11. U R O V A N I E P L Ô C H A O B J E M O V Z E M N Ý C H P R Á C

Transcript

1 . U R O V A N I E P L Ô C H A O B J E M O V Z E M N Ý C H P R Á C astou úlohou stavebnej i geodetickej praxe je urova plochy horizontálnych alebo vertikálnych obrazcov, ktoré sme zamerali a vyjadrili v íselnej alebo grafickej forme. Plošný obsah pozemku ureného hranicami v jeho horizontálnom priemete do zobrazovacej roviny nazývame výmerou parcely. Výmera parcely vyplýva z geometrického urenia pozemku (vymedzenie tvaru a rozmerov nehnuteností ich hranicami a polohového urenia pozemku (v zobrazovacom systéme. Je jednou z íslených charakteristík katastra nehnuteností. S výpotami plôch sa stretávame tiež pri rôznej investinej innosti, pri ktorej porebujeme pozna plochy pozemkov za úelom náhrad škôd spôsobených stavebnou innosou, pri výkupe pozemkov, pri vymedzovaní plôch ako zariadení staveniska at. alej urujeme plochy pozemkov vymedzených na odhumusovanie pôdy, rekultiváciu, hydroosev at. Výpoty plôch sú tiež podkladom na výpoet objemov (kubatúr zemných prác. Vtedy napr. vypoítame plochy vytvorené prienym profilom terénom a vzorovým profilom, z ktorých poda vzdialenosti profilov urujeme dielie objemy. Vekos plochy vyjadrujeme v plošných jednotkách metrickej sústavy, ktorých základom je m. Väšími jednotkami sú: a (ár = 00 m, ha (hektár = 00 a = m, l km = 00 ha. Plochy urujeme: - výpotom z odmeraných džok, - výpotom zo súradníc, - meraním plochy na mape. Obr... Výpoet plochy z originálnych mier. VÝPOET PLOCHY Z ODMERANÝCH DŽOK Výpoet plochy z odmeraných džok je z hadiska úelnosti urenia plochy najvýhodnejší. Na obr.. sú lomové body pozemku urené pravouhlými súradnicami vo vzahu k meraskej priamke A B. Súradnicami sú tu stanienia s i a kolmice s ki. Plocha pozemku sa vypoíta ako súet jej plôch, ktoré predstavujú trojuholníky a lichobežníky: ( s s ( sk sk ( s s3 ( sk sk 3... s( n ( sn ( sk ( n skn P (. = Pozemky pretiahleho tvaru je vhodné rozloži na trojuholníky poda obr.. a plochu vypoítame z rovnice: = z v P, (. ke sme základne z i a výšky v i v trojuholníkoch odmerali priamo v teréne. 49

2 Obr... Výpoet plochy rozložením na trojuholníky Džky spravidla meriame na centimetre. Jednotlivé plochy poítame na dve desatinné miesta a výsledok zaokrúhujeme na celé m.. VÝPOET PLOCHY ZO SÚRADNÍC Plochy zo súradníc poítame dvoma spôsobmi, poda toho i sú lomové body vyjadrené v pravouhlých alebo polárnych súradniciach. Pri výpote plochy pravouhlými súradnicami použijeme redukované súradnice existujúceho súradnicového systému, alebo miestneho súradnicového systému, ktorého jednou osou bude napr. meraská priamka, ku ktorej vyjadríme lomové body staniením a kolmicou (obr... Výpoet plochy pravouhlými súradnicami si ukážeme na obrazci obr..3. Os Y predstavuje os staniení prienym profilom terénom body P, P a P 3 a vzorovým profilom body P 3, P 4,, P ; v smere osi X sme vyjadrili relatívne výšky bodov oboch prienych profilov. Obr..3. Výpoet plochy z pravouhlých súradníc Plochu obrazca P, P,, P 9, P vypoítame tak, že plochu vytvorenú kolmicovými lichobežníkmi, ku ktorým patria strany P P a P P 3 zmenšíme o súet plôch menších kolmicových lichobežníkov, ku ktorým patria strany P 3 P 4, P 4 P 5 až P 9 P. Celkovú plochu obrazca vyjadríme algebraickým sútom všetkých plôch kolmicových lichobežníkov a nebudeme tu vyjadrova tzv. kladné a záporné plochy. Smer postupného vyjadrovania plôch lichobežníkov je vyznaený na obr..3 šípkou. P = ( x x ( y y ( x x3 ( y3 y ( x3 x4 ( y4 y3 ( x4 x5 ( y5 y4 ( x5 x6 ( y6 y5 ( x6 x7 ( y7 y6 ( x7 x8 ( y8 y7 ( x8 x9 ( y9 y8 ( x x ( y y. 9 9 (.3 50

3 Rovnicu (.3 po vynásobení usporiadame poda súinov x alebo y a dostaneme: P = x x x 3 x 8 x 9 ( y y9 ( y3 y ( y y 4 ( y9 y7 ( y y 8 P = y y y 3 y 8 y 9 ( x9 x ( x x3 ( x x ( x7 x9 ( x x. Plochu obrazca s n vrcholmi môžeme vyjadri všeobecnými vzorcami: n P = x ( y y, alebo P = y ( x x í = i i i n 8 í = i 4 i (.4 Vzorce nazývame Gaussove ale l Huillierove vzorce. Slovne ich interpretujeme nasledovne: dvojnásobok plochy uríme ako súet súinov úseky (poradnice a rozdielu poradníc (úseiek obidvoch susedných vrcholov. Vzorce sú vhodné na výpoet kalkulakami a dajú sa tiež ahko programova. Vzorce môžeme tiež použi na výpoet plochy pozemku zameraného metódou pravouhlých súradníc, ktoré vyjadríme vo forme staniení a kolmíc (obr... Meraskú priamku stotožníme s osou X. Hodnoty staniení sú potom úsekami s i x i a kolmice poradnicami s ki y i. Pri výpote volíme orientáciu výpoetného systému, poradie íslovania bodov a postup výpotu. Prijímame zásady: Kladný smer osi X je totožný so smerom meraskej priamky; kolmice sú kladné, ak smerujú napravo, naavo sú záporné. Poradie bodov a postup výpotu volíme v smere íslovania hodín. Výpoet plochy obrazca, ktorý sme zamerali polárnymi súradnicami s i, ψ i, uríme postupným urovaním plôch trojuholníkov (obr..4. Obr..4. Výpoet plochy z polárnych súradníc i Smer íslovania vrcholov n-uholníka volíme v smere íslovania hodín. Výpoet zaíname v ubovonom trojuholníku poda rovnice: ( ( ψ Pi = s( i vi = s( i si sin ψ ( i ψ i. (.5 Ke je rozdiel smerov ( i ψ i záporný, dostaneme tzv. zápornú plochu. Celková plocha sa urí ako súet kladných a záporných plôch poda rovnice: n i ( P = s( i si sin ψ ( i ψ i. (.6.3 UROVANIE PLOCHY Z MAPY Výmery parciel, alebo iných uzavretých obrazcov, urujeme po ich zobrazení v uritej mierke z mapy. Pritom presnos urenej plochy, okrem neistoty v meraní, ovplyvnia alšie faktory ako neistota v grafickom zobrazení bodov, deformácia papiera a neistota v grafickom urení plochy. Pri 5

4 väších nárokoch na presnos urenej plochy zisujeme deformáciu papiera (kap. 9.6, o ktorú opravujeme odmerané džky z mapy. Plochy zmapy urujeme graficko-potárskym spôsobom, alebo použitím plochomerných pomôcok planimetrov. Uríme ich v plošných jednotkách v mierke mapy :M napr. v mm alebo cm. Výmeru plochy potom dostaneme, ke plochu na mape v príslušných jednotkách vynásobíme štvorcom mierkovej íslice: P = P M. (.7.3. Graficko-analytický spôsob urovania plôch Plochu obrazca (parcely zobrazeného na mape uríme z mier obrazca, ktoré získame rôznym spôsobom a rôznymi pomôckami. Jedným zo spôsobov môže by odmeranie pravouhlých alebo polárnych súradníc všetkých lomových bodov. Plochu vypoítame analyticky poda rovníc (.4 alebo (.6. Výpoet plochy z mapy sa dá tiež vhodne realizova rozdelením plochy na trojuholníky, v ktorých odmeriame potrebmé džky pre výpoet (obr... Džky odmeriame zobrazovacími trojuholníkami, alebo pomocou vhodnej plochomernej pomôcky (obr..5, ktorou môže by aj štvorcová sie (milimetrový transparentný papier. Obr..5. Plochomerná pomôcka.3. Urovanie plôch planimetrami Planimetre sú mechanické pomôcky, pomocou ktorých urujeme poet plošných jednotiek na obrazci zobrazenom v uritej mierke. Vykonáme to pomocou vhodnej plochomernej siete, alebo z obvodu obrazca obídeného hrotom planimetra, ím získame údaj, z ktorého poda parametrov planimetra odvodíme plochu obrazca. Planimetre rozdeujeme na planimetre sieové, tykové, polárne a planimetre založené nba fyzikálnom spôsobe urovania plôch. Z uvedených druhov planimetrov sa strune zoznámime s najjednoduchšími a to sieovými a polárnymi planimetrami..3.. Sieové planimetre 5

5 Štvorcový sieový planimeter predstavuje transparentný milimetrový papier (u ktorého poznáme jeho deformáciu. Sie položíme na zobrazený obrazec a postupne spoítame celé cm, celé mm a nakoniec spoítame zvyšky priahlých mm (obr..6. Plochu meriame dvakrát, pri druhom urovaní plochy zmeníme polohu siete. Obr..6. Štvorcový sieový planimeter Nitkový planimeter (obr..7 tvorí masívny kovový rám so sieou jemných vlákien. Vlákna sú od seba vzdialené na rovnakú hodnotu (AE =,8 mm. Kvôli orientácii na pásoch, každé štvrté vlákno je ierne. Nitkový planimeter postavíme na obraz n-uholníka tak, aby sa okrajové body dotýkali tých vlákien, medzi ktorými budeme urova plochu. Sie vlákien nám rozdelí celý obrazec na lichobežníky, ktoré majú rovnakú výšku v. Plochu uríme tak, že pre tieto pravidelné lichobežníky uríme stredné prieky s, s,, s n. Plochu vyjadruje rovnica: ( s s s3... sn v = v P = s.(.8 Obr..7. Nitkový planimeter a sútové kružidlo Súet stredných prieok uríme sútovým kružidlom (obr..7 hore. Ak nastavíme napr. rázvor kružidla na 55 mm a v =,8 mm, potom nasítanej hodnote stredných prieok do plného rázvoru kružidla zodpovedá v mierke : m. Pri urovaní plochy registrujeme plné rázvory kružidla a neúplnému rázvoru kružidla prisúdime plochu poda transverzálneho meradielka, ktoré je umiestnené na okraji nitkového planimetra. Urovanie plôch nitkovým planimetrom je vemi presné. Nevýhodou tejto metódy je, že použitím odpichovacieho kružidla sa poškodzuje mapový podklad. Preto v poslednom období sa nitkový 53

6 planimeter nahradzuje osnovou iar nanesenou na nezrážanlivom celuloidovom páse fotografickou cestou..3.. Polárne planimetre Polárny planimeter je mechanická pomôcka, ktorou urujeme plochu obrazca na mape tak, že hrotom planimetra obídeme odvod obrazca. Pri tomto pohybe sa odvauje koliesko planimetra. Plocha je funkciou dráhy odvalenej kolieskom planimetra a je v uritom vzahu ku konštrukcii prístroja a mierke mapy. Poda konštrukcie polárne planimetre rozdeujeme na mechanické a digitálne. Obr..8. Polárny planimeter a/ b/ Obr..9. Meranie plochy polárnym planimetrom Konštrukcia polárneho planimetra a/ pól mimo obrazca, b/ pól vovnútri obrazca Polárny planimeter (obr..8 sa skladá z dvoch vzájomne skbených ramien r a r. 54

7 Rameno r nazývame obežným ramenom. Na konci má hrot, pomocou ktorého obchádzame obvod obrazca. Na tomto ramene je umiestnené aj meracie koliesko, ktorého rovina je kolmá na smer ramena r. Druhé rameno r nazývame pólovým ramenom. Zakonené je pólom, okolo ktorého otáame celý prístroj. Pól môžeme zapichnú do mapy, alebo ho vkladáme do závažia s kbom. Plochu obrazca uríme tak, že hrotom pohyblivého ramena obídeme odvod obrazca a džku dráhy, ktorú meracie koliesko odvalilo, uríme z rozdielu ítaní na ísleníku pri dvoch súhlasných prechodoch hrotu tým istým bodom obrazca. Poda vekosti plochy urovaného obrazca meriame: - s pólom mimo obrazca (obr..9a, - s pólom vo vnútri obrazca (obr..9b. Plochu obrazca pri planimetrovaní s pólom mimo obrazca uríme poda rovnice: P = n, (.9 p 0 kde n = n - n je džka odvalenej dráhy medzi dvoma prechodmi tým istým bodom v uzavretom obrazci, p 0 je hodnota plošnej jednotky ítacieho verniera (jednotková plocha m, 8m, 3m at., ktorá vyplýva z džky pohyblivého ramena a mierky mapy. Plochu obrazca pri póle vnútri obrazca vyjadruje vzorec: P = n p0 C, (.0 kde C = k π = konšt. Konštanta C závisí od džky obežného ramena r, džky pólového ramena r a vzdialenosti roviny meracieho kolieska od kbu. C predstavuje tzv. základnú kružnicu, ke hrot obchádza túto kružnicu, koliesko sa neodvauje, pretože v jeho rovine sa nachádza pól. Urenie konštánt polárneho planimetra Konštanty p 0 a C vyplývajú z konštrukných rozmerov polárneho planimetra a mierky mapy. Urujeme ich nepriamo s použitím sprostredkujúcich veliín, ktorými sú známe plochy porovnávacích obrazcov. Po splanimetrovaní známej plochy P konštantu p 0 uríme zo vzahu: P p 0 =. (. n Porovnávaciu plochu získame nakreslením vhodného obrazca, alebo použitím kontrolného lineára (obr..0, ktorým výrobca dopluje výstroj každého planimetra. Je to úzky kovový lineár, na jednom konci má hrot ihly a jeho druhý skosený koniec má iarkový index. Na povrchu lineára sú jamky s cm odstupmi pre hrot planimetra (napr. polárny planimeter firmy MOM. Obežné rameno upravíme na džku, ktorá zodpovedá príslušnej mierke (pri mierkach :000, :000, :500 a :5000 je r = 3,5 mm. Hrot polárneho planimetra nasadíme do jamky (napr. r = 8 cm a polárnym planimetrom od znaky opíšeme kružnicu (P = 0,06cm. Na meracom bubienku sa nám odvalí údaj n = 5, z ktorého konštanta p 0 v mierke :000 má hodnotu: P 006 m 0 = = = 8 m n p. (. 54 Obr..0. Kontrolný lineár 55

8 V mierke :000 p 0 = 3 m, :500 p 0 = 50 m, :5000 p 0 = 00 m. Urené konštanty porovnávame s danými konštantami. V prípade rozdielov po viacnásobnom kontrolnom urení p 0 príjmeme nové hodnoty konštánt pre alšie urovanie plôch polárnym planimetrom. Po urení konštanty p 0 uríme aj konštantu C tak, že za porovnávaciu plochu použijeme narysovanú kružnicu. Zvolíme ju v takej vekosti, aby nám umožnila meranie s pólom vo vnútri kružnice. Po urení údaja n na meracom bubienku, pri polomere r porovnávacej kružnice, konštantu C uríme poda rovnice: C = r π n p, (.3 ktorý vyplýva z rovnice (.0. Postup pri planimetrovaní 0 Spravidla planimetrujeme s pólom mimo obrazca. Džku obežného ramena r upravíme na vyžadovanú hodnotu poda mierky mapy. Hrot obežného ramena postavíme približne do stredu (ažiska obrazca. Pólové rameno priložíme tak, aby rovina meracieho kolieska prechádzala pólom (obr... Hrot planimetra postavíme na ztretený lomový bod. V tejto polohe ítame polohu meracieho kolieska n. Hrot pohyblivého ramena vedieme po celom obvode až do východiskového bodu, kde ítame údaj n. Obr... Poloha planimetra pri meraní Pre plochu platí: ( n n po n po P = =. Na zvýšenie presnosti a zníženie úinku chýb prístroja odporúa sa obvod obrazca odmera niekokokrát (najmenej dvakrát v obidvoch smeroch a do výpotu za hodnotu n použi strednú hodnotu z vykonaných meraní. alšie spresnenie môžeme docieli využitím tzv. kompenzanej polohy planimetra, kedy pól umiestnime z druhej strany pohyblivého ramena (obr.. iarkovane vyznaená poloha planimetra. Použitím obidvoch polôh kompenzujeme (vyluujeme systematickú chybu planimetra, ktorá vyplýva z toho, že os meracieho kolieska nie je celkom presne rovnobežná s pohyblivým ramenom, resp. rovina meracieho kolieska nie je presne kolmá na pohyblivé rameno. V kompenzanej polohe vykonáme taký istý poet meraní ako v I. polohe a výslednú plochu uríme priemerom planimetrovaní v oboch polohách prístroja: P I P P = II. ( Presné polárne planimetre Nedostatkom jenoduchých polárnych planimetrov je, že sa meracie koliesko odvauje po mape, ktorá aj ke je zdanlivo rovná, nemá homogénny povrch. Nerovnomerný povrch vzniká pri technologických procesoch na mape, ako napr. kresba lineamentu a jeho zafarbenie, ako aj pri všetkých mechanických zásahoch a dotykoch spojených s používaním mapy. 56

9 Tieto nedostatky sa nevyskytujú pri valivých planimetroch, ktoré nemajú pól a pohybujú sa na vrúbkovaných valcoch (obr... Osobitnú konštrukciu majú doskové planimetre, u ktorých sa meracie koliesko pohybuje po zvláštnej, pre tento úel upravenej doske pripevnenej na prístroji. Podrobnosti o konštrukcii a technológii merania týmito prístrojmi uvádza príslušná odborná literatúra. Obr... Schéma valivého planimetra Technológia merania presnými planimetrami sa však prakticky nelíši od merania jednoduchými polárnymi planimetrami. Plochy je možné mera aj pomocou digitálnych planimetrov (obr..3. Digitálne planimetre umožujú meranie: plôch, džok, polomerov a súradníc. Pohyb planimetra po meranej ploche je valivý vo zvislom smere v rozsahu 380 mm, v horizontálnom smere bez obmedzenia (planimeter X-PLAN. Pri meraní plôch, ak sú strany meraného obrazca priame nastavujeme meraciu znaku na lomový bod a registrujeme súradnice meraného bodu (bodový režim. Krivkové astí obrazca je možné mera manuálnym sledovaním krivky oblúka meracou znakou (priebežný režim alebo meraním oblúka krajnými bodmi a tretím ubovolným bodom na oblúku (oblúkový režim. Režimy merania je možné poda potreby ubovolne spája. Planimeter si pamätá východiskový bod obrazca. Pri návrate na tento bod sa meranie automatický ukoní. Po zosnímaní planimetrovanej plochy sa na digitálnom displeji indikuje plocha. Presnos merania overená na testovacej ploche je 0, % plochy. Obr..3. Digitálny planimeter.4 POŽIADAVKY NA PRESNOS ODMERANIA PLÔCH Výmery parciel sa poítajú analyticky z pravouhlých súradníc lomových bodov hraníc, vypoítaných z priamo odmeraných prvkov. Môžu sa urova tiež z odmeraných súradníc z originálu mapy polohopisu. Lomové body sa odmeriavajú dvakrát, s krajnou odchýlkou 0,5 mm medzi dvoma 57

10 odsunutými hodnotami. Namiesto jedného odsunutia súradníc sa môže plocha uri planimetrovaním pomocou nitkového planimetra. Stredné chyby výmier a krajné odchýlky medzi dvoma spôsobmi urenia plochy, pre Základnú mapu SR vekej mierky, sú uvedené v tab... Stredné chyby a krajné odchýlky výmier Tabuka. Mierka Stredná chyba výmery [m ] Krajné odchýlky medzi [m ] mapy :000 pri analytickom výpote zo súradníc 0,7 P pri analytickom výpote z odmeraných súradníc (0,8 P analytickým urením a planimetrovaním (0,5 P opakovaným planimetrovaním (0,0 P 3 :000 0,7 P (0,35 P (0,50 P 4 (0,40 P 6 :5000 0,8 P (0,79 P 4 (,0 P 0 (,05 P 4 V tabuke P je výmera v m Urovanie plôch pri jednorazovom planimetrovaní nám poskytne presnos vyjadrenú pomernou chybou: - pri jednoduchom polárnom planimetri γ = /500, t.j., - pri presnom (valivom, digitálnom planimetri γ = /3000, t.j. 0,3. Polárne planimetre používame pri urovaní plôch, u ktorých nároky na presnos ich urenia sú v súlade s doasihnutenou presnosou použitého planimetra..5 UROVANIE OBJEMOV S urovaním objemov (kubatúr zemných prác stretávame sa takmer pri každom projektovaní a budovaní stavebných diel. Objemy urujeme rôznymi metódami, ktoré rozdeujeme poda druhu a rozmerov objektov a poda geodetických podkladov, ktoré máme k dispozícii. Medzi ne patrí výpoet: objemov z profilov, poda výsledkov plošnej nivelácie, z vrstevnicovej mapy a rozdelením na geometrické telesá..5. Výpoet objemu z profilov Výpoet objemu zemných prác z profilov aplikujeme hlavne pri líniových stavbách, kde sa striedajú výkopy a násypy. Po vytýení osi stavby zameriame terén prienymi profilmi, ktoré volíme v okrúhlych vzdialenostiach (0 m, 30 m, alebo 50 m a tiež v miestach, kde sú väšie zlomy v teréne. Priene profily môžeme získa tiež kartometricky odsunutím z plohopisnej a výškopisnej mapy, do ktorej vykreslíme osové body prienych profilov. Pozdž iar prienych profilov od osi stavby, odmeriavame stanienie a výšky napr. priesenice profilu s jednotlivými vrstevnicami. Plochu obrazca vymedzenú profilom terénu a vzorovým profilom (obr..3 vypoítame analyticky, alebo uríme planimetricky po vynesení obidvoch profilov na milimetrový papier vo vhodnej mierke. Ak plochy urené z jednotlivých prienych profilov sú približne rovnako veké a os zemného telesa je priamoiara (obr..4, objem dielieho telesa vypoítame poda rovnice: 58

11 P P V = d, (.5 kde P a P sú profilové plochy, d je vzdialenos medzi profilovými plochami. Obr..4. Výpoet objemu z prienych profilov Obr..5. Výpoet objemu klinu Presnejšiu hodnotu objemu uríme Simpsonovým vzorcom: d V = ( P 4PS P 6, (.6 kde P S je plocha uprostred a urí sa z rovnice: P P P S =. (.7 Uvedené rovnice platia aj pre trasu v kružnicovom oblúku, ke profily sú vedené v normále k oblúku. Objem tvarovo pretiahnutých násypových alebo výkopových telies s rozlinými prienymi profilmi v rovnakých odstupoch d môžeme urova po astiach poda rovníc (.5 a (.6, alebo použijeme celkový vzah: d V ( P np = Z P K, (.8 kde P Z je prvá a P K posledná profilová plocha, P je aritmetický priemer z potu n medzi nimi ležiacich profilových plôch. Osobitný prípad urenia objemu zemného telesa je medzi koncovými (nulovými profilmi a priahlými profilmi (obr..5. Teleso v tomto prípade má tvar klinu, v ktorom nulový profil je hranou. z toho Objem telesa uríme poda rovnice: d h a b c V =. (.9 3 V rovnici (.9, ak nepoznáme výšku h, môžeme ju nahradi z rovnice plochy lichobežníka: h P =, (.0 ( a b 59

12 P h =. a b Po dosadení h do rovnice (.9 a úprave dostaneme: d P c V =. (. 3 a b.5. Výpoet objemu poda výsledkov plošnej nivelácie Používa sa pri plošných úpravách terénu, napr. stavby železninej stanice, letiska, ihriska a pod., kde územie je výškovo zamerané štvoruholníkovou sieou, alebo sa zameralo plošnou niveláciou poda polohopisu mapy. Do rohov štvoruholníkovej siete zaznamenáme rozdiely výšok pôvodného terénu a navrhovanej úpravy h i (obr..6. Objem celej zemnej úpravy sa urí ako súet objemov jednotlivých hranolov, ktorých podstava P i v [m ] je známa z rozmeru štvoruholníkovej siete, a ktorých hranami sú výškové rozdiely h i. Obr..6. Výpoet objemu poda výsledkov plošnej nivelácie Objem nad plochou P i vypoítame poda rovnice: h Vi = Pi. (. 4 Ak sa plošná nivelácia vykonala na podklade polohopisu mapy, vhodným spojením odmeraných bodov rozdelíme celú plochu na trojuholníky. Vo vrcholoch trojuholníkov uríme rozdiely medzi pôvodnou výškou terénu a navrhovanou úpravou. Plochy P i takto vzniknutých trojuholníkov (ako napr. na obr.. uríme z odsunutých mier alebo planimetrovaním. Objem iastkového obrazca vypoítame analogicky poda rovnice ( Výpoet objemu poda priebehu vrstevníc Urenie objemu poda priebehu vrstevníc sa využíva pri urovaní objemov vekých zemných telies. Takéto telesá si predstavujeme akoby rozrezané jednotlivými vrstevnicovými plochami (obr

13 Obr..7. Výpoet objemu z vrstveníc Objem jednej vrstvy sa urí analogicky rovniciam (.5 a (.6: P P V = h, (.3 alebo presnejšie použitím Simpsonovho vzorca: h V = ( P 4PS P 6, (.4 kde P S je plocha vymedzená strednou vrstevnicou. Napokon celkový objem je: V = V. (.5 Pri výpote sa môžu vyskytnú aj malé objemové zvyšky, ktorých výška h je menšia ako je daná výška vrstvy. Objem takejto asti telesa vypoítame poda približného vzorca: Pi V = h, (.6 i kde P i je plocha základne zvyškového telesa..5.4 Výpoet objemu rozložením zemného telesa na previdelné geometrické telesá Táto metóda sa používa na stavbách, napr. pri výpote skládky materiálu. Buldozérom sa upraví skládka do tvaru geometrického telesa, ktorého rozmery odmeriame a objem sa vypoíta poda príslušných vzorcov. Objem stavebných jám, priekop s konštantným prienym profilom at., môžeme taktiež uri rozložením na pravidelné geometrické telesá. Celkový objem telesa sa potom urí sútom objemov jednotlivých telies..6 PRESNOS VÝPOTU OBJEMOV Pri urovaní objemového elementu nepravidelného telesa pomocou vpredu uvedených vzahov, poítame objem príslušného aproximujúceho telesa, ktorým nahradíme skutoný tvar a rozmer objemového elementu. Ke na výpoet objemu telesa použijeme napr. rovnicu (.5 alebo (.6 6

14 at., automaticky tým nahradíme všeobecné teleso geometrickým telesom. Toto aproximujúce geometrické teleso, pokia ide o objem, nie je totožné so všeobecným telesom, ich rozdiel predstavuje tzv. chybu z aproximácie objemu všeobecného telesa. alšími zdrojmi chýb pri urení objemu telesa sú chyby v urovaní plôch a vzdialenosti medzi týmito plochami. Celkovú presnos urenia objemu všeobecného telesa môžeme charakterizova strednou chybou V Va Vm m = m m, (.7 kde zložka m Va charakterizuje presnos objemu z aproximácie a m Vm presnos objemu z urenia plôch a vzdialenosti medzi nimi d resp. h. Zložka m Va závisí od použitého vzahu na výpoet, od vekosti vzdialenosti medzi plochami, od morfologického tvaru obalových plôch (sypaný materiál, ornica, lúka a pod.. Zložka m Va bude tým menšia, ím menšia bude vzdialenos medzi urujúcimi plochami a ím pravidelnejšie a hladšie budú obaujúce plochy objektu. Zložka m Vm závisí od potu plôch a ich vekosti, od vzdialenosti medzi plochami, od presnosti urenia plôch a od použitého výpotového vzahu. 6