Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila y este egala cu 6y 3 Derivata partiala la lui i raport cu variabila este egala cu 4 Derivata partiala a lui i raport cu variabila y este egala cu 5 Se cosidera fuctia Atuci puctele statioare(umite deasemeea pucte critice) ale lui f(, sut (0,0) (1,1,),(0,0) (1,0),(0,1) u eista pucte statioare 6 Se cosidera fuctia Atuci puctele statioare(umite deasemeea pucte critice) ale lui f(, sut (0,0) (1,) (1,),(0,0) u eista pucte statioare 7 Se cosidera fuctia Atuci puctele statioare(umite deasemeea pucte critice) ale lui f(, sut (0,0) (,3) (,3),(0,0) u eista pucte statioare 8 Se cosidera fuctia Atuci puctul (-,-) este u puct de miim local petru f(, u este puct de etrem local
de maim local petru f(, 9 are di urmatoarele fuctii are o o ifiitate de pucte statioare f(,=+y f(,=+y f(,=si() 10 Se cosidera fuctia Atuci puctul (-5,-) este u puct de miim local petru f(, de maim local petru f(, u este pucte de etrem local 11 Sa se calculeze derivatele partiale de ordiul itai petru urmatoarea fuctie: f = + y y / / f = ( + f = ( y / / f = ( f = ( + y f = ( + f = ( / / alt raspus y 1 Scrieti diferetiala de ordiul itai a fuctiei 1 1 f = ( y 1) + y + + 13 Se da fuctia de doua variabile f = y + y 3 + 3y Derivata partiala de ordiul al doilea a lui f i raport cu este: ( ) f, y = f ( ), y = 1 ( ) f, y = 0 ( ) f, y = 14 Se da fuctia de doua variabile f = y + y 3 + 3y Alege valoarea corecta petru f y fy y ) = 0 y (, ) f u eista f ( ) y f y = y y, y = 1
15 Se da fuctia de doua variabile f = ( 1) + ( y + 6) Fuctia are puct statioar pe: M(1,-6) M(0,0) M(-1,6) M(1,0) 16 Fie f(, = 10 + 4y + y + 400, >0, y >0 Derivatele partiale de ordi I sut: y ' 400 f = 10 + y y ' 400 f y = 4 + y f ' y ' f = 10 + 4y + 400 = 10 + y + y ' 400 f = 10 + y + y ' 400 f y = 4 + + y ' 400 f = 10 + y + y ' 400 f y = 4 + + y 17 Fuctia f (,= arctg( + ) verifica y f ' (, + f ' y (, = 0 y f ' (, - f ' y (, = 0 f ' (, + f ' y (, = 0 f ' (, - yf ' y (, = 0 18 Se da fuctia de doua variabile f = y Diferetiala de ordiul I a lui f este df = d + dy df = yd + dy df = d + dy df = yd + dy 19 Se da fuctia de doua variabile f = + y Diferetiala de ordiul I a lui f este
df = d + y dy df = 0 df = d + dy df = d + ydy 0 Petru fuctia, puctul M(5,) este puct sa puct de maim local puct de miim local 1 alculeaza ( evetual folosid proprietatile itegralelor euleriee ) Aria domeiului pla margiit de curbele si, este: 3 Se cosidera ude Valoarea lui I este:
4 Valoarea itegralei duble, ude, este 1 3 4 5 Pri calcul direct sau folosid formula lui Gree rezulta ca itegrala ude, cu si este egala cu 6 Valoarea itegralei, ude este 0 1 3 7 Sa se calculeze, ude
8 Folosid o schimbare de variabila adecvata, sa se calculeze itegrala dubla, ude este domeiul margiit de elipsa 9 alculeaza itegrala 30 alculeaza itegrala
31 Fie si Sa se calculeze S e 3 Ecuatiile curbelor care delimiteaza domeiul pe care se calculeaza itegrala dubla sut 33 Schimbati ordiea de itegrare i itegrala dubla alt raspus 34 Fie ude, Valoarea lui este 0
35 Fie, ude Valoarea lui este 36 Fie Valoarea lui I este 37 Valoarea itegralei curbiliii de tipul al doilea, ude este 0
38 Valoarea itegralei curbiliii de tipul al doilea, ude este 39 Fie itegrala curbiliie de tipul al doilea, ude este curba simpla si rectificabila care are ca imagie portiuea di parabola, cuprisa itre puctele si, care are primul capat i B Valoarea ei este 40 Fie ude este coturul dreptughiului ale carui varfuri sut Valoarea lui I este 3 4 41 alculeaza, ude este circumferita, 4 Sa se studieze atura seriei aplicad criteriul radaciii rezulta ca seria este covergeta aplicad criteriul raportului rezulta ca seria coverge aplicad criteriul lui Leibiz rezulta ca seria este covergeta aplicad criteriul de comparatie asimptotica rezulta ca seria diverge deoarece are aceeasi
atura cu 43 Sa se studieze atura seriei aplicad criteriul itegral al lui auchy rezulta ca seria este divergeta aplicad criteriul lui Leibiz, rezulta ca seria este covergeta seria este divergeta deoarece u verifica criteriul ecesar de covergeta al lui auchy 44 Seria geometrica 3 = 1 ( 1) 1 are suma are suma este divergeta alt raspus 1 45 alculeaza lim tg 1 + 0 1 46 Seria π arcsi cu termeul geeral a = arcsi =1 a a este divergeta deoarece lim + 1 > 1 este covergeta deoarece lim + 1 > 1 a a a a este divergeta deoarece lim + 1 < 1 este covergeta deoarece lim + 1 < 1 a a π 47 Seria ( 1) = 1 + 5 + este divergeta, deoarece termeul geeral u tide la 0 este covergeta, di criteriul radicalului este covergeta, di criteriul lui Leibiz alt raspus 48 Suma seriei 1 este: = 1 ( + 1) 1 0 e
49 Fie o serie covergeta de umere reale Atuci =1 lim = 0 seria este absolut coverget seria este semicovergeta 50 alculeaza 0 51 alculeaza 0 1 5 alculeaza 0 ( ) 3 f, y = + y 53 Fie fuctia f : R R, data pri Atuci lim f = 10 lim f = 8 ( 1,3) ( 1,3) lim f = 10 f(, este discotiua pe ( 1,3) R 54 Fie f are i u puct de miim f are i u puct de maim maimul fuctiei f se atige la miimul fuctiei f se atige i 0 e f are i u puct de ifleiue 1 55 Fie f : (0, ) R data pri f ( ) = si fie u umar atural eul Atuci:
( ) + 1 f ( ) = ( 1)! petru orice R ( ) f ( ) = ( 1) ( + 1)! petru orice R f este derivabila de doua ori si u este derivabila de trei ori 56 alculeaza 0 1 57 Sa se determie astfel icat fuctia sa fie cotiu ude 0 1 58 Sa se determie astfel icat fuctia sa fie cotiua, ude si 1 a-1 a 59 Se cosidera fuctia, Derivata sa este 60 Se cosidera fuctia, Atuci
61 Se cosidera fuctia Derivata sa este 6 Alegeti relatia corecta 63 Se cosidera fuctia, Derivata sa este 64 Se cosidera fuctia,, Derivata sa este 65 Se cosidera fuctia, Derivata sa este 66 Valoarea itegralei este
l4+l3 l6 1 67 Valoarea itegralei este a 4a 6a 68 Valoarea itegralei este 69 Valoarea itegralei este - 0 70 Valoarea itegralei este 71 Fie sirul defiit pri
sirul este crescator sirul este crescator petru termeii pari sirul este descrescator sirul este crescator petru termeii impari e sirul u este mooto 7 alculeaza itegrala 73 alculeaza itegrala 74 Fie, si fie puctele M 3,1 +, M + 3,1 M1 ( 3,1 ), ( ) 3 ( ) M 4 ( + 3,1 + ), M 5 (,1 ), M 6 (,1 + ) Atuci M 1 este puct sa, M5 este puct de miim local M3 este puct de miim local, M5 este puct de miim local este puct sa, este puct de maim local alt raspus 75 Sa se completeze urmatoarea teorema cu cocluzia corect Fie, u domeiu simplu i raport cu ua di ae si fie u drum simplu, ichis, de clasa pe portiui, pozitiv orietat (sesul de parcurgere pe lasa domeiul D i staga), a carui imagie este frotiera topologica a lui D Fie G o multime deschisa astfel icat si fie fuctiile, derivabile cu derivatele cotiue Atuci
76 Se cosidera fuctiile f, f : I R R, N 猧 rul ( f ) N este simplu coverget pe I catre fuctia f daca si umai daca e ε > N astfel icat N,, f ( ) f ( ) 0, I, ε, 0, I, ε, < ε ε, ε ε > 0, I, ε, N astfel icat N, ε,, f ( ) f ( ) ε > N astfel icat N,, f ( ) f ( ) < ε ε, < ε ε > 0, I, ε, N astfel icat N, ε,, f ( ) f ( ) ε > 0, I, ε N astfel icat N, ε, f ( ) f ( ) < ε 77 Se cosidera sirul de fuctii 猧 rul ( f ) N ( ) f N, [ ) ( ) [ ) f : 1, + R, f =, 1,, + + N este uiform coverget, iar limita sa este o fuctie cotiua u este uiform coverget este simplu coverget, iar limita sa este o fuctie cotiua u este simplu coverget e este uiform coverget, iar limita sa u este o fuctie cotiua 78 Multimea de covergeta M a seriei de fuctii M =R \{ 0} M c = M = (, 1] 1 1, 0, este!
M = (, 1] [ 1, + ) e M = [ 1, + ) 79 Multimea de covergeta M a seriei de puteri M =R 3 1 M =,, + 3 M =, 3 1 M =, e 1 M =, + ( + 1) este 1 ( 3 + 1) arctg 80 Folosid defiitia covergetei uei itegrale improprii, obtiem ca itegrala 0 d 1+ este covergeta si egala cu 0 este covergeta si egala cu 1 este divergeta π este covergeta si egala cu 8 e π este covergeta si egala cu 4