5. Polii şi zerourile fucţiei de rafer 5.. Răpuul la emalul expoeţial Fie iemul m bm ( z ) i= i Y() = G()U() (.), G () =, cu poli impli. a ( p ) j= j λ u u( ) = ue σ Se aplică : ( ), U() =. (5.) λ Se uilizează î (.) eorema dezvolării şi rezulă: p () k λ y = c ke σ() + de σ(), (5.3) k = c. regim razioriu c. regim permae c = lim( p ) G ( U ) ( ), k=,, d = lim( λ) G( ) U( ) = G( λ) u. k pk k λ M. Voicu, IA (II) C5 (35) m bm ( z ) lim( ) ( ) ( ) lim( ) i= i u k k k p k pk ( ) j= j c = p GU = p = a p λ m bm ( p ) k z i= i u ( ) pk j=, j k k j =, k =,, a p p λ (5.4) bm ( z ) i= i u d = lim( λ) G( ) U( ) = lim( λ) = λ λ a ( p ) λ m bm ( λ z ) i= i = u = G( λ) u. a ( λ p ) j = j m j= j (5.5) M. Voicu, IA (II) C5 (35)
Irare: λ σ u( ) = ue ( ) (5.) Ieşire: pk λ k σ k = y T () y P() y() = c e () + de σ(), (5.3) compoea de regim razioriu y T () deermiaă de: p k e (p k u polii lui G()), c k depedeţi de zerourile, şi polii lui G() şi U(). y T () reflecă modificarea echilibrului ier de căre u(). compoea de regim permae y P () deermiaă de: e λ (iroduă de u()!) şi d depede de zerourile şi polii lui G(). y P () corepude irării; y P () imilară cu irarea u(). M. Voicu, IA (II) C5 (35) 3 y T () di (5.3) are forma: y P () di (5.3) are forma: m bm ( λ z) i= i d= u = G( λ) u, a ( λ p ) j= j pk yt() = cke σ (). k = y () = de λ σ (), P λ y () = G( λ) u e σ(). P cu λ σ u( ) = ue ( ), (5.) y P ( ) = G ( λ ) u( ), (5.6) Obervaţia 5.. y T () ee idezirabilă, iereă şi ieviabilă. y P (), fiid imilară cu u(), ee raţiuea de a fi a iemului. ^ yt () repeciv, y() = yt() + yp() yp(), peru +, oţi polii lui G() u î {Re < }. M. Voicu, IA (II) C5 (35) 4 o
5.. Traferul "rezoa" Peru u <+ şi λ= p, ρ=,, î u( ) = u e ( ), (5.) di i bm ( λ z = i) G( λ ) = Gp ( ρ) =+, ρ =,, (5.8) a ( λ p ) m j= yp () = G( pρ) u (), ρ =,. =+ j ρ λ σ Ee o exeie a cazului rezoaţei propriu-zie: λ= p = jω. Traferul rezoa ee defii de (5.8), repeciv de aularea umiorului lui G() peru = pρ, ρ =,. Frecveţele ele proprii u polii lui G(). (5.) (5.8) rezoaţa pe frecveţa proprie p ρ,ioculabilă pri u(). M. Voicu, IA (II) C5 (35) 5 ρ ρ 5.3. Traferul bloca Peru u şi λ= z, α=, m, î u( ) = u e ( ), (5.) di i bm ( λ z = i) G( λ ) = Gz ( α) =, α =,, (5.3) a ( λ p ) m j= α j λ σ u (), R +,(5.4) y () = G( z ) u () =, α =, m. P α (5.5) (5.4), (5.5) raferul bloca irare-ieşire. Ee o airezoaţă pe frecveţele λ = z, α =, m, ioculabile u(). zα, α =, m, u zerourile de ramiie ale lui G(). α M. Voicu, IA (II) C5 (35) 6 3
6. Sabiliaea irare-ieşire 6.. Defiiţia abiliăţii irare-ieşire Î y() = y T () + y P (), regimul permae (y P ()) ee raţiuea de a fi a iemului; regimul razioriu (y T ()) ee idezirabil, iere şi ieviabil. y P () şi y T () coexiă croologic. Ee de dori ca : peru orice: u () K <+, K >, R +, (6.) ă e obţiă: y P ) < +, R, (6.) ( + şi imula: lim yt() =. (6.3) M. Voicu, IA (II) C5 (35) 7 Î plu, e doreşe ca: y P ) < +, R, (6.) afel îcâ de la u >, Momeul ee duraa regimului razioriu. y () ε, > ; T ( + lim y T ( ) =, (6.3) y ( ), >, T fii şi u foare mare, ă aibă loc: y() = y () + y () y (), >. T P P (6.4) (6.5) Se defieşe î mod coveţioal pe baza iegaliăţii: (6.6) ε ee eroarea peru aproximarea (6.5). M. Voicu, IA (II) C5 (35) 8 4
Problema u () K< +, R +, (6.) æ y P ( ) < +, R +, (6.) lim y T ( ) =, (6.3) ee de BIBO-abiliae (BIBO=bouded ipu-bouded oupu). Cf. Ob. 5.., BIBO-abili. G() are oţi polii î {Re < }. Defiiţia Siemul (.) e umeşe BIBO - abil dacă peru orice irare u(), mărgiiă cf. (6.), iemul are o ieşire mărgiiă: y ) < +, R. (6.7) ( + Î caz corar iemul e umeşe BIBO - iabil. o M. Voicu, IA (II) C5 (35) 9 Exemplul 6. Fie a) G ( ) =, b) G ( ) =. + + Exiă u() mărgii peru care y() ee emărgii? a) Polii iemului u: p, 3 = ± j Peru u() = σ(), mărgii, e obţie: 3 π h () = e i σ (); h() ee emărgii! M. Voicu, IA (II) C5 (35) 5
b) Polii iemului u: p, = ±j ; coeficieul lui j ee pulaţia aurală ω =. Peru u() = σ(), mărgii, e obţie: h() = ( co ) σ(); h() ee mărgii. Peru u() = iσ(), mărgii, e obţie: y () = ( i co ) σ(); y() ee emărgii! Are loc o rezoaţă: pulaţia lui u, ω =, coicide cu pulaţia aurală a iemului, ω =. o M. Voicu, IA (II) C5 (35) 6.. Caracerizări ale BIBO-abiliăţii Fie iemul: Y() = G()U(), (.) y () = g( θ) u ( θ) dθσ(). (3.6) Teorema Siemul (.) ee BIBO - abil dacă şi umai dacă + g() θ dθ <+. (6.8) D. Suficieţa g() ee abolu iegrabilă, repeciv are loc (6.8). Foloid (3.6), peru u(), cu u() K<+, e obţie: y () g() θ u ( θ) dθ K g() θ dθ ( ) M. Voicu, IA (II) C5 (35) + + K g() θ dθ + g() θ dθ = K g() θ dθ < +. 6
Neceiaea Siemul ee BIBO-abil. Se preupue pri aburd că + g() θ dθ <+ (6.8) u are loc, repeciv peru M >, M > afel îcâ: M g() θ dθ M. (6.8 bi) Se aplică u () = g g ( ) iemului: y () = g( θ) u ( θ) dθσ(). (3.6) M Î valoare aboluă, peru = M, cu (6.8 bi), e obţie: M M g M M = θ, M θ θ = θ θ θ = θ θ M y ( ) g()( u ) d g() g() d g() d fap corar ipoezei.rezulă că (6.8) ee adevăraă. o M. Voicu, IA (II) C5 (35) 3 Teorema Siemul (.) ee BIBO-abil dacă şi umai dacă oţi polii fucţiei de rafer G() u iuaţi î {Re < }. D. G() are polii pi, i =, r, de muliplici. q i. De la 3..e, f e şie: g( ) = r q i ij ( q j ) i= j= Codiţia di (6.8) T.: i K qi j, >. Rep <, i=, r. Cf. T. iemul ee BIBO-abil Rep <, i=, r. o Teorema 3 + Siemul (.) ee BIBO-abil dacă şi umai dacă M. Voicu, IA (II) C5 (35) 4! e pi g() θ dθ < + i lim + h() exiă şi ee fiiă. o i 7
6.3. O codiţie eceară de BIBO - abiliae G() are la umior poliomul: P( ) = a + a +... + a + a (6.9) Poliomul moic echivale (al polilor) are expreia: Δ( ) = + α +... + α + α, (6.) α = a / a, i=,, a. (6.) i i Defiiţia U poliom cu oae zerourile î {Re <} e umeşe hurwizia. o Teorema 4 Siemul (.) ee BIBO-abil dacă şi umai dacă P(), repeciv () u hurwiziee. o M. Voicu, IA (II) C5 (35) 5 Teorema 5 O codiţie eceară ca Δ() ă fie hurwizia ee ca α >, i,. p = β <, i=,, pk= γk± jδk, γk<, k=,, + =. i i = i (6.) D. Δ( ) = + α +... + α + α= ( + βi) ( + γk+ γk + δk ),( ) i= k= Cu β i >,γ k >,făcâd produele î ( ), rezulă (6.). o Exemplul 6.3 Δ()= 3 + + +6 cu p =, p = ( ± )/,3 Teorema 6 (o codiţie uficieă de BIBO-iabiliae) Δ( ) cu cel puţi u coeficie epoziiv ee ehurwizia. o M. Voicu, IA (II) C5 (35) 6 ee ehurwizia.o 8
6.4. Crieriul Hurwiz Fie maricea H (Hurwiz) H α α3 α α α5 α4 α3 α α α7 α6 α5 α4 α3 α =, α α k =, k >. Teorema 7 (Hurwiz) Δ() ee hurwizia dacă şi umai dacă de >, k =,. H k (6.3) (6.4) M. Voicu, IA (II) C5 (35) 7 o Exemplul 6.4 U() + _ G R () G F () Y() () = 8, + + 34 M. Voicu, IA (II) C5 (35) 8 GF Domeiul de BIBO-abiliae î plaul (k, τ)? G () () 4( / ) () R GF k+ τ G = = + G ( ) ( ) 3 R GF + 7 + ( / + 4k) + 4/ τ τ H 3 7 = 4/ τ /+ 4k 7. 4/ τ deh = 7 >, deh = 7 ( /+ 4k) 4/ τ >, de H = (4/ τ)deh >. 3 G R () = k + ; k, τ >. τ 8 7 Δ() BIBO- STABILITATE τ = 8/(36k+7) BIBO-abil τ > 8/(36k +7). o k 9
6.5. Crieriul Rouh Se aociază poliomului Δ () chema Rouh: r r r3 r r r3 r r r3 i+ ri ri j ri j+ i+ ri ri j ri j+ i ri rij rij+ r, r=, r = α, r3 = α4,... ri ri j+, i=,,, rij= r = α, r = α, r = α,... r r r, j=,,... 3 3 5 i i i j+ Teorema 9 (Rouh) Δ() ee hurwizia dacă şi umai dacă r i >, i=, (6.5) (6.6) M. Voicu, IA (II) C5 (35) 9. o 6.6. Sabiliaea relaivă h() araă caliăţile de abiliae adică apropierea de iab. Se evaluează pri abaerile lui h() faţă de regimul aţioar: lim () lim ( ) lim b h = h = H = G( ) = lim G( ) =. Abaerile lui h() u cu aâ mai mari cu câ polii lui G() p 4 p 5 p 5 p p Fig.II.39 + a Pl. α mi u mai aproape de axa imagiară. Trebuie ă e aigure o rezervă de BIBO-abiliae abiliae. Aceaa ee o diaţă miimă α mi > a polilor faţă de axa imagiară, coform fig.ii.39. M. Voicu, IA (II) C5 (35)
Abaeri mici faţă de h îeamă o caliae mai buă a lui h(). Se previe pierderea BIBO-abiliăţii auci câd uii poli e mişcă pre axa imagiară au u cuocuţi aproximaiv. Polii lui G() u î {Re< α mi } Δ(z α mi ) ee hurwizia. p 4 p p 5 p p 5 Pl. α mi α Gradul de BIBO-abiliae ee diaţa α dire axa imagiară şi polul cel mai apropia fig.ii.39. Se impue α α mi deoarece Δ() u e cuoaşe exac au e modifică î imp. Fig.II.39 α mi şi α defiec BIBO-abiliaea relaivă. M. Voicu, IA (II) C5 (35) 6.7. Domeii paramerice de BIBO - abiliae Ee ecear ă e şie limiele valorilor paramerilor peru care e aigură rezerva de abiliae α mi. Exiă parameri care e modifică ub iflueţa mediului şi parameri ajuabili (de căre operaor). Ecuaţiile: α =, de H = (6.9) repreziă froiera dire domeiile de BIBO-abiliae şi de BIBO-iabiliae î paţiul paramerilor. Naura uuia dire domeii e află cu c. Hurwiz (Rouh). Ecuaţiile (6.9) e aplică şi peru Δ(z α mi ). Se deermiă domeiul de rezervă de BIBO-abiliae α mi. M. Voicu, IA (II) C5 (35)
7. Corelaţia dire caliaea răpuului idicial şi cofiguraţia poli - zerouri 7.. Idici de caliae ai răpuului idicial Coform plaării polilor şi zerourilor: a ) şi oae zerourile î {Re < }; a ) Sieme BIBO-abile; oţi polii î {Re <} ieme de defazaj miim; a ) şi exiă zerouri î {Re }; ieme de defazaj emiim. a ) Sieme BIBO-iabile; exiă polii î {Re }. Siemele uzuale u de ipul a. Răpuul idicial poae fi ocilaoriu amoriza au aperiodic. M. Voicu, IA (II) C5 (35) 3 h(),5h h,95h,5h h max c REGIMUL STAŢIONAR Fig.II.4: h() ocilaoriu amoriza Idici de caliae Suprareglarea σ = ( h h)/ h, σ% = σ. (7.),,95 h h( ),5 h. (7.) max Duraa regimului razioriu : h,95h h() Peru regimul aţioar. Duraa de creşere : c,5h c REGIMUL STAŢIONAR Fig.II.4: h() aperiodic h() creşe de la,5h la,95 h. Rapidiaeaaea lui h(): / c P. h() aperiodic e foloec şi c. M. Voicu, IA (II) C5 (35) 4
7.. Elemee de rafer ipice 4 5 3 6 a) Elemeul proporţioal (P) b) Elemeul de îârziere de ordiul (T) c) Elemeul de îârziere de ordiul (T) d) Elemeul iegraor (I) e) Elemeul derivaor (D) f) Elemeul cu imp mor Acee elemee u prezeae î coiuare î urmăoarea ucceiue: a, d, e, b, c, f. M. Voicu, IA (II) C5 (35) 5 a) Elemeul proporţioal (P) G () = K, H () = G () = K, h() = Kσ(). Exemple: ieme diipaive ELECTRIC MECANIC REZISTENŢA ELECTRICĂ COEFICIENTUL DE FRECARE R K f i = f u R = K f v c= ω K f FLUIDIC REZISTENŢA FLUIDICĂ R f q = R f p TERMIC REZISTENŢA TERMICĂ R q = θ R M. Voicu, IA (II) C5 (35) 6 3
d) Elemeul iegraor (I) h() Fig.II.48 T I G() =, TI >, T h () = (). T σ (7.35) T I impul de iegrare h(t I ) = σ (T I )= Y() = U(), T I Iegrarea e exide pe u ierval: operaţie globală. y () = u(). TI Vieza ieşirii ee proporţioală cu irarea. Aşadar u() = æ y () =, dar u î mod ecear şi y() =. M. Voicu, IA (II) C5 (35) 7 I y () = u( ) d. T τ τ (7.36) I I H() = G() =, T I (7.34) Exemple i C SC u Fig.II.b q Siem: capaciae elecrică C du i (), d = (.b) u () = i( τ) dτ, C U () = I (), TI = C. T Siem: capaciae fluidică (rezervor de lichid) I h S v v v =Δ v = qδ, dv q, d = v () = q( θ ) dθ. lim Δ v Δ = q, Δ v = Sh, S arie, v volum, q debi, () h = q( θ ) dθ, S h ivel. H () = Q (), TI = S. T I o M. Voicu, IA (II) C5 (35) 8 4
Ob. u(τ)=, τ [, ], u implică y(τ)=, τ [, ]. Exemplu u() y() c = /T Fig.II.49 a b, <, u () =, <,,. y () = T u( τ) dτ. (7.36) I, <, y () = / TI, <, / T,. I Are loc y()= c = /T I,, deşi u()= peru. o M. Voicu, IA (II) C5 (35) 9 Exemplu (coiuare) vaă erar u() a u Fig.II.49 rezervor y() c = /T b rezervor y M. Voicu, IA (II) C5 (35) 3 5
Exemplul 7.4 Servomoorul elecric ee u moor cf. ex..,.3. Irarea u eiuea u pe roor; ieşirea y ughiul axului ψ. Îre ω (vieza ughiulară, v. ex..) şi ψ exiă relaţiile: ψ () = k ( ), ( ) k ωτ dτ Ψ = Ω( ) Cf. ex..3, peru M() =, rezulă: G m Ψ() k () = = k U () ( L+ R)( J+ k) + kk 3 (k rap. ram.). F. de rafer Ω() Ψ F. de rafer U() Ω() Peru L şi J, realizabile pri corucţie, e obţie: 3 m (), kk + Rk G TI = T. I kk Î primă aproximaţie ervomoorul ee u iegraor. o M. Voicu, IA (II) C5 (35) 3 3 e) Elemeul derivaor (D) G () = TD, TD >, (7.37) Fig.II.5 y proporţioal cu vieza lui u. h () = T δ(). (7.38) M. Voicu, IA (II) C5 (35) 3 D y() = T u (). (7.39) P. orice u() = co rezulă y() =. Traferul ee bloca. T D u(), y() u() =σ() Fig.II.5 h() T D δ() y() =T D σ() T D H () = G () = TD, P. irare rampă uiară: D u () = σ () y() = TDD [ σ()] = TD[ σ() + δ()] = TDσ(), y( T ) = T. D D = T D ee impul de derivare 6
Exemple Siem: reor mecaic x v f K Fig.II.c f() = K v( τ) dτ, (.c) V () = T (), D F TD =. K df() v () =. K d i u L Siem: iducaţă elecrică di() u () L, d = (.c) SC Fig.II.c U () = T I (), T = L. D D o M. Voicu, IA (II) C5 (35) 33 4 b) Elemeul de îârziere de ordiul (T) h() B agea,95,865,63 α Fig.II.43 A c T T 3T 4T G () =, T>, T + h () = ( e T ) σ(). T coaa de imp (7.4) p = < polul lui G(). T H () = G () =, T ( + ) (7.5) = e Tσ() ( ) δ() = e Tσ(), h'() Dh() g(). T T g α = h '() =. Î Δ OAB: AB =, OA = T. 3 T, c. T M. Voicu, IA (II) C5 (35) 34 σ σ [ σ ] Dh() = D[( e T) ()] = [ D( e T)] () + ( e T) D () = 7
Exemple Siem: amorizor () maă ieră (3) x v K f f M 3 Fig.II.a M dv Kv f f () d + = (.a) V () = k F (), T= M, k=. T + K K f f SC i u R C i R i C Siem: rezieţă (R) capaciae (C) C du + u = i () (.a) d R Fig.II.a U () = k I (), T= RC, k= R. T + M. Voicu, IA (II) C5 (35) 35 o 8