Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ



Σχετικά έγγραφα
Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Κατανομές Απώλειας. Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Τίτλος Μαθήματος: Ειδικές Συναρτήσεις

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ορισµός

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-


ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι Ι ΑΣΚΩΝ : ρ. Χρήστος Βοζίκης

4. Σειρές Τέηλορ και Μακλώριν

12 Το αόριστο ολοκλήρωµα

ΜΑΣ002: Μαθηματικά ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ (για εξάσκηση)

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 16: Ολοκλήρωση Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων, Γενικευμένα Ολοκληρώματα Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. Απειροστικός Λογισµός Ι. ιδάσκων : Α. Μουχτάρης. Απειροστικός Λογισµός Ι - 3η Σειρά Ασκήσεων

= R{(a + jb)e j2π 3 4 t } (6) a + jb = j2.707 = e j π (7) A = (9) f 0 = 3 4

Αόριστο Ολοκλήρωµα ρ. Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι ( )

bx 2 (t). Για είσοδο ax 1(t) + bx 2 (t), η έξοδος είναι x(t t 0 ) και y(t t 0) = t t 0 x(t) ax 1 (t 1) + bx 2 (t 1) sin ax 1 (t)+

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 8 (λύσεις)

Γεννήτριες Συναρτήσεις

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

4.3 Παραδείγµατα στην συνέχεια συναρτήσεων

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

A = B = Ψ(1) = Ψ(0) = γ) Αφαιρώντας τη δεύτερη σχέση από την πρώτη έχουμε

(s n (f)) g = s n (f g) = f (s n (g)). s n (f) g = (f D n ) g = f (D n g) = f (g D n ) = f s n (g). K n (x)g δ (x) dx. K n (x) dx.

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Β ΦΑΣΗ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :

3. Η µερική παράγωγος

f(x) dx. f(x)dx = 0. f(x) dx = 1 < 1 = f(x) dx. Θα είχαµε f(c) = 0, ενώ η f δεν µηδενίζεται πουθενά στο [0, 2].

lim f n(x) = f(x) 1 ǫ < n ln ǫ N (ǫ, x) = ln ( )

Επαναληπτικά Θέματα Μαθηματικών Γ Λυκείου Κατεύθυνσης

Ασκήσεις Γενικά Μαθηµατικά Ι Οµάδα 9

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Kεφάλαιο 5. µετασχηµατισµού Laplace.

Λύσεις Εξετάσεων Φεβρουαρίου Ακ. Έτους

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Τηλεπικοινωνίες. Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier. Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των ακόλουθων συναρτήσεων σε χαρτί µιλιµετρέ αφού πρώτα φτιάξετε τους πίνακες των τιµών τους.

Διαφορικός λογισµός. y(x + Δx) y(x) dy dx = lim Δy

ιαγωνισµός στη µνήµη του καθηγητή: Βασίλη Ξανθόπουλου

Περιεχόµενα. 1 Ολοκληρώµατα ιπλό Ολοκλήρωµα... 1

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64

ΠΑΡΟΡΑΜΑΤΑ ΣΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ Η. ΡΟΥΣΑΛΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. ΤΟ 3ο ΚΑΙ ΤΟ 4ο ΘΕΜΑ (ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΤΑΚΗ)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2009

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 13: Ακτίνα Σύγκλισης, Αριθμητική Ολοκλήρωση, Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

20 επαναληπτικά θέματα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x

X(t) = A cos(2πf c t + Θ) (1) 0, αλλού. 2 cos(2πf cτ) (9)

Βιοµαθηµατικά BIO-156

- Τα κυριότερα μαθήματα που γίνονται στα Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ είναι τα εξής: ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό

4 Συνέχεια συνάρτησης

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

( ) * Λύση (α) Καθώς η Χαµιλτονιανή είναι ερµιτιανός τελεστής έχουµε ότι = = = = 0. (β) Απαιτούµε

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ., x 1

Θέµατα και απαντήσεις 1 στα «Σύνολα και Αριθµοί» Εξεταστική Ιανουαρίου 2012 ιδάξας Χ. Κορνάρος.

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ ιδάσκων : Ε. Στεφανόπουλος 12 ιουνιου 2017

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΘΝΙΚΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΕΛΕΤΕΣ ΕΡΕΥΝΕΣ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΥΝΤΑΞΗΣ: Ι. Πανάρετος

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Θεωρία Μέτρου και ολοκλήρωσης Ασκήσεις

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. Συνοπτικές Ενδεικτικές Λύσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Transcript:

Συναρτήσεις Γάµµα και Βήτα ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 5 Μαρτίου 29 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των συναρτήσεων Γάµµα και Βήτα. Το ϕυλλάδιο διατίθεται ΩΡΕΑΝ και απαγορεύεται η εµπορική εκµετάλλευση από οποιονδήποτε. email: kkiritsis@vitali.gr 1

Κ. Κυρίτσης 2 Συναρτήσεις Γάµµα και Βήτα Περιεχόµενα 1 Συνάρτηση Γάµµα 3 2 Συνάρτηση Βήτα 4 3 Εφαρµογές 5

Κ. Κυρίτσης 3 Συναρτήσεις Γάµµα και Βήτα 1 Συνάρτηση Γάµµα Η συνάρτηση Γάµµα ορίζεται να είναι Γ(x) = ˆ t x 1 e t dt. Μπορεί να δειχθεί ότι το ολοκλήρωµα συκλίνει για x >, αν και δεν µπορεί να γραφτεί χρησιµοποιώντας τις γνωστές στοιχειώδεις συναρτήσεις. Μια πολύ σηµαντική ιδιότητα της συνάρτησης Γάµµα είναι ότι Γ(x + 1) = xγ(x). Η χρησιµότητά της είναι διπλή. Κατ αρχήν, αν είναι γνωστές οι τιµές της συνάρτησης στο διάστηµα < x 1, µ αυτή την ιδιότητα µπορούµε να ϐρούµε τις τιµές της συνάρτησης για κάθε x >. Και όχι µόνο. Γράφοντας την σχέση αυτή σαν Γ(x) = Γ(x + 1), x µπορούµε να επεκτείνουµε την συνάρτηση και στους αρνητικούς αριθµούς. Εξαίρεση αποτελούνε οι αρνητικοί ακέραιοι για τους οποίους µπορεί να δειχτεί ότι η συνάρτηση Γάµµα απειρίζεται. Για x ακέραιο, έχουµε ότι Γ(n + 1) = nγ(n) = n(n 1)Γ(n 1) = n(n 1) 3 2 Γ(1). Χρησιµοποιώντας τον ορισµό της συνάρτησης Γάµµα, είναι εύκολο να δείξου- µε ότι Γ(1) = 1. Για µεγάλες τιµές του n, είναι ή αλλιώς n! 2πn n+1 e n, lim n Ετσι πλέον είναι ϕανερό ότι 2πn n+1 e n n! Γ(n + 1) = n!. = 1. Απ αυτό το γεγονός κάνουµε το ϐήµα και ορίζουµε πλέον το παραγοντικό οποιουδήποτε αριθµού να είναι x! = Γ(x + 1) 2πx x+1 e x.

Κ. Κυρίτσης 4 Συναρτήσεις Γάµµα και Βήτα Συνεχίζοντας, µπορεί κανείς να δείξει ότι Γ(x)Γ(1 x) = π sin πx. Επίσης Γ( 1 2 ) = π. Άλλη σηµαντική ιδιότητα της συνάρτησης Γάµµα είναι ότι η οποία γενικεύεται στην 2 2x 1 Γ(x)Γ(x + 1 2 ) = πγ(2x), Γ(x)Γ(x + 1 m )Γ(x + 2 x ) Γ(x + m 1 m ) = m1 2 mx (2π) m 1 2 Γ(mx). Τέλος αναφέρουµε ότι για την παράγωγο της Γάµµα συνάρτησης ισχύει ότι Γ (x) = ˆ t x 1 e t ln tdt. Μπορεί να δειχθεί ότι ( Γ (x) 1 Γ(x) = γ E + 1 1 ) ( 1 + x 2 1 ) ( ) 1 + + x + 1 n 1. x + n 1 Υπενθυµίζουµε ότι γ E είναι η σταθερά του Euler, η οποία ορίζεται σαν το όριο γ E = lim (1 + 12 + 13 + + 1k ) ln k, k και έχει την αριθµητική τιµή γ E =, 57721566.... 2 Συνάρτηση Βήτα Η συνάρτηση Βήτα ορίζεται να είναι B(x, y) = ˆ 1 t x 1 (1 t) y 1 dt. Για x, y 1 αυτό είναι ένα κανονικό ολοκλήρωµα. Εαν x >, y > και είτε µια είτε και οι δύο από τις x, y είναι x < 1, y < 1, το ολοκλήρωµα συγκλίνει. Στην πραγµατικότητα είναι ένας διπαραµετρικός συνδιασµός συναρτήσεων Γάµµα. ηλαδή είναι ένας συνδιασµός που περιλαµβάνει την Γ(x) και την Γ(y). Η σχέση που τις συνδέει είναι B(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x + y).

Κ. Κυρίτσης 5 Συναρτήσεις Γάµµα και Βήτα 3 Εφαρµογές ύο πολύ χρήσιµα ολοκληρώµατα που µπορούνε να εκφραστούνε σαν συναρτήσεις Γάµµα και Βήτα, είναι το και το ˆ π/2 ˆ sin 2x 1 θ cos 2y 1 θdθ = 1 2 B(x, y) = 1 Γ(x)Γ(y) 2 Γ(x + y), x p 1 π dx = Γ(p)Γ(p 1) = 1 + x sin πp, < p < 1. Τέλος αναφέρουµε τα λεγόµενα ολοκληρώµατα Dirichlet. Εστω V ο όγκος που περικλείεται από την επιφάνεια ( x ) p ( y ) q ( z ) r + + = 1 a b c και τα επίπεδα Αν όλες οι σταθερές είναι ϑετικές, τότε V x =, y =, z =. x α 1 y β 1 z γ 1 dxdydz = aα b β c γ pqr Γ( α p )Γ(β q )Γ(γ r ) Γ(1 + α p + β q + γ r ).

Κ. Κυρίτσης 6 Συναρτήσεις Γάµµα και Βήτα ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ Πανεπιστηµιακά Φροντιστήρια Μαθήµατα για: Πανεπιστήµιο Πειραιώς Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών Πάντειον Πανεπιστήµιο Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο (ΕΜΠ) Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήµιο (ΕΑΠ) ΤΕΙ Αθηνών ΤΕΙ Πειραιώς... Σεµινάρια για ιαγωνισµούς ηµοσίου Προετοιµασία για: Εθνική Σχολή ηµόσιας ιοίκησης Εθνική Σχολή Τοπικής Αυτοδιοίκησης Υπουργείο Οικονοµικών Υπουργείο Εξωτερικών Υπουργείο ικαιοσύνης ιαγωνισµός Εκπαιδευτικών ιαγωνισµός Ευρύτερου ηµόσιου Τοµέα.

Κ. Κυρίτσης 7 Συναρτήσεις Γάµµα και Βήτα Ξένες Γλώσσες Αγγλικά Κινέζικα TOEFL (εξεταστικό κέντρο) GMAT IELTS TOEIC GRE Εξειδικευµένα Σεµινάρια Επίσηµο Εξεταστικό Κέντρο TOEFL Στατιστικά Προγράµµατα (SPSS, StatView,... ) Matlab Mathematica Autocad Μηχανογραφηµένη Λογιστική Γλώσσες Προγραµµατισµού (C, C++, Java, Php,... )

Κ. Κυρίτσης 8 Συναρτήσεις Γάµµα και Βήτα Πληροφορική (Πιστοποιήσεις) Βασικό Επίπεδο (απαραίτητο στον ΑΣΕΠ) Προχωρηµένο Επίπεδο Εξειδικευµένο Επίπεδο Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο ECDL Πιστοποιηµένο Εξεταστικό Κέντρο keycert Επισκεφθείτε την ιστοσελίδα µας www.vitali.gr και ενηµερωθείτε για τα προγράµµατά µας. ιευθυντής Εκπαίδευσης ρ. Χόντας Στυλιανός ιδάκτωρ Μηχανικός ΕΜΠ Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Η/Υ