Ω = {(1,1,1),(1,1,2),...(6,6,5),(6,6,6)} = = {(x j,y j,z j ) / τα x j, y j, z j {1,2,3,4,5,6}}

Transcript

1 61 Β) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Β.1. ιακριτές τυχαίες µεταβλητές. Στο τεύχος της περιγραφικής Στατιστικής γνωρίσαµε την έννοια της τυχαίας µεταβλητής, που είναι πολύ σηµαντική στη Στατιστική. Αξίζει λοιπόν, πριν προχωρήσουµε, να την ξαναθυµηθούµε πολύ σύντοµα. Έχουµε λοιπόν πως: Τα στατιστικά δεδοµένα που αντιµετωπίσαµε στα πλαίσια της περιγραφικής Στατιστικής ήταν µία σειρά µετρήσεων ενός µεγέθους, στα ν-στοιχεία ενός πληθυσµού (ή στα ν δ -στοιχεία ενός δείγµατος). Μάλιστα αναφερθήκαµε σε καταµετρήσιµες τέτοιες ποσότητες (χαρακτηριστικές ιδιότητες), οι οποίες καταµετρούνται στα στοιχεία του γενικού συνόλου αναφοράς (του πληθυσµού Ω). Αναφέραµε µάλιστα διάφορα παραδείγµατα τέτοιων ποσοτήτων, όπως: (i) Το ύψος, το βάρος, το µέγεθος του παπουτσιού, το χρώµα των µατιών, η ποσότητα χοληστερόλης στο αίµα, οι πολιτικές πεποιθήσεις κ.λ.π., ενός πληθυσµού ανθρώπων. (ii) Ο κυβισµός, η ιπποδύναµη, οι εκπεµπόµενοι ρύποι κ.λ.π., ενός στόλου αυτοκινήτων. Τις µετρούµενες αυτές ποσότητες τις αποκαλέσαµε τυχαίες µεταβλητές και τις συµβολίσαµε µε την επόµενη παράσταση: X i, i=1,2,...,ν όπου µε το ν συµβολίζεται το πλήθος των στοιχείων του πληθυσµού. Έτσι η σχέση Χ 5 =1.6 δηλώνει πως η µέτρηση της ποσότητας Χ στο 5ο στοιχείο του πληθυσµού έδωσε την τιµή 1.6. Στη συνέχεια θα αντιµετωπίσουµε την τυχαία µεταβλητή σαν µία Μαθη- µατική συνάρτηση, µε πεδίο ορισµού όλα τα απλά ενδεχόµενα ενός πειράµατος τύχης, η οποία παίρνει τιµές από κάποιο σύνολο τιµών. Η φύση του συνόλου τιµών της τυχαίας µεταβλητής (η φύση δηλαδή των τιµών που µπορεί να πάρει η

2 62 κάθε µέτρηση Χi) παίζει σηµαντικό ρόλο στον καθορισµό του είδους της τυχαίας µεταβλητής. Έτσι έχουµε τις διακριτές τυχαίες µεταβλητές, οι οποίες παίρνουν τιµές από ένα αριθµήσιµο σύνολο (*), και τις συνεχείς τυχαίες µεταβλητές, οι οποίες παίρνουν τιµές από ένα υποδιάστηµα των πραγµατικών αριθµών. Αντιµετωπίζοντας µε τον τρόπο αυτό την έκφραση Χ 5 =1.5, έχουµε µία συνάρτηση η οποία αντιστοιχίζει στο όρισµα 5 (η µέτρηση υπ αριθµ. 5) τον α- ριθµό 1.5. Παραδείγµατα: 1ο) Ρίχνουµε τρία ζάρια και ορίζουµε σαν τυχαία µεταβλητή Χ το ά- θροισµά τους. Ο δειγµατοχώρος αυτού του πειράµατος τύχης είναι το σύνολο των 6 3 διατεταγµένων τριάδων (επαναλ. ιατάξεις): Ω = {(1,1,1),(1,1,2),...(6,6,5),(6,6,6)} = = Ω z x Ω z x Ω z = = {(x j,y j,z j ) / τα x j, y j, z j {1,2,3,4,5,6}} όπου βέβαια το Ω z είναι ο δειγµατοχώρος του απλού π.τ., της ρίψης δηλαδή ε- νός ζαριού. Το σύνολο τιµών της τυχ.µεταβλητής Χ είναι το: Σύνολο τιµών = {3,4,5,6,..., 16,17,18} Εποµένως, η εν λόγω τυχ.µεταβλητή Χ είναι διακριτή, µια και το σύνολο τιµών της είναι ένα πεπερασµένο υποσύνολο των φυσικών αριθµών, που περιέχει 16 τιµές. (*) Όπως ειπώθηκε ήδη, ο πληθικός αριθµός ενός συνόλου ισούται µε το πλήθος των στοιχείων του. Όταν όµως αναφερόµαστε σε απειροσύνολα, τότε η έννοια του πληθικού αριθµού αντικαθίσταται από την έννοια της δύναµης συνόλου. Το σύνολο των Φυσικών αριθµών (Ν) έχει τη δύναµη του α- ριθµήσιµου. Κάθε άλλο απειροσύνολο, τα στοιχεία του οποίου µπορούν να αντιστοιχισθούν ένα προς ένα µε τα στοιχεία του Ν, έχει επίσης τη δύναµη του αριθµήσιµου. Αποδεικνύεται πως τα σύνολα των Ακεραίων (Ζ) και των ρητών (Q) είναι αριθµήσιµα. Αντίθετα το σύνολο των Πραγµατικών αριθ-µών (το R) έχει τη δύναµη του συνεχούς (µεγαλύτερη του αριθµήσιµου). Τελικά µιλάµε για διακριτή τυχαία µεταβλητή εάν το σύνολο τιµών της περιέχει πεπερασµένου ή αριθµήσιµου πλήθους στοιχεία.

3 63 2ο) Ένας ζητιάνος που στέκεται σε κάποιο κεντρικό σηµείο µετρά τους περαστικούς. Ορίζουµε σαν τυχαία µεταβλητή Υ τη σειρά του πρώτου περαστικού που θα του δώσει ένα ακριβώς χιλιάρικο. Ο δειγµατοχώρος του νέου αυτού πειράµατος τύχης είναι: Ω = {1,2,3,..., ν,ν+1,...} ο οποίος ταυτόχρονα είναι και το σύνολο τιµών της τυχ.µεταβλητής Υ. Παρατηρούµε πως το Ω µπορεί να είναι πεπερασµένου πλήθους στοιχείων, ή και απειροσύνολο, η δύναµη του οποίου είναι το αριθµήσιµο. Άρα και η τυχαία µεταβλητή Υ είναι διακριτή. 3ο) Ένας άλτης του µήκους κάνει άλµατα και ορίζουµε σαν τυχαία µεταβλητή Ζ, την επίδοση που πετυχαίνει σε κάθε έγκυρο άλµα του. Εάν θεωρήσουµε πως τα άλµατά του καταµετρώνται µε τη µέγιστη δυνατή ακρίβεια, τότε η τυχ.µεταβλητή παίρνει τιµές από το σύνολο των πραγµατικών αριθµών. Μάλιστα µε βάση τις σηµερινές επιδόσεις και µε δεδοµένο πως πρόκειται για έναν ικανό αθλητή, µπορούµε να ορίσουµε σαν σύνολο τιµών το υποδιάστηµα: σύνολο τιµών = { x/ x (7.5, 9) } των πραγµατικών αριθµών (όπου φυσικά η µονάδα µέτρησης είναι το µέτρο). Εποµένως η τυχ.µεταβλητή Ζ είναι συνεχής. Β.1.1. Συνάρτηση κατανοµής της πιθανότητας. Η καθηµερινή πρακτική αποδεικνύει πως είναι σηµαντικότατο να αποδίδονται πιθανότητες σε µία τιµή ή σε ένα σύνολο τιµών µιας τυχαίας µεταβλητής Χ j. Όπως θα δούµε στη συνέχεια, συµβολίζουµε µε: P(Χ=κ) την πιθανότητα η τυχ.µεταβλητή Χ να πάρει την τιµή κ, Ρ(α<Χ<β) την πιθανότητα η τ.µεταβλητή Χ να πάρει τιµή από το διάστηµα (α,β).

4 64 Παράδειγµα Β.1. Ας πάρουµε λοιπόν έναν µπασκετµπωλίστα που εκτελεί, σε συνθήκες α- γώνα, πέντε προσπάθειες των τριών πόντων, και ας ορίσουµε σαν τυχαία µεταβλητή το πλήθος των εύστοχων προσπαθειών του. Είναι φανερό πως η τυχαία µεταβλητή που ορίζεται έτσι µπορεί να πάρει µόνον έξι διαφορετικές τιµές: 0 (κανένα εύστοχο τρίποντο), 1, 2, 3, 4 και 5 (και οι πέντε προσπάθειες είναι εύστοχες). Ο προπονητής του όµως, στην προσπάθειά του να καταστρώσει τα αγωνιστικά πλάνα της οµάδας και να δώσει τις κατάλληλες εντολές, θα ήθελε να γνωρίζει την πιθανότητα κάθε µιας, από τις έξι τιµές της τυχαίας µεταβλητής. Με βάση λοιπόν την προηγούµενη εµπειρία του, γύρω από τις επιδόσεις του παίκτη σε παρόµοιες συνθήκες, έχει καταλήξει στον παρακάτω πίνακα: Χ i P(Χ=X i ) Πίνακας Β.1: Πιθανότητες ευστοχίας ενός καλαθοσφαιριστή σε 5 προσπάθειες για καλάθι τριών πόντων. Ο τρόπος συµβολισµού των πιο πάνω πιθανοτήτων, όπως επίσης και κάποιων παρόµοιας µορφής, είναι ο εξής: Συµβολισµός Έτσι συµβολίζουµε την... Ρ(Χ=3) Ρ(Χ<3) Ρ(Χ>3) Ρ(Χ 3) Ρ(2<Χ<5) Ρ(2 Χ 4) πιθανότητα η τ.µ. Χ να πάρει ακριβώς την τιµή 3, δηλαδή ο παίκτης να ευστοχήσει ακριβώς σε τρία τρίποντα. πιθανότητα η τ.µ. Χ να πάρει τιµή µικρότερη του 3, δηλαδή να ευστοχήσει το πολύ σε δύο τρίποντα. πιθανότητα η τ.µ. Χ να πάρει τιµή µεγαλύτερη του 3, δηλαδή να ευστοχήσει τουλάχιστον σε τέσσερα τρίποντα. πιθανότητα η τ.µ. Χ να πάρει τιµή µικρότερη ή ίση του 3, δηλαδή να ευστοχήσει το πολύ σε τρία τρίποντα. πιθανότητα η τ.µ. Χ να πάρει τιµή µεγαλύτερη του 2 και µικρότερη του 5, να πάρει εποµένως τις τιµές 3 και 4, δηλαδή να ευστοχήσει σε τρία ή τέσσερα τρίποντα. πιθανότητα η τ.µ. Χ να πάρει τιµή µεγαλύτερη ή ίση του 2 και µικρότερη ή ίση του 4, να πάρει εποµένως τις τιµές 2,3 ή 4, δηλαδή να ευστοχήσει σε δύο, τρία ή τέσσερα τρίποντα.

5 65 Στους πίνακες σαν τον (Β.1), συχνά, µαζί µε τις πιθανότητες που αντιστοιχούν σε κάθε τιµή της τυχαίας µεταβλητής, εµφανίζεται και η αθροιστική πιθανότητα της κάθε τιµής, η οποία απαντάει στην ερώτηση: "Τί πιθανότητα υπάρχει ο εν λόγω παίκτης να ευστοχήσει το πολύ σε τόσες προσπάθειες από τις πέντε;" Ετσι δηµιουργείται ο πίνακας Β.2, όπου συµβολίζουµε: i µε το ΣP(X i ), το άθροισµα Σ P(X j ) (*) j=0 Χ i P(Χ=X i ) ΣΡ(Χ=Χ i ) Πίνακας Β.2: Πιθανότητα και αθροιστική πιθανότητα για την ευστοχία ενός καλαθοσφαιριστή σε 5 προσπάθειες τρίποντων. Ο νέος πίνακας κάνει προφανή, µια βασική ιδιότητα των πιθανοτήτων: Βασική ιδιότητα: Το άθροισµα των πιθανοτήτων όλων των δυνατών τιµών µιας τυχαίας µεταβλητής είναι ίσο µε τη µονάδα. Τώρα εύκολα µπορούµε να απαντήσουµε στην ερώτηση: "Τί πιθανότητα έχει ο παίκτης να ευστοχήσει σε περισσότερες από δύο προσπάθειες;" Αφαιρούµε από τη µονάδα την αθροιστική πιθανότητα (*) Αξίζει να συνηθίσει ο αναγνώστης µε τους συµβολισµούς αυτούς των αθροισµάτων. Στην προκειµένη περίπτωση η σχέση µας πληροφορεί πως η αθροιστική πιθανότητα της i-οστής τιµής X i, είναι ίση µε το άθροισµα των P(X j ), όταν το j παίρνει τιµές από το 1 µέχρι το i: i Σ P(X j ) = P(X 1 ) + P(X 2 ) P(X i ) j=1

6 66 του 2 (0.33) και βρίσκουµε πως η πιθανότητα να ευστοχήσει σε περισσότερες από δύο προσπάθειες είναι 0.67 (δηλαδή 67%): Ρ(Χ>2) = 1 - Ρ(Χ 2) = = 0.67 Ακριβώς την ίδια πιθανότητα θα βρούµε εάν προσθέσουµε τις πιθανότητες: Ρ(Χ=3) + Ρ(Χ=4) + Ρ(Χ=5) = = 0.67 Παρόµοια µπορούµε να υπολογίσουµε µε περισσότερους τρόπους διάφορες πιθανότητες. Για παράδειγµα: ή P(3 X 4) = P(X=3) + P(X=4) = = 0.60 P(3 X 4) = ΣΡ(Χ=4) - ΣΡ(Χ=2) = = 0.60 όπου το ΣΡ(Χ=4) συµβολίζει την αθροιστική πιθανότητα της τιµής Χ=4 της τυχαίας µεταβλητής. Οπως συνέβαινε και στους πίνακες συχνοτήτων, που γνωρίσαµε στη Στατιστική Ι, έχουµε τη δυνατότητα να παραστήσουµε µε γραφικές παραστάσεις τα δεδοµένα του πίνακα Β.2. 0,4 P(X) 0, Σχ. Β.1.: Η γραφική παράσταση της κατανοµής της πιθανότητας του πίνακα Β.2. X

7 67 Στο πιο πάνω παράδειγµα αντιµετωπίσαµε µια τυχαία µεταβλητή η οποία έπαιρνε ακέραιες τιµές, πεπερασµένου πλήθους (από 0 έως 6). Έχουµε λοιπόν τον ορισµό. Ορισµός Β.1. Μια τυχαία µεταβλητή της οποίας οι δυνατές τιµές (το σύνολο τιµών) είναι πεπερασµένου ή αριθµήσιµου (*) πλήθους την καλούµε απαριθµητή τυχαία µεταβλητή. Ορισµός Β.2. Εστω η απαριθµητή τυχαία µεταβλητή Χ (Χ i, i=1,2,..,ν), για κάθε τιµή της οποίας αντιστοιχούµε µια πιθανότητα P(Χ=X i ). Η αντιστοιχία αυτή ορίζει µια συνάρτηση που καλείται συνάρτηση κατανοµής της πιθανότητας, ή µόνο συνάρτηση κατανοµής. Παρατηρήσεις. 1) Όταν έχουµε απαριθµητές τυχαίες µεταβλητές, η συνάρτηση κατανο- µής της πιθανότητας ορίζεται σαν µια αντιστοιχία, η οποία προκύπτει από την εµπειρία (όπως στο πρόβληµα Β.1) ή από κάποιο Μαθηµατικό τύπο (όπως θα δούµε σε επόµενη παράγραφο). 2) Η βασική ιδιότητα µιας συνάρτησης κατανοµής µιας απαριθµητής τυχαίας µεταβλητής (Χ i, i=1,2,..,ν), είναι πως το άθροισµα των πιθανοτήτων για κάθε τιµή της τυχαίας µεταβλητής είναι ίσο µε τη µονάδα. i=1 ν Σ P(Χ=X i ) = 1 (*) Όπως ειπώθηκε σε προηγούµενη υποσηµείωση, ονοµάζουµε αριθµήσιµο πλήθος στοιχείων, το πλήθος που είναι αντίστοιχο µε το πλήθος των Φυσικών αριθµών. Πρόκειται βέβαια για ά- πειρο πλήθος στοιχείων που όµως είναι απείρως µικρότερο (!) από το πλήθος των πραγµατικών αριθµών, το οποίο ονοµάζεται συνεχές (βλ. την υποσηµείωση της σελίδας 62).

8 68 Β.1.2. Μαθηµατική ελπίδα (µέση τιµή) και διακύµανση. Όταν µιλήσαµε για την πιθανότητα, αναφερθήκαµε και στην έννοια της σχετικής συχνότητας. Είπαµε µάλιστα πως η σχετική συχνότητα θα µπορούσε να θεωρηθεί σαν µια καλή προσέγγιση της πιθανότητας ενός απλού ενδεχοµένου. Ας πάρουµε και πάλι το ρίξιµο για 1000 φορές ενός ζαριού, θεωρώντας σαν τυχαία µεταβλητή την τιµή της κάθε ζαριάς. Προκύπτει ο παρακάτω πίνακας (Β.3.) που µπορεί να αντιµετωπισθεί ταυτόχρονα σαν πίνακας συχνοτήτων ή κατανοµής πιθανότητας (θεωρώντας σαν πιθανότητα τη σχετική συχνότητα): Χ i fi Fi P(Χ=Xi) i Σ P(Χ=X j ) j= Πίνακας Β.3.: Η συχνότητα (απλή και αθροιστική) και η σχετική συχνότητα (που στο όριό της γίνεται πιθανότητα), κατά το ρίξιµο ενός ζαριού για 1000 φορές. Αν προσπαθήσουµε να υπολογίσουµε τη µέση τιµή, θεωρώντας κλάσεις τις διάφορες τιµές του ζαριού (βλ. 1ο τεύχος), θα έχουµε: * * * * * *6 µ χ = * Σ f i *X i = = 1000 i= = 0.155* * * * * *6 = = Ρ(Χ=1)*1 + Ρ(Χ=2)*2 + Ρ(Χ=3)*3 + Ρ(Χ=4)*4 + Ρ(Χ=5)*5 + + Ρ(Χ=6)*6 = 3.532

9 69 Παρατηρούµε δηλαδή πως η µέση τιµή προκύπτει και σαν άθροισµα των γινοµένων της σχετικής συχνότητας (πιθανότητας) επί το όνοµα της κλάσης (επί την τιµή δηλαδή της τυχαίας µεταβλητής). Μετά απ'όλα αυτά µπορούµε εύκολα να κατανοήσουµε τον επόµενο ορισµό. Ορισµός Β.3. Ονοµάζουµε Μαθηµατική ελπίδα (ή µέση τιµή ή αναµενόµενη τιµή) µιας κατανοµής πιθανοτήτων [Ρ(Χ=Χ i ), i=1,2,..,ν], την τιµή της επόµενης παράστασης. Τη Μαθηµατική ελπίδα τη συµβολίζουµε µε το Ε(Χ), ή µε τον κλασσικό συµβολισµό της µέσης τιµής µ (*). ν µ = Ε(Χ) = Σ X i *P(Χ=X i ) = i=1 = X 1 *P(Χ=X 1 ) + X 2 *P(Χ=X 2 ) X ν *P(Χ=X ν ) Με παρόµοιο τρόπο µπορούµε να ερµηνεύσουµε τους τύπους που προκύπτουν για τη διακύµανση (και την τυπική απόκλιση) µιας κατανοµής πιθανοτήτων (**). Ας θυµίσουµε επίσης πως η διακύµανση των ν τιµών µιας τυχαίας µεταβλητής γύρω από το µέσο όρο τους, όταν τα δεδοµένα ήταν κατανεµηµένα σε κ- κλάσεις, δίνονταν από τους παρακάτω δύο τύπους: (*) Παρατηρώντας τον τύπο της µέσης τιµής Ε(Χ) µιας κατανοµής πιθανο-τήτων, όπως και τον επόµενο της διακύµανσης, αντιλαµβανόµαστε πως είναι παρόµοιοι µ'αυτούς που δίνουν τον µέσο όρο και τη διακύµανση µιας τ.µ., τα δεδοµένα της οποίας είναι κατανεµηµένα σε κλάσεις. Εάν µάλιστα ταυτίσουµε την έννοια της σχετικής συχνότητας µε την πιθανότητα, τότε η ταύτιση είναι πλήρης. (**) Να θυµίσουµε πως η διακύµανση των τιµών µιας τ.µ. γύρω απ'το µέσο όρο τους είναι η µέση τιµή των τετραγώνων των αποστάσεων της κάθε τιµής της τυχαίας µεταβλητής από το µέσο όρο (1ο τεύχος): σ 2 = [ Σ(Χ i -µ) 2 ]/ν

10 70 1 ν 1 ν σ 2 = --- Σ f i (X i -µ) 2 = Σ f i X i ν i=1 ν i=1 - µ 2 όπου ο δεύτερος (και συνήθως πρακτικότερος) τύπος προκύπτει µε απλές πράξεις απ'τον πρώτο: i) αναπτύσσουµε την παρένθεση (Χ i -µ) 2, ii) χωρίζουµε το άθροισµα Σ σε τρία αθροίσµατα, iii) βγάζουµε απ'το ένα άθροισµα κοινό παράγοντα το -2µ, iv) θέτουµε Σf i = ν και [Σf i X i ]/ν = µ. [βλ.τεύχος 1ο] Στον πιο πάνω τύπο της διακύµανσης αντικαθιστούµε την σχετική συχνότητα κάθε κλάσης µε την πιθανότητα Ρ(Χ=Χ i ) της Χ i τιµής. Αντικαθιστούµε δηλαδή το κλάσµα f i /ν µε την Ρ(Χ=Χ i ). Ετσι φθάνουµε στον ορισµό: Ορισµός Β.4. Ονοµάζουµε διακύµανση µιας κατανοµής πιθανοτήτων [Ρ(Χ=Χ i ), i=1,2,..,ν], την τιµή της επόµενης παράστασης. Τη διακύµανση τη συµβολίζουµε µε το Var(Χ). ν Var(Χ) = Σ (X i -µ) 2 *P(Χ=X i ) = Σ (X i -Ε(Χ)) 2 *P(Χ=X i ) = i=1 i=1 ν = (X 1 -µ) 2 *P(Χ=X 1 ) + (X 2 -µ) 2 *P(Χ=X 2 ) (X ν -µ) 2 *P(Χ=X ν ) Βέβαια η τυπική απόκλιση είναι η τετραγωνική ρίζα της διακύµανσης: σ = Var( X ) Όπως η διακύµανση µιας τ.µ. υπολογίζεται µε τη βοήθεια ενός δεύτερου και συνήθως πιο πρακτικού τύπου, έτσι και η διακύµανση µιας κατανοµής πιθανοτήτων δίνεται κι απ'τον επόµενο τύπο:

11 71 ν Var(X) = Σ P(Χ=X i )X 2 i - µ 2 = E(X 2 ) - [E(X)] 2 i=1 Ο δεύτερος αυτός τύπος (για τη διακύµανση) µπορεί να "διαβαστεί" και ως εξής: "Η διακύµανση σ 2 είναι ίση µε τη διαφορά του µέσου όρου των τετραγώνων των τιµών (Χ i 2 ), µείον το τετράγωνο του κανονικού µέσου όρου των τιµών (X i )". Παράδειγµα Β.1. (συνέχεια 2η...) X i P(Χ=X i ) X i P(Χ=X i ) X i 2 P(Χ=X i ) Σ= Πίνακας Β.4.: Οι ποσότητες που χρειάζονται στον υπολογισµό των Ε(Χ) και VAR(X). Θα προσπαθήσουµε να υπολογίσουµε την Μαθηµ. ελπίδα Ε(Χ) και τη διακύµανση των δεδοµένων του πίνακα πιθανοτήτων του παραδείγµατος Β.1 (ο καλαθοσφαιριστής µε τα τρίποντα). Στο διπλανό πίνακα υπάρχουν οι κολόνες των ποσοτήτων: X i, P(Χ=X i ), X i *P(Χ=X i ) και X i 2 P(Χ=X i ), που θα βοηθήσουν στον υπολογισµό των Ε(Χ) και Var(X). Η Μαθηµατική ελπίδα είναι ήδη έτοιµη από το άθροισµα της τρίτης κολόνας. Έχουµε λοιπόν: Ε(Χ) = Σ Χ i Ρ(Χ i ) = 2.98 Var(X) = E(X 2 ) - E(X) 2 = ΣΧ i 2 P(X i ) - E(X) 2 = = = Αρα: σ = Var( X ) = =

12 72 Παρατηρήσεις: 1η) Το ότι ο µέσος όρος των εύστοχων προσπαθειών είναι 2.98 δεν ση- µαίνει πως µπορεί να συµβεί ένα τέτοιο αποτέλεσµα. Απλά σηµαίνει πως εάν ο παίκτης επιχειρήσει πολλές πεντάδες προσπαθειών, ο µέσος όρος των επιτυχη- µένων προσπαθειών ανά πεντάδα περιµένουµε πως θα είναι ίσος µε το η) Ανάλογη µε την προηγούµενη είναι και η ερµηνεία της Μαθηµατικής Ελπίδας που υπολογίσαµε για τις 1000 ρίψεις ενός ζαριού, όπου βρήκαµε: Ε(Χ)=3.532 Β.1.3. Ιδιότητες των Ε(Χ) και Var(X). Εστω η διακριτή τυχαία µεταβλητή Χ i, i=1,2,..,ν και P(X i ) η συνάρτηση κατανοµής της πιθανότητας των τιµών της. Οι ιδιότητες της Μαθηµατικής ελπίδας και της διακύµανσης είναι παρόµοιες µ'αυτές της µέσης τιµής και της διακύµανσης των τυχαίων µεταβλητών που αντιµετωπίσαµε στο πλαίσιο της Στατιστικής Ι. Εάν ο c είναι ένας σταθερός πραγµατικός αριθµός, τότε έχουµε για τη µέση τιµή E(X): i) E(X+c) = E(X) + c ii) E(cX) = ce(x) x-a E(X)-a iii) E(------) = (ο γνωστός µετασχηµατισµός απ'το b b 1ο τεύχος) Kαι για την διακύµανση Var(X): i) Var(X+c) = Var(X) ii) Var(cX) = c 2 Var(x) x-a E(X) iii) Var(------) = b b 2 Για περισσότερες πληροφορίες ρίξτε µια µατιά στο αντίστοιχο Κεφάλαιο της 1ου τεύχους.

13 73 Β.1.4. Συναρτήσεις Κατανοµής της Πιθανότητας. Το πρόβληµα που θα αντιµετωπίσουµε στις επόµενες παραγράφους είναι το εξής: "Εχουµε µια τυχ.µεταβλητή Χ και θέλουµε να αποδώσουµε µια πιθανότητα σε κάθε µια από τις τιµές Χ i ". Παραδείγµατα: 1ο) Σε έναν πληθυσµό 1000 ατόµων επιλέγουµε σαν τ.µ. το ύψος τους. Παίρνουµε στην τύχη ένα άτοµο απ'τον πληθυσµό και ζητούµε την πιθανότητα το ύψος του να ανήκει στο διάστηµα: (182 cm, 184 cm). 2ο) Τριάντα σπουδαστές συµµετέχουν στις εξετάσεις του µαθήµατος της Στατιστικής. Αν σαν τυχαία µεταβλητή Χ, επιλέξω το πλήθος των σπουδαστών που θα περάσουν στις εξετάσεις, τότε ζητώ την πιθανότητα Ρ(Χ=23), δηλαδή την πιθανότητα να περάσουν ακριβώς 23 σπουδαστές. Προβλήµατα σαν τα προηγούµενα υπάρχουν βέβαια πάρα πολλά. Συχνά πρόκειται για πειράµατα τύχης, στα οποία η τυχ.µεταβλητή αριθµεί τα απλά γεγονότα. Στις περιπτώσεις αυτές η πιθανότητα της κάθε µιας από τις τιµές της τ.µ. Χ, αποδίδει την πιθανότητα εµφάνισης του αντίστοιχου απλού γεγονότος του πειράµατος τύχης. Συχνά η έννοια της Μαθηµατικής συνάρτησης φοβίζει τους αµύητους. Οµως οι συναρτήσεις αποτελούν ταυτόχρονα ένα αναντικατάστατο εργαλείο και µια σπουδαία και απλή λύση σε πολλά προβλήµατα, όπως αυτό που αντιµετωπίζουµε τώρα. Πράγµατι θά'ταν πολύ σηµαντικό το να έχουµε µία συνάρτηση (έναν Μαθηµατικό τύπο), η οποία σε κάθε δεδοµένο µας (σε κάθε τιµή Χ i της τ.µ.), θα έδινε, µετά από απλές πράξεις, την πιθανότητα που αντιστοιχεί σ'αυτό. Μια τέτοια συνάρτηση (που θά'ναι πραγµατική ευλογία) θα πρέπει να έχει µερικές βασικές ιδιότητες, στις οποίες άλλωστε έχουµε ήδη αναφερθεί: 1. Το άθροισµα των πιθανοτήτων που αντιστοιχίζονται στο σύνολο των τιµών X i της τ.µ. να είναι ακριβώς ίσο µε τη µονάδα. 2. Η αντιστοίχιση των πιθανοτήτων από τη συνάρτηση, να λαµβάνει υπ' όψην της την ήδη υπάρχουσα εµπειρία από ανάλογες καταστάσεις.

14 74 Φθάνουµε εποµένως στον ορισµό: Ορισµός: Μια συνάρτηση που µας βοηθά να κατανείµουµε την πιθανότητα στις διάφορες τιµές µιας τυχαίας µεταβλητής, ονοµάζεται συνάρτηση κατανοµής της πιθανότητας. Συχνά οι συναρτήσεις κατανοµής είναι κάποια Μαθηµατικά µοντέλα τα οποία λειτουργούν ικανοποιητικά σε αρκετές περιπτώσεις. Ενα τέτοιο µοντέλο θα γνωρίσουµε στην επόµενη παράγραφο. Β.1.5. Η ιωνυµική κατανοµή. Η ιωνυµική κατανοµή είναι ένα Μαθηµατικό µοντέλο που αποδίδει µία πιθανότητα σε κάθε τιµή µιας απαριθµητής τυχαίας µεταβλητής. Στη βάση της τυχαίας µεταβλητής, της οποίας οι πιθανότητες δίνονται απ'τη ιωνυµική κατανοµή, υπάρχει ένα πείραµα τύχης µε δύο µόνο δυνατά αποτελέσµατα. Πάµπολλα είναι τα ανάλογα παραδείγµατα: i) Στο στρίψιµο ενός νοµίσµατος, τα δυνατά αποτελέσµατα είναι δύο, Κεφάλι και Γράµµα. ii) Κατά την ιατρική εξέταση ενός ατόµου για µία ασθένεια, τα δυνατά αποτελέσµατα είναι δύο, Υγειής και Ασθενής. iii) Σε µιά προσπάθεια για σουτ τριών πόντων ενός καλαθοσφαιριστή, τα δυνατά αποτελέσµατα είναι και πάλι δύο: Ευστοχία και Αστοχία. iv) Κατά την γέννηση ενός παιδιού τα δυνατά αποτελέσµατα, ως προς το φύλο, είναι επίσης δύο: Αγόρι ή Κορίτσι. Κ.λ.π.

15 75 Ορισµός Β.4. Η διωνυµική κατανοµή εφαρµόζεται σε πολλαπλά προβλήµατα τύχης, όταν ισχύουν οι παρακάτω προϋποθέσεις: 1. Έχουµε ένα πείραµα τύχης 2 δυνατών αποτελεσµάτων. 2. Ξέρουµε την πιθανότητα p να συµβεί το πρώτο αποτέλεσµα και, βέβαια, την πιθανότητα q=1-p για την υλοποίηση του δευτέρου αποτελέσµατος. 3. Εκτελούµε ν-φορές το εν λόγω πείραµα. 4. Ορίζουµε σαν τυχαία µεταβλητή Χ, το πλήθος των φορών που εµφανίστηκε το 1ο αποτέλεσµα, οπότε η Χ µπορεί να πάρει τιµές από Χ=0 (το 1ο αποτέλεσµα δεν εµφανίζεται ούτε µία φορά), έως την Χ=ν (και τις ν φορές εµφανίστηκε το 1ο αποτέλεσµα) (*). 5. Ζητούµε την πιθανότητα, στις ν εκτελέσεις να εµφανιστεί ακριβώς κ φορές το 1ο αποτέλεσµα και ν-κ φορές το 2ο. Την πιθανότητα αυτή τη συµβολίζουµε µε την έκφραση P(X=κ), και δίνεται από τη σχέση: Ρ(Χ=κ) = C ν κ p κ q ν-κ όπου C ν µ το πλήθος των συνδυασµών των ν-στοιχείων ανά µ. Παρατηρήσεις: 1η) Στα προβλήµατα της ιωνυµικής κατανοµής η τυχαία µεταβλητή Χ µπορεί να πάρει τιµές από το µηδέν (το 1ο αποτέλεσµα δεν εµφανίστηκε σε κα- µιά από τις ν επαναλήψεις) έως και ν (το 1ο αποτέλεσµα εµφανίστηκε και τις ν φορές). 2η) Το ότι εµφανίστηκε το 1ο αποτέλεσµα στην κ-επανάληψη του π.τ., δεν επηρεάζει καθόλου την πιθανότητα εµφάνισής του και την κ+1 επανάληψη, η οποία (πιθανότητα) είναι σταθερά ίση µε p. Άρα τα ν αποτελέσµατα είναι στην ουσία ν ανεξάρτητα µεταξύ τους γεγονότα (βλ. την αντίστοιχη παράγραφο του Α κεφαλαίου). (*) Από τα προηγούµενα βγάζουµε εύκολα το συµπέρασµα πως η σειρά µε την οποία διατάσσονται οι κ-επαναλήψεις του 1ου αποτελέσµατος και οι ν-κ επαναλήψεις του 2ου αποτελέσµατος, στο σύνολο των ν-εκτελέσεων του πολλαπλού πειράµατος τύχης, δεν µας ενδιαφέρουν. Εποµένως το πλήθος όλων των δυνατών τιµών της τυχαίας µεταβλητής Χ είναι ν+1.

16 76 Υπολογισµός του τύπου (*) : Θέλουµε να υπολογίσουµε την P(X=κ), την πιθανότητα δηλαδή να εµφανιστεί σε ν επαναλήψεις, ακριβώς κ φορές το 1ο αποτέλεσµα και (ν-κ) το 2ο. Ορίζουµε τα γεγονότα: Α i = <Συνέβη το 1ο αποτέλεσµα την i-οστή φορά> και Β i = <Συνέβη το 2ο αποτέλεσµα την i-οστή φορά> Οι πιθανότητες των γεγονότων αυτών, σύµφωνα µε τα δεδοµένα της ιωνυµικής κατανοµής, είναι ίσες µε: Ρ(Α i ) = p και P(B i ) = q = 1-p Ενας τρόπος να συµβεί το Χ=κ είναι να επαναληφθεί τις πρώτες κ-φορές το 1ο αποτέλεσµα και τις επόµενες το 2ο. Το γεγονός αυτό (ας το ονοµάσουµε Τ) περιγράφεται µε την παρακάτω τοµή (**) των επόµενων γεγονότων: Τ = Α 1 Α 2 Α 3... Α κ Β κ+1 Β κ+2... Β ν-1 Β ν κ-φορές (ν-κ) φορές Όπως όµως αναφέρθηκε στη 2η παρατήρηση, λίγο πιο πάνω, όλα τα γεγονότα αυτά είναι ανεξάρτητα, οπότε σύµφωνα µε τον ορισµό των ανεξαρτήτων γεγονότων, η πιθανότητα της τοµής τους είναι ίση µε το γινόµενο των πιθανοτήτων τους: Ρ(Τ) = Ρ(Α 1 )*Ρ(Α 2 )*...*Ρ(Α κ )*Ρ(Β κ+1 )*...*Ρ(Β ν ) = = p*p*...*p * q*q*...*q = p κ q ν-κ κ ν-κ (*) Ο αναγνώστης που δεν ενδιαφέρεται για αποδείξεις µπορεί να παραλείψει την µελέτη της απόδειξης αυτής. (**) Πρόκειται για τοµή µια και ζητούµε να συµβεί και το Α 1 και το Α 2 και... και το Β ν-1 και το Β ν. Αντίθετα θα είχαµε ένωση γεγονότων εάν ζητούσαµε να συµβεί είτε το Α 1, είτε το Α 2,... κ.λ.π.

17 77 Όµως αυτός ο τρόπος εµφάνισης του 1ου αποτελέσµατος δεν είναι ο µοναδικός. Θα µπορούσε για παράδειγµα να συµβεί εµφάνιση του 1ου αποτελέσµατος τις κ τελευταίες επαναλήψεις. Ποιό λοιπόν είναι το πλήθος των διαφορετικών τρόπων µε τους οποίους µπορούµε να πάρουµε κ-φορές το 1ο αποτέλεσµα κατά την εκτέλεση ν-επαναλήψεων; Έχουµε ένα κλασσικό πρόβληµα επαναληπτικών µεταθέσεων. Πράγµατι, θέλουµε να τοποθετήσουµε σε σειρά ν-πράγµατα, από τα οποία τα κ (τα Α) είναι όµοια µεταξύ τους, και τα υπόλοιπα ν-κ (τα Β) είναι επίσης όµοια µεταξύ τους. Άρα το πλήθος τους L, θα δίνεται από την επόµενη σχέση: ν! L = εmν κ,ν-κ = κ!*(ν-κ)! Στη συνέχεια αξίζει να παρατηρήσουµε πως ο προηγούµενος τύπος είναι ακριβώς ο ίδιος που αντιστοιχεί στους συνδυασµούς των ν-πραγµάτων ανά κ, και µ'αυτή τη µορφή εµφανίζεται το πλήθος L στον τύπο της ιωνυµικής Κατανοµής: ν! L = εmν κ,ν-κ = = C ν κ κ!*(ν-κ)! Αρα η πιθανότητα Ρ(Χ=κ) θα είναι το γινόµενο της πιθανότητας της µιας µεµονωµένης περίπτωσης Ρ(Τ) επί το πλήθος R όλων των διαφορετικών περιπτώσεων. Φθάνουµε λοιπόν στον τύπο: Ρ(Χ=κ) = C ν κ p κ (1-p) ν-κ = C ν κ p κ q ν-κ Παράµετροι και ιδιότητες της ιωνυµικής κατανοµής. Μόλις ορίσαµε µια Μαθηµατική συνάρτηση, ισχυριζόµενοι πως αποδίδει σε κάθε τιµή της τυχαίας µεταβλητής µια πιθανότητα. Όµως για να ορίζει η προηγούµενη σχέση µια συνάρτηση κατανοµής, θα πρέπει το άθροισµα των πιθανοτήτων που αντιστοιχούν στις ν+1 τιµές της τυχαίας µεταβλητής Χ (*), νά'ναι ίσο µε τη µονάδα: (*) Ολες οι τιµές είναι πράγµατι ν+1, διότι περιλαµβάνεται και η τιµή Χ=0 (να µην εµφανιστεί το 1ο αποτέλεσµα). Βλέπε και προηγούµενες παρατηρήσεις.

18 78 ν i) Ρ(Χ=0)+Ρ(Χ=1)+...+Ρ(Χ=ν) = Σ Ρ(Χ=κ) = 1 κ=0 Με εύκολες πράξεις (πρέπει να γνωρίζει κανείς καλά το ιώνυµο του Νεύτωνα: το ανάπτυγµα (α+β) ν ), υπολογίζουµε την Μαθηµατική ελπίδα [Ε(Χ)] και την ιακύµανση [Var(X)] της ιωνυµικής κατανοµής: ν ii) E(X) = Σ κρ(χ=κ) = νp κ=1 iii) Var(X) = E(X 2 ) - E(X) 2 = νpq όπου p και q, ως γνωστόν, είναι οι πιθανότητες εµφάνισης του 1ου και του 2ου αποτελέσµατος, σε κάθε µεµονωµένη εκτέλεση του π.τ.. Παράδειγµα Β.2. Σε ένα τηλεοπτικό παιγνίδι ο παίκτης πρέπει να περάσει ένα διάδρο- µο πέντε βηµάτων, πατώντας στο δεξιό ή στο αριστερό τετράγωνο. Σε κάθε βήµα το ένα τετράγωνο είναι ασφαλές, ενώ το άλλο κρύβει νάρκη. Για να κερδίσει ο παίκτης πρέπει να περάσει το διάδροµο πατώντας το πολύ σε µια νάρκη. i) Τί πιθανότητα έχει ένας παίκτης να κερδίσει; ii) Ενας παίκτης φθάνει χωρίς απώλειες στο τρίτο βήµα. Τί πιθανότητα έχει να κερδίσει; Λύση: i) Πρόκειται για ένα παιγνίδι στη βάση του οποίου υπάρχει ένα πείραµα τύχης µε δύο δυνατά αποτελέσµατα. Πρόκειται για το βήµα προς µια δυάδα τετραγώνων, από τα οποία το ένα κρύβει νάρκη. Εποµένως η πιθανότητα να επιλέξει ο παίκτης το τετράγωνο µε τη νάρκη είναι 50% (*). (*) Βέβαια υπάρχει και η ψυχολογική πρόβλεψη, µε την οποία ο άνθρωπος που κατάστρωσε το διάδροµο µπορεί να µπερδέψει τον παίκτη. Την περίπτωση αυτή µπορεί να την αποφύγει ο παίκτης που διαλέγει το τετράγωνο, στρίβοντας για παράδειγµα κάθε φορά ένα νόµισµα.

19 79 Έχουµε εποµένως: p = 0.5 και q = 1-p = 0.5. Εάν ορίσουµε σαν τυχαία µεταβλητή Χ, το πλήθος των επιτυχηµένων βη- µάτων, τότε η Χ µπορεί να πάρει τις τιµές από µηδέν (ο παίκτης πάτησε όλες τις νάρκες), έως 5 (δεν πάτησε καµία), ενώ το ν είναι ίσο µε 5. Η πιθανότητα να κερδίσει το παιγνίδι είναι ίση µε: Εχουµε λοιπόν: P(X 4) = P(X=4)+P(X=5) Ρ(Χ=4) = C 5 4 *0.5 4 *0.5 1 = [5!/(4!*1!)]*0.5 5 = 5* = Ρ(Χ=5) = C 5 5 *0.5 5 *0.5 0 = [5!/(5!*0!)]*0.5 5 = 1* = P(X 4) = P(X=4)+P(X=5) = = (*) Αξίζει να παρατηρήσουµε πως εάν ζητούσαµε την πιθανότητα να χάσει ο παίκτης, δηλαδή την Ρ(Χ<4), θά'πρεπε σύµφωνα µε τα παραπάνω να υπολογίσουµε και να προσθέσουµε τις πιθανότητες: Ρ(Χ<4) = Ρ(Χ=0)+Ρ(Χ=1)+Ρ(Χ=2)+Ρ(Χ=3) Αντί αυτού όµως µπορούµε να αφαιρέσουµε την προηγούµενη πιθανότητα [Ρ(Χ 4)] από τη µονάδα. Κάθε φορά, εποµένως, ενεργούµε έτσι ώστε να χρειασθεί να εκτελέσουµε τις λιγότερες πράξεις. Ρ(Χ<4) = 1 - Ρ(Χ 4) = 1 - [Ρ(Χ=4)+Ρ(Χ=5)] Στην άσκηση θα µπορούσε να ζητείται ο µέσος όρος Ε(Χ) και η διακύ- µανση Var(X) της κατανοµής. Αυτά υπολογίζονται εύκολα: µ = Ε(Χ) = νp = 5*0.5 = 2.5 Var(X) = νpq = 5*0.5*0.5 = 1.25 (*) Οµοια έχουµε: Ρ(Χ=3)=0.3125, Ρ(Χ=2)=0.3125, Ρ(Χ=1)= και Ρ(Χ=0)= Το συνολικό άθροισµα είναι, φυσικά, ίσο µε ένα.

20 80 ii) Το δεύτερο ερώτηµα του προβλήµατος έχει αλλαγµένες τις τι-µές των παραµέτρων της ιωνυµικής κατανοµής. Είναι σαν να παίζουµε ένα νέο παιγνίδι, µε διάδροµο των δύο βηµάτων. Έχουµε λοιπόν: ν=2, p=0.5, q=0.5. Τώρα η τυχαία µεταβλητή Χ παίρνει τις τιµές 0, 1 καί 2. Η µέση τιµή και η διακύµανση του νέου αυτού προβλήµατος υπολογίζονται εύκολα από τις σχέσεις: µ = Ε(Χ) = νp = 2*0.5 = 1 Var(X) = νpq = 2*0.5*0.5 = 0.5 Ζητούµε την πιθανότητα: Ρ(Χ>0) = Ρ(Χ=1)+Ρ(Χ=2) Είναι όµως ευκολότερος ο υπολογισµός της από τη σχέση: Ρ(Χ>0) = 1-Ρ(Χ=0) Ρ(Χ>0) = 1 - C 2 0*0.5 0 *0.5 2 = 1-1*0.25 = 0.75 Αρα, η πιθανότητα να κερδίσει κάποιος που έφθασε στο τρίτο βήµα χωρίς απώλειες, είναι ίση µε το 75%. Παρατήρηση: Στο πρόβληµα Β.1. συναντήσαµε την περίπτωση ενός καλαθοσφαιριστή ο οποίος επιχειρεί 5 προσπάθειες των τριών πόντων. Ορίσαµε σαν τυχαία µεταβλητή Χ, το πλήθος των εύστοχων προσπαθειών και τυπώσαµε στον αντίστοιχο πίνακα την κατανοµή της πιθανότητας για κάθε τιµή της Χ. Βεβαιωθείτε λοιπόν πως η κατανοµή του πίνακα Β.1. ακολουθεί τη ιωνυµική κατανοµή µε p=0.6. Πρόκειται βέβαια για ένα πολύ ικανό σουτέρ, µε µέση ευστοχία 60% στα τρίποντα!

21 81 Β.2. Συνεχείς τυχαίες µεταβλητές. Β.2.1. Γενικά. Ονοµάζουµε συνεχείς τυχαίες µεταβλητές, αυτές που έχουν σαν πεδίο ο- ρισµού το σύνολο των πραγµατικών αριθµών (ή ένα διάστηµά του). Το πλήθος των διαφορετικών τιµών που µπορούν να πάρουν, είναι ισοδύναµο µ'αυτό των πραγµατικών αριθµών (*). Εάν, για παράδειγµα, εξετάζουµε σαν τυχαία µεταβλητή το βάρος του κάθε ατόµου που ανήκει σε κάποιο πληθυσµό, το οποίο µετράµε µε µια ζυγαριά πολύ µεγάλης ακρίβειας, η κάθε µέτρηση θα είναι ένας δεκαδικός αριθµός µε πολλά δεκαδικά ψηφία. Θεωρητικά µάλιστα θα µπορούσαµε να πούµε πως η κάθε µέτρηση είναι ένας δεκαδικός µε άπειρα δεκαδικά ψηφία. Προκύπτει λοιπόν το εξής ερώτηµα: Εάν θεωρήσουµε την µέτρηση του βάρους σαν πείρα- µα τύχης, όπου το απλό γεγονός είναι µία µέτρηση (βάρους), τί πιθανότητα υπάρχει κάποιος, που δηλώνει πως το βάρος του είναι 80 Κg, να ανεβεί στη ζυγαριά "µεγίστης" ακρίβειας και αυτή να δείξει ακριβώς;(!) Η απάντηση είναι πως όσο περισσότερα είναι τα δεκαδικά που δίνει η ζυγαριά τόσο λιγότερο πιθανό είναι να συµβεί αυτό το απλό γεγονός. Εάν µάλιστα ξαναγυρίσουµε στη θεωρητική αντιµετώπιση, κατά την οποία η κάθε µέτρηση είναι ένας πραγµατικός αριθµός (µε άπειρα δεκαδικά ψηφία), τότε µπορούµε να δηλώσουµε πως η πιθανότητα του απλού αυτού γεγονότος είναι µηδέν(!). Φθάνουµε λοιπόν στον παρακάτω σηµαντικό ορισµό: (*) Μιλήσαµε σε προηγούµενες υποσηµειώσεις για σύνολα µε άπειρα στοιχεία. Στα απειροσύνολα, τον πληθικό αριθµό τον καλούµε δύναµη του συνόλου. Χωρίσαµε λοιπόν τη δύναµη των απειροσυνόλων στη δύναµη του αριθµησίµου και στη δύναµη του συνεχούς.. Αποδεικνύεται πως ένα διάστηµα (α,β), µε α<β, των πραγµατικών αριθµών έχει τη δύναµη του συνεχούς, έχει δηλαδή πλήθος στοιχείων αντίστοιχο µ'αυτό του συνόλου όλων των πραγµατικών αριθµών. Τελικά, για τις ανάγκες του µαθήµατος µπορούµε να θεωρούµε τους πραγµατικούς σαν δεκαδικούς µε πολλά δεκαδικά ψηφία.

22 82 Ορισµός Β.5. Η τυχαία µεταβλητή Χ είναι συνεχής εάν η πιθανότητα να λάβει η Χ µια οποιαδήποτε τιµή, του συνόλου τιµών της, είναι ίση µε το µηδέν. Εάν κ είναι η εν λόγω τυχούσα τιµή, γράφουµε: Ρ(Χ=κ) = 0 Επειδή ο προηγούµενος ορισµός µπορεί να ξενίζει κάποιον, θα αναφέρουµε το εξής παράδειγµα: Εάν ο κύριος που δηλώνει πως το βάρος του είναι 80 Kg ανεβεί σε ζυγαριά που δίνει ακρίβεια 26 δεκαδικών, τότε η πιθανότητα η ζυγαριά να δείξει ακριβώς είναι περίπου ίση µε την πιθανότητα να παίξουµε ένα απλό δελτίο Lotto, σε τέσσερις διαδοχικές κληρώσεις και να τις κερδίσουµε καί τις τέσσερις! (Εάν γυρίσετε στο Κεφάλαιο των Πιθανοτήτων, θα µπορέσετε να υπολογίσετε τα ακριβή νούµερα). Ορισµός Β.6. Στις συνεχείς τυχαίες µεταβλητές αντιστοιχίζουµε πιθανότητες σε διαστήµατα τιµών, σε διαστήµατα δηλαδή του συνόλου των πραγµατικών αριθµών. Η πιθανότητα η µέτρηση Χ να ανήκει στο διάστηµα (α,β) συµβολίζεται µε το: P(α<Χ<β) Σηµαντική παρατήρηση: Στη συνέχεια θα συναντήσουµε συχνά τις εκφράσεις: "η πιθανότητα ε- νός διαστήµατος" ή "η πιθανότητα η µέτρηση Χ να ανήκει σε κάποιο συγκεκριµένο διάστηµα" ή "το ποσοστό του πληθυσµού που ανήκει στο συγκεκριµένο διάστηµα". Πρόκειται για τρείς παραπλήσιες έννοιες που εκφράζονται µε τον ίδιο αριθµό. Ετσι λοιπόν, στο προηγούµενο πρόβληµα, έχοντας ζυγίσει το σύνολο ενός πληθυσµού, εάν δηλώσουµε πως η πιθανότητα του διαστήµατος (79,81) είναι ίση µε το 0.12 αυτό θα σηµαίνει πως το 0.12 του πληθυσµού (το 12% δηλαδή) ανήκει στο διάστηµα αυτό. Εποµένως η πιθανότητα ένα τυχαίο άτοµο να ανήκει στο ίδιο διάστηµα, είναι ίση µε το 0.12.

23 83 Ξαναγυρνώντας στο ζύγισµα του κυρίου που δηλώνει πως το βάρος του είναι 80 Κg, θα πούµε πως ενώ η πιθανότητα να είναι ακριβώς 80 Kg είναι ίση µε το µηδέν, εν τούτοις η πιθανότητα να ανήκει στο διάστηµα (79,81) είναι υ- παρκτή, διάφορη του µηδενός. Β.2.2. Κατανοµές πιθανοτήτων σε συνεχείς τυχαίες µεταβλητές. Στις συνεχείς τυχαίες µεταβλητές ζητούµε να αντιστοιχίσουµε µία πιθανότητα σε κάθε διάστηµα των πραγµατικών αριθµών. Ζητούµε εποµένως µία συνάρτηση που να έχει κάποιες βασικές ιδιότητες. Μερικές απ'αυτές είναι οι παρακάτω: i) 0 Ρ(α<Χ<β) = Ρ(α Χ β) 1 εάν α β ii) Ρ(Χ=α) = 0 iii) Ρ(- <Χ< ) = 1 iv) Ρ( 1 U 2 ) = Ρ( 1 )+Ρ( 2 ) όπου 1 και 2 διαστήµατα ξένα µεταξύ τους. Η πρώτη ιδιότητα δηλώνει πως η πιθανότητα που αντιστοιχεί σ'ένα διάστηµα των πραγµατικών αριθµών είναι ένας πραγµατικός αριθµός από το µηδέν έως το ένα, και πως η πιθανότητα του ανοικτού διαστήµατος (α,β) και του κλειστού διαστήµατος [α,β] είναι ίσες, µια και οι πιθανότητες των µεµονωµένων τι- µών α και β είναι ίσες µε το µηδέν (*), πράγµα που δηλώνεται από τη δεύτερη ιδιότητα. Η τρίτη ιδιότητα είναι αντίστοιχη εκείνης των πιθανοτήτων που δήλωνε πως η πιθανότητα του δειγµατοχώρου Ω είναι ίση µε τη µονάδα. Εδώ βέβαια ο δειγµατοχώρος, εν δυνάµει, είναι το σύνολο R των πραγµατικών. (*) Το ανοικτό διάστηµα (α,β) είναι το σύνολο που περιλαµβάνει όλες τις τιµές από το α έως το β, χωρίς όµως να περιλαµβάνει και τα άκρα του, τα σηµεία α και β. Αντίθετα στο κλειστό διάστηµα [α,β] περιλαµβάνονται και τα άκρα του.

24 84 Έστω τώρα µια συνεχής τυχαία µεταβλητή Χ i, η οποία παίρνει τιµές από το σύνολο των πραγµατικών αριθµών. Ο ορισµός της πιθανότητας κάθε διαστή- µατος του συνόλου των πραγµατικών, δίνεται µε τη βοήθεια µιας συνάρτησης y=f(x), η οποία ονοµάζεται συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Ορισµός Β.7. Εάν δεχθούµε πως η συνάρτηση y=f(x), της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήµα, είναι η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για κάποια τυχαία µεταβλητή, τότε η πιθανότητα του διαστήµατος (α,β), η πιθανότητα δηλαδή κάποια µέτρηση να ανήκει στο διάστηµα (α,β), δίνεται από το εµβαδό Ε που ορίζεται από τη συνάρτηση y=f(x), τον άξονα των χ και τις ευθείες χ=α και χ=β. Είναι γνωστό όµως πως το εν λόγω εµβαδό Ε δίνεται από το ορισµένο ολοκλήρωµα της συνάρτησης f(x), µε όρια τις τιµές α και β (*). Ορίζουµε λοιπόν την πιθανότητα του διαστήµατος (α,β) µε τη σχέση: y Ε y=f(x) α β x Σχ.Β.2.: Ορισµός της πιθανότητας από τη συνάρτηση της πυκνότητας y=f(x). Ρ(α<Χ<β) = Ρ(α Χ β) = β α f ( x) dx (*) Για την γεωµετρική ερµηνεία του ορισµένου ολοκληρώµατος ξαναδείτε την υποσηµείωση της παραγράφου Α.2.10.

25 85 Βασικές ιδιότητες της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας: i) f(x) 0 η οποία, σε συνδυασµό µε τις ιδιότητες του ορισµένου ολοκληρώµατος (βλ.και πάλι την υποσηµείωση στην $Α.2.12), δηλώνει πως η πιθανότητα του τυχαίου διαστήµατος (α,β) είναι µια θετική τιµή ή µηδέν. Πράγµατι, εάν σε ένα διάστηµα (κ,λ) η τιµή της συνάρτησης f(x) ήταν αρνητική, τότε η πιθανότητα του διαστήµατος αυτού θά'ταν ένας αρνητικός α- ριθµός (ίδια υποσηµείωση). Όµως, βασική ιδιότητα των πιθανοτήτων είναι πως η πιθανότητα είναι µία τιµή ανάµεσα στο µηδέν και στο ένα. Εάν f(x) 0, x ( κ, λ ) λ 0 Ρ(κ Χ λ) = f ( x) dx κ ii) P( p X p ) = f ( x) dx= 1 Απαραίτητη προϋπόθεση για να µπορεί να θεωρηθεί µια συνάρτηση y = f(x), συνάρτηση κατανοµής, είναι να ισούται µε το 1 το συνολικό εµβαδό που αυτή η (θετική) συνάρτηση ορίζει µε τον άξονα των χ. Αυτό, για µία παντού θετική (ή µηδέν) συνάρτηση σηµαίνει πως η τιµή της στο µεγαλύτερο διάστηµα των πραγµατικών είναι µηδέν ή σχεδόν µηδέν, έτσι ώστε το συνολικό εµβαδό να ισούται µε τη µονάδα. Αλλιώς, µία επιφάνεια µε πλάτος που δεν τείνει στο µηδέν (και µάλιστα γρήγορα) και µήκος άπειρο, θά'χει άπειρο εµβαδό. α iii) P( X = α) = f ( x) dx= 0 α εµβαδό ενός ευθυγράµµου τµήµατος είναι ίσο µε το 0. Ακόµη µία ιδιότητα των ορισµένων ολοκληρωµάτων, που γεωµετρικά δηλώνει πως το iv) P( X α) = P( p X α) = α = f ( x) dx= 0 Η σχέση αυτή δίνει αυτό που ονοµάζεται αθροιστική πιθανότητα. Το γιατί, γίνεται και πάλι φανερό από τις ιδιότητες των ορισµένων ολοκληρωµάτων, σύµφωνα µε τις οποίες η προηγούµενη σχέση ορίζει το εµβαδό Ε, που ορίζεται από τη συνάρτηση f(x) και τον άξονα των χ, από το - έως το α.

26 86 y y 1 Ε E α x α x Σχ. Β.4.: Η αθροιστική πιθανότητα, σαν εµβαδό (αριστερά), και η γραφική της παράσταση (δεξιά). Στο σχήµα Β.4. (δεξιά), υπάρχει η γραφική παράσταση της αθροιστικής πιθανότητας σαν συνάρτησης της τιµής χ, της τυχαίας µεταβλητής. Πρόκειται για τη συνάρτηση που δίνει το εµβαδό Ε, που ορίζεται από τη συνάρτηση της πυκνότητας, από το - µέχρι το τυχόν σηµείο α. Παρατηρούµε πως είναι µία συνάρτηση αύξουσα, της οποίας η µέγιστη τιµή είναι ίση µε τη µονάδα (το συνολικό δηλαδή εµβαδό). v) Τέλος οι σχέσεις που δίνουν την Μαθηµατική ελπίδα [µέση τιµή, Ε(Χ)] και την διακύµανση [Var(X)=σ 2 ], είναι οι παρακάτω: µ = Ε(Χ) = xf ( x) dx σ 2 = Var(X) = E(X 2 ) - E(X) 2 = x 2 f ( x ) dx - µ 2 Και οι δύο αυτές σχέσεις προέρχονται από τις αντίστοιχες των διακριτών κατανοµών και στηρίζονται στη φύση των ορισµένων ολοκληρωµάτων σαν α- θροίσµατα απείρων όρων πολύ µικρού µεγέθους.

27 87 Β.2.3. Οµοιόµορφη κατανοµή. Η οµοιόµορφη κατανοµή είναι ένα ιδιαίτερα απλό µαθηµατικό µοντέλο, που το αναφέρουµε περισσότερο σαν παράδειγµα, µια και υπολογίζονται εύκολα όλες οι παράµετροί του. Στηρίζεται στην πολύ απλή συνάρτηση πυκνότητας: y = f(x) = y κ όταν α<χ<β 0 αλλού κ όπου: κ = 1/(β-α) α β x Αρχικά θα δείξουµε πως η παραπάνω συνάρτηση µπορεί να είναι συνάρτηση πυκνότητας της πιθανότητας, πως δηλαδή το ολοκλήρωµά της από το µείον µεχρι το συν άπειρο, είναι ίσο µε τη µονάδα. Αυτό φαίνεται βέβαια και από το εµβαδό που ορίζει µε τον άξονα των χ η πιο πάνω συνάρτηση. Πρόκειται για ένα ορθογώνιο µε εµβαδό: Ε = (β-α)κ = 1 (*). Στο ίδιο αποτέλεσµα φθάνουµε λύνοντας και το αντίστοιχο ολοκλήρωµα: P( p X p ) = f ( x) dx= 0dx+ κ dx+ 0dx= 0 + κx + 0 = = κ(β-α) = 1 α β α β β α Η αθροιστική πιθανότητα δίνεται από τη σχέση: (*) Σύµφωνα µε τον περιορισµό: κ=1/(β-α) κ(β-α) = 1.

28 88 P(X t) = t 0dx = 0 t α t f ( x) dx= 0dx+ κ dx = κ(t-α) α t όταν t α όταν α t β β t 0dx+ κdx+ 0dx = κ(β-α) = 1 όταν β t α β ενώ η γραφική παράσταση της συνάρτησης που δίνει την αθροιστική πιθανότητα της κατανοµής παρουσιάζεται στο παρακάτω σχήµα: y E α t β x Σχ.Β.5: Η αθροιστική πιθανότητα της οµοιόµορφης κατανοµής, P(X t) = E. Τέλος η Μαθηµατική ελπίδα (µέση τιµή) και η διακύµανση της οµοιό- µορφης κατανοµής είναι ίσες µε: µ = Ε(Χ) = xf ( x) dx= x dx+ x dx+ 0 κ x0dx β 2 -α 2 β+α β+α = κ = κ(β-α) = α β α β β = κ(x 2 /2) = α και

29 89 σ 2 = Var(X) = E(X 2 )-E(X) 2 = α 2 x f ( x) dx - µ 2 = = x 0dx+ x κdx+ x 0dx - µ 2 = β α β β x 3 β 3 -α 3 (β+α) 2 (β-α)(α 2 +αβ+β 2 ) β 2 +2αβ+α 2 = κ µ 2 = κ = κ = α (β-α) 2 = οπότε: β-α σ = Var( X ) = Β.2.4. Η Κανονική κατανοµή. Να θυµίσουµε πως διαπραγµατευόµαστε τις συνεχείς τυχαίες µεταβλητές, οι οποίες παίρνουν τιµές από το σύνολο των πραγµατικών αριθµών. Να θυµίσουµε επίσης πως η πιθανότητα µιας µεµονωµένης τιµής για τις συνεχείς τυχαίες µεταβλητές είναι µηδέν, και πως προσπαθούµε να αντιστοιχίσουµε µια πιθανότητα σε κάθε διάστηµα των πραγµατικών αριθµών, µε τη βοήθεια κάποιων συναρτήσεων που τις ονοµάσαµε συναρτήσεις πυκνότητας της πιθανότητας. Η πιο σηµαντική κατανοµή πιθανοτήτων είναι η Κανονική κατανοµή, η οποία βασίζεται στην παρακάτω συνάρτηση πυκνότητας: -(χ-µ) 2 /2σ 2 e y = f(x) = σ 2π

30 90 Με τη λύση των ολοκληρωµάτων που αναφέρθηκαν στις προηγούµενες δύο παραγράφους (και τα οποία λόγω πολυπλοκότητας παραλείπονται), αποδεικνύεται πως η µέση τιµή και η τυπική απόκλιση της κατανοµής αυτής είναι οι παράµετροι µ και σ του τύπου της συνάρτησης πυκνότητας. y 0, Η γραφική παράσταση της f(x) (βλέπε δίπλα) δείχνει πως πρόκειται για µία συνάρτηση συµµετρική ως προς Σχ.Β.6: Η κανονική κατανοµή. την ευθεία Χ=µ=3. Προφανώς το εµβαδό που ορίζει η εν λόγω συνάρτηση µε τον άξονα των χ, είναι ίσο µε τη µονάδα. 0,4 x Ιδιότητες της Κανονικής κατανοµής: i) Μεταβάλλοντας την τιµή του µ από µ 1 σε µ 2 (όπου µ 1 =3<µ 2 =5), ενώ παράλληλα κρατούµε σταθερό το σ, παρατηρούµε την παράλληλη µετατόπιση της κανονικής καµπύλης, χωρίς καµιά αλλοίωση της µορφής της (βλέπε στο σχ.β.7). ii) Αν µεταβάλουµε στη συνέχεια την τιµή της τυπικής απόκλισης από σ 1 σε σ 2, διατηρώντας αυτή Σχ.Β.7: Οι δύο καµπύλες έχουν το ίδιο σ (=1), ενώ έχουν µ 1 =3 και µ 2 =5. τη φορά σταθερή την τιµή του µέσου όρου (µ=5), παρατηρούµε πως, ενώ ο άξονας συµµετρίας των δύο καµπύλων δε µεταβάλλεται, εν τούτοις η µορφή τους έχει µεταβληθεί σηµαντικά.

31 91 Η καµπύλη µε τη µεγαλύτερη τυπική απόκλιση (σ 2 =2) είναι πιο χαµηλή και πιο πλατειά, σ'αντίθεση µε την πρώτη (µε το µικρότερο σ 1 =1), που είναι ψηλότερη και λεπτότερη. Είναι φανερό πως στη µεγαλύτερη τυπική απόκλιση αντιστοιχεί η καµπύλη που δίνει αρκετές πιθανότητες σε διαστήµατα αποµακρυσµένα από το µ, σε καµπύλες δηλαδή που δείχνουν την ύπαρξη σηµαντικών ποσοστών του πληθυσµού σε περιοχές (διαστήµατα) που είναι αρκετά αποµακρυσµένες από το 0,4 y 0, Σχ.Β.7: Οι δύο καµπύλες έχουν το ίδιο µ (=5), ενώ έχουν σ 1 =1 και σ 2 =2 ( ). µέσο όρο µ (θυµηθείτε τη φυσική σηµασία της τυπικής απόκλισης από τη περιγραφική Στατιστική). x iii) Λόγω της συµµετρικότητας της καµπύλης, το εµβαδό Ε 1 που δηµιουργείται στ'αριστερά της ευθείας χ=µ είναι ίσο µ'αυτό (Ε 2 ) στα δεξιά της. Βέβαια και τα δύο είναι ίσα µε το 0.5. Ταυτόχρονα διαπιστώνουµε πως σε διαστήµατα συµµετρικά ως προς τη µέση τιµή µ, (α,β) και (γ,δ), αντιστοιχούν, λόγω της συµµετρίας, ίσα εµβαδά (Ε και Ε' α- ντίστοιχα). Το ίδιο βέβαια συµβαίνει και για τα εµβαδά (τις πιθανότητες δηλαδή), που αντιστοιχούν στα συµµετρικά διαστήµατα (β,µ) και (µ,γ). Σύµφωνα λοιπόν µε τα προηγούµενα µπορούµε να γράψουµε: 0,4 y 0,2 0 0 á â ì ã ä Σχ.Β.9: Σύγκριση εµβαδών στην κανονική καµπύλη. Ρ(α<Χ<β) = Ρ(γ<Χ<δ) ή Ρ(β<Χ<µ) = Ρ(µ<Χ<γ') ή Ρ(β<Χ<γ) = 2*Ρ(β<Χ<µ) κ.λ.π. x

32 92 iv) Η κατανοµή των πιθανοτήτων µέσω της κα- µπύλης της κανονικής κατανοµής έχουν µία ιδιαίτερα σηµαντική ιδιότητα. Εάν υπολογίσουµε την πιθανότητα του διαστήµατος (µ,µ+σ) θα καταλήξουµε στην τιµή Αυτή η τιµή µάλιστα είναι ανεξάρτητη από τις τιµές των παραµέτρων µ και σ. Ετσι στο σχ.β.10 παρατηρούµε δύο καµπύλες µε διαφορετικές τιµές των µ και σ. Τα εµβαδά (άρα και οι πιθανότητες) που αντιστοιχούν στο διάστηµα (µ 1,µ 1 +σ 1 ) και στο διάστηµα (µ 2,µ 2 +σ 2 ) είναι και στις δύο περιπτώσεις ίσα µε την τιµή ,4 y 0,2 0 0,4 y 0,2 0 µ µ+σ x µ µ+σ Σχ.Β.10: Tο εµβαδό της κανονικής καµπύλης που αντιστοιχεί στο διάστηµα (µ,µ+σ), Ε(µ+σ 1 ) = Ε(µ+σ 2 ). x Το ίδιο ακριβώς συµβαίνει µε όλα τα διαστήµατα, των οποίων τα όρια ορίζονται µε τη βοήθεια των παραµέτρων µ και σ. Αναφέρουµε σαν παράδειγ- µα τα παρακάτω διαστήµατα, για τα οποία σηµειώνεται και η πιθανότητα που τους αντιστοιχεί. Μάλιστα η κατανοµή των πιθανοτήτων αυτών φαίνεται στο σχήµα Β.11. Ο τρόπος τέλος υπολογισµού των πιθανοτήτων αυτών θα εξηγηθεί αµέσως µετά: Ε 1 = Ρ(µ < Χ < µ+σ) = Ρ(µ-σ < Χ < µ) = Ε 2 = Ρ(µ+σ < Χ < µ+2σ) = Ρ(µ-2σ < Χ < µ-σ) = Ε 3 = Ρ(µ+2σ < Χ < µ+3σ) = Ρ(µ-3σ < Χ < µ-2σ) = Ε 4 = Ρ(µ+3σ < Χ < µ+4σ) = Ρ(µ-4σ < Χ < µ-3σ) =

33 93 0,2 y 0,1 0 µ- 2σ µ- σ µ µ+σ µ+2σ µ+3σ x Σχ.Β.11. Κατανοµή των εµβαδών της Κανονικής καµπύλης. Ε(µ,µ+σ)=34.1%, Ε(µ+σ,µ+2σ)=13.6%, Ε(µ+2σ,µ+3σ)=2.1% και Ε(µ+3σ,µ+4σ)=0.13% (δεν φαίνεται στο σχήµα) Τρόπος υπολογισµού των πιθανοτήτων από την Κανονική καµπύλη. Σύµφωνα µε τα όσα είδαµε προηγουµένως, ο υπολογισµός των πιθανοτήτων που αντιστοιχούν, µέσω της Κανονικής καµπύλης, σ'ένα διάστηµα (α,β) των πραγµατικών αριθµών, διευκολύνεται εάν εκφράσουµε τα άκρα α και β του διαστήµατος µε τη βοήθεια των παραµέτρων µ και σ. Εύκολα µπορούµε να διαπιστώσουµε πως η έκφραση Ζ α του α, µέσω των µ και σ, δίνεται από τη σχέση: α - µ Ζ α = σ Η προηγούµενη σχέση ορίζει ένα µετασχηµατισµό ο οποίος αντιστοιχίζει στην τυχαία µέτρηση Χ, την τιµή Ζ χ =(Χ-µ)/σ. Οι τιµές Ζ χ ακολουθούν την κανονική κατανοµή, έχοντας µέση τιµή το µηδέν (µ z =0) και τυπική απόκλιση τη µονάδα (σ z =1) (*).

34 94 Ορισµός Β.8. Η κανονική κατανοµή πιθανοτήτων, της οποίας η µέση τιµή είναι ίση µε το µηδέν και η τυπική απόκλιση ίση µε τη µονάδα, ονοµάζεται Τυπική Κανονική Κατανοµή. Παρατήρηση: Αυτό που κάνουµε ουσιαστικά µε την Τυπική Κανονική Κατανοµή είναι να µετακινούµε παράλληλα προς τον εαυτό της την κανονική καµπύλη (χωρίς να αλλοιώνουµε τη µορφή της), έτσι ώστε η µέση της τιµή να είναι ίση µε το µηδέν. Την οδηγούµε δηλαδή στο κέντρο των αξόνων. y -1(σ) 0 1(σ) µ-σ µ µ+σ Σχ.Β.11: Η µετακίνηση της κανονικής καµπύλης στο κέντρο των αξόνων. x Στη συνέχεια υιοθετούµε σαν µονάδα πάνω στον άξονα των Χ, την τυπική απόκλιση σ. (*) Να θυµίσουµε τις ιδιότητες της µέσης τιµής µ και της τυπικής απόκλισης σ που είδαµε στο αντίστοιχο Κεφάλαιο της Στατιστικής Ι. Έστω λοιπόν ότι οι ν τιµές Χ i, i=1,2,...,ν µιας τυχαίας µεταβλητής Χ στα ν άτοµα ενός πληθυσµού, έχουν µέση τιµή µ χ και τυπική απόκλιση σ χ, τότε: Οι τιµές Y i = X i + c, όπου c ένας σταθερός πραγµατικός αριθµός έχουν µέση τιµή µ y = µ x + c και τυπική απόκλιση σ y = σ x. (Πόρισµα της προηγούµενης) Αν επιλέξουµε σαν σταθερά c την τιµή c=-µ χ τότε οι τιµές: Y i = X i - µ χ έχουν µέση τιµή µ y = 0 και τυπική απόκλιση σ y = σ x. Οι τιµές T i = cx i όπου c ένας σταθερός πραγµατικός αριθµός έχουν µέση τιµή µ τ = cµ x και τυπική απόκλιση σ τ = cσ x. (Πόρισµα των προηγουµένων). Εάν πολλαπλασιάσουµε τις τιµές Y i =X i -µ χ, για τις οποίες έχουµε µ y =0 και σ y =σ χ,, µε το c=1/σ χ, παίρνω τις τιµές: X i µ x Zi = σ x µε µέση τιµή µ z =0 και τυπική απόκλιση σ z =1. Οι προηγούµενες ιδιότητες είναι ιδιαίτερα χρήσιµες και εύκολες στην κατανόηση, αλλά και στην απόδειξη. Αξίζει µια µατιά στο αντίστοιχο κεφάλαιο της περιγραφικής Στατιστικής.

35 95 Παράδειγµα: Ας υποθέσουµε πως το ύψος των ενήλικων ανδρών ακολουθεί την Κανονική κατανοµή, µε µέση τιµή µ=175 cm και τυπική απόκλιση σ=5 cm. Τότε η Ζ- τιµή της µέτρησης Χ=185 είναι ίση µε: Ζ 185 = = 2 5 η οποία, σε τελική ανάλυση, δηλώνει πως η τιµή 185 είναι δύο απο-κλίσεις πάνω από το µέσο όρο µ. Όµοια υπολογίζουµε εύκολα πως: Z 170 = -1. Αυτό σηµαίνει πως η τιµή 170 είναι κατά µία τυπική απόκλιση µικρότερη του µέσου όρου µ. Χρήση του πίνακα της Τυπικής Κανονικής κατανοµής. Η πιθανότητα (δηλ. το εµβαδό) που αντιστοιχεί σε ένα διάστηµα υπολογίζεται ιδιαίτερα εύκολα µε τη βοήθεια του πίνακα της τυπικής κανονικής κατανοµής. Στον πίνακα αυτό δίνεται το εµβαδό του διαστήµατος (0,z), όπου z είναι µια τυχαία θετική τιµή της τυχαίας µεταβλητής που ακολουθεί την τυπική κανονική κατανοµή. Σε κάθε τιµή του z, από 0 έως και 3.99, µε βήµα 0.01, δίνεται από τον πίνακα η πιθανότητα του διαστήµατος (0,z). Για να µην γίνει ένας πολύ µακρύς πίνακας (400 στοιχείων) της µιας στήλης, συνηθίζεται να κατανέµονται οι 400 αυτές τιµές σε 10 στήλες. Ετσι λοιπόν, ενώ στην πρώτη κατακόρυφη κολώνα έχουµε το z µε ένα µόνο δεκαδικό ψηφίο, στον οριζόντιο άξονα εµφανίζεται το δεύτερο δεκαδικό ψηφίο του z. Ας αναζητήσουµε λοιπόν την πιθανότητα του διαστήµατος: ( 0, 1.26 ) Βρίσκουµε στην πρώτη στήλη το 1.2 σαν τιµή του z. Στη συνέχεια πηγαίνουµε (πάντα στη γραµµή του z=1.2) στην έκτη κολόνα που δίνει την τιµή όταν το 2ο δεκαδικό ψηφίο είναι το 6. Ετσι βρίσκουµε πως: Ρ(0<Ζ<1.26) =

36 96 Παρατήρηση: Λόγω της συµµετρίας της κανονικής καµπύλης ο πίνακας της επόµενης σελίδας µας επιτρέπει να υπολογίσουµε την πιθανότητα οποιουδήποτε διαστή- µατος, όπως θα δούµε άλλωστε και στο επόµενο παράδειγµα. Παράδειγµα: εχόµαστε πως οι καθυστερήσεις στις αφίξεις των αεροπλάνων µιας αεροπορικής εταιρείας, ακολουθούν την κανονική κατανοµή, µε µέσο όρο τα 20 λεπτά και τυπική απόκλιση τα 12 λεπτά. Να υπολογισθεί η πιθανότητα µία τυχαία πτήση να φθάσει: i) µε καθυστέρηση από 20 έως 30 λεπτά. ii) µε καθυστέρηση από 5 έως 15 λεπτά. iii) µε καθυστέρηση από 15 έως 30 λεπτά. iv) µε καθυστέρηση µεγαλύτερη των 30 λεπτών. v) χωρίς καθυστέρηση. Λύση: Αρχικά ορίζουµε σαν τυχαία µεταβλητή Χ του προβλήµατος που εξετάζουµε, την καθυστέρηση της τυχαίας πτήσης. Άρα η έκφραση Ρ(α Χ β) σηµαίνει την πιθανότητα η καθυστέρηση µιας τυχαίας πτήσης να είναι κυµανθεί από α έως β λεπτά της ώρας. (i) Θέλουµε την πιθανότητα Ρ(20 Χ 30), την οποία ονοµάσαµε και πιθανότητα του διαστήµατος (20,30). Οι Ζ-τιµές των άκρων του εν λόγω διαστήµατος δίνονται από τις σχέσεις: 20 - µ Ζ 20 = = = 0 και Ζ 30 = = 0,83333 σ 12 12

37 97 ΠΙΝΑΚΑΣ Β.5.: ΤΥΠΙΚΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ίνει το εµβαδό που ορίζεται από την καµπύλη της κανονικής κατανοµής στα όρια 0 έως z. (Βλ. και στο διπλανό σχήµα). Στον οριζόντιο άξονα δίνεται το δεύτερο δεκαδικό της τιµής του z. z 0 z Z