`n Ondersoek na die Eindige Steekproefgedrag. van Inferensiemetodes. in Ekstreemwaarde-teorie

Transcript

1 ` Odersoek a die Eidige Steekproefgedrag va Iferesiemetodes i Ekstreemwaarde-teorie Dewald va Deveter Werkstuk igelewer ter gedeeltelike vervullig va die vereistes vir die graad Magister i die Hadelsweteskappe aa die Uiversiteit va Stellebosch Promotor: Prof. Tertius de Wet Februarie 2005

2 Opsommig Ekstreme waardes is rare, otipiese waaremigs wat slegs by uitsoderig realiseer. Waeer sulke gebeurteisse byvoorbeeld aardbewigs, fratsgolwe e beleggigsmark ieestortigs - egter wel plaasvid, gaa dit dikwels met eorme lewesverlies e/of fiasiële skade gepaard. Om hierdie rede is die akkurate modellerig va ekstreme waardes va kritieke belag. Ekstreemwaarde-teorie behels die otwikkelig va statistiese modelle e tegieke om sulke waaremigs te beskryf e te modelleer. I hierdie werkstuk word aspekte va ekstreemwaarde-teorie bespreek. Dié teorie bestaa uit twee breë beaderigs: ` Klassieke maksimametode, gebaseer op die eieskappe va die maksimum va ` steekproef e ` meer modere drempelteorie, gebaseer op die eieskappe va oorskrydigs va ` gekose drempelwaarde. Hierdie werkstuk rus die praktisy toe met die odige teoretiese e praktiese toerustig te opsigte va beide beaderigs, om sodoede ekstreemwaardeaalises met vertroue uit te voer. Ekstreemwaarde-teorie vir beide beaderigs - is op asimptotiese argumete gebaseer. Die limietresultaat vir steekproefmaksima geld slegs by beaderig vir eidige steekproewe, terwyl die limietverdelig vir drempeloorskrydigs slegs by beaderig geld as die drempelwaarde eidig is. Os odersoek i hierdie werkstuk die gehalte va ekstreemwaarde-gebaseerde iferesies te opsigte va die obekede oderliggede verdelig waeer die steekproefgrootte of drempelwaarde eidig is. Aagesie die beramig va ekstreme stertkwatiele va die oderliggede verdelig, sowel as die berekeig va vertrouesitervalle vir hierdie kwatiele tipies die veraamste doelwit va ` ekstreemaalise is, evalueer os die akkuraatheid va bogeoemde iferesies aa die had va hierdie beramigs. Dit geskied met behulp va ` simulasiestudie, uitgevoer i die sagteware pakket S-Plus.

3 Summary Extremes are uusual or rare evets. However, whe such evets for example earthuakes, tidal waves ad market crashes - do take place, they typically cause eormous losses, both i terms of huma lives ad moetary value. For this reaso, it is of critical importace to accurately model extremal evets. Extreme value theory etails the developmet of statistical models ad techiues i order to describe ad model such rare observatios. I this documet we discuss aspects of extreme value theory. This theory cosists of two approaches: The classical maxima method, based o the properties of the maximum of a sample ad the more popular threshold theory, based upo the properties of exceedaces of a specified threshold value. This documet provides the practitioer with the theoretical ad practical tools for both these approaches. This will eable him/her to perform extreme value aalyses with cofidece. Extreme value theory for both approaches - is based upo asymptotic argumets. For fiite samples, the limitig result for the sample maximum holds approximately oly. Similarly, for fiite choices of the threshold, the limitig distributio for exceedaces of that threshold holds oly approximately. I this documet we ivestigate the uality of extreme value based ifereces with regard to the ukow uderlyig distributio whe the sample size or threshold is fiite. Estimatio of extreme tail uatiles of the uderlyig distributio, as well as the calculatio of cofidece itervals, are typically the most importat objectives of a extreme aalysis. For that reaso, we evaluate the accuracy of extreme based ifereces i terms of these estimates. This ivestigatio was carried out usig a simulatio study, performed with the software package S-Plus.

4 Verklarig Hiermee verklaar ek, die odergetekede, dat die ihoud va hierdie werkstuk my eie, oorsproklike werk is, wat ek ie voorhee i eige formaat hetsy deels of i geheel - by eige uiversiteit of ader akademiese istellig vir ` graad aagebied het ie. Geteke:. Datum:.

5 Bedakigs Hierdie werkstuk sou ie voltooi ko word soder die bydraes va die volgede persoe ie; daarom bedak ek baie graag: My Hemelse Vader, wat my deurgaas met Sy groot geade deurdrek het. Ek sê baie dakie vir al die eergie, isig e deurbrake waarmee U my deuretyd gesëe het. Soms moes ek lager wag vir dié isigte; mag dit my daaraa herier om altyd ederig te bly e alle eer altyd aa U te gee. My woderlike ouers e my meisie Heidi, wat my eideloos odersteu e uwe moed igepraat het. Dakie Pa vir al die oproepe om a my vorderig te vereem, dakie Ma vir al die ure wat Ma vir my op die kieë deurgebrig het hulle is sekerlik ou behoorlik deurgebid! ` Baie groot dakie aa Heidi, wat te spyte va die verlies va haar vader i November 2004, aagehou het om mý te oderskraag. E baie dakie aa my broer Jaco, wat so getrou gehelp het met my data vestigig; ek waardeer dit, Boet! My promotor, professor Tertius de Wet, wat oeidig baie ure afgestaa het om my va bystad, isig e keis te voorsie. U het telkes die regte oomblik gekies om te prys, om te vermaa e om aa te moedig. Vir hierdie leidig op persoolike sowel as akademiese vlak sê ek aa u baie dakie. Dit het my gehelp om as mes geweldig te groei e ek stel u bydrae daartoe hoog op prys. Dit was voorwaar ` plesier e ` voorreg om met u saam te werk. Professor Stuart Coles, vir ` uiters leesbare publikasie wat my i staat gestel het die veld va ekstreemwaarde-teorie baie beter te verstaa. Professor Coles was ook so gaaf om e-posse waarmee ek hom meer as ee maal lastig geval het - va ` volslae vreemdelig te beatwoord; dit booop gewoolik bie ` dag of twee! Aa hierdie getlema wat ek graag eedag sal wil otmoet, sê ek baie dakie. Carl du Toit, my gewaardeerde kollega e vried, wat altyd daar was om te luister e te bemoedig. Baie dakie vir al die verpligtige wat jy va my skouers gelig het toe die tesis-sperdatum begi dreig het. Ek waardeer dit baie, ou maat!

6 Tom Berig, wat altyd bereid was om ` geselsie aa te koop e my dikwels goeie raad gegee het. Baie dakie ook vir die laaste ippertjie proeflees va hierdie werkstuk, dit word waardeer! Te slotte ` baie groot dakie aa die Departemet Statistiek e Aktuariële Weteskap aa die Uiversiteit va Stellebosch. Die uiters kudige persoeel va hierdie departemet het my va die odige keis e isig voorsie om hierdie werkstuk met vertroue aa te pak. Baie dakie ook vir die fiasiële steu i die vorm va ` deeltydse lektoraat, wat my voortgesette studie mootlik gemaak het.

7 Ihoudsopgawe Hoofstuk : Die Ekstreemwaarde Probleem Hoofstuk 2: Die Asimptotiese Gedrag va Maksima 6 2. Ileidig Defiisies e Notasie Die Fisher-Tippett Stellig 2.4 Maksimum Domeie va Aatrekkig Die Frechet-geval Die Weibull-geval Die Gumbel-geval Parameter-iferesie Algemee Oorwegigs Maksimum Aaeemlikheid Beramig Iferesie met behulp va die Profiel Aaeemlikheid fuksie Evaluerig va die Gepaste Model Voorbeeld Gevolgtrekkig 5 Hoofstuk 3: Drempelmodelle Ileidig Defiisies e Notasie Die Pickads-Balkema-De Haa Stellig 56

8 3.4 Die Modellerig va Absolute Drempeloorskrydigs Die Keuse va ` Drempel Maksimum Aaeemlikheid Beramig Kwatielberamig Evaluerig va die Gepaste Model ` Limietverdelig vir Relatiewe Drempeloorskrydigs Die Modellerig va Relatiewe Drempeloorskrydigs Die Bepalig va ` Drempel Maksimum Aaeemlikheid Beramig Kwatielberamig Evaluerig va die Gepaste Model Voorbeeld Gevolgtrekkig 85 Hoofstuk 4: Eidige Steekproefgedrag va Maksima-iferesie Ileidig Simulasie-otwerp Besprekig va Resultate Die Frechet-domei Die Gumbel-domei Die Weibull-domei Gevolgtrekkig 07 Aahagsel 4A 09 4A. Die Frechet-domei 0 4A.2 Die Gumbel-domei 9

9 4A.3 Die Weibull-domei 28 Hoofstuk 5: Die Gedrag va Drempeliferesie by Eidige Drempelwaardes Ileidig Simulasie-otwerp Besprekig va Resultate Die Frechet-domei Die Gumbel-domei Die Weibull-domei Gevolgtrekkig 52 Aahagsel 5A 55 5A. Die Frechet-domei 56 5A.2 Die Gumbel-domei 65 5A.3 Die Weibull-domei 74 Hoofstuk 6: Samevattig 75 Verwysigs 79

10 Hoofstuk : Die ekstreemwaarde probleem As ` statistiese dissiplie is ekstreemwaarde-teorie okovesioeel i die opsig dat dit tegieke e modelle otwikkel te eide rare, ogewoe voorkomste eerder as meer alledaagse gebeure te beskryf. Die teorie het sy otstaa gehad met die kerresultaat va Fisher e Tippett i 928 (Fisher e Tippett, 928). Vir etlike jare daara sou slegs gedempte belagstellig oder statistici i hierdie studieveld heers. Die boek va Gumbel (958) het daartoe bygedra dat ekstreemwaarde-metodologie sedert die vyftigerjare meer wydverspreid aagewed is om atuurlike voorkomste te modelleer. Hierdie aavaklike toepassigs het grotedeels i die siviele igeieurswese plaasgevid: Igeieurs moes op grod va beperkte historiese data strukture sterk geoeg bou sodat dit verwagte toekomstige atuurkragte sou ko trotseer. Oor die afgelope 50 jaar het die ekstreemteorie otluik tot ee va die belagrikste statistiese dissiplies i die toegepaste weteskappe. Ekstreemwaarde-teorie word tas i ` wye verskeideheid va toepassigsvelde aagewed, oder adere i fiasiële risikobestuur, korttermy versekerig, die voorspellig va verkeer i telekommuikasie e steeds i die igeieurswese. Ekstreemaalises word gekemerk deur die doelwit om die gedrag va ` stogastiese proses by uitermate hoë vlakke te beskryf. Dit behels tipies die beramig va ekstreme stertkwatiele dus dié met ` uiters lae oorskrydigswaarskylikheid. Dikwels word va hierdie aalises verwag om die waarskylikheid va ekstreme gebeure wat og ooit vatevore plaasgevid het ie, te beraam. ` Belagrike voorbeeld hierva is die laagliggede kusstaat Nederlad. Hierdie lad waarva groot dele laer as die seevlak geleë is het deur die eeue gereeld rampspoedige vloede (die mees olagse oorstromigs het i 2002 plaasgevid) odervid. Die Februarie-vloed va 953 was veral verwoested: 836 mese is gedood e beeste het versuip. Daarby is huise e plase, sowel as hektaar se grod oorstroom. ` Opskrif

11 i De Yssel- e Lekstreek, 6 Februarie 953, het gelui: Sprigtij e orkaa veroorzake atioale ramp. Nederlad i grote watersood. As ` klei kusstaat waar grod drooggelê word (sulke areas staa as polders beked) te eide die bewoobare ladoppervlakte te vermeerder, maak Nederlad staat op stuitwalle geaamd dyke om die lad tee oorstromigs vaaf die omrigede see te beskerm. Hier is dit oodsaaklik dat siviele igeieurs die dyke hoog geoeg sal bou sodat die polders veilig sal wees tee alle seevlakke wat i die volgede (sê) 00 jaar verwag word. Tipies is daar egter ie 00 jaar se historiese plaaslike seevlakdata beskikbaar ie, maar slegs vir ` baie korter tydperk. Selfs waar ` lager tydperk va historiese data beskikbaar is, mag die aard va die data sodaig wees dat ekstreme vlakke wat og ie i die verlede voorgekom het ie, i die toekoms mag realiseer. Ekstreemwaarde-teorie het meer olags ook i fiasiële risikobestuur ` atuurlike toepassigsveld gevid. Die toeame i die volume e kompleksiteit va fiasiële istrumete wat verhadel word, het daartoe gelei dat fiasiële risikobestuur ` uiters belagrike kwessie i fiasiële istelligs e korporasies geword het. Olagse fiasiële katastrofes soos die odergag va Metallgesellschaft, Barigs Bak e Ero beklemtoo die belagrikheid va gesode risikobestuur. Regulasies, soos die Basel II akkoord vir bake, sowel as Solvecy 2 vir lewes- e korttermy-versekeraars, verplig deesdae fiasiële istelligs om streg risikobestuur toe te pas e aa sekere tegiese vereistes te voldoe. Dit behels veral dat hierdie istasies voldoede kapitaalreserwes moet opbou te eide hulle risiko-posisie i beleggigsmarkte te verskas. Ee va die mees bekede regulatoriese maatstawwe va hierdie risiko-blootstellig staa beked as Waarde op Risiko, oftewel Value at Risk (VAR). Vir ` gegewe tydshoriso t e vertrouesvlak p word VAR gedefiieer as daardie verlies i markwaarde oor die tydshoriso t wat met waarskylikheid p oorskry word. Aders gestel: Die waarskylikheid dat os meer as VAR sal verloor oor die tydshoriso t is mider as p. Te eide ` bak se reserwe vir die dekkig va markrisiko te bepaal, eem regulators t = 0 dae e p = Hier word dus 2

12 gefokus op die vlak va verliese wat oor ` periode va 0 dae met ` waarskylikheid va slegs 0.0 (oftewel ee perset va die tyd) oorskry word. Statisties gesproke is die berekede VAR die eerste persetiel va die waarskylikheidsverdelig va die veraderig i die waarde va die portefeulje oor ` 0-dag periode. Hierdie bedrag staa beked as die Kapitaal op Risiko oftewel Capital at Risk (CAR). Vir die berekeig va itere risikomaatstawwe ka selfs meer ekstreme stertkwatiele va die portefeulje-verliesverdelig beskou word deur p og kleier te eem, byvoorbeeld p =. I die meer kovesioele statistiese aalises waar die beramig va middelwaardes va belag is, is daar tipies volop steekproef waaremigs i die omgewig va hierdie middelwaardes beskikbaar. I hierdie odersoeke kom die beramig va middelwaardes dus eer op iterpolasie tusse die omliggede datapute. I ` ekstreemstudie modelleer os egter dikwels die voorkoms va gebeure buite die variasiewydte va die beskikbare steekproef. Dit beteke dat os i ` ekstreemaalise dikwels moet ekstrapoleer vaaf waargeome waardes a voorkomste wat og ie vatevore plaasgevid het ie. Ekstreemwaarde-metodologie gebruik asimptotiese teorie e verskaf klasse va limietverdeligs wat hierdie soort ekstrapolasie mootlik maak. I hierdie werkstuk odersoek os die doeltreffedheid va sodaige asimptotiese teorie i die geval va eidige steekproewe. Die teorie va ekstreemwaardes bestaa uit die klassieke maksima-metode, sowel as die meer modere drempelbeaderig. I die tweede hoofstuk va hierdie werkstuk word die maksimateorie i detail uiteegesit. Die hoofresultaat is die Fisher-Tippett stellig, waarvolges die algemee vorm va ` uieke klas va limietverdeligs idie sekere voorwaardes bevredig word sodat die limiet wel bestaa - vir die steekproef maksimum herlei is. Hierdie klas va verdeligs staa as die veralgemeede ekstreemwaarde-verdelig beked. Afgesie va die teoretiese besprekig, word aadag ook aa die praktiese modellerig va ekstreme waardes met behulp va die blokmaksima beaderig, gegee. Os 3

13 sluit die hoofstuk af met ` praktiese voorbeeld hierva, aamlik die Port Pirie datastel, wat bestaa uit die jaarlikse maksimum seevlak soos waargeeem by Port Pirie, et oord va Adelaide i Suid-Australië, gedurede die periode I hoofstuk drie word aspekte va die drempelgebaseerde ekstreemwaardeteorie bespreek. Drempelteorie behels dat alle waaremigs wat ` sekere drempel oorskry, as ekstreme waardes beskou word. Hier is os hoofresultaat die Pickads-Balkema-De Haa stellig, waarvolges die voorwaardelike verdelig va die drempeloorskrydigs by hoë drempels aby is aa die veralgemeede Pareto-verdelig. Hierdie stellig is va toepassig op absolute oorskrydigs, maar die teoretiese eieskappe va relatiewe oorskrydigs word ook belig. Soos i die geval va die tweede hoofstuk, word die praktiese aspekte va drempelmodellerig i detail behadel. Die hoofstuk word weer ees met ` praktiese voorbeeld hierva afgesluit, aamlik die bestuderig va die daaglikse reëval i die suidweste va Egelad oor die tydperk Ekstreemwaarde-metodologie maak gebruik va asimptotiese teorie wat slegs by beaderig geld i die geval va eidige steekproewe (maksimateorie) e eidige drempelwaardes (drempelmetode). I hoofstuk vier word die volgede vraag odersoek: Hoe geldig is maksima-gebaseerde iferesie te opsigte va die obekede oderliggede verdelig by eidige steekproefgroottes? Os maak va ` simulasiestudie gebruik om hierdie vraag te evalueer. Die beramig va stertkwatiele va die oderliggede verdelig e vertrouesitervalle vir hierdie kwatiele is ee va die veraamste doelwitte va ` ekstreemwaardeaalise. Om hierdie rede oorweeg os die geldigheid va bogeoemde iferesie i terme va die akkuraatheid va hierdie beramigs. I hoofstuk vyf odersoek os die geldigheid va drempelgebaseerde iferesie rakede die oderliggede verdelig by eidige waardes va die drempel. Soos i hoofstuk vier word daar va ` simulasiestudie gebruik gemaak om hierdie kwessie aa te spreek. Weer ees word putberamigs vir stertkwatiele va die oderliggede verdelig, 4

14 sowel as beraamde vertrouesitervalle vir hierdie kwatiele verkry te eide die geldigheid va dié iferesie te evalueer. Ekstreemwaarde-teorie maak va asimptotiese argumete gebruik om vaaf voorhee waargeome voorkomste te ekstrapoleer a vlakke wat og ie vatevore aageteke is ie. Hierdie ekstrapolasie a die obekede e dit gebaseer op asimptotiese teorie wat slegs by beaderig geld is ` mootlike put va kritiek tee die ekstreemteorie. Daarteeoor geld die argumet dat toepassigs ekstrapolasie verg e dat ekstreemwaarde-teorie tas die mees weteskaplike beaderig is tot hierdie probleem. There is always goig to be a elemet of doubt, as oe is extrapolatig ito areas oe does`t kow about. But what extreme value theory (EVT) is doig is makig the best use of whatever data you have about extreme pheomea. - Richard Smith (soos aagehaal i Chavez-Demouli e Roehrl, 2004) The key message is that EVT caot do magic but it ca do a whole lot better tha empirical curve-fittig ad guesswork. My aswer to the sceptics is that if people are t give well-fouded methods like EVT, they ll just use dubious oes istead. Joatha Taw (soos aagehaal i Chavez-Demouli e Roehrl, 2004) 5

15 Hoofstuk 2: Die Asimptotiese Gedrag va Maksima 2. Ileidig I die klassieke teorie stel os dikwels belag i die eieskappe va middelwaardes soos die gemiddelde e mediaa. I die studie va ekstreme waardes odersoek os otipiese gebeurteisse, daardie waaremigs wat aders as die waaremigs i die omgewig va die bogeoemde middelwaardes selde voorkom. Hierdie sogeaamde ekstreme waaremigs word dikwels bestudeer omdat hulle voorkoms potesiële risiko`s ihou. Ekstreme weerstoestade soos uiters hoë widselhede of baie lae temperature ka gevaar vir meselewes ihou, terwyl ` eorme groot versekerigseis ` herversekeraar ka laat odergaa. Die akkurate modellerig va hierdie ekstreme waaremigs is dus va groot belag. As ` eerste stap i hierdie modellerig word maksima gedefiieer as ekstreme waardes. Dit is beked dat P( M x) F ( x), waar M die maksimum oor = waaremigs met ` oderliggede verdelig F voorstel. Dit ka bewys word dat M bya seker kovergeer a xf, die regter eidput va die verdelig F. Hierdie resultate is egter va midere praktiese belag. Gevolglik word eerder odersoek igestel a die limietverdelig va M, dus of daar kostates a > 0 e b gevid ka sodat M, geormeer met hierdie kostates, a ` ie-otaarde limietverdelig kovergeer as. I hierdie hoofstuk word aadag gegee aa sodaige limietresultate e word aagetoo hoe dit vir iferesie doeleides aagewed ka word. I paragraaf 2.2 word ` aatal oodsaaklike defiisies e otasie uitgelig. Die hoofresultaat va hierdie hoofstuk is die Fisher-Tippett stellig, gegee e bewys i paragraaf 2.3. Hierdie stellig bewys dat idie geormeerde maksima a ` limietverdelig kovergeer, da is hierdie limietverdelig die veralgemeede ekstreemwaarde-verdelig G. Die subklasse va G, aamlik die Frechet ( > 0), Gumbel ( = 0) e Weibull ( < 0) klasse word gegee, terwyl verder veralgemee G word tot die vorm G. Hier is G va dieselfde klas as G, met, μ, σ, μ, σ μ ` skuif- e σ ` skaalparameter. Voorwaardes op die oderliggede verdelig F word 6

16 bespreek, terwyl gepaste keuses va a > 0 e b aagebied word vir ` aatal bekede kotiue verdeligs, waaroder die ormaalverdelig. I paragraaf 2.4 word die maksimum domei va aatrekkig va elk va die subklasse va gekarakteriseer. Hierdie karakteriserig geskied i terme va die stertkwatielfuksie U sowel as die stert-verdeligsfuksie F, terwyl die Vo Mises stellig telkes ` voldoede voorwaarde op die oderliggede verdelig F gee om tot ` bepaalde domei va G te behoort. Voorbeelde word ook verskaf va bekede verdeligs bie elk va die geoemde domeie va aatrekkig. G Paragraaf 2.5 word aa parameter-iferesie gewy. By praktiese modellerig word die bestaade steekproef i blokke va gelyke grootte opgedeel e die ekstreemwaarde-verdelig G, μ, σ word op die blokmaksima gepas. Te eerste word ` aatal algemee oorwegigs by die keuse va ` optimale blokopdelig i paragraaf 2.5. toegelig. Die keuse va die blokgrootte e aatal blokke lei aamlik tot ` afruilig tusse sydigheid e variasie. Die metode va maksimum aaeemlikheid (MA) om beramers vir die parameters, μ e σ va die veralgemeede eksteemwaarde-verdelig G te vid, word i paragraaf odersoek. Die asimptotiese ormalititeit va die MA beramers word gebruik om beaderde vertrouesitervalle vir die parameters va die veralgemeede eksteemwaarde-verdelig te herlei. Die profiel aaeemlikheid fuksie, gebaseer op die 2 χ -verdelig word ook vir hierdie doel aagewed. Beramers vir ekstreme kwatiele word herlei. I paragraaf word grafiese tegieke om die pasgehalte va die veralgemeede ekstreemwaarde-model op die maksima te beoordeel, bespreek., μ, σ Die hoofstuk word afgesluit met ` praktiese voorbeeld. Die datastel oder beskouig is die maksimum jaarlikse seevlak soos waargeeem by Port Pirie, et oord va Adelaide i Suid-Australië, gedurede die periode 923 tot

17 2.2 Defiisies e otasie Die volgede defiisies sal gebruik word: Defiisie 2.2. Die fuksie ( x) = P( X x) word gedefiieer as die verdeligsfuksie va die F X stogastiese veraderlike X. Waar daar gee mootlikheid va verwarrig bestaa ie, sal vir gerief slegs F(x) geskryf word. Δ Defiisie d Die fuksie f X ( x) = FX ( x) word gedefiieer as die digtheidsfuksie va die dx stogastiese veraderlike X. Waar daar gee mootlikheid va verwarrig bestaa ie, sal vir gerief slegs f (x) geskryf word. Δ Defiisie Die fuksie Q( p) = if{ x : F( x) p} word gedefiieer as die kwatielfuksie, die iverse va die verdeligsfuksie F. Δ Defiisie Die stert-kwatielfuksie U word as volg gedefiieer: U ( y) = Q( ) = F y ( ) y, y. Δ 8

18 Defiisie Die regter eidput va die stogastiese veraderlike X met verdeligsfuksie F X (x) word gedefiieer as xf = sup{ x R : F( x) < }. x Δ Defiisie Veroderstel X X 2..., X is oafhaklike, ideties-verdeelde stogastiese veraderlikes, verdeel soos ` stogastiese veraderlike X met verdeligsfuksie F( x, θ ) e digtheidsfuksie f ( x, θ ), waar θ ` obekede parametervektor verteewoordig. Die aaeemlikheidsfuksie va X, X, 2..., X word gedefiieer as L ( x, θ) = f ( x,..., x, ) X,, X 2..., X θ = fx x fx x2 fx x (, θ ) (, θ)... (, θ ) = f ( x, θ ). i= X i I praktiese toepassigs is die logaritme va die aaeemlikheidsfuksie dikwels va groter belag e die volgede otasie word vir hierdie fuksie gereserveer: l( x, θ) = log L ( x, θ). Δ Defiisie Veroderstel X, X, 2..., X is oafhaklike, ideties-verdeelde stogastiese veraderlikes, verdeel soos ` stogastiese veraderlike X met verdeligsfuksie F( x, θ ) e digtheidsfuksie f ( x, θ ), waar θ ` obekede parametervektor verteewoordig. Die maksimum aaeemlikheids beramer θ va θ word gedefiieer as daardie waarde va θ wat die aaeemlikheidsfuksie L ( x, θ) maksimeer. Omdat die logaritmiese fuksie mootoo styged is, ka die maksimum aaeemlikheids beramer θ va θ ook gedefiieer word as daardie waarde va θ wat die logaaeemlikheidsfuksie l ( x, θ ) maksimeer. Δ 9

19 Defiisie Laat x x x ( ) (2)... ( ) die waargeome waardes voorstel va ` geordede steekproef va oafhaklike waaremigs uit ` populasie met verdeligsfuksie F. Die empiriese verdeligsfuksie word gedefiieer as ~ F ( x ) = 0, i,, x< x () x x< x () i ( i+ ) x x ( ) vir i =, 2,...,. Da bestaa die waarskylikheidstippig uit die pute ˆ i {( F( x( i ) ), ), i =, 2,..., } e die kwatielstippig uit die pute ˆ i {( F ( ), x( i ) ), i =, 2,..., }, waar ˆF op ` beraamde verdeligsfuksie soos gepas op die waaremigs x, x2,..., x - dui. Δ Defiisie Laat l ` positiewe, reële e meetbare fuksie wees. Da is l reëlmatig-variëred as e slegs as daar ` reële kostate t > 0. Os skryf geval ρ = 0 fuksie l ρ bestaa sodaig dat l( xt) lim = t x l ( x ) ρ vir alle l Iρ e os oem ρ die ideks va reëlmatige variërig. I die, oem os die fuksie l stadig-variëred. Vir ` stadig-variërede geld dus: fuksies gereserveer. l( xt) lim =. Voortaa word die simbool l vir hierdie klas va x l( x) Δ 0

20 Defiisie 2..0 Laat { X } ` ry stogastiese veraderlikes met verdeligsfuksies { F ( x)} e X ` stogastiese veraderlikes met verdeligsfuksie F( x ) wees. Die ry { X } kovergeer met waarskylikheid ee of bya seker a X idie P[lim X = X] =, wat ook aagedui word as X bs.. X. Die ry { X } kovergeer i verdelig a X idie lim F ( x) = F( x) vir elke kotiue put x va F( x) e dit word aagedui deur X D X. Δ 2.3 Die Fisher-Tippett stellig Laat X, X 2,..., X ` steekproef va grootte voorstel va ` stogastiese veraderlike X met ` verdeligsfuksie F. X, X 2,..., verdeel soos X. X is oafhaklik e ideties I tradisioele statistiek word daar dikwels i middelwaardes (soos die gemiddelde e die mediaa) e i die besoder i die asimptotiese eieskappe daarva belag gestel. Die ruggraat va sulke odersoeke is die bekede setrale limietstellig, waarbie die ormaalverdelig as limietverdelig aagebied word. Volges die setrale limietstellig kovergeer die verdelig va ( i= X i E( X ) ) Var( X ) oder geskikte voorwaardes a die Normaal(0,) verdelig idie die steekproefgrootte. Die setrale limietstellig beskou dus die som S + = X + X X 0 e poog om kostates a > e b te vid sodat Y = a ( S b ) i verdelig a ` ie-otaarde verdelig kovergeer. I die geval

21 va die setrale limietstellig is die ormaalverdelig os ie-otaarde limietverdelig. I ekstreemwaarde-teorie daaretee, val die klem op die studie va ekstreme waardes, eerder as op die bestuderig va meer tipiese waaremigs wat i die setrum va verdeligs aagetref word. Hier word ekstreme waardes gedefiieer as die maksima va rye stogastiese veraderlikes. As ` eerste stap stel ekstreemwaarde-teorie belag i die verdelig va M = maks( X, X 2,..., X Os weet die volgede: P( M x) F ( x). = ). Ogelukkig is hierdie (eksakte) resultaat va beperkte omiddellike ut i die praktyk aagesie die verdelig F tipies obeked is. Os word dus geoop om die asimptotiese eieskappe va M te odersoek. Ekstreme waardes vid plaas i die omgewig va die booste stert (idie os i maksima belagstel) of i die oderste stert (idie miima va belag is) va die oderliggede verdelig F. Dus ka verwag word dat die asimptotiese gedrag va M verwat is aa die verdeligsfuksie F i die omgewig va die regter eidput i die regter stert. Dit volg dat vir x < x F, P( M x) = F ( x) 0 I die geval x e <, x F x F P( M x) = F ( x) = as as.. P Dus, M x as waar x <. F F Aagesie die ry { M } ie-daled is i, kovergeer dit bya seker: 2

22 b s M.. x,. F Hierdie feit bied egter weiig bruikbare isig i die asimptotiese verdelig va maksima. Die volgede vraag duik da op: Bestaa gepaste kostates a > 0 e b sodat idie M geormeer word daarmee, dit a ` ie-otaarde limietverdelig kovergeer? Dus, bestaa daar ` aaloog aa die setrale limietstellig vir die geormeerde maksimum va ` steekproef? Die atwoord hierop, aamlik dat so ` ie-otaarde limietverdelig vir geormeerde maksima wel bestaa, is i 928 deur Fisher e Tippett (Fisher e Tippett, 928) gegee e deur Gedeko (943) verder verfy. Os sê ou dat F i die maksimum domei va aatrekkig va die verdeligg lê, idie daar kostates a > 0 e b bestaa sodat die geormeerde maksima M b a met oderliggede verdelig F a ` verdelig G kovergeer as. Dus, M b P( x) = F ( a x + b ) G( x). a Os skryf hiervoor F MDA(G). Let op dat deurgaas aavaar sal word dat die oderliggede populasie-verdelig kotiu is. F 3

23 Stellig 2.3.: Die Fisher-Tippett stellig Idie F MDA(G) moet G oodwedig va die vorm G wees, met G ( x) = exp[ ( + x) ], vir + x > 0. (2.) Hier eem os vir = 0, G ( x) = exp[ e 0 x ]. (2.2) Δ Die volgede resultaat, die sogeaamde Helly-Bray stellig, vorm die basis vir die bewys va die Fisher-Tippett stellig. Sie Billigsley (995) vir ` bewys va die Helly-Bray stellig. Stellig : Die Helly-Bray stellig Veroderstel die ry stogastiese veraderlikes { Y } het verdeligsfuksies { } e die stogastiese veraderlike Y het ` verdeligsfuksie F. Da sal Y Y as e slegs as vir alle reële, begresde e kotiue fuksies z, E( z( Y )) E( z( Y )) as. Δ D F Voordat die Fisher-Tippett stellig bewys word, bewys os eers ` aatal hulpresultate. Lemma Gestel ` fuksie h bestaa sodat U ( xu) U ( x) lim{ } h( u), (2.3) x a( x) vir ` positiewe fuksie a e alle u > 0. Da bestaa 4

24 a( xu) g( u) lim x a( x) e g voldoe aa g ( uv) = g( u) g( v), vir u, v > 0. Bewys Veroderstel U ( xu) U ( x) lim{ } h( u) x a( x) bestaa. Laat u, v > 0, da U ( xuv) U ( x) a( x) U ( xuv) U ( xu) + U ( xu) U ( x) = a( x) U ( xuv) U ( xu) a( xu) U ( xu) U ( x) = + a( xu) a( x) a( x) (2.4) Aagesie die limiete va U ( xuv) U ( x) a( x), U ( xuv) U ( xu) a( xu) e U ( xu) U ( x) a( x) almal bestaa as x, volg dat die verhoudig a( xu) a( x) moet kovergeer as x. Laat a( xu) g( u) = lim. x a( x) Nou, vir alle u, v > 0 geld dat a( xuv) a( x) = a( xuv) a( xv) a( xv) a( x) sodat deur x, volg dat g ( uv) = g( u) g( v). Δ Let op dat i lemma word bewys dat 5

25 axu ( ) gu ( ) lim x ax ( ) dus ` variat va die Cauchy fuksioaalvergelykig (sie Paeah, 2003), aamlik f ( a+ b) = f( a) + f( b), bevredig. Die oplossig va so ` Cauchy vergelykig is altyd va die vorm f( a) = λa, λ R. Deur hieri ` log-trasformasie te maak, ka maklik aagetoo word dat eige positiewe, meetbare oplossig va die vergelykig g ( uv) = g( u) g( v) ; u, v > 0 oodwedig va die vorm g ( u) = u is, vir ` reële. Lemma Idie U ( xu) U ( x) lim{ } h( u) x a( x) vir ` positiewe fuksie a e positiewe vorm ( C ) u h ( u) h ( u) =. u bestaa, da is h oodwedig va die Hier eem os h0 ( u) = logu. Bewys Herskryf vergelykig (2.3) as volg: U ( xu) U ( x) lim{ } h x a( x) Da volg uit (2.4) dat ( u). h ( uv) = h ( v) u h ( u). + ( C0 ) As = 0 da geld h 0 ( uv) = h0 ( v) + h0 ( u) 6

26 sodat h ( u) = log( u). As 0 da vir u, v > geld h ( uv) h ( vu) = oftewel h ( v) u + h ( u) = h ( u) v + h ( v) sodat Laat h ( u) h = u v ( v). i(v) = h ( v). v Dit volg dat i ( v) = i( u) vir u, v ie oodwedig gelyk ie. Die fuksie i lewer dus dieselfde fuksiewaarde by elke mootlike waarde i die defiisieversamelig. Dit impliseer dat die fuksie h ( u) = d( u ). i ` kostate fuksie is. Hieruit volg weer dat Die kostate d ka vervag word deur die kostate die geval = 0 (die limiet as 0 c( u ) h ( u) =. Aagesie die stertkwatielfuksie U c = d oftewel ) te ikorporeer. Dit sou impliseer dat c d = te eide mootoo ie-daled is, impliseer dit dat h (u) ook mootoo ie-daled is. Idie > 0, da is u positief sodat d ieegatief moet wees. As < 0 da is u egatief e moet d gevolglik ook egatief wees. Dit volg dat c = d altyd positief sal wees sodat c i die positiewe fuksie a geabsorbeer ka word. Gevolglik het os h ( u) = u. 7 Δ

27 Hierdie hulpresultate stel os ou i staat om os hoofresultaat, die Fisher-Tippett stellig, te bewys. Bewys va die Fisher-Tippett stellig Stel a b M Y =. Da weet os uit die Helly-Bray stellig dat met as e slegs as Y Y D G Y ~ ) ( ) ( )) ( ( )} ( { y dg y z Y z E a b M z E = idie, vir eige begresde, kotiue fuksie. z Beskou ou, met dx x df x f ) ( ) ( =, )} ( { a b M z E = ) ( ) ( x df a b x z = dx x f x F a b x z ) ( ) ( ) ( Maak hieri die trasformasie v x F = ) ( om te kry, met ), ( ) ( x F x U = )} ( { a b M z E = dv v a b v U z ) ( ] )[ ) ( ( 0 = dv v a b v U z 0 ] )[ ) ( ( 8

28 v v Aagesie ( ) e, sal die likerkat kovergeer idie U ( ) b v a kovergeer vir alle v > 0. Kies os ou b = U (), verkry os kovergesie va laasgeoemde idie ` positiewe fuksie a bestaa sodat vir v > 0 geld U ( xu) U ( x) lim x a( x) = h( u), vir ee of ader fuksie eem va die vorm h, ie ideties ul ie. Nou, volges lemma ka os h u h ( u) h ( u) =, vir reëel e u >. Maak os die keuse M b lim E{ z( )} = a a = a(), kry os dus 0 v z( h ( )) e dv. (2.5) v Vir 0, maak die trasformasie u = h ( ) i vergelykig (2.5). Da is v u = h ( ) v (( ) ) = v sodat v = ( u + ) e dv = ( u + ) Dit volg dat: du M b lim E[ z( )] = a ( ) b= lim v v ( ) a= lim v v 0 a = z( u) e b z( u) e ( u + ) ( u + ) ( u + ) 9 ( u + ) du du

29 Let op dat die term ( + ) e u ( u + ) = dg ( u), du waar ( u + ) G ( u) = e. Dus volg dat M b lim E[ z( a )] = a b z( u) dg ( u) (2.6) Die grese a e b i (2.6) word maklik as volg verkry: Idie > 0, a = + Idie < 0, e b =. Vir = 0 is a = e b =. h0 ( u) = logu e uitdrukkig (2.5) word M b lim E{ z( a )} = 0 z(log( )) e v v dv (2.7) Maak i (2.7) die trasformasie u = log( ), v da volg direk dat M b lim E{ z( )} = a u z( u) exp( e ) e u du = z( u) dg ( u) 20

30 waar G ( u) = exp[ e u ]. Aagesie hierdie geld vir eige begresde, kotiue fuksie z, volg dit vaaf die Helly-Bray stellig dat M b a i verdelig a die stogastiese veraderlike Y kovergeer, oftewel dat M b a D Y waar Y ~. Hiermee is die bewys voltooi. G Δ Opmerkig 2.3. Volges die Fisher-Tippett stellig ka die verdeligsfuksie va geormeerde maksima a slegs ` ekele klas va limietverdeligs kovergeer as die klas, aamlik G ( x) = exp[ ( + x) ], + x > 0, (2.8) waar ` vormparameter is. Hierdie fuksie G staa as die veralgemeede ekstreemwaarde-verdelig beked. Vervat i hierdie klas va verdeligs is (soos geïdekseer deur ) die volgede drie tradisioele klasse va ekstreemwaardeverdeligs: x x > 0 : Frechet G ( ) = exp{ ( + ( )) } = exp( x ) x = 0 : Gumbel G x) = exp( e ) (2.9) = 0 ( x + x + < 0 : Weibull G ( ) = exp{ ( + ( )) } = exp{ ( x) } Die parameter staa as die ekstreemwaarde-ideks beked. Dit blyk dat die waarde va suggereer a watter klas i kovergeer. G die geormeerde maksimum 2

31 Δ Opmerkig Die verdelig G ka verder veralgemee word deur die ivoer va ` skuifparameter μ e ` skaalparameter σ > 0. Dit lei tot die volgede uitgebreide vorm va die veralgemeede ekstreemwaarde-verdelig: x μ x μ G, μ, σ ( x) = exp[ ( + ( )) ] = G ( ), σ σ mits μ + ( x ) > 0, < μ <, σ > 0 e < <. σ Hier behoort G e G albei tot die klas va veralgemeede ekstreemwaarde verdeligs. Die verdeligs verskil bloot met ` skuif- e ` skaalparameter. Die ut va hierdie uitgebreide vorm, μ, σ G, μ, σ word hieroder verder toegelig. Idie die steekproefgrootte groot geoeg is, da ka os aavaar dat die limietresultaat beaderd geldig is. Dit impliseer da die volgede: Vir F MDA G ( ) bestaa daar kostates a > 0 e b sodat vir groot M b P( x) a G (x) oftewel P M a x + b ) (x) ( G sodat y b P( M y) G ( ) a = G,, ( y). b a 22

32 Hier verteewoordig b os skuifparameter e > 0 os skaalparameter i die uitgebreide G., μ, σ a Δ Die Fisher-Tippett stellig is uiters kragtig e va fudametele belag i die studiegebied va ekstreme waardes. Othou dat M verdeel is volges F, maar dat hierdie keis obruikbaar is omdat die verdelig F tipies obeked is. Die Fisher-Tippett stellig bied ` ekele, breë klas va limietverdeligs waara maksima op gepaste wyse geormaliseer e met sekere beperkigs op die verdelig F - i verdelig kovergeer. Eerder as om die obekede verdelig F te beraam, reduseer iferesie oder Fisher-Tippett tot die beramig va slegs drie modelparameters, aamlik G μ, σ, μ, σ e. I hierdie vereevoudigig lê die krag va die Fisher-Tippett stellig. Die volgede waarskuwig is egter va toepassig: hou i gedagte dat die verdelig G slegs by beaderig geldig is, aamlik vir groot. ` μ, σ, Baie relevate vraag is da: Hoe goed is die beaderig F vir eidige? G μ, σ, Aders gestel, hoe groot moet wees sodat die gebruik va die limietverdelig i iferesies aavaarbare, akkurate resultate sal lewer? Die Fisher-Tippett stellig sê dat as die verdeligsfuksie va geormeerde maksima met oderliggede verdelig F a ` ie-otaarde verdelig kovergeer, da is hierdie limietverdelig. Dit laat die volgede vraag otstaa: Aa watter vereistes moet die verdelig F voldoe om te verseker dat ( G F MDA G )? Die atwoord op hierdie vraag is dat F streg styged moet wees (Beirlat et al, 2004), sowel as regs-kotiu (Embrechts et al, 997). Die implikasie va hierdie voorwaardes is dat al die gebruiklike kotiue verdeligs wel a die familie va ekstreemwaardeverdeligs kovergeer. Die tempo va kovergesie as die steekproefgrootte toeeem is egter ie ewe viig vir al hierdie verdeligs ie. Idie F byvoorbeeld ormaal verdeel is, vid kovergesie ie baie viig plaas ie (Galambos, 978). 23

33 Dit brig die volgede vraag oor die ormaliserigskostates a > 0 e b a vore: Hoe moet hierdie kostates gekies word vir kovergesie e watter lid va die ekstreemwaarde-familie word as limiet verkry? Die kostates is ` fuksie va die verdelig F, wat tipies obeked is. Gevolglik moet die skuifparameter b e die skaalparameter a beraam word. Ter illustrasie gee os a > 0 e b vir ` paar bekede keuses va F. Voorbeeld 2.: Ekspoesiaalverdelig. As X, X,... 2 λx F( x) = e vir x > 0. Kies i Da is ` ry oafhaklike ekspoesiaal( λ ) stogastiese veraderlikes is, da is M b P ( x) = F ( a x + b ), a a = e λ log b =. λ M b P( a x) = F x log ( + ) λ λ x log λ[ + ] λ λ = { e = { e [ x+ log ] x e = { } exp( e x ) } } as. Os het dus aagetoo dat F MDA(Gumbel). Δ Voorbeeld 2.2: Uiforme verdelig. As, X,... 2 xx F ( ) = x vir 0 x. ` ry oafhaklike uiform(0,) stogastiese veraderlikes is, da is 24

34 Kies i M b P( x) = F ( a x + b ), a a = e b =. Da is M b P( x) = F ( x + ) a x = ( + ) x e as. Os het dus gewys dat F MDA(Weibull) waar =. Δ Voorbeeld 2.3: Veralgemeede Pareto-verdelig. As X, X,K 2 veraderlikes is, da is Kies i ` ry oafhaklike veralgemeede Pareto( M b P( x) = F ( a x + b ), a x F ( x) = ( + ), 0, β > 0, x 0. β, β ) stogastiese β a = e β β b =. Da is M b P ( x) = { ( ) } a β + β x + β β β = { [ = { [ ( ) x + e = e ( ) x+ ( x+ ) ] ( x + ) } ]} 25

35 as. Daar is dus aagetoo dat F MDA(Frechet). Δ Voorbeeld 2.4: Stadaard Normaalverdelig. As X, X,... 2 ` ry oafhaklike ormaal(0,) stogastiese veraderlikes is, da is Φ( x) = 2π x e 2 y dy vir x R. Volges Mill se verhoudig, φ( x) Φ( x) as x. (2.0) x dφ( x) Hier is φ ( x) =, die digtheidsfuksie va die stadaard ormaalverdelig. Deur dx va (2.0) gebruik te maak, volg dat z Φ( u + ) lim u u Φ( u) = e z. (2.) Os stel belag i limφ ( a x + b). Kies os b = Φ ( ) e a b, = da volg uit (2.), oftewel Φ( a x + b ) x lim = e, Φ( b ) lim [ Φ( a x + b )] = e Gevolglik, lim Φ ( a x x e x + b ) = lim( ). x = exp( e ) Daar is dus aagetoo dat Φ MDA(Gumbel).. Δ 26

36 2.4 Maksimum domeie va aatrekkig Idie die oderliggede verdelig F streg styged sowel as regs-kotiu is, da is ( F MDA G ). I hierdie paragraaf word aagetoo dat die eieskappe va die stertkwatielfuksie U sowel as die stert-verdeligsfuksie F bepaal i watter domei va aatrekkig (Frechet, Gumbel of Weibull) die verdelig F lê. Die Vo Mises stellig verskaf telkes ` voldoede voorwaarde om te bepaal of ` verdelig tot eige va hierdie drie domeie behoort Die Frechet-geval: > 0 ` Kervoorbeeld va ` verdeligsfuksie wat i die maksimum domei va aatrekkig va die Frechet verdelig lê, is die Pareto-verdelig met stertverdeligsfuksie α ( = x, x >. K x) Hier staa α > 0 as die Pareto-ideks beked. Vir hierdie verdelig is α Q ( p) = ( p) e U ( x) = x met =. Da is α U ( xu) U ( x) a( x) = x ( u ). a( x) Kies os hieri a ( x) = x, da is U ( xu) U ( x) a( x) u = = h ( u) sodat voorwaarde ( C ) - sie paragraaf bevredig word. Daar is egter ` breër klas va verdeligs wat ( C ) bevredig vir > 0. Idie os U ( x) = x l ( x) eem, waar (x) U l U ` stadig-variërede fuksie is, da word voorwaarde ( C ) bevredig: U ( xu) U ( x) a( x) ( xu) l U ( xu) x l = a( x) U ( x) 27

37 l = U ( x) x a( x) u l l U U ( xu) u ( x) vir die keuse a( x) = x l U ( x) = U ( x) as x. Verdeligs waarvoor U ( x) = x l ( x) U staa beked as Pareto-tipe verdeligs. Let op dat vir hierdie verdeligs is U reëlmatig-variëred met ideks, aagesie U ( xt) ( xt) l ( xt) U lim = lim x U ( x) x x l U ( x) = t vir alle t > 0. Dit ka bewys word dat die voorwaarde ( C ) vir > 0 ekwivalet is aa die volgede voorwaarde op die stert-verdeligsfuksie F : ( xw) F F ( x) w vir w > 0 as x. Dit is ekwivalet daaraa dat F reëlmatig-variëred is met ideks, oftewel dat α F geskryf ka word as F ( x) = x l ( x) vir α = e (x) ` stadig-variërede fuksie. F l F Die stelligs α U ( x) = x l ( x) e F ( x) = x l ( x) is te volle ekwivalet sodat die U F defiisie va ` Pareto-tipe verdelig i terme va die stert-verdeligsfuksie F sowel as die stert-kwatielfuksie U geformuleer ka word. Os het aagetoo dat alle Pareto-tipe verdeligs i die maksimum domei va aatrekkig va die Frechet verdelig lê. 28

38 Verdelig Stert-verdeligsfuksie F (x) Ekstreemwaarde- Pareto Veralgemeede Pareto(, β ) Burr( η, τ, ) Loggamma( λ, α ) α x x >, α > 0 α ( + ( x )) β x > 0,, β > 0 η ( ) τ η + x λ x > 0, η, τ, > 0 α λ w Γ ( α) x λ x >, λ, α > 0 α Frechet(α ) exp( x ) x > 0, α > 0 (log w) α dw ideks λτ λ α Tabel 2.4.: ` Lys va verdeligs i die Frechet-domei. Os gee ` ou ` resultaat wat ` voldoede voorwaarde verskaf dat ` verdelig i die maksimum domei va aatrekkig va die Frechet-klas lê, i terme va die gevaarfuksie f ( x) r( x). F ( x) Stellig 2.4.: Vo Mises Stellig vir die Frechet-klas Laat x =. Idie lim xr( x) = α > 0 F x, da geld F MDA(Frechet). Δ 29

39 2.4.2 Die Weibull-geval: < 0 Soos vir die Frechet-geval begi os hierdie paragraaf met ` eevoudige voorbeeld. Os bekyk die stert-verdeligsfuksie F ( x) x β = ( ), β > 0 x F - wat tot die uiforme verdelig reduseer as β = - gedefiieer op 0, x ), waar ( F 0 < x F <. Vir hierdie verdelig is Qp ( ) x[ ( p) β β = ] e U ( x) = xf ( x ), vir F x [, ). Da is U( xu) U( x) x + β β = ( ( xu) ) ( x ) ax ( ) ax ( ) Kies os hieri = = a( x) = β xf x a( x) β xf x h βa( x) xf x β β ( u β β ( u) ), da word voorwaarde ( C ) bevredig met = < 0. β ` Breër klas va verdeligs bestaa egter waarvoor ( C ) bevredig word vir < 0. Idie os U ( x) = x x F l U ( x), x, kies waar (x) ` stadig-variërede fuksie is, da word voorwaarde ( C ) bevredig. l U U ( xu) U ( x) a( x) = x l U ( x) u a( x) l U ( xu) l U ( x) x l U ( x) h ( u). a( x) Dit is va die vorm ( C ) vir die keuse x F a( x) U ( x) as x. Soos i die geval va die Frechet-domei ka voorwaarde ( C ) vir < 0 ook i 30

40 terme va die stert-verdeligsfuksie F geïterpreteer word. Dit ka bewys word dat die volgede twee stelligs ekwivalet is: e F ( x) = x l ( x), x. F U ( x) = xf x l U ( x), x Hier is l F (x) ` stadig-variërede fuksie. Dus, eige verdelig waarva die stertverdeligsfuksie F of die stert-kwatielfuksie U soos hierbo i terme va ` stadig-variërede fuksie uitgedruk ka word, behoort tot die maksimum domei va aatrekkig va die Weibull klas. I tabel word ` aatal voorbeelde va sulke verdeligs gegee. Verdelig Uiform(0,) Beta(p,) Omgekeerde Burr Stert-verdeligsfuksie F ( x F ) x x x > x Γ p + ) u Γ( p) Γ( ) ( p x > 0 ; p, > 0 β ( β + x τ ) λ x > 0 ; λ, β, τ > 0 ( u) du Ekstreemwaarde- ideks - τ λ Weibull α exp( x ) x > 0 ; α > 0 α Tabel 2.4.2: ` Lys va verdeligs i die Weibull-domei. Soos vir die Frechet klas ka ` voldoede voorwaarde dat ` verdelig F i die f ( x) Weibull domei lê i terme va die gevaarfuksie r ( x) = gegee word. F ( x) 3

41 Stellig 2.4.2: Vo Mises Stellig vir die Weibull-klas Laat x <. Idie lim ( x) r( x) = α > 0 F x x F x F, da geld F MDA(Weibull). Δ Die Gumbel-geval: λ = 0 Beskou as kervoorbeeld die ekspoesiaalverdelig ( ) = λx F x e, x > 0 vir λ > 0. Vir hierdie verdelig is Q( p) = log( p) e U ( x) = log x. Da is λ λ U ( xu) U ( x) a( x) log( xu) log( x) = λ a( x) log u =. λa( x) Kies os hieri a ( x) =, da is λ U ( xu) U ( x) a( x) = logu, sodat voorwaarde ( C0 ) bevredig word. Aders as vir die Frechet- e Weibull-gevalle ka os ie hier ader verdeligs i die Gumbel domei beskou as va dieselfde tipe as os kervoorbeeld (hier die ekspoesiaalverdelig) ie. Die karakteriserig va die maksimum domei va aatrekkig va die Gumbel klas is ook meer kompleks as vir die ader twee gevalle. De Haa (970) het die volgede oplossig vir hierdie probleem aagebied: ` Verdelig F MDA(Gumbel) as e slegs as vir elke v > 0, F ( x + b( x) v) F ( x) e v as x x F, x (0, ), F met b ` fuksie wat voldoe aa b( x + vb( x)) lim = x x+ b( x). 32

42 Die Vo Mises stellig verskaf weer ees ` voldoede voorwaarde om te bepaal of ` verdelig tot die domei va die Gumbel-klas behoort. Stellig 2.4.3: Vo Mises stellig vir die Gumbel-klas Idie die gevaarfuksie e r(x) dr( x) lim = 0, da geld F MDA(Gumbel). x x F dx positief e differesieerbaar is i ` omgewig va xf Δ Verdelig Bektader II Stert-verdeligsfuksie F (x) x β ) α exp( x β ( β x > 0 ; α, β > 0 ) Weibull τ exp( λx ) x > 0 ; λ, τ > 0 Ekspoesiaal exp( λx) Gamma Logisties x > 0 ; λ > x m λ u Γ( m) 0 m x > 0 ; λ, m > 0 + exp( x) x R exp( λu) du Tabel 2.4.3: ` Lys va verdeligs i die Gumbel-domei. 33

43 2.5 Parameter-iferesie Gegewe dat die breë klas va verdeligs G μ, σ, as limietverdelig bevestig is, is die logiese volgede taak die beramig va die obekede parameters μ, σ e. Die beraamde waarde va die ekstreemwaarde-ideks is atuurlik va besodere belag omdat dit suggereer a watter ee va die ekstreemwaarde-verdeligs die geormeerde maksimum kovergeer. I hierdie paragraaf word eerstes aadag geskek aa ` aatal algemee oorwegigs waeer iferesie i die ekstreemwaarde-koteks plaasvid. Vervolges word die metodes va maksimum aaeemlikheid sowel as profiel-aaeemlikheid bespreek. Die paragraaf word afgesluit met metodes om die pasgehalte va die beraamde model te evalueer Algemee oorwegigs Veroderstel die volgede situasie geld: os het blokmaksima data X X M X 2 m = = = ( X ( X ( X 2,..., X,..., X 2 M..., X m, ) ) m ) i die vorm va m blokke met waaremigs elk. Laat vir i =, 2,..., m, ( i) M = maks( X,..., X ), e vorm die M M y = M M i m -dimesioele vektor () (2) ( m) i Dit word aavaar dat () ( m) M,..., M oafhaklik is e afkomstig uit ` beaderde ekstreemwaarde-verdelig met digtheidsfuksie g va die obekede parametervektor θ = ( μ, σ, ). ' θ. Os stel belag i die beramig 34

44 () ( m) Op hierdie waaremigs M,..., M word ` ekstreemwaarde-verdelig gepas; daara word die obekede parametervektorθ = ( μ, σ, ) beraam. Die keuse va die blokgrootte ' (e dus va die aatal blokke m ) is va kritieke belag waeer die beskikbare steekproefdata i blokke opgedeel word. Die volgede afruilig tusse sydigheid e variasie duik aamlik op i hierdie situasie. Blokke met mi waaremigs (klei ) impliseer dat die limietverdelig va paragraaf 2.3 ie ` goeie beaderig vir die verdelig F sal wees ie. Idie die limietverdelig ie geld ie, is die beramig va die parameters μ, σ e atuurlik aa ` groot mate va sydigheid oderworpe. Klei blokke beteke egter ook meer blokke; meer waaremigs () ( m) M,..., M waarop die ekstreem-model gepas word. Dit lei weer tot ` kleier variasie va die parameterberamigs. Kleier blokke verhoog dus sydigheid, maar verlaag variasie; groter blokke verlaag sydigheid (die limietresultate geld meer eksak), maar het hoër variasie (mider waaremigs). Beide sydigheid e hoë variasie word i statistiek as ogewes beskou: die praktisy sal by elke ekstreemwaarde-probleem ` optimale balas tusse hierdie twee faktore moet probeer verkry. Praktiese oorwegigs dikteer dikwels die keuse va ` blokgrootte. I odersoeke waar weerstoestade ` belagrike rol speel, is ee jaar meestal ` sivolle keuse. Idie daaglikse maksimum temperature byvoorbeeld odersoek word, sou ` opdelig va die data i kwartale ovapas wees. Die somertemperature is tipies heelwat hoër as die temperature i die ader seisoee sodat hierdie opdelig die aaame dat die maksima oafhaklik e ideties verdeel is, sou verbreek. Iferesie gebaseer op sulke blokmaksima sal ie betroubaar wees ie Maksimum aaeemlikheid beramig Die metode va maksimum aaeemlikheid is ee va die mees kovesioele metodes i parameterberamig e ka ook i die ekstreemteorie aagewed word om die parameters μ, σ e te beraam. Die prosedure behels die maksimerig va die logaritme va die aaeemlikheidsfuksie m ( i) ( i) M μ l ( θ ; y) = log{ g θ ( M ) I{ + ( ) > 0}}. (2.2) i= σ met betrekkig tot die vektor θ te eide die maksimum aaeemlikheids (MA) beramer 35

45 ' θ = (, μ, σ ) te verkry. ` Potesiële probleem gekoppel aa die gebruik va maksimum aaeemlikheid vir die ekstreemverdelig G het te make met die reëlmatigheidsvoorwaardes wat vereis word voordat die gewoe asimptotiese eieskappe va die maksimum aaeemlikheids beramers geld. I die ekstreemwaarde situasie word daar ie aa al hierdie voorwaardes voldoe ie sodat die asimptotiese eieskappe ie outomaties geld ie. Smith (985), volges Coles (200), het die volgede resultate i hierdie verbad gevid: idie > 0. 5, word die reëlmatigheidsvoorwaardes bevredig; MA beramers besit die asimptotiese eieskappe idie < < 0. 5, besit die MA beramers ie die asimptotiese eieskappe ie, maar ka i die algemee verkry word idie <, is dit owaarskylik dat die MA beramers verkry sal ka word. Die geval 0. 5 stem ooree met ` verdelig met ` baie kort booste stert. Hierdie situasie word selde i die modellerig va ekstreemwaardes aagetref sodat die teoretiese beperkigs va die MA beramers os gewoolik ie i die praktyk behoort te belemmer ie. Daar is gee aalitiese oplossig vir die maksimerigsprobleem ie, maar die maksimerig ka maklik uitgevoer word met behulp va stadaard umeriese optimerigs algoritmes. Daar moet egter omsigtig te werk gegaa word te eide te verseker dat die waardes ˆ, ˆ μ e σˆ wel aa die reëlmatigheidsvoorwaardes voldoe. Idie hierdie voorwaardes bevredig word, besit die maksimum aaeemlikheids beramer asimptotiese eieskappe wat die basis vorm vir iferesie te opsigte va die obekede parametervektor θ. 36

46 Stellig 2.5. Veroderstel θ is ` obekede parametervektor met MA beramer θ. Da, vir m, geld dat D ˆ ( θ θ) N(0, ( θ) ), 0. m Ι > 5, (2.3) waar Ι ( θ ) die iverse va die Fisher iformasiematriks is, met 2 Ι ( θ ) jk = Eθ { l( θ; Y )}. θ θ j k Δ Hierdie Fisher iformasiematriks is obeked, dus beader os Ι (θ ) met die waargeome Fisher iformasiematriks, I (θ ), geëvalueer by θ = ˆ θ : I 2 ( ˆ) θ jk = l( θ; y) θ = ˆ. θ θ j θ k Vertrouesitervalle vir die obekede θ ka gevid word deur va die asimptotiese meerveraderlike ormaalverdelig va die maksimum aaeemlikheids beramer θ gebruik te maak. Os weet dat vir groot m, is θˆ by beaderig verdeel. Hieruit volg by beaderig dat j I ( θ ) jj N( θ j, ) m θ θ P{ z z } α. j j α 2 α 2 I( θ ) jj m Os verkry dus die volgede beaderde ( α )00% vertrouesiterval vir : θˆj Vert ( α )00% ( θ j ) = ˆ θ ± z j α 2 I( ˆ θ ) m jj (2.4) 37

47 Idie MA beramigs va die parameters μ, σ e gevid ka word, ka die kwatiele va die verdelig G μ, σ, va die maksima beraam word. Os stel i die statistiek va ekstreme waardes i die besoder i stertkwatiele belag. Ee so ` ekstreme kwatiel is R k, die k -blok terugkeervlak ( retur level ), gedefiieer deur PM ( > Rk) =. (2.5) k Rk is dus die kwatielwaarde sodaig dat dit slegs keer per waar k tipies groot is. k blokke oorskry word, Uit die defiisie va Die verdelig moet R k volg dat PM ( Rk) = F ( Rk) = k F is egter obeked, dus ka os ie hieruit oplos vir R k beraam word. Die beaderig F G μ, σ, R k ie. Gevolglik geld idie groot geoeg is, dus volg by beaderig vir 0 : oftewel μσ( ) k G,, Rk Rk Gμσ,,( ) k σ{( log( )) } = μ + k. (2.6) Idie = 0, da is R k G μ, σ, ( ) k = μ σ log{ log( )}. (2.7) k Aagesie die werklike waarde va θ obeked is, is die kwatiele R k ook 38