5. MERANIE ZMIEN NA ÚČELY KATASTRA NEHNUTEĽNOSTÍ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "5. MERANIE ZMIEN NA ÚČELY KATASTRA NEHNUTEĽNOSTÍ"

Transcript

1 5. MERANIE ZMIEN NA ÚČELY KATASTRA NEHNUTEĽNOSTÍ Meranie zmien na účely katastra upravujú Smernice na meranie a vykonávanie zmien v súbore geodetických informácií katastra nehnuteľností S [6]. Z citovaných smerníc sú vybraté a komentované časti, ktoré bezprostredne súvisia s problematikou merania a zobrazovania výsledkov meraní v prácach pre kataster nehnuteľností. Predmetom merania zmien sú zmeny - hraníc katastrálnych území, zastavaných území obcí, pozemkov chránených objektov, - stavieb. Predmetom merania je aj určenie nových bodov PPBP, ak aktuálne bodové pole (meračská sieť) nepostačuje na výkon merania zmien. Zmeny sa merajú terestrickými, satelitnými a fotogrametrickými metódami. Presnosť merania zmien Body meračských sietí, ktoré sú súčasťou podrobného polohového bodového poľa, z ktorých sa merajú zmeny na účely katastra, sa určujú s presnosťou charakterizovanou základnou strednou 2 2 súradnicovou chybou m,5( m + m ) xy = vo vzťahu k najbližším bodom ZPBP: 0 y x - pre body. triedy presnosti m xy = 0,02 m, - pre body 2. triedy presnosti m xy = 0,04 m, (5.) - pre body 3. triedy presnosti m xy = 0,06 m. Pevné body meračských sietí určených v miestnych súradnicových systémoch sa určujú v tretej triede presnosti (5.). Podrobné meranie sa vykonáva v tretej triede presnosti, ktorá je daná základnou strednou súradnicovou chybou m xy, kritériá presnosti u xy sú uvedené v tab. 4.. Ak sa zmeny merajú mimo zastavaného územia obce podrobné meranie možno vykonať v štvrtej triede presnosti. Ak je pre účely merania zmien potrebné určiť pomocné meračské body, tieto sa stávajú súčasťou príslušnej meračskej siete a určujú sa s takou presnosťou, aby z nich odmerané zmeny spĺňali kritérium u (tab. 4.). Charakteristikou relatívnej presnosti určenia súradníc dvojíc podrobných bodov je základná stredná chyba dĺžky spojnice dvojice bodov vypočítaná zo súradníc. Vypočíta sa podľa a vzťahov (4.) až (4.6).v kap. 4. Výsledky merania zmien sú v zázname podrobného merania zmien. Obsahujú: - odmerané číselné údaje (uvedú sa v zápisníku, alebo v náčrte), - meračský náčrt (grafický prehľad, popisné prípadne aj namerané údaje), Výsledky merania zmien sa zaznamenajú do záznamu podrobného merania zmien obr. 5.. Následne po zaznamenaní sa výsledky merania spracujú. Spracovaním výsledkov merania rozumieme: a) výpočet súradníc - nových bodov PPBP, bodov v miestnom súradnicovom systéme, alebo pomocných meračských bodov, - novourčených bodov podrobného merania, b) výpočet výmer novourčených a zmenených parciel ako aj ich dielov. Dokumentácia výsledkov merania zmien a ich spracovania obsahuje: - výsledný operát novourčených bodov PBPP, v prípade ak takéto body boli určené, xy 77

2 - číselné a grafické údaje z podrobného merania zmien zaznamenané v zázname podrobného meranie zmien, - zoznam súradníc určených podrobných bodov, - výpočet výmer parciel a ich dielov. 78

3 Obr. 5.. Záznam podrobného merania zmien (ukážka) 79

4 5. Pracovný postup merania zmien Podklady na meranie zmien sú: - katastrálna mapa (v teréne sa používa pracovná mapa alebo kópia alebo zväčšenina katastrálnej mapy), alebo kópie súborov vektorovej katastrálnej mapy, - záznamy podrobného merania zmien a meračské náčrty z prechádzajúcich meraní, - zoznamy súradníc podrobných bodov a prehľady čísel podrobných bodov, ak v uvedenom katastrálnom území existujú, - geodetické údaje o bodoch bodovom polí. Podkladom na vyhotovenie meračského náčrtu je kópia alebo zväčšenina katastrálnej mapy. Podrobné meranie sa vykonáva z meračskej siete. Meračské siete Zmeny sa merajú z meračských sietí, ktoré tvoria meračské body. Veľkosť prípadne tvar alebo rozsah meračskej siete je závislý od veľkosti zmeny, ktorá je predmetom merania, ale aj od existujúcich terénnych podmienok, zvolenej metódy podrobného merania a od použitej meračskej techniky. Meračská sieť musí byť určená tak, aby umožnila určenie polohy všetkých podrobných bodov definujúcich zmenu a odmeranie prvkov, ktoré slúžia na overenie presnosti a kontrolu podrobného merania. Platí zásada, že meračská sieť sa pri splnení týchto nárokov má minimalizovať. Jedna zmena musí byť zmeraná len z jednej meračskej siete. Meranie zmien možno vykonať z meračských sietí: a) určených v S-JTSK, resp. pripojených na S-JTSK, b) určených v miestnych súradnicových systémoch. Meračské siete určené v S-JTSK sa povinne použijú: - v katastrálnych územiach, v ktorých je katastrálna mapa spravovaná v S-JTSK, (neplatí pre spravovanie nečíselnej VKM), pričom výnimku z tohto pravidla môže povoliť katastrálny úrad, - v katastrálnych územiach, v ktorých je dokumentované PPBP (určené hromadne pre celé k. ú., nie pár jednotlivých bodov), aj keď katastrálna mapa nie je spravovaná v S-JTSK, - v priestoroch, kde sa vykonávajú pozemkové úpravy, - v priestoroch a v prípadoch, ktoré určí správa katastra. Meračské siete v S-JTSK, môžu tvoriť: - body polohových bodových polí (základné a podrobné polohové bodové pole), - pomocné meračské body, - pevné podrobné body určené v S-JTSK minimálne v 3. triede presnosti, zobrazené na katastrálnej mape (jednoznačne identifikovateľné body polohopisu určené v S-JTSK pri mapovaní alebo meraní zmien). Ak meračskú sieť, ktorá má byť určená v S-JTSK netvoria body skôr určené v tomto súradnicovom systéme, musí sa na takéto body pripojiť (pripájacie body). Poloha a identita pripájacích bodov sa pred ich použitím overí. Meračské siete určené v miestnych súradnicových systémoch možno použiť tam, kde nie je povinnosť sieť určiť (resp. pripojiť) v S-JTSK. Meračskú sieť v miestnom súradnicovom systéme tvoria pevné body, ktorými sú v teréne existujúce, jednoznačne identifikovateľné a trvalo stabilizované (označené) body polohopisných prvkov napr. rohy murovaných budov, kamenné medzníky a pod., ktoré sú zároveň zobrazené na 80

5 katastrálnej mape. Ak sa body spĺňajúce tieto podmienky v priestoroch merania zmeny nenachádzajú, použijú sa aj body v katastrálnej mape nezobrazené a nadväznosť na katastrálnu mapu sa rieši zmeraním aj nepevných bodov, ale zobrazených v katastrálnej mape. Ak nemožno v priestoroch merania nájsť žiadne pevné body, resp. nie sú v dostatočnom počte, stabilizujú sa nové pevné body spôsobom ako PBPP. Ak sa na meranie zmien použije meračská sieť v S-JTSK a katastrálna mapa nie je spravovaná v S-JTSK, potom nadväznosť merania na katastrálnu mapu zaistíme prostredníctvom najmenej troch overených vzťažných (pevných) bodov. Pod pevnými bodmi rozumieme také body, ktoré existujú v teréne a sú zobrazené aj na katastrálnej mape. Sú to jednoznačne identifikovateľné body prvkov polohopisu, ako napr. rohy murovaných budov, medzníky na hraniciach a pod. Tri pevné body vytvárajú miestny súradnicový systém. V prípade, že meračskú sieť predstavuje voľná meračská priamka postačujú dva body. Väčší počet pevných bodov pre miestny súradnicový systém (n > 3) a pre voľnú meračskú priamku (n > 2) dovolí optimalizovať výsledky meraní s mapovým podkladom pri transformácii s vyrovnaním MNŠ a prípadne identifikovať nespoľahlivý pevný bod. Overenie polohy a identity pripájacích bodov na pripojenie siete do S-JTSK sa vykoná podľa druhu bodu týmto postupom: a) Polohu bodu ZPBP alebo PPBP overíme kontrolou omerných (vyhľadávacích) mier uvedených v miestopise bodu. Odmerané hodnoty porovnáme s údajmi v miestopise. Zistené nedostatky sa uvedú v hlásení závad o zmien na geodetických bodoch []. Body, na ktorých zistíme nedostatky v identifikácii nesmú byť použité pre meračské účely. b) Overenie polohy pevného bodu, ktorý nie je určený súradnicami, vykonávame: - priamym odmeraním vzdialenosti od dvoch bodov, ktoré považujeme za pevné body a nie sú od overovaného bodu vzdialené o viac ako 200 m, - odmeraním ortogonálnych prvkov, ktoré určujú polohu bodu vo vzťahu k spojnici dvoch bodov, ktoré považujeme za pevné, a nie sú od overovaného bodu vzdialené o viac ako 200 m (obr. 5.2), - polárnym meraním najmenej na dva body, ktoré je možné považovať za pevné, a nie sú od overovaného bodu vzdialené viac ako 200 m (obr. 5.3). c) Overenie pevného podrobného bodu určeného súradnicami sa vykoná postupmi overenia ako u pevného bodu, keď do kontroly zapojíme, ak sú možnosti, aj body PPBP. Predmetom kontroly sú odmerané dĺžky a uhly, ktoré vypočítame zo súradníc daných pevných bodov (vzťažných bodov PPBP), ako aj výpočtom súradníc overovaného bodu, napr. metódou prechodného stanoviska. P i -s k A Obr Overenie polohy bodu P i odmeraním ortogonálnych prvkov Odmerané údaje podľa odstavca b) sa porovnajú s údajmi odmeranými kartometricky na katastrálnej mape pri zohľadnení zrážky mapy. Odmerané údaje podľa odstavca c) sa porovnajú s údajmi vypočítanými zo súradníc. Identita overovaného bodu sa posúdi podľa pravidiel overovania dĺžok, ktoré sú uvedené v kap. 4. Body, ktoré pri overení nespĺňali kritériá rozdielov d odmeraných B 8

6 dĺžok (d k ) a vypočítaných dĺžok zo súradníc, resp. určených z hodnôt odmeraných na mape (d m ), nemôžu byť použité ako vzťažné body pri meraní zmien. P i ω s A s B A B Obr Overenie polohy bodu odmeraním polárnych prvkov Vyhodnotenie overenia pevných bodov vo forme číselných údajov sa uvedie v meračskom náčrte, pri použití merania metódou polárnych súradníc v zápisníku. Overený bod v poznámke sa označí over. Metódy podrobného merania zmien sú uvedené v kap. 4. Najčastejšie používame základné číselné metódy podrobného merania. Polárna metóda sa používa v prehľadnom členitom teréne s väčšími výškovými rozdielmi a v priestoroch s veľkou dopravnou frekvenciou. Meranie sa vykonáva elektronickým teodolitom. V neprehľadnom teréne a hustej mestskej zástavbe polárnu metódu kombinujeme s ortogonálnou metódou. Body, ktoré sa nedajú odmerať polárnou metódou meriame polárnou kolmicou (obr. 5.4). Členité stavby meriame metódou konštrukčných omerných mier (obr. 4.3). Predmetom kontroly sú odmerané dĺžky a uhly, ktoré vypočítame zo súradníc daných pevných bodov (vzťažných bodov PPBP), ako aj výpočtom súradníc overovaného bodu, napr. metódou prechodného stanoviska. 2 3 P i- α P i Obr Polárna kolmica 82

7 Kontrola podrobného merania zmien sa vykonáva súčasne s podrobným meraním a to kontrolnými omernými mierami medzi dvoma susednými bodmi hranice pozemku, stavby alebo krížovými mierami medzi bodmi, ktorých spojnica netvorí hranicu. Omerné a krížové miery do 50 m meriame pásmom. Nad 50 m diaľkomerom. Určenie polohy každého podrobného bodu, ktorý určuje zmenu v KN je potrebné prekontrolovať aspoň jednou omernou alebo krížovou mierou, prípadne iným nezávislým spôsobom, napr. odmeraním z iného stanoviska merania. Omerné a krížové miery sa uvádzajú v meračskom náčrte. Odmerané údaje z iného stanoviska alebo odmerané inou metódou merania sa uvádzajú v zápisníku. Kontrolovaný bod v zápisníku sa označí v poznámke kontr. 5.2 Záznam podrobného merania zmien Výsledky podrobného merania zmien sa zaznamenajú do záznamu podrobného merania zmien. Záznam podrobného merania zmien má tri časti: a) popisové pole (obr. 5.) b) meračský náčrt (obr. 5.), c) zápisník (obr. 5.). Na vyhotovenie záznamu podrobného merania zmien sa používa štandardné tlačivo ÚGKK SR (obr. 5.). Obsahuje popisové pole a má miesto na vyhotovenie náčrtu. Na spodnej časti má klauzulu, v ktorej objednávateľ merania zmien potvrdzuje, že bol oboznámený s priebehom a označením hraníc novooddelených pozemkov v teréne. Na rube tlačiva je zápisník. Ak sa výsledky merania zaznamenávajú do pamäťového terminálu ET, zápisník predstavuje tlač odmeraných údajov, pričom takto vytlačený zápisník musí mať predpísanú formu (ako tlačivo) a musí obsahovať všetky predpísané údaje. Náležitosti popisového poľa sú zrejmé z obr. 5.. Náčrt obsahuje: - kresbu doterajšieho stavu polohopisu podľa KM tenkou čiarou čiernej farby, - kresbu nového stavu polohopisu tenkou červenou čiarou, znaky zlúčenia (zlučky), označenie druhu pozemkov a prečiarknutia zrušených hraníc dvojitou čiarkou. Všetky údaje, ktoré sa viažu k novému stavu sú vo farbe červenej, - v náčrte sa vykresľujú body PPBP s číslami, ktoré sa nachádzajú v priestore zobrazenom na náčrte. Orientácia na body, ktoré ležia mimo rozsahu k náčrtu sa označí čiarkovanou čiarou so šípkou a číslom bodu, na ktorý sa orientuje. Meračská sieť sa vyznačí čiarkovanou čiarou. Všetky údaje a zákresy sú vo farbe červenej, - čísla podrobných bodov doterajšieho stavu, ktoré sa používajú na pripájanie a kontrolné meranie alebo na výpočet výmer parciel sú vo farbe čiernej. Označujú sa číslom náčrtu, z ktorého bol bod prevzatý (2) a vlastným číslom (48). Výsledné číslo napr. je 2-48 (obr. 5.6), - čísla novourčených bodov majú iba vlastné čísla (napr. 5) a sú vo farbe červenej, - doterajšie čísla parciel a značky druhov pozemkov sú vo farbe čiernej. Nové čísla parciel sú vo farbe červenej. 83

8 Obr Meračský náčrt (výrez) Obr Zápisník (výrez) Do náčrtu sa ďalej zaznamenávajú: - údaje o novom vlastníkovi nehnuteľností, súpisné čísla nových meraných stavieb, spôsob využívania nových pozemkov a stavieb, - budovy sa vyznačia v zmysle STN 0 34 [8], - sídelné a nesídelné názvy, názvy ulíc, námestí, verejných priestranstiev, významných stavieb, vodných tokov a chotárnych názvov, - mierka meračského náčrtu. Ak náčrt nie je orientovaný na sever vyznačí sa značkou v červenej farbe, - ak cez náčrt prechádzajú rámy mapového listu, vyznačia sa v náčrte. Tesne pod a nad čiarou rámu mapového listu sa vyznačia čísla mapových listov, - na vyznačenie ďalších skutočností sa použijú konvenčné mapové značky. Náčrt sa vyhotovuje vo vhodnej mierke tak, aby bol jeho obsah prehľadný a čitateľný. Písmená a číslice v náčrte sa zaznamenávajú v rozsahu veľkosti,5 až 3 mm. Lokálne prehustenia polohopisu sa vykreslia vo zväčšenej mierke ako detaily s označením príslušnej časti a detailu veľkými písmenami abecedy. Na jednotnom tlačive môže byť zobrazená jedna zmena. Zápisník obsahuje: - použité body polohových bodových polí použité dokumentované pevné body, použité dokumentované pomocné meračské body a podrobné body a ich súradnice, - odmerané údaje, overovacie miery a kontrolné miery, - predpis výpočtu výmer. Zápisník môže obsahovať aj zoznam súradníc novourčených podrobných bodov, ak sú v miestnom súradnicovom systéme. Záznamy podrobného merania zmien sa číslujú priebežne v každom k. ú. číslami od do Ak bol v k. ú. operát katastra obnovený novým mapovaním, číslovanie záznamov podrobného merania zmien pokračuje nasledujúcim číslom za posledným číslom náčrtu z mapovania. 84

9 Prehľady záznamov podrobného merania zmien vyhotoví a vedie samostatne pre každé k. ú. SK. SK zapíše do prehľadu záznamov všetky záznamy podrobného merania (obr. 5.8). Obr Prehľad záznamov podrobného merania zmien 5.3 Výpočet súradníc podrobných bodov Výpočet súradníc podrobných bodov v S-JTSK sa vykonáva vždy, ak sa zmena merala na meračskú sieť určenú v S-JTSK. V miestnom súradnicovom systéme sa počítajú súradnice podrobných bodov ak nebola použitá meračská sieť S-JTSK. Výpočet súradníc podrobných bodov v miestnom súradnicovom systéme sa vykonáva s cieľom ich použitia na výpočet výmer. Výpočty v meračskej sieti sú uvedené v kap Výpočet výmer parciel a dielov parciel Výmery zmenených parciel alebo ich dielov počítame a) zo súradníc podrobných lomových bodov obvodu parcely (dielu), b) z priamo odmeraných mier, c) graficky planimetrovaním alebo výpočtom z mier alebo zo súradníc lomových bodov na obvode parcely (dielu) odmeraných na mape Výpočet výmery zo súradníc Pri výpočte výmer z pravouhlých súradníc použijeme redukované súradnice S-JTSK alebo súradnice miestneho súradnicového systému. Výmeru obrazca s n vrcholmi vypočítame použitím l Huillierových vzorcov n 2 P = x ( y y ) alebo P = y ( x x ) i= i i+ i n 2. (5.2) i= i i i+ 85

10 Y y 3 y 2 y 4 y 5 y y 6 0 P 4 x 4 P 3 P 5 x 3 x 5 P 2 P 6 x 6 x 2 P Obr Výpočet výmery z ortogonálnych súradníc x X P Výpočet výmer zo súradníc podrobných bodov sa vykoná v nadväznosti na výpočet súradníc podrobných bodov pri spracovaní výsledkov merania každej zmeny, pri ktorej sa menia hranice parciel. Výpočet výmery parcely, ktorá bola zameraná polárnymi súradnicami s i, α i vypočítame postupným určovaním plôch (obr. 5.0). Smer číslovania vrcholov n-uholníka volíme v smere číslovania hodín. Výpočet výmery začíname v ľubovoľnom bode trojuholníka a určíme ju zo vzťahu n 2 P = ( s i+ ) v i = ( si+ ) si sin( i+ α i ) i= n i= α. (5.3) P 4 A α 2 P α 3 P 5 s 2 P 6 s P 2 v B P Obr Princíp výpočtu výmery z polárnych súradníc Výpočet výmery odmeraných polárnych súradní môžeme použiť ako kontrolný výpočet k výpočtu výmery z pravouhlých súradníc. Ak sú lomové body pozemkov určené pravouhlými súradnicami vo vzťahu k meračskej priamke AB (obr. 5.). Súradnicami sú staničenia s i a kolmice s ki. Vzorce (5.2) môžeme tiež použiť na výpočet výmer parciel zameraných metódou ortogonálnych súradníc, ktoré vyjadríme vo forme staničení a kolmíc (obr. 5.). Meračskú priamku stotožníme 86

11 s osou X. Hodnoty staničení sú potom úsečkami s i x i a kolmice poradnicami s ki y i. Kolmice sú kladné, ak smerujú napravo v smere staničenia, naľavo sú záporné. Ak vo výpočte použijeme priamo odmerané staničenia a kolmice, vypočítame plochu. Výmeru parcely vypočítame po oprave priamo odmeraných mier z kartografického zobrazenia a nadmorskej výšky zo vzťahu n i= ( ) ( si si+ ) ski + sk ( i+ ) 2 P =. (5.4) Výmery parciel nového stavu bez opráv z kartografického zobrazenia a nadmorskej výšky môžeme použiť len na kontrolné účely. S X s 4 B P 4 P 3 s k3 s 3 P 5 s 5 s k5 P 5 P 2 s k2 s n- s 2 s k(n-) P n- K Y A P =P n Obr. 5.. Výpočet výmery z priamo odmeraných mier Grafické spôsoby určenia výmer parciel Grafický spôsob určovania výmer parciel sa použije: a) na výpočet výmer dielov parciel na majetkovoprávne usporiadanie a na výpočet výmer zvyškov parciel, b) ako nezávislý, druhý (kontrolný) výpočet pri každom výpočte výmer parciel; grafický spôsob určovania výmer parciel ako nezávislý druhý výpočet sa nepoužíva v k. ú., v ktorých je spravovaná číselná vektorová katastrálna mapa. Grafické spôsoby určovania výmer sú: a) planimetrický výpočet nitkovým planimetrom na parcelách väčších ako 00 m 2, polárnym planimetrom na parcelách s výmerami väčšími ako ha, alebo na kontrolu výmery vypočítanej iným spôsobom, b) výpočet z mier odmeraných na mape sa vykonáva na parcelách, ktoré majú tvar pravidelných geometrických obrazcov, alebo sa dajú na geometrické obrazce (trojuholníky, lichobežníky) rozdeliť, c) výpočet z kartometrických súradníc po ich odmeraní na mape alebo digitalizovaných na obrazovke PC po zoskenovaní analógovej mapy. 87

12 Pri grafickom výpočte výmer v mapách uvažujeme plošnú zrážku mapy a jej účinok na určenú výmeru. Nitkovým planimetrom (obr. 5.2) určíme výmeru tak, že okrajové body obrazca parcely stotožníme s vláknami (čiarami) planimetra, medzi ktorými budeme určovať výmeru. Výmeru určíme pre lichobežníky meraním strednej priečky s i medzi vláknami. Výmeru určíme zo vzťahu P = v n s i i=. (5.5) Súčet stredných priečok určíme súčtovým kružidlom (obr. 5.2 vpravo hore). Ak nastavíme rázvor kružidla na 55 mm a odstup vlákien v =,8 mm, potom spočítaná hodnota stredných priečok do plného rázvoru kružidla zodpovedá v mierke : m 2 00 m 2. Pri určovaní výmery registrujeme plné rázvory kružidla a neúplnému rázvoru kružidla prisúdime plochu podľa transverzálneho meradielka, ktoré je umiestnené na okraji nitkového planimetra. Pri inej mierke ako je mierka :000 plnému rázvoru kružidla prisúdime odpovedajúcu plochu podľa mierky mapy. Obr Nitkový planimeter Na určenie výmery polárnym planimetrom budeme uvažovať, že použijeme niektorý z druhov digitálnych planimetrov (obr. 5.3). Digitálne planimetre okrem plošného obsahu umožňujú merať dĺžky, polomery a súradnice. Pri meraní plošného obsahu, ak sú strany meraného obrazca priame, nastavujeme meraciu značku na lomový bod a registrujeme súradnice meraného bodu (bodový režim). Krivkové časti obrazca je 88

13 možné merať manuálnym sledovaním krivky oblúka meracou značkou (priebežný režim) alebo meraním oblúka medzi krajnými bodmi a tretím ľubovoľným vhodne zvoleným bodom na oblúku (oblúkový režim). Obr Digitálny planimeter Režimy merania je možné podľa potreby ľubovoľne spájať. Planimeter si pamätá východiskový bod obrazca. Pri návrate na tento bod sa meranie automaticky ukončí. Po odmeraní planimetrovanej plochy sa na digitálnom displeji indikuje plošný obsah. Presnosť merania sa overuje na testovacej ploche, a je 0, % plochy, čo je 0 násobne presnejšie ako u nitkového planimetra. Použitie digitálnych planimetrov umožňuje prehodnotiť ich využitie na plochách menších ako ha a na kontrolu výmery vypočítanú iným spôsobom. Výpočet výmery z mier odmeraných na mape aplikujeme na parcelách pretiahnutého tvaru. Parcelu rozložíme na trojuholníky napr. podľa obr. 5.4 a výmeru vypočítame z rovnice P = n i= z i ( v v ) 2i + 2 2i, (5.6) keď základnica z i a výšky v i v trojuholníkoch odmeriame odmeriavacími trojuholníčkami. P P 2 P 3 v 2 v 3 z 2 z 3 v 6 P 4 v z v 4 v 5 P 5 P 8 P 7 P 6 Obr Výpočet výmery rozložením obrazca parcely na trojuholníky 89

14 Výpočet výmery z kartometrických súradníc je najvhodnejšie vykonať tak, že zoskenujeme obrazec parcely. Vhodným grafickým editorom (napr. MicroStation) zobrazíme obrazec parcely na obrazovke PC. Pointrom PC sa postupne nastavujeme na lomové body parcely a registrujeme ich rastrové súradnice. Výhodou takéhoto výpočtu výmer je, že registráciou súradníc štvorcovej siete na mape afinnou transformáciou súradníc [3] môžeme opraviť účinok plošnej zrážky katastrálnej mapy na výmeru parcely. Vzťažnými bodmi transformácie sú súradnice bodov štvorcovej siete, ktorej rozmery poznáme a súradnice obrazov zodpovedajúcich bodov siete. Z identických bodov v oboch systémoch (súradnicový systém mapy a rastrový systém) vypočítame transformačné koeficienty, ktoré použijeme na transformáciu rastrových súradníc lomových bodov parcely. Z transformovaných súradníc parcely napr. l Huillierovými vzorcami (5.2), vypočítame výmeru parcely. Ak mapový podklad nie je vybavený štvorcovou sieťou, neaplikujeme transformáciu súradníc a vypočítanú výmeru opravíme o plošnú zrážku katastrálnej mapy. Kartometrické súradnice lomových bodov parcely z mapového podkladu môžeme získať ich odmeraním na pravouhlom koordinátografe alebo pomocou odmeriavacích trojuholníčkov. Odmerané súradnice opravujeme o účinok lineárnej zrážky katastrálnej mapy Presnosť výpočtu výmer parciel a dielov Presnosť výpočtu výmery posudzujeme podľa rozdielu výsledkov dvoch nezávisle vykonaných výpočtov výmer. Pri opakovanom nezávislom výpočte výmery zo súradníc, napr. l Huillierovými vzorcami (5.2) očakávame identický výpočet výmery. Rozdiely vo výsledkoch výmery očakávame pri porovnaní kombinácií rôznych spôsobov určenia, resp. výpočtu. Rozdiel nemal by prekročiť hodnotu krajnej odchýlky. Prekročenie krajnej odchýlky môže byť zapríčinené - chybou v prvom alebo druhom výpočte, - chybou zobrazenia do katastrálnej mapy v tom prípade, ak jeden výpočet je nezávislý na zobrazení do mapy. Hodnota krajnej odchýlky určenia výmery parcely sa vypočíta v m 2 zo vzorcov tab. 5. a tab. 5.2, pre príslušnú mierku mapy, kde P je vypočítaná výmera[24]. Musí byť splnený vzťah u > OP = P P2, (5.7) MP kde P a P 2 sú dve nezávislé vypočítané výmery. Pri jednotlivých výmerách určených z priamo odmeraných mier alebo zo súradníc lomových bodov parcely alebo jej dielu v porovnaní s výmerami určenými graficky pre mierku mapy sú krajné odchýlky výmery parciel (tab. 5.). Mierka mapy Tabuľka 5. Krajná odchýlka výmery parcely (m 2 ) :000 = 0,25 P + 2 u MP :250 a :440 = 0,35 P + 3 u MP :2000 = 0,50 P + 4 u MP :2500 a :2880 = 0,90 P + 7 u MP :5000 =,2 P + 0 u MP 90

15 Pri výmerách určených nezávisle dvakrát graficky krajné odchýlky výmery pre príslušné mierky mapy sú v tab Mierka mapy Tabuľka 5.2 Krajná odchýlka výmery parcely (m 2 ) :000 = 0,20 P + 3 u MP :250 a :440 = 0,30 P + 4 u MP :2000 = 0,40 P + 6 u MP :2500 a :2880 = 0,60 P + 8 u MP :5000 =,05 P + 4 u MP Pri aktualizácii vektorovej katastrálnej mapy, ktorá vznikla z nečíselnej mapy a pri aktualizácii vektorovej mapy určeného operátu, sa krajná odchýlka výmer používa na zistenie rozdielu medzi výmerou uvedenou v súbore popisných informácií katastra s výmerou vypočítanou z kartometrických súradníc. Výmery sú v súlade, ak absolútna hodnota ich rozdielu nie je väčšia než krajná odchýlka výmer vypočítaná pre príslušnú mierku mapy z výmery uvedenej v súbore popisných informácií katastra. Veľkosť krajnej odchýlky je daná násobkami hodnôt u MP uvedených v tabuľke 5.2 v závislosti od výmery parcely. Pre parcely s výmerou do 50 m 2 je veľkosť krajnej odchýlky 0,5 u MP, pre parcely s výmerou od 50 do 00 m 2 je veľkosť krajnej odchýlky rovná u MP, pre parcely s výmerou od 00 do 000 m 2 je krajná odchýlka 2 u MP a pre parcely s výmerou nad 000 m 2 je veľkosť krajnej odchýlky 3 u MP. Krajnú odchýlku medzi doterajšou výmerou skupiny a novou výmerou skupiny určujeme, ak sú - doterajšie a nové výmery určené zo súradníc lomových bodov obvodu parcely alebo jej dielu, ktoré boli vypočítané z priamo meraných mier, zo vzťahu u MP =,5( n + n ), (5.8) 0 2 kde n je počet doterajších parciel v skupine, n 2 je počet nových parciel alebo jej dielov v skupine, - doterajšie nové výmery skupiny určené graficky alebo rôznou kombináciou spôsobu merania, majú krajnú odchýlku v dvojnásobnej odchýlke vypočítanú pre výmery určené nezávisle dvakrát graficky (tab. 5.2). Prekročenie krajnej odchýlky v uzávere skupiny môže byť zapríčinené - chybou vo výmerách parciel alebo dielov parciel, - chybou vo vykonanom výpočte. Ak je chyba vo výmerách parciel, preverí sa možnosť protichyby vo väčšej kontrolnej skupine. Ak sa po preverení nenájde protichyba, opraví sa pôvodná výmera na úkor vyrovnávacej parcely, ktorá sa zaradí do výpočtu výmer parciel. Vyrovnávacia parcela je spravidla parcela s väčšou výmerou evidovaná v druhu pozemku vodné plochy alebo ostatné plochy, ktoré nie sú evidované v liste vlastníctva. Ak je katastrálna mapa spravovaná na podklade základnej mapy alebo je spravovaná vektorová katastrálna mapa, nie je možné chybu odstrániť na úkor vyrovnávacej parcely. Zdroj chyby v doterajšej výmere sa musí zistiť a chyba odstrániť. 9

16 5.4.4 Postup pri výpočte výmer Výpočet výmer sa vykoná v položkách, ktoré tvoria všetky výpočty v rámci ucelenej zmeny (spracovanej geometrickým plánom) a vo výpočtových skupinách, vytvorených v rámci položky pozemkami označenými parcelnými číslami vo vlastníctve (držbe) jedného vlastníka (držiteľa), ktoré sú dotknuté zmenou. Položky sa číslujú od jednotky v každom kalendárnom roku v rámci príslušného katastrálneho územia. Výmery doterajšieho a nového stavu sa v skupine uzatvárajú. Výsledky výpočtu výmer sa zapisujú do tlačiva Výpočet výmer parciel (dielov). Výpočet výmer sa vykoná podľa zásad a) výmera každej zmenenej parcely alebo dielu sa určí nezávislým dvojitým výpočtom, pričom jeden výpočet musí byť grafický, okrem prípadu, ak je spravovaná číselná vektorová katastrálna mapa, b) ak je rozdiel medzi dvoma nezávislými výpočtami menší ako je krajná odchýlka podľa tab. 5. a 5.2, konečnou výmerou je - výmera vypočítaná číselne zo súradníc, pričom graficky určená výmera je iba kontrolná, v tlačive sa zapíše do zátvorky, - aritmetický priemer z dvoch vykonaných výpočtov, opravený o plošnú zrážku (kap. 5.5) a opravu z porovnania doterajšieho a nového stavu skupiny. V prípade, že počítame výmery parciel v katastrálnom území alebo jeho časti, kde sa spravuje vektorová katastrálna mapa, výpočet sa vykoná v plnom rozsahu zo súradníc lomových bodov parciel, prípadne dielov parciel. Oprava výmer z plošnej zrážky mapy (kap. 5.5) sa vykoná podľa vzťahu (% ) Pz O p = P 00, (5.9) kde P je výmera parcely (dielu) P z je hodnota plošnej zrážky v percentách. Rozdelenie odchýlok vo výmerách doterajšieho a nového stavu sa vykoná a) ak rozdiel medzi súčtom výmer skupín doterajšieho stavu a súčtom výmer nového stavu určeného grafickým spôsobom alebo kombináciou spôsobov neprekročí krajnú odchýlku, rozdiel výmer sa rozdelí úmerne k veľkostiam výmer parciel nového stavu, b) ak je potrebné vykonať rozdelenie odchýlok v skupine a výmery sú vypočítané zo súradníc lomových bodov obvodu parciel, rozdiel výmer doterajšieho a nového stavu, ktorý neprekročí krajnú odchýlku, sa rozdelí úmerne k veľkostiam výmer medzi parcely nového stavu. Výpočet výmer parciel a dielov parciel sa dokumentuje pre každé katastrálne územie zvlášť vo výpočtových protokoloch.. Dokumentáciu zabezpečuje správa katastra. 5.5 Plošná zrážka katastrálne mapy Na zrážku mapy musíme brať zreteľ tak pri odmeriavaní mier z deformovanej mapy zrážkou, ako aj pri zobrazovaní (kartírovaní) zmien do analógovej mapy. Pri odmeriavaní vplyvom zrážky sa mierka mapy o niečo zmenšila. Všetky odmerané dĺžky budú o príslušnú zrážku kratšie. Opravené 92

17 miery dostaneme tak, že k odmeraným mieram pripočítame zrážkovú opravu. Pri zobrazovaní zmien zrážkovú opravu odpočítame od odmeraných mier. Na zohľadnenie zrážky mapy v súčasnom období používame iba počtársky spôsob eliminácie zrážky mapy. Plošná zrážka katastrálnej mapy sa aplikuje pri grafickom výpočte výmer v mapách, v ktorých je kresba ovplyvnená zrážkou mapovej podložky alebo tlačového podkladu. Veľkosť zrážky sa udáva v percentách podľa základnej úmery a a p % = 00%, a kde a je pôvodná dĺžka, a je dĺžka zmenená zrážkou. Dĺžkovú zrážku na mapách, ktoré nie sú vyhotovené v mapovom obdĺžniku (blokové mapy) zistíme tak, že v teréne a na mape prešetríme vzťahy medzi identickými bodmi. Body volíme tak, aby sme pomocou nich mohli utvoriť úsečky pokiaľ možno na seba kolmé (obr. 5.4). Odmeriame vzdialenosti a, a 2, b a b 2 v teréne a tie isté úsečky a, a 2, b a b 2 na mape. Z nich zistíme zrážku mapy. Dostaneme a a a2 a 2 p % + p2% p % = 00, p2 % = 00, z toho p% =, a a 2 b b b2 b 2 q% = 00, q2 % = 00, z toho b b 2 2 q % + q2% q% =. (5.) 2 A a p% B b q% a 2 D b 2 C Obr Určenie dĺžkovej zrážky na blokových mapách Na mapách súvislého zobrazenia v základnom mapovom obdĺžniku, ktoré obsahujú súradnicovú štvorcovú sieť sa určí zrážka z dĺžkových zrážok rozmerov mapového rámu a spojníc stredov strán rámu. Meranie zrážok mapového rámu sa robí v smeroch východ západ, sever juh. Pre priemernú dĺžku a výšku mapového obdĺžnika zrážky p a q sú (obr. 5.5) d + d 2 d 2 + d 3 d + 2d 2 + d 3 d d d = + =, p% = 00, d v + v2 v2 + v3 v + 2v2 + v3 v v v = + =, q% = 00. (5.2) v Hodnoty d a v odmeriame zobrazovacím (odmeriavacím) lineárom (alebo na pravouhlom koordinátografe) na všetkých predpísaných miestach a porovnáme ich s nominálnymi rozmermi d a v mapového listu. (Existuje transparentné meradlo, na ktorom sú pre rôzne mierky máp stupnice na priame čítanie percentuálnej lineárnej (dĺžkovej) zrážky. Volá sa zrážkové meradlo.) Vypočítame zrážku mapy pre priemernú dĺžku a výšku a pre jednotlivé dĺžky d i, v i. Plošná zrážka mapového listu sa uvádza v percentách ako súčet priemerných dĺžkových zrážok mapového rámu: P z % = p% + q%. (5.3) 93

18 d d v d 2 v v 2 v 3 zobrazovací trojuholník d 3 zobrazovací lineár Obr Určovanie zrážky na mapovom liste A b ϕ c C B a Obr Zrážka vo všeobecnom smere na mape Zrážku vo všeobecnom smere (obr. 5.6) určíme tak, že najprv vypočítame zrážku v hlavných smeroch CB... p% AC... q %. Odmeriame z mapy redukované hodnoty a, b, c. Medzi originálnymi hodnotami a, b, c a hodnotami ovplyvnenými zrážkou a, b, c platia vzťahy p% a = a + a, 00 q% b = b + b, (5.4) 00 c = a b. Zrážka pre smer pod uhlom ϕ je c c s% = 00. (5.5) c Údaj o plošnej zrážke mapy vytlačenej na rozmerovo nezaistenom papieri sa napíše ceruzkou nad severnú stranu rámu mapového listu. Údaje o dĺžkovej zrážke sa zapíšu na pravej strane a spodnej strane mapového listu na jeho okrajoch a v strede mapového listu. Číselný údaj obsahuje rok určenia zrážky a hodnotu zrážky v percentách. Do mapy zhotovenej na priesvitnej fólii z plasovej hmoty sa údaj o zrážke zapisuje tušom. Údaje o zrážkach v mieste merania sa zapíšu mimo rámu mapy (obr. 5.7). 94

19 Vyznačenie plošnej zrážky na katastrálnej mape Vyznačenie plošnej zrážky na mapovom liste vyhotovenom z rozmerovo nezaisteného papiera Obr Vyznačenie údajov o zrážkach na katastrálnej mape Pred každým grafickým výpočtom výmer sa skonštatuje, či údaj o plošnej zrážke nie je starší ako jeden rok. Ak je údaj starší, vypočíta sa aktuálna zrážka mapy. Nová hodnota zrážky sa zapíše nad doterajší údaj s rokom určenia. Ak je nový údaj rovnaký ako predchádzajúci, napíše sa len rok preskúšania. Zrážka rozmerov súradnicovej štvorcovej siete. Na mapových listoch vybavených štvorcovou sieťou, môžeme vyšetriť zrážku mapy v pásoch štvorcovej siete, alebo osobitne pre každý štvorec (obr. 5.8). Ak sú výsledkom merania kartometricky odmerané súradnice, opravíme ich o zrážku mapy. Pri meraní je vhodné pracovať so súradnicovými rozdielmi vo vzťahu k severovýchodnému rohu najbližšieho znaku štvorcovej siete. V záujme kontroly je vhodné merať aj doplnkové súradnicové rozdiely k juhozápadnému rohu znaku štvorcovej siete. O zrážku potom opravujeme odmeraný súradnicový rozdiel podľa vzťahu 95

20 p% yi = y i + y i, (5.6) 00 q% xi = x i + x i, 00 kde y i, x i sú súradnicové rozdiely opravené o zrážku mapy, y i, x i sú odmerané súradnicové rozdiely. Pri opačnej úlohe, ak do mapového listu s jeho známou zrážkou p% a q % potrebujeme kartírovať súradnice, vypočítame súradnicové rozdiely so zrážkou mapy. p% y i = yi yi, (5.7) 00 q% x i = xi + xi x i + + v + + P i y i d p% + + q% Obr Oprava kartometricky odmeraných súradníc o zrážku mapy 5.6 Aktualizácia súboru geodetických informácií Aktualizácia súboru geodetických informácií sa vykonáva na podklade písomných, grafických a číselných údajov získaných - z rozhodnutí a iných listín, - z geometrických plánov, - z revízií údajov katastra, - prešetrovaním zmien údajov v katastri, - obnovou katastrálneho operátu, - z operátu schválených pozemkových úprav, - z iných mapových diel a číselných údajov získaných digitalizáciou grafických máp. Aktualizácia súboru geodetických informácií sa vykonáva 96

21 a) grafickou metódou v tých katastrálnych územiach, kde je spracovaná katastrálna mapa v analógovej forme. Aktualizuje sa polohopis a popis katastrálnej mapy, obsah mapy určeného operátu a obsah pracovnej mapy, b) metódou číselných výsledkov geodetických prác v tých katastrálnych územiach, kde sa spravuje mapa v analógovej forme a súčasne sa vedú číselné výsledky geodetických prác (zoznam súradníc podrobných bodov) a prehľad čísel podrobných bodov. c) interaktívnou metódou v tých katastrálnych územiach, kde sa spravuje vektorová mapa. Aktualizované sú všetky časti vektorovej mapy. Aktualizácia súboru geodetických informácií grafickou metódou sa vykonáva v tých k. ú. alebo ich častiach, kde je spracovaná katastrálna mapa v analógovej forme v rozsahu - aktualizácie polohopisu a popisu katastrálnej mapy, - aktualizácie obsahu mapy určeného operátu, - aktualizácie obsahu pracovnej mapy. Aktualizácia súboru geodetických informácií metódou číselných výsledkov sa vykonáva v k. ú. s analógovými mapami v prípade, že sú dokumentované súradnice podrobných bodov v S-JTSK a prehľad čísel podrobných bodov v rozsahu - aktualizácie zoznamu súradníc podrobných bodov, - aktualizácie prehľadov čísel podrobných bodov. Aktualizácia súboru geodetických informácií interaktívnou metódou sa vykonáva v k. ú., kde je spravovaná vektorová katastrálna mapa alebo vektorová mapa určeného operátu. Nové parcely sa vytvoria s ohľadom na charakter zmien podľa zásad Smerníc na spravovanie katastra nehnuteľností [3]. Ak parcela zanikne, nesmie sa jej číslom označiť iná novovzniknutá parcela až do doby hromadného prečíslovania parciel v k. ú Aktualizácia obsahu katastrálnej mapy grafickou metódou Zobrazovanie zmien v katastrálnej mape Zmeny v obsahu grafickej katastrálnej mapy sa zobrazujú podľa údajov podrobného merania zmien a zobrazujú sa a) pomocným spôsobom ceruzkou, b) definitívnym spôsobom tušom. Pomocným spôsobom sa zobrazia zmeny pri vyhotovovaní geometrických plánov a zmeny, ktoré slúžia na výpočet výmer parciel a ich dielov a ako podklad na definitívne zobrazenie. Zobrazenie zmien definitívnym spôsobom vykonáva správa katastra, ak ide o zmeny - zapísané do súboru popisných informácií katastrálneho operátu na základe listín v katastrálnom konaní, - trvalého charakteru a uskutočnené zmeny, ktoré sa zapíšu do súboru popisných informácií bez súhlasu alebo rozhodnutia štátneho orgánu. Zobrazenie zmien definitívnym spôsobom sa vykonáva zákresom nových hraníc, nových a zmenených parcelných čísel a značiek druhov pozemkov a názvov. Zmeny sa zobrazujú červeným tušom. Neplatné hranice, značky a názvy sa prečiarknu červeným tušom dvoma krátkymi čiarami. Definitívny zákres sa vykoná čiarou hrúbky 0,3 mm. 97

22 Presnosť zobrazenia zmien grafickou metódou V katastrálnej mape spravovanej v analógovej forme sa odmerané podrobné body zobrazujú tak, aby presnosť zobrazenia bodov charakterizovaná strednou súradnicovou chybou zobrazenia bodu neprekročila hodnotu 0,6 mm na katastrálnej mape. Stredná súradnicová chyba zobrazenia je daná v ktorom 2 2 ( m m ) m xy = 0, 5 x + y, (5.8) m x a m y sú základné stredné chyby zobrazenia bodu v smere osi X, Y. Presnosť zobrazenia zmien v katastrálnej mape posudzujeme podľa veľkosti rozdielu medzi priamo odmeranou dĺžkou medzi dvojicami podrobných bodov a dĺžkou odmeranou na mape s prihliadnutím na zrážku katastrálnej mapy. V mierkach :000, :2000 a :5000 sa presnosť posudzuje podľa kritérií uvedených v kap. 4. (vzťahy (4.) až (4.8)). Iné mierky majú osobitné kritériá (tab. 5.3) [24]. Tabuľka 5.3 Mierka Krajná odchýlka pre dĺžku katastrálnej (m) mapy do 50 m nad 50 m nad 300 m :250 0,58 0,68 - :440 0,67 0,77 - :2500,6,26 - :2880,26,47 d/200 * * d je meraná dĺžka. V prípade prekročenia krajnej odchýlky určenej pre príslušnú dĺžku spojnice, sa musí zistiť príčina prekročenia odchýlky a chyba odstrániť Postup pri zobrazovaní zmien V katastrálnej mape zobrazujeme zmeny - hraníc, - stavieb, - v popise katastrálnej mapy, - ostatných predmetov KN. Zmeny hraníc sa vykonajú - zobrazením podrobných (lomových) bodov hraníc, - zobrazením spojníc lomových bodov hraníc a mapových značiek, - prečiarknutím neplatných hraníc a ich mapových značiek. Lomové body hraníc sa v katastrálnej mape zobrazia priamo pomocou súradníc. Pri zobrazovaní sa berie do úvahy dĺžková zrážka mapového listu. Lomové body hraníc pozemkov sa zobrazia - priamym zobrazením, - nepriamym zobrazením pomocou priesvitnej fólie. 98

23 Priame zobrazenie hraníc pozemkov na katastrálnej mape sa vykoná vždy pomocou súradníc ich lomových bodov. Zobrazenie lomových bodov hraníc pozemkov nepriamym spôsobom sa vykoná postupom: a) lomové body hraníc pozemkov sa zobrazia pomocou ich súradníc na priesvitnú, rozmerovo stálu fóliu, pričom sa berie do úvahy zrážka mapového listu, b) zobrazenie v katastrálnej mape sa vykoná tak, že body meračskej siete, pripájacie body, prípadne body identických polohopisných prvkov, ktoré sú zobrazené na fólii sa navlícujú na body zobrazené na mape a lomové body hraníc pozemkov nového stavu sa jemným vpichom prenesú do mapy, ak je mapa spravovaná na priesvitnej fólii, zobrazovacia fólia so zmenou sa podloží pod mapu, navlicuje sa a zmena sa bez vpichov prekreslí na mapu. V katastrálnej mape sa zobrazujú tie stavby a ich zmeny, ktoré sú predmetom evidencie v katastri. Stavby a ich zmeny sa zobrazujú spôsobom, ktorý je závislý od druhu stavby. Ak stavba tvorí vlastnícke hranice, alebo hranicu držby, rozlišovacia úroveň podrobných výstupkov (tvarov) na odmeranie zmeny je 0, m a na zobrazenie zmeny 0,2 mm na katastrálnej mape. Ak stavba netvorí vlastnícku hranicu, alebo hranicu držby, úroveň odmerania podrobných výstupkov je 0,2 m a zobrazenia 0,2 mm na katastrálnej mape. Budovy a ich zmeny sa v katastrálnej mape zobrazujú prienikom vonkajšieho obvodu budovy so zemským povrchom a s vyznačením druhu budovy, či je horľavá alebo nehorľavá. Zmeny v popise katastrálnej mapy sa vykonávajú v tých prípadoch, ak sa zmeny údajov katastra týkajú existujúceho popisu, alebo sa mapa dopĺňa novým popisom. Nový alebo zmenený popis sa zobrazia s využitím mapových značiek, druhových označení a skratiek podľa [7]. Zmeny sa tiež vykonávajú prečiarknutím neplatného popisu (parcelného čísla) a zobrazením nového popisu (parcelného čísla) červeným tušom. Zmeny v číslach bodov polohového bodového poľa sa vykonávajú na základe dokumentácie podľa Inštrukcie na práce v polohových bodových poliach []. Čísla hraničných znakov, hraníc k. ú. a obcí sa vyznačia, doplnia alebo zmenia podľa príslušnej dokumentácie. Zmeny popisu mimo rám katastrálnej mapy sa vykonajú v prípadoch, keď nastanú podmienky na zmenu existujúceho popisu. Zobrazovanie zmien ostatných predmetov obsahu katastrálnej mapy, medzi ktoré patria zmeny značiek druhov pozemkov sa vykoná prečiarknutím neplatnej značky a zobrazením novej značky červeným tušom. Značka druhu pozemku sa umiestni v parcele nad parcelné číslo Aktualizácia súboru geodetických informácií metódou číselných výsledkov geodetických prác Aktualizácia zoznamov súradníc a prehľad čísel podrobných bodov sa vykonáva v tých k. ú. a ich častiach, ktoré sú dokumentované ako súčasť katastrálneho operátu. Aktualizáciu vykonáva správa katastra priebežne a súčasne s aktualizáciou súboru popisných informácií a s aktualizáciou obsahu katastrálnej mapy. Zoznamy súradníc podrobných bodov sa vedú v analógovej forme (vytlačené na papieri), alebo v digitálnej forme na elektronickom médiu vo forme registra súradníc. Aktualizácia zoznamu súradníc podrobných bodov sa vykonáva tak, že sa založí nová skupina označená číslom záznamu podrobného merania zmien, z ktorého sa preberú čísla bodov so súradnicami. Prečíslovanie bodov sa vykoná len v prípade existencie duplicity čísla skupiny. Zrušené podrobné body sa z registra súradníc vylúčia, v analógových zoznamoch sa prečiarknu a uložia do archívneho súboru zrušených bodov príslušného k. ú. 99

24 Prehľad čísel podrobných bodov pri aktualizácii sa vedie na kópiách alebo zväčšeninách katastrálnej mapy, alebo na kópiách náčrtov z tvorby katastrálnej mapy. Zmeny v prehľade čísel podrobných bodov sa vykonávajú súčasne s vykonaním zmien v zozname súradníc podrobných bodov. Neplatný stav kresby polohopisu mapy sa v prehľade čísel bodov prečiarkne dvoma rovnobežnými červenými čiarami. Zrušenie čísla podrobných bodov a ich značky, zrušené parcelné čísla sa prečiarknu jednou červenou čiarou. Nové hranice, značky bodov a ich čísla sa zobrazia červenou čiarou. Nové body sa očíslujú v súlade s číslovaním v zozname súradníc červene. Výsledkom aktualizácie súboru geodetických informácií metódou číselných výsledkov geodetických prác je - aktualizovaný súbor lomových bodov hraníc katastrálnych území (ak je predmetom zmeny), - aktualizovaný zoznam súradníc podrobných bodov, - aktualizovaný prehľad čísel podrobných bodov. Ostatná aktualizácia platí ako pri aktualizovaní obsahu katastrálnej mapy grafickou metódou Aktualizácia súboru geodetických informácií interaktívnou metódou Podkladom na aktualizáciu vektorovej katastrálnej mapy a vektorovej mapy určeného operátu sú písomné, grafické a číselné údaje, ktoré tvoria dokumentáciu výsledkov merania zmien a ich spracovania. Podklady môžu mať formu a) grafickú, odovzdanú do dokumentácie pred vyhlásením platnosti vektorovej katastrálnej mapy, alebo vektorovej mapy určeného operátu, b) digitálnu v pamäti PC, c) vektorovú, ktorú tvorí výkres vo výmennom formáte. Podklady v digitálnom tvare tvoria digitálny geodetický podklad. Podklady vo vektorovom tvare tvoria vektorový geodetický podklad. Aktualizácia sa vykonáva postupne podľa výkresov sprístupnením výkresu vektorovej katastrálnej mapy a výkresu vektorového geodetického podkladu v jednotlivých vrstvách (KLADPAR, ZAPPAR, LINIE, ZNACKY, POPIS, POLYGON, ZUOB, KATUZ). Aktualizáciu vykonáva správa katastra. Čísla podrobných bodov aktualizačných výkresov sa preberú z aktualizačného záznamu podrobného merania zmien. V prípade duplicity čísel záznamov podrobného merania zmien sa body prečíslujú vo vektorovom geodetickom podklade ešte pred aktualizáciou. Výsledkom aktualizácie interaktívnou metódou sú aktualizované výkresy na pamäťovom médiu PC. Po vykonaní aktualizácie sa vykoná automatizovaná kontrola vektorovej katastrálnej mapy kontrolným programom. Prípadné nedostatky sa odstránia. Výkresy vektorového geodetického podkladu, z ktorých bola vykonaná aktualizácia, archivuje správa katastra v archíve výkresov premietnutých do vektorovej katastrálnej mapy. 00

Obvod a obsah štvoruholníka

Obvod a obsah štvoruholníka Obvod a štvoruholníka D. Štyri body roviny z ktorých žiadne tri nie sú kolineárne (neležia na jednej priamke) tvoria jeden štvoruholník. Tie body (A, B, C, D) sú vrcholy štvoruholníka. strany štvoruholníka

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. časť: Analytická geometria

Matematika 2. časť: Analytická geometria Matematika 2 časť: Analytická geometria RNDr. Jana Pócsová, PhD. Ústav riadenia a informatizácie výrobných procesov Fakulta BERG Technická univerzita v Košiciach e-mail: jana.pocsova@tuke.sk Súradnicové

Διαβάστε περισσότερα

1. písomná práca z matematiky Skupina A

1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. písomná práca z matematiky Skupina A 1. Vypočítajte : a) 84º 56 + 32º 38 = b) 140º 53º 24 = c) 55º 12 : 2 = 2. Vypočítajte zvyšné uhly na obrázku : β γ α = 35 12 δ a b 3. Znázornite na číselnej osi

Διαβάστε περισσότερα

U s m e r n e n i e. Úrad geodézie, kartografie a katastra Slovenskej republiky vydáva toto usmernenie: Čl. I Účel usmernenia

U s m e r n e n i e. Úrad geodézie, kartografie a katastra Slovenskej republiky vydáva toto usmernenie: Čl. I Účel usmernenia U s m e r n e n i e Úradu geodézie, kartografie a katastra Slovenskej republiky č. USM_UGKK SR_10/2013, zo dňa 19. 04. 2013, ktorým sa ustanovuje obsah a forma podkladov na aktualizáciu súboru geodetických

Διαβάστε περισσότερα

7. VYTYČOVANIE HRANÍC POZEMKOV

7. VYTYČOVANIE HRANÍC POZEMKOV 7. VYTYČOVANIE HRANÍC POZEMKOV Vytyčovanie hraníc pozemkov predstavuje geodetický úkon, ktorým sa v teréne vyznačí poloha lomových bodov hranice pozemku, prípadne inej hranice (napr. správnej hranice,

Διαβάστε περισσότερα

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE

7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE 7. FUNKCIE POJEM FUNKCIE Funkcia f reálnej premennej je : - každé zobrazenie f v množine všetkých reálnych čísel; - množina f všetkých usporiadaných dvojíc[,y] R R pre ktorú platí: ku každému R eistuje

Διαβάστε περισσότερα

SLOVENSKEJ REPUBLIKY

SLOVENSKEJ REPUBLIKY ZBIERKA ZÁKONOV SLOVENSKEJ REPUBLIKY Ročník 2009 Vyhlásené: 19.11.2009 Časová verzia predpisu účinná od: 01.05.2013 Obsah tohto dokumentu má informatívny charakter. 461 V Y H L Á Š K A Úradu geodézie,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie

Matematika Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Matematika 2-01 Funkcia viac premenných, Parciálne derivácie Euklidovská metrika na množine R n všetkých usporiadaných n-íc reálnych čísel je reálna funkcia ρ: R n R n R definovaná nasledovne: Ak X = x

Διαβάστε περισσότερα

ÚLOHA Č.8 ODCHÝLKY TVARU A POLOHY MERANIE PRIAMOSTI A KOLMOSTI

ÚLOHA Č.8 ODCHÝLKY TVARU A POLOHY MERANIE PRIAMOSTI A KOLMOSTI ÚLOHA Č.8 ODCHÝLKY TVARU A POLOHY MERANIE PRIAMOSTI A KOLMOSTI 1. Zadanie: Určiť odchýlku kolmosti a priamosti meracej prizmy prípadne vzorovej súčiastky. 2. Cieľ merania: Naučiť sa merať na špecializovaných

Διαβάστε περισσότερα

SMERNICA NA EVIDOVANIE ROZSAHU VECNÉHO BREMENA V SÚBORE GEODETICKÝCH INFORMÁCIÍ KATASTRA NEHNUTEĽNOSTÍ

SMERNICA NA EVIDOVANIE ROZSAHU VECNÉHO BREMENA V SÚBORE GEODETICKÝCH INFORMÁCIÍ KATASTRA NEHNUTEĽNOSTÍ ÚRAD GEODÉZIE, KARTOGRAFIE A KATASTRA SLOVENSKEJ REPUBLIKY O-84.11.13.31.31.00-16 SMERNICA NA EVIDOVANIE ROZSAHU VECNÉHO BREMENA V SÚBORE GEODETICKÝCH INFORMÁCIÍ KATASTRA NEHNUTEĽNOSTÍ BRATISLAVA 2016

Διαβάστε περισσότερα

UČEBNÉ TEXTY. Pracovný zošit č.2. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Elektrotechnické merania. Ing. Alžbeta Kršňáková

UČEBNÉ TEXTY. Pracovný zošit č.2. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Elektrotechnické merania. Ing. Alžbeta Kršňáková Stredná priemyselná škola dopravná, Sokolská 911/94, 960 01 Zvolen Kód ITMS projektu: 26110130667 Názov projektu: Zvyšovanie flexibility absolventov v oblasti dopravy UČEBNÉ TEXTY Pracovný zošit č.2 Vzdelávacia

Διαβάστε περισσότερα

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop

Start. Vstup r. O = 2*π*r S = π*r*r. Vystup O, S. Stop. Start. Vstup P, C V = P*C*1,19. Vystup V. Stop 1) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet obvodu kruhu. O=2xπxr ; S=πxrxr Vstup r O = 2*π*r S = π*r*r Vystup O, S 2) Vytvorte algoritmus (vývojový diagram) na výpočet celkovej ceny výrobku s

Διαβάστε περισσότερα

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009

Prechod z 2D do 3D. Martin Florek 3. marca 2009 Počítačová grafika 2 Prechod z 2D do 3D Martin Florek florek@sccg.sk FMFI UK 3. marca 2009 Prechod z 2D do 3D Čo to znamená? Ako zobraziť? Súradnicové systémy Čo to znamená? Ako zobraziť? tretia súradnica

Διαβάστε περισσότερα

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita

KATEDRA DOPRAVNEJ A MANIPULAČNEJ TECHNIKY Strojnícka fakulta, Žilinská Univerzita 132 1 Absolútna chyba: ) = - skut absolútna ochýlka: ) ' = - spr. relatívna chyba: alebo Chyby (ochýlky): M systematické, M náhoné, M hrubé. Korekcia: k = spr - = - Î' pomerná korekcia: Správna honota:

Διαβάστε περισσότερα

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava

Priamkové plochy. Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy Priamkové plochy Ak každým bodom plochy Φ prechádza aspoň jedna priamka, ktorá (celá) na nej leží potom plocha Φ je priamková. Santiago Calatrava Priamkové plochy rozdeľujeme na: Rozvinuteľné

Διαβάστε περισσότερα

Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení

Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Výpočet lineárneho stratového súčiniteľa tepelného mosta vzťahujúceho sa k vonkajším rozmerom: Ψ e podľa STN EN ISO 10211 Návrh vzduchotesnosti pre detaily napojení Objednávateľ: Ing. Natália Voltmannová

Διαβάστε περισσότερα

2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania

2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania 2 Chyby a neistoty merania, zápis výsledku merania Akej chyby sa môžeme dopustiť pri meraní na stopkách? Ako určíme ich presnosť? Základné pojmy: chyba merania, hrubé chyby, systematické chyby, náhodné

Διαβάστε περισσότερα

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie

Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Cvičenie č. 4,5 Limita funkcie Definícia ity Limita funkcie (vlastná vo vlastnom bode) Nech funkcia f je definovaná na nejakom okolí U( ) bodu. Hovoríme, že funkcia f má v bode itu rovnú A, ak ( ε > )(

Διαβάστε περισσότερα

11. U R O V A N I E P L Ô C H A O B J E M O V Z E M N Ý C H P R Á C

11. U R O V A N I E P L Ô C H A O B J E M O V Z E M N Ý C H P R Á C . U R O V A N I E P L Ô C H A O B J E M O V Z E M N Ý C H P R Á C astou úlohou stavebnej i geodetickej praxe je urova plochy horizontálnych alebo vertikálnych obrazcov, ktoré sme zamerali a vyjadrili v

Διαβάστε περισσότερα

8. TRANSFORMÁCIA SÚRADNÍC

8. TRANSFORMÁCIA SÚRADNÍC 8. TRANSFORMÁCIA SÚRADNÍC V geodetickej pra je častou úlohou zmeniť súradnice bodov bez toho aby sa zmenila ich poloha na zemskom povrchu. Zmenu súradníc označujeme pojmom transformácia. Transformácia

Διαβάστε περισσότερα

REZISTORY. Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických

REZISTORY. Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických REZISTORY Rezistory (súčiastky) sú pasívne prvky. Používajú sa vo všetkých elektrických obvodoch. Základnou vlastnosťou rezistora je jeho odpor. Odpor je fyzikálna vlastnosť, ktorá je daná štruktúrou materiálu

Διαβάστε περισσότερα

Základy metodológie vedy I. 9. prednáška

Základy metodológie vedy I. 9. prednáška Základy metodológie vedy I. 9. prednáška Triedenie dát: Triedny znak - x i Absolútna početnosť n i (súčet všetkých absolútnych početností sa rovná rozsahu súboru n) ni fi = Relatívna početnosť fi n (relatívna

Διαβάστε περισσότερα

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny

24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny 24. Základné spôsoby zobrazovania priestoru do roviny Voľné rovnobežné premietanie Presné metódy zobrazenia trojrozmerného priestoru do dvojrozmernej roviny skúma samostatná matematická disciplína, ktorá

Διαβάστε περισσότερα

Analýza technológie spravovania súboru geodetických informácií katastra nehnuteľností a zhotovovania geometrických plánov po 1. 4.

Analýza technológie spravovania súboru geodetických informácií katastra nehnuteľností a zhotovovania geometrických plánov po 1. 4. Analýza technológie spravovania súboru geodetických informácií katastra nehnuteľností a zhotovovania geometrických plánov po 1. 4. 2011 1. Úvod Cieľom materiálu je zhodnotiť súčasnú situáciu spravovania

Διαβάστε περισσότερα

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky,

,Zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Farba skupiny: zelená Označenie úlohy:,zohrievanie vody indukčným varičom bez pokrievky, Úloha: Zistiť, ako závisí účinnosť zohrievania vody na indukčnom variči od priemeru použitého hrnca. Hypotéza: Účinnosť

Διαβάστε περισσότερα

Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT

Metodicko pedagogické centrum. Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH ZAMESTNANCOV K INKLÚZII MARGINALIZOVANÝCH RÓMSKYCH KOMUNÍT Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť / Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ Kód ITMS: 26130130051 číslo zmluvy: OPV/24/2011 Metodicko pedagogické centrum Národný projekt VZDELÁVANÍM PEDAGOGICKÝCH

Διαβάστε περισσότερα

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej

1. Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej . Limita, spojitost a diferenciálny počet funkcie jednej premennej Definícia.: Hromadný bod a R množiny A R: v každom jeho okolí leží aspoň jeden bod z množiny A, ktorý je rôzny od bodu a Zadanie množiny

Διαβάστε περισσότερα

Ekvačná a kvantifikačná logika

Ekvačná a kvantifikačná logika a kvantifikačná 3. prednáška (6. 10. 004) Prehľad 1 1 (dokončenie) ekvačných tabliel Formula A je ekvačne dokázateľná z množiny axióm T (T i A) práve vtedy, keď existuje uzavreté tablo pre cieľ A ekvačných

Διαβάστε περισσότερα

C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém

C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C. Kontaktný fasádny zatepľovací systém C.1. Tepelná izolácia penový polystyrén C.2. Tepelná izolácia minerálne dosky alebo lamely C.3. Tepelná izolácia extrudovaný polystyrén C.4. Tepelná izolácia penový

Διαβάστε περισσότερα

23. Zhodné zobrazenia

23. Zhodné zobrazenia 23. Zhodné zobrazenia Zhodné zobrazenie sa nazýva zhodné ak pre každé dva vzorové body X,Y a ich obrazy X,Y platí: X,Y = X,Y {Vzdialenosť vzorov sa rovná vzdialenosti obrazov} Medzi zhodné zobrazenia patria:

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice

Goniometrické rovnice a nerovnice. Základné goniometrické rovnice Goniometrické rovnice a nerovnice Definícia: Rovnice (nerovnice) obsahujúce neznámu x alebo výrazy s neznámou x ako argumenty jednej alebo niekoľkých goniometrických funkcií nazývame goniometrickými rovnicami

Διαβάστε περισσότερα

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad

Matematika prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Matematika 3-13. prednáška 4 Postupnosti a rady 4.5 Funkcionálne rady - mocninové rady - Taylorov rad, MacLaurinov rad Erika Škrabul áková F BERG, TU Košice 15. 12. 2015 Erika Škrabul áková (TUKE) Taylorov

Διαβάστε περισσότερα

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou

M6: Model Hydraulický systém dvoch zásobníkov kvapaliny s interakciou M6: Model Hydraulický ytém dvoch záobníkov kvapaliny interakciou Úlohy:. Zotavte matematický popi modelu Hydraulický ytém. Vytvorte imulačný model v jazyku: a. Matlab b. imulink 3. Linearizujte nelineárny

Διαβάστε περισσότερα

Odporníky. 1. Príklad1. TESLA TR

Odporníky. 1. Príklad1. TESLA TR Odporníky Úloha cvičenia: 1.Zistite technické údaje odporníkov pomocou katalógov 2.Zistite menovitú hodnotu odporníkov označených farebným kódom Schématická značka: 1. Príklad1. TESLA TR 163 200 ±1% L

Διαβάστε περισσότερα

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A

Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Projekt je spolufinancovaný zo zdrojov EÚ M A T E M A T I K A M A T E M A T I K A PRACOVNÝ ZOŠIT II. ROČNÍK Mgr. Agnesa Balážová Obchodná akadémia, Akademika Hronca 8, Rožňava PRACOVNÝ LIST 1 Urč typ kvadratickej rovnice : 1. x 2 3x = 0... 2. 3x 2 = - 2... 3. -4x

Διαβάστε περισσότερα

1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2

1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 1 Prevod miestneho stredného slnečného času LMT 1 na iný miestny stredný slnečný čas LMT 2 Rozdiel LMT medzi dvoma miestami sa rovná rozdielu ich zemepisných dĺžok. Pre prevod miestnych časov platí, že

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť.

Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín. Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Kontrolné otázky na kvíz z jednotiek fyzikálnych veličín Upozornenie: Umiestnenie správnej a nesprávnych odpovedí sa môže v teste meniť. Ktoré fyzikálne jednotky zodpovedajú sústave SI: a) Dĺžka, čas,

Διαβάστε περισσότερα

3. Striedavé prúdy. Sínusoida

3. Striedavé prúdy. Sínusoida . Striedavé prúdy VZNIK: Striedavý elektrický prúd prechádza obvodom, ktorý je pripojený na zdroj striedavého napätia. Striedavé napätie vyrába synchrónny generátor, kde na koncoch rotorového vinutia sa

Διαβάστε περισσότερα

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1

Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia 1 Komplexné čísla, Diskrétna Fourierova transformácia Komplexné čísla C - množina všetkých komplexných čísel komplexné číslo: z = a + bi, kde a, b R, i - imaginárna jednotka i =, t.j. i =. komplexne združené

Διαβάστε περισσότερα

1. Trojuholník - definícia

1. Trojuholník - definícia 1. Trojuholník - definícia Trojuholník ABC sa nazýva množina takých bodov, ktoré ležia súčasne v polrovinách ABC, BCA a CAB, kde body A, B, C sú body neležiace na jednej priamke.. Označenie základných

Διαβάστε περισσότερα

A.G.K Inžinierska geodézia. Zborník príspevkov. s tematickým zameraním. 9. júna Bratislava

A.G.K Inžinierska geodézia. Zborník príspevkov. s tematickým zameraním. 9. júna Bratislava A.G.K.2015 s tematickým zameraním Inžinierska geodézia Zborník príspevkov 9. júna 2015 Bratislava Odborný garant: prof. Ing. Alojz Kopáčik, PhD. Organizačný garant: Ing. Peter Kyrinovič, PhD. Organizačný

Διαβάστε περισσότερα

Súradnicová sústava (karteziánska)

Súradnicová sústava (karteziánska) Súradnicová sústava (karteziánska) = sú to na seba kolmé priamky (osi) prechádzajúce jedným bodom, na všetkých osiach sú jednotky rovnakej dĺžky-karteziánska sústava zavedieme ju nasledovne 1. zvolíme

Διαβάστε περισσότερα

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy

Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Jednotkový koreň (unit root), diferencovanie časového radu, unit root testy Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2012/2013 Jednotkový koreň(unit root),diferencovanie časového radu, unit root testy p.1/18

Διαβάστε περισσότερα

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm

PRIEMER DROTU d = 0,4-6,3 mm PRUŽINY PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY VIAC AKO 200 RUHOV SKRUTNÝCH PRUŽÍN PRIEMER ROTU d = 0,4-6,3 mm èíslo 3.0 22.8.2008 8:28:57 22.8.2008 8:28:58 PRUŽINY SKRUTNÉ PRUŽINY TECHNICKÉ PARAMETRE h d L S Legenda

Διαβάστε περισσότερα

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie

MIDTERM (A) riešenia a bodovanie MIDTERM (A) riešenia a bodovanie 1. (7b) Nech vzhl adom na štandardnú karteziánsku sústavu súradníc S 1 := O, e 1, e 2 majú bod P a vektory u, v súradnice P = [0, 1], u = e 1, v = 2 e 2. Aký predpis bude

Διαβάστε περισσότερα

Obvod a obsah rovinných útvarov

Obvod a obsah rovinných útvarov Obvod a obsah rovinných útvarov Z topologického hľadiska bod môže byť vnútorný, hraničný a vonkajší vzhľadom na nejaký rovinný útvar. D. Bod je vnútorný, ak môžeme nájsť taký polomer r, že kruh so stredom

Διαβάστε περισσότερα

UČEBNÉ TEXTY. Pracovný zošit č.5. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Elektrotechnické merania. Ing. Alžbeta Kršňáková

UČEBNÉ TEXTY. Pracovný zošit č.5. Moderné vzdelávanie pre vedomostnú spoločnosť Elektrotechnické merania. Ing. Alžbeta Kršňáková Stredná priemyselná škola dopravná, Sokolská 911/94, 960 01 Zvolen Kód ITMS projektu: 26110130667 Názov projektu: Zvyšovanie flexibility absolventov v oblasti dopravy UČEBNÉ TEXTY Pracovný zošit č.5 Vzdelávacia

Διαβάστε περισσότερα

Povrch a objem ihlana

Povrch a objem ihlana Povrch a objem ihlana D. Daný je mnohouholník (riadiaci alebo určujúci útvar) a jeden bod (vrchol), ktorý neleží v rovine mnohouholníka. Ak hraničnými bodmi mnohouholníka (stranami) vedieme polpriamky

Διαβάστε περισσότερα

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010.

Motivácia Denícia determinantu Výpo et determinantov Determinant sú inu matíc Vyuºitie determinantov. Determinanty. 14. decembra 2010. 14. decembra 2010 Rie²enie sústav Plocha rovnobeºníka Objem rovnobeºnostena Rie²enie sústav Príklad a 11 x 1 + a 12 x 2 = c 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 = c 2 Dostaneme: x 1 = c 1a 22 c 2 a 12 a 11 a 22 a 12

Διαβάστε περισσότερα

9.4 KONŠTRUKCIA MÁP Konštrukcia mapového listu v grafickej podobe

9.4 KONŠTRUKCIA MÁP Konštrukcia mapového listu v grafickej podobe Vyžadovaná presnos podrobného merania vymedzuje použitie tej-ktorej metódy merania polohopisu a výškopisu. Nájdením optimálneho pomeru medzi vyžadovanou presnosou a dosiahnutenou presnosou metódy merania

Διαβάστε περισσότερα

9 Planimetria. identifikovať rovinné geometrické útvary a ich vlastnosti, vysvetliť podstatu merania obvodu a obsahu rovinných útvarov,

9 Planimetria. identifikovať rovinné geometrické útvary a ich vlastnosti, vysvetliť podstatu merania obvodu a obsahu rovinných útvarov, 9 Planimetria Ciele Preštudovanie tejto kapitoly vám lepšie umožní: identifikovať rovinné geometrické útvary a ich vlastnosti, vysvetliť podstatu merania obvodu a obsahu rovinných útvarov, používať jednotky

Διαβάστε περισσότερα

9. M E T Ó D Y P O D R O B N É H O M E R A N I A

9. M E T Ó D Y P O D R O B N É H O M E R A N I A 9. M E T Ó D Y P O D R O B N É H O M E R A N I A Podrobné meranie predstavuje zameranie polohopisu a výškopisu uritej asti zemského povrchu za úelom vyhotovenia mapy. Zobrazením výsledkov merania vzniká

Διαβάστε περισσότερα

ZÁKLADNÁ MAPA DIAĽNICE VYHOTOVENIE, ÚDRŽBA A OBNOVA

ZÁKLADNÁ MAPA DIAĽNICE VYHOTOVENIE, ÚDRŽBA A OBNOVA Ministerstvo dopravy pôšt a telekomunikácií SR Sekcia cestnej dopravy a pozemných komunikácií TP 07/2010 TECHNICKÉ PODMIENKY ZÁKLADNÁ MAPA DIAĽNICE VYHOTOVENIE, ÚDRŽBA A OBNOVA účinnosť od: 1. 8. 2010

Διαβάστε περισσότερα

16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh

16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh 16. Základne rovinné útvary kružnica a kruh Kružnica k so stredom S a polomerom r nazývame množinou všetkých bodov X v rovine, ktoré majú od pevného bodu S konštantnú vzdialenosť /SX/ = r, kde r (patri)

Διαβάστε περισσότερα

Podnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 %

Podnikateľ 90 Mobilný telefón Cena 95 % 50 % 25 % Podnikateľ 90 Samsung S5230 Samsung C3530 Nokia C5 Samsung Shark Slider S3550 Samsung Xcover 271 T-Mobile Pulse Mini Sony Ericsson ZYLO Sony Ericsson Cedar LG GM360 Viewty Snap Nokia C3 Sony Ericsson ZYLO

Διαβάστε περισσότερα

KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE

KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE H KATALÓG KRUHOVÉ POTRUBIE 0 Základné požiadavky zadávania VZT potrubia pre výrobu 1. Zadávanie do výroby v spoločnosti APIAGRA s.r.o. V digitálnej forme na tlačive F05-8.0_Rozpis_potrubia, zaslané mailom

Διαβάστε περισσότερα

RIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA

RIEŠENIE WHEATSONOVHO MOSTÍKA SNÁ PMYSLNÁ ŠKOL LKONKÁ V PŠŤNO KOMPLXNÁ PÁ Č. / ŠN WSONOVO MOSÍK Piešťany, október 00 utor : Marek eteš. Komplexná práca č. / Strana č. / Obsah:. eoretický rozbor Wheatsonovho mostíka. eoretický rozbor

Διαβάστε περισσότερα

Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla

Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti rozvodu tepla Rozsah hodnotenia a spôsob výpočtu energetickej účinnosti príloha č. 7 k vyhláške č. 428/2010 Názov prevádzkovateľa verejného : Spravbytkomfort a.s. Prešov Adresa: IČO: Volgogradská 88, 080 01 Prešov 31718523

Διαβάστε περισσότερα

Rozdiely vo vnútornej štruktúre údajov = tvarové charakteristiky

Rozdiely vo vnútornej štruktúre údajov = tvarové charakteristiky Veľkosť Varablta Rozdelene 0 00 80 n 60 40 0 0 0 4 6 8 Tredy 0 Rozdely vo vnútornej štruktúre údajov = tvarové charakterstky I CHARAKTERISTIKY PREMELIVOSTI Artmetcký premer Vzťahy pre výpočet artmetckého

Διαβάστε περισσότερα

Reprezentácia informácií v počítači

Reprezentácia informácií v počítači Úvod do programovania a sietí Reprezentácia informácií v počítači Ing. Branislav Sobota, PhD. 2007 Informácia slovo s mnohými významami, ktoré závisia na kontexte predpis blízky pojmom význam poznatok

Διαβάστε περισσότερα

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky

Úvod do lineárnej algebry. Monika Molnárová Prednášky Úvod do lineárnej algebry Monika Molnárová Prednášky 2006 Prednášky: 3 17 marca 2006 4 24 marca 2006 c RNDr Monika Molnárová, PhD Obsah 2 Sústavy lineárnych rovníc 25 21 Riešenie sústavy lineárnych rovníc

Διαβάστε περισσότερα

AerobTec Altis Micro

AerobTec Altis Micro AerobTec Altis Micro Záznamový / súťažný výškomer s telemetriou Výrobca: AerobTec, s.r.o. Pionierska 15 831 02 Bratislava www.aerobtec.com info@aerobtec.com Obsah 1.Vlastnosti... 3 2.Úvod... 3 3.Princíp

Διαβάστε περισσότερα

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky

Chí kvadrát test dobrej zhody. Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky Chí kvadrát test dobrej zhody Metódy riešenia úloh z pravdepodobnosti a štatistiky www.iam.fmph.uniba.sk/institute/stehlikova Test dobrej zhody I. Chceme overiť, či naše dáta pochádzajú z konkrétneho pravdep.

Διαβάστε περισσότερα

2 Základy vektorového počtu

2 Základy vektorového počtu 21 2 Základy vektorového počtu Fyzikálne veličíny sa dajú rozdeliť do dvoch skupín. Prvú skupinu fyzikálnych veličín tvoria tie, pre ktorých jednoznačné určenie postačí poznať veľkosť danej fyzikálnej

Διαβάστε περισσότερα

Technické problémy. UPOZORNENIE: Uvedené riešenia právnych problémov majú pre činnosť SK v rámci Trnavského kraja len odporúčajúci charakter!

Technické problémy. UPOZORNENIE: Uvedené riešenia právnych problémov majú pre činnosť SK v rámci Trnavského kraja len odporúčajúci charakter! Technické problémy 1. Zápis č.to 1/2005 2. Zápis č.to 2/2005 3. Zápis č.to 3/2005 4. Zápis č.k 1/2004 5. Zápis č.k 2/2005 6. Zápis č.to 1/2006 7. Zápis č.to 2/2006 8. Zápis č.to 1/2007 9. Zápis č.to 1/2007

Διαβάστε περισσότερα

MOSTÍKOVÁ METÓDA 1.ÚLOHA: 2.OPIS MERANÉHO PREDMETU: 3.TEORETICKÝ ROZBOR: 4.SCHÉMA ZAPOJENIA:

MOSTÍKOVÁ METÓDA 1.ÚLOHA: 2.OPIS MERANÉHO PREDMETU: 3.TEORETICKÝ ROZBOR: 4.SCHÉMA ZAPOJENIA: 1.ÚLOHA: MOSTÍKOVÁ METÓDA a, Odmerajte odpory predložených rezistorou pomocou Wheastonovho mostíka. b, Odmerajte odpory predložených rezistorou pomocou Mostíka ICOMET. c, Odmerajte odpory predložených

Διαβάστε περισσότερα

Model redistribúcie krvi

Model redistribúcie krvi .xlsx/pracovný postup Cieľ: Vyhodnoťte redistribúciu krvi na začiatku cirkulačného šoku pomocou modelu založeného na analógii s elektrickým obvodom. Úlohy: 1. Simulujte redistribúciu krvi v ľudskom tele

Διαβάστε περισσότερα

Tomáš Madaras Prvočísla

Tomáš Madaras Prvočísla Prvočísla Tomáš Madaras 2011 Definícia Nech a Z. Čísla 1, 1, a, a sa nazývajú triviálne delitele čísla a. Cele číslo a / {0, 1, 1} sa nazýva prvočíslo, ak má iba triviálne delitele; ak má aj iné delitele,

Διαβάστε περισσότερα

Meranie na jednofázovom transformátore

Meranie na jednofázovom transformátore Fakulta elektrotechniky a informatiky TU v Košiciach Katedra elektrotechniky a mechatroniky Meranie na jednofázovom transformátore Návod na cvičenia z predmetu Elektrotechnika Meno a priezvisko :..........................

Διαβάστε περισσότερα

Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich

Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich Tuesday 15 th January, 2013, 19:53 Základy tenzorového počtu M.Gintner Vektorový priestor V : Množina prvkov (vektory), na ktorej je definované ich sčítanie a ich násobenie reálnym číslom tak, že platí:

Διαβάστε περισσότερα

NARIADENIE KOMISIE (EÚ)

NARIADENIE KOMISIE (EÚ) 30.11.2011 Úradný vestník Európskej únie L 317/17 NARIADENIE KOMISIE (EÚ) č. 1235/2011 z 29. novembra 2011, ktorým sa mení a dopĺňa nariadenie Európskeho parlamentu a Rady (ES) č. 1222/2009, pokiaľ ide

Διαβάστε περισσότερα

SLUŽBY KATASTRA NEHNUTEĘNOSTÍ PRE LAICKÚ I ODBORNÚ VEREJNOSĪ

SLUŽBY KATASTRA NEHNUTEĘNOSTÍ PRE LAICKÚ I ODBORNÚ VEREJNOSĪ Úrad geodézie, kartografie a katastra Slovenskej republiky SLUŽBY KATASTRA NEHNUTEĘNOSTÍ PRE LAICKÚ I ODBORNÚ VEREJNOSĪ Hradec Králové, 4. 5. apríl 2016 ŠUPPOVÁ I. Konferencia Internet ve státní správě

Διαβάστε περισσότερα

Súčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =.

Súčtové vzorce. cos (α + β) = cos α.cos β sin α.sin β cos (α β) = cos α.cos β + sin α.sin β. tg (α β) = cotg (α β) =. Súčtové vzorce Súčtové vzorce sú goniometrické hodnoty súčtov a rozdielov dvoch uhlov Sem patria aj goniometrické hodnoty dvojnásobného a polovičného uhla a pridám aj súčet a rozdiel goniometrických funkcií

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTRICKÉ POLE. Elektrický náboj je základná vlastnosť častíc, je viazaný na častice látky a vyjadruje stav elektricky nabitých telies.

ELEKTRICKÉ POLE. Elektrický náboj je základná vlastnosť častíc, je viazaný na častice látky a vyjadruje stav elektricky nabitých telies. ELEKTRICKÉ POLE 1. ELEKTRICKÝ NÁBOJ, COULOMBOV ZÁKON Skúmajme napr. trenie celuloidového pravítka látkou, hrebeň suché vlasy, mikrotén slabý prúd vody... Príčinou spomenutých javov je elektrický náboj,

Διαβάστε περισσότερα

Margita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a )

Margita Vajsáblová. ρ priemetňa, s smer premietania. Súradnicová sústava (O, x, y, z ) (O a, x a, y a, z a ) Mrgit Váblová Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 101 Zákldné pom v onometrii Váblová, M: Dekriptívn geometri pre GK 102 Definíci 1: onometri e rovnobežné premietnie bodov Ε 3 polu prvouhlým úrdnicovým

Διαβάστε περισσότερα

HASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S

HASLIM112V, HASLIM123V, HASLIM136V HASLIM112Z, HASLIM123Z, HASLIM136Z HASLIM112S, HASLIM123S, HASLIM136S PROUKTOVÝ LIST HKL SLIM č. sklad. karty / obj. číslo: HSLIM112V, HSLIM123V, HSLIM136V HSLIM112Z, HSLIM123Z, HSLIM136Z HSLIM112S, HSLIM123S, HSLIM136S fakturačný názov výrobku: HKL SLIMv 1,2kW HKL SLIMv

Διαβάστε περισσότερα

Pevné ložiská. Voľné ložiská

Pevné ložiská. Voľné ložiská SUPPORTS D EXTREMITES DE PRECISION - SUPPORT UNIT FOR BALLSCREWS LOŽISKA PRE GULIČKOVÉ SKRUTKY A TRAPÉZOVÉ SKRUTKY Výber správnej podpory konca uličkovej skrutky či trapézovej skrutky je dôležité pre správnu

Διαβάστε περισσότερα

Akumulátory. Membránové akumulátory Vakové akumulátory Piestové akumulátory

Akumulátory. Membránové akumulátory Vakové akumulátory Piestové akumulátory www.eurofluid.sk 20-1 Membránové akumulátory... -3 Vakové akumulátory... -4 Piestové akumulátory... -5 Bezpečnostné a uzatváracie bloky, príslušenstvo... -7 Hydromotory 20 www.eurofluid.sk -2 www.eurofluid.sk

Διαβάστε περισσότερα

Zhodné zobrazenia (izometria)

Zhodné zobrazenia (izometria) Zobrazenie A, B R R (zobrazenie v rovine) usporiadaná dvojica bodov dva body v danom poradí (záleží na poradí) zápis: [a; b] alebo (a; b) karteziánsky (kartézsky) súčin množín množina všetkých usporiadaných

Διαβάστε περισσότερα

Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK

Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM II Úloha č.:...xviii... Název: Prechodové javy v RLC obvode Vypracoval:... Viktor Babjak... stud. sk... F.. dne... 6.. 005

Διαβάστε περισσότερα

Servopohon vzduchotechnických klapiek 8Nm, 16Nm, 24Nm

Servopohon vzduchotechnických klapiek 8Nm, 16Nm, 24Nm Servopohon vzduchotechnických klapiek 8Nm, 16Nm, 24Nm Spoločnosť LUFBERG predstavuje servopohony s krútiacim momentom 8Nm, 16Nm, 24Nm pre použitie v systémoch vykurovania, ventilácie a chladenia. Vysoko

Διαβάστε περισσότερα

AFINNÉ TRANSFORMÁCIE

AFINNÉ TRANSFORMÁCIE AFINNÉ TRANSFORMÁCIE Definícia0..Zobrazenie f: R n R m sanazývaafinné,ak zachováva kolinearitu(t.j. priamka sa zobrazí buď na priamku alebo na jeden bod), zachovávadeliacipomer(t.j.akprekolineárnebody

Διαβάστε περισσότερα

Goniometrické funkcie

Goniometrické funkcie Goniometrické funkcie Oblúková miera Goniometrické funkcie sú funkcie, ktoré sa používajú pri meraní uhlov (Goniometria Meranie Uhla). Pri týchto funkciách sa uvažuje o veľkostiach uhlov udaných v oblúkovej

Διαβάστε περισσότερα

8. M A P O V É P O D K L A D Y P R E P R O J E K T O V Ú D O K U M E N T Á C I U

8. M A P O V É P O D K L A D Y P R E P R O J E K T O V Ú D O K U M E N T Á C I U 8. M A P O V É P O D K L A D Y P R E P R O J E K T O V Ú D O K U M E N T Á C I U Požiadavky investinej výstavby na projektovú dokumentáciu a realizáciu stavebných objektov sú orientované na zaistenie kvalitných

Διαβάστε περισσότερα

ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3

ZADANIE 1_ ÚLOHA 3_Všeobecná rovinná silová sústava ZADANIE 1 _ ÚLOHA 3 ZDNIE _ ÚLOH 3_Všeobecná rovinná silová sústv ZDNIE _ ÚLOH 3 ÚLOH 3.: Vypočítjte veľkosti rekcií vo väzbách nosník zťženého podľ obrázku 3.. Veľkosti známych síl, momentov dĺžkové rozmery sú uvedené v

Διαβάστε περισσότερα

3. prednáška. Komplexné čísla

3. prednáška. Komplexné čísla 3. predáška Komplexé čísla Úvodé pozámky Vieme, že existujú také kvadratické rovice, ktoré emajú riešeie v obore reálych čísel. Študujme kvadratickú rovicu x x + 5 = 0 Použitím štadardej formule pre výpočet

Διαβάστε περισσότερα

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8

Obsah. 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti... 7 1.1.1 Komplexné čísla... 8 Obsah 1 Číselné obory 7 1.1 Reálne čísla a ich základné vlastnosti............................ 7 1.1.1 Komplexné čísla................................... 8 1.2 Číselné množiny.......................................

Διαβάστε περισσότερα

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu

6 Limita funkcie. 6.1 Myšlienka limity, interval bez bodu 6 Limita funkcie 6 Myšlienka ity, interval bez bodu Intuitívna myšlienka ity je prirodzená, ale definovať presne pojem ity je značne obtiažne Nech f je funkcia a nech a je reálne číslo Čo znamená zápis

Διαβάστε περισσότερα

Rozsah akreditácie 1/5. Príloha zo dňa k osvedčeniu o akreditácii č. K-003

Rozsah akreditácie 1/5. Príloha zo dňa k osvedčeniu o akreditácii č. K-003 Rozsah akreditácie 1/5 Názov akreditovaného subjektu: U. S. Steel Košice, s.r.o. Oddelenie Metrológia a, Vstupný areál U. S. Steel, 044 54 Košice Rozsah akreditácie Oddelenia Metrológia a : Laboratórium

Διαβάστε περισσότερα

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA)

ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) ARMA modely čast 2: moving average modely (MA) Beáta Stehlíková Časové rady, FMFI UK, 2014/2015 ARMA modely časť 2: moving average modely(ma) p.1/24 V. Moving average proces prvého rádu - MA(1) ARMA modely

Διαβάστε περισσότερα

stereometria - študuje geometrické útvary v priestore.

stereometria - študuje geometrické útvary v priestore. Geometria Geometria (z gréckych slov Geo = zem a metro = miera, t.j. zememeračstvo) je disciplína matematiky prvýkrát spopularizovaná medzi starovekými grékmi Tálesom (okolo 624-547 pred Kr.), ktorý sa

Διαβάστε περισσότερα

Gramatická indukcia a jej využitie

Gramatická indukcia a jej využitie a jej využitie KAI FMFI UK 29. Marec 2010 a jej využitie Prehľad Teória formálnych jazykov 1 Teória formálnych jazykov 2 3 a jej využitie Na počiatku bolo slovo. A slovo... a jej využitie Definícia (Slovo)

Διαβάστε περισσότερα

Test. Matematika. Forma A. Štátny pedagogický ústav, Bratislava NUPSESO. a.s.

Test. Matematika. Forma A. Štátny pedagogický ústav, Bratislava NUPSESO. a.s. Test Matematika Forma A Štátny pedagogický ústav, Bratislava Ò NUPSESO a.s. 1. Koľkokrát je väčší najmenší spoločný násobok čísel 84 a 16 ako ich najväčší spoločný deliteľ. A. B. 3 C. 6 D.1. Koľko záporných

Διαβάστε περισσότερα

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti

Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Deliteľnosť a znaky deliteľnosti Medzi základné pojmy v aritmetike celých čísel patrí aj pojem deliteľnosť. Najprv si povieme, čo znamená, že celé číslo a delí celé číslo b a ako to zapisujeme. Nech a

Διαβάστε περισσότερα

Harmonizované technické špecifikácie Trieda GP - CS lv EN Pevnosť v tlaku 6 N/mm² EN Prídržnosť

Harmonizované technické špecifikácie Trieda GP - CS lv EN Pevnosť v tlaku 6 N/mm² EN Prídržnosť Baumit Prednástrek / Vorspritzer Vyhlásenie o parametroch č.: 01-BSK- Prednástrek / Vorspritzer 1. Jedinečný identifikačný kód typu a výrobku: Baumit Prednástrek / Vorspritzer 2. Typ, číslo výrobnej dávky

Διαβάστε περισσότερα

x x x2 n

x x x2 n Reálne symetrické matice Skalárny súčin v R n. Pripomeniem, že pre vektory u = u, u, u, v = v, v, v R platí. dĺžka vektora u je u = u + u + u,. ak sú oba vektory nenulové a zvierajú neorientovaný uhol

Διαβάστε περισσότερα

2. Aký obsah má vyfarbený útvar? Dĺţka strany štvorca je 3 m.

2. Aký obsah má vyfarbený útvar? Dĺţka strany štvorca je 3 m. Dĺžka kružnice, obsah kruhu 1. Na obrázku je kruţnica vpísaná do štvorca so stranou 4cm a štyri kruţnicové oblúky so stredmi vo vrcholoch štvorca. ký obsah má vyfarbený útvar? 4 + π cm 16 - π cm 8π 16

Διαβάστε περισσότερα

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii

7 Derivácia funkcie. 7.1 Motivácia k derivácii Híc, P Pokorný, M: Matematika pre informatikov a prírodné vedy 7 Derivácia funkcie 7 Motivácia k derivácii S využitím derivácií sa stretávame veľmi často v matematike, geometrii, fyzike, či v rôznych technických

Διαβάστε περισσότερα

SLOVENSKO maloobchodný cenník (bez DPH)

SLOVENSKO maloobchodný cenník (bez DPH) Hofatex UD strecha / stena - exteriér Podkrytinová izolácia vhodná aj na zaklopenie drevených rámových konštrukcií; pero a drážka EN 13171, EN 622 22 580 2500 1,45 5,7 100 145,00 3,19 829 hustota cca.

Διαβάστε περισσότερα

SNÍMAČE TEPLOTY A PREVODNÍKY TEPLOTY. P r v á č a s ť Vymedzenie meradiel a spôsob ich metrologickej kontroly

SNÍMAČE TEPLOTY A PREVODNÍKY TEPLOTY. P r v á č a s ť Vymedzenie meradiel a spôsob ich metrologickej kontroly Príloha č. 37 k vyhláške č. 210/2000 Z. z. SNÍMAČE TEPLOTY A PREVODNÍKY TEPLOTY P r v á č a s ť Vymedzenie meradiel a spôsob ich metrologickej kontroly 1. Táto príloha sa vzťahuje na odporové snímače teploty

Διαβάστε περισσότερα