ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Συστηµάτν Αυτοµάτου Ελέγχου: Αρµονική Απόκριση & ιαγράµµατα Bode 6 Ncolas Tsaatsouls Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 8: Ενότητες 8.-8.4 Παρασκευόπουλος [5]: Εφαρµογές, Κεφάλαιο 8 - Ενότητες 8. & 8. DStefano [995]: Chater 5 Tewar [5]: Chater : Sectons. &.8 6 Ncolas Tsaatsouls
Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Εισαγγή Η µελέτη της συµπεριφοράς ενός Σ.Α.Ε στο χώρο της συχνότητας είναι ιδιαίτερα διαδεδοµένη, ιδιαίτερα στις κλασσικές µεθόδους ανάλυσης: Bode Nyqust, Nchols Παρόλο που η ανάλυση στο πεδίο του χρόνου µπορεί να µας δώσει ακριβέστερα τη δυναµική συµπεριφορά του συστήµατος και εποµένς είναι προσφορότερη για την ανάλυση Σ.Α.Ε, η µελέτη της συµπεριφοράς τν Σ.Α.Ε στο πεδίο της συχνότητας είναι ευκολότερη και µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τον καθορισµό προδιαγραφών για το σύστηµα Με βάση τα προηγούµενα είναι φανερό ότι η σχεδίαση Σ.Α.Ε είναι ευκολότερη στο πεδίο της συχνότητας. Εποµένς χρειάζεται και η ανάλυση στο ίδιο πεδίο Επειδή η ανάλυση στο πεδίο του χρόνου µας δίνει επίσης σηµαντικές επιπλέον πληροφορίες καλό είναι να συνδυάζεται µε την ανάλυση στο πεδίο της συχνότητας. Πολλά από τα χαρακτηριστικά της χρονικής απόκρισης (και συγκεκριµένα της βηµατικής απόκρισης) σχετίζονται µε χαρακτηριστικά της απόκρισης συχνότητας. Είναι ιδιαίτερα χρήιµο να γνρίζουµε τις συσχετίσεις αυτές 6 Ncolas Tsaatsouls Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Αρµονική Απόκριση Συστηµάτν Απόκριση συχνότητας ονοµάζουµε την απόκριση του συστήµατος σε ηµιτονοειδής διεγέρσεις. Η απόκριση συχνότητας ενός συστήµατος µε συνάρτηση µεταφοράς H( δίνεται από τη σχέση ) και είναι µια µιγαδική συνάρτηση, µε πλάτος ) και φάση Α(). H ( ) H ( ) e A( ) H ( ) Η απόκριση συχνότητας πολλές φορές αναφέρεται ς Αρµονική Απόκριση Η απόκριση συχνότητας πολλές φορές δεν εξετάζει τα µεταβατικά φαινόµενα. Αφορά την έξοδο του συστήµατος στη µόνιµη κατάσταση Τα χαρακτηριστικά της Αρµονικής µας δίνουν σηµαντικές πληροφορίες για τη συµπεριφορά ενός συστήµατος σε σχέση µε τη σχετική ευστάθεια του. Τέτοια χαρακτηριστικά είναι το: Περιθώριο κέρδους G m (Gan Margn), και το Περιθώριο φάσης Φ PM (Phase Margn) Υπάρχουν και άλλα χαρακτηριστικά της απόκρισης συχνότητας µέσ τν οποίν µπορούµε να ορίσουµε της προδιαγραφές ενός Σ.Α.Ε: Η µέση καθυστέρηση φάσης P D { cos( A( ) ) sn( A( ) )} Το εύρος ζώνης BW Η τιµή και συχνότητα συντονισµού Μ και αντίστοιχα 6 Ncolas Tsaatsouls
Εισαγγή Magntude - -4 ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα Frequency Resonse Απόκριση συχνότητας του συστήµατος (βλέπε συνάρτηση freqs στη Matlab) 4 ( s s 6)( s 5 ) -6 - Frequency (rad/ Phase (degree - - - Frequency (rad/ 6 Ncolas Tsaatsouls Εισαγγή Imagnary Axs 4.9.97.8 Pole : -5 Damng: Overshoot (%): : 5 5 4 ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα Pole-Zero Ma.66.5.4.6 Pole : -.87 Damng:.5 Overshoot (%): 44.4 : 4. Χάρτης πόλν µηδενικών του συστήµατος (βλέπε συνάρτηση zma στη Matlab) 4 ( s s 6)( s 5 ) -.97 - -.9 Pole : - -.87 Damng:.5 Overshoot (%): 44.4 : 4.8.66.5.4.6. -4-6 -5-4 - - - Real Axs 6 Ncolas Tsaatsouls
Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Συσχέτιση Αρµονικής και Χρονικής Παρόλο που η απόκριση συχνότητας αφορά τη συµπεριφορά τν κλειστών Σ.Α.Ε στη µόνιµη κατάσταση υπάρχει συσχέτιση ανάµεσα σε ορισµένα χαρακτηριστικά της χρονικής και της αρµονικής απόκρισης. Συγκεκριµένα τα χαρακτηριστικά της αρµονικής απόκρισης: Το εύρος ζώνης BW Η τιµή συντονισµού Μ Η συχνότητα συντονισµού Συνδέονται µε τα χαρακτηριστικά της βηµατικής απόκρισης: Μέγιστη τιµή y m της εξόδου Χρόνος ανύψσης T r Περίοδος ταλάντσης Τ 6 Ncolas Tsaatsouls Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Συστήµατα πρώτης τάξης Η απόκριση συχνότητας στα συστήµατα ης τάξης περιγράφεται από τη σχέση: K ) Αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα παρακάτ: M y m K BW T r Στο σχήµα έχουµε τα διαγράµµατα Bode της ) Magntude (db) Bode Dagram - : 99. - Magntude (db): -. - -4-5 -6-7 -8-9 - -9 4 5 6 6 Ncolas Tsaatsouls 4
Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Συστήµατα πρώτης τάξης (ΙΙ).9.8.7 Ste Resonse Tme (sec ):.9 Amltude:.899 Η βηµατική απόκριση του συστήµατος µε απόκριση συχνότητας ) Amltude.6.5.4 δίνεται στο διπλανό σχήµα. Προκύπτει Τ r.9 και εποµένς BW 9 rad/sec... Tme (sec):.9 Amltude:.....4.5.6 Tme (sec) 6 Ncolas Tsaatsouls Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Συστήµατα δεύτερης τάξης Η απόκριση συχνότητας στα συστήµατα ης τάξης περιγράφεται από τη σχέση: Κ n ) ( ) ζn ( ) n Αποδεικνύεται ότι ισχύουν τα παρακάτ: Το εύρος ζώνης ΒW και ο χρόνος ανύψσης Τ r στη βηµατική απόκριση είναι αντιστρόφς ανάλογα BW T r Amltude.5 Tme (sec):.87 Amlt ude:.44 Ste Resonse Tme (sec):.4 Amltude:.9 Η συχνότητα συντονισµού µπορεί να υπολογιστεί από τη περίοδο της ταλάντσης της εξόδου στη βηµατική απόκριση: π Τ.5 4 5 6 Tme (sec) 6 Ncolas Tsaatsouls 5
Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Χαρακτηριστικά Συχνότητας 6 Έστ. Γράφοντας την απόκριση συχνότητας στη µορφή: s s 6 ) 4 6 4 Έχουµε ζ.5, n 4. Άρα: 4 Η συχνότητα συντονισµού είναι.74 rad/sec n ζ Η τιµή συντονισµού είναι M ( ) log ζ ζ log (.)6. db Magntude (db) 5-5 - -5-9 -5-8 Bode Dagram - :.75 Magntude (db): 6.9 6 Ncolas Tsaatsouls Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Σχέση µέγιστης υπερύψσης και σταθεράς απόσβεσης ζ Η µέγιστη υπερύψση (overshoot) µε είσοδο τη βηµατική συνάρτηση δίνεται από τη σχέση ζπ Ste Resonse ζ.5 v e Από το διάγραµµα φαίνεται ότι η υπερύψση είναι v.44, το οποίο συµφνεί µε τη τιµή: Tme (sec):.87 Amltude:.44 v e π (.5).5.444 Amltude.5 4 5 6 Tme (sec) 6 Ncolas Tsaatsouls 6
Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Σχέση χρόνου ανύψσης και εύρους ζώνης Από τα διαγράµµατα έχουµε BW5.94 rad/sec, Tr.6 sec, και εποµένς BW 6. rad/sec Tr Bode Dagram Ste Resonse.5 5 Magntude (db) -5 : 5.94 Magntude (db): -. Tme (sec):.4 Amltude:.899 - -5 Amltude.5-9 -5 Tme (sec):.7 Amltude:. -8-4 5 6 Tme (sec) 6 Ncolas Tsaatsouls Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Συστήµατα ανώτερης τάξης εν υπάρχει εύκολος τρόπος συσχετισµού ανάµεσα στην απόκριση συχνότητας και τη βηµατική απόκριση για συστήµατα ανώτερης τάξης (βαθµός του s στον παρονοµαστή της συνάρτησης µεταφοράς µεγαλύτερος από δύο) Σε αυτή τη περίπτση το σύστηµα ανώτερης τάξης προσεγγίζεται από ένα σύστηµα δεύτερης τάξης: Υπολογίζουµε τους πόλους του συστήµατος ανώτερης τάξης Βρίσκουµε τους δύο πόλους οι οποίοι βρίσκονται πλησιέστερα προς τον φανταστικό άξονα (πόλοι µε το µεγαλύτερο πραγµατικό µέρος). Προσεγγίζουµε το σύστηµα ανώτερης τάξης διατηρώντας µόνο τους δυο πιο πάν πόλους 6 Ncolas Tsaatsouls 7
Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα: Προσέγγιση συστήµατος ανώτερης τάξης µε δευτεροβάθµιο σύστηµα Έστ το σύστηµα µε συνάρτηση µεταφοράς: 4 4 s s 6s s 4 Οι πόλοι του αντέρ συστήµατος είναι: -.87, --.87, -5, 4-5 Το σύστηµα ανώτερης τάξης µπορεί να γραφεί ς: 6 5 ( s s 6)( s 5 ) Οι πόλοι οι οποίοι βρίσκονται πλησιέστερα προς τον φανταστικό άξονα είναι οι: -.87, --.87. Άρα το σύστηµα µπορεί να προσεγγιστεί ς δευτεροβάθµιο της µορφής: K ( s s 6) για να µην έχουµε σφάλµα στη µόνιµη κατάσταση προκύπτει ότι Κ6, άρα τελικά 6 s s 6 6 Ncolas Tsaatsouls Εισαγγή.5 ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Προσέγγιση συστήµατος ανώτερης τάξης µε δευτεροβάθµιο σύστηµα Ste Resonse green - second order system blue - hgher order system Στο σχήµα επιδεικνύεται η βηµατική απόκριση του συστήµατος 4ης τάξης (µπλε) : 4 ( s s 6)( s 5 ) Amltude.5 και δεύτερης τάξης (πράσινο) 6 s s 6 4 5 6 7 8 9 Tme (sec) 6 Ncolas Tsaatsouls 8
Εισαγγή Magntude (db) - -4-6 -8 - - -9 ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Προσέγγιση συστήµατος ανώτερης τάξης µε δευτεροβάθµιο σύστηµα (II) Bode Dagram Στο σχήµα επιδεικνύεται η απόκριση συχνότητας (για την ακρίβεια τα διαγράµµατα Bode) του συστήµατος 4ης τάξης (µπλε) : 4 ( s s 6)( s 5 ) και δεύτερης τάξης (πράσινο) -8-7 s 6 s 6-6 6 Ncolas Tsaatsouls Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ιαγράµµατα Bode Τα διαγράµµατα Bode είναι αναπαραστάσεις της απόκρισης συχνότητας (ή αρµονικής απόκρισης) H() συναρτήσει της κυκλικής συχνότητας. Επειδή η H() είναι µια µιγαδική συνάρτηση έχουµε δύο αναπαραστάσεις, την αναπαράσταση του µέτρου H() και της φάσης Α(). Η διαφοροποίηση τν διαγραµµάτν Bode σε σχέση µε τα κλασικά διαγράµµατα απόκρισης συχνότητας έγκειται στο γεγονός: της χρήσης λογαριθµικού άξονα συχνοτήτν για µελέτη του συστήµατος σε ένα µεγαλύτερο εύρος συχνοτήτν της απεικόνισης του µέτρου σε decbels: Μ()log( H() ) Με τη βοήθεια τν διαγραµµάτν Bode µπορούµε να: Ελέγξουµε την ευστάθεια κλειστών συστηµάτν ιερευνήσουµε τη σχετική ευστάθεια κλειστών συστηµάτν µε τη βοήθεια τν περιθρίν κέρδους και φάσης Υπολογίσουµε το εύρος ζώνης κλειστών και ανοικτών συστήµατος Υπολογίσουµε τη συχνότητα συντονισµού του συστήµατος (ανοικτού ήκλειστού) 6 Ncolas Tsaatsouls 9
ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος 6 Ncolas Tsaatsouls Έστ η αρµονική απόκριση ενός συστήµατος εκφράζουµε την παραπάν συνάρτηση σε µορφή Bode η ποσότητα K B ονοµάζεται κέρδος Bode Κατασκευή ιαγραµµάτν Bode Εισαγγή ( ) Η q k m z K ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) Η q k m B q k m q m z K z z K ) ( ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος 6 Ncolas Tsaatsouls Το πλάτος Μ() της απόκρισης συχνότητας σε decbel δίνεται από τη σχέση: η φάση Φ() δίνεται από τη σχέση Κατασκευή ιαγραµµάτν Bode (II) Εισαγγή ( ) ( ) ( ) Η q m B q k m B k z K z K M log log log log log ) ( log ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) Η Φ q m B q k m B k z K z K arg arg arg arg arg ) ( arg ) (
Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ιάγραµµα Bode συναρτήσεν της µορφής log K B Τα διαγράµµατα Bode του κέρδους της συνάρτησης Bode, δηλαδή σταθερών ποσοτήτν K B έχει τη µορφή: Αµφότερα τα διαγράµµατα πλάτους και φάσης είναι ευθείες. Αν η σταθερά K B έχει αρνητική τιµή τότε η ευθεία στο διάγραµµα φάσης είναι στις - 8 ο αλλιώς είναι στις ο Bode Dagram Bode Dagram.8.8.6.6.4.4 Magntude (db). 9.8 9.6 log Kb Magntude (db). 9.8 9.6 log Kb 9.4 9.4 9. 9. 9 9 8-9 -5-8 4 5 6 5 9 45 4 5 6 6 Ncolas Tsaatsouls Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ιάγραµµα Bode συναρτήσεν της µορφής log ( ) l Τα διαγράµµατα l πόλν στο µηδέν έχουν τη µορφή: Για κάθε πόλο στο µηδέν η κλίση στο διάγραµµα µέτρου µειώνεται κατά - db/δεκάδα (δεκαπλασιασµός συχνότητας). Για κάθε πόλο στο µηδέν η φάση µειώνεται κατά -9 ο. Bode Dagram -5 - Magntude (db) -5 - -5 - -5-4 8 5 9 45-9 4 5 6 6 Ncolas Tsaatsouls
Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ιάγραµµα Bode συναρτήσεν της µορφής log ( ) l Τα διαγράµµατα l µηδενικών στο µηδέν έχουν τη µορφή: Για κάθε µηδενικό στο µηδέν η κλίση στο διάγραµµα µέτρου αυξάνεται κατά db/δεκάδα (δεκαπλασιασµός συχνότητας). Για κάθε µηδενικό στο µηδέν η φάση αυξάνεται κατά 9 ο. Bode Dagram 4 5 Magntude (db) 5 5 5-5 8 5 9 45-9 4 5 6 6 Ncolas Tsaatsouls Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ιάγραµµα Bode συναρτήσεν της µορφής log Το διάγραµµα ενός πόλου στη συχνότητα έχει τη µορφή: Για το διάγραµµα πλάτους έχουµε δύο ασύµπττες ευθείες στα db µε κλίση και µε κλίση - db οι οποίες τέµνονται στη συχνότητα. Bode Dagram Magntude (db) - -4-6 -8-9 4 5 6 6 Ncolas Tsaatsouls
Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ιάγραµµα Bode συναρτήσεν της µορφής log z Το διάγραµµα ενός µηδενικού στη συχνότητα z έχει τη µορφή: Για το διάγραµµα πλάτους έχουµε δύο ασύµπττες ευθείες στα db µε κλίση και µε κλίση db οι οποίες τέµνονται στη συχνότητα z. Bode Dagram 8 Magntude (db) 6 4-9 45 :.e : 45.6 4 5 6 6 Ncolas Tsaatsouls Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ιάγραµµα Bode συναρτήσεν της µορφής log ζ n n Το διάγραµµα συζυγών πόλν στη συχνότητα n ζ έχει τη µορφή: Για το διάγραµµα πλάτους έχουµε δύο ασύµπττες ευθείες στα db µε κλίση και µε κλίση -4 db οι οποίες τέµνονται στη συχνότητα n. Ανάλογα µε την τιµή του ζ είναι και η τελική µορφή του διαγράµµατος Bode Dagram - Magn tude (db) - - -4-5 -6-9 -5-8 6 Ncolas Tsaatsouls
Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ιάγραµµα Bode συναρτήσεν της µορφής log ζ n n Το διάγραµµα συζυγών µηδενικών στη συχνότητα o n ζ έχει τη µορφή: Για το διάγραµµα πλάτους έχουµε δύο ασύµπττες ευθείες στα db µε κλίση και µε κλίση 4 db οι οποίες τέµνονται στη συχνότητα n. Ανάλογα µε την τιµή του ζ είναι και η τελική µορφή του διαγράµµατος 6 Bode Dagram 5 4 Magntude (db) - - 8 5 9 45 6 Ncolas Tsaatsouls Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα Ι Για το κλειστό Σ.Α.Ε του σχήµατος: Να υπολογίσετε τη συνάρτηση µεταφοράς, Να κατασκευάσετε το διάγραµµα Bode Aπ. G( H ( G( F( s s s Η αρµονική απόκριση θα είναι: H ( ) 6 Ncolas Tsaatsouls 4
Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα Ι (συν.) Παρατηρούµε ότι έχουµε κέρδος Κ B, ένα µηδενικό στο µηδέν και συζυγείς πόλους µε n.4, ζ /.77 Το πλάτος Μ() σε µορφή Bode (λογαριθµική κλίµακα δίνεται από τη σχέση) M ( ) log H ( ) log Η φάση Φ() δίνεται από τη σχέση: log Φ( ) arg ( H ( ) ) arg( ) arg Οπότε τα διαγράµµατα Bode θα είναι: 6 Ncolas Tsaatsouls Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα Ι: Επιµέρους διαγράµµατα Bode Bode Dagram Magn tude (db) - - - -4 9 45-9 -5-8 6 Ncolas Tsaatsouls 5
Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα Ι: Τελικό διάγραµµα Bode Bode Dagram - -4 Magn tude (db) -6-8 - - -4 45-9 6 Ncolas Tsaatsouls Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Περιθώριο Κέρδους και Φάσης Η γενικότερη δοµή ενός κλειστού συστήµατος φαίνεται στο επόµενό σχήµα Η ύπαρξη του ρυθµιστή R( είναι πολλές φορές απαραίτητη για τη ρύθµιση της συµπεριφοράς του συστήµατος στη µόνιµη κατάσταση (για παράδειγµα το R( µπορεί να είναι απλά ένας ενισχυτής για τη ρύθµιση του κέρδους) Τα χαρακτηριστικά περιθώριο κέρδους και περιθώριο φάσης της αρµονικής απόκρισης της συνάρτησης µεταφοράς βρόχου µας δίνουν πληροφορίες σχετικά µε την σχετική ευστάθεια του κλειστού συστήµατος. Περιθώριο κέρδους G m (Gan Margn), είναι το πλάτος ) της απόκρισης συχνότητας όταν η φάση Α() είναι ίση µε -8 ο (-π) Περιθώριο φάσης Φ PM (Phase Margn), είναι 8 ο συν τη φάση της απόκρισης συχνότητας στη συχνότητα όπου το πλάτος ) γίνεται για πρώτη φορά ίσο µε τη µονάδα ( ) ) 6 Ncolas Tsaatsouls 6
Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Περιθώριο Κέρδους και Φάσης (ΙΙ) Στα διαγράµµατα Bode τα περιθώρια φάσης και κέρδους (της συνάρτησης µεταφοράς βρόχου R(G(F() ορίζονται ς: Περιθώριο κέρδους G m (Gan Margn), είναι ο αριθµός τν db που το πλάτος P() (λογαριθµική κλίµακα) είναι κάτ από τα db όταν η φάση Α() είναι ίση µε -8 ο (-π) Περιθώριο φάσης Φ PM (Phase Margn), είναι ο αριθµός τν µοιρών που η φάση της απόκρισης συχνότητας στη συχνότητα (όπου το πλάτος M()log ) γίνεται για τελευταία φορά ίσο µε db (M())) είναι πάν από τις -8 ο. Θετικές τιµές για τα περιθώρια φάσης και κέρδους δηλώνουν ευσταθές κλειστό σύστηµα. Όσο µεγαλύτερα (θετικά) είναι τα περιθώρια τόσο πιο ευσταθές είναι το κλειστό σύστηµα 6 Ncolas Tsaatsouls Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα Ι Για το κλειστό Σ.Α.Ε του σχήµατος να υπολογίσετε τα περιθώρια κέρδους και φάσης για K.5x 6. ΑΠ. Η συνάρτηση βρόχου είναι K R( G( F( ( s ) Η αρµονική απόκριση δίνεται από τη σχέση: K H ( ) 9 ( ).5 9 ( ) 6 5 ( ) 6 Ncolas Tsaatsouls 7
Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα Ι (συν.) Παρατηρούµε ότι έχουµε κέρδος Κ B 5, και ένα τριπλό πόλο στη συχνότητα rad/sec Το πλάτος Μ() σε µορφή Bode (λογαριθµική κλίµακα δίνεται από τη σχέση) M ( ) log Η φάση Φ() δίνεται από τη σχέση: H ( ) log 5 log Φ( ) arg ( H ( ) ) arg( 5) arg Οπότε τα διαγράµµατα Bode θα είναι: 6 Ncolas Tsaatsouls Εισαγγή Magntude (db) 5-5 - -5 - ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα Ι (συν): Περιθώριο φάσης Bode Dagram :.8e Magntude (db):.89 Η συχνότητα στην οποία το πλάτος της συνάρτησης βρόχου γίνεται για τελευταία φορά ίσο µε είναι 8 rad/sec. Η φάση στη συχνότητα 8, είναι Φ( )-6 ο Άρα το περιθώριο φάσης είναι Φ PM Φ( )-(-8 ο ) Φ( )8 ο 8 ο -9-5 -8-5 :.8e Phas e (deg): -6-7 4 5 6 6 Ncolas Tsaatsouls 8
Εισαγγή Magntude (db) 5-5 - -5 - ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα Ι (συν): Περιθώριο κέρδους Bode Dagram :.74e Magntude (db): -4. Η συχνότητα στην οποία το η φάση της συνάρτησης βρόχου γίνεται ίση µε 8 ο είναι 74 rad/sec. To πλάτος στη συχνότητα 8, είναι M( P )-4.db Άρα το περιθώριο κέρδους είναι G M -M( P ) 4.db -9-5 -8-5 :.74e : -8-7 4 5 6 6 Ncolas Tsaatsouls Εισαγγή ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα ΙI Για το κλειστό Σ.Α.Ε του σχήµατος να υπολογίσετε το διάστηµα διακύµανσης του Κ για το οποίο το κλειστό σύστηµα είναι ευσταθές. 6 Ncolas Tsaatsouls 9
Εισαγγή Magntude (db) - -4-6 -8 - - -4-6 -8 ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα ΙI(συν) Bode Dagram :.7e Magntude (db): -8. Με βάση το προηγούµενο παράδειγµα το πλάτος Bode δίνεται από τη σχέση: M ( ) log K B log - -9-5 -8 :.74e -5 Phas e (deg): -8-7 4 5 6 K όπου K B 9 Στο διάγραµµα απεικονίζεται το πλάτος και η φάση Bode του όρου log 6 Ncolas Tsaatsouls Εισαγγή Magntude (db) - -4-6 -8 - - -4-6 -8 - -9-5 -8-5 -7 Bode Dagram :.7e Magntude (db): -8. :.74e Phas e (deg): -8 ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Παράδειγµα ΙI(συν) 4 5 6 Για τον όρο : log το περιθώριο κέρδους είναι περίπου 8. db. Εποµένς για να είναι το σύστηµα ασταθές πρέπει ο όρος K log K B log 9 να εισάγει κέρδος µεγαλύτερο από 8. db. Άρα: log K B > 8. db από το οποίο προκύπτει ότι για Κ>4*^6 το περιθώριο κέρδους γίνεται αρνητικό και εποµένς το σύστηµα ασταθές. Εργαζόµενοι µε αντίστοιχο τρόπο για το περιθώριο φάσης βρίσκουµε ότι για Κ<-.5*^6 το σύστηµα γίνεται ασταθές 6 Ncolas Tsaatsouls