ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι σηµαίνει γεωµετρικά το Θεώρηµα Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού; Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν z ένας µιγαδικός αριθµός και _ z ο συζυγής του, τότε ισχύει z = z = z. β. Έστω µία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστηµα και δύο φορές παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Αν f (x > για κάθε εσωτερικό σηµείο x του, τότε η f είναι κυρτή στο. γ. Για κάθε συνάρτηση f, παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα, ισχύει f (xdx = f (x + c, c IR. Μονάδες 7 Μονάδες Μονάδες Μονάδες δ. Αν µια συνάρτηση f είναι κυρτή σε ένα διάστηµα, τότε η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f σε κάθε σηµείο του βρίσκεται «πάνω» από τη γραφική της παράσταση. Μονάδες ε. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα και x ένα εσωτερικό σηµείο του. Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο x και f (x =, τότε η f παρουσιάζει υποχρεωτικά τοπικό ακρότατο στο x. Απάντηση: α. Θεωρία: Θεώρηµα σελ. 7 σχολικού βιβλίου β. Θεωρία: Η απάντηση βρίσκεται στη σελ. 47 του σχολικού βιβλίου γ. α-σ β-σ γ-σ δ-λ ε-λ Μονάδες
ΘΕΜΑ ο _ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z = α + βi, όπου α, β IR και w = z iz + 4 όπου z είναι ο συζυγής του z. α. Να αποδείξετε ότι Re(w = α β + 4 Ιm(w = β α. Μονάδες 6 β. Να αποδείξετε ότι, αν οι εικόνες του w στο µιγαδικό επίπεδο κινούνται στην ευθεία µε εξίσωση y = x, τότε οι εικόνες του z κινούνται στην ευθεία µε εξίσωση y = x. Μονάδες 9 γ. Να βρείτε ποιος από τους µιγαδικούς αριθµούς z, οι εικόνες των οποίων κινούνται στην ευθεία µε εξίσωση y = x, έχει το ελάχιστο µέτρο. Μονάδες Απάντηση: α. Είναι: w = z iz + 4 = ( α + βi i( α βi + 4 = α + βi αi β + 4 = (α β + 4 + (β αi Έτσι Re(w = α - β + 4 και Im(w = β - 4. β. Οι εικόνες του w στο µιγαδικό επίπεδο είναι τα σηµεία Μ(α-β+4, β-α, όπου α, β R. Αφού ανήκουν σε ευθεία µε εξίσωση y = x - είναι: β - α = α - β + 4-4β - 4α = -8 β - α = - β = α -. Από την τελευταία συνάγεται ότι τα σηµεία Ν(α,β που είναι οι εικόνες του z στο µιγαδικό επίπεδο ανήκουν στην ευθεία µε εξίσωση y = x -. γ. Από τις εικόνες των µιγαδικών αριθµών, των οποίων οι εικόνες κινούνται στην ευθεία (ε: y = x -, ελάχιστο µέτρο έχει εκείνος του οποίου η εικόνα Κ είναι τέτοια ώστε ΟΚ κάθετη στην (ε. Έτσι: λ ΟΚ = - και ΟΚ: y = -x Λύνοντας το σύστηµα: y = x -, y = -x προκύπτει x =, y = -. ηλαδή το σηµείο Κ έχει συντεταγµένες (,-. Άρα ο µιγαδικός µε το ελάχιστο µέτρο από αυτούς που κινούνται στην ευθεία µε εξίσωση y = x - είναι ο z = - i. ΘΕΜΑ ο Έστω η συνάρτηση f(x = x 5 +x +x. α. Να µελετήσετε την f ως προς την µονοτονία και τα κοίλα και να αποδείξετε ότι η f έχει αντίστροφη συνάρτηση. β. Να αποδείξετε ότι f(e x f(+x για κάθε x IR. Μονάδες 6 Μονάδες 6 γ. Να αποδείξετε ότι η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της f στο σηµείο (, είναι ο άξονας συµµετρίας των γραφικών παραστάσεων της f και της f. Μονάδες 5 δ. Να υπολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα των x και την ευθεία µε εξίσωση x =.
Απάντηση: α. Η συνάρτηση f(x=x 5 +x +x είναι ορισµένη και παραγωγίσιµη φορές σε όλο το R µε: f (x = (x 5 +x +x = 5x 4 +x + και f (x = (5x 4 +x + = x +6x Επειδή είναι f (x = 5x 4 +x + > για κάθε x R, προκύπτει ότι η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το R. f (x= x +6x= x(x += x= εφόσον x +> για κάθε x R. Εποµένως η f είναι: κοίλη στο διάστηµα (-, ] και κυρτή στο διάστηµα [, +. Επειδή η συνάρτηση f είναι γνησίως µονότονη στο R θα είναι - σε αυτό και συνεπώς η f είναι αντιστρέψιµη στο R. β. Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R (ερώτηµα α. Προκειµένου να δείξουµε ότι f(e x f(+x για κάθε x R, αρκεί να δείξουµε ότι: e x +x για κάθε x R. Πράγµατι, θεωρούµε τη συνάρτηση g(x=e x --x στο R, η οποία είναι παραγωγίσιµη σ αυτό µε g (x=e x -. Από την εξίσωση g (x= έχουµε e x -= e x = x=. Έχουµε: ελάχ. g( = Εποµένως g(x g(= για κάθε x R ή e x --x για κάθε x R και άρα: e x +x για κάθε x R γ. Η εφαπτοµένη της C f στο σηµείο (, έχει εξίσωση y-f( = f ( (x- ή y- = (x- ή y=x που είναι η διχοτόµος της πρώτης και τρίτης γωνίας των αξόνων. Επειδή τώρα η f είναι αντιστρέψιµη (ερώτηµα α προκύπτει ότι υπάρχει η f - ή οποία (λόγω πρότασης σελ. 55 σχολ. βιβλ. έχει C f - συµµετρική την C f ως προς άξονα συµµετρίας την ευθεία y=x δ. Για κάθε x [,] είναι: x και επειδή η f - είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα αυτό (*, θα είναι f - (x f - ( f - (x. (αφού f - ( = ** Έτσι το εµβαδό του ζητουµένου χωρίου ισούται µε: f E = (ydy. Θέτουµε f - (y=x y=f(x. ( ιαφορίζοντας την ( λαµβάνουµε: dy=d[f(x]=f (xdx και
y 5 f (x = x + x + x= x x x f (x = x 5 + x + x= (***, άρα E = 5 5 5 x f '(xdx = x(x + x + x' dx = (5x + x + xdx = 5 x dx + x dx + 6 x = 5 6 4 x + 4 x + 5 = 5 + + = τ. µ. 6 4 Αιτιολογήσεις για το ερώτηµα δ του ου θέµατος: xdx = (* H f - είναι συνεχής και γνησίως µονότονη στο R, σύµφωνα µε την πρόταση που λέει ότι αν η f είναι συνεχής και γνησίως µονότονη σε διάστηµα τότε υπάρχει η αντίστροφή της η οποία είναι επίσης συνεχής στο f( και διατηρεί το ίδιο είδος µονοτονίας µε την f. (Η πρόταση αυτή, όµως, δεν υπάρχει στο σχολικό βιβλίο και αναφέρεται για λόγους µαθηµατικής πληρότητας. Έτσι, η µη αναφορά σε αυτήν από κάποιο µαθητή δεν έχει βαθµολογικές απώλειες. (**Ισχύει ότι: f - (=. Πράγµατι για x= έχουµε: f - (=y f(f - (=f(y =f(y =y 5 +y +y y(y 4 +y += y=. (*** Η εξίσωση x 5 +x +x= έχει µοναδική λύση την x= γιατί η f(x είναι - στο R και εποµένως κάθε οριζόντια ευθεία, οπότε και η y=, τέµνει την C f σε µοναδικό σηµείο. Η εξίσωση x 5 +x +x= έχει µοναδική λύση την x=, γιατί x(x 4 +x += x=, αφού x 4 +x +> για κάθε x R. ΘΕΜΑ 4ο Έστω µια συνάρτηση f συνεχής σ ένα διάστηµα [α,β] που έχει συνεχή δεύτερη παράγωγο στο (α,β. Αν ισχύει f(α = f(β = και υπάρχουν αριθµοί γ (α,β, δ (α,β, έτσι ώστε f(γ f(δ <, να αποδείξετε ότι: α. Υπάρχει µία τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης f(x = στο διάστηµα (α,β. β. Υπάρχουν σηµεία ξ, ξ (α,β τέτοια ώστε f (ξ < και f (ξ >. γ. Υπάρχει ένα τουλάχιστον σηµείο καµπής της γραφικής παράστασης της f. Απάντηση: Μονάδες 9 α. Αφού η f είναι συνεχής στο κλειστό διάστηµα µε άκρα γ, δ και f(γ. f(δ <, εφαρµόζεται το θεώρηµα Bolzano από το οποίο συνάγεται ότι υπάρχει µία τουλάχιστον ρίζα x που ανήκει στο ανοιχτό διάστηµα µε άκρα γ, δ ώστε f(x =. 4
β. Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουµε ότι γ < δ και f(γ >, f(δ <, οπότε α < γ < x < δ <β. i Στο διάστηµα [α,γ] είναι: f(α =, f(γ >, άρα f(α < f(γ και επειδή είναι α < γ συνάγεται ότι: f (α f (γ > ( α γ Όµως από το θεώρηµα µέσης τιµής (ΘΜΤ για την f στο διάστηµα [α,γ], υπάρχει κ (α,γ ώστε f (α f (γ f (κ = και λόγω της ( f (κ >. α γ ii Εργαζόµενοι οµοίως, στο διάστηµα [γ,x ] έχουµε: f(γ >, f(x = άρα f(γ > f(x και επειδή είναι γ < x συνάγεται: f (γ f (x < ( γ x Από το ΘΜΤ για την f στο διάστηµα [γ,x ] έχουµε ότι υπάρχει κ (γ,x ώστε f (γ f (x f (κ = γ x και λόγω της ( είναι f (κ <. iii Για το διάστηµα [x, δ] όµοια έχουµε ότι υπάρχει κ (x,δ ώστε f (δ f (x = f (κ < δ x iv Για το διάστηµα [δ,β] όµοια έχουµε ότι υπάρχει κ 4 (δ,β ώστε f (β f (δ = f (κ 4 > β δ v Είναι f (κ >, f (κ < άρα f (κ > f (κ και επειδή κ < κ, είναι: f (κ f (κ < κ κ Όµως για την f εφαρµόζεται το ΘΜΤ στο διάστηµα [κ,κ ], οπότε υπάρχει ξ (κ,κ ώστε f (κ f (κ f (ξ = < κ κ vi Είναι f (κ <, f (κ 4 >, άρα f (κ < f (κ 4 και επειδή κ < κ 4 είναι f (κ f (κ4 > κ κ4 Όµως για την f εφαρµόζεται το ΘΜΤ στο διάστηµα [κ,κ 4 ], οπότε υπάρχει ξ (κ,κ 4 ώστε f (κ f (κ4 f ( ξ = > κ κ4 είξαµε έτσι ότι υπάρχουν ξ, ξ (α,β ώστε f (ξ < και f (ξ >. 5
γ. Από το β ερώτηµα µε βάση το θεώρηµα Bolzano για την f στο κλειστό διάστηµα µε άκρα ξ, ξ προκύπτει ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον σηµείο ξ που ανήκει στο ανοικτό διάστηµα µε άκρα ξ, ξ ώστε f (ξ =. Το σηµείο ξ θα ήταν σηµείο καµπής της συνάρτησης εφόσον η f άλλαζε πρόσηµο εκατέρωθεν αυτού. Όµως κάτι τέτοιο δεν εξασφαλίζεται από τα δεδοµένα του θέµατος. β τρόπος λύσης για το θέµα 4β: Από το θεώρηµα µέγιστης-ελάχιστης τιµής για την f που είναι συνεχής στο [α,β] εξασφαλίζεται ότι υπάρχουν δύο σηµεία x, x [α,β] µε x < x ώστε f(x f(x f(x για κάθε x [α,β]. Εφόσον η f παίρνει µία τουλάχιστον αρνητική τιµή και µία τουλάχιστον θετική (πράγµα που συνεπάγεται από την δοσµένη σχέση f(γ. f(δ <, η ελάχιστη τιµή f(x θα είναι αρνητική, ενώ η µέγιστη τιµή f(x θα είναι θετική. Η f είναι παραγωγίσιµη στο (α,β άρα και στα εσωτερικά σηµεία x,x, που επειδή είναι θέσεις ακρότατων από το θ. Fermat συνάγεται ότι f (x = f (x =. Στο διάστηµα [x,x ] η f δεν µπορεί να είναι η σταθερή µηδενική διότι τότε η f θα ήταν σταθερή και άρα f(x = f(x ή f max = f min άτοπο διότι υπάρχουν τα δοσµένα γ,δ για τα οποία ισχύει από υπόθεση f(γ. f(δ <. Συνεπώς υπάρχει σηµείο x (x,x ώστε f (x > ή f (x <. Έστω πχ f (x >. Τότε από ΘΜΤ για την f στο [x,x ], υπάρχει ξ (x, x ώστε: f (x f (x f (ξ = = x x f (x > x x από ΘΜΤ για την f στο [x, x ], υπάρχει ξ (x, x ώστε: f (x f (x f (x f (ξ = = < x x x x Αν υποθέταµε f(x < θα προέκυπτε f (ξ <, f (ξ >. 6