BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar"

Transcript

1 BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15

2 Sadržaj Primena dijagrama interakcije M-N 1 Primena dijagrama interakcije M-N 2

3 Sadržaj Primena dijagrama interakcije M-N 1 Primena dijagrama interakcije M-N 2

4 Mali ekscentricitet sile pritiska Dijagrami interakcije najviše se koriste za ekscentrični pritisak u oblasti malog ekscentriciteta, ali mogu da se prošire praktično na čitavu oblast naprezanja M u i N u, odnosno M u i Z u Interakcioni dijagrami pokrivaju svih pet naponsko-deformacijskih oblasti, pa mogu, načelno, da se koriste za dimenzionisanje i drugačije opterećenih preseka Za usvojeni oblik i dimenzije poprečnog preseka, raspored i količinu armature i mehaničke karakteristike betona i čelika, bira se stanje graničnih dilatacija u preseku Sa poznatim rasporedom dilatacija, potpuno je određen i raspored napona pritisaka u betonu, kao i veličina napona u zategnutoj i pritisnutoj armaturi

5 Mali ekscentricitet sile pritiska Iz uslova ravnoteže normalnih sila i momenata savijanja za težište betonskog preseka, jednoznačno se određuju granični momenti M u i odgovarajuća granična normalna sila N u koji dovode presek u stanje granične nosivosti pri odabranim dilatacijama u betonu i armaturi Ponavljajući postupak za konačan broj različitih stanja graničnih dilatacija, dobija se niz tačaka koje odgovaraju usvojenom koeficijentu (procentu) armiranja Variranjem količine armature u preseku, dobija se familija krivih linija u funkciji mehaničkog koeficijenta armiranja kao parametra

6 Dijagram interakcije M-N (a) za pojedinačan presek (b) familija krivih u bezdimenzionalnoj formi za sva naponska stanja preseka

7 Mali ekscentricitet sile pritiska Da bi se uopštila i proširila upotreba dijagrama interakcije, oni se prikazuju u sistemu bezimenzionalnih koordinata m u n u Bezdimenzionalne koordinate su bezdimenzionalni granični momenat savijanja M u m u = b d 2 f B kao i bezdimanzionalna granična normalna sila n u = N u b d f B

8 Mali ekscentricitet sile pritiska Tako konstruisani dijagrami interakcije mogu da se koriste za proizvoljan odnos strana b/d pravougaonog preseka, kao i za bilo koju marku betona Dijagrami interakcije konstruišu se za izabran oblik poprečnog preseka, za usvojen kvalitet armature (GA ili RA), za usvojen način armiranja: odnos donje i gornje armature, kao i položaj armature definisan odnosom a/d (odnos položaja težišta armature i visine preseka), a parametarski zavisno od niza vrednosti mehaničkog koeficijenta armiranja

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19 - koso savijanje

20 - kružni presek

21 Sadržaj Primena dijagrama interakcije M-N 1 Primena dijagrama interakcije M-N 2

22 Odrediti potrebnu površinu armature za stub zadatog pravougaonog oblika b/d = 40/850 cm, sa usvojenim kvalitetom materijala MB 40, RA 400/500 na koji deluju tri kombinacije sila u preseku usled stalnog i povremenog opterećenja. Dati su podaci: - kombinacija (a)... N g = kn, M p = ±826.3 knm - kombinacija (b)... N g = kn, M p = ±637.7 knm - kombinacija (c)... N g = kn, M p = ±238.9 knm MB 40 f B = 25.5 MP a = 2.55 kn/cm 2 RA 400/500 σ v = 400 MP a = 40.0 kn/cm 2

23 : kombinacija (a) Posmatra se kombinacija (a): N g = kn, M p = ±826.3 knm Pretpostavlja se ε a1 > 3 (zatezanje) γ u,g = 1.6 γ u,p = 1.8 Granični uticaji M u i N u M u = = knm N u = = kn

24 : kombinacija (a) Bezdimenzionalni granični uticaji n u i m u : n u = N u = b d f B = m u = M u b d 2 = f B = Pretpostavlja se a 1 = a 2 = a = 6.5 cm Bezdimenzionalan koeficijent položaja armature a/d = 6.5/85 =

25 Dijagram interakcije M-N: kombinacija (a)

26 Dijagram interakcije M-N: kombinacija (a)

27 : kombinacija (a) Posmatra se i dalje kombinacija (a), ali sa povoljnim dejstvom stalnog opterećenja Granični uticaji M u i N u M u = = knm N u = = kn Bezdimenzionalni granični uticaji n u i m u : N u n u = = b d f B = m u = M u b d 2 = f B = 0.202

28 Dijagram interakcije M-N: kombinacija (a)

29 : kombinacija (b) Posmatra se kombinacija (b): N g = kn, M p = ±637.7 knm Pretpostavlja se ε a1 < 0 (pritisak) γ u,g = 1.9 γ u,p = 2.1 Granični uticaji M u i N u M u = = knm N u = = kn

30 : kombinacija (b) Bezdimenzionalni granični uticaji n u i m u : N u n u = = b d f B = m u = M u b d 2 = f B = Koristi se isti dijagram interakcije

31 Dijagram interakcije M-N: kombinacija (b)

32 Dijagram interakcije M-N: kombinacija (b)

33 Dijagram interakcije M-N: kombinacija (b)

34 : kombinacija (b) Granični uticaji M u i N u M u = = knm N u = = kn Bezdimenzionalni granični uticaji n u i m u : n u = N u = b d f B = m u = M u b d 2 = f B = 0.178

35 Dijagram interakcije M-N: kombinacija (b)

36 : kombinacija (c) Posmatra se kombinacija (c): N g = kn, M p = ±238.9 knm Pretpostavlja se ε a1 < 0 (pritisak) γ u,g = 1.9 γ u,p = 2.1 Granični uticaji M u i N u M u = = knm N u = = kn

37 : kombinacija (c) Bezdimenzionalni granični uticaji n u i m u : N u n u = = b d f B = m u = M u b d 2 = f B = Koristi se isti dijagram interakcije

38 Dijagram interakcije M-N: kombinacija (c)

39 : sve kombinacije Rekapitulacija dobijenih mehaničkih koeficijenata armiranja: 1 Kombinacija (a)... µ 0.32 (nepovoljno dejstvo g) 2 Kombinacija (b)... µ Kombinacija (c)... µ 0.23 Potrebna ukupna količina armature: A a = µ b d f B = = cm2 σ v 40 Armatura gore i dole (simetrično A a1 = A a2 = Aa 2 ): A a1,2 = cm 2 usvojeno: ± 7RΦ25 (±34.37 cm 2 )

40 Konačno usvojena armatura

41 Primer iz prakse

42 Primena dijagrama interakcije M-N Primer iz prakse Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1

43 Primena dijagrama interakcije M-N Primer iz prakse Stanko Brčić Betonske konstrukcije 1

44 Primer iz prakse - Response-2000

45 Primer iz prakse - Response-2000

46 Primer iz prakse - Response-2000 Geometric Properties Gross Conc. Trans (n=9.12) Area (mm 2 ) x Inertia (mm 4 ) x M y t (mm) y b (mm) Av = 50 mm 2 per 150 mm S t (mm 3 ) x M S b (mm 3 ) x Crack Spacing 2 x dist db /ρ Loading (N,M,V + dn,dm,dv) 0.0, 0.0, , 1.0, M Concrete fc' = 20.5 MPa a = 19 mm ft = 1.51 MPa (auto) ε c ' = 1.86 mm/m Rebar fu = 600 MPa Long, f y = 400 Trans, f y = 240 ε s = mm/m All dimensions in millimetres Clear cover to transverse reinforcement = 40 mm "Megatrend" - Postojece stanje S. Brcic Stub 40/40

47 Primer iz prakse - Response-2000 Cross Section Longitudinal Strain top bot Longitudinal Concrete Stress top N+M M: 217 knm N: kn bot

48 Primer iz prakse - Response-2000 M-N Interaction Axial Force (kn) Legend Cracking Crush on bottom Crush on Top Moment (knm)

49 Primer iz prakse - Response-2000 Control : M-N N+M M: 217 knm N: kn

50 Sadržaj Primena dijagrama interakcije M-N 1 Primena dijagrama interakcije M-N 2

51 Vitkost štapova i kriterijumi Pritisnuti elementi pri određenim uslovima mogu da izgube stabilnost svoje ravnotežne konfiguracije Mera osetljivosti štapa na moguće izvijanje je njegova vitkost: λ i = l i i min i min = I min /A b gde je - l i... dužina izvijanja pritisnutog elementa - i min... minimalni radijus inercije poprečnog preseka elementa u odnosu na osu oko koje se vrši izvijanje - I min... momenat inercije bruto preseka u odnosu na osu oko koje se vrši izvijanje - A b... površina bruto poprečnog preseka betona

52 Vitkost štapova i kriterijumi U zavisnosti od vitkosti štapa Propisi BAB 87 definišu sledeće načine proračuna centrično pritisnutih stubova: 1 λ i < proračun se vrši bez uticaja izvijanja (kratki stubovi) 2 25 λ i stubovi se tretiraju kao umereno vitki i koristi se približan proračun 3 75 < λ i stubovi se tretiraju kao izrazito vitki i koriste se tačniji postupci proračuna 4 λ i > ova vitkost nije dozvoljena, osim u prolaznim fazama kod montažnih sistema, kada je vitkost ograničena na λ max = 200

53 Vitkost štapova i kriterijumi Dužina izvjanja l i je dužina zamenjujuće proste grede koja ima istu krtičnu silu izvijanja kao i posmatrani štap (sa datim graničnim uslovima) Dužina izvjanja je rastojanje između prevojnih tačaka (tačaka infleksije) u deformisanoj konfiguraciji posle izvijanja Izvijanje štapa usled date kritične sile (u smislu bifurkacione stabilnosti) je postojanje bliske ravnotežne konfiguracije (u odnosu na osnovni ravnotežni položaj) pri datoj kritičnoj sili

54 Ojlerovi slučajevi izvijanja

55 Vitkost štapova i kriterijumi Dužina izvjanja l i izražava se u obliku l i = k l gde je - l... stvarna dužina posmatranog pritisnutog elementa (sistemna dužina) u posmatranoj ravni izvijanja - k... bezdimenzionalni koeficijent dužine izvijanja (odražava granične uslove na krajevima i stepen pomerljivosti sistema) - l i... dužina izvijanja posmatranog pritsnutog elementa

56 Sistemi sa nepomerljivim čvorovima

57 Sistemi sa pomerljivim čvorovima

58 Proračun bez uticaja izvijanja Pritisnuti AB elementi se računaju bez uticaja izvijanja ukoliko je ispunjen barem jedan od uslova: 1 kod centrično pritisnutin elemenata ako je vitkost λ i < 25 2 kod ekscentrično pritisnutih elemenata ako je vitkost λ i M 1 M 2 - gde su M 1 i M 2 momenti savijanja na krajevima štapa po teoriji I reda, pri čemu je M 2 > M 1

59 Proračun bez uticaja izvijanja 3 kod ekscentrično pritisnutih elemenata kada je e 1 d 3.5 ako je λ i 75 gde je - e 1 = M/N... ekscentricitet normalne sile po teoriji I reda - d... visina preseka u pravcu ekscentriciteta 4 kod ekscentrično pritisnutih elemenata kada je e 1 d 3.5 λ i 75 ako je λ i > 75 U oba ova slučaja dominantni su efekti I reda

60 Umereno vitki pritisnuti elementi 25 < λ i 75 Ako nije zadovoljen ni jedan od navedenih uslova, mora da se proveri stabilnost pritisnutog elementa na izvijanje Za umereno vitke elemente: 25 < λ i 75 dozvoljava se približno uzimanje u obzir efekata teorije II reda Približan postupak, u skaldu sa PBAB 87, je postupak dopunske ekscentričnosti normalne sile

61 Umereno vitki elementi - dopunski ekscentricitet

62 Umereno vitki pritisnuti elementi 25 < λ i 75 Dopunska ekscentričnost normalne sile data je sa e = e 0 + e 1 + e ϕ + e 2 (1) gde je: - e 0... ekscentricitet usled netačnosti pri izvođenju - e 1... ekscentricitet usled uticaja Teorije I reda - e ϕ... ekscentricitet usled tečenja betona - e 2... ekscentricitet usled uticaja Teorije II reda

63 Umereno vitki pritisnuti elementi 25 < λ i 75 Pravilnik BAB 87 propisuje ekscentricitet usled netačnosti pri izvođenju e 0 zbog realno mogućih netačnosti tokom izvođenja Ova dodatna ekscentričnost N sile e 0 treba da se uzima u obzir i kod približnih proračuna 25 < λ i 75 i kod tačnijih proračuna λ i > 75 Ekscentričnost e 0 usled netačnosti pri izvođenju usvaja se u obliku 2 cm e 0 = l i 10 cm 300

64 Umereno vitki pritisnuti elementi 25 < λ i 75 Escentricitet normalne sile usled uticaja Teorije I reda e 1 jednak je e 1 = M N gde su M i N uticaji izračunati za stanje upotrebljivosti - usled ukupnog eksploatacionog opterećenja Za sisteme sa nepomerljivim čvorovima, pri linearnoj raspodeli momenata savijanja po dužini štapa (odn. stuba!), ekscentricitet e 1 može (dovoljno tačno) da se odredi iz relacije e 1 = 1 N (0.65 M M 1 ) gde su M 1 i M 2 momenti savijanja na krajevima stuba sračunati za stanje upotrebljivosti, pri čemu je M 2 > M 1

65 Umereno vitki pritisnuti elementi 25 < λ i 75 Za sistem sa pomerljivim čvorovima treba da se unapred definiše oblik izvijanja Zatim, za merodavne kombinacije opterećenja, u srednjoj trećini dužine izvijanja odredi se ekscentricitet e 1 Ekscentricitet usled tečenja betona e ϕ može da se zanemari ako je ispunjen barem jedan od sledećih uslova: λ i 50 ili e 1 d 2 ili N I g 0.2 N I q (2) gde su - N I g... normalna sila usled stalnog opterećenja - N I q... normalna sila usled ukupnog eksploatacionog opterećenja (obe sile po Teoriji I reda)

66 Umereno vitki pritisnuti elementi 25 < λ i 75 U slučju kada nisu ispunjeni uslovi (2), mora da se uzme u obzir tečnje betona preko dodatne ekvivalentne ekscentričnosti e ϕ : e ϕ = (e 1g + e 0 ) (e α E 1 α E ϕ 1) (3) gde su - e 1g... ekscentricitet normalne sile od stalnog opterećenja N I g - e 0... ekscentricitet usled netačnosti pri izvođenju - e... osnova prirodnog logaritma (e = ) - α E... bezdimenzionalni koeficijent odnosa normalnih sila α E = N I g N E gde je N E = π 2 Eb I ib l 2 i

67 Umereno vitki pritisnuti elementi 25 < λ i 75 U izrazu za Ojlerovu silu N E koristi se idealizovan momenat inercije betonskog preseka I ib = I b + E a E b I a Takođe, u izrazu (3) sa ϕ je označen koeficijent tečenja betona Kada je određena ekscentričnost usled uticaja Teorije I reda e 1 onda se uticaj Teorije II reda određuje u zavisnosti od e 1, vitkosti štapa λ i, kao i visine preseka d u ravni izvijanja

68 Umereno vitki pritisnuti elementi 25 < λ i 75 Ekscentričnost usled uticaja Teorije II reda e 2 određuje se prema izrazima: e 2 = d λ i e 1 za 0 e d d 0.30 e 2 = d λ i e 2 = d λ i za 0.3 e 1 d 2.5 (3.5 e 1 d ) za 2.5 e 1 d 3.5

69 Izrazito vitki pritisnuti elementi 75 < λ i 140 U slučaju izrazito vitkih elemenata 75 < λ i 140 proračun mora da se vrši primenom tačnijih postupaka Tačniji postupci podrazumevaju proračun po Teoriji II reda U primeni komercijalnih računarskih programa ukupna matrica krutosti sistema data je kao zbir linearne i geometrijske matrice krutosti Problem određivanja kritičnog opterećenja svodi se na rešavanje problema svojstvenih vrednosti matrica

70 Sadržaj Primena dijagrama interakcije M-N 1 Primena dijagrama interakcije M-N 2

71 - primer 1 Centrično pritisnut stub - različito oslanjanje Dimenzionisati stub zadatog konstantnog preseka b/d = 35/35cm i visine l = 4.6m ako je opterećen normalnim silama pritiska usled stalnog i povremenog opterećenja N g = 300 kn N p = 500 kn Usvojiti beton MB 25 i glatku armaturu GA 240/360 Posmatrati dve mogućnosti graničnih uslova (a) obostrano uklješen stub (b) obostrano zglobno oslonjen stub

72 - primer 1 Centrično pritisnut stub - obostrano uklještenje Karakteristike materijala MB 25 f B = MP a = kn/cm 2 GA 240/360 σ v = 240 MP a = 24.0 kn/cm 2 Geometrijske karakteristike preseka b = 35cm d = 35cm A b = = 1225 cm 2 Ib i b = = 10.1 cm A b I b = b d3 12 = cm4

73 - primer 1 Centrično pritisnut stub - obostrano uklještenje Obostrano uklješten stub - dužina izvijanja: l i = l 2 = = 2.3 m = 230 cm Vitkost štapa λ i = l i = 230 = < 25 i min 10.1 Kako je λ < 25, to je u pitanju kratak stub (ne uzima se u obzir uticaj izvijanja)

74 - primer 1 Centrično pritisnut stub - obostrano uklještenje Granična normalna sila N u = 1.9 N g N p = = 1620 kn Minimalan geometrijski procenat armiranja za cetrično pritisnut stub je µ min = 0.6% Minimalan mehanički procenat armiranja µ min = µ min σv 24 = 0.6 f B = 8.35% Potrebna površina betonskog preseka A b,pot = N u f B (1 + µ) = 1620 = cm ( )

75 - primer 1 Centrično pritisnut stub - obostrano uklještenje Potrebna stranica kvadratnog preseka b pot = A b,pot = cm 2 Za zadate dimenzije b/d=35/35cm, stvarna površina preseka je A b,stv = 1225 cm 2 Potrebna površina armature - za potrebnu površinu preseka A a,min = µ min A b,pot = = 5.20 cm 2 - za stvarnu (veću) površinu preseka i µ min = 0.3% A a,min = µ min A b,stv = = 3.68 cm 2

76 - primer 1 Centrično pritisnut stub - obostrano uklještenje Usvojeno 4Φ14 (6.16 cm 2 )

77 - primer 1 Centrično pritisnut stub - obostrano zglobna veza Obostrano zglobna veza - dužina izvijanja: Vitkost štapa λ i = l i = l = 4.6 m = 460 cm l i = 460 = > 25 i min 10.1 Kako je 25 λ < 75, to je u pitanju umereno vitak stub (uzima se u obzir uticaj izvijanja)

78 - primer 1 Centrično pritisnut stub - obostrano zglobna veza Ekscentricitet stuba (približna teorija uticaja izvijana) je e = e 0 + e 1 + e ϕ + e 2 Ekscentricitet ose stuba usled netačnosti pri izvođenju e 0 = l 300 = 460 = 1.53 cm 300 Kako je 2 cm < e 0 < 10 cm to je usvojeno e 0 = 2cm Ekscentricitet po Teoriji I reda e 1 = M q N q = 0 jer je M q = M g + M p = 0

79 - primer 1 Centrično pritisnut stub - obostrano zglobna veza Ekscentricitet usled tečenja betona je e ϕ = 0, jer je λ i = < 50 Ekscentricitet usled Teorije II reda, imajući u vidu da je e 1 /d = 0 iznosi e 2 = d λi Prema tome, ukupni ekscentricitet je e 1 = 2.27 cm d e = e 0 + e 1 + e ϕ + e 2 = = 4.27 cm

80 - primer 1 Centrično pritisnut stub - obostrano zglobna veza Pretpostavlja se da je dilatacija u zategnutoj armaturi (zbog momenta savijanja) manja od ε a1 > 3 Granični uticaji su N u = 1.6 N g N p = 1380 kn M u = N u e = = knm Računaju se bezdimenzionalni granični uticaji n u = N u 1380 = b d f B = 0.65 M u m u = b d 2 = f B = 0.08

81 Dijagram interakcije za pravougaoni presek i GA

82 - primer 1 Centrično pritisnut stub - obostrano zglobna veza Usvajajući simetrično armiranje A a1 = A a2, kao i položaj armature a/d = 0.10, iz dijagrama interakcije (za GA 240/360) očitavaju se vrednosti: ε a1 = 0.5 ε b2 = 3.5 µ = 0 Pretpostavka da je ε a1 > 3 nije opravdana, pa se povećavaju koeficijenti sigurnosti na vrednosti za koje je ε a1 < 0 i granični uticaji su N u = 1.9 N g N p = 1620 kn M u = N u e = knm

83 - primer 1 Centrično pritisnut stub - obostrano zglobna veza Bezdimenzionalni granični uticaji su n u = N u b d f B = 0.77 m u = Iz dijagrama interakcije očitavaju se vrednosti M u b d 2 f B = 0.09 ε a1 < 0 ε b2 = 3.5 µ = 0.04

84 - primer 1 Centrično pritisnut stub - obostrano zglobna veza Potrebna površina armature A a,pot = µ b d f B σ v = 3.52 cm 2 Minimalna površina armature (minimalan geometrijski koeficijent armiranja µ = 0.6%) Usvojeno 4Φ16 (8.04 cm 2 ) A a,min = = 7.35 cm 2

85 - primer 1 Centrično pritisnut stub - obostrano zglobna veza Usvojeno 4Φ16 (8.04 cm 2 )

86 - primer 2 Ekscentrično pritisnut stub Dimenzionisati stub zadatog konstantnog preseka b/d = 35/35cm i visine l = 5.0m koji je na kraju A uklješten, a na drugom kraju B zglobno oslonjen Štap je opterećen normalnim silama pritiska i momentima savijanja u uklještenju: - stalno opterećenje... N g = kn M g,a = 50 knm - korisno opterećenje... N p = 90.0 kn M p,a = 40 knm Usvojiti beton MB 30 i rebrastu armaturu RA 400/500 Smatrati da je u pitanju sistem sa nepomerljivim čvorovima

87 - primer 2 Ekscentrično pritisnut stub Karakteristike materijala MB 30 f B = 20.5 MP a = 2.05 kn/cm 2 GA 400/500 σ v = 400 MP a = 40.0 kn/cm 2 Geometrijske karakteristike preseka b = 35cm d = 35cm A b = = 1225 cm 2 Ib i b = = 10.1 cm A b I b = b d3 12 = cm4

88 - primer 2 Ekscentrično pritisnut stub Dužina štapa je l = 5.0m, pa, imajući u vidu granične uslove (2. Ojlerov slučaj), dužina izvijanja iznosi l i = l 2 = 3.54 m = 354 cm Sa ovim, vitkost štapa je jednaka λ i = l i = 354 i min 10.1 = Kako je 25 λ i 75, stub spada u kategoriju umereno vitkih stubova

89 - primer 2 Ekscentrično pritisnut stub Provera kriterijuma kada se ne uzima u obzir izvijanje (bez obzira na vitkost) - eksploatacioni uticaji po Teoriji I reda M I q = M g + M p = = 90 knm N I q = N g + N p = = kn - ekscentricitet po Teoriji I reda e 1 = M I q N I q = = cm - relativni ekscentricitet e 1 /d e 1 d = = 1.27 <

90 - primer 2 Ekscentrično pritisnut stub Kako je e 1 /d < 3.5, uticaji II reda moraju da se uzmu u obzir, pa se određuje dopunska ekscentričnost e = e 0 + e 1 + e ϕ + e 2 Ekscentricitet usled imperfekcije ose stuba: e 0 = l 300 = = 1.67 cm < 2 cm usvojeno: e 0 = 2 cm Ekscentricitet po Teoriji I reda: e 1 = M I q N I q = cm Ekscentricitet usled tečenja betona: e ϕ = 0 jer je λ i < 50

91 - primer 2 Ekscentrično pritisnut stub Ekscentricitet po Teoriji II reda (za 0.3 < e 1 /d < 2.5): e 2 = d λi = 2.19 cm Ukupni ekscentricitet je: e = e 0 + e 1 + e ϕ + e 2 = = cm Granični uticaji - presek uklještenja A N u,a = 1.6 N g N p = 342 kn M u,a = 1.6 M g M p = 152 knm

92 - primer 2 Ekscentrično pritisnut stub Granični uticaji - presek u sredini polja AB N u,ab = 1.6 N g N p = 342 kn M u,ab = N u,ab e = = knm Merodavan je presek u sredini raspona Pretpostavlja se rastojanje težišta zategnute armature a a1 = 5cm, pa je statička visina preseka h = d a a1 = 30cm

93 - primer 2 Ekscentrično pritisnut stub Granični momenat za zategnutu armaturu ( ) d M au = M u + N u 2 a 1 = Dobija se M au = knm Bezdimenzionalni koeficijent k: k = h = Mau b f B Iz tabela za dimenzionisanje očitava se = ε a1 = 3.45 ε b2 = 3.5 µ = % (35/2 5) 100

94 - primer 2 Ekscentrično pritisnut stub Potrebna površina armature data je sa A a,pot = µ b d f B σ v N u σ v A a,pot = 8.39 cm 2 Pošto je u pitanju stub kod koga je uticaj normalne sile veliki, presk može i da se simetrično armira Bezdimenzionalni granični uticaji n u = N u b d f B = 0.14 m u = N u b d 2 f B = 0.19

95 - primer 2 Ekscentrično pritisnut stub Iz odgovarajućeg dijagrama interakcije (RA 400/500, simetrično armiranje A a1 = A a2, sa rasporedom a/d = 0.10), očitavaju se vrednosti (obostrani lom): ε a1 = 10 ε b2 = 3.5 µ = 0.33 Potrebna površina armature A a = µ b d f B σ v = cm 2 A a1 = A a2 = A a 2 = cm2 Usvojeno: 2 4RΦ19 A a,stv = = cm 2

96 - primer 2 Ekscentrično pritisnut stub Usvojeno 2 4RΦ19 (22.68 cm 2 )

Proračunski model - pravougaoni presek

Proračunski model - pravougaoni presek Proračunski model - pravougaoni presek 1 ε b 3.5 σ b f B "" ηx M u y b x D bu G b h N u z d y b1 a1 "1" b ε a1 10 Z au a 1 Složeno savijanje - VEZNO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji za (M i, N

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Proračun nosivosti elemenata

Proračun nosivosti elemenata Proračun nosivosti elemenata EC9 obrađuje sve fenomene vezane za stabilnost elemenata aluminijumskih konstrukcija: Izvijanje pritisnutih štapova; Bočno-torziono izvijanje nosača Izvijanje ekscentrično

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET ODREĐIVANJE MOMENTA LOMA - PRAVOUGAONI PRESEK Moment loma za pravougaoni presek prikazan na skici odrediti za slučajeve:. kada

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar

PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I 5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I ČISTO KOSO SAVIJANJE Pod pravim savijanjem podrazumeva se slučaj kada se ravan savijanja poklapa sa jednom od glavnih ravni

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD Predmet: Mašinski elementi Proraþun vratila strana 1 Dimenzionisati vratilo elektromotora sledecih karakteristika: ominalna snaga P 3kW Broj obrtaja n 14 min 1 Shema opterecenja: Faktor neravnomernosti

Διαβάστε περισσότερα

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj Matrična analiza linijskih

Διαβάστε περισσότερα

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I 4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I Čisto pravo savijanje Pod čistim savijanjem grede podrazumeva se naprezanje pri kome su sve komponente unutrašnjih sila jednake nuli, osim momenta

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A Psmen spt z OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga ABC se oslanja pomoću dvje špke BD CE kao na slc desno. Špka BD, dužne 0.5 m, zrađena je od čelka (E AB 10 GPa) ma poprečn presjek od 500 mm.

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA

4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA JBAG 4. STATIČKI PRORAČUN STUBIŠTA PROGRA IZ KOLEGIJA BETONSKE I ZIDANE KONSTRUKCIJE 9 5 SVEUČILIŠTE U ZAGREBU JBAG 4. Statiči proračun stubišta 4.. Stubišni ra 4... Analiza opterećenja 5 5 4 6 8 5 6 0

Διαβάστε περισσότερα

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj Rešavanje jednačina ravnoteže

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

1. Dimenzionisanje poprečnog preseka nosača. Pretpostavlja se poprečni presek HEB 600. Osnovni materijal S235 f y 235MPa f u 360MPa

1. Dimenzionisanje poprečnog preseka nosača. Pretpostavlja se poprečni presek HEB 600. Osnovni materijal S235 f y 235MPa f u 360MPa a. zadatak Sračuna i konstruisa montažni nastavak nosača izrađenog od vruce valjanog profila prema zadam presečnim silama:ved = 300 kn MEd = 1000 knm. Za nosač usvoji odgovarajući HEB valjani profil. Nastavak

Διαβάστε περισσότερα

FUNDIRANJE (TEMELJENJE)

FUNDIRANJE (TEMELJENJE) 1/11/013 FUNDIRANJE 1 FUNDIRANJE (TEMELJENJE) 1. Projektovanje temelja se vrši prema graničnom stanju konstrukcije i tla ispod ojekta sa osvrtom na ekonomski faktor u pogledu utroška materijala, oima radova

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Konvencija o znacima za opterećenja grede

Konvencija o znacima za opterećenja grede Konvencija o znacima za opterećenja grede Levo od preseka Desno od preseka Savijanje Čisto savijanje (spregovima) Osnovne jednačine savijanja Savijanje silama Dimenzionisanje nosača izloženih savijanju

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE. Program

BETONSKE KONSTRUKCIJE. Program BETONSKE KONSTRUKCIJE Program Zagreb, 009. Ime i prezime 50 60 (h) 16 (h0) (A) (A) 600 (B) 600 (B) 500 (A) 500 (A) SADRŽAJ 1. Tehnički opis.... Proračun ploče POZ 01-01...3.1. Analiza opterećenja ploče

Διαβάστε περισσότερα

Zgradarstvo : Mostogradnja: Specijalne (inženjerske) konstrukcije: Prednosti čeličnih konstrukcija Nedostaci čeličnih konstrukcija

Zgradarstvo : Mostogradnja: Specijalne (inženjerske) konstrukcije: Prednosti čeličnih konstrukcija Nedostaci čeličnih konstrukcija 1. Primena celicnih konstrukcija u gradjevinarstvu Zgradarstvo : sportske dvorane izložbene hale, višespratne zgrade, industrijske hale, krovovi stadiona, hangari... Mostogradnja: drumski mostovi, železnički

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni pojmovi, spoljašnje i unutrašnje sile, definicije napona i deformacije, vrste naprezanja. Osnovni pojmovi

Osnovni pojmovi, spoljašnje i unutrašnje sile, definicije napona i deformacije, vrste naprezanja. Osnovni pojmovi Osnovni pojmovi, spoljašnje i unutrašnje sile, definicije napona i deformacije, vrste naprezanja Osnovni pojmovi Kruto telo Rastojanje ma koje tačke je stalno, ne menja se, telo se ne deformiše predmet

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

UVOD U GRADITELJSTVO 6. NOSIVI ELEMENTI GRAĐEVINA. Prof. dr. sc. NEDIM SULJIĆ, dipl.ing.građ. Sadržaj poglavlja: -općenito o nosivim konstrukcijama

UVOD U GRADITELJSTVO 6. NOSIVI ELEMENTI GRAĐEVINA. Prof. dr. sc. NEDIM SULJIĆ, dipl.ing.građ. Sadržaj poglavlja: -općenito o nosivim konstrukcijama UVOD U GRADITELJSTVO 6. NOSIVI ELEMENTI GRAĐEVINA Sadržaj poglavlja: -općenito o nosivim konstrukcijama -odnos stanja naprezanja u nosivim elementima -linijski nosivi elementi (prosta greda; kontinualna

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG 1 PRAVILNIK BAB 87

PRILOG 1 PRAVILNIK BAB 87 PRILOG 1 PRAVILNIK BAB 87 PRILOG 1.1 PRAVILNIK O TEHNIČKIM NORMATIVIMA ZA BETON I ARMIRANI BETON I OPŠTE ODREDBE 1 Ovim pravilnikom propisuju se uslovi i zahtevi koji moraju biti ispunjeni pri projektovanju,

Διαβάστε περισσότερα

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE 0 4 0 1 Lanci za vešanje tereta prema standardu MSZ EN 818-2 Lanci su izuzetno pogodni za obavljanje zahtevnih operacija prenošenja tereta. Opseg radne temperature se kreće

Διαβάστε περισσότερα

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА Београд, 21.06.2014. За штап приказан на слици одредити најмању вредност критичног оптерећења P cr користећи приближан поступак линеаризоване теорије другог реда и: а) и један елемент, слика 1, б) два

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L

PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L PRSKALICA - LELA 5 L / 10 L UPUTSTVO ZA UPOTREBU. 1 Prskalica je pogodna za rasprsivanje materija kao sto su : insekticidi, fungicidi i sredstva za tretiranje semena. Prskalica je namenjena za kućnu upotrebu,

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma ragan ori Sadrжaj Neodređeni integral Određeni integral 6 Nesvojstveni integral 9 4 vojni integral 5 Redovi 5 Studentima generacije / (grupe A9, A i A) Ovo je jox jedna

Διαβάστε περισσότερα

6. Plan armature prednapetog nosača

6. Plan armature prednapetog nosača 6. Plan armature prednapetog nosača 6.1. Rekapitulacija odabrane armature Prednapeta armatura odabrano:3 natege 6812 Uzdužna nenapeta armatura. u polju donji rub nosača (mjerodavna je provjera nosivosti

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Pregled pojmova veličina i njihovih jedinica koje se koriste pri osnovnim izračunavanjima u hemiji dat je u Tabeli 1. Tabela 1. Veličine i njihove jedinice

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

SPREGNUTE KONSTRUKCIJE

SPREGNUTE KONSTRUKCIJE SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Prof. dr. sc. Ivica Džeba Građevinski fakultet Sveučilišta u Zagrebu SPREGNUTI NOSAČI 1B. DIO PRIJENJIVO NA SVE KLASE POPREČNIH PRESJEKA OBAVEZNA PRIJENA ZA KLASE PRESJEKA 3 i 4

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNA STANJA NOSIVOSTI BETONSKIH KONSTRUKCIJA SADRŽAJ

GRANIČNA STANJA NOSIVOSTI BETONSKIH KONSTRUKCIJA SADRŽAJ GRANIČNA STANJA NOSIVOSTI BETONSKIH KONSTRUKCIJA SADRŽAJ 1 FIZIKALNO-MEHANIČKA SVOJSTVA MATERIJALA... 2 1.1 Beton... 2 1.1.1 Računska čvrstoća betona... 6 1.1.2 Višeosno stanje naprezanja... 6 1.1.3 Razred

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

1 RАVANSKE REŠETKE (1.2)

1 RАVANSKE REŠETKE (1.2) 1 RАVNSKE REŠETKE Rešetkasti nosači predstavljaju sistem sačinjen od lakih krutih štapova međusobno zglobno vezanih svojim krajevima. Zglobne veze krajeva štapova se nazivaju čvorovi. Rešetke su opterećene

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Tehnologija bušenja II

Tehnologija bušenja II INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 1. Vežba V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 1 of 44 Algebra i trigonometrija V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 2 of 44 Jednačine Pitanje: Ako je a = 3b

Διαβάστε περισσότερα

A. STATIČKI PRORAČUN POLUMONTAŽNE STROPNE KONSTRUKCIJE "YTONG STROP" strana

A. STATIČKI PRORAČUN POLUMONTAŽNE STROPNE KONSTRUKCIJE YTONG STROP strana S A D R Ž A J OPĆI DIO: Izvadak iz sudskog registra o registraciji Rješenje o upisu u imenik ovlaštenih inženjera građevinarstva Izvješće o kontroli Tipskog projekta glede mehaničke otpornosti i stabilnosti

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu/ Mašinski elementi 1/ Predavanje 3. Slika1.1 Primeri nepokretne i obrtne osovine

Mašinski fakultet Univerziteta u Beogradu/ Mašinski elementi 1/ Predavanje 3. Slika1.1 Primeri nepokretne i obrtne osovine ašinski fakultet Univerziteta u Beogradu/ ašinski elementi 1/ Predavanje.1 OSOVINE I VRATILA.1.1. Uvod Vratila i osovine, kao osnovni elementi obrtnog kretanja, moraju uvek biti preko kliznih i kotrljajnih

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu I Definisanje frekventnih karakteristika Dinamički modeli sistema se definišu u vremenskom, Laplace-ovom

Διαβάστε περισσότερα

Devizno tržište. Mart 2010 Ekonomski fakultet, Beograd Irena Janković

Devizno tržište. Mart 2010 Ekonomski fakultet, Beograd Irena Janković Devizno tržište Devizni urs i devizno tržište Devizni urs - cena jedne valute izražena u drugoj valuti Promene deviznog ursa utiču na vrednost ative i pasive oje su izražene u stranoj valuti Devizni urs

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

TOPLOTA. Primjeri. * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem.

TOPLOTA. Primjeri. * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem. 1.OSNOVNI POJMOVI TOPLOTA Primjeri * KALORIKA Nauka o toploti * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem. * TD SISTEM To je bilo koje makroskopsko tijelo ili grupa tijela,

Διαβάστε περισσότερα

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA / VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ SADRŽAJ. SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. NESTACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. STACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

S A D R Ž A J. 1.1 Opšti podaci Čelik za prednaprezanje Kotve i kablovi Oprema Gubici sile prednaprezanja...

S A D R Ž A J. 1.1 Opšti podaci Čelik za prednaprezanje Kotve i kablovi Oprema Gubici sile prednaprezanja... 1 1 S A D R Ž A J 1.0 OPIS SISTEMA 1.1 Opšti podaci... 2 1.2 Čelik za prednaprezanje... 2 1.3 Kotve i kablovi... 2 1.4 Oprema... 3 1.5 Gubici sile prednaprezanja... 3 1.5.1 Uvlačenje klina... 4 1.5.2 Elastično

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Racionalni algebarski izrazi

Racionalni algebarski izrazi . Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:

Διαβάστε περισσότερα

Predavanje br 3 TRANSPORT I LOGISTIKA 2006/2007 OSNOVE ZA DIMENZIONISANJE ČELIČNIH KONSTRUKCIJA

Predavanje br 3 TRANSPORT I LOGISTIKA 2006/2007 OSNOVE ZA DIMENZIONISANJE ČELIČNIH KONSTRUKCIJA ANALIZA NOSEĆIH STRUKTURA 11 Predavanje br TRANSPORT I LOGISTIKA 006/007 OSNOVE ZA DIMENZIONISANJE ČELIČNIH KONSTRUKCIJA Dimenzionisanje čeličnih konstrukcija se izvodi na bazi poznavanja rasporeda spoljašnjih

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

Proračun toplotne zaštite

Proračun toplotne zaštite Proračun toplotne zaštite za objekat Stambeni objekat urađen prema JUS U.J5.600 iz 1998 i JUS U.J5.510 iz 1987 godine. Sadržaj - analiza konstrukcija - analiza linijskih gubitaka - proračun toplotnih transmisionih

Διαβάστε περισσότερα

O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI.

O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI. 1 O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI Ljubiša Nešić, Odsek za fiziku, PMF, Niš http://www.pmf.ni.ac.yu/people/nesiclj/ Uvod Kao što je poznato, fizičke veličine mogu da imaju dimenzije ili pak da budu bezdimenzionalne.

Διαβάστε περισσότερα

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti

POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, Vladimir Balti POLINOMI I RACIONALNE FUNKCIJE Nastava u Matematiqkoj gimnaziji, 004. Vladimir Balti Pojam polinoma. Prsten polinoma.. Dati su polinomi P (x) = x + x +, Q(x) = x 4 x +, R(x) = x x +. Proveriti da li za

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNA STANJA UPORABLJIVOSTI BETONSKIH KONSTRUKCIJA SADRŽAJ

GRANIČNA STANJA UPORABLJIVOSTI BETONSKIH KONSTRUKCIJA SADRŽAJ GRANČNA STANJA UPORABLJVOST BETONSKH KONSTRUKCJA SADRŽAJ 1 Uvod... Granično tanje naprezanja... Granično tanje rapucavanja... 4 Granično tanje deormiranja... 6 5 Proračun geometrijkih karakteritika pravokutnog

Διαβάστε περισσότερα

Matematički modeli sistema

Matematički modeli sistema Matematički modeli sistema U analizi i sintezi SAU se koriste kvantitativni matematički modeli koji opisuju fiziku sistema. Generalno, dinamika sistema je opisana običnim diferencijalnim jednačinama. lasa

Διαβάστε περισσότερα

PRSKALICA - LELA 12 L / LELA16 L

PRSKALICA - LELA 12 L / LELA16 L PRSKALICA - LELA 12 L / LELA16 L UPUTSTVO ZA UPOTREBU 1 Prskalica je pogodna za raspršivanje materija kao sto su : insekticidi, fungicidi i sredstva za tretiranje semena. Uredjaj je namenjen za kućnu,

Διαβάστε περισσότερα

Rešenje: X C. Efektivne vrednosti struja kroz pojedine prijemnike su: I R R U I. Ekvivalentna struja se određuje kao: I

Rešenje: X C. Efektivne vrednosti struja kroz pojedine prijemnike su: I R R U I. Ekvivalentna struja se određuje kao: I . Otnik tnsti = 00, kalem induktivnsti = mh i kndenzat kaacitivnsti = 00 nf vezani su aaleln, a između njihvih kajeva je usstavljen steidični nan efektivne vednsti = 8 V, kužne učestansti = 0 5 s i četne

Διαβάστε περισσότερα

GRAFOVI. Ljubo Nedović. 21. februar Osnovni pojmovi 2. 2 Bipartitni grafovi 8. 3 Stabla 9. 4 Binarna stabla Planarni grafovi 12

GRAFOVI. Ljubo Nedović. 21. februar Osnovni pojmovi 2. 2 Bipartitni grafovi 8. 3 Stabla 9. 4 Binarna stabla Planarni grafovi 12 GRAFOVI Ljubo Nedović 21. februar 2013 Sadržaj 1 Osnovni pojmovi 2 2 Bipartitni grafovi 8 3 Stabla 9 4 Binarna stabla 11 5 Planarni grafovi 12 6 Zadaci 13 1 2 1 Osnovni pojmovi Iz Vikipedije, slobodne

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

POGONSKI SISTEMI KOD CNC MAŠINA ALATKI

POGONSKI SISTEMI KOD CNC MAŠINA ALATKI POGONSKI SISTEMI KOD CNC MAŠINA ALATKI Glavna osovina PLC NC Kom. signal Servo uređaj Povr. sprega Servo motor Tahogenerator Obradak Enkoder po brzini Poziciona povratna sprega Sto ^itač trake Drugi uređaji

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

OSOVINE I VRATILA. Pomoćni nastavni materijali uz kolegij "Konstrukcijski elementi I" Ak. godina 2011./12.

OSOVINE I VRATILA. Pomoćni nastavni materijali uz kolegij Konstrukcijski elementi I Ak. godina 2011./12. OSOVINE I VRATILA Pomoćni nastavni materijali uz kolegij "Konstrukcijski elementi I" Ak. godina 2011./12. Nositelj kolegija: Prof. dr. sc. Božidar Križan - 1 - OSOVINE I VRATILA Funkcija, opterećenja,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. skripta. Januar 2013.

Linearna algebra. skripta. Januar 2013. Linearna algebra skripta Januar 3 Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA KRETANJA DRUMSKIH VOZILA

TEORIJA KRETANJA DRUMSKIH VOZILA Departman za mehanizaciju i konstrukciono mašinstvo Katedra za motore i vozila EORIJA KREANJA DRUMSKIH VOZILA Skripta Mr Boris Stojić, dipl. inž. maš. Novi Sad, februar 2012. radna verzija Ova strana je

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα