1 Paralaxe si distante

Σχετικά έγγραφα
Puncte, plane si cercuri fundamentale pe sfera cereasca

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

Curs 4 Serii de numere reale

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

1 Timpul si masurarea lui

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Integrala nedefinită (primitive)

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"


V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

SEXTANTUL CUM FUNCŢIONEAZĂ UN SEXTANT?

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

MARCAREA REZISTOARELOR

Curs 1 Şiruri de numere reale

Ecuatii trigonometrice

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

15. Se dă bara O 1 AB, îndoită în unghi drept care se roteşte faţă de O 1 cu viteza unghiulară ω=const, axa se rotaţie fiind perpendiculară pe planul

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

CURS 9 MECANICA CONSTRUCŢIILOR

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. = înălţimea triunghiului echilateral h =, R =, r = R = bh lh 2 A D ++ D. abc. abc =

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Subiecte Clasa a VIII-a

Lucrul mecanic şi energia mecanică.

Subiecte Clasa a VII-a

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

Algebra si Geometrie Seminar 9

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

z a + c 0 + c 1 (z a)

Lucrul si energia mecanica

2. CALCULE TOPOGRAFICE

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

Capitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere

2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede

VII.2. PROBLEME REZOLVATE

Capitolul 1. Noțiuni Generale. 1.1 Definiții


a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Dinamica. F = F 1 + F F n. si poarta denumirea de principiul suprapunerii fortelor.

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

IV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

6.CONUL ŞI CILINDRUL. Fig Fig. 6.2 Fig. 6.3

Capitolul 14. Asamblari prin pene

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

3. REPREZENTAREA PLANULUI

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu

Capitolul ASAMBLAREA LAGĂRELOR LECŢIA 25

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB

riptografie şi Securitate

Curs 2 Şiruri de numere reale

Miscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 )

III. Statica III. Statica. Echilibrul mecanic al corpurilor. 1. Sistem de forțe concurente. Sistemul de forțe

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Clasa a IX-a, Lucrul mecanic. Energia

Dreapta in plan. = y y 0

Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili

Lucrul mecanic. Puterea mecanică.

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)

Olimpiada de Astronomie şi Astrofizică Etapa pe judeţ 2017

FIZICĂ. Oscilatii mecanice. ş.l. dr. Marius COSTACHE

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Transcript:

1 Paralaxe si distante Determinarea distantelor reprezinta una dintre problemele importante ale astrometriei, in particular, si astronomiei in general. Intrucat distantele dintre astri sunt mari comparativ cu unitatile de masura utilizate in viata cotidiana, in astronomie sunt utilizate in mod frecvent urmatoarele unitati: a) raza terestra ecuatoriala (R 0 = 6378, 137 km); b) unitatea astronomica (1 U.A. = 149, 6 10 6 Km distanta medie Pamant Soare); c) anul lumina 1 a.l. = 6, 32 10 4 U.A. = 0, 307 pc, distanta parcursa de lumina, in vid, in timp de un an); d) parsecul (1 pc = 206264, 8 U.A. = 3, 26 a.l.). De a lungul timpului au fost imaginate mai multe metode pentru determinarea distantelor in sistemul solar si Univers. Una dintre acestea o reprezinta metoda paralactica. Deplasarea reala a observatorului in spatiu induce o schimbare a directiei astrului numita deplasare paralactica (vezi figura 1). In functie de deplasarea observatorului deosebim: i) paralaxe diurne (geocentrice). Acestea se datoreaza miscarii de rotatie a Pamantului, iar efectele sunt resimtite doar in interiorul sistemului solar; ii) paralaxe anuale (heliocentrice). Paralaxele anuale sunt produse de miscarea de revolutie a Pamantului in jurul Soarelui; iii) paralaxe seculare, datorate miscarii de translatie a sistemului solar. Paralaxa diurna si determinarea distantelor in sistemul solar Definitia 1. Se numeste paralaxa diurna (geocentrica) unghiul sub care se vede din astru raza Pamantului. (vezi figura 2). Aplicand teorema sinusului in triunghiul OT σ, adica sin p R = sin z si tinand cont ca paralaxa p este un unghi mic ( sin p = p ), deducem (1) p = R sin z. (2) 1

Figure 1: Deplasarea paralactica 2

Figure 2: Paralaxa diurna 3

Din relatia (2) rezulta ca paralaxa depinde de distanta zenitala si de raza Pamantului. Paralaxa este maxima atunci cand R reprezinta raza ecuatoriala a Pamantului, iar z = 90 0, adica astrul se afla in orizont. Definitia 2. Se numeste paralaxa diurna orizontala ecuatoriala unghiul sub care se vede din astru raza ecuatoriala a Pamantului atunci cand astrul se afla la orizont. Notand prin R 0 raza terestra ecuatoriala, iar prin p 0 paralaxa diurna orizontala ecuatoriala, din (2) deducem Din figura 2 se observa ca p 0 = R 0. (3) z = z p. (4) Observatii: 1) Coordonatele astrilor determinate din observatii care se realizeaza pe suprafata Pamantului se numesc topocentrice. Acestea sunt diferite pentru puncte diferite de pe suprafata Pamantului, chiar pentru acelasi moment. Diferentele sunt observabile doar la astrii din sistemul solar. Din acest motiv se considera fundamentala, directia care porneste din centrul Pamantului. Aceasta directie indica pozitia geocentrica. 2) In baza relatiei (3) obtinem formula = 206264, 8 R p 0 (5) 0 cu ajutorul careia se determina distantele in sistemul solar, cunoscand paralaxa orizontala p 0 (exprimata aici in secunde de arc). Paralaxa p 0 se determina prin diverse metode. Spre exemplu: pentru Luna se determina prin observatii simultane, masurandu i distanta zenitala din doua localitati situate pe acelasi meridian geografic. Paralaxa Soarelui se determina prin intermediul paralaxelor unor corpuri ceresti cere se apropie la o distanta mai mica decat distanta Soarelui. Pentru Luna se obtine p 0 = 57 2, 5, = 384, 4 10 3 km, in timp ce pentru Soare p 0 = 8, 79, = 149, 6 10 6 km. 3) Pentru masurarea distantelor in sistemul solar se utilizeaza unitatea astronomica, 1 U.A. = 149, 6 10 6 km. Paralaxa anuala si determinarea distantelor stelare Definitia 3. Se numeste paralaxa anuala (heliocentrica) a unei stele, unghiul sub care se vede din stea raza medie a orbitei terestre cand aceasta este perpendiculara pe directia Pamant-stea. (vezi figura 3) Din triunghiul σst rezulta sin π = a (6) 4

Figure 3: Paralaxa anuala 5

Figure 4: Elipsa de paralaxă 6

unde a = 1 U.A., iar este distnta Soare stea. Deoarece paralaxele heliocentrice sunt mai mici decat o secunda de arc, rezulta de unde detrminam distanta π = a, π exprimat in radiani (7) = 206264, 8 π a = 206264, 8 π U.A. (8) Datorita miscarii de revolutie a Pamantului, astrul descrie pe bolta cereasca o elipsa numita elipsa de paralaxa anuala (figura 4). Observatii: 1) Determinarea paralaxelor anuale se face din observatii efectuate in punctele orbitei care sunt separate de 6 luni, obtinandu se dublul paralaxei anuale; 2) Odata determinata paralaxa anuala, se determina distanta. Spre exemplu, pentru steaua Proxima Centauri, π = 0, 76, = 272000 U.A. Prima paralaxa a fost determinata de F.W. Bessel in 1838. El a determinat paralaxa stelei 61 Cygni, π = 0, 3. 3) Deoarece paralaxele stelelor sunt de ordinul secundelor de arc, unitatea astronomica este o distanta mult prea mica. Din acest motiv, s au introdus alte unitati de masura pentru determinarea distantelor extrasolare. Parsecul (pc) reprezinta distanta corespunzatoare unei paralaxe de o secunda, 1 pc = 206264, 8 U.A., iar anul lumina (a.l) reprezinta distanta parcursa de lumina in timp de un an, 1 a.l. = 63240 U.A. = 0, 3067 pc; 4) Elipsa de paralaxa constituie o dovada a miscarii anuale a Pamantului in jurul Soarelui. 2 Precesia si nutatia Intrucat majoritatea corpurilor sistemului solar orbiteaza in planul eclipticii, acestea actioneaza gravitational asupra proeminentei ecuatoriale a Pamantului. Efectele cele mai insemnate le produc Soarele si Luna. Deoarece Pamantul se roteste in jurul axei sale, forta mareica nu modifica inclinatia ecuatorului relativ la ecliptica, ci face ca axa de rotatie sa se deplaseze intr o directie perpendiculara pe axa de rotatie si pe directia fortei mareice. Astfel, axa de rotatie a Pamantului descrie un con odata la aproximativ 26000 ani. Aceasta rotatie lenta a axei de rotatie se numeste precesie (figura 5). Ca efect al precesiei, punctul vernal se deplaseaza pe ecliptica in sens retrograd (sensul acelor de ceasornic) cu 50, 2 pe an. Prin urmare, longitudinea ecliptica λ a unei stele creste in fiecare an cu aceasta rata, in timp ce latitudinea ecliptica β ramane neschimbata. In cele ce urmeaza ne propunem sa determinam corectiile in ascensie si declinatie ca urmare a acestui fenomen. Pentru aceasta procedam astfel: Aplicam formula cosinusului pentru latura 90 0 δ in triunghiul sferic P Πσ si formula sinusului in acelasi triunghi. Deducem relatiile: sin δ = cos ε sin β + sin ε cos β sin λ, 7

Figure 5: Precesia 8

Figure 6: Sfera cereasca. Triunghiul paralactic 9

cos α cos δ = cos β cos λ. (9) Considerand δ, α si λ variabili, iar β si ε constanti, prin diferentierea primei ecuatii din (9), obtinem cos δ dδ = sin ε cos β cos λ dλ. (10) Aplicand cea de a doua ecuatie din (9) membrului drept al relatiei de mai sus, obtinem pentru corectia in declinatie, formula dδ = dλ sin ε cos α. (11) Pentru determnarea corectiei in ascensie diferentiem cea de a doua relatie din (9) pentru a obtine sin α cos δ dα + sin δ cos α dδ = cos β sin λ dλ. (12) Inlocuind corectia in declinatie (11) in relatia de mai sus, deducem sin α cos δ dα = (cos β sin λ sin δ cos 2 α sin ε)dλ. (13) Aplicand formula cu cinci elemente in triunghiul sferic P Πσ, rezulta ca termenul cos β sin λ poate fi scris in forma cos β sin λ = sin δ sin ε + cos δ cos ε sin α. (14) Din (13) si (14) gasim dα = (sin ε sin α tgδ + cos ε)dλ. (15) Luand ε = 23 0 27, calculam coeficientii care nu depind de stea (sunt aceiasi pentru toate stelele): m = cos ε dλ = 0, 9174 50, 2 = 3 s, 07 n = sin ε dλ = 0, 3980 50, 2 = 20, 04 = 1 s, 33 (16) Din (11), (15) si (16) deducem corectiile anuale ale coordonatelor ecuatoriale dα = m + n sin α tgδ = 3 s, 07 + (1 s, 33) sin α tgδ dδ = n cos α = 20 cos α. (17) Observatii: 1) Formulele (17) dau o aproximatie suficienta, daca este vorba de intervale de timp nu prea lungi (15-20 ani); 2) Formulele (17) sunt valide pentru stelele nu foarte apropiate de polul eclipticii, caci atunci tg δ devine foarte mare; 3) In prezent, unul dintre punctele de intersectie ale axei de rotatie a Pamantului cu bolta cereasca (Polul Nord ceresc) se afla la mai putin de un grad de steaua Polara. Peste aproximativ 12000 ani, Polul Nord ceresc va fi in directia stelei Vega; Pe langa miscarea de precesie, s a observat ca Polul Nord ceresc are si o miscare periodica in timp de 18,6 ani. Fenomenul, numit nutatie, se datoreaza precesiei planului orbital al Lunii cu aceeasi perioada de 18,6 ani. Polul lumii care se misca in urma precesiei numit si pol mediu este centrul unei elipse cu semiaxa mare egala cu 9, 21 si semiaxa mica de 6, 86 pe care se misca polul adevarat in sens retrograd. 10

3 Miscarile proprii ale stelelor Multe stele se deplaseaza lent in directii care nu se modifica in timp. Acest efect este cauzat de deplasarea relativa a Soarelui si stelelor in spatiu. Viteza unei stele relativ la Soare poate fi descompusa in doua componente, o componenta radiala (orientata de a lungul directiei Soare stea), si o componenta transversala (perpendiculara pe directia Soare stea). Pe sfera cereasca, este perceputa deplasarea transversala a stelelor. Deplasarea anuala a unei stele pe bolta cereasca poarta numele de miscare proprie si se noteaza prin µ. Din figura 7, rezulta ca miscarea proprie se poate descompune in doua componente µ δ si µ α cos δ. In urma miscarii proprii, ascensia α se modifica cu µ α, iar declinatia cu marimea µ δ. Are loc relatia µ = µ 2 α cos 2 δ + µ 2 δ (18) Observatii: 1) Miscarile proprii ale stelelor sunt diferite in marime, directie si sens. Cea mai mare miscare proprie o are steaua Barnard 10, 27 secunde de arc pe an. In mai putin de 200 de ani parcurge un arc de cerc egal cu diametrul Lunii; 2) Forma constelatiilor se schimba (a se vedea figura corespunzatoare Carului Mare). 11

Figure 7: Miscarea proprie 12

Figure 8: Carul Mare 13