ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κατεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ κτεύθυνσης Β ΛΥΚΕΙΟΥ Συνοπτικη θεωρι με ποδειξεις Λυμεν θεμτ γι εξετάσεις Θέμτ πό εξετάσεις Βγγέλης Α Νικολκάκης Μθημτικός

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ENOTHTA ΘΕΜΑ ΣΕΛΙΔΕΣ ΤΥΠΟΛΟΓΙΑ-ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ-ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ -5 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 6-5 ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 55-69 ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το πρόν e-book φτιάχτηκε γι ν προσφέρει λίγη βοήθει στους μθητές της Β Λυκείου, γι τις εξετάσεις Μίου Ιουνίου 0,λλά κι γι τους ξιότιμους κ.κ. συνδέλφους που θέλουν ν οργνώσουν τις επνλήψεις τους. Επειδή η θεωρί των μθημτικών κτεύθυνσης της Β Λυκείου έχει μεγάλη έκτση κι δυσκολεύει τους μθητές, τον πρόν έχει εμπλουτιστεί,σε σχέση με τ άλλ τετράδι επνάληψης,με τυπολόγι,επισημάνσεις θεωρίς κλπ. Οι ενότητες φορούν την διδκτέ κι εξετστέ ύλη 0-0 Τονίζω όμως πό τη θέση υτή,ότι το πρόν δεν ντικθιστά το σχολικό βιβλίο. Απλά προσφέρει την δυντότητ γι μι γρήγορη επνάληψη. Στην ενότητ δίνετι η δυντότητ γι μι κλή επνάληψη θεωρίς : Mελετώντς τις επισημάνσεις θεωρίς κι τις ποδείξεις κι. στη συνέχει πντώντς σε όλες τις ερωτήσεις Στην ενότητ δίνοντι λυμένες οι σημντικότερες σκήσεις Στην ενότητ δίνοντι θέμτ πό εξετάσεις ΠΗΓΕΣ ΘΕΜΑΤΟΓΡΑΦΙΑ-ΑΡΧΕΙΟ (Βγγέλη Α Νικολκάκη) Τσόπελς Γιάννης (Ερωτήσεις Θεωρίς) Κρδμίτσης Σπύρος (Αποδείξεις Θεωρίς) Θέμτ εξετάσεων (Από το ρχείο του κ.βσιλά Νικολάου) Ανστάσιος Μπάρλς (Μθημτικά Κτεύθυνσης Β Λυκείου) Βσίλης Ππδάκης (Μθημτικά Κτεύθυνσης Β Λυκείου) MATHEMATICA (επνληπτικά θέμτ ) Υ.Γ. Κάθε κριτική, σχόλιο,πρτήρηση ή διόρθωση είνι ευπρόσδεκτη. Με εκτίμηση Βγγέλης Α Νικολκάκης vaggelisnikolakakis@hotmail.com Τηλ 697000

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ -ΕΠΙΣΥΜΑΝΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ-. Ορισμοί : ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ομόρροπ : έχουν ίδι διέυθυνση κι ίδι φορά. (ίδι κτέυθυνση) Αντίρροπ : έχουν ίδι διέυθυνση κι ντίθετη φορά. (ντίθετη κτεύθυνση) Ίσ :έχουν ίδι κτέυθυνση κι ίσ μέτρ. Αντίθετ : έχουν ντίθετη κτέυθυνση κι ίσ μέτρ. Μηδενικό: το διάνυσμ όπου η ρχή κι το πέρς συμπίπτουν.(το μέτρο του είνι μηδέν.). Γωνί δύο δινυσμάτων, : λέγετι η θετική κι κυρτή γωνί που σχημτίζουν ότν τ κτστήσουμε ν έχουν κοινή ρχή Συμβολίζουμε με (, ) ή (, ) ή γενικά θ με 0 0 θ 80 0 π.χ. στο σχήμ με κοινή ρχή Ο πίρνουμε Ειδικές περιπτώσεις: Τ ομόρροπ δινύσμτ σχημτίζουν γωνί 0 0 π.χ. Αν τότε θ=0 0 Τ ντίροπ δινύσμτ σχημτίζουν γωνί 80 0 π.χ. Αν τότε θ=80 0 Αν θ=90 0 τ δινύσμτ λέγοντι κάθετ ή ορθογώνι π.χ. Αν θ=90 0 τότε u v Θεωρούμε ότι το μηδενικό διάνυσμ 0 σχημτίζει οποιδήποτε γωνί θ (0 0 θ 80 0 ) με κάθε άλλο διάνυσμ. Πράξεις δινυσμάτων : πρόσθεση : ( ) ( ) 0 ( ) 0 φίρεση: AB A ( )

πολλπλσισμός ριθμού με διάνυσμ: ( ) κι ( ) ( ) κι ( ) 0 0 ή 0 ( ) ( ) ( ) κι ( ) ( ) ( ) Αν κι 0 τότε Αν κι 0 τότε λ=μ. Δινυσμτική κτίν μέσου τμήμτος: ΟΑ+ΟΒ ΟΜ= ΟΑ+ΟΒ ΟΜ Ο Α Μ Β. Συντετγμένες δινύσμτος: Πράξεις: (, )+(, )=( +, + ) λ (, )= (λ, λ) Συντετγμένες μέσου τμήμτος: κι Συντετγμένες δινύσμτος ( ότν τ άκρ είνι γνωστά) Αν Α(, ) κι B(, ) τότε AB, ) Πρτηρήσεις: ( Αν // τότε = (0, ) ( το διάνυσμ έχει τετμημένη 0) Ζητούμε τις συντετγμένες (,) σημείου Εκφράζουμε τη σχέση που δίνετι, ή κάποι άλλη γνωστή με συντετγμένες κι με χρήση ιδιοτήτων κι πράξεων (συνήθως πό σύστημ) βρίσκουμε τ, Αν // χ χ τότε = (, 0) ( το διάνυσμ έχει τετγμένη 0) Μέτρο δινύσμτος: a AB ( ) ( ) 5. Συντελεστής διεύθυνσης δινύσμτος: Αν // ' τότε λ=0 Αν // ' τότε ο λ δεν ορίζετι 6. Πράλληλ δινύσμτ: // det(, ) = =0 ΠΡΟΣΟΧΗ Αν οι συντελεστές διεύθυνσης είνι ίσοι τότε τ δινύσμτ είνι πράλληλ

// // // 7. Συνευθεικά σημεί: Α,Β, Γ συνευθεικά ν // ή // ή // με οποιονδήποτε πό τους πρπάνω τρόπους. 8. Εσωτερικό γινόμενο: (, ) 0 κι κι ( ) ( ) κι ( ) ( ) 9. Γωνί δινυσμάτων: ή 0. Προβολή δινύσμτος:. ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Δεν ισχύουν ) Η προσετιριστική ιδιότητ: δηλδή: (β γ ) ( β) γ β) Ο νόμος της διγρφής: δηλδή: γ β γ β (δεν διγράφετι το ) γ) Η ιδιότητ μέτρου γινομένου δηλδή: β β δ) Η ιδιότητ δύνμης γινομένου: δηλδή: ( β) β ε) Οι τυτότητες με περιττές δυνάμεις: δηλδή: (+β) + β+ β +β ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω το διάνυσμ Δίνετι έν διάνυσμ ΟΑ ΟΒ ισχύει: ΟΜ Γι τη δινυσμτική κτίν ΑΒ κι Μ το μέσο του, ν ποδείξετε ότι γι έν σημείο Ο νφοράς AB κι έν σημείο νφοράς Ο. OM του μέσου Μ του τμήμτος ΑΒ 5

έχουμε: OM OA AM κι OM OB BM. Επομένως, OM OA AM OB BM Α Μ OM OA OB Άρ Ο Β Σε σύστημ νφοράς O δίνετι τ σημεί Α(, ) κι Β(, ) κι Μ το μέσο του ΑΒ. Αν είνι ΟΑ = κι ΟΒ = β, ν ποδείξετε ότι οι συντετγμένες του μέσου Μ του δινύσμτος ΑΒ είνι: = κι = ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας θεωρήσουμε δύο σημεί (, ) κι (, ) του κρτεσινού επιπέδου κι Μ (, ) είνι οι συντετγμένες του μέσου του ΑΒ. OM (OA OB) B(, ) Είνι OM (, ), OA (, ), OB (, ) Τότε έχουμε ισοδύνμ OM (OA OB) (, ) [(, ) (, )] (, ) [(, ) (, )] (, ) =, Επομένως ισχύει Ο κι Μ(,) A(, ) Ν ποδείξετε ότι οι συντετγμένες (, ) ενός δινύσμτος με άκρ τ σημεί Α(, ) κι Β(, ) δίνοντι πό τις σχέσεις: = κι =. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω δύο σημεί, ) κι, ) του κρτεσινού επιπέδου κι ς υποθέσουμε ότι (, ) είνι οι ( ( συντετγμένες του δινύσμτος AB. Είνι: AB (, ), OB (, ), κι OA (, ), B(, ) Τότε έχουμε ισοδύνμ: AB OB OA A(, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) Άρ = κι =. Ο 6

Έστω έν διάνυσμ = (,), ν ποδείξετε ότι το μέτρο του είνι:. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω OA (, ) έν διάνυσμ του κρτεσινού επιπέδου. Το σημείο Α έχει τετμημένη κι τετγμένη, κι ισχύει ( ) κι ( ). Έτσι θ έχουμε: ( ) ( ) Α a A(,) Άρ ( ) (. ) Ο A N ποδείξετε ότι η πόστση των σημείων Α( 5, ) κι Β(, ) είνι (ΑΒ) = ( ) ( ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Θεωρούμε δύο σημεί (, ) κι (, ) του κρτεσινού επιπέδου. Επειδή η πόστση ( ) των σημείων Α κι Β είνι ίση με το μέτρο του δινύσμτος AB (, ), έχουμε: A(, ) B(, ) ) ( ) ( ) AB ( Ο 6 Ν ποδείξετε την ισοδυνμί // β λ = λ όπου λ, λ είνι οι συντελεστές διεύθυνσης των δινυσμάτων, β ντίστοιχ.. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω δύο δινύσμτ (, ) κι (, ) με συντελεστές διεύθυνσης κι ντιστοίχως. Τότε έχουμε τις ισοδυνμίες: // 0 Ν ποδείξετε ότι το εσωτερικό γινόμενο δύο δινυσμάτων είνι ίσο με το άθροισμ των 7 γινομένων των ομώνυμων συντετγμένων τους. Δηλδή. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω τ δινύσμτ, ) κι ( (, ) Με ρχή το Ο πίρνουμε τ δινύσμτ OA κι OB. Από το νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο ΟΑΒ έχουμε: ( ) ( ) ( ) ( )( ) συν () Β(, ) θ Ο a Α(, ) 7

η οποί ισχύει κι στην περίπτωση που τ σημεί Ο, Α, Β είνι συνευθεικά. Όμως είνι ( ) ( ) ( ), ( ) κι ( ) Επομένως, πό την () σχέση έχουμε διδοχικά: ( ) ( ) άρ Ν ποδείξετε ότι: 8 i) λ = ( ) =λ( ) ii) ( ) = + iii) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Θεωρούμε τ δινύσμτ, ),, ) κι, ), τότε έχουμε: ( ( ( i) ( ) (, )(, ) ( ) ( ) ( ) ( ) κι ( ) (, )(, ) ( ) ( ) ( ) ( ). Άρ, ( ) ( ) ( ) ii) ) (, )(, ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) (. iii) 0 0 ) 9 Αν, είνι δύο δινύσμτ κι θ η γωνί των δύο υτών δινυσμάτων, τότε ν ποδείξετε ότι συνθ= ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν (, ) κι (, ) είνι δύο μη μηδενικά δινύσμτ του επιπέδου που σχημτίζουν γωνί θ, τότε συν. Είνι όμως, Επομένως η πρπάνω σχέση γίνετι: συν κι 8

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι γνωρίζετε γι την γωνί δύο δινυσμάτων ;.Τι λέγετι μέτρο του δινύσμτος AB ;Ποιο διάνυσμ λέγετι μονδιίο;.τι λέγετι φορές του δινύσμτος AB ; Πότε δύο µη µηδενικά δινύσµτ AB κι λέγοντι πράλληλ ή συγγρµµικά ; Πως τ συμβολίζουμε ;. Πότε δύο µη µηδενικά δινύσµτ AB κι λέγοντι ομόρροπ κι πότε ντίρροπ ; Πως τ συμβολίζουμε ; 5 Πότε δύο µη µηδενικά δινύσµτ AB κι λέγοντι ίσ κι πότε ντίθετ ; Πως τ συμβολίζουμε ; 6. Ν ποδειχθεί ότι: AB OB OA 7. Συμπληρώστε τ κενά : AB = - AB =. ΑΒΓΔ πρλληλόγρμμο A =. Μ μέσο ΑΒ A... 8. Αν, β, γ τρι δινύσμτ ν δείξετε ότι : +β β+ [Αντιμετθετική] + β γ β + γ [Προσετιριστική] +0 + - 0 [Ουδέτερο στοιχείο] [Συμμετρικό Στοιχείο] 9. N ποδείξετε ότι το μέτρο του δινύσμτος =(, ) είνι ίσο µε 0. N ποδείξετε ότι η πόστση των σημείων Α(, ) κι Β(, ) είνι AB. Ν νφέρετε κι ν ποδείξετε την μέγιστη κι την ελάχιστη τιμή της πράστσης β. Συμπληρώστε τ κενά : ) ( λ μ ) =. ε) Αν λ = μ κι 0 τότε.. β) λ( β ) = στ) λ = 0. γ) λ(μ ) = ζ) (-λ ) = λ(- ) = -(λ ) δ)αν λ = λ β κι λ0 τότε.. Τι λέγετι γρμμικός συνδυσμός των δινυσμάτων, β.. Αν, β δύο δινύσμτ με β 0 με λ β ποι η σχέση μετξύ τους ( λ R ); 9

5. Ορίστε κι ποδείξτε την δινυσμτική κτίν του μέσου ενός τμήμτος. 6. Ποιες είνι οι συντετγμένες του μέσου ενός τμήμτος ; 7. Αν (, ), ποδείξτε ότι : 8. Έστω =,, β=,. Συμπληρώστε τ κενά : = β κι. + β = (, ) = (, ) + β = (, ) 9. Αποδείξτε ότι έν διάνυσμ γράφετι ως γρμμικός συνδυσμός των δινυσμάτων i, j. 0. Ποιες είνι οι συντετγμένες δινύσμτος με γνωστά άκρ ; (πόδειξη). Ποι η συνθήκη πρλληλίς δινυσμάτων ν είνι εκφρσμέν με συντετγμένες. Πως ορίζετι ο συντελεστής διεύθυνσης δινύσμτος κι τι ιδιότητες έχει;. Πως ορίζετι το εσωτερικό γινόμενο δύο δινυσμάτων;. Αν β 0 τότε πάντ ισχύει β ; 5. Συμπληρώστε τ κενά : β=... Αντιμετθετική Ιδιότητ β= β... β=- β... β=0... =...=... 6. Αν β 0 ή β 0 ποιες οι σχετικές θέσεις των δύο δινυσμάτων; 7. Αποδείξτε την νλυτική έκφρση του εσωτερικού γινομένου. 8. Ν ποδείξετε τις πρκάτω ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου : β±γ β γ Επιμεριστική Ιδιότητ β λ β λβ β λλ =- (,β όχι πράλληλ με τον ) β 9. Πως ορίζετι το συνημίτονο της γωνίς δύο δινυσμάτων; 0. Αποδείξτε ότι : β προβ β όπου προβ β η προβολή του β πάνω στο 0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ- ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. Εξισώσεις ευθείς Η ευθεί που διέρχετι πό το σημείο Α( 0, 0 ) κι έχει συντελεστή διεύθυνσης λ, έχει εξίσωση: - 0 = λ(- 0 ) ε M(,) A(, ) 0 0 φ Ο Η μη κτκόρυφη ευθεί που διέρχετι πό τ σημεί Α(, ) κι Β(, ), έχει εξίσωση: ( ) ε A(, ) φ Ο B(, ). Ειδικές περιπτώσεις: Εξίσωση ευθείς που τέμνει τον στο σημείο Α(0,β): =λ+β Εξίσωση ευθείς που διέρχετι πό την ρχή των ξόνων: =λ Εξίσωση κτκόρυφης ευθείς που διέρχετι πό το σημείο Α( o, o ) (// ) = o Εξίσωση πράλληλης προς τον ευθείς που διέρχετι πό το σημείο Α( o, o ) = o Πρτήρηση:Οι διχοτόμοι του πρώτου κι δεύτερου τετρτημορίου έχουν εξισώσεις = κι =- ντίστοιχ.. Προσδιορισμός Εξίσωσης ευθείς: Γι ν βρούμε την εξίσωση μις ευθείς ρκεί ν γνωρίζουμε τον συντελεστή διεύθυνσης ( λ ) κι έν σημείο πό το οποίο διέρχετι ( o, o )..οπότε - o = λ ( - o ). Προσδιορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς..που: Είνι πράλληλη σε άλλη γνωστή ευθεί. // Είνι πράλληλη σε γνωστό διάνυσμ (, ) // (Θυμάμι: ) Είνι κάθετη σε άλλη γνωστή ευθεί: Βρίσκουμε την εξίσωση ευθείς ότν. Γνωρίζουμε έν σημείο της ευθείς κι τον συντελεστή διεύθυνσής της ή Γνωρίζουμε δύο σημεί της

Είνι κάθετη σε γνωστό διάνυσμ (, ) Διέρχετι πό γνωστά σημεί Α(, ) κι Β(, ) Σχημτίζει γωνί ω με τον : Aν // ' τότε 0 Αν // ' τότε δεν ορίζετι συντελεστής διεύθυνσης. 5. Γενική μορφή εξίσωσης ευθείς: A B 0 με 0 ή 0 με συντελεστή διεύθυνσης: ( 0) Aν 0 τότε η ε τέμνει τον άξον στο σημείο ( 0, ) Αν Β=0 τότε η εξίσωση γίνετι Πρτηρήσεις: Η ευθεί με εξίσωση Α+Β+Γ=0 είνι πράλληλη στο διάνυσμ (, ). Η ευθεί με εξίσωση Α+Β+Γ=0 είνι κάθετη στο διάνυσμ n ( A, B). Αν γνωρίζουμε την κλίση λ μπορούμε ν βρούμε την γωνί πό την σχέση εφω=λ. Ο συντελεστής διεύθυνσης μις ευθείς ε μπορεί ν βρεθεί έμμεσ: Από μι ευθεί πράλληλη στην ε ή πό μι ευθεί κάθετη στην ε Θέτοντς στην εξίσωση της ευθείς: =0, βρίσκουμε την τομή της με τον =0, βρίσκουμε την τομή της με τον χ χ ΧΡΗΣΙΜΑ Τρί σημεί είνι συνευθεικά ότν το έν νήκει στην ευθεί που ορίζουν τ άλλ δύο 6. Απόστση σημείου Μ ο ( o, o ) πό ευθεί ε: Α+Β+Γ=0: Ao Bo d( M o, ) 7. Εμβδόν τριγώνου: Με κορυφές τ σημεί Α(, ),B(, ) κι Γ (, ): ( AB) det( AB, A) ή ( AB) det( BA, B) ( AB) 8. Απόστση πράλληλων ευθειών: ή det(, ) Αν ε : = λ + β κι ε : = λ + β τότε d(, )

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ν ποδείξετε ότι ο συντελεστής διεύθυνσης λ μις ευθείς που διέρχετι πό τ σημεί A(, ) κι B(, ), με είνι λ. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω δύο τυχί σημεί A(, ) κι B(, ) μις ευθείς (ε) που δεν είνι κάθετη στον άξον. τότε ο συντελεστής διεύθυνσης λ της ευθείς (ε) ε B(, ) είνι ίσος με το συντελεστή διεύθυνσης του δινύσμτος Α(, ) AB ( -, - ), Ο δηλδή λ = AB = - -. Άρ λ = - - Σε σύστημ συντετγμένων Ο δίνετι ευθεί (ε) με συντελεστή διεύθυνσης λ κι έν σημείο της Α( o, o ). Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείς (ε) είνι - o = λ( - o ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω O έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι A( 0, 0 ) έν σημείο του επιπέδου. Έστω έν δεύτερο σημείο M (, ) διφορετικό του A( 0, 0 ) της ευθείς ε Είνι AM, ) κι ( 0 0 Ισχύουν οι ισοδυνμίες: λ AM AM // ε, 0 0 AM = 0 0 ( ). 0 0 Η τελευτί εξίσωση επληθεύετι κι πό το σημείο A( 0, 0 ). Άρ η εξίσωση της ευθείς ε είνι: o = λ( o ) Ο Α( 0, 0 ) ε M(,) Ν ποδείξετε ότι ε η ευθεί που διέρχετι πό τ σημεί A(, ) κι B(, ) έχει εξίσωση ( ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω δύο τυχί σημεί A(, ) κι B(, ) της ευθείς (ε)

Αν, τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείς είνι 0 ( 0 κι επομένως η εξίσωση ) γίνετι: ( ) Ο ε B(, ) Α(, ) N ποδείξετε ότι κάθε ευθεί του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής Α+B+Γ=0 με Α0 ή Β0 κι ντιστρόφως, κάθε εξίσωση της μορφής Α+B+Γ=0 με Α0 ή Β0 πριστάνει ευθεί γρμμή ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω ε μι ευθεί στο κρτεσινό επίπεδο. Αν η ευθεί ε τέμνει τον άξον στο σημείο ( 0, ) κι έχει συντελεστή διεύθυνσης λ, τότε θ έχει εξίσωση, η οποί γράφετι ( ) 0 Σ(0,β) Ο Αν η ευθεί ε είνι κτκόρυφη κι διέρχετι πό το σημείο P(, ) 0 0, ε ε τότε θ έχει εξίσωση 0, η οποί γράφετι ισοδύνμ P( 0, 0 ) 0 ( 0 ) 0. Επομένως κι στις δύο περιπτώσεις η εξίσωση της ευθείς ε πίρνει τη μορφή Ο A B 0 με A 0 ή B 0. Αντίστροφ, έστω η εξίσωση A B 0 με A 0 ή B 0. A Αν B 0, τότε η εξίσωση γράφετι, που είνι εξίσωση ευθείς με συντελεστή διεύθυνσης B B A κι η οποί τέμνει τον άξον στο σημείο 0,. B B Αν B 0, τότε, λόγω της υπόθεσης, είνι A 0 κι η εξίσωση γράφετι, που είνι εξίσωση A ευθείς κάθετης στον άξον στο σημείο του P,0. A Άρ σε κάθε περίπτωση η εξίσωση A B 0 με A 0 ή B 0 πριστάνει ευθεί.

5 Ν ποδείξετε ότι η ευθεί με εξίσωση A B 0 είνι πράλληλη στο διάνυσμ ( B, A). ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω ε μι ευθεί με εξίσωση A B 0 κι διάνυσμ ( B, A) A Αν B 0, τότε η ε έχει συντελεστή διεύθυνσης κι το διάνυσμ B τους είνι ίσοι τότε η ευθεί είνι πράλληλη με το διάνυσμ. A. Επειδή οι συντελεστές B Αν B 0, τότε η ε κι το διάνυσμ είνι πράλληλ προς τον άξον επομένως κι μετξύ τους πράλληλ. 6 Ν ποδείξετε ότι η ευθεί με εξίσωση Α + B + Γ = 0 είνι κάθετη στο διάνυσμ n ( A, B) ΑΠΟΔΕΙΞΗ Είνι δ n ( B, A) ( A, B) AB AB 0 Επομένως το διάνυσμ δ ( B, A) είνι κάθετο στο διάνυσμ n ( A, B). Επειδή το διάνυσμ είνι πράλληλο με την ευθεί A B 0, η ευθεί υτή θ είνι κάθετη στο διάνυσμ n ( A, B) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονομάζουμε γωνί ω της ευθείς (ε) με τον ; Ποιες τιμές πίρνει η γωνί ω ;. Τι ονομάζουμε συντελεστή διεύθυνσης της ευθείς (ε) ; Όλες οι ευθείες έχουν συντελεστή διεύθυνσης ;. N ποδείξετε ότι : (ε) // =(, ), (0) λ ε λ.δείξτε ότι : ε // ε λ = λ ε ε ε ε λ ε λε 5. Υπάρχουν δύο ευθείες ε, ε με συντελεστές διεύθυν-σης λ, λ ντίστοιχ γι τις οποίες ισχύει συγχρόνως λ = λ κι λ. λ = -. Σ Λ 6. Οι ευθείες με εξισώσεις = λ κι = - λ είνι κάθετες γι κάθε λ 0. Σ Λ 7.Η ευθεί β + = με, β 0 τέμνει τους άξονες στ σημεί Α (, 0) κι Β (0, β). Σ Λ 8.N ποδείξετε ότι η εξίσωση της ευθείς που διέρχετι πό το σηµείο A( 0, 0 ) κι έχει συντελεστή διεύθυνσης λ είνι : 0 = λ ( 0 ) 5

9. N ποδείξετε ότι η ευθεί που διέρχετι πό τ σηµεί A(, ) κι B(, ) με έχει εξίσωση : = ( ) 0. Ν ποδείξετε ότι η ευθεί του επιπέδου που έχει συντελεστή διεύθυνσης λ κι τέμνει τον στο Β(0,β )έχει εξίσωση = λ + β.ν γράψετε την εξίσωση της ευθείς σε κάθε περίπτωση : Ότν διέρχετι πό την ρχή των ξόνων( κι δεν είνι ο ) Ότν είνι πράλληλη στον κι διέρχετι πό το A( 0, 0 ) Ότν είνι πράλληλη στον κι διέρχετι πό το A( 0, 0 ) Ότν είνι διχοτόμος της ης κι ης γωνίς των ξόνων. Ότν είνι διχοτόμος της ης κι ης γωνίς των ξόνων..στο διπλνό σχήμ η εξίσωση της ευθείς ΟΑ είνι = με. Η γωνί ΟΑΒ ισούτι Α. 0 Β. 60 Γ. 5 Δ. 90 Ε. 5 0. Ο συντελεστής διεύθυνσης μις ευθείς (ε), που διέρχετι πό τ σημεί Α (, ) κι Β (, ) ορίζετι πάντ ότν Α. Β. = κι Γ. - κι Δ. = κι = Ε. A B. Στο διπλνό σχήμ η γωνί ΟΑΒ είνι ορθή. Η εξίσωση της ευθείς ΟΑ είνι Α. = β Β. = β Γ. A = Δ. = β Ε. = 0 B 5.. Δείξτε ότι : Κάθε ευθεί του επιπέδου έχει εξίσωση της μορφής A+B+ Γ = 0 με Α0 ή Β 0 () κι ντίστροφ κάθε εξίσωση της μορφής () πριστάνει ευθεί γρμμή. 6. Δείξτε ότι η ευθεί με εξίσωση της μορφής A+B+ Γ = 0 είνι Πράλληλη στο δ= B, -A Κάθετη στο η= A, B 7.Ν γράψετε τους τύπους Της πόστσης του Μ( 0, 0 ) πό την ευθεί με εξίσωση A+B+ Γ = 0. Του εμβδού τριγώνου με κορυφές A(, ), B(, ), Γ(, ). Της πόστσης των πρλλήλων ε : = λ + β κι ε : = λ + β 6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ- ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ - ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΚΥΚΛΟΣ. Ορισμοί : Ο κύκλος με κέντρο την ρχή Ο των ξόνων κι κτίν ρ έχει εξίσωση: + =ρ Ο κύκλος με κέντρο το σημείο Κ( 0, 0 ) κι κτίν ρ έχει εξίσωση: (- 0 ) +(- 0 ) =ρ. Εφπτόμενη εξίσωσης κύκλου : Η εφπτομένη του κύκλου + =ρ στο σημείο του Α(, )έχει εξίσωση: + =ρ C Μ(,) ρ Ο Μ(,) ρ C K(, ) 0 0 Ο Μ(,) A(,) ε Ο C Γι την εφπτομένη του κύκλου (- 0 ) +(- 0 ) =ρ Θεωρούμε την εύθεί (ε) ψ=χ+β κι ισχύουν : 0 Αν Κ(χ 0, ψ 0 ) το κέντρο, Α(χ,ψ ) το σημείο επφής κι Μ(χ,ψ) τυχίο σημείο της τότε d, Εφπτομένη κύκλου + =ρ 0 0 Γι ν γράψουμε την εξίσωση της εφπτομένης του κύκλου C: Αν γνωρίζουμε το σημείο επφής A(, ), η εξίσωση προκύπτει άμεσ πό τον τύπο + =ρ Αν δεν γνωρίζουμε το σημείο επφής τότε το ονομάζουμε έστω Α(, ), γράφουμε την εφπτομένη στο Α κι έχουμε i) Οι συντετγμένες του Α επληθεύουν την εξίσωση του κύκλου C ii) H εφπτομένη ικνοποιεί την συνθήκη του ζητήμτος. Γενική εξίσωση κύκλου : i) Κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μορφής + +Α+B+Γ=0, με Α +Β -Γ>0 ii) H εξίσωση + +Α+B+Γ=0, με Α +Β -Γ>0 πριστάνει κύκλο Ο ρ K(-A/,-B/). Θέσεις ευθείς κι κύκλου : Γι ν είνι η ευθεί ε εφπτομένη του κύκλου κέντρου Κ( 0, 0 ) κι κτίνς ρ,ρκεί ν ισχύει d(k, ε)=ρ Οι Σχετικές θέσεις ευθείς κύκλου προκύπτουν είτε πό την λύση του συστήμτος των εξισώσεών τους είτε πό την σύγκριση d(k, ε) με το ρ Θέσεις ευθείς κι κύκλου : d(k, ε)=ρ Η ευθεί είνι εφπτόμενη του κύκλου d(k, ε)<ρ Η ευθεί είνι τέμνουσ κι έχει κοινά σημεί με τον κύκλο d(k, ε)>ρ Η ευθεί δεν έχει κοινά σημεί με τον κύκλο 7

5. Θέσεις δύο κύκλων : Γι ν βρω την θέση κύκλων λύνουμε το σύστημ: ( ύ ώ ύ ) )Αν το σύστημ έχει λύσεις τότε οι δύο κύκλοι τέμνοντι. Η λύση του συστήμτος μς είνι τ σημεί στ οποί τέμνοντι οι κύκλοι. Η κοινή χορδή είνι κάθετη στη διάκεντρο δ. ) Αν το σύστημ έχει λύση τότε οι δύο κύκλοι εφάπτοντι. Η μονδική λύση είνι το σημείο επφής. ) Αν το σύστημ έχει δεν έχει λύση στο R τότε οι δύο κύκλοι δεν έχουν κοινό σημείο. Γεωμετρικά: Διάκεντρος = δ Οι κύκλοι δεν τέμνοντι R R Οι κύκλοι εφάπτοντι εξωτερικά R R Οι κύκλοι εφάπτοντι εσωτερικά R R 8

Οι κύκλοι δεν τέμνοντι R R Οι κύκλοι τέμνοντι R R R R 9

Β ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμοί : Η εξίσωση της πρβολής με εστί Ε( p,0) κι διευθετούσ Ρ Α Ο Μ Ε( p,0) p>0 p<0 Μ E( p,0) Ο Ρ Α δ: =- p είνι =p δ: =- p δ: =- p Η εξίσωση της πρβολής με εστί Ε(0, p ) κι διευθετούσ δ: =- p είνι =p Ρ Μ p>0 Ε(0, p ) Ο Α δ: =- p Ρ Μ Α δ: =- p Ο p Ε(0, ) p<0. Εφπτόμενη Πρβολής: Η εφπτομένη ε στο σημείο Μ (, ) της πρβολής: =p έχει εξίσωση =p(+ ) =p έχει εξίσωση =p(+ ) ε O Ε M (,) C Εφπτομένη πρβολής Γι ν γράψουμε την εξίσωση της εφπτομένης της πρβολής C Αν γνωρίζουμε το σημείο επφής A(, ), η εξίσωση προκύπτει άμεσ πό τoυς τύπους Αν δεν γνωρίζουμε το σημείο επφής τότε το ονομάζουμε έστω Α(, ), γράφουμε την εφπτομένη στο Α κι έχουμε i) Οι συντετγμένες του Α επληθεύουν την εξίσωση της πρβολής ii) H εφπτομένη ικνοποιεί την συνθήκη του ζητήμτος. Ιδιότητες Πρβολής: Η πρβολή =p έχει κορυφή την ρχή των ξόνων κι άξον συμμετρίς τον χ χ βρίσκετι: δεξιά του ν p>0, ριστερά του ν p<0 Η πρβολή =p έχει κορυφή την ρχή των ξόνων κι άξον συμμετρίς τον βρίσκετι: πάνω πό τον χ χ ν p>0, κάτω πό τον χ χ ν p<0 Το p λέγετι πράμετρος της πρβολής ( p>0 ή p<0) Η πόστση εστίς διευθετούσς ισούτι με p Γι ν γράψουμε την εξίσωση μις πρβολής πρέπει ν γνωρίζουμε τον άξον συμμετρίς της κι την πράμετρο p Η πράμετρος p βρίσκετι: Αν είνι γνωστή η εστί Αν είνι γνωστή η διευθετούσ Από τις δοσμένες συνθήκες Ευθεί εφπτομένη σε πρβολή Γι ν εφάπτετι η ευθεί ε στην πρβολή C πιτούμε η η εφπτόμενη της πρβολής σε έν τυχίο σημείο της,ν τυτίζετι με την δοσμένη ευθεί. ΕΠΙΣΥΜΑΝΣΕΙΣ 0

Γ ΕΛΛΕΙΨΗ Α. Ορισμοί : Η εξίσωση της έλλειψης με εστίες Ε (-γ,0) κι Ε(γ,0) κι στθερό άθροισμ είνι + = β Ιδιότητες της έλλειψης C : ή β + = β β -γ + = Τέμνει τον χ χ στ σημεί Α (-,0) κι Α(,0) β, 0 < β < Το τμήμ Α Α λέγετι μεγάλος άξονς της C με μήκος (Α Α)= Τέμνει τον στ σημεί B (0,-β) κι B(0,β) Το τμήμ Β Β λέγετι μικρός άξονς της C με μήκος (Β Β)=β Η έλλειψη περιέχετι στο ορθογώνιο που ορίζουν οι ευθείες =-, =, =-β, =β (- κι -β β) Α Ε (-γ,0) Ε Ε=γ Β Ο Β Μ(,) Ε(γ,0), ΜΕ +ΜΕ= Α Μ Μ Α Β Ο Β Μ Μ Α Β. Ορισμοί : Η εξίσωση της έλλειψης με εστίες Ε (0,-γ) κι Ε(0,γ) κι στθερό άθροισμ είνι + = β ή +β = β β -γ Ιδιότητες της έλλειψης C : + =, 0 < β < β Β Ε Ε=γ Α Ε (0,γ) Ο Ε (0,-γ) Α, ΜΕ +ΜΕ= Β Μ(,) Τέμνει τον στ σημεί Α (0,-) κι Α(0,) Το τμήμ Α Α λέγετι μεγάλος άξονς της C με μήκος (Α Α)= Τέμνει τον χ χ στ σημεί B (-β,0) κι B(β,0) Το τμήμ Β Β λέγετι μικρός άξονς της C με μήκος (Β Β)=β Η έλλειψη περιέχετι στο ορθογώνιο που ορίζουν οι ευθείες =-β, =β, =-, = (-β β κι - ) Κοινές ιδιότητες Οι εστίες Ε, Ε της έλλειψης είνι πάντ πάνω στον μεγάλο άξον Α Α Β Β Ο Η έλλειψη έχει άξονες συμμετρίς τους χ χ κι κι κέντρο συμμετρίς την ρχή Ο(0,0) των ξόνων Το Ο λέγετι κέντρο της έλλειψης κι τ Α, Α, Β, Β λέγοντι κορυφές της έλλειψης Διάμετρος της έλλειψης λέγετι οποιδήποτε χορδή που διέρχετι πό το κέντρο της Γι κάθε διάμετρο Μ Μ ισχύει: β (Μ Μ ) Α Μ Μ Μ Μ Α

.Εκκεντρότητ έλλειψης Εκκεντρότητ ε της έλλειψης + = β ( ή + = ) λέγετι ο λόγος: ε = γ β Είνι ε < ( φού γ < ) δηλδή η εκκεντρότητ της έλλειψης ε είνι μικρότερη της μονάδος ε 0 Είνι β = -ε δηλδή ο λόγος των ξόνων της έλλειψης είνι συνάρτηση της εκκεντρότητς. Εφπτόμενη Έλλειψης: Η εφπτομένη ε στο σημείο Μ (, ) της έλλειψης: + = β έχει εξίσωση + = β ε Μ(, ) β + = β β + = β + = β έχει εξίσωση + = β O +β = β +β = β Α. Εξίσωση έλλειψης Εξίσωση - Εφπτομένη Έλλειψης Γι ν γράψουμε την εξίσωση μις έλλειψης πρέπει ν γνωρίζουμε ή ν βρούμε: τις πρμέτρους κι β, (β= -γ ) τον άξον (χ χ ή ) που βρίσκοντι οι εστίες Η θέση του στην έλλειψη εξρτάτι πό τον άξον (χ χ ή ) που βρίσκοντι οι εστίες Β. Γι ν γράψουμε την εξίσωση της εφπτομένης της έλλειψης C Αν γνωρίζουμε το σημείο επφής A(, ), η εξίσωση προκύπτει άμεσ πό τoυς τύπους Αν δεν γνωρίζουμε το σημείο επφής τότε το ονομάζουμε έστω Α(, ), γράφουμε την εφπτομένη στο Α κι έχουμε i) Οι συντετγμένες του Α επληθεύουν την εξίσωση της έλλειψης ii) H εφπτομένη ικνοποιεί την συνθήκη του ζητήμτος Γ. Ευθεί εφπτομένη σε έλλειψη Γι ν εφάπτετι η ευθεί ε στην έλλειψη C πιτούμε η η εφπτόμενη της έλλειψης σε έν τυχίο σημείο της,ν τυτίζετι με την δοσμένη ευθεί. Αλλιώς γι ν εφάπτετι η ευθεί ε στην έλλειψη C πρέπει το σύστημ των εξισώσεών τους ν έχει μί λύση Προσοχή όμως!!! Ο τρόπος υτός δεν ισχύει γενικά γι όλες τις κονικές τομές ή γι κμπύλες. Πχ η ευθεί ψ= κι η πρβολή ψ =χ έχουν έν κοινό σημείο,χωρίς όμως η ευθεί ν είνι εφπτόμενη!!

Δ ΥΠΕΡΒΟΛΗ Α. Ορισμοί : Μ(,) Η εξίσωση της υπερβολής με εστίες Ε (-γ,0) κι Ε(γ,0) κι στθερή διφορά είνι - = ή β β - = β β γ - Ιδιότητες της υπερβολής C : = β Τέμνει τον χ χ στ σημεί Α (-,0) κι Α(,0). Είνι (Α Α)= Δεν τέμνει τον Γι κάθε σημείο Μ(,) της υπερβολής C ισχύει ( - κι ) ή ( κι ) Η υπερβολή βρίσκετι έξω πό την «τινί» που ορίζουν οι ευθείες =-, = Αν =β η C γράφετι - = ( Iσοσκελής υπερβολή) Ε (-γ,0) Α Ο Α Ε(γ,0) Ε Ε=γ, ΜΕ - ΜΕ = Μ Μ Α Ο Α =- = Μ Μ Β. Ορισμοί : Η εξίσωση της υπερβολής με εστίες Ε (-γ,0) κι Ε(γ,0) κι στθερή διφορά είνι - = ή β β - = β β γ - Ιδιότητες της υπερβολής C : =, β Ε(0,γ) Α Ο Α Ε (0,-γ) Μ(,) Ε Ε=γ, ΜΕ - ΜΕ = Τέμνει τον στ σημεί Α (0,-) κι Α(0,). Είνι (Α Α)= Δεν τέμνει τον χ χ Γι κάθε σημείο Μ(,) της υπερβολής C ισχύει ( - κι ) ή ( κι ) Η υπερβολή βρίσκετι έξω πό την «τινί» που ορίζουν οι ευθείες =-, = Αν =β η C γράφετι - = ( Iσοσκελής υπερβολή Κοινές ιδιότητες Μ Μ = Α Ο Α =- Μ Μ Οι εστίες Ε, Ε της υπερβολής είνι πάντ στην ευθεί Α Α Η υπερβολή έχει άξονες συμμετρίς τους χ χ κι κι κέντρο συμμετρίς την ρχή Ο(0,0) των ξόνων Το Ο λέγετι κέντρο της υπερβολής κι τ Α, Α λέγοντι κορυφές της υπερβολής Η υπερβολή ποτελείτι πό δύο χωριστούς κλάδους

.Εκκεντρότητ υπερβολής Εκκεντρότητ ε της υπερβολής β = λέγετι ο λόγος: ε = γ ε +οο Είνι ε > ( φού γ > ) δηλδή: η εκκεντρότητ της υπερβολής είνι μεγλύτερη της μονάδος Είνι β = ε δηλδή: ο λόγος των διστάσεων του ορθογωνίου βάσης της υπερβολής είνι συνάρτηση της εκκεντρότητς. Ασύμπτωτες υπερβολής Η υπερβολή = β έχει σύμπτωτες τις ευθείες: β =- Ε Ο Ρ Μ Ε = β κι = - β β = = Η υπερβολή β έχει σύμπτωτες τις ευθείες: = β κι = - β Μ Ο Ε Ε = β = β. Το ορθογώνιο βάσης της υπερβολής β = Ν β K C Οι σύμπτωτες της υπερβολής είνι οι διγώνιοι του ορθογωνίου ΚΛΜΝ με κορυφές τ σημεί Ε - Ο Ε Κ(,β), Λ(,-β), Μ(-,-β), Ν(-,β) Το ορθογώνιο ΚΛΜΝ μπορεί ν θεωρηθεί ως βάση γι την σχεδίση μις υπερβολής Μ -β Λ

5. Εφπτόμενη Υπερβολής: Η εφπτομένη ε στο σημείο Μ (, ) της υπερβολής: = έχει εξίσωση β = β β - = β β - = β Ε ε M (, ) Ε = έχει εξίσωση β = β β - = β β - = β Α. Εξίσωση Υπερβολής Γι ν γράψουμε την εξίσωση μις υπερβολής πρέπει ν γνωρίζουμε ή ν βρούμε: τις πρμέτρους κι β, (β= γ - ) τον άξον (χ χ ή ) που βρίσκοντι οι εστίες Εξίσωση - Εφπτομένη Υπερβολής Η θέση του στην υπερβολή εξρτάτι πό τον άξον (χ χ ή ) που βρίσκοντι οι εστίες (ή οι κορυφές της) Β. Γι ν γράψουμε την εξίσωση της εφπτομένης της υπερβολής C Γι ν γράψουμε την εξίσωση της εφπτομένης της C: Αν γνωρίζουμε το σημείο επφής A(, ), η εξίσωση προκύπτει άμεσ πό τoυς τύπους Αν δεν γνωρίζουμε το σημείο επφής τότε το ονομάζου- με έστω Α(, ), γράφουμε την εφπτομένη στο Α οπότε: i) Οι συντετγμένες του Α επληθεύουν την εξίσωση της υπερβολής ii) H εφπτομένη ικνοποιεί την συνθήκη του ζητήμτος Γ. Ευθεί εφπτομένη σε υπερβολής Γι ν εφάπτετι η ευθεί ε στην υπερβολή C πιτούμε η η εφπτόμενη της υπερβολής σε έν τυχίο σημείο της,ν τυτίζετι με την δοσμένη ευθεί. Αλλιώς γι ν εφάπτετι η ευθεί ε στην υπερβολή C πρέπει το σύστημ των εξισώσεών τους ν έχει μί διπλή λύση Προσοχή όμως!!! Στη δεύτερη πρέπει ν επληθεύσουμε το ποτέλεσμ,δηλδή : Bρίσκουμε τ σημεί,πό τη διπλή λύση του συστήμτος Bρίσκουμε τις εφπτόμενες στ σημεί υτά Επληθεύουμε ότι μι πό υτές είνι η δοσμένη ευθεί.. 5

ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ν ποδείξετε ότι ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0) κι κτίν ρ έχει εξίσωση + =ρ. Ποιος κύκλος ονομάζετι μονδιίος; ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω O έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι C ο κύκλος με κέντρο το σημείο O( 0, 0 ) κι κτίν ρ. Το σημείο M(, ) νήκει στον κύκλο C, ν κι μόνο ν πέχει πό το κέντρο του Ο πόστση ίση με ρ, δηλδή, ν κι μόνο ν ισχύει: ( OM ) () Όμως, ( OM). Επομένως, η () γράφετι. () Πρτηρούμε, δηλδή, ότι οι συντετγμένες των σημείων του κύκλου κι μόνο υτές επληθεύουν την εξίσωση (). Άρ, ο κύκλος με κέντρο το σημείο O( 0, 0 ) κι κτίν ρ έχει εξίσωση + = ρ. Ο ρ (0,0) M(,) C Έστω ε η εφπτομένη του κύκλου + = ρ σε έν σημείο του Α(, ), ν ποδείξετε ότι η εφπτομένη του κύκλου σε υτό το σημείο έχει εξίσωση + = ρ. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω ε η εφπτομένη του κύκλου C : ρ σε έν σημείο του A(, ). Έστω έν δεύτερο σημείο M(, ) Είνι OA (, ) κι AM (, ) Α(, ) ε M(,) Ισχύουν οι ισοδυνμίες M(, ) ε OA AM 0 ( ) ( ) 0,φού. Ο Επομένως, η εφπτομένη του κύκλου ρ στο σημείο του (, ) A έχει εξίσωση. Ν ποδείξετε ότι ο κύκλος με κέντρο Κ( o, o ) κι κτίν ρ έχει εξίσωση: ( o ) + ( o ) = ρ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω O έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι C ο κύκλος με κέντρο K( 0, 0 ) κι κτίν ρ. Έν σημείο M (, ) νήκει στον κύκλο C, ν κι μόνο ν ισχύει : ( KM) () 6

0 0 ) Όμως, ( KM) ( ) (. Επομένως, η σχέση () γράφετι: Κ( 0, 0 ) 0 0 ) ( ) ( 0 ) ( 0 ) ( ρ M(,) Ο Ν ποδείξετε ότι κάθε κύκλος έχει εξίσωση της μορφής + + A + B + Γ = 0 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Θεωρούμε τον κύκλο με κέντρο K( 0, 0 ) κι κτίν ρ, ο κύκλος υτός έχει εξίσωση 0 ) ( 0 ) ( Κάνοντς πράξη στην πρπάνω εξίσωση του κύκλου έχουμε : o + o + o + o = ρ 0 ( 0 0 0 ) 0 δηλδή πίρνει τη μορφή A B 0 όπου A 0, B 0 κι 0 0. 5 Ν ποδείξετε ότι κάθε εξίσωση της μορφής: + + A + B + Γ = 0 με Α + Β - Γ > 0 πριστάνει κύκλο του οποίου ν προσδιορίσετε το κέντρο κι την κτίν του. ΑΠΟΔΕΙΞΗ Κάθε εξίσωση της μορφής + + A + B + Γ = 0 () γράφετι διδοχικά: + + A + B + Γ = 0 ( A) ( B) A A B B A B A B A B. Επομένως: Αν A B 0, η εξίσωση () πριστάνει κύκλο με κέντρο K A B. A B Αν A B 0, η εξίσωση () πριστάνει έν μόνο σημείο, το K,. A B, κι κτίν Αν A B 0, η εξίσωση () είνι δύντη, δηλδή δεν υπάρχουν σημεί M (, ) των οποίων οι συντετγμένες ν την επληθεύουν. 7

6 Τι ονομάζετι εκκεντρότητ της έλλειψης. Ν ποδείξετε ότι γι την β εκκεντρότητ ε της έλλειψης ισχύει η σχέση: ε ΑΠΟΔΕΙΞΗ Εκκεντρότητ ε της έλλειψης β Επειδή γ β έχουμε: γ ονομάζουμε, το λόγο ε κι άρ β ε. 7 Τι ονομάζετι εκκεντρότητ υπερβολής;. Ν ποδείξετε ότι γι την εκκεντρότητ ε μις υπερβολής ισχύει η σχέση ΑΠΟΔΕΙΞΗ Εκκεντρότητ ε της υπερβολής, ονομάζετι ο λόγος. β Επειδή γ β, γι την εκκεντρότητ ε έχουμε: β β ε άρ ε. 8 Πότε μι υπερβολή ονομάζετι ισοσκελής; Ν ποδείξετε ότι στην ισοσκελή υπερβολή η εκκεντρότητά της είνι ε = ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω η υπερβολή C με εξίσωση, Ισοσκελής ονομάζετι η υπερβολή γι την οποί ισχύει = β κι υτή έχει εξίσωση a Στην ισοσκελή υπερβολή η εκκεντρότητ είνι ίση με = 8

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Κύκλος. Ν ποδείξετε ότι ο κύκλος µε κέντρο το σηµείο O(0,0) κι κτίν ρ έχει εξίσωση. Ν ποδείξετε ότι η εφπτόμενη του κύκλου C : : + =ρ. Ν ποδείξετε ότι ο κύκλος µε κέντρο K( 0, 0 ) κι κτίν ρ έχει εξίσωση + = ρ + = ρ στο σηµείο του A(, ) έχει εξίσωση 0 0 - + - = ρ. Ν ποδείξετε ότι κάθε κύκλος έχει εξίσωση της µορφής + + A + B + Γ = 0 με Α 0 (Ι) κι ντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής (Ι) πριστάνει κύκλο κέντρου Α, κι κτινς ρ=. Πρβολή 5. Τι ονοµάζετι πρβολή µε εστί το σηµείο Ε κι διευθετούσ την ευθεί δ που δεν διέρχετι πό το Ε ; p p 6. Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση της πρβολής με στι Ε(,0) κι διευθετουσ (δ) : χ = - έχει εξίσωση =p 7. Ν ποδείξετε ότι ο άξονς είνι άξονς συµµετρίς της πρβολής =p 8. Ν γράψετε την εξίσωση της εφπτομένης της πρβολής =p στο σημείο της A(, ). 9.Ποι ιδιότητ της πρβολής ονομάζετι νκλστική ιδιότητ ; Έλλειψη 0. Τι ονοµάζετι έλλειψη µε εστίες τ σηµεί E κι Ε ;. Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση της έλλειψης με εστίες Ε(γ,0) κι Ε (-γ,0) κι μήκος μεγάλου άξον είνι : + =, β= - γ β. Ν ποδείξετε ότι οι άξονες, είνι άξονες συμμετρίς κι η ρχή Ο των ξόνων κέντρο συμμετρίς της έλλειψης + =, β= - γ β.ν γράψετε την εξίσωση της εφπτομένης της έλλειψης στο σημείο της Μ(, )..Τι ονομάζουμε εκκεντρότητ (ε) έλλειψης ;Δείξτε ότι 0 < ε < β = -ε + =, β= - γ β 5. Πότε δύο ελλείψεις λέμε ότι είνι όμοιες ; 6. Ποι ιδιότητ της έλλειψης ονομάζετι νκλστική ιδιότητ ; 7. Τι ονομάζουμε διάμετρο έλλειψης κι ποι η μέγιστη κι η ελάχιστη τιμή της ; 8. Θεωρούμε την έλλειψη : + =, β= - γ.δείξτε ότι -, -β β β 9

Υπερβολή 9. Τι ονοµάζετι υπερβολή µε εστίες τ σηµεί E κι Ε ; 0. Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση της υπερβολής με εστίες Ε(γ,0) κι Ε (-γ,0) κι πόλυτη διφορά είνι - =, β= γ - β. Ν ποδείξετε ότι οι άξονες, είνι άξονες συμμετρίς κι η ρχή Ο των ξόνων κέντρο συμμετρίς της υπερβολής - =, β= γ - β. Θεωρούμε την υπερβολή - =, β= γ -. Δείξτε ότι β.ν γράψετε την εξίσωση της εφπτομένης της υπερβολής - =, β= γ - στο σημείο της Μ(, ). β. Τι λέγετι ορθογώνιο βάσης υπερβολής; 5. Τι ονομάζουμε εκκεντρότητ (ε) υπερβολής ; Δείξτε ότι : < ε κι β = ε 6. Ν γράψετε τις εξισώσεις των συμπτώτων της υπερβολής - =, β= γ -. β 7.Ποι υπερβολή ονομάζετι ισοσκελής ; Τι γνωρίζετε γι την εκκεντρότητ μις ισοσκελούς υπερβολής ; 8. Ποι ιδιότητ της υπερβολής ονομάζετι νκλστική ιδιότητ ; Ερωτήσεις ξιολόγησης 9. Οι κύκλοι + + + - = 0 κι + + + + = 0 είνι ομόκεντροι. Σ Λ 0.Τ σημεί (-, ) κι (, ) του κύκλου ( - ) + ( - ) = 9 είνι ντιδιμετρικά. Σ Λ. Ένς κύκλος έχει το κέντρο του στην ευθεί =. Έχει πάντ εξίσωση ( - ) + ( - ) =. Σ Λ.Έν σημείο (, ) είνι εσωτερικό ενός κύκλου με κέντρο Κ ( 0, 0 ) κι κτίν ρ. Ισχύει: ( - 0 ) + ( - 0 ) < ρ. Σ Λ. Ο κύκλος ( - ) + = κι η πρβολή = - εφάπτοντι. Σ Λ. Η εξίσωση + 5 = πριστάνει έλλειψη. Σ Λ 5. Η εξίσωση μις υπερβολής είνι - β =. Ισχύει πάντ > β. Σ Λ 6. Η υπερβολή C: - β = τέμνει τον άξον σε δύο σημεί. Σ Λ 0

ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 0 B Αν,, κι 0 (), ν υπολογίσετε το. () οπότε: 9 6 6 6 6 9 6 9 6 6 9 9 6 6 6 9 6 6 9 () () οπότε: 9 6 9 9 9 () () οπότε: 9 9 9 9 9 9 () Κι πό τις (), (), () έχουμε: 8 8 ΘΕΜΑ 0 Γ Αν 0 κι, ν δείξετε ότι γι κάθε, ισχύει 0 Πότε η σχέση ισχύει ως ισότητ; Αν το πρώτο μέλος της σχέσης θεωρηθεί ως τριώνυμο με μετβλητή λ ή μ (δεν διφέρει η σκέψη), τότε 0. Είνι:

0,, διότι, οπότε,. Τότε το τριώνυμο έχει γι κάθε το πρόσημο του, είνι επομένως θετικό. Η σχέση ισχύει ως ισότητ μόνο γι 0. ΘΕΜΑ 0 B Γι τυχί δινύσμτ, ν δείξετε ότι: i), ii). i) ii) ΘΕΜΑ 0 B Δίνοντι τ σημεί Α(, ), Β(, 0). Ν κθορισθούν συντετγμένες σημείου Γ ώστε υτό ν νήκει στην ευθεί ΑΒ. Έστω Γ(, ) το ζητούμενο σημείο. Γ νήκει στην ευθεί ΑΒ // = 0 () Αλλά = =, = = ( ) = + B = B = =, B = B = 0 ( ) = H () = 0 ( ) ( + ) = 0 ( ) ( + ) = 0 = 0 = + () Γι ν έχουμε έν συγκεκριμένο σημείο Γ, στη () θέτουμε μι τιμή στο, ς είνι =, οπότε = 5. Άρ το σημείο Γ(5, ) είνι ζητούμενο.

ΘΕΜΑ 5 0 Α-Β Σημειώστε Σ (σωστό) ή Λ (λάθος) σε κάθε μί πό τις πρκάτω προτάσεις. i. Τ δινύσμτ (, ), (, ) είνι ντίθετ ii Ισχύει det(, ) = 0 iii Ισχύει det( i, j ) = iv Αν η τετγμένη του μη μηδενικού δινύσμτος είνι ίση με το μισό του μέτρου του, τότε η γωνί που σχημτίζει με τον άξον είνι 6 v Αν ο συντελεστής διεύθυνσης δινύσμτος είνι τότε = (, ) i Σ (, ) = (, ) ii Σ // iii Σ 0 0 = 0 = iv Λ Έστω = (, ) = = + = + = + = = εφφ = =..... = δύο τιμές ή = - v Λ Μπορεί ν είνι = ((κ, κ) με κ ΘΕΜΑ 6 0 Δ Αν = (, ), = (0, ) κι = (, ), ν εκφράσετε το σν γρμμικό συνδυσμό των,. Έστω = κ + λ () = κ + λ (, ) = κ (0, ) + λ (, ) (, ) = (0, κ) + (λ, λ) (, ) = (0 + λ, κ + λ) = λ κι = κ + λ λ = λ = κι 5 6 = κ οπότε η () γίνετι = 5 6 κι = κ

ΘΕΜΑ 7 0 B Δίνοντι τ σημεί Α(, ), Β(-, 6), Γ(7, 0). Ν βρείτε τις συντετγμένες του συμμετρικού του σημείου Γ, ως προς κέντρο συμμετρίς το μέσο του τμήμτος ΑΒ. Έστω Μ το μέσο του τμήμτος ΑΒ. Τότε M = = 0 κι 6 M = 5. Έστω Δ το συμμετρικό του Γ ως προς κέντρο συμμετρίς το Μ. Α Το Μ θ είνι μέσο του τμήμτος ΓΔ, οπότε M = κι M = 5 0 = 7 κι 5 = 0 = 7 κι = 0 Γ M Δ Β ΘΕΜΑ 8 0 B Δίνοντι τ δινύσμτ = (, 5), = (, ) κι γι το σημείο Γ δίνετι ότι. Ν βρείτε τις συντετγμένες του δινύσμτος. = = // τ Α, Γ, Β είνι συνευθεικά κι = 5 = 5 ( ) = [(, ) (, 5)] 5 6, = 5 (, 5) = 5 (, ) = 5 5 = (, 5) + 6, = 6, 5 =, = + 5 5 5 5 5 5 Α K Γ Β ΘΕΜΑ 9 0 Γ Δίνοντι τ δινύσμτ (, ), β ( 0, ) Ν υπολογίσετε τ i) ( ), ( ), ( ) ii), ( ), γ ( ), i) (, ) ( 0, ) = 0 + ( ) = Οπότε ( ) (, 0) = (, 0) κι = (, 0). = ( 0, ) (, 0) = 0 ( ) + ( ) 0 = 0 Οπότε ( ) = 0. (, ) = ( 0, 0) 0

( ) =. [ ( )] 60 0 ii) 5 Άρ 5 0 0 κι 0 (,) (,0) =. ( ) +. 0 = ( ) = (0, ) = (0, ) Άρ ( ) 0 ( ) 0 ( ). ( ) = 0 κι φού, θ έχουμε (, 0) = (, 0) = (, 0) ΘΕΜΑ 0 0 Γ Αν, β, (, ) κι, v i) Ν βρείτε τ κι ν ii) Ν βρείτε το iii) Ν βρείτε το συνημίτονο της γωνίς των δινυσμάτων κι ν i) ( ) = 9 = 9 = 9 5 Οπότε : 5 = Ομοίως βρίσκουμε = πράξεις = ii) ( )( ) 6 iii) (, ) 6 5

ΘΕΜΑ 0 Γ 0 Αν, β κι (, ) 60, ν βρείτε το στις πρκάτω περιπτώσεις i) ( ) ( ) ii) ( ( ) ( ) i) ( ) ( ) ii) ( ) ( ) ( )( ) ( ) (, ) 0. ( ). 60 8 ( ). 7 8 + 9 6 7 = = 9 = 9 ( ) ( ) = 0 ( ) ( ) 0. ( ) ( ). 0 8... 9 0 = 7 = 7 ΘΕΜΑ 0 Γ-Δ Αν, β, γ κι (, ) (, ) με, μη συγγρμμικά, ν βρείτε το μέτρο του δινύσμτος v = v = Αλλά () ( ) = 9 ( ) ( ) 6( ) =.. = =. συν90ο = 0 =.. = v =. 9... 0 6. = 6 + 8 + = 9 v = 9 () 6

ΘΕΜΑ 0 Γ-Δ Αν τ δινύσμτ, β έχουν μέτρο ίσο με κι τ δινύσμτ, ν 5 είνι κάθετ, ν βρείτε την γωνί των δινυσμάτων, β 0 ( )(5 ) 0 5 6( ) 8 0 5 6 (, ) 8 0 5. 6 (, ) 8. 0 6 (, ) = (, ) (, ) 60 ΘΕΜΑ 0 Δ Δίνοντι τ κάθετ κι μη μηδενικά δινύσμτ κι β, έτσι ώστε Ν βρείτε, ως συνάρτηση των, β, τ δινύσμτ κι ψ έτσι, ώστε ν είνι ( ) κι ( ) κι ( ) ( ), όπου (). () () ( ) ( )( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 Από υπόθεση έχουμε 0 κι. Επομένως η () 0 7 6 0 (7λ 6) = 0 κι φού β 0, θ είνι 7λ 6 = 0 λ = 6 7 6 Οπότε η υπόθεση ( ) ( ) 7 6 8 κι η () 7 7 7 7 () 7

ΘΕΜΑ 5 0 Δ Αν είνι =, (, ) 60, ν κι (ν, ) 60 ν νλύσετε το σε δύο συνιστώσες πράλληλες προς τ Έστω 0 κι β (). ( ) ( ) (, ) (, ) 0 0.. 60...60. = λ + μ. = λ + μ (). ( ) ( ) (, ) (, ) 0.. (, ).. 60. (, ) () Ότν η γωνί των ν, είνι 0 0 60 0 Η () γίνετι συν 0 0 = = (). Λύνοντς το σύστημ των (), () βρίσκουμε λ = 0 κι μ =. () 0 Ότν η γωνί των ν, είνι 0 0 60 0 60 0 Η () γίνετι συν 0 0 = ( ) (5) Λύνοντς το σύστημ των (), (5) βρίσκουμε μ= κι λ = () 8

ΘΕΜΑ 6 0 Δ Έστω, β, μη μηδενικά δινύσμτ έτσι ώστε ν ισχύουν,, 0,, i) Ν εξετάσετε ν τ κι β είνι συγγρμμικά ii) Ν βρείτε το συνρτήσει των κι β i) Αν τ, β ήτν συγγρμμικά, επειδή β θ ήτν κι, οπότε 0, άρ η υπόθεση 0 θ έδινε = 0, που είνι άτοπο. Επομένως τ, β δεν είνι συγγρμμικά ii) Έστω ( ) ( ) = λ + μ () ( ) ( ) ( ) = λ( ) + μ. 0 λ = () Η () = + μ Άρ ΘΕΜΑ 7 0 Δ Α. Έστω δύο μη συγγρμμικά δινύσμτ κι β κι λ πργμτικός ριθμός έτσι ώστε ν ισχύει κι. Δείξτε ότι ημ (, ). Β. Αν = κι, δείξτε ότι. Α. ( ) ( ) ( ). 0 ( ). 0 () Η () είνι εξίσωση δευτέρου βθμού ως προς λ, η οποί γνωρίζουμε πό την υπόθεση πως έχει λύση, άρ ( ) 0 (, ) 0 Δ 0 (, ) 0 Β. (, ) 0 (, ) 0 (, ) ημ (, ) ( ) ( ) 0 () 9

Η εξίσωση () είνι δευτέρου βθμού ως προς, η οποί έχει λύση φού, άρ Δ 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) Γι ( ), δηλδή ( ) = 0 ο επομένως η () γίνετι 0 0 0 Αφού, θ υπάρχει λ > 0 ώστε = =. λ= οπότε Γι ( ), δηλδή ( ) = 80 ο επομένως, Oμοίως συμπερίνουμε ΘΕΜΑ 8 0 Γ Αν (, ) κι β (, ) Έστω =, συγγρμμικά Αλλά Οπότε, η (), ν βρεθεί η () όπου λ ( ) 6 = 5λ λ = 5 (, ) 5 8 =, 6 5 5 ( ) +. = λ ΘΕΜΑ 9 0 Δ Σε τρίγωνο ΑΒΓ είνι ΑΒ =, ΑΓ = 6, Ν βρείτε i) το ii) το iii) την συνρτήσει του ο 60 κι ΑΜ διάμεσός του. Έστω = Ε i) ( ) Β Μ ΑΜ ( ) ( ) = Α Γ 0

ii) = ( ( ) = ( ) = ( ( 6 6 ) = ( + 6 ) = 5 iii = (ii) 5 = E () Αλλά E συγγρμμικό του E = () () 5 = ( ) 5 = λ 5 = λ. 5 () E = 5 ΘΕΜΑ 0 0 Γ Έστω τ δινύσμτ i) προβ ( ) = (, ) κι = (, ). Ν βρείτε τ δινύσμτ ii) προβ ( ) β i) Έστω = προβ ( ), συγγρμμικά = λ, όπου λ () ( ) ( ) = = λ Η () = = 5 5 ii) Έστω = προβ ( ) β [( ) +. ] = λ( ) 5 7 = 5λ λ = 5, 5 5 (, ) =, συγγρμμικά = μ, όπου μ () ( ) ( ) ( + ) = Η () = 65 + = (μ ) + = μ 7 (, ) = [( ) +. ] + ( ) = μ( ) + 5 = 7μ 65 7 65, 60 7 7

ΘΕΜΑ 0 Β Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ με κορυφές Α(-, 0), Β(, ) κι Γ(-, ). Ν βρείτε : i) Τις εξισώσεις των υψών του ii) Τις εξισώσεις των μεσοκθέτων των πλευρών του. υ Α η = i) B = = 6 AΔ ΒΓ. B = = ΑΔ : = ( ) A A 0 = ( + ) = + Β Δ Μ Γ Ομοίως βρίσκουμε τις εξισώσεις των άλλων δύο υψών. ii)μ μέσο του ΒΓ = M ( + ) κι = ( + ) = M ( +) κι = ( + ) = 0 κι M = μεσοκάθετος η ΑΔ = η : = ( ) = ( 0) = + M Ομοίως βρίσκουμε τις εξισώσεις των άλλων δύο μεσοκθέτων. ΘΕΜΑ 0 Β Ν βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών, που διέρχοντι πό το σημείο Α(-, ) κι σχημτίζουν με τους άξονες ισοσκελές τρίγωνο. Έστω ΑΛΚ ζητούμενη ευθεί. Α Αφού διέρχετι πό το Α, θ έχει εξίσωση = λ( + ) = λ + λ + () Λ Ο K Περιορισμός : Γι ν ορίζετι τρίγωνο ΟΚΛ, θ πρέπει η ευθεί ν τέμνει τους άξονες κι μάλιστ σε διφορετικά σημεί Κ, Λ, άρ θ πρέπει λ 0 κι λ Συντετγμένες του Κ : Γι = 0, η () 0 = λ K + λ λ K K = λ K =. Συντετγμένες του Λ : Γι = 0, η () = λ(0 + ) = λ +

Τρίγωνο ΟΚΛ ισοσκελές (ΟΚ) = (ΟΛ) = = = = = λ = ή λ = Άρ ζητούμενη ευθεί () είνι = + + ή = + = + ή = + ΘΕΜΑ 0 Γ Ν βρείτε τις εξισώσεις των πλευρών κι τις συντετγμένες των κορυφών Β κι Γ του τριγώνου ΑΒΓ, του οποίου τ δύο ύψη έχουν εξισώσεις = + κι = + ντιστοίχως κι η κορυφή Α έχει συντετγμένες (, ) Β Ε Α Δ Γ Διπιστώνουμε ότι η κορυφή Α δεν επληθεύει κμί πό τις εξισώσεις των υψών. Έστω, λοιπόν ΒΔ : = + ΓΕ : = + ΑΓ ΒΔ. = = ΑΓ : = ( ) = + + = + 6 ΑΒ ΓΕ. = = ΑΒ : = ( ) = + = + Γι τις συντετγμένες του Β, λύνουμε το σύστημ των εξισώσεων των ΑΒ, ΒΔ 6 κι 0 Γι τις συντετγμένες του Γ, λύνουμε το σύστημ των εξισώσεων των ΑΓ, ΓΕ 6 6 ΘΕΜΑ 0 Γ Ν βρείτε την εξίσωση της ευθείς που διέρχετι πό το σημείο Μ(, ) κι τέμνει τις ευθείες = + κι = + στ σημεί Α κι Β ντιστοίχως, έτσι ώστε το Μ ν είνι μέσο του ΑΒ.

Α ε : = + Έστω Α(, ) κι Β(, ) Α = + () Β = + () M Μ μέσο του ΑΒ = ( + ) κι = ( + ) + = () κι + = () Β ε : = - + Η (), λόγω των (), () γίνετι + + = = Η () γίνετι = = = Άρ η ζητούμενη ευθεί έχει εξίσωση = ΘΕΜΑ 5 0 Δ Δίνετι η εξίσωση ( - +) + λ( + +)=0 (). ) Ν δείξετε ότι γι κάθε λ R η () πριστάνει ευθεί. β) Ν δείξετε ότι όλες οι ευθείες που ορίζοντι πό την εξίσωση () (οικογένει ευθειών) διέρχοντι πό το ίδιο σημείο. γ) Ποι πό τις ευθείες που πριστάνει η ()διέρχετι πό το σημείο(,-); δ) Από όλες τις ευθείες της () ν βρείτε εκείνη που είνι πράλληλη i) στον άξον ii) στον άξον ; ε) Από όλες τις ευθείες της () ν βρείτε εκείνη που είνι κάθετη στην ευθεί ε : + -5=0 ; ) Η εξίσωση () γράφετι : (+λ) +(λ -) +λ + =0. Πρτηρούμε ότι ο συντελεστής του μηδενίζετι γι λ = - ενώ ο συντελεστής του γι λ=. Συνεπώς δεν υπάρχει τιμή του λ γι την οποί ν μηδενίζοντι τυτόχρον κι ο συντελεστής του κι του, οπότε η () πριστάνει γι κάθε τιμή του λ R ευθεί. β) Θεωρούμε δυο ευθείες της (), γι λ = - έχουμε ε : -9 =0=0 κι γι λ= έχουμε ε : +6 =0. Το σημείο τομής των ευθειών υτών είνι το ( -, 0) το οποίο είνι το στθερό σημείο π όπου διέρχοντι οι ευθείες που πριστάνει η () φού επληθεύει την εξίσωση τους. γ) Γι = κι =- η () γράφετι (+λ).+(λ-).(-)+λ+=0λ=-. Άρ η ζητούμενη ευθεί είνι η -9-6-8=0++=0. δ) Γι ν είνι μι ευθεί της () πράλληλη στον i) άξον θ πρέπει +λ=0λ=-.οποτε η ζητούμενη ευθεί είνι =0 ii) άξον θ πρέπει λ- =0λ=.Οποτε η ζητούμενη ευθεί είνι η +6=0 δηλ. η = - ε) Η ε είνι πράλληλη στο διάνυσμ =(,-).Επίσης γι κάθε λ Rοι ευθείες ε της () είνι πράλληλες στο διάνυσμ =(λ-, --λ). Έτσι ε ε =0(λ-).+(--λ).(-)=0λ-++λ=05λ=-λ= -/5. Άρ η ζητούμενη ευθεί είνι η -+=0.

ΘΕΜΑ 6 0 Γ Τ σημεί Α(-, 6) κι Γ(-, ) είνι οι πένντι κορυφές ενός πρλληλογράμμου ΑΒΓΔ. Οι πλευρές ΒΓ κι ΓΔ του πρλληλογράμμου νήκουν στις ευθείες με εξισώσεις + = κι + = 0 ντιστοίχως. Ν υπολογίσετε : (i) Τις συντετγμένες της κορυφής Δ. (ii) Το συνημίτονο της οξείς γωνίς των διγωνίων του πρλληλογράμμου. Δ Α K Γ Β - + = 0 (i)aδβγ A = = ΑΔ : - 6 = ( +) 8 = + = + = Οι συντετγμένες του Δ θ είνι η λύση του συστήμτος των εξισώσεων των ευθειών ΑΔ κι ΔΓ D = - = =, D = - - = + 6 = 8, D = = = 6 - D = D =, = D = Άρ Δ(, ) D (ii) = 6 = 5 = (, 5) Το σημείο τομής Κ των διγωνίων είνι μέσο της ΑΓ. Άρ Κ(, 6 ), Κ( 5, 7 ) 7 = = = 7 8 = 5 5 9 = (9, ) συν(., ) = =. 9-5. = 5 9 9 5 8 = 8 ΘΕΜΑ 7 0 Γ Ν βρείτε τις εξισώσεις των ευθειών οι οποίες διέρχοντι πό την ρχή των ξόνων Ο κι πέχουν πό το σημείο Α(, ) πόστση ίση με. Η ζητούμενη ευθεί ε, φού διέρχετι πό την ρχή των ξόνων, θ έχει εξίσωση = 0 ή = λ, λ. () Ότν ε : = 0 5

. 0 0 d(α, ε) = =, άρ η ευθεί = 0 είνι λύση του προβλήμτος. 0 Ότν ε : = λ λ = 0.. 0 d(α, ε) = = = +6λ + 9 = 6λ = 8 λ = Άρ ε : = + ΘΕΜΑ 8 0 Γ Δίνοντι τ σημεί Α(, ) κι Β(, ). Ν βρείτε το σύνολο των σημείων Μ, γι τ οποί ισχύει (ΜΑΒ) = 8 Έστω Μ(, ) τυχίο σημείο γι το οποίο ισχύει (ΜΑΒ) = 8 = ( +, + ), = ( +, + ) = (, ) (ΜΑΒ) = 8 det, = 8 + + 8 = 6 5 = 6 5 = 6 ή 5 = 6 = 0 ή + = 0 = 6 ΘΕΜΑ 9 0 Γ Ν ποδείξετε ότι οι ευθείες λ + (λ ) = λ κι (λ + ) + λ = λ + τέμνοντι γι όλες τις τιμές του λ. Ποιος είνι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων τομής τους; D = λ λ = -( -) = + = 0. λ+ λ Άρ το σύστημ έχει μονδική λύση γι κάθε λ, άρ οι ευθείες τέμνοντι. D = λ λ = +λ λ + = λ + λ+ λ D = λ λ λ+ λ+ = + λ λ = λ Έστω Μ(, ) τυχίο σημείο τομής τους. Τότε D D D D = + + = 0 6

ΘΕΜΑ 0 0 Γ Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου του οποίου το κέντρο βρίσκετι στην ευθεί 0 κι ο οποίος εφάπτετι του άξον των ψ στο σημείο Α(0,) Έστω η εξίσωση του κύκλου είνι 0 0 Είνι κόμη d, οπότε πό τη σχέση έχουμε Αφού ο κύκλος έχει το κέντρο του πάνω στην ευθεί 0.θ ισχύει ότι 0 0 0 Αφού ο κύκλος εφάπτετι του άξον των ψ στο σημείο Α(0,),έχουμε 0 Κτά συνέπει το κέντρο προσδιορίζετι πό τη λύση του συστήμτος 0 0 0 0 0 0 6 Άρ, ΘΕΜΑ 0 Γ Δίδετι κύκλος με εξίσωση χ + =0 κι το σημείο Α(6,-).Ν βρείτε τις εξισώσεις των εφπτόμενων που άγοντι πό το σημείο Α στον κύκλο κι τ σημεί επφής. Ν θυμηθούμε ότι πό σημείο εκτός κύκλου άγοντι εφπτόμενες κι ότι η εφπτόμενη κι κτίν σχημτίζουν ορθή γωνί Η εξίσωση εφπτομένης έχει μορφή : (ε) = λχ + β ή λχ - +β =0 (Σκοπός μς είνι ν βρούμε το λ κι β.)α ν βρούμε μι τιμή γι το λ η άλλη εφπτομένη είνι η χ=κ όπου κ η τετγμένη το σημείου Α) Ο κύκλος με εξ. χ + =0 έχει κέντρο Κ(0,0) κι R 0 Η πόστση του κέντρου του κύκλου πό την εφπτομένη ισούτι με R. A B 0 0 d R 0 0 () A B Η εφπτομένη περνά πό το σημείο Α(6,-): 6 (6 ) () (6, ) (),() 0( ) ( (6 ) ) 0 0 6 6 6 0 0 ( )( ) 0 () (6 ) 5 : 5 0 0 () () (6 ) 0 : 0 () 7

ί ή : () 0 (5) ά. ύ έ 0 0 0 00 0 0 5 0 80 0 8 6 0 ( ) 0 έ (5) ( ) 0 (, ) ύ ί ή 0 ύ ί ό ά ί ύ ί έ (,) Η γωνί ΒΑΓ είνι ορθή γιτί ΘΕΜΑ 0 Γ Ν βρείτε την εφπτομένη του κύκλου χ + =9 που άγετι πό το σημείο (,5) ΣΧΟΛΙΟ Αν βρούμε μόνο μι τιμή γι την κλίση λ της εφπτομένης η άλλη εφπτομένη είνι κάθετη στον οριζόντιο άξον κι η κλίση δεν ορίζετι. Η εξίσωση της είνι η = κ όπου κ η τετμημένη του σημείου πό το οποιο άγετι η εφπτομένη. A B 0 0 d R () A B 5 (5 ) () (,5) (),() 9( ) (5 ) ) 9 9 9 0 5 8 0 6 5 8 5 () 5 5 : 5 8 5 0 8 5 5 5 H.. ί : ΘΕΜΑ 0 Γ Δίνοντι οι κύκλοι C : ( ) ( ) 5 κι C : ( ). (i) Ν βρεθεί η εξίσωση της εφπτομένης ε του κύκλου C στο σημείο A ( 5, ). (ii) Ν ποδειχτεί ότι η ε εφάπτετι κι του κύκλου C. Ο κύκλος C έχει κέντρο K (,) κι κτίν 5, ενώ ο κύκλος C έχει κέντρο ( 0, ) κι κτίν. (i) Γνωρίζουμε πό τη Γεωμετρί ότι έν σημείο M (, ) νήκει στην ε, ν κι μόνο ν AM KA, δηλδή, ν κι μόνο ν 8

KA AM 0. () C Όμως, KA (, ) κι AM ( 5, ). Έτσι, η () γράφετι διδοχικά K(,) ( 5) ( ) 0 90. Άρ, η εξίσωση της ε είνι: 90. () C O Λ(0,-) B A(5,-) M(,) (ii) Γι ν δείξουμε ότι η ε εφάπτετι του κύκλου C, ρκεί ν δείξουμε ότι η πόστση του κέντρου ( 0, ) του C πό την ε είνι ίση με την κτίν του C, δηλδή ίση με. 0( ) 9 5 Έχουμε λοιπόν: d(, ε). 5 ΘΕΜΑ 0 Γ Ν βρείτε την εφπτομένη του κύκλου + + + = 0 στο σημείο του Α(, ) = A =, = B =. 0 0 Κέντρο το Κ(, ) Έστω Μ(, ) το τυχίο σημείο της εφπτομένης στο Α. = 0 ( )( ) + ( + )( + ) = 0 ( + )( ) = 0 = 0 = ΘΕΜΑ 5 0 Β Ν βρείτε τη σχετική θέση των κύκλων C : + = κι C : ( ) + = (0, 0), = (, 0), = Είνι ( ) = κι = = ( ) = Άρ οι κύκλοι εφάπτοντι εσωτερικά. ΘΕΜΑ 6 0 Λ Μ O Σ K Γ Ν βρείτε το γεωμετρικό τόπο των μέσων των χορδών του κύκλου πό το σημείο Α(, ). Έστω Μ(, ) τυχίο σημείο του γεωμετρικού τόπου A(, ) το Μ είνι μέσο της τυχίς χορδής ΚΛ, που διέρχετι πό το Α ΟΜ ΜΑ + = 5, που διέρχοντι το Μ βλέπει το τμήμ ΟΑ με ορθή γωνί 9

το Μ διγράφει κύκλο διμέτρου ΟΑ Το κέντρο του είνι Σ( 0, 0 ) = Σ(, ) κι η κτίν του ρ = (ΣΟ) = = 5. Άρ η εξίσωσή του είνι ( ) + ( ) = 5 ΘΕΜΑ 7 0 Δ Δίνετι η εξίσωση + λ = 0 (), όπου λ. (i) Ν ποδείξετε ότι γι κάθε τιμή του λ, η () πριστάνει κύκλο, του οποίου ζητείτι ν βρεθεί το κέντρο κι η κτίν. (ii) Ν ποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι C, που ορίζοντι πό την () γι τις διάφορες τιμές του λ, διέρχοντι πό δύο στθερά σημεί. Ποι είνι η εξίσωση της κοινής χορδής όλων υτών των κύκλων; (i)η εξίσωση () είνι της μορφής + - Γ = ( λ ) + 0 + = + > 0 + +Α + B + Γ = 0. Άρ πριστάνει κύκλο με κέντρο Κ(λ, 0) κι κτίν ρ = = (ii)γι λ = 0, η () γίνετι + = κύκλος C0 Γι λ =, η () γίνετι + = 0 κύκλος C Σύστημ, γι ν βρούμε τ σημεί τομής των C 0, C 0 0 0 0 ή 0 0 Τ σημεί τομής είνι Κ(0, ) κι Λ(0, ) Κ C 0 + λ.0 = 0 0 = 0 που ισχύει, άρ οι κύκλοι C διέρχοντι πό το Κ. Λ C 0 + ( ) λ.0 = 0 0 = 0 που ισχύει, άρ οι κύκλοι C διέρχοντι πό το Λ Η εξίσωση της κοινής χορδής ΚΛ είνι = 0. ΘΕΜΑ 8 0 Γ Ν βρείτε την εξίσωση του κύκλου που διέρχετι πό το σημείο (, 0) κι εφάπτετι στις ευθείες + + 6 = 0 κι + - = 0. 0 0 () Η ζητούμενη εξίσωση θ είνι της μορφής Οι δοσμένες ευθείες είνι πράλληλες, οπότε το κέντρο Κ(χ 0, ψ 0 ) του ζητούμενου κύκλου θ νήκει στη μεσοπράλληλη τους που είνι η (ε) ψ = -χ +. Κτά συνέπει θ έχουμε ψ 0 = -χ 0 + () Η διάμετρος του ζητούμενου κύκλου είνι η πόστση των ευθειών ε κι ε. Κτά συνέπει,, = 9 0 50

9 0 0 Αφού ο κύκλος διέρχετι πό το σημείο (,0) θ είνι 0 0 ΘΕΜΑ 9 0 Γ Ν βρείτε τις εξισώσεις των εφπτομένων του κύκλου + = που είνι πράλληλες στηνευθεί + = 0. όπου, Η ζητούμενη εφπτόμενη έχει εξίσωση ε Όμως είνι // ψ+χ=0 οπότε = () Όμως το σημείο, νήκει στον κύκλο, κτά συνέπει () το σημείο επφής Λύνοντς το σύστημ των () κι () έχουμε,, ή,, Κτά συνέπει έχουμε δύο εφπτόμενες κι ΘΕΜΑ 0 0 Γ Ν βρεθεί η εξίσωση της εφπτομένης της πρβολής = περιπτώσεις : (i) Ότν είνι πράλληλη στην ευθεί = + (ii) Ότν είνι κάθετη στην ευθεί = (iii) Ότν διέρχετι πό το σημείο Α(0, ) Η πρβολή γράφετι = =. ρ = Η εφπτομένη της στο σημείο της Λ(, ) είνι σε κθεμιά πό τις πρκάτω ε : = ( + ) = + = = (i) ε = + = = = Λ(, ) στην πρβολή = () ε : = = = () (ii) ε = = = Λ(, ) στην πρβολή = () ε : = - (iii) Α(0, ) ε = = =.0 = Λ(, ) στην πρβολή = = = = = ή = 5

() = ή = = ή = ΘΕΜΑ 0 Γ Ν βρεθούν οι εξισώσεις των εφπτομένων της έλλειψης + =, οι οποίες : (i) είνι πράλληλες προς την ευθεί = + (ii) είνι κάθετες στην ευθεί = (iii) διέρχοντι πό το σημείο Μ(ο, ) (i)έστω ε : + = ζητούμενη εφπτομένη, όπου Λ(, ) το σημείο επφής. ε πράλληλη στην ευθεί = + = = = Λ(, ) στην έλλειψη + = + + = = = = ή = Γι = θ είνι =, οπότε ε :. + = + = Γι = θ είνι =, οπότε ε :. ( ) + ( ) = = (ii)έστω ε : + = ζητούμενη εφπτομένη, όπου Λ(, ) το σημείο επφής. ε κάθετη στην ευθεί =. =. = = Λ(, ) στην έλλειψη + = + 9 Γι = ε : Γι = θ είνι = + 6 =6 = = 6 Τότε = = + 9 6 ή = = + 6 = 6 + = 0 θ είνι = ( ) = 6 Τότε ε : (- ) 6 = 6 = 6 + + = 0 (iii)έστω ε : + = ζητούμενη εφπτομένη, όπου Λ(, ) το σημείο επφής. M(0, ) ε.0 +. = = Λ(, ) στην έλλειψη + = + = = = = ή = Γι =, =, είνι ε :. + = + = Γι =, =, είνι ε :. ( ) + = + = 5

ΘΕΜΑ 0 Γ-Δ Δίνετι η πρβολή. Ν βρείτε: Α. Την εστί κι τη διευθετούσ της πρβολής. Β. Τις ευθείες που διέρχοντι πό την εστί της πρβολής κι πέχουν πό την ρχή των ξόνων πόστση ίση με. Γ. Την εξίσωση της εφπτομένης της πρβολής που είνι πράλληλη στην ευθεί. έχει εστί E,0 κι διευθετούσ θ είνι ή,0 κι η διευθετούσ. Α. Κτά τη θεωρί μς η πρβολή με εξίσωση την πρβολή. Αρ εστί Β. Κάθε ευθεί που διέρχετι πό την εστί,0 έχει εξίσωση () (ε ) (). Γι ν είνι η ευθεί ή λύση του προβλήμτος πρέπει η πόστση h του σημείου 0 0,0 πό υτήν ν είνι ίση προς. Η ευθεί μς γράφετι 0.. Συνεπώς γι (ε) Θυμόμστε ότι η πόστση σημείου, πό την ευθεί 0 είνι h 0 0 Εφρμόζοντς τον τύπο υτό γι τ δεδομέν της άσκησής μς έχουμε 0 0. Συνεπώς οι εξισώσεις των ευθειών υτών είνι κι. Γ. Η εξίσωση της εφπτομένης της πρβολής Συνεπώς γι την πρβολή 0 0 A B στο σημείο, είνι κτά τη θεωρί η εφπτομένη στο, είνι. Επιπλέον η εφπτομένη.. Πρέπει τώρ ν υπολογίσουμε τ,. Το σημείο (,.) νήκει στην πρβολή κι άρ. είνι πράλληλη προς την. Γι ν συμβίνει υτό πρέπει οι συντελεστές διεύθυνσης των δύο ευθειών ν είνι ίσοι δηλδή κι άρ. Αντικθιστώντς τώρ στην τ κι έχουμε. ή που είνι η ζητούμενη εξίσωση της εφπτομένης που είνι πράλληλη στην. Γ. Η εξίσωση της εφπτομένης της πρβολής στο σημείο, είνι κτά τη θεωρί. Συνεπώς γι την πρβολή η εφπτομένη στο, είνι. Πρέπει τώρ ν υπολογίσουμε τ,. Το σημείο (,.) νήκει στην πρβολή κι άρ.. 5

Επιπλέον η εφπτομένη. είνι πράλληλη προς την. Γι ν συμβίνει υτό πρέπει οι συντελεστές διεύθυνσης των δύο ευθειών ν είνι ίσοι δηλδή στην κι άρ. Αντικθιστώντς τώρ τ κι ή που είνι η ζητούμενη εξίσωση της εφπτομένης που είνι πράλληλη στην. έχουμε. ΘΕΜΑ 0 Δ Δίνετι η εξίσωση 0 0. Α. Ν ποδείξετε ότι γι κάθε η εξίσωση υτή πριστάνει κύκλο του οποίου ν προσδιορίσετε το κέντρο κι την κτίν. Β. Αν, ν βρείτε την εξίσωση της εφπτομένης του κύκλου στο σημείο M,. Γ. Ν ποδείξετε ότι γι τις διάφορες τιμές του τ κέντρ των πρπάνω κύκλων βρίσκοντι σε κύκλο με κέντρο το (0,0) κι κτίν. Κτά τη θεωρί κάθε εξίσωση της μορφής η συνθήκη A B 0. Επειδή η εξίσωση A B 0 γι ν πριστάνει κύκλο πρέπει ν ισχύει 0 έχει την πρπάνω μορφή κι επειδή το είνι ρνητικός ριθμός, η συνθήκη A B 0 ισχύει.. Το κέντρο του A B κύκλου κτά τη θεωρί είνι, κι συνεπώς γι την άσκησή μς είνι, ή,. Η κτίν του κύκλου κτά τη θεωρί είνι R κι συνεπώς γι την άσκησή μς είνι R ή R ή 8 R ή R. Β. Αν τότε είνι, ή 0,. Η εφπτομένη του κύκλου είνι η κάθετος επί της ΚΜ στο Μ. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ΚΜ είνι. 0 Μ(,) Ο συντελεστής διεύθυνσης της (ε) που είνι κάθετος στην ΚΜ είνι. Η εξίσωση της εφπτομένης που είνι M, () ευθεί που διέρχετι πό το κι έχει συντελεστή διεύθυνσης. ή. είνι () Γ. Ο κύκλος με κέντρο (0,0) κι κτίν έχει εξίσωση () Το κέντρο του κύκλου της άσκησης μς γι τυχίο είνι,. Αν λοιπόν θέσουμε στην () όπου το κι όπου το έχουμε : που είνι ληθής. Συνεπώς το Κ νήκει στον κύκλο με κέντρο το (0,0) κι κτίν. 5

ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ 0 ΘΕΜΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 0 ΘΕΜΑ 0 55

ΘΕΜΑ 0 ΘΕΜΑ 0 ΘΕΜΑ 5 0 56

ΘΕΜΑ 6 0 ΘΕΜΑ 7 0 57

ΘΕΜΑ 0 ΘΕΜΑ 0 ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 0 ΘΕΜΑ 0 ΘΕΜΑ 0 ΘΕΜΑ 5 0 58

ΘΕΜΑ 6 0 ΘΕΜΑ 7 0 ΘΕΜΑ 8 0 ΘΕΜΑ 9 0 ΘΕΜΑ 0 0 59