IV. PAPRASTOSIOS DIFERENCIALINĖS LYGTYS. Individualios užduots: - trumpa teorijos apžvalga, - pavzdžiai, - užduots savarankiškam darbui. Pirmosios eilės diferencialinių lgčių sprendimas.. psl. Antrosios eilės paprasčiausiųjų diferencialinių lgčių sprendimas.9 psl. Antrosios eilės tiesinių diferencialinių lgčių su pastoviaisiais koeficientais sprendimas.....6 psl. Tiesinių diferencialinių lgčių sistemų sprendimas. psl. Fizikos uždaviniai, suvedami į pirmosios eilės diferencialines lgtis 6 psl. Geometrijos uždaviniai, suvedami į pirmosios eilės diferencialines lgtis 7 psl. Pirmosios eilės diferencialinių lgčių skaitinis sprendimas..0 psl.. Išspręstosios užduots... psl.
. Individualios užduots Diferencialinių lgčių sprendimas ir taikmas Pirmosios eilės diferencialinių lgčių sprendimas Pirmosios eilės diferencialine lgtimi vadinama lgtis, siejanti nepriklausomą kintamąjį, nežinomą funkciją ir jų diferencialus d d, d arba išvestinę = d. Pirmosios eilės diferencialinės lgties pavidalai: = f(, ), F (,, ) = 0 arba Pd (, ) + Qd (, ) = 0. Pirmosios eilės diferencialinės lgties bendruoju sprendiniu vadinama funkcija = ϕ(, C), kurią įrašius į lgtį, gaunama tapatbė. Norint rasti bendrąjį sprendinį, reikia atpažinti lgties tipą ir taikti atitinkamą sprendimo metodą. Čia nagrinėsime tokius lgčių tipus: ) paprasčiausios lgts (žmėsime P) ) su atskiriamais kintamaisiais (A) ) homogeninės (H) 4) tiesinės (T) 5) Bernulio (B) 6) pilnųjų diferencialų (D). Paprasčiausios lgts ra tokios: = f( ). Nežinoma funkcija gaunama integruojant išvestinę: = d = f( ) d. Su atskiriamais kintamaisiais vadinama lgtis = f( ) g( ) arba f( ) g ( ) d = f( ) g ( ) d. d Jei lgtje ra išvestinė, tai įrašius = ir po to atskrus d kintamuosius, integruojamos abi lgties pusės:
d = f( ) d g ( ) arba f( ) f d g ( ) = ( ) g ( ) d. Dviejų kintamųjų funkcija f(, ) vadinama k-ojo laipsnio homogenine funkcija, jei teisinga tokia lgbė: k f( λ, λ) = λ f(, ). Pirmosios eilės diferencialinė lgtis Pd (, ) + Qd (, ) = 0 vadinama homogenine, jei P (, ), Q (, ) ra to paties laipsnio homogeninės funkcijos. Lgtis = f(, )vadinama homogenine, jei f(, ) ra nulinio laipsnio homogeninė funkcija. Homogeninę diferencialinę lgtį galima pertvarkti į tokį pavidalą: = F. Pakeitę ieškomą funkciją =() nauja nežinoma funkcija u=u() pagal lgbę u = ir į homogeninę lgtį vietoje ir įrašę = u, = u + u, gauname lgtį su atskiriamais kintamaisiais. Pavzds Rasime diferencialinės lgties ( ) bendrąjį sprendinį. Duotąją lgtį pertvarkome: d d = +, = + + d= d. Pakeičiame kintamąjį pagal lgbę u = ir į homogeninę lgtį įrašę = u, = u + u, gauname tokią lgtį:
u u + u= + u. Šią lgtį pertvarkome ir atskiriame kintamuosius: = u u u u + + u u u du d =. + Abi gautosios lgties puses integruojame: u + u u du d u + = + du = uu ( + ) A B + du = ln. u u + Randame neapibrėžtuosius koeficientus iš tapatbės Au + + Bu u+, d, paėmę u=0 ir u= : A=6, B=. Tuomet: 6 du = ln, u u + lnu lnu+ = ln + lnc, u ln u + C = ln u u + C =, 4
u u + C =± u = C u+, C 0. Vietoje u įrašę ir pertvarkę gauname diferencialinės lgties bendrąjį sprendinį: = C +. Pirmosios eilės tiesine diferencialine lgtimi vadinama lgtis + p( ) = g( ), o Bernulio lgtimi + p( ) = g( ) n, ( n 0, n ). Abi šias lgtis galima išspręsti Bernulio metodu. Jo esmė tokia: nežinoma funkcija keičiama dviejų funkcijų u() ir v() sandauga = u( ) v( ). Viena iš jų tam tikru būdu parenkama, o kita apskaičiuojama. Įrašę = uv ir = u v+ uv, pavzdžiui, į tiesinę lgtį, gauname: u v + uv + p( ) uv = g( ) uv + uv ( + pv ( ) ) = g ( ). Šiuo atveju parenkame funkciją v. Ji ra vienas diferencialinės lgties v + p( ) v= 0 sprendins. Po to iš paprasčiausios diferencialinės lgties uv = g ( ) gauname funkciją u. Pavzds Raskime diferencialinės lgties = cos bendrąjį sprendinį. Ši lgtis ra tiesinė. Ją sprendžiame Bernulio metodu. 5
Taigi įrašome = uv ir = u v+ uv į duotąją lgtį ir pertvarkome: uv v uv + uv = cos uv + u v = cos. v ) Sprendžiame lgtį v = 0. Ši lgtis ra su atskiriamais kintamaisiais. Todėl atskiriame kintamuosius ir integruojame: dv v dv d dv d = = d v = v lnv = ln, v = v =±. Parenkame vieną funkciją v, pavzdžiui, v =. ) Įrašę šią funkciją v į lgtį v uv + u v = cos, gauname: u = cos u = cos. Iš čia: u= cos d u=sin + C. = sin + C, C R. Taigi ( ) Pilnųjų diferencialų lgtimi vadinama lgtis Pd (, ) + Qd (, ) = 0, kai jos kairioji pusė ra kažkurios funkcijos U(, ) pilnasis diferencialas: Pd (, ) + Qd (, ) = du(, ). Šitaip bus, jei P (, ) Q (, ) =. Pilnųjų diferencialų lgties bendrasis sprendins: U(, ) = C. Funkciją U(, ) galima rasti pagal tokią formulę: U(, ) = Pd (, ) + Q ( 0, d ) ; 0 6 0
čia 0 ir 0 ra laisvai parinkti skaičiai, kuriems užraštieji integralai turi prasmę. uždavins. Raskite dviejų pirmosios eilės diferencialinių lgčių bendruosius sprendinius: ) = + ln + = e ) = d + ( ) d = 0 ) = e + + =sin 4) ctg= sin + + = 5) = + tg= 6) + tg= cos + = 7) = + + = = e 8) = + + 9) = ln cos + sin = 0) + = e ( + ) + tg =0 ) = + tg + = ln + 6 ) = sin = + + 6 7
) d cos + cos d = 0 = e 4) + = si n ( ) = 5) d = d ctg + = cos ctg 6) + = d sin = sin d d = + d = e 7) ( ) 8) + = + + d = + d 9) ( ) 5 0) = 5 = + ( ) tg= cos arcsin = ) = + + + = e ) = + = + ( ) ( ) ) ( ) d + d =0 ctg= sin 4) + = 4 + ( ) = 0 5) d = ( + ) d tg= cos 6) + = ( ) d= d 7) si n + = sin + tg= tg 8
8) = + + 9) + d = 0) + = + ctg = 0 d = + ( + ) 4= Antrosios eilės paprasčiausiųjų diferencialinių lgčių sprendimas Antrosios eilės diferencialine lgtimi vadinama lgtis F (,,, ) = 0, kurioje ra nežinomos funkcijos antroji išvestinė ir aukštesnių eilių išvestinių nėra. Lgties bendrasis sprendins = ϕ(, C, C ), turintis dvi laisvąsias konstantas ra tokia funkcija, kurią įrašius į diferencialinę lgtį gaunama tapatbė. Kai žinomos pradinės sąlgos ( 0 ) = 0, ( 0 ) = 0, randamas diferencialinės lgties atskirasis sprendins. Antrosios eilės diferencialinė lgtis vadinama paprasčiausiąja, jei joje nėra arba, arba, arba ir. Šiais atvejais dar sakoma, kad galima sumažinti diferencialinės lgties eilę. Iš pradžių nagrinėkime lgtį = f( ), (P ) kurioje nėra nei, nei. Šiuo atveju integruodami pirmiausia randame : = d= f( ) d. Po to integruodami gautąją išvestinę, randame : = d. Spręsdami diferencialinę lgtį F(,, ) = 0, (P ) 9
kurioje nėra ieškomos funkcijos, keičiame kintamąjį pagal lgbę z= (čia z nauja nežinoma funkcija). Tuomet = z, ir gaunama pirmosios eilės diferencialinė lgtis: F( zz,, ) = 0. Radę šios lgties bendrąjį sprendinį z= ϕ (, C ) ir vietoje z įrašę, vėl gauname pirmosios eilės diferencialinę lgtį = ϕ (, C ). Išsprendę šią lgtį gauname (P ) lgties bendrąjį sprendinį. Spręsdami diferencialinę lgtį F(,, ) = 0, (P ) kurioje nėra nepriklausomo kintamojo, keičiame kintamąjį pagal lgbę p= (čia p nauja nežinoma funkcija). Tuomet = p dp, ir gaunama pirmosios eilės diferencialinė lgtis d F(, p, dp ) = 0. d Pavzdžiai ) Rasime lgties = cos atskirąjį sprendinį, tenkinantį pradines sąlgas: ( 0) = 0, ( 0) =. Matome, kad duotoji lgtis ra pirmojo tipo, todėl pirmiausia ieškome : = d = cos d = d sin. Integruojame dalimis: = sin sin d, = sin + cos + C. Pritaikę pradines sąlgas = 0 ir ( 0) =, galime rasti laisvąją konstantą C : =+ C. Iš čia gauname, kad C = 0. Taigi = sin + cos. Integruodami gautąją išvestinę, ieškome : 0
= d d= sin d+ cos d. = d cos + sin = cos + cos d + sin, = cos +sin+c. Pritaikę pradines sąlgas = 0 ir = 0, randame laisvąją konstantą C : 0 = C. Tuomet = cos +sin. = ( sin + cos ) ) Rasime lgties ctg + = 0 atskirąjį sprendinį, tenkinantį pradines sąlgas: ( 0) = 0, ( 0) =. Pastebime, kad lgtje nėra funkcijos, todėl keičiame kintamąjį pagal lgbę z=. Tuomet = z, ir gauname pirmosios eilės diferencialinę lgtį: zctg + z= 0. Ši lgtis ra su atskiriamais kintamaisiais. Todėl: dz dz z = z tg = ztg = tg d. d z Atskrę kintamuosius abi puses integruojame: dz sin tg d z = ln z = cos d, dcos ln z = ln z = lncos + lnc, cos z= C cos = C cos. Pritaikę pradines sąlgas = 0 ir ( 0) =, galime rasti laisvąją konstantą C : = C. Taigi = cos. Integruodami gauname: = d = sin + C. Pritaikę pradines sąlgas = 0 ir = 0, randame konstantą C = 0. Tuomet
= sin. ) Rasime lgties = 5 atskirąjį sprendinį, tenkinantį pradines sąlgas: ( ) = 5, ( ) =. Pastebime, kad lgtje nėra, todėl keičiame kintamąjį pagal lgbes = p, = p dp. Tuomet gauname tokią pirmosios d eilės diferencialinę lgtį p dp d = 5. Joje atskiriame kintamuosius ir integruojame: pdp = 5 d pdp = 5 d, p 5 C = 5 + = + C. Pritaikę pradines sąlgas = 5 ir =, randame konstantą C = 0. Tuomet 5 =. Atsižvelgę, kad ir ra teigiamos, gauname: 5 =. d Tuomet: = 5 d = 5 d d d d = 5, = 5+ C. Pritaikę pradines sąlgas = ir = 5, randame konstantą C = 5. Tuomet = 5 ( + ). uždavins. Raskite dviejų antrosios eilės diferencialinių lgčių atskiruosius sprendinius, tenkinančius pradines sąlgas:
) = 50 ; ( ) =, ( ) = 5 tg = + ; π π π ( ) =, ( ) = 0 ) = ; ( 0) =, ( 0) = = + = ; ( ), ( ) = ) = 0 = 0 = = 6+ sin ; ( 0) = 0, ( 0) = 0 6 4) = = = 4 + = 4; ( ) =, ( ) = 5) = e ; ( ) = 0, ( ) = e = 98 ; ( ) =, ( ) = 7 6) + sin cos = 0; ( 0) = 0, ( 0) = + = + ; 5 5 ( ) =, ( ) = 4 π 7) = = π ctg sin ;, = 0 + 8sin cos = 0; ( 0) = 0, ( 0) = 8) = e ; ( 0) = 0, ( 0) = = = = 0 9) = e ; ( 0) =, ( 0) = 4 4
( ) = ; ( 0) =, ( 0) = 0) = 7 ; ( ) =, ( ) = 6 + = ; ( ) = 4, ( ) = ) ln = ; ( e) = 0, ( e) = = 49; ( 0) = 7, ( 0) = ) = ; ( 0) =, ( 0) = = = = ) = ln ; ( ) =, 4 ( ) = 0 = + ; ( 0) =, ( 0) = π 4) = sin cos ; ( ) =, ( ) = 4 ctg = ( + ); ( 0) = 0, ( 0) = 0 5) = ; ( ) = 0, ( ) = + 9= 0; ( ) =, ( ) = 6) + 6 = 0; ( 0) =, ( 0) = + = ; 4 ( ) =, ( ) = 9 7) = ; ( ) = 0, ( ) = 0 = 8 ; ( 0) =, ( 0) = 8) = ; ( 0) =, ( 0) = = ; ( ) =, ( ) = 4
9) + = ; ( ) = 0, ( ) = 0 = ; ( 0) =, ( 0) = 0) = = ;, = + = ; ( ) =, ( ) = ) = + cos ; ( 0) = 0, ( 0) = 0 π = 8 sin cos ; ( ) =, ( ) = ) + 8sin cos = 0; ( 0) = 0, ( 0) = = = = + = ; ( 0) = 0, ( 0) = ) ( ) = 4; ( 0) =, ( 0) = 4) + = ; ( ) =, ( ) = ( + sin ) = cos ; ( 0) =, ( 0) = 5) = 8 ; ( 0) =, ( 0) = 8 = + ln ; ( ) =, ( ) = e 6) = ; ( ) =, ( ) = π π tg = ; ( ) =, ( ) = 4 4 7) = 64; ( 0) = 4, ( 0) = = sin ; ( 0) =, ( 0) = 0 8) + sin cos = 0; ( 0) = 0, ( 0) = 4 + = ; ( ) =, ( ) = 5
π 9) = 8sin cos ; ( ) =, ( ) = = ln ; ( ) = 0, ( ) = e 0) = ; ( 0) =, ( 0) = = + 0 = 0 0 = 0 Antrosios eilės tiesinių diferencialinių lgčių su pastoviaisiais koeficientais sprendimas Antrosios eilės tiesine diferencialine lgtimi su pastoviaisiais koeficientais vadinama lgtis + a + a = f( ). Kai dešinioji lgties pusė ra 0, lgtis vadinama homogenine, priešingu atveju, nehomogenine. Homogeninė lgtis + a + a = 0 (H) turi trivialų sprendinį = 0. Jei () ir () ra homogeninės lgties sprendiniai, o C ir C bet kurie realieji skaičiai, tai funkcija C () + C () taip pat ra homogeninės lgties sprendins. Funkcijos () ir () vadinamos tiesiškai nepriklausomomis intervale (a; b), jei tapatbė α ( ) + α ( ) = 0 teisinga tik tada, kai α = α = 0. Funkcijų () ir () Vronskio determinantu vadinamas toks determinantas: ( ) ( ) W( ) = ( ). ( ) 6
Funkcijos () ir () ra tiesiškai nepriklausomos intervale (a; b) tik tada, kai jų Vronskio determinantas visiems (a; b) nelgus nuliui. Bet kurie du tiesiškai nepriklausomi homogeninės lgties sprendiniai () ir () sudaro fundamentaliąją sprendinių sistemą. Tuomet (H) lgties bendrasis sprendins ra toks: 0 = C () + C (). Kvadratinė lgtis λ + aλ + a = 0, (Ch) kuri gaunama homogeninėje lgtje + a + a = 0 pakeitus,, atitinkamai λ, λ ir, vadinama charakteristine lgtimi. Jei (Ch) lgties šakns λ ir λ ra realiosios ir skirtingos, tai funkcijos = e λ ir = e λ sudaro fundamentaliąją sprendinių sistemą. Šiuo atveju λ 0 = C e λ + C e. Jei charakteristinės lgties šakns λ ir λ ra lgios ( λ = λ ), tai funkcijos = e λ λ ir = e sudaro fundamentaliąją sprendinių sistemą. Šiuo atveju λ 0 = e ( C + C). Jei charakteristinės lgties šakns λ ir λ ra kompleksinės, t.. λ = α + β i, λ = α β i, tai funkcijos = e α cos β ir = e α sin β sudaro fundamentaliąją sprendinių sistemą. Šiuo atveju homogeninės lgties bendrasis sprendins α 0 = e ( Ccosβ+ Csin β). Antrosios eilės tiesinės nehomogeninės diferencialinės lgties + a + a = f( ) bendrasis sprendins lgus šios lgties atskirojo sprendinio ~ ir homogeninės lgties bendrojo sprendinio 0 sumai: = 0 + ~. 7
Nehomogeninės lgties atskirąjį sprendinį ~ galima rasti neapibrėžtųjų koeficientų metodu, kai lgties dešinioji pusė f() ra specialaus pavidalo. Išskirsime tokius tris atvejus: a ) f( ) = e P m ( ) ; čia Pm ( ) ra m-ojo laipsnio daugianaris, m = 0,,,... Šiuo atveju ~ a k = e Qm( ) ; čia Qm ( ) ra m-ojo laipsnio daugianaris su neapibrėžtaisiais koeficientais. Pavzdžiui, kai m=, Q ( ) = A + B+ C. Laipsnio rodiklis k parodo, kiek kartų a ra charakteristinės lgties šaknimi; k gali įgti tris reikšmes: k = 0,,. a ) f( ) = e ( c cosb+ d sin b). Šiuo atveju ~ a r = e ( Acosb+ Bsin b) ; čia A ir B ra neapibrėžtieji koeficientai. Laipsnio rodiklis r parodo, kiek kartų a + bi ra charakteristinės lgties šaknimi; r gali įgti dvi reikšmes: r = 0,. ) f() = f ()+f (); čia f () ir f () ra pirmojo arba antrojo tipo funkcijos. Šiuo atveju nehomogeninės lgties + a + a = f( ) atskirasis sprendins ~ gaunamas sudedant dviejų nehomogeninių lgčių + a + a = f ( ), + a + a = f ( ) atskiruosius sprendinius ~, ~ : ~ = ~ ~ +. Pavzdžiai ) Rasime lgties + = + bendrąjį sprendinį. Iš pradžių sprendžiame homogeninę lgtį + = 0. Jos charakteristinė lgtis: 8
λ λ+ = 0. Šios lgties šakns λ = ir λ = ra realiosios ir skirtingos. Todėl homogeninės lgties bendrasis sprendins 0 = C e + C e. Nehomogeninės lgties dešinioji pusė f() ra pirmojo tipo, m= ir laipsnio rodiklio dauginamasis a = 0 nėra charakteristinės lgties šaknimi, todėl atskirojo sprendinio ~ pavidalas ra toks: ~ = A+B. Neapibrėžtieji koeficientai A ir B parenkami tokie, kad funkcija ~ = A+B būtų nehomogeninės lgties + = + sprendins. Todėl ieškome išvestinių: ~ = A, ~ = 0. Įrašę šias išvestines į nehomogeninę lgtį, gauname tapatbę: A+ ( A+ B) +. Iš jos apskaičiuojame, kad A =, B =. 4 Tuomet nehomogeninės diferencialinės lgties bendrasis sprendins = 0 + ~, = C e + C e + +. 4 ) Rasime lgties + 4 + 4= e sin bendrąjį sprendinį. Iš pradžių sprendžiame homogeninę lgtį + 4 + 4= 0. Jos charakteristinė lgtis: λ + 4λ+ 4= 0. Šios lgties šakns λ = λ =. Todėl homogeninės lgties bendrasis sprendins e C + C. 0 = ( ) 9
Nehomogeninės lgties dešinioji pusė f() ra antrojo tipo, laipsnio rodiklio dauginamasis a =, +i nėra charakteristinės lgties šaknis, todėl atskirojo sprendinio ~ pavidalas ra toks: ~ = e ( A cos + B sin ). Neapibrėžtieji koeficientai A ir B parenkami tokie, kad funkcija ~ būtų nehomogeninės lgties sprendins. Todėl ieškome išvestinių: ~ = e ( A cos + B sin A sin + B cos ), ~ = e ( Asin+ Bcos ). Įrašę šias išvestines į nehomogeninę lgtį, gauname tapatbę: ( 6A+ 8B) sin + ( 8A+ 6B) cos sin. Sulginame abiejų lgbės pusių sin ir cos koeficientus: 6A+ 8B =, 8A+ 6B = 0 Iš šios sistemos apskaičiuojame, kad A =, B =. 50 5 Tuomet nehomogeninės diferencialinės lgties bendrasis sprendins = 0 + ~, = e ( C+ C) + e ( cos+ sin ). 50 5 ) Rasime lgties + = e + bendrąjį sprendinį. Iš pradžių sprendžiame homogeninę lgtį + = 0. Jos charakteristinė lgtis: λ + = 0. Šios lgties šakns λ, =±i. Todėl homogeninės lgties bendrasis sprendins 0 = C cos + C sin. Nehomogeninės lgties dešinioji pusė f() ra trečiojo tipo, todėl atskirasis sprendins ~ = ~ + ~. 0
~ ra nehomogeninės lgties + = e atskirasis sprendins. Jo pavidalas: ~ = Ae. Rasime neapibrėžtąjį koeficientą A: ~ = Ae, ~ = Ae 4, 4 Ae + Ae e, A = 5. ~ ra nehomogeninės lgties + = atskirasis sprendins. Jo pavidalas: ~ = A + B + C. Rasime neapibrėžtuosius koeficientus A, B ir C: ~ = A+ B, ~ = A, A + A + B + C, A =, B = 0, C =. Tuomet ~ = e +, 5 o nehomogeninės diferencialinės lgties bendrasis sprendins = 0 + ~, = C cos + C sin + e +. 5 uždavins. Raskite antrosios eilės diferencialinių lgčių bendruosius sprendinius: ) + = + + = cos ) 4 + 5= e 0= sin + cos ) 5 + 4 = e + = sin + 4cos
4) = 8 e + + = + sin 5) = 6 + + = si n 6) + = 4 + + + = 8sin 7) + 8= e + = sin+ cos 8) 5 + 4= e ( ) = cos 9) + = e ( 5 4) + = cos 0) + = + 4+ + + = sin ) 4 + 5= 0 e = cos ) = + 5 8 + = 65cos 4 ) + = + e 4= sin 4) 4 + = e + 4= cos 5) 4 + 5= e ( 0+ 4) = sin 6) + = e ( 5 ) = 5cos 7) + = 6 + e + = sin 8) + = + e + = 5sin 9) = + = cos+ sin 0) + 4= e + = cos sin ) + 9= e + = cos + sin ) + = e ( 6+ ) + = cos 4sin ) + 5 + 6= e + e + = 4cos 4sin 4) 5 + 4= e ( 0+ ) 4= 4cos
5) + = + 4= 7sin 6) = + + 4 + 4= sin + cos 7) = 5 4= 68cos 8) 6 7= e 4 + 4= sin 9) = 5+ + = sin cos 0) 5 + 4= e ( 4+ ) + = sin + cos Tiesinių diferencialinių lgčių sistemų sprendimas Dviejų tiesinių diferencialinių lgčių sistemą d = a+ a, dt d = a + a, dt kurioje nežinomos funkcijos ra = (t), = (t), galima spręsti suvedant sistemą į antrosios eilės diferencialinę lgtį + a + a = 0. Tuo tikslu diferencijuojame antrąją sistemos lgtį: = a + a. Į šią lgtį įrašę išraišką iš sistemos pirmosios lgties, gauname lgtį = a( a+ a ) + a. Į šią lgtį įrašę išraišką iš sistemos antrosios lgties, gauname + a + a = 0 pavidalo lgtį. Sudarę šios lgties charakteristinę lgtį λ + aλ + a = 0 ir suradę jos šaknis, gauname bendrąjį sprendinį = (t). Apskaičiavę, iš sistemos antrosios lgties gauname nežinomą funkciją = (t).
Pavzds Rasime diferencialinių lgčių sistemos =, = bendrąjį sprendinį = (t), = (t). Diferencijuojame antrąją sistemos lgtį: =. Į šią lgtį įrašę išraišką iš sistemos pirmosios lgties, gauname lgtį =. Į šią lgtį įrašę išraišką iš sistemos antrosios lgties, gauname: = ( + ) + 4 + 4= 0. Sudarę gautosios lgties charakteristinę lgtį λ + 4λ + 4= 0 ir suradę jos šaknis λ, =, gauname bendrąjį sprendinį t = e ( C + Ct). Apskaičiuojame : t = e ( C Ct+ C). Iš sistemos antrosios lgties gauname: = +. Įrašome ir išraiškas į šią lgtį: t t = e ( C Ct+ C) + e ( C + Ct), t = e ( C C t+ C ). 4 uždavins. Raskite diferencialinių lgčių sistemų bendruosius sprendinius = (t), = (t), suvesdami sistemą į antrosios eilės diferencialinę lgtį + a + a = 0. ) = + 4, = + = +, ) = + ) = +, = + 4
4) = 5+ 4, = + = + 4, 5) = + 6) =, = 4 7) =, = + 8) =, = + 6 9) = 5+, = + 9 0) = + 6, = + 9 =, ) = =, ) = ) =, = 4) = +, = + 4 = + 8, 5) = + 4 6) = +, = 8+ 7) = 4+ 6, = 4+ 8) = 5+ 8, = + = +, 9) = + 4 0) = + 5, = 7+ ) = +, = + ) = 5+ 4, = + ) = 7+, = 5 =, 4) = 5) =, = 6) = +, = + 7) = +, = 4+ 8) = 4+, = + = 6, 9) = + 0) = +, = 4+ 5
Fizikos uždaviniai, suvedami į pirmosios eilės diferencialines lgtis Tarkime, kad kuriam nors procesui aprašti pakanka dviejų kintamųjų, ir. Funkcinė ir priklausombė =f() nėra žinoma, bet žinoma apie nagrinėjamo proceso greitį, kurį apibrėžia. Tarkime, kad proceso greitis ( kitimo greitis) proporcingas pačiam. Tuomet šio proceso matematinis modelis ra diferencialinė lgtis =k (k proporcingumo koeficientas). Turėdami diferencialinę lgtį, iš pradžių randame jos bendrąjį sprendinį. Po to, panaudoję turimas pradines sąlgas ir papildomus duomenis, randame atskirąjį sprendinį =f(). Pavzdžiai ) Jei cheminio elemento skilimo greitis (jo masės kitimo greitis) proporcingas masei laiko momentu t, tai masės ir laiko funkcinė priklausombė =f(t) randama iš diferencialinės lgties =k. ) Jei besisukantį diską stabdo trinties jėga, proporcinga sukimosi kampiniam greičiui ω, tai šio greičio priklausombė nuo laiko t randama, jei iš diferencialinės lgties ω = k ω. ) Jei tiesiai judančio kūno greitis V proporcingas laiko t kvadratui, tai nueito kelio S priklausombė nuo laiko t randama iš diferencialinės lgties S = kt. Šią lgtį išsprendžiame: Tarkime, kad S= kt dt= k t + C. S =0, kai t=0; Tuomet C=0, k= ir S= t. S =8, kai t=. 6
Geometrijos uždaviniai, suvedami į pirmosios eilės diferencialines lgtis Nagrinėsime tokius geometrijos uždavinius, kuriuose reikia rasti kreivės lgtį =f() pagal žinomą kreivės bet kurios liestinės savbę. Šiuose uždaviniuose taikoma išvestinės geometrinė prasmė: funkcijos išvestinės reikšmė duotame taške ra lgi šios funkcijos grafiko liestinės šiame taške krpties koeficientui. Be to, taikomi kai kurie analizinės geometrijos teiginiai ir pirmosios eilės diferencialinių lgčių sprendimo metodai. Pirmiausia užrašoma kreivės diferencialinė lgtis, po to randami jos bendrasis ir atskirasis sprendiniai. Pavzdžiai ) Jei liestinės bet kuriame kreivės taške M krpties koeficientas ra kartus didesnis už tiesės OM krpties koeficientą, tai kreivės lgtis randama iš diferencialinės lgties: =. ) Tarkime, kad kreivės bet kurios liestinės atkarpa, esanti tarp lietimosi taško M(, ) ir O ašies, kirsdama O ašį dalijama pusiau. Pritaikome kreivės =f() liestinės, nubrėžtos per lietimosi tašką M(, ), lgtį: Y = ( X ); čia (X, Y) bet kurio liestinės taško koordinatės. Jei liestinės tašką, kuriame ji kerta O ašį, pažmėsime N, tai atsižvelgę į nurodtą liestinės savbę, kad jos atkarpą MN O ašis dalo pusiau, gausime N koordinates: N(, 0). Įrašome šio taško koordinates į liestinės lgtį: 0 = ( ). Taigi ieškomos kreivės diferencialinė lgtis ra tokia: =. Ši lgtis ra su atskiriamais kintamaisiais. Todėl: 7
d = d d = d d 8 d =, ln = ln ln C, C 0; =± C. Pažmėję C=± C, gauname parabolių lgtis = C, C 0. Konkreti parabolė gaunama, žinant jos tašką, pavzdžiui, A(, ). Šiuo atveju: =. 5 uždavins. Suveskite uždavinį į pirmosios eilės tiesinę diferencialinę lgtį su atskiriamais kintamaisiais ir jį išspręskite. Cheminės medžiagos skilimo greitis proporcingas jos masei m kiekvienu momentu t. Raskite masės priklausombę nuo laiko t, jei m=m 0, kai t=t 0, ir m=m, kai t=t (masė m matuojama gramais, o laikas t metais). Nr. m 0 =, m =, t =600; Nr. m 0 =0, m =8, t =00; Nr. m 0 =, m =, t =000; Nr. 4 m 0 =5, m =, t =000. Kūno atšalimo greitis proporcingas kūno ir kambario temperatūrų skirtumui. Raskite kūno temperatūros T priklausombę nuo laiko t, jei kambarje, kurio temperatūra 0 0 C, kūnas per t minučių atvėso nuo T laipsnių iki T laipsnių. Per kiek laiko kūnas atvės iki T laipsnių? Nr. 5 T =00, T =60, T =5, t =0; Nr. 6 T =0, T =70, T =45, t =0; Nr. 7 T =00, T =40, T =5, t =0; Nr. 8 T =00, T =60, T =5, t =0. Skstje besisukantį diską stabdo trinties jėga, kuri proporcinga sukimosi kampiniam greičiui ω. Raskite šio greičio priklausombę nuo laiko t, jei iš pradžių diskas sukosi ω 0 aps. min
aps. greičiu, o po t minučių sukosi ω greičiu. Kokiu greičiu min suksis diskas po t minučių nuo sukimosi pradžios? Nr. 9 ω 0 = 00, ω = 0, t =, t =; Nr. 0 ω 0 = 00, ω = 50, t =0,5, t =0,5; Nr. ω 0 = 80, ω = 0, t =, t =; Nr. ω 0 = 60, ω = 0, t =0,5, t =. Motorinei valčiai ežere plaukiant v 0 km h greičiu, variklis buvo išjungtas, ir po t minučių valties greitis sumažėjo iki v km h. Raskite valties greičio v priklausombę nuo laiko t, jei vandens pasipriešinimo jėga proporcinga valties greičiui. Koks bus valties greitis po t minučių nuo variklio išjungimo? Nr. v 0 =0, v =0,5, t =, t = ; Nr.4 v 0 =0, v =6, t =, t =; Nr.5 v 0 =0, v =5, t =0, t =5; Nr.6 v 0 =5, v =5, t =0, t =4. Tiesiai judančio kūno greitis V= kt n (t laikas, k proporcingumo koeficientas). Raskite nueito kelio S priklausombę nuo laiko t, jei S=S 0, kai t=0. Kokį atstumą įveiks kūnas per pirmąsias t sekundes? (atstumas matuojamas metrais, o laikas sekundėmis). Nr.7 n=, k=, S 0 =0, t =; Nr.8 n=, k=6, S 0 =5, t =5; Nr.9 n=, k=4, S 0 =, t =; Nr.0 n=, k=, S 0 =5, t =. Raskite lgtį kreivės, einančios per tašką A(, ), jei jos liestinės bet kuriame kreivės taške M krpties koeficientas ra n kartų didesnis už tiesės OM krpties koeficientą. 9
Nr. A(, ), n=; Nr. A(, 4), n=; Nr.5 A(, ), n=. Nr. A(, ), n= ; Nr.4 A(, 5), n=4; Raskite lgtį kreivės, einančios per tašką A(, ), jei jos liestinės atkarpa, esanti tarp koordinačių ašių, lietimosi taške M ra dalijama pusiau. Nr.6 A(, 4); Nr.7 A(5, 4); Nr.8 A(-, ); Nr.9 A(, ); Nr.0 A(, ). Pirmosios eilės diferencialinių lgčių skaitinis sprendimas Spręskime Koši uždavinį: reikia rasti pirmosios eilės diferencialinės lgties = f(, ) atskirąjį sprendinį, tenkinantį pradinę sąlgą ( 0 ) = 0. Tarkime, kad funkcija f(, ) ra toldžioji ir jos f(, ) dalinė išvestinė ra aprėžtoji kurioje nors pradinio taško M 0 ( 0, 0 ) aplinkoje. Tada šioje aplinkoje Koši uždavins turi vieną sprendinį. Kai Koši uždavinio negalima išspręsti tiksliai, jį galima išspręsti aptiksliai. Šiuo atveju parenkamos nepriklausomo kintamojo reikšmės = 0 +h, = +h,..., n = n +h ir pagal tam tikras formules apskaičiuojamos ieškomos funkcijos reikšmės,,..., n.. Oilerio metodo formulės ra tokios: i+ = i + h f( i, i ), i=0,,,..., n. Rungės ir Kutos metodo formulės: h k k = hf( i, i), k hf i = ( +, i + ), h k k hf i = ( +, i + ), k4 = hf( i + h, i + k), i+ = i + ( k + k + k + k4), i=0,,,..., n. 6 0
Pavzds Pateiksime diferencialinės lgties = ( + ) ln( + ) atskirojo sprendinio, tenkinančio pradinę sąlgą ()=, keturių reikšmių ieškojimo, kai įgja reikšmes: = 0 +h, = +h, = +h, 4 = +h (h=0,) rezultatus Oilerio bei Rungės ir Kutos metodais.,,86,,67,,549,4,89 k k k k 4, 0,86 0,579 0,5887 0,8009,587, 0,8007 0,0 0,04 0,965,68, 0,96 0,57 0,584 0,887,60,4 0,885 0,07 0,8 0,575,949 6 uždavins. Oilerio bei Rungės ir Kutos metodais apskaičiuokite pirmosios eilės diferencialinės lgties atskirojo sprendinio, tenkinančio pradinę sąlgą ( 0 )= 0, keturias reikšmes 0,000 tikslumu, kai įgja reikšmes: = 0 +h, = +h, = +h, 4 = +h. Žemiau pateiktame diferencialinių lgčių variante galima imti: a=, b=, 0 =, 0 =, h=0,. ) = a+ b ) = a+ b ) = a+ b 4) = + a+ b 5) = a + b + 6) = a+ b +
a 7) = + b 8) = a+ b + 9) = + 0) = a+ bsin( + ) a b b ) = + ) = a+ a b a + ) = a+ b+ 4 4) = b + b a 5) = + e 6) = a+ e 7) = a + 4 b + 5 9) ( ) = a + e b ) = ( + a) ( b+ ) ( ) 8) = a b + b 5 0) = ( a+ ) ln ( + b) aln( + b) ln ) = + a e ln( a + ) ) = 4) = b + 4 b + 4 a + 5) = 6) = a+ b ln + b 7) = a+ b 8) = a+ bln( + ) 9) = + 4 b + 0) = e b a +
. Išspręstosios užduots Diferencialinių lgčių sprendimas Pirmos eilės diferencialinės lgts uždavins. Lgts su atskiriamais kintamaisiais ) Rasime lgties ' + = 0 bendrąjį sprendinį. Duotąją lgtį pertvarkome: d + = 0 d = d d Tai jau lgtis su atskiriamais kintamaisiais. Atskiriame kintamuosius ir abi gautosios lgties puses suintegruojame: d d d d = =, iš kur gauname bendrąjį sprendinį: C ln = ln + ln C =. ) Rasime lgties ' tg = 4 bendrąjį sprendinį. Duotąją lgtį pertvarkome: d d cos d tg = + 4 = d + 4 sin Tai jau lgtis su atskiriamais kintamaisiais. Atskiriame kintamuosius ir abi gautosios lgties puses suintegruojame: d d d cos d d cosd = = = = + 4 tg + 4 sin + 4 sin ( + 4) d( sin ) d = +, 4 sin iš kur gauname bendrąjį sprendinį:
) Rasime lgties ( + ) d + ( ) d = 0 ln + 4 = ln sin + ln C + 4 = C sin = C sin 4. bendrąjį sprendinį. Duotąją lgtį pertvarkome: ( + ) d + ( ) d = 0. Tai jau lgtis su atskiriamais kintamaisiais. Atskiriame kintamuosius ir abi gautosios lgties puses suintegruojame: d d d d d d + = = = + + + d( ) d( + ) = + ; iš kur gauname bendrąjį sprendinį: ln = ln + + ln C = C ( ) ( ) ( + ) =. C uždavins. Homogeninės lgts ) Rasime diferencialinės lgties ( ) d = d bendrąjį sprendinį. Įsitikinkime, kad ši lgtis homogeninė: λ λ d λ = λd λ ( ) ( ) ( ), λ ( ) d = λ d, ( ) d = d. Pertvarkome lgtį: d =, d 4
' =. Pakeičiame kintamąjį u =, iš kur = u. Tada ' = u' + u. Įstačius keitinius į lgtį, gauname u u' + u =. u Šią lgtį pertvarkome į lgtį su atskiriamais kintamaisiais: ' u du u + u u u d du du u = u = du = = u d u u u u d, Abi gautos lgties puses integruojame: du du d =, u u ln u = ln + ln C. u Vietoj u įrašę, gauname diferencialinės lgties bendrąjį sprendinį: ln + ln = ln + ln C ln = ln C. ) Rasime diferencialinės lgties sin ' + = sin bendrąjį sprendinį. Įsitikinkime, kad ši lgtis homogeninė: 5
( λ) λ + λ = λ sin ( λ) λ λ d λ sin λ d d λ sin + = λsin, d sin ' + = sin. Pakeičiame kintamąjį u =, iš kur = u. Tada ' = u' + u. Įstačius keitinius į lgtį, gauname sin u u' + u + = usin ( ) u sin u u' + usin u + = usin u sin u u'= sin u u' = d sin udu =. Abi gautosios lgties puses integruojame: d sin udu =. cos u = ln + ln C Vietoj u įrašę, gauname diferencialinės lgties bendrąjį sprendinį: cos = ln + ln C. ) Rasime diferencialinės lgties ' = + bendrąjį sprendinį. Įsitikinkime, kad ši lgtis homogeninė: 6
( λ) λ = ( λ) ( λ) d λ +, d λ d = +. d Pakeičiame kintamąjį u =, iš kur = u. Tada ' = u' + u. Įstačius keitinius į lgtį, gauname: d u ' + u = + u u' = udu = u u. Abi gautos lgties puses integruojame: d udu =, u = ln + ln C Vietoj u įrašę, gauname diferencialinės lgties bendrąjį sprendinį: ln C. = uždavins. Tiesinės lgts ) Rasime diferencialinės lgties ' = bendrąjį sprendinį. Atliekame pakeitimą = uv, ' = u' v + uv'. Duotąją lgtį pertvarkome : uv v u ' v uv' u' v u v' + = + =. 7
v Sprendžiame lgtį v ' = 0. Tai lgtis su atskiriamais kintamaisiais. Atskiriame kintamuosius ir integruojame: dv d dv d = = ln v = ln. v v Tegu v =. Tada, įstačius į lgtį ir suintegravus, turime u' = du = d du = d Iš čia: u = + C. Taigi, = uv = + C. ) Rasime diferencialinės lgties ' + tg = cos bendrąjį sprendinį. Atliekame pakeitimą = uv, ' = u' v + uv'. Duotąją lgtį pertvarkome : u ' v + uv' + uvtg = cos. ( v' + vtg) cos, u ' v + u = Sprendžiame lgtį v ' +vtg = 0. Tai lgtis su atskiriamais kintamaisiais. Atskiriame kintamuosius ir integruojame: dv dv sin dv d( cos ) dv d cos = tgd = d = v v cos v cos = v cos ln v = ln cos. Tegu v = cos. Tada, įstačius į lgtį ir suintegravus, turime u'cos = cos u' = cos du = cos d du = cos d. Iš čia: u = sin + C. 8
Taigi, = uv = sin cos + cos = sin + C cos. 4 uždavins. Bernulio lgts ) Rasime diferencialinės lgties ' 4 = bendrąjį sprendinį. Pertvarkome lgtį, dalindami abi jos puses iš 0. Atliekame pakeitimą z = ; z' = ' ir įstatome į lgtį: z z' 4z = z' + = Tai jau tiesinė lgtis. Atliekame pakeitimą: z = uv; z' = u' v + uv' ir pertvarkome sprendžiamą lgtį: v u' v uv' uv u' v u v' + + = + + =. v Sprendžiame lgtį v ' + = 0. Tai lgtis su atskiriamais kintamaisiais. Atskiriame kintamuosius ir integruojame: dv d dv d = = ln v = ln v = ln. v v Imame v =. Tada, įstačius į lgtį ir suintegravus, turime: u' = u' = du = d du = d. Iš čia C u = + C ir = uv = +. 9
Tada = = =. z C + C ' = bendrąjį sprendinį. Pertvarkome lgtį: d = =. ' d Tai Bernulio lgtis atžvilgiu kintamojo. Padaliname abi jos puses iš 0. d = d ' = Atliekame pakeitimą z = ; z' = ' ir įstatome į lgtį: z z z' = z' + =. Tai jau tiesinė lgtis. Atliekame pakeitimą: z = uv; z' = u' v + uv' ir pertvarkome sprendžiamą lgtį: ) Rasime diferencialinės lgties ( ) v u' v uv' uv u' v u v' + + = =. + + v Sprendžiame lgtį v ' + = 0. Tai lgtis su atskiriamais kintamaisiais. Atskiriame kintamuosius ir integruojame: dv d dv d = = ln v = ln. v v 40
Imame v =. Tada, įstačius į lgtį ir suintegravus, turime: u d d ' = du = du =. Iš čia u = ln + ln C ir z = uv = ln ln C. Tada = =. z ln ln C 5 uždavins. Pilnųjų diferencialų lgts ) Rasime diferencialinės lgties d + d = 0 4 bendrąjį sprendinį. Įsitinkinkime, kad tai ra pilnųjų diferencialų lgtis, t..,. 4 = Tikrindami gauname: 6 6 =. 4 4 Tuomet kairė duotosios lgties pusė ra kurios nors funkcijos u = u(, ) u pilnasis diferencialas ir =. Iš čia, integruojami, gauname u išraišką: u = d + ϕ ( ) = + ϕ( ). 4
Ieškome funkcijos u dalinės išvestinės pagal : u = + ϕ '( ) =. 4 Iš čia ϕ '( ) = ir, integruojant, ϕ ( ) = + C. Tuomet, u, + ( ) = C, o bendrasis integralas lgus = C. ) Rasime diferencialinės lgties sin sin + d + = 0 d bendrąjį sprendinį. Įsitinkinkime, kad tai ra pilnųjų diferencialų lgtis, sin sin t.., + =. Tikrindami gauname: sin sin =. Tuomet kairė duotosios lgties pusė ra kuris nors funkcijos u = u(, ) u sin pilnasis diferencialas ir = +. Iš čia, integruojami, gauname u išraišką: sin cos u = d + d + ϕ ( ) = + + ϕ( ). Ieškome funkcijos u dalinės išvestinės pagal : 4
u cos = + ϕ' = sin + ϕ' cos ( ) = + ϕ' ( ) = + ϕ' ( ) sin sin ( ) = ; sin Iš čia, ϕ '( ) = ir, integruojant, ϕ ( ) = + + C. Tuomet, u (, ) + + + + C, sin cos = o bendrasis integralas cos lgus = C. = Antrosios eilės paprasčiausiųjų diferencialinių lgčių sprendimas ) Rasime lgties '' = atskirąjį sprendinį, tenkinantį pradines sąlgas () =, ' () = 0. d ' = '' d = = + C Pritaikę pradinę sąlgą '() = 0, gauname 0 = + C C =. Taigi, ' = +. Integruodami šią lgtį su atskirais kintamaisiais, gauname: d d d = + d d = + d = ln + + C 4
Pritaikę pradinę sąlgą () =, gauname = ln + + C C = 0. Tuomet = ln +. ) Rasime lgties ' ' = ln atskirąjį sprendinį, tenkinantį pradines sąlgas () =, ' () = 0. 4 ' = '' d = ln d. Integruojame dalimis: = ln d ln = ln d = ln C. + ' Pritaikę pradinę sąlgą '() = 0, gauname 0 = ln + C C =. Taigi, ' = ln +. Integruodami šią lgtį su atskirais kintamaisiais, gauname: d = ( ln + ) d d = ln d d + d. Integralą ln d integruojame dalimis: ln d = ln d( ) = ln d ln = ln + C. 4 Toliau integruodami, gauname: = ln + + C 4 Pritaikę pradinę sąlgą () =, gauname 4 = ln + + C C = 0. 4 4 Tuomet = ln +. 4 44
) Rasime lgties '' + ' = + atskirąjį sprendinį, tenkinantį pradines 5 5 sąlgas () =, ' () =. 4 Lgtje nėra funkcijos, todėl keičiame kintamąjį pagal lgbę z = '. Tuomet z ' = ' '. Įstačius į lgtį, gauname: z ' + z = +. Tai tiesinė lgtis, atliekame pakeitimą z = uv, z ' = u' v + uv' ir įstatome į lgtį: ' ' ' ' = + v u v + uv + uv = + u v + u v +. v Sprendžiame lgtį v ' + = 0. dv d = ln v = dv d = ln. v v Imame v = ir statome į lgtį: u' = + u' = + du = ( + ) d du = ( + ) d ( + ) d( + ) ( + ) u = u = + C ( + ) C Tuomet z = uv = +. ( + ) C Iš čia ' +. gauname: 5 4 ( + ) = + C C = ir ' = +. 45 = Pritaikę pradines sąlgas '() =, 5
Tai lgtis su atskiriamais kintamaisiais: ( + ) d d = d +. d d = + d + d + = ln + + + C. 4 d Pritaikę pradinę sąlgą (), 5 = ln+ + + C C = 0. 4 4 Tad = ln + +. 4 5 = gauname 4 ' 4) Rasime lgties ' ' ' = + ln atskirąjį sprendinį, tenkinantį pradines sąlgas () =, ' () = e. Lgtje nėra funkcijos, todėl keičiame kintamąjį pagal lgbę z = '. Tuomet z ' = ''. Įstačius į lgtį, gauname: z z z ' = + ln. z Tai homogeninė lgtis, atliekame pakeitimą u =, z = u, z ' = u' + u ir įstatome į lgtį: u ' + u = u + u ln u u' = u ln u. Tai lgtis su atskiriamais kintamaisiais: 46
du u ln u = d du d d ln u d = = ln ln u = ln + u ln u ln u ln C. Imame ln, C u = C u = e, tada ' = z = u = e C. Pritaikę pradines sąlgas '() = e, gauname: C e = e C =. Tad ' = e. ai lgtis su atskiriamais kintamaisiais: d = e d d = e d = e d. Išintegruojame dalimis: = e d = e e d = e e + C. Pritaikę pradinę sąlgą () =, gauname = e e + C C =. Tad = e e +. 5) Rasime lgties '' = 7 atskirąjį sprendinį, tenkinantį pradines sąlgas ( ) =, ' ( ) = 6. Lgtje nėra nepriklausomojo kintamojo, todėl keičiame nežinomąją funkciją pagal dp lgbę = p'. Tuomet '' = p. Įstačius į lgtį, gauname: d dp p = 7. d Šioje lgtje atskiriame kintamuosius ir integruojame: 47
4 p C 4 pdp = 7 d = 7 + p = 6 + pdp = 7 d C. 4 Pritaikę pradines sąlgas ( ) =, p = ' ( ) = 6, randame konstantą C : 6 = 6 + C C = 0. 4 Tad ' = 6. Atsižvelgę, kad ir ra teigiamos, gauname: ' = 6. Tuomet: d d d = 6, = 6d = 6 d = 6 + C d = 6 + C Pritaikę pradinę sąlgą ( ) =, C =. Tuomet =. 6. gauname =, iš kur + C 6) Rasime lgties '' = + ' atskirąjį sprendinį, tenkinantį pradines sąlgas ( 0 ) =, ' ( 0) =. Lgtje nėra nepriklausomojo kintamojo, todėl keičiame nežinomąją funkciją dp pagal lgbę = p'. Tuomet '' = p. Įstačius į lgtį, gauname: d dp p = + p. d Šioje lgtje atskiriame kintamuosius ir integruojame: 48
pdp = ( + p ) d p + p d dp = pdp + p d( + p ) d = + p pdp d d( + p ) d = = ln( + p ) + p + p = ln + ln C + p = C. Pritaikę pradines sąlgas ( 0 ) =, p = ' ( 0) =, = d = randame konstantą C : + = C C =. Tad ' = ' =. Integruodami gauname: d = d d d = d = = d d = + C. Pritaikę pradinę sąlgą ( 0 ) =, Tuomet = + = ( + ) gauname = C C. = + + = ( ). ( ) d 49