Συναρτήσεις Γάµµα και Βήτα ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 5 Μαρτίου 29 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των συναρτήσεων Γάµµα και Βήτα. Το ϕυλλάδιο διατίθεται ΩΡΕΑΝ και απαγορεύεται η εµπορική εκµετάλλευση από οποιονδήποτε. email: kkiritsis@vitali.gr 1
Κ. Κυρίτσης 2 Συναρτήσεις Γάµµα και Βήτα Περιεχόµενα 1 Συνάρτηση Γάµµα 3 2 Συνάρτηση Βήτα 4 3 Εφαρµογές 5
Κ. Κυρίτσης 3 Συναρτήσεις Γάµµα και Βήτα 1 Συνάρτηση Γάµµα Η συνάρτηση Γάµµα ορίζεται να είναι Γ(x) = ˆ t x 1 e t dt. Μπορεί να δειχθεί ότι το ολοκλήρωµα συκλίνει για x >, αν και δεν µπορεί να γραφτεί χρησιµοποιώντας τις γνωστές στοιχειώδεις συναρτήσεις. Μια πολύ σηµαντική ιδιότητα της συνάρτησης Γάµµα είναι ότι Γ(x + 1) = xγ(x). Η χρησιµότητά της είναι διπλή. Κατ αρχήν, αν είναι γνωστές οι τιµές της συνάρτησης στο διάστηµα < x 1, µ αυτή την ιδιότητα µπορούµε να ϐρούµε τις τιµές της συνάρτησης για κάθε x >. Και όχι µόνο. Γράφοντας την σχέση αυτή σαν Γ(x) = Γ(x + 1), x µπορούµε να επεκτείνουµε την συνάρτηση και στους αρνητικούς αριθµούς. Εξαίρεση αποτελούνε οι αρνητικοί ακέραιοι για τους οποίους µπορεί να δειχτεί ότι η συνάρτηση Γάµµα απειρίζεται. Για x ακέραιο, έχουµε ότι Γ(n + 1) = nγ(n) = n(n 1)Γ(n 1) = n(n 1) 3 2 Γ(1). Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της συνάρτησης Γάµµα, είναι εύκολο να δείξου- µε ότι Γ(1) = 1. Για µεγάλες τιµές του n, είναι ή αλλιώς n! 2πn n+1 e n, lim n Ετσι πλέον είναι ϕανερό ότι 2πn n+1 e n n! Γ(n + 1) = n!. = 1. Απ αυτό το γεγονός κάνουµε το ϐήµα και ορίζουµε πλέον το παραγοντικό οποιουδήποτε αριθµού να είναι x! = Γ(x + 1) 2πx x+1 e x.
Κ. Κυρίτσης 4 Συναρτήσεις Γάµµα και Βήτα Συνεχίζοντας, µπορεί κανείς να δείξει ότι Γ(x)Γ(1 x) = π sin πx. Επίσης Γ( 1 2 ) = π. Άλλη σηµαντική ιδιότητα της συνάρτησης Γάµµα είναι ότι η οποία γενικεύεται στην 2 2x 1 Γ(x)Γ(x + 1 2 ) = πγ(2x), Γ(x)Γ(x + 1 m )Γ(x + 2 x ) Γ(x + m 1 m ) = m1 2 mx (2π) m 1 2 Γ(mx). Τέλος αναφέρουµε ότι για την παράγωγο της Γάµµα συνάρτησης ισχύει ότι Γ (x) = ˆ t x 1 e t ln tdt. Μπορεί να δειχθεί ότι ( Γ (x) 1 Γ(x) = γ E + 1 1 ) ( 1 + x 2 1 ) ( ) 1 + + x + 1 n 1. x + n 1 Υπενθυµίζουµε ότι γ E είναι η σταθερά του Euler, η οποία ορίζεται σαν το όριο γ E = lim (1 + 12 + 13 + + 1k ) ln k, k και έχει την αριθµητική τιµή γ E =, 57721566.... 2 Συνάρτηση Βήτα Η συνάρτηση Βήτα ορίζεται να είναι B(x, y) = ˆ 1 t x 1 (1 t) y 1 dt. Για x, y 1 αυτό είναι ένα κανονικό ολοκλήρωµα. Εαν x >, y > και είτε µια είτε και οι δύο από τις x, y είναι x < 1, y < 1, το ολοκλήρωµα συγκλίνει. Στην πραγµατικότητα είναι ένας διπαραµετρικός συνδιασµός συναρτήσεων Γάµµα. ηλαδή είναι ένας συνδιασµός που περιλαµβάνει την Γ(x) και την Γ(y). Η σχέση που τις συνδέει είναι B(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x + y).
Κ. Κυρίτσης 5 Συναρτήσεις Γάµµα και Βήτα 3 Εφαρµογές ύο πολύ χρήσιµα ολοκληρώµατα που µπορούνε να εκφραστούνε σαν συναρτήσεις Γάµµα και Βήτα, είναι το και το ˆ π/2 ˆ sin 2x 1 θ cos 2y 1 θdθ = 1 2 B(x, y) = 1 Γ(x)Γ(y) 2 Γ(x + y), x p 1 π dx = Γ(p)Γ(p 1) = 1 + x sin πp, < p < 1. Τέλος αναφέρουµε τα λεγόµενα ολοκληρώµατα Dirichlet. Εστω V ο όγκος που περικλείεται από την επιφάνεια ( x ) p ( y ) q ( z ) r + + = 1 a b c και τα επίπεδα Αν όλες οι σταθερές είναι ϑετικές, τότε V x =, y =, z =. x α 1 y β 1 z γ 1 dxdydz = aα b β c γ pqr Γ( α p )Γ(β q )Γ(γ r ) Γ(1 + α p + β q + γ r ).
Κ. Κυρίτσης 6 Συναρτήσεις Γάµµα και Βήτα ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ Πανεπιστηµιακά Φροντιστήρια Μαθήµατα για: Πανεπιστήµιο Πειραιώς Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών Πάντειον Πανεπιστήµιο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (ΕΜΠ) Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο (ΕΑΠ) ΤΕΙ Αθηνών ΤΕΙ Πειραιώς... Σεµινάρια για ιαγωνισµούς ηµοσίου Προετοιµασία για: Εθνική Σχολή ηµόσιας ιοίκησης Εθνική Σχολή Τοπικής Αυτοδιοίκησης Υπουργείο Οικονοµικών Υπουργείο Εξωτερικών Υπουργείο ικαιοσύνης ιαγωνισµός Εκπαιδευτικών ιαγωνισµός Ευρύτερου ηµόσιου Τοµέα.
Κ. Κυρίτσης 7 Συναρτήσεις Γάµµα και Βήτα Ξένες Γλώσσες Αγγλικά Κινέζικα TOEFL (εξεταστικό κέντρο) GMAT IELTS TOEIC GRE Εξειδικευµένα Σεµινάρια Επίσηµο Εξεταστικό Κέντρο TOEFL Στατιστικά Προγράµµατα (SPSS, StatView,... ) Matlab Mathematica Autocad Μηχανογραφηµένη Λογιστική Γλώσσες Προγραµµατισµού (C, C++, Java, Php,... )
Κ. Κυρίτσης 8 Συναρτήσεις Γάµµα και Βήτα Πληροφορική (Πιστοποιήσεις) Βασικό Επίπεδο (απαραίτητο στον ΑΣΕΠ) Προχωρηµένο Επίπεδο Εξειδικευµένο Επίπεδο Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο ECDL Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο keycert Επισκεφθείτε την ιστοσελίδα µας www.vitali.gr και ενηµερωθείτε για τα προγράµµατά µας. ιευθυντής Εκπαίδευσης ρ. Χόντας Στυλιανός ιδάκτωρ Μηχανικός ΕΜΠ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Η/Υ