gosoo energije, enoa je T = 3 A J m m, V predsavlja volumen [m3 ]. Primer 5: Določie hiserezno izgubno moč jedra prosornine 1 cm 3, kaerega magneilna krivulja je na sliki. (Je v obliki kvadraa z r = 1,5 T in Hc = A/m) Vzbujalni signal ima frekvenco 5 Hz. SLIKA: Hisezna zanka določena z r in Hc. Izračun: Površina hiserezne zanke je 4 1,5T A/m = 1 J/m 3. To je gosoa magnene energije, ki je porebna za magneenje jedra. Gosoa izgubne moči je po enačbi (13.14) 5s -1 1 J/m 3 =6 1 4 J/(s m 3 ), celona moč hisereznih izgub pa 1 1-6 m 3 6 1 4 J/(s m 3 )=7, W. Določevanje indukivnosi iz magnene energije. Enačba (13.1) je primerna udi za določevanje lasne indukivnosi. Pri enosmernem oku skozi vodnik je magnena energija v prosoru enaka LI W = (13.16) Če znamo določii magneno energijo, ki jo v prosoru povzroča ok v vodniku, lahko iz energije določimo indukivnos ko k f [W/kg], kjer je kh konsana. Za več informacij o 4 V praksi se običajno hiserezne izgube računa po formuli h načrovanju ransformaorjev in dušilk priporočam priročnik F. Mlakar, I Kloar: Mali ransformaorji in dušilke, Elekroehniški vesnik, 197. (na razpolago v knjižnici FE). V prakičnih formulah pogoso nameso kvadraa ja nasopa lahko udi različen facor, ako recimo Seinmezova formula vzame za eksponen vrednos 1,6, konsana kh pa npr., za mehko železo in,3 za jeklo. (M.A. Plonus: Applied Elecromagneics). Poleg hisreznih izgub lahko nasopajo še izgube zaradi vrinčnih okov. Te so za prevodne feromagneike običajno sorazmerne kvadrau gosoe preoka in kvadrau frekvence.
ENERGIJA POLJA_1(13).doc 8/11.6.6 W L =. (13.17) I Kako pa izračunamo magneno energijo? Iz poznavanja gosoe magnenega preoka v srukuri. Določimo gosoo energije po enačbi w = in jo inegriramo po volumnu: µ W = w dv (13.18) V Ta zapis je posebno primeren edaj, ko je ežko določii fluks skozi ploskev. Tak primer so polni vodniki, ki imajo magneno polje udi v noranjosi vodnika in ne le v zunanjosi. Torej je udi v noranjosi vodnika določena magnena energija, ki prispeva k celoni indukivnosi vodnika. Primer 6: Določimo indukivnos na enoo dolžine za noranjos (okroglega) vodnika polmera 1,5 cm. Vodnik je iz neferomagnenega maeriala. Najprej z uporabo Amperovega zakona določimo gosoo preoka v noranjosi in dobimo µ I = r (glej poglavje o Amperovem zakonu). Nao zapišemo gosoo energije znoraj vodnika π r v skladu z enačbo (13.9): µ I 1 = r r. Gosoo energije je porebno inegrirai po µ π µ celonem volumnu vodnika W w dv r ( π r dr l) r I 1 Il r µ µ = = = π µ 16π V, kjer je l dolžina vodnika. Indukivnos znoraj vodnika dobimo z uporabo enačbe (13.17), ki je na enoo dolžine µ I enaka L =. 8π Dodano: Določimo še preosalo indukivnos vodnika. Polje je udi izven vodnika, kar je seveda udi porebno upoševai pri indukivnosi vodnika. Jakos polja izven vodnika je H I =, gosoa energije je orej π r µ H µ I w = =, celona energija π r µ I dr pa W = l π r dr = k = π r r r r. Dobimo rezula, s kaerim prav goovo ni nekaj v redu. Pa vendar, rezula je smiseln, če je smiseln udi neskončen vodnik. Neskončen vodnik pa je
ENERGIJA POLJA_1(13).doc 9/11.6.6 le koncep, ki nam poenosavi razumevanje polja, saj zelo dolg vodnik v svoji okolici povzroča polje, ki ni dosi drugačno, ko bi ga povzročal neskončen vodnik. Se pa zaplee pri določenih izračunih, kjer posane neskončnos problemaična, ko je na primer računanje fluksa ali energije v neskončni okolici vodnika. Rešiev je v upoševanju realnih primerov, kjer mora bii vodnik zaključen, da lahko v njem eče ok. Tak je primer dvovoda, ki smo ga že obravnavali v poglavju o magnenem preoku, kjer smo izračunali indukivnos med dvovodoma. Lahko pa indukivnos akega dvovoda obravnavamo udi iz izraza za energijo, kjer je porebno nameso inegracijo do neskončnosi inegrirai od polmera vodnika do sredine drugega vodnika. Dobimo r d Il µ I µ dr µ Il d W = l π r dr = = ln πr 4π r 4π r in L r r W µ l d = = ln. S em smo I π r upoševali šele en vodnik. Za celono indukivnos dvovoda moramo upoševai fluksa obeh vodnikov, skupni rezula še z indukivnosjo v noranjosi vodnika bo L dvovoda µ l µ l d µ l 1 4π π r π 4 = + ln = + d ln r. 5 Magnena sila. Ko nas zanima sila med poloma magnea, v zračni reži magnea ali pa med dvema vodnikoma s okom, moramo ločii dva primera: 1) ko ni virov, ki bi dovajali energijo v sisem. Tedaj bo X komponena sile enaka ali v splošnem F x W = (13.19) m x Φ = kons Wm Wm Wm F =,, x y z Φ = kons, (13.) kjer je W sprememba energije shranjene v magnenem polju. Mehansko delo bo v em primeru zmanjšalo magneno energijo. Tipičen primer je rajni magne. ) Ko je vir priključen in konsanen bo X komponena enaka W F =. (13.1) x m x I = kons 5 Rezula je pravilen, čeprav je bil izračun indukivnosi izven noranjosi vodnika nekoliko poenosavljen. olj poglobljena analiza upoševa razdeliev vodnika na splošne zanke in izračun povprečnega preoka med dvovodoma. (Glej na npr. A.R: Sinigoj: Osnove elekromagneike) Končni rezula pa je enak, ko a, ki smo ga navedli.
ENERGIJA POLJA_1(13).doc 1/11.6.6 V em primeru pa bo opravljeno mehansko delo rezuliralo v povečanju magnene energije, ki bo prišla iz vira(ov). Tipičen primer je elekromagne. Vzemimo rajni magne z režo razdalje x in preseka A v smeri osi X. Magnena energija v zračni reži je W δ δ Ax =. Pri em smo predposavili, da v zračni reži ni sresanja polja. Silo dobimo z µ odvajanjem energije po x-u: F x Wδ δ A = =. Predznak pomeni predvsem o, da bo energija x µ sisema po opravljenem mehanskem delu manjša ko pred em. Sila med poloma je vedno aka, da ju vleče skupaj, kar velja udi za sisem magne feromagneik. V em primeru pride do analognega procesa ko pri elekrični indukciji. Na srani feromagneika, ki je bliže severnemu polu magnea, se inducira južni pol (usmerijo se magneni dipolni momeni), kar pomeni, da se rajni magne in feromagneik privlačia. Poseben primer so diamagneiki, ki bi se odbijajo od magneov 6. Primer 7: Magneno jedro E oblike na skici (a = 5 cm, A = 1 cm) z µr = 1 ima magneilno uljavo na srednjem sebru. Določimo ežo pločevine, ki jo še lahko drži elekromagne, če je v N = ovojih ok 1, A. Magneno upornos pločevine zanemarimo, zaradi hrapavosi površine pa upoševamo 5 µm dolžine zračne reže. Izračun: Narišemo magneno vezje in določimo fluks v srednjem sebru. Dobimo ( R + R ) m δ Φ = NI NI. Φ = = 4µWb a δ + µµ A µ A r Upoševai moramo silo v vseh reh zračnih režah, formulo za silo v zračni reži pa zapišemo s fluksom A Φ F = =. Upoševamo še, da je v sranskih sebrih fluks x manjši od isega v µ µ A srednjem sebru in dobimo F ( Φ1 Φ ) 187N dobimo m = 131kg. 9,8m/s 1 Φ = + = = 187 N. To silo izenačimo s silo eže in µ A µ A 6 Odboj je neodvisen od posavive diamagneika in omogoča lebdenje (leviacija) diamagnenega maeriala. Ker pa so i efeki zelo šibki, so za opazovanje lebdenja porebna zelo velika polja, ki jih običajno dosežemo z superprevodnimi magnei.
ENERGIJA POLJA_1(13).doc 11/11.6.6 SLIKA: Gosoa energije je pomemben podaek za izbiro rajnih magneov. Največjo energijsko vrednos imajo Nd- Fe- in Sm-Co. V končni fazi je seveda izbira maeriala odvisna od razmerja med ceno in učinkom.