EKSAMENMEMO'S. â 2x - (x 2 - x - 6) = 2, ens. (2 )

Transcript

1 NSINLE EKSEPLR V LGER EN VERGELYKINGS EN NGELYKHEDE [].. 0 ( ) 0 0 of % ) ± 8 (6) ± ( 6) ()() () j,6 of 0, Neem : Veref tot mag :.. ( ) < 0 < 0 ± ±8 < (+)() () ( ) 8 aar, otou dat ' ewe wortel geeem is wat is positief vir alle reële waardes va. ±8 EKSENE'S. ➊ 6 ➋. Stel ➊ e ➋ gelk: 6 0 ( + )( ) 0 of ➊: s : () s : () 6 Die oplossig : (; ) of (; 6) ( ) + ( ) LW.: Elk va die vrae beodig slegs ' put atwoord! Lag algebraïese vergelkigs (sie die alteratiewe metodes) sal ie gepas wees ie! ' Rowwe skets va f e g:.. Nee ; Die INIU waarde va f() f e g et gee spute ie.. k > g() + k moet > wees, sodat ' l g() + k (parallel aa die as) f twee keer sal s. Stel ➋ i ➊ i g ( 6), es. f (; ) Eksamememo's: Vraestel lgebraïese metodes, wat meer td beodig!.. Nee ; f() g() ( ) + ( ) ( ), wat omootlik is, wat ' kwadraat ka ie egatief wees ie. ( + ) (6) ± (6) ()() () 6 ± 6 Daar is gee oplossigs vir die vergelkig f() g() ie... f() g() + k ( ) + + k ( + ) + k 0 Δ (6) ()( k) k k 6 + ( k) 0 s os (reële & ogelke) wortels wil ê, da moet Δ positief wees: k > 0 k > k > Die skets is baie makliker. Δ Δ is iereëel EKSENE'S: VRESTEL

2 EKSENE'S: VRESTEL Eksamememo's: Vraestel PTRNE EN RYE [6] Die reeks is rekekudig : a 8 ; d 6 ;? T a + ( )d ( )(6) 8 6( ) 6) terme Dit is ' lieêre reeks Die algemee term, T a + b waar a die ste verskil 6 & b T 0 T 6 + Stel terme.. Die som, S (a + T ) waar 8 (va..) ; a 8 & T 8 00 S 8 8 (8 + 00) 7 6 S [a + ( )d] waar 8; a 8 & d 6 S 8 [(8) + (8 )(6)] Die som va al die telgetalle tot e met 00 (0 +) ( + 00) S (a + T ) 0 vaaf.. Die beodigde som 0 ( ) R.: 6; 8; ;.. T ar waar a 6 & r 8 6 T 6..( ). + + of 8.. eskou d.w.s. S S > > S.. S a( r ) r ( ) 6 waar a 6 & r ( ) 6 S > %() a r 6 6 > > > < > LW.: Dit is aavaarbaar om te skrf: 6 wat N... Die terme: ste verskille: (0) + 6 () + 6 () de verskille: a a.. T a + b + c T 0 c + 6 T a + b + c Eerste ste verskil: + b a + b 0 b () + b 0 T + b. Die eerste faktore va elke term: ; ; ; ; ; 8 waar a e b T 0 lgemee term: T Die de term, T Die tweede faktore va elke term: ; 6 ; 0 ; ; Elke term is et meer as die vorige reeks T tot b Sigmaotasie: ( )( ) FUNKSIES EN GRFIEKE [7]. f().. afsit: is ' lieêre reeks T a + b Stel 0 da is + (0; ).. afsit: Stel 0 f() 0 da is f(0) + ; 0.R. T a + ( )d, es. J ko ierdie vraag geeel e al deur ispeksie gedoe et!

3 .. f ➊. f() a.b + q.... q waardevers.: > Vergelkig: a. b Stel (0; ): a.b 0 a Vergelkig: b Stel (; ): b b Die vergelkig va l ➋ is + ( ;0) Vergelkig: (; ) (0; ) ➋ Le ➊ e ➋, deur (; ) is die simmetrieasse. L ➊ is ' afemede fuksie. Vergelkig va l ➊: ( + ) Stel (; ) i + c Let Wel : Daar is obekedes wat bepaal moet word. Die volgorde va die proses is belagrik: asimptoot, afsit, da die ader put... () Skuif f eeeid liks e eeede op (). + ( ) + 7 Vergroot f met ' faktor va, skuif dit da 7 eeede op. f() + aks. kom voor waeer b a () waeer f '() 0, d.w.s. 0 aksimum Draaiput: ; f() Draaiput ; 8. P is die gradiët va f, f (), gelk aa die gradiët va die raakl (g) f () ta º & f() () () P(; 6) m e f i verbad te brig, moet die ele f() vergroot word.. Vergelkig va g: a + q a die gradiët va g Stel P(; 6) i: 6 () + q q + q Vgl. va g : +. d > afsit, d moet > wees 6. Vergelkig va g: a (8; ) op g a(8) Kwadreer albei kate : 6 8a a 6. g() is gedefiieer vir Vergelkig va g: Vgl. va g : Eksamememo's: Vraestel ; 0 6. () g() ( ) ( )( 8) 0 of 8 R, vir : LK () e RK g() + Slegs 8 Sie die skets: e 8 of (8) Die sput is (8; ) Stel die gradiët e die put (; 6) i m( ): 6 ( + ) 6 + s ' put op ' grafiek lê, bevredig die koördiate va die put die vergelkig va die grafiek. Sie die sketse va g e g ieroder: g Dit is belagrik om die refleksies va die iverse fuksies, g e g, i die l te verstaa. LW.: 0 Die put (; ) ka ie op g lê ie. g EKSENE'S: VRESTEL

4 Eksamememo's: Vraestel < < 8 loewel j die sput algebraïes bepaal et, is dit belagrik om ierdie ele V6 grafies ook te verstaa. 7. Die bedrag rete Die bedrag oor 0 jaar betaal die oorsproklike bedrag (0 % R6 7,) R R 6 88 R R Die bedrag verskuldig a 8 maade Die opgelope bedrag vir die maade a maad 8 LW.: Gee betaligs is gemaak ie, so daar was R6 0,7 + iks om af te trek ie. FINNSIES, GREI EN VERVL [6] 7. % va die verkoopprs R0 000 % va die verkoopprs R % va die verkoopprs (R0 000 ) % 00 R Die balas va die verkoopprs R ( die leig) etode : Huidige waarde P v ( + i) i Hierdie is die viiger metode! waar P v R78 000;? i % ; 0 % 0 STor, i 7. T 0 T 8 T 0 maade etode : Huidige waarde Na die 8 ste paaiemet, is die aatal oorblwede paaiemete 0 8 & die balas va die leig, da 6 7, + R6 0,7 Die 'uidige' etode : Toekomstige waarde T 0 T 8 T R6 8,8 Die uidige waarde va die auïteit a maad 8 moet gelk wees aa die bedrag op ierdie stadium verskuldig ,8 % e 8 00: + 0,7. 0,060 + R6 8,8 idie die bedrag va etode i 7. gebruik is. T 0 T 8 T 0 maade ( + i) P v i waar 8 00 EKSENE'S: VRESTEL j R6 7, etode : Toekomstige waarde Die Toekomstige waarde va die leig : F v P v ( + i) waar P v R78 000; 0 % e i % R 8, STor i e F v ( + i) i ( + ) 0. j R6 7,0 Die bedrag verskuldig ,7 STor i Die bedrag betaal F v p ierdie stadium: Die waarde va die leig, 8 terwl: Die waarde va die auïteit, 8 6 7, + R76,6 STor i Die balas va die leig F v R6 0,77 F v R6 0,77 die oorblwede bedrag om te betaal log 0,060 log ( + ) 0,7 j 0 maade log 0,060 log + log 0,060 log + log 0,060 log ( + ) es. a b log b a log a log b log log log log

5 DIFFERENSILREKENE [] 8. f() f( + ) ( + ) ( + + ) f( + ) f() 6 + f( + ) f( ) 6 + f () f( + ) f( ) lim 0 8. d d f() + 0. f() 0 is ' faktor va f() s k ; da is d d k.. < < Eksamememo's: Vraestel 0. Na t ure: DC 0t ; C 00 0t ; F 0t FC F + C (0t) + (00 0t) 00t t + 600t 00 t 8 000t FC 00t 8 000t vir ierdie waardes va is die gradiët va f egatief lim (6 + ) 0 6. f() ( )(. ) Toets: ( )( ) + ( )( )( + ) 0. i FC kom voor waeer FC ' miimum is t b a 8000 ( 00),6 Na uur e 6 mi die afgeleide (va FC ) 0 000t , es. f () f( + ) f( ) lim 0 ( + ) ( ) lim 0 ( + + ) + ) lim 0 lim lim lim J moet ee va ierdie uiteesettigs kies. J ka of die kompoete beodig vir die defiisie va ' afgeleide eerste bepaal e da die defiisie toepas. egi met die defiisie, otou om lim op elke reël te eraal totdat j 0 die limiet i die laaste reël bepaal et. Dis die belagrikste om die defiisie te verstaa. f() 0 of of Koördiate va afsitte: (; 0), (; 0) & (; 0). die stasioêre pute: f () ( )( + ) 0 of f + 0 j,8 & f() () () () Koördiate va stasioêre pute : (; 6) e ;,8 (; 6) (0; 0) ( ; 0) (; 0) (; 0) ;,8 f 0. i FC 00(,6) 8 000(,6) km WRSKYNLIKHEID [6]. P( of ) P() + P() & is oderlig uitsluited.. 0,7 P() + P(), P() 0,7 P() 0,8 P G P P() P() P() P() Die Uitkomste :, P :, G :, P G :, G EKSENE'S: VRESTEL

6 Eksamememo's: Vraestel.. P(, G) %.. P(Piek) P(, P) + P(, P) % + % NSINLE EKSEPLR V STTISTIEK []. Hoe meer die getal dae va oefeig, oe mider td geeem om die aelloop te voltooi. Soos die getal dae va oefeig vermeerder, so et die td om die aelloop te voltooi, vermider. Hoe mider dae geoefe, oe lager et dit geeem om die aelloop te voltooi. die steilste kurwe oor ierdie. 0 t < 60 iterval dui die grootste getal leerders aa. 80% va die td 80% va 0 6. Die getal leerders wat 6 spadeer et, is 6 sie grafiek Die getal leerders wat > 6 spadeer et, is Td (ure) Kumulatiewe frekwesie Frekwesie per iterval 0 t < 0. keuses keuses keuses keuses keuse Die aatal verskillede letterragskikkigs % % % %! 0. maiere maier maiere maiere maier S of T Die aatal letterragskikkigs wat begi met ST _ of TS _. (60; 8,). Vergelkig va die regressiel: + waar 7,8 & 0,0706 (Sakrekeaar) Die vergelkig: 7,8 0,07. Td geeem 7,8 0,07(),67 sekodes. Die korrelasiekoëffisiët, r j 0,7.6 Die verbad tusse die veraderlikes is redelik sterk.. gief (Kumulatiewe frekwesiekurwe) 0 t < t < t < t < t < Die gemiddelde td j 6, uur (of, met sakrekeaar) EKSENE'S: VRESTEL! %! Die WRSKYNLIKHEID ierva!! 0 0 P(E) (E) (S) Kumulatiewe Frekwesie Td (i uur) 6 NLITIESE EETKUNDE [7]. K(7; 0). (; ) Q middelput va P. m P 7 6. ta ˆ PSK w P ˆ PSK 8,º θ 7,7º ø e va ΔPSK. I ΔPSK: cos θ PK PS cos 7,7º PS PS cos 7,7º si 8,º j, eeede PS, es. a k b b k a

7 .6 N(; ) op die l + 7 Put N is (; + 7) m NT m P NT P i trapesium + 7 () N(; 7) 7 & () epaal die vergelkig va TN: Stel m e (; ) i m( ) F m + c Vergelkig is +. N is die sput va TN e NP Los die vergelkigs op..7. Die vergelkig: (a; ).7. Die gradiët va Q ta º of ta º a of a ± a ± a of. (; ). NT T raakl radius m NT m T Stel m e T(; ) i m( ) of m + c ( ) T( ; ) º ()() + c, es. º º º Q(; ) º N(; ) R º (a; ) T(; ). R R is die l vaaf die middelput a die middelput va koord I ΔR: R R Stellig va Ptag. 0 r 0 R R 6 ee.. N ( ) + ( ) N eeede. N eeede i. & K eeede rad. va? KN eeede Vergelkig va 'uwe'?n: ( ) + ( ) TRIGNETRIE []. si α X & 0º < α < 70º X X X α is i die de Kwadrat.. si(α) si α Pt α.. cos α ( ;.. si(α º) si α cos º cos α si º (; ) N(; ) K 8 si.. LK. cos si cos. si cos cos si ( ). si cos ta RK.. Dit sal ogedef. wees as cos 0 waeer 0º + (80º) º + (0º) º F º. ( si θ) + si θ si θ 0 si θ of Eksamememo's: Vraestel si θ si θ 0 ( si θ + )(si θ ) 0 si θ θ 0º + (60º) θ 0º + (60º), Z 6. b ta (0º) ta º sie pt. P 6. (0; ) cos( 0º 0º) cos 0º 6. Die asimptote va f: 80º e 80º Die beodigde asimptoot is 60º Let op dat 00º buite die defiisieversamelig val. 6. g() %) g() + g() + Waeer ta ogedef. is. Dieselfde oplossig. ä si θ ka slegs waardes tusse e ê Die asimptote beweeg 0º liks. Die waardeversamelig va g Die waardeversamelig va : EKSENE'S: VRESTEL

8 EKSENE'S: VRESTEL Eksamememo's: Vraestel 7. Kostruksie: & Trek die oogtel of CD vaaf Ĉ (die oek ie i die formule betrokke ie) D ews: I ΔDC: b si b si ➊ I ΔDC: a si a si ➋ Vaaf ➊ & ➋ : b si a si beide gelk aa ab) si a 7.. ˆ SPQ 80º PSQ ˆ + PQS ˆ ˆ PSQ 7.. I ΔSPQ: 7.. I ΔTPQ: ˆ PQS SQ si(80º ) Ko die kosiusreël ook gebruik et. PQ si b teeoors. ø e va kv. ø e i Δ ø e teeoor gelke se si si(80º ) si si k. si cos si k cos ➊ SQ k si ta k ta %) k ta k PQ ➋ ➋ i ➊ : SQ. ta. cos 6 cos ta a b C EUKLIDIESE EETKUNDE EN ETING [] 8. die oek oderspa deur die koord i die verwisselede segmet. 8.. E ˆ ˆ 68º 8.. ˆ E ˆ 68º raaklkoord stellig verw. ø e ; E C 8.. D ˆ ˆ buiteø va koordevieroek 68º 8.. E ˆ D ˆ + 0º 88º buiteø va Δ 8.. Ĉ 80º E ˆ teeoors. ø e va koordevk. º. Â raaklkoord stellig D ˆ ø e teeoor gelke se. ˆ ˆ + D ˆ buiteø va Δ ˆ 0º E C & DE ˆ 0º radius D raakl CDE Ê ˆ Ê ø e va ΔED C is ' raakl b aa?ed. D ˆ 0º & ˆ 0º ˆ D ˆ E ø i semi? E C FD is ' koordevk. buiteø tee. bieø 8 D F C. Stel C a ; da is a D a radiusse I ΔDC: DC ˆ 0º radius raakl DC C D (a) (a) a a a C. I Δ e DC e DF () ˆ F ˆ buiteø va kv. FD tee. bieø () D ˆ D ˆ beide ΔDC ΔDF øøø.6 D F DC C C C 0. Kostruksie: Verbid DC e E e oogtes e ews: area va ΔDE D. area va ΔDE D. area va ΔDE & area va ΔEDC eweredige se sie. D D gelke oogtes E. EC. E EC aar, area va ΔDE area va ΔEDC area va ΔDE area ΔDE area va ΔDE area ΔEDC D D E EC 0.. Stel p ; da is E p CD I ΔED: p ewer. stellig; p C ED % ) CD eeede E D E gelke oogtes 6 C dies. basis DE & tusse dies. le, d.w.s. dies. oogte C F G D

9 0.. CG ; dus is GD I ΔDE: ewer. stellig ; E GF NTS Eksamememo's: Vraestel 0.. I Δ e C e ED () Â is gemee () ˆ C Ê ooreek. ø e ; C ED ΔC ΔED C ED E C p p øøø eweredige se % ) C eeede 0.. area va ΔC area va ΔGFD C. C si C ˆ DG. DF si Dˆ...si Dˆ si Dˆ 6 ooreek. ø e ; C ED area va ΔC area va ΔED. p..si ˆ. p..si ˆ 6 area va ΔC 6 area va ΔED ➊ area va ΔGFD & area va ΔED... si Dˆ... si Dˆ area va ΔGFD area va ΔED. area va ΔC ➊ ➋: area va ΔGFD ➋ area va Δ ED area va Δ ED EKSENE'S: VRESTEL